TỔNG HỢP BÀI TẬP DAO ĐỘNG CƠ KHÁC TÂN SỐ

OMEGA
TỔNG HỢP HAI DAO ĐỘNG KHÁC TẦN SỐ
A. Giới thiệu:
Những năm gần đây, các chủ đề nâng cao và mới lạ xuất hiện trong đề thi THPT ngày
càng nhiều. Với mục đích mở rộng kiến thức, phát triển nội dung luyện thi THPT, trong
tài liệu này nhóm trình bày về chủ đề tổng hợp hai dao động khác tần số. Hiện hai dao
động khác tần số xuất hiện ngày càng phổ biến trong các tài liệu ôn thi và trong đề thi
THPT, ví dụ như các bài toán về hai con lắc trùng phùng, khoảng cách giữa hai vật…Do
vậy chủ đề tổng hợp hai dao động khác tần số rất có khả năng trở thành nội dung chính
thức trong kỳ thi THPT trong tương lai gần.

B. Tổng hợp hai dao động khác tần số:
Xét hai dao động cùng phương khác tần số có phương trình:
x1  A1 cos 1t  0 
1



x2  A2 cos 2t  02



Phương trình dao động tổng hợp là: x  A cos t   
-

Biên độ dao động tổng hợp:
Ta có: x  x1  x2  A  A1  A2 . Sử dụng phương pháp vecto quay ta được giản đồ

vecto như hình 1 bên dưới. Trong đó: các dao động x,x1 và x2 lần lượt là hình chiếu của
các vecto A , A1 và A2 lên trục hoành.
Giả sử 2  1 , xét  OMC, ta có:

A2  A12  A2 2  2 A1 A2 cos 

 A12  A22  2 A1 A2 cos  (Vì      )

Với   2  1  2  1  t  0  0
2

1

 A  A12  A2 2  2 A1 A2 cos 2  1  t  02  01 

* Nhận xét: Biên độ dao động tổng hợp của hai dao động khác tần số luôn biến đổi
theo thời gian với tần số góc A  2  1

Hình 1
1


-

Pha ban đầu của dao động tổng hợp:
Xét  OBA(hình 1), ta có:
A cos 1  A2 cos 2
A sin 1  A2 sin 2
hoặc cos   1
tan   1
A
A1 cos 1  A2 cos 2
Trong đó: A, 1 , 2 là những đại lượng có giá trị tại t = 0 ( 1  0 , 2  0 ).
1

-

Tần số góc của dao động tổng hợp

t t

t t

t 0

A

A2

A
A2

A1





0  0  
1

2

A2 sin 2

A1

0

O

2

t 0
A1 sin 1

1

x

O

A1 cos 1 A2 cos 2

x

Hình 2
Giả xử tại thời điểm t = 0 hai dao động thành phần cùng pha, sau khoảng thời gian t
thì vecto dao động tổng hợp( A ) đi được một góc  . Theo hình trên ta có:
    01  arctan

A1 sin 1  A2 sin 2
 01
A1 cos 1  A2 cos 2

Trong đó: 1 , 2 được xác định tại thời điểm t bất kỳ.
Như vậy tần số góc của dao động tổng hợp có dạng:



A sin 1  A2 sin 2
 
  arctan 1
 01  / t
t
A1 cos 1  A2 cos 2



* Lưu ý:
+ Khi 2 dao động khác tần số có cùng biên độ thì tần số góc của dao động tổng
 
hợp là   1 2 .
2

+ Chu kỳ của dao động tổng hợp không được tính theo công thức T 

2

, vì sau

một vòng đường tròn lượng giác hầu hết vecto tổng hợp chỉ quay lại vị trí cũ chứ chưa
trở lại trạng thái cũ.
+ Khi

T1 m
 , trong đó m,n là số nguyên dương và phân số đã tối giản thì chu kỳ
T2 n

dao động tổng hợp khi đó T  BCNN (T1 , T2 ) .
+ Dao động tổng hợp từ các dao động khác tần số là một dao động tuần hoàn.
2


C. Tổng hợp hai dao động có tần số gần bằng nhau (hiện tượng phách)
Xét hai dao động cùng phương khác tần số, cùng biên độ và pha ban đầu:
x1  A cos 1t   
x2  A cos 2t   

Khi đó phương trình dao động tổng hợp là:
x  x1  x2

   1 
   1 1  2 
 2 A cos  2
t  cos  2
t
 (1)
2 
 2

 2

Vì 1  2 nên

2  1
2



  2 
   1 

t  cos  t  1
 (1)  2 A cos  2

2 
 2



* Kết luận:
+ Dao động tổng hợp cùng tần số góc với hai dao động thành phần.
+ Thành phần biên độ trong động tổng hợp là :
   1 
A'  2 A cos  2
t
 2


Vì A' >0  A'  2 A cos 


2  1 

2

t


Do đó biên độ dao động tổng hợp dao động với chu kỳ T 

2
, vì 2  1 rất
2  1

nhỏ nên biên độ biến đổi rất chậm so với chu kỳ dao động và được gọi là chu kỳ phách.
Chu kỳ phách

Chu kỳ dao động
Hình 3
3


Câu 1: Một vật dao động tổng hợp từ hai dao động thành phần lần lượt có phương




trình: x1  4cos 10 t   (cm) và x2  4cos 12 t   (cm). Hãy xác định phương


6



4

trình dao động biên độ của dao động tổng hợp.
 


A. xA  8cos   t   (cm)
B. xA  8cos   t   (cm)


24 






 


D. xA  4cos   t   (cm)
24

C. xA  4cos   t 

 (cm)
24 



24 


Hướng dẫn:
- Phương trình tổng hợp từ hai dao động:
x  x1  x2





 4cos 10 t    4cos 12 t  
6
4


  
5 

 8cos   t   cos 11 t 
 (cm)
24 
24 





Nhận xét: Thừa số cos 11 t 

5 
 chứa tần số góc   11 (1    2 ) nên tần số
24 

góc chứa trong thừa số này là tần số góc của chu kỳ dao động tổng hợp. Vậy biên
độ dao động tổng hợp có phương trình dao động:
 

xA  8cos   t   (cm)


24 

Câu 2: Một vật chịu tác động đồng thời hai dao động thành phần có phương trình:




x1  10cos  49 t   (cm) và x2  10cos  51 t   (cm). Hỏi khi biên độ dao động


6



6

tổng hợp hoàn thành một chu kỳ thì vật thực hiện được bao nhiêu dao động.
A. 35

B. 24
C. 25
D. 18
Hướng dẫn:
- Phương trình tổng hợp từ hai dao động:
x  x1  x2





 10cos  49 t    10cos  51 t  
6
6




 20cos  t  cos  50 t   (cm)
6


- Phương trình dao động của biên độ:
xA  20cos  t  (cm)
 Chu kỳ dao động của biên độ: TA 


 1(s) (1)
A

- Chu kỳ dao động tổng hợp:
4


T

2

 0, 04(s) (2)

Từ (1) và (2) dễ thấy khi biên độ hoàn thành 1 chu kỳ thì dao động tổng hợp thực

hiện được 25 dao động (

TA
 25 ).
T

Câu 3: Cho hai dao động: x1  A1 cos 8 t  1  (cm), x2  A2 cos 12 t  2  (cm). Tần
số dao động tổng hợp từ hai dao động trên có giá trị là.
A. 3(Hz)
B. 2(Hz)
C. 4(Hz)
Hướng dẫn:
- Tần số dao động của dao động 1:

f1  1  4 (Hz)
2
- Tần số dao động của dao động 2:


f 2  2  6 (Hz)
2
- Tần số dao động tổng hợp:
f  UCLN ( f1 , f 2 )  2 (Hz)

D.6(Hz)

Câu 4: Một vật dao động dưới sự tổng hợp của hai dao động thành phần




x1  8cos   t   (cm) và x2  10cos  2 t   (cm). Thời điểm đầu tiên thành phần


3



2

biên độ dao động hợp đạt giá trị lớn nhất tính từ lúc bắt đầu dao động là.
A. 1(s)
B. 11/6(s)
C. 5/6(s)
D.2(s)
Hướng dẫn:
- Phương trình biên độ tổng hợp từ hai dao động:
xA  A12  A22  2 A1 A2 cos 2  1  t  (2  1 ) 



 164  160cos   t  
6




 xAmax  cos   t    1
6

 t 


6

 2k

 t  2k 

1
6

Thời điểm đầu tiên khi k = 1, t = 11/6(s)
Câu 5: Một vật thực hiện dao động tổng hợp từ dao động thành phần có cùng biên
độ bằng 2 cm và tần số góc gần bằng nhau.Trong 9s người ta đếm được 7 lần vật
đạt biên độ dao động cực đại và 150 dao động toàn phần. Viết phương trình dao

động tổng hợp, biết các pha ban đầu của hai dao động thành phần bằng (rad).
2

5


2
100

A. xA  4cos  t  cos 
t   (cm)
2
 3 
 3

 4 
 100
t   (cm)
B. xA  4cos  t  cos 

 3
 8
C. xA  8cos 
 3



 3

 100
t  cos 


 3

2


t  (cm)


8
100 
D. xA  8cos  t  cos 
t  (cm)
 3 
 3 

Hướng dẫn:
Gọi x1,x2 lần lượt là 2 dao động thành phần. Theo đề bài ta có:




x1  2cos  1t   ; x2  2cos  2t  


2



2

 Dao động tổng hợp có dạng:
x  x1  x2



 4cos  At  cos  t   (cm)
2


- Tần số góc của dao động biên độ tổng hợp:
Trong 9s biên độ đạt cực đại 7 lần nên trong 9s biên độ thực hiện 6 chu kỳ. Vậy
9
 1,5(s)
6
 2
(rad/s)

 A 
TA
3
TA 

- Tần số góc dao động tổng hợp:
Trong 9s vật thực hiện được 150 dao động. Vậy chu kỳ dao động là:
9
 0, 06(s)
150
2 100
(rad/s)



T
3
T

- Phương trình dao động tổng hợp:


x  4cos  A cos    


 2
 4cos 
 3

2



 100
t  cos 
t   (cm)
2

 3

Câu 6: Con lắc đơn chịu tác dụng của hai dao động thành phần lần lượt có phương
trình x1  A cos  3 t  1  (cm) và x2  A cos  5 t  2  (cm). Chu kỳ dao động tổng
hợp có giá trị là
A. 1(s)

B. 2(s)

C. 3(s)
Hướng dẫn:

D.4(s)

- Chu kỳ dao động của con lắc 1:
6


T1 

2

2
 (s)
1 3

- Chu kỳ dao động của con lắc 2:
2 2
T2 
 (s)
2 5
- Chu kỳ dao động tổng hợp:
T  BCNN (T1 , T2 )  2(s)

Câu 7: Con lắc lò xo có độ cứng k = 40 N/m, dao động tổng hợp từ hai dao động :





x1  3cos  50 t   cm và x2  4cos 100 t   cm. Phương trình dao động tổng


3



4

hợp và thế năng cực đại của dao động vừa tổng hợp.
A. 100m(J)
B. 49m(J)
C. 98m(J)
Hướng dẫn:
- Phương trình biên độ dao động tổng hợp:

D.50m(J)

xA  A12  A22  2 A1 A2 cos 2  1  t  2  1 
7

 25  24cos  50 t 
12



 (cm)



- Pha ban đầu dao động tổng hợp:
+ Biên độ dao động tổng hợp lúc bắt đầu dao động ( t = 0s):
 7 
xAt 0  25  24cos 
  4,3345 (cm)
 12 
A cos 1  A2 cos 2
 cos   1
xAt 0

   0,053(rad) (vật chuyển động theo chiều âm khi bắt đầu dao động)

( lưu ý: pha ban đầu có thể xác định theo công thức: tan  

A1 sin 1  A2 sin 2
)
A1 cos 1  A2 cos 2

- Tần số góc của dao động:
+ Chu kỳ dao động 1:
2
T1 
 0, 04(s)
1
+ Chu kỳ dao động 2:
2
T2 
 0, 02(s)

2
 Chu kỳ dao động tổng hợp:
T  BCNN (T1 , T2 )  0,04(s)


2
 50 (rad/s)
T

- Phương trình dao động tổng hợp:
7


x  xA cos(50 t  0,053) (cm)

- Biên độ cực đại của dao động tổng hợp:
 7 
xA  7 (cm) (khi cos 
 =1)
 12 

max

- Thế năng cực đại của vật:
W

1
kxAmax 2  98m(J)
2

Câu 8: Tác động vào con lắc lò xo nằm ngang có độ cứng k = 20N/m hai dao động


có phương trình x1  4cos  2 t  (cm) và x2  6cos  4 t   (cm). Biết khối lượng


2

vật nặng dao động là 1,5 Kg. Vận tốc của vật có giá trị lớn nhất trong quá trình dao
động là.
A. 0,3(m/ s)

B. 0, 4(m/ s)

C.

15
(m/ s)
15

D.

30
(m/ s)
15

Hướng dẫn:
- Li độ biên độ cực đại của vật:
+ Li độ biên độ:
xA  A12  A22  2 A1 A2 cos 2  1  t  2  1 



 52  48cos  2 t  
2

 xAmax  10 (cm)

- Vận tốc cực đại của vật:
+ Áp dụng định luật bào toàn cơ năng, ta có:
Wdmax  W



1
1
mvmax 2  kxAmax 2
2
2

 vmax 

k
30
xAmax 
(m/ s)
m
15

Câu 9: Một vật thực hiện dao động tổng hợp từ hai dao động thành phần có phương

trình: x1  3cos  22 t  (cm) và x2  3cos  24 t  (cm). Viết phương trình dao động
A. xA  6cos  t  cos  23 t  (cm)
C. xA  3cos  t  cos  22 t  (cm)

B. xA  6cos  2 t  cos  23 t  (cm)
D. xA  6cos  t  cos  23 t  (cm)
Hướng dẫn:

- Phương trình dao động tổng hợp:
x  x1  x2
 3cos  22 t   3cos  24 t 

8


 6cos  t  cos  23 t  (cm)



Câu 10: Cho hai dao động thành phần có phương trình: x1  3cos  4 t   (cm) và
3






x2  3cos  6 t   (cm). Xác định pha ban đầu của dao động tổng hợp từ hai dao
3


động trên.

A.   (rad)

B.  

3


6


C.    (rad)

(rad)

3


D.    (rad)
6

Hướng dẫn:
- Li độ của biên độ dao động tổng hợp:
xA  A12  A22  2 A1 A2 cos 2  1  t  2  1 
 3 2  2cos( t )

- Biên độ tổng hợp tại thời điểm bắt đầu dao động:
xA  3 2  2cos( t )  6(cm)

t 0

- Pha ban đầu dao động tổng hợp:
A cos 1  A2 cos 2 1
Ta có: cos   1

xAt0

 


3

2

(rad) (vật chuyển động theo chiều âm khi bắt đầu dao động)

Tham khảo thêm các tài liệu của nhóm tại Wed Thư Viện Vật Lý:
 Chuyên đề về con lắc đơn
 Chuyên đề về dao động tổng hợp
 Chinh phục các dạng khó trong dao động điều hòa
Link: />
9