Chuong 3 compatibility mode

CHƯƠNG 3
SAI SỐ


Các nội dung chính
• Khái niệm về phép đo và sai số đo
• Nguyên nhân gây ra sai số đo và phân loại sai
số
• Đánh giá độ chính xác phép đo trực tiếp
• Đánh giá độ chính xác phép đo gián tiếp
• Trị trung bình cộng và sai số trung phương của
trị trung bình cộng
• Sai số xác suất nhất, công thức Bessen


3.1 Phép đo và sai số đo
1. Phép đo
a. Định nghĩa:
b. Phân loại

Đo trực tiếp
Đo gián tiếp

2. Sai số đo
Δ: Sai số đo
l: Giá trị đo
Δ=l-X
X: Giá trị thực
3. Nguyên nhân sinh ra sai số

4. Phân loại sai số

- Do dụng cụ máy móc
- Do người đo
- Do môi trường
- Sai số thô
- Sai số hệ thống
- Sai số ngẫu nhiên


3.2 Tiêu chuẩn đánh giá độ chính xác
các đại lượng đo trực tiếp
1. Sai số trung bình

 1   2  .....  n
 
n

2. Sai số trung phương

21  22  ...  2n
m
n

 
2

m

n

3. Sai số giới hạn

Δgh=3m

4. Sai số tương đối

m
1

X
T

(m~1,25θ)


Ví dụ minh họa
Đo đoạn thẳng AB dài 52m sau khi tính toán sai
số đo, 2 tổ đo thu được các kết quả sau đây:
Tổ 1: 1,-2,0,4,2,3,-1,-4,-2,2(đơn vị cm)
Tổ 2: 0,4,-3,2,1,-2,6,-2,0,1(đơn vị cm)
• Hãy cho biết tổ nào đo đạt kết quả chính xác
hơn.

5


Lời giải
Áp dụng các tiêu chuẩn đánh giá độ chính xác
các đại lượng đo trực tiếp ta có:
1. Sai số trung bình

1 

1   2  0  4  2  3  1   4   2  2

2 

10
0  4  3  2  1  2  6  2  0  1
10

 2.1cm

 2.1cm

Kết luận: 2 tổ đo cho độ chính xác như nhau
6


Lời giải
Áp dụng các tiêu chuẩn đánh giá độ chính xác
các đại lượng đo trực tiếp ta có:
2.Sai số trung phương
12  (2) 2  0 2  4 2  2 2  32  (1) 2  (4) 2  (2) 2  2 2
59
m1  

 2.42cm
10
10
0 2  ( 4 ) 2  (  3) 2  2 2  1 2  (  2) 2  6 2  (  2 ) 2  0 2  1 2

75
m2  

 2.73cm
10
10

Kết luận: Tổ 1 đo chính xác hơn tổ 2.
Chứng tỏ SSTP làm nổi bật các sai số có trị số lớn
7


3.3 Tiêu chuẩn đánh giá độ chính xác
các đại lượng đo gián tiếp
1. Hàm tổng quát
Z=f(x,y,…,u) trong đó x,y,..,u là các đại lượng
đo độc lập có SSTP là mx,my,.. mu
2

2

2

 f  2
 f  2  f  2
m    m x    m y ...   m u
 u 
 x 
 y 
2

Z

Trong đó

 f   f   f 
 ,  ,...  là đạo hàm riêng
  x   y    u 
của x,y,..,u


1.1 Hàm đặc biệt
a. Hàm có dạng: Z=a+b+..
SSTP:
m Z   m a2  m b2  ...
b. Hàm có dạng: Z=a-b-…
SSTP
m Z   m a2  m b2  ...
c. Hàm có dạng: Z=ax+by+…
SSTP
m Z   a 2 m x2  b 2 m 2y  ...

9


Các bước khi tính sai số trung phương
1.
2.
3.
4.

Lập hàm quan hệ giữa trị cần tìm với trị đo
Tính giá trị cần tìm từ các trị đo
Lập công thức tính SSTP từ hàm quan hệ
Tính đạo hàm riêng của hàm số theo các đối
số và thay các giá trị tương ứng vào tìm
SSTP của hàm


Ví dụ 1: Một đoạn thẳng được đo thành 3 đoạn với số
liệu và SS tương ứng là:
(753.81,±0.012),(1238.40±0.028),(1062.95±0.020)
Tính tổng chiều dài của đoạn thẳng SSTP của nó

a. Hàm có dạng: Z=a+b+c
LAB=753.81+1238.40+1062.95=3055.16m
SSTP:
m Z   m a2  m b2  m c2

m Z   0.012 2  0.028 2  0.020 2  0.036m
11


Ví dụ 2: Trong tam giác vuông ABC( vuông ở A) tiến hành đo
cạnh huyền BC được giá trị 122.22m±0.012, đo góc B=α được
giá trị 30030’ ± 1’. Hãy tính chiều dài cạnh AB và SSTP của nó
C

b

a

LG:
c
A
Áp dụng công thức lượng giác ta có:
AB=c=BCcosB=122.22cos30030’=105.308m
SSTP:
2

 a(  sin  )m
 c
  c m  
   (cos   m a ) 2  
m c    m a   

'
 a
    ' 

2



B





2

 122.22(  sin 30 0 30' )  1' 
2
0
  0.021m
cos 30 30'0.012
 
12
3438'








3.4 Trị trung bình cộng và sai số trung
phương của nó
1. Trị trung bình cộng

l1  l 2  ...l n l 
x

n
n
2. Sai số trung phương của trị trung bình cộng

1
1

1
x  l 1  l 2  ...  l n
n
n
n
2

mx

2

2

2

1 2
1 2 1 2
   m 1    m 2  ...    m n
 n
 n
 n


3.4 Trị trung bình cộng và sai số trung
phương của nó(cont)
2

mx

2

2

2

1 2
1 2 1 2
   m 1    m 2  ...    m n
 n
 n
 n

Nếu m1=m2=…mn=m
Ta có

mx 

m
n


3.5 Công thức tính sai số trung phương
trong trường hợp dùng trị trung bình
cộng x thay trị thực X
(công thức Bessen)
Mặc dù không biết trị thực X nhưng ta luôn tìm
l-x=v
được hiệu:
Trong đó: l là đại lượng đo
x là trị xác suất nhất( trị trung bình cộng)

v là sai số xác xuất nhất

v 
2

Lý thuyết sai số đã chứng minh:

m  

n 1


Ví dụ
• Đo chiều dài của một đoạn thẳng chưa biết giá
trị thực 10 lần ta thu được các kết quả sau:
538.57, 538.39, 538.37, 538.39, 538.48,
538.49, 538.33, 538.46, 538.47, 538.55(m).
• Tính trị trung bình cộng của dãy kết quả đo(x0)
• Tính sai số trung phương của trị trung bình
cộng(mx) hay còn gọi là trị xác suất nhất.


Lời giải
• Vì dãy trị đo là cùng độ chính xác nên ta có:
Bước 1: Tính trị trung bình cộng x
Bước 2: Tính sai số xác suất nhất vi
Bước 3: Tính SSTP theo sai số xác suất nhất

v 
2

m

n 1
Bước 4: Tính SSTP của trị trung bình cộng

mx 

m
n


Lời giải
TT

Kết quả
đo(m)

v(m)

v2

Các bước tính

1
2
3
4
5
6

7
8
9
10

538.57
538.39
538.37
538.39
538.48
538.49
538.33
538.46
538.47
538.55

+0.12
-0.06
-0.08
-0.06
+0.03
+0.04
-0.12
+0.01
+0.02
+0.10

0.0144
0.0036
0.0064

0.0036
0.0009
0.0016
0.0144
0.0001
0.0004
0.0100

x=[l]/n=5384.5/10=538.4
5m

0.00

0.0554

Tổng 5384.50

v 
2

m

n 1

m=±0.078m

mx 

m

mx=±0.024m

n