Một số lớp mở rộng của môđun nội xạ, xạ ảnh và ứng dụng

1 of 128.

Đại học Huế
Tr-ờng Đại Học S- Phạm
...........................

Phan Hồng Tín

Một số lớp mở rộng
của môđun nội xạ, xạ ảnh và ứng dụng
Chuyên Ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 62 46 01 04

Luận án Tiến sĩ Toán học
Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: GS. TS. Lê Văn Thuyết

Huế - Năm 2016
1

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Page 1


2 of 128.

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu
của riêng tôi, các kết quả và số liệu nghiên cứu
nêu trong luận án là trung thực, đ-ợc các đồng
tác giả cho phép sử dụng và ch-a từng đ-ợc
công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Phan Hồng Tín

2

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Page 2


3 of 128.

Lời cảm ơn
Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS. TS. Lê Văn
Thuyết, ng-ời đã h-ớng dẫn tôi hoàn thành luận án này, ng-ời đã truyền cho
tôi niềm đam mê khoa học, đã tận tình dạy bảo, h-ớng dẫn và động viên tôi
trong quá trình học tập, nghiên cứu của mình.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Khoa Toán; Phòng Đào tạo Sau đại học Tr-ờng Đại học S- phạm - Đại học Huế và Ban Đào tạo - Đại học Huế đã
tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu
và hoàn thành ch-ơng trình nghiên cứu sinh của mình.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Tr-ờng Cao đẳng Công nghiệp Huế đã hỗ trợ
về vật chất cũng nh- tinh thần, tạo điều kiện cho tôi trong suốt thời gian
học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án.
Tôi xin chân thành cảm ơn nhóm nghiên cứu Đại số kết hợp, GS. TS.
Lê Văn Thuyết; GS. TSKH. Phạm Ngọc ánh - Viện Hàn lâm khoa học
Hungary; GS. TS. Bùi Xuân Hải -Tr-ờng Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại
học Quốc gia TP. HCM; TS. Phan Dân -Tr-ờng Đại học Quốc tế Hồng Bàng
TP. HCM; TS. Tr-ơng Công Quỳnh -Tr-ờng Đại học S- phạm - Đại học Đà
Nẵng; TS. Trần Giang Nam - Viện Toán học; TS. Trịnh Thanh Đèo - Tr-ờng
Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia TP. HCM, đã có những ý
kiến thảo luận, góp ý có giá trị trong quá trình nghiên cứu tại Viện nghiên
cứu Cao cấp về Toán.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn các thành viên trong gia đình, những ng-ời

đã đồng cảm, chia sẻ, động viên, cổ vũ và là động lực thúc đẩy tôi hoàn
thành việc học tập và nghiên cứu của mình. Tôi xin cảm ơn những ng-ời
bạn và đồng nghiệp đã có sự quan tâm, động viên tôi v-ợt qua những khó
khăn để hoàn thành luận án này.
3

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Page 3


4 of 128.

Mục lục

1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Ch-ơng 1. Kiến thức chuẩn bị.
Các ký hiệu và khái niệm cơ bản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Môđun nội xạ và một số lớp môđun mở rộng của nó. . . . . . . . .
Môđun xạ ảnh và một số lớp môđun mở rộng của nó. . . . . . . . .
Môđun và vành Artin, Nơte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vành tựa Frobenius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15
18
21
25
28

Ch-ơng 2. Môđun và vành giả c+ -nội xạ.
2.1. Môđun giả c-nội xạ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2. Môđun giả c+ -nội xạ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Ch-ơng 3. Một số tr-ờng hợp mở rộng của môđun xạ ảnh.
3.1. Môđun nâng cốt yếu và môđun có phần phụ cốt yếu. . . . . . . . . 58
3.2. Môđun địa ph-ơng cốt yếu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3. Môđun thỏa mãn điều kiện dây chuyền trên các môđun con
bé cốt yếu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Kết luận và kiến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Danh mục các công trình của tác giả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Tài liệu tham khảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Page 4


5 of 128.

Bảng các ký hiệu và viết tắt

Z
N
A B (A < B)

A max B
A B
A e B
A
B
A B
A eB
A
=B
AB
ACC (DCC)
E(M), Soc(M)
End(M)
u. dim(M)
HomR (M, N )
Im(f ), Ker(f )
M (I)
MI
MR (R M)
Rad(M), J (R)
(M)
Rade (M)
Z(M)

:
:
:
:
:
:

:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:

Vành các số nguyên
Tập các số tự nhiên
A là môđun con (t.-., con thực sự) của B
A là môđun con cực đại của B
A là hạng tử trực tiếp của B
A là môđun con cốt yếu của B
A là môđun con bé (đối cốt yếu) của B
A là môđun con -bé của B
A là môđun con bé cốt yếu của B
A đẳng cấu với B
Tổng trực tiếp của môđun A và môđun B

Điều kiện dây chuyền tăng (t.-., giảm)
Bao nội xạ, đế của môđun M (t-ơng ứng)
Vành các tự đồng cấu của môđun M
Chiều Goldie (chiều đều) của môđun M
Nhóm các R-đồng cấu từ M vào N
ảnh, hạt nhân của đồng cấu f (t-ơng ứng)
iI M (tổng trực tiếp của I bản sao của M)
iI M (tích trực tiếp của I bản sao của M)
M là một R-môđun phải (t.-., trái)
Căn của môđun M, căn của vành R (t-ơng ứng)
Tổng các môđun con -bé của M
Tổng các môđun con bé cốt yếu của M
Môđun con suy biến của môđun M

5

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Page 5


6 of 128.

Mở đầu
Trong luận án này, R đ-ợc dùng để ký hiệu cho vành kết hợp có đơn
vị 1 = 0 và mọi R-môđun là môđun unita. Với vành R đã cho, ta viết MR
(t.-., R M) để chỉ M là một R-môđun phải (t.-., trái), khi không sợ nhầm
lẫn về phía của môđun, ta viết gọn là môđun M thay cho MR.
Nh- chúng ta đã biết, vành tựa Frobenius (th-ờng đ-ợc viết tắt là vành
QF) là vành tự nội xạ hai phía và Artin hai phía. Việc nghiên cứu loại vành
này xuất phát từ lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn. Những năm đầu của
thế kỷ XX, G. Frobenius và một số tác giả khác nh- R. Brauer, C. Nesbitt,

T. Nakayama bắt đầu nghiên cứu về đại số Frobenius, các kết quả liên quan
đã đ-ợc công bố trong những năm cuối của thập niên 30 và đầu của thập
niên 40. Khái niệm vành tựa Frobenius đ-ợc T. Nakayama giới thiệu vào
năm 1939. Các tác giả C. Faith và E. A. Walker đã chỉ ra một đặc tr-ng
quan trọng của các môđun trên vành QF: vành R là QF khi và chỉ khi mọi
R-môđun phải (hoặc trái) nội xạ là xạ ảnh, khi và chỉ khi mọi R-môđun
phải (hoặc trái) xạ ảnh là nội xạ. Tuy nhiên, đặc tr-ng tự nội xạ hai phía và
Artin hai phía đ-ợc nêu ở trên là khá mạnh, chính vì vậy nhiều tác giả đã
tìm cách giảm nhẹ các điều kiện này để đặc tr-ng cho vành QF.
Năm 1951, điều kiện tự nội xạ hai phía và Artin hai phía đ-ợc M. Ikeda
giảm nhẹ trở thành điều kiện tự nội xạ một phía và Artin một phía. Sau
đó, năm 1965, Y. Utumi đã đặc tr-ng vành QF bởi điều kiện liên tục hai
phía và Artin hai phía. Năm 1966, C. Faith đã đ-a ra điều kiện giảm nhẹ so
với kết quả của M. Ikeda, đó là điều kiện tự nội xạ một phía và thỏa mãn
điều kiện ACC trên các linh hóa tử trái (hoặc phải). Đồng thời, B. Osofsky,
W. K. Nicholson và M. F. Yousif cũng đã đặc tr-ng vành này thông qua
vành hoàn chỉnh, đó là điều kiện tự nội xạ hai phía (hoặc nội xạ đơn hai
phía) và hoàn chỉnh trái. Năm 1994, W. K. Nicholson và M. F. Yousif đã
6

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Page 6


7 of 128.

mở rộng kết quả của Y. Utumi và của C. Faith với điều kiện đủ là vành liên
tục phải, min-CS trái và thỏa mãn điều kiện ACC trên các linh hóa tử phải.
Ngoài ra, nhiều tác giả khác cũng đã nghiên cứu và tìm cách đặc tr-ng vành
tựa Frobenius theo các h-ớng mở rộng khác, chẳng hạn nh-, J. Clark và
D. V. Huynh ([9]); C. Faith và D. V. Huynh ([16], ... Tuy nhiên, cho đến

nay một giả thuyết của C. Faith, vành tự nội xạ phải và hoàn chỉnh trái
hoặc phải là vành QF, vẫn ch-a có câu trả lời. Giả thuyết này vẫn còn mở
đối với vành nửa nguyên sơ.
Việc nghiên cứu mở rộng đặc tr-ng của vành QF chủ yếu tập trung theo
hai h-ớng, một là giảm nhẹ điều kiện tự nội xạ hoặc hai là giảm nhẹ điều
kiện Artin. Trong đề tài này, chúng tôi vẫn lấy đặc tr-ng của vành QF làm
nền. Định lý Faith-Walker chỉ ra một đặc tr-ng quan trọng của vành QF đó
là, vành R là QF khi và chỉ khi mọi R-môđun phải (hoặc trái) nội xạ là xạ
ảnh, khi và chỉ khi mọi R-môđun phải (hoặc trái) xạ ảnh là nội xạ. Chính
vì vậy, các tr-ờng hợp mở rộng của môđun nội xạ và xạ ảnh đ-ợc xem xét
đến. Cụ thể, trong Ch-ơng 2, chúng tôi nghiên cứu các lớp mở rộng của
môđun nội xạ và trong Ch-ơng 3 là các lớp mở rộng của môđun xạ ảnh.
Đồng thời, việc nghiên cứu đặc tr-ng của vành QF thông qua các lớp vành
mở rộng của vành tự nội xạ và vành Artin nh- đã nêu ở trên là một h-ớng
nghiên cứu đ-ợc nhiều tác giả quan tâm nhằm tìm câu trả lời cho giả thuyết
của C. Faith. Từ việc nghiên cứu các lớp mở rộng của môđun nội xạ, chúng
tôi tìm đặc tr-ng của vành QF thông qua các lớp vành đó, đồng thời, từ việc
nghiên cứu các lớp mở rộng của môđun xạ ảnh, chúng tôi tìm đặc tr-ng của
vành QF thông qua đặc tr-ng của vành Artin, vành hoàn chỉnh, vành nửa
hoàn chỉnh,...
Cấu trúc của Luận án gồm có 3 ch-ơng. Ch-ơng 1 trình bày về các
kiến thức chuẩn bị, Ch-ơng 2 trình bày các kết quả liên quan đến môđun
giả c-nội xạ và giả c+ -nội xạ, Ch-ơng 3 trình bày các kết quả về môđun
7

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Page 7


8 of 128.

nâng cốt yếu, môđun có phần phụ cốt yếu và môđun địa ph-ơng cốt yếu.
Từ việc khảo sát các lớp môđun trên, ở Ch-ơng 2, chúng tôi đ-a ra các đặc
tr-ng của vành QF thông qua vành giả c+ -nội xạ và ở Ch-ơng 3 là các đặc
tr-ng của môđun và vành Artin thông qua môđun có phần phụ cốt yếu và
điều kiện dây chuyền trên các môđun con bé cốt yếu.
Khái niệm về môđun nội xạ bắt đầu xuất hiện trong danh mục các công
trình nghiên cứu về nhóm aben. Năm 1935, Zippin chỉ ra rằng, một nhóm
aben là chia đ-ợc khi và chỉ khi nó là hạng tử trực tiếp của mọi nhóm lớn
hơn, chứa nó nh- là một nhóm con. Khái niệm môđun nội xạ đ-ợc R. Baer
nghiên cứu đầu tiên vào năm 1940. Những năm sau đó, khái niệm này và
các khái niệm mở rộng của nó đã nhận đ-ợc sự quan tâm nghiên cứu của
nhiều nhà Toán học trên thế giới. Năm 1961, R. E. Jonhson và E. T. Wong
([27]) đã giới thiệu khái niệm môđun tựa nội xạ. Đây là một lớp môđun mở
rộng của lớp môđun nội xạ. Nhiều đặc tr-ng của môđun tựa nội xạ và vành
tự nội xạ cũng đã đ-ợc chỉ ra.
Một lớp môđun mở rộng của lớp tựa nội xạ đ-ợc S. Singh và S. K. Jain
([39]) đ-a ra vào năm 1967, đó là lớp môđun giả nội xạ. Môđun M đ-ợc
gọi là giả nội xạ nếu với mọi môđun con A của M, với mỗi đơn cấu từ A vào
M, đều mở rộng đ-ợc đến đồng cấu từ M vào M. Các tác giả R. R. Hallett
([21]), S. K. Jain, S. Singh ([26]) và M. L. Teply ([40]) đã đ-a ra các ví dụ
chứng tỏ rằng lớp môđun này là mở rộng thực sự của lớp môđun tựa nội xạ.
Sau đó, nhiều tác giả khác cũng đã tiếp tục nghiên cứu về lớp môđun này
và lớp vành t-ơng ứng, chẳng hạn, A. K. Tiwary và B. M. Padeya ([45]),
T. Wakamatsu ([48]), P. C. Bharadwaj và A. K. Tiwary ([6]), H.Q. Dinh
([12]), ...
Năm 1982, M. Harada ([22]) đ-a ra khái niệm môđun GQ-nội xạ. Môđun
M đ-ợc gọi là GQ-nội xạ nếu với mọi môđun con A đẳng cấu với môđun
8

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Page 8

9 of 128.

con đóng của M, với mỗi đồng cấu từ A vào M đều mở rộng đ-ợc đến
đồng cấu từ M vào M. Sau đó, C. S. Clara và P. F. Smith ([11]) đ-a ra khái
niệm môđun tựa c-nội xạ. Môđun N đ-ợc gọi là tựa c-nội xạ nếu với mỗi
môđun con đóng A của M và mỗi đồng cấu từ A vào M đều có thể mở
rộng đến đồng cấu từ M vào M.
Ngoài ra, các lớp mở rộng khác nh- môđun liên tục, tựa liên tục, CS,...
cũng đ-ợc nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu, chẳng hạn, Y. Utumi ([47]);
S. K. Jain, S. H. Mohamed ([24]), S. K. Jain, B. J. Muller ([25]); K. Oshiro
([35], [36]); M. Harada ([22]), L. V. Thuyet, T. C. Quynh ([42]); L. V. Thuyet
và N. Chien ([10]);...
Theo h-ớng mở rộng trên, chúng tôi đ-a ra các khái niệm mở rộng của
môđun nội xạ, đó là môđun giả c-nội xạ và giả c+ -nội xạ. Môđun M đ-ợc
gọi là giả c-nội xạ (t.-., giả c+ -nội xạ) nếu với mọi môđun con A của M,
A đóng trong M (t.-., A đẳng cấu với môđun con đóng của M), với mỗi
đơn cấu từ A vào M đều mở rộng đ-ợc đến đồng cấu từ M vào M. Các
kết quả liên quan đã đ-ợc công bố trong các bài báo [2], [37], [44] và đ-ợc
trình bày trong Ch-ơng 2 của luận án. Chúng tôi chứng minh đ-ợc rằng,
lớp môđun giả c+ -nội xạ là lớp môđun mở rộng thực sự của các lớp môđun
giả nội xạ và lớp môđun liên tục. Đồng thời, lớp môđun giả c+ -nội xạ là
lớp con thực sự của lớp môđun giả c-nội xạ và lớp môđun thỏa mãn điều
kiện C2. Hơn nữa, một số điều kiện đủ để môđun giả c+ -nội xạ là môđun
liên tục hoặc tựa nội xạ cũng đã đ-ợc chỉ ra.
Một tính chất quan trọng của lớp môđun giả c+ -nội xạ đó là tính nội xạ
t-ơng hỗ của các hạng tử trực tiếp của chúng. Trong [32], S. H. Mohamed
và B. J. Muller đã chỉ ra rằng nếu M N là môđun liên tục thì M là N -nội
xạ. Tác giả H. Q. Dinh ([12]) cũng đã chứng minh đ-ợc kết quả t-ơng tự

đối với tr-ờng hợp M N là giả nội xạ. Kết quả trên vẫn đúng đối với
9

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Page 9


10 of 128.

môđun giả c+ -nội xạ, tuy nhiên các ph-ơng pháp chứng minh của các tác
giả trên không áp dụng đ-ợc đối với tr-ờng hợp này:
Định lý 2.2.11. Nếu M N là giả c+ -nội xạ thì M là N -nội xạ.
Tính chất quan trọng tiếp theo của lớp môđun giả c+ -nội xạ đó là chính
quy của vành th-ơng của vành các tự đồng cấu của chúng. Đây là kết quả
mở rộng kết quả đối với môđun liên tục của Y. Utumi:
Định lý 2.2.21. Cho M là môđun giả c+ -nội xạ và S = End(M). Khi
đó S/J (S) là vành chính quy Von Neumann và J (S) = (S) = {s
S| Ker s e M}.
Từ đó, chúng tôi đ-a ra các đặc tr-ng của vành tựa Frobenius. Định lý
Faith-Walker chỉ ra rằng, nếu mọi R-môđun phải xạ ảnh là nội xạ thì R là
vành tựa Frobenius. Ngoài ra, C. Faith ([16]) cũng đã chứng minh rằng nếu
(N)
RR là nội xạ (nghĩa là R là -nội xạ đếm đ-ợc phải) thì R là vành tựa
Frobenius. Trong [23], tác giả D. V. Huynh cũng đã chứng minh rằng, nếu
R là vành tựa liên tục phải, -CS đếm đ-ợc phải và nửa hoàn chỉnh thì R
là vành tựa Frobenius. Chúng tôi đặc tr-ng vành tựa Frobenius thông qua
vành giả c+ -nội xạ và giảm nhẹ điều kiện trong định lý Faith-Walker và kết
quả của C. Faith ([16]):
Định lý 2.2.20. Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng đối với vành R:
(1) R là tựa Frobenius;
(2) Mỗi R-môđun phải xạ ảnh là giả c+ -nội xạ;

(N)

(3) RR là giả c+ -nội xạ;
(4) R là -CS đếm đ-ợc phải với chiều Goldie hữu hạn và là giả c+ -nội
xạ phải.
10

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Page 10


11 of 128.

Một đặc tr-ng khác của vành tựa Frobenius đ-ợc W. K. Nicholson và
M. F. Yousif chứng minh trong [34], vành R là tựa Frobenius khi và chỉ khi
R là vành liên tục phải, min-CS trái và thoả mãn điều kiện ACC trên các
linh hoá tử phải. Chúng tôi giảm nhẹ điều kiện vành liên tục phải bởi điều
kiện giả c+ -nội xạ phải và thêm điều kiện min-CS phải trong kết quả của
hai tác giả trên. Cụ thể:
Định lý 2.2.33. Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng đối với vành R:
(1) R là tựa Frobenius;
(2) R là giả c+ -nội xạ phải, min-CS hai phía và thoả mãn điều kiện ACC
trên các linh hoá tử phải.
Kết quả trong Ch-ơng 2 cũng chỉ ra rằng, nếu R là vành giả c+ -nội xạ
phải và CS phải thì R là vành liên tục phải. Tuy nhiên, chúng tôi ch-a có
câu trả lời cho câu hỏi "vành giả c+ -nội xạ phải và min-CS phải có là vành
liên tục phải hay không?". Ngoài các kết quả trên, chúng tôi đ-a ra các đặc
tr-ng của vành Artin nửa đơn thông qua môđun giả c-nội xạ và giả c+ -nội
xạ. Vành R là Artin nửa đơn khi và chỉ khi mọi R-môđun phải giả c-nội
xạ là nội xạ, khi và chỉ khi mọi R-môđun phải có hệ sinh đếm đ-ợc là giả
c+ -nội xạ. Đây là kết quả mở rộng kết quả của B. Osofsky "vành R là Artin

nửa đơn khi và chỉ khi mọi R-môđun phải hữu hạn sinh là nội xạ".
Nh- đã nêu ở trên, một đặc tr-ng quan trọng của vành QF là mọi môđun
nội xạ là xạ ảnh và mọi môđun xạ ảnh là nội xạ. Vì vậy, ta xét đến khái
niệm đối ngẫu của môđun nội xạ, đó là môđun xạ ảnh. Khái niệm này đ-ợc
H. Cartan và S. Eilenberg đ-a ra vào năm 1956. Sau đó, các khái niệm mở
rộng của nó cũng đã đ-ợc các tác giả khác nghiên cứu, chẳng hạn, môđun
tựa xạ ảnh, môđun rời rạc, môđun tựa rời rạc, môđun thỏa mãn điều kiện
D1, D2, D3, ... Môđun con N của M đ-ợc gọi là bé trong M, ký hiệu là
N
M, nếu N + L = M thì L = M. Môđun P đ-ợc gọi là phủ xạ ảnh
11

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Page 11


12 of 128.

của môđun M nếu P là xạ ảnh và tồn tại toàn cấu f : P M sao cho
Ker f
P . Ta biết rằng không phải mọi môđun đều có phủ xạ ảnh, vì vậy,
H. Bass ([5]) đã gọi vành R là hoàn chỉnh phải nếu mọi R-môđun phải đều
có phủ xạ ảnh. Nếu mọi R-môđun phải hữu hạn sinh đều có phủ xạ ảnh thì
vành R đ-ợc gọi là vành nửa hoàn chỉnh. Sau đó, năm 1966, F. Kasch và
E. A. Mares ([28]) đã chuyển khái niệm này sang môđun và đặc tr-ng vành
hoàn chỉnh, nửa hoàn chỉnh thông qua môđun có phần phụ (supplemented).
M đ-ợc gọi là môđun có tính chất mọi môđun con đều có phần phụ, đ-ợc
gọi tắt là môđun có phần phụ, nếu mọi môđun con N của M, tồn tại L sao
cho N + L = M và N L
L. Các tác giả trong [28] đã chỉ ra rằng vành
R là hoàn chỉnh phải (t.-., nửa hoàn chỉnh) nếu mọi R-môđun (t.-., hữu hạn

sinh) là môđun có phần phụ, đồng thời vành R là nửa hoàn chỉnh nếu và
chỉ nếu RR là môđun có phần phụ. Ngoài ra, I. Al-Khazzi và P. F. Smith
([3]) đã chứng minh rằng, môđun M là Artin khi và chỉ khi M là môđun
có phần phụ và thỏa mãn điều kiện DCC trên các môđun con phần phụ và
môđun con bé.
Mở rộng khái niệm môđun con bé, trong [51], Y. Zhou giới thiệu khái
niệm môđun con -bé. Môđun con N của M đ-ợc gọi là -bé trong M, ký
hiệu là N M, nếu N + L = M với M/L suy biến thì L = M. Từ đó tác
giả này cũng đã đ-a ra tr-ờng hợp mở rộng của vành hoàn chỉnh (t.-. nửa
hoàn chỉnh) đó là vành -hoàn chỉnh (t.-., -nửa hoàn chỉnh). Sau đó, năm
2007, M. T. Kosan ([29]) đã đ-a ra khái niệm môđun -nâng (-lifting) và
môđun có -phần phụ (-supplemented), đồng thời đặc tr-ng vành -hoàn
chỉnh, -nửa hoàn chỉnh thông qua các lớp môđun này. Cụ thể, vành R là
-hoàn chỉnh phải (t.-., -nửa hoàn chỉnh) khi và chỉ khi mọi R-môđun phải
(t.-., hữu hạn sinh) xạ ảnh là -nâng, khi và chỉ khi mọi R-môđun phải (t.-.,
hữu hạn sinh) xạ ảnh là môđun có -phần phụ. Trong [49], Y. Wang tiếp tục
khảo sát về lớp môđun có -phần phụ, đồng thời chứng minh rằng môđun
12

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Page 12


13 of 128.

M là Artin khi và chỉ khi M là môđun có -phần phụ nhiều và thỏa mãn
điều kiện DCC trên các môđun con -phần phụ và môđun con -bé. Một lớp
con của lớp môđun có -phần phụ cũng đã đ-ợc các tác giả E. Buyukasik
và C. Lomp ([7]) khảo sát, đó là lớp môđun -địa ph-ơng. Đồng thời các
tác giả trong [7] đã đ-a ra các điều kiện đủ để một môđun có -phần phụ là
môđun có phần phụ, vành -nửa hoàn chỉnh là nửa hoàn chỉnh. Năm 2013,

R. Tribak ([46]) tiếp tục khảo sát lớp môđun -địa ph-ơng và cũng đã đặc
tr-ng vành -nửa hoàn chỉnh, vành nửa hoàn chỉnh thông qua lớp môđun
này.
Năm 2011, D. X. Zhou và X. R. Zhang ([53]) đã đ-a ra khái niệm mở
rộng khái niệm môđun con -bé, đó là môđun con bé cốt yếu (essentially
small). Môđun con N của M đ-ợc gọi là bé cốt yếu trong M, ký hiệu là
e
N
e M, nếu N + L = M với L M thì L = M. Theo đó, chúng
tôi đ-a ra khái niệm môđun có phần phụ cốt yếu. Môđun M đ-ợc gọi là
có phần phụ cốt yếu nếu mọi môđun con N của M, tồn tại môđun con L
sao cho M = N + L và N L e L. Các lớp con của lớp môđun có
phần phụ cốt yếu cũng đã đ-ợc đề xuất và khảo sát, đó là các lớp môđun
nâng cốt yếu, địa ph-ơng cốt yếu. Môđun M đ-ợc gọi là nâng cốt yếu
nếu với mỗi môđun con N của M, tồn tại sự phân tích M = A B sao
cho A N và N B e M. Môđun M đ-ợc gọi là địa ph-ơng cốt yếu
nếu Rade (M) = {N M|N e M} là môđun con cực đại và bé cốt
yếu trong M. Các kết quả liên quan đã đ-ợc công bố trong bài báo [38],
một phần trong bài báo [43] và đ-ợc trình bày trong Ch-ơng 3 của luận án.
Chúng tôi đã khảo sát các tính chất đồng điều của các lớp môđun trên và chỉ
ra mối liên hệ của chúng với các lớp môđun -nâng, môđun có -phần phụ,
môđun -địa ph-ơng và môđun địa ph-ơng. Cụ thể, lớp môđun nâng cốt yếu
(t.-., môđun có phần phụ cốt yếu) là các lớp mở rộng của lớp môđun -nâng
(t.-., môđun có -phần phụ). Hơn nữa, lớp môđun nâng cốt yếu là mở rộng
13

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Page 13


14 of 128.

thực sự của lớp môđun -nâng, lớp môđun địa ph-ơng cốt yếu chứa lớp các
môđun địa ph-ơng mà không là môđun đơn. Bên cạnh đó, chúng tôi chứng
minh đ-ợc rằng, tổng trực tiếp của một môđun địa ph-ơng cốt yếu với một
môđun nửa đơn là môđun địa ph-ơng cốt yếu và môđun địa ph-ơng cốt yếu
là tổng trực tiếp của một môđun cyclic, địa ph-ơng cốt yếu với một môđun
nửa đơn. Một đặc tr-ng quan trọng của môđun địa ph-ơng cốt yếu M đó
là M có duy nhất một môđun con cốt yếu cực đại và mỗi môđun con thực
sự, cốt yếu trong M chứa trong một môđun con cực đại. Cụ thể:
Định lý 3.2.10. Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng đối với môđun M:
(1) M là môđun địa ph-ơng cốt yếu;
(2) Rade (M) là môđun con cực đại của M và mỗi môđun con thực sự, cốt
yếu trong M chứa trong một môđun con cực đại;
(3) M có duy nhất một môđun con cốt yếu cực đại và mỗi môđun con thực
sự, cốt yếu trong M chứa trong một môđun con cực đại.
Từ tính nửa đơn của môđun M/ Rade (M), trong đó M là môđun có
phần phụ cốt yếu và đặc tr-ng Artin của môđun Rade (M) thông qua điều
kiện dây chuyền trên các môđun con bé cốt yếu, chúng tôi chỉ ra một đặc
tr-ng Artin của môđun M:
Định lý 3.3.7. Cho M là một môđun. Khi đó M là Artin khi và chỉ khi M
là môđun có phần phụ cốt yếu nhiều và thỏa mãn điều kiện DCC trên các
môđun con phần phụ cốt yếu và môđun con bé cốt yếu.
Ngoài ra, một số điều kiện đủ để một môđun là môđun có phần phụ cốt
yếu nhiều (amply e-supplemented) cũng đã đ-ợc chỉ ra. Chẳng hạn, môđun
có phần phụ cốt yếu và -xạ ảnh là môđun có phần phụ cốt yếu nhiều;
môđun M hữu hạn sinh và mọi môđun con cyclic của M là môđun có phần
phụ thì M là môđun có phần phụ cốt yếu nhiều;...
14

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Page 14

15 of 128.

Ch-ơng 1
Kiến thức chuẩn bị

1.1

Các ký hiệu và khái niệm cơ bản.

Cho N là môđun con của M. Môđun con N đ-ợc gọi là cốt yếu (hay
môđun con lớn) trong M, ký hiệu là N e M, nếu N A = 0 với mọi
môđun con A khác không của M. Môđun con K của M đ-ợc gọi là đóng
trong M nếu K không có mở rộng cốt yếu thực sự, nghĩa là, nếu L là một
môđun con của M sao cho K e L thì K = L. Môđun con H của M
đ-ợc gọi là phần bù của N trong M nếu H là môđun con lớn nhất trong
các môđun con Q của M thoả mãn tính chất Q N = 0 ([13, 1.10]). Sau
đây là một số tính chất của môđun con đóng:
Bổ đề 1.1.1 ([13, 1.10]). Cho L, K, N là các môđun con của môđun M và
K L. Khi đó ta có:
(1) Tồn tại môđun con đóng H của M sao cho N e H.
(2) Môđun con K đóng trong M khi và chỉ khi với Q e M, K Q thì
Q/K e M/K.
(3) Nếu L đóng trong M thì L/K đóng trong M/K.
(4) Nếu K đóng trong L và L đóng trong M thì K đóng trong M.
(5) Giả sử N là phần bù của K. Khi đó K đóng trong M khi và chỉ khi
K là phần bù của N trong M.
Môđun con N của M đ-ợc gọi là bé (hay đối cốt yếu) trong M nếu với
mọi L M, N + L = M thì L = M. Môđun con N của M đ-ợc gọi là

15

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Page 15


16 of 128.

môđun con cực tiểu nếu N = 0 và N không chứa thực sự bất kỳ môđun con
khác không nào của M. Môđun con L của M đ-ợc gọi là môđun con cực
đại nếu L = M và L không thực sự chứa trong bất kỳ môđun con thực sự
nào của M.
Môđun con Rad(M) =
{N M|N
M} đ-ợc gọi là căn của
môđun M. Đế của môđun M đ-ợc ký hiệu là Soc(M) và đ-ợc xác định
bởi Soc(M) = {N M|N e M}. Đối với vành R, ta có Rad(RR) =
Rad(R R), vì vậy căn của vành R đ-ợc ký hiệu là J (R) = Rad(RR ).
Với R-môđun M cho tr-ớc và X M, linh hoá tử phải của X trong
R đ-ợc ký hiệu là rR (X) và đ-ợc xác định bởi rR (X) = {r R| xr =
0 với mọi x X}. Linh hoá tử trái đ-ợc định nghĩa hoàn toàn t-ơng
tự và ký hiệu là lR (X). Nếu không sợ nhầm lẫn về vành R, linh hoá
tử phải và trái của X trong R có thể viết gọn là r(X), l(X). Ký hiệu
Z(M) = {m M|rR (m) e R} là môđun con suy biến của M, nếu
M = Z(M) thì M đ-ợc gọi là môđun suy biến. Nếu Z(M) = 0 thì M
đ-ợc gọi là môđun không suy biến.
Môđun M khác không đ-ợc gọi là đều (uniform) nếu bất kỳ hai môđun
con khác không của M đều có giao khác không, nghĩa là mọi môđun con
khác không đều cốt yếu trong M. Môđun M đ-ợc gọi là có chiều đều (hay
chiều Goldie) là n, ký hiệu là u. dim M = n, nếu tồn tại môđun con V cốt
yếu trong M sao cho V là tổng trực tiếp của n môđun con đều. Ng-ợc lại,

ta viết u.dim M = . Môđun M đ-ợc gọi là không phân tích đ-ợc nếu M
là môđun khác không và M không là tổng trực tiếp của các môđun con khác
không. Môđun M khác không đ-ợc gọi là đơn nếu M chỉ có hai môđun
con tầm th-ờng là 0 và M. Môđun M đ-ợc gọi là nửa đơn nếu M là tổng
trực tiếp của các môđun đơn.
Định nghĩa 1.1.1. Cho L là tập các môđun con nào đó của môđun M.
16

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Page 16


17 of 128.

i) Tập L đ-ợc gọi là thoả mãn điều kiện dây chuyền tăng (ACC) nếu
với mọi dãy L1 L2 ã ã ã Ln . . . trong L, tồn tại n N sao cho
Ln+i = Ln (i = 1, 2, ...).
ii) Tập L đ-ợc gọi là thoả mãn điều kiện dây chuyền giảm (DCC) nếu
với mọi dãy L1 L2 ã ã ã Ln . . . trong L, tồn tại n N sao cho
Ln+i = Ln (i = 1, 2, ...).
Cho I là iđêan của vành R. Nếu với mọi lũy đẳng f của vành th-ơng
R/I tồn tại luỹ đẳng e của vành R sao cho e f I thì ta gọi các lũy đẳng
nâng đ-ợc modulo I.
Định nghĩa 1.1.2. Phần tử a của vành R đ-ợc gọi là chính quy nếu tồn
tại phần tử x R sao cho axa = a. Vành R đ-ợc gọi là chính quy Von
Neumann nếu mọi phần tử của R là chính quy. Vành R đ-ợc gọi là nửa
chính quy nếu R/J (R) là vành chính quy Von Neumann và các luỹ đẳng
nâng đ-ợc modulo J (R).
Tập con I của R đ-ợc gọi là T -lũy linh trái (t.-., phải) nếu mọi dãy
a1 , a2, ... trong I, tồn tại n sao cho a1.a2 ....an = 0 (t. -., an .....a2 .a1 = 0).
I đ-ợc gọi là lũy linh nếu tồn tại n N sao cho I n = 0.

Định nghĩa 1.1.3. Vành R đ-ợc gọi là nửa nguyên sơ nếu R/J (R) là nửa
đơn và J (R) là lũy linh. Vành R đ-ợc gọi là nửa hoàn chỉnh nếu R/J (R)
là nửa đơn và các lũy đẳng nâng đ-ợc modulo J (R). Vành R đ-ợc gọi là
hoàn chỉnh trái (t.-., phải) nếu R/J (R) là nửa đơn và J (R) là T -lũy linh
trái (t.-., phải).
Theo định nghĩa, vành nửa nguyên sơ là vành hoàn chỉnh trái hoặc phải.
Vành hoàn chỉnh trái hoặc phải là vành nửa hoàn chỉnh.

17

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Page 17


18 of 128.

1.2

Môđun nội xạ và một số lớp môđun mở rộng của nó.

Định nghĩa 1.2.1. Cho M, N là các R-môđun. M đ-ợc gọi là N -nội xạ nếu
với mọi môđun con A của N , với mỗi đồng cấu từ f : A M, tồn tại mở
rộng của f từ N vào M. Môđun M đ-ợc gọi là nội xạ nếu M là N nội xạ
với mọi môđun N . Môđun M đ-ợc gọi là tựa nội xạ nếu M là M-nội xạ.
Vành R đ-ợc gọi là tự nội xạ phải (t.-., trái) nếu RR (t.-., R R) là môđun
tựa nội xạ.
Định lý 1.2.1 (Tiêu chuẩn Baer). Môđun M là nội xạ khi và chỉ khi với mọi
iđêan phải I của R và đồng cấu : I M, tồn tại đồng cấu f : RR M
là mở rộng của .
Theo định nghĩa, môđun M là nội xạ nếu M là N -nội xạ với mọi môđun
N . Tiêu chuẩn Baer chỉ ra rằng, R-môđun M là nội xạ khi và chỉ khi M là

R-nội xạ. Hơn nữa, khái niệm vành nội xạ và vành tự nội xạ là trùng nhau.
Sau đây là một số khái niệm mở rộng của môđun nội xạ:
Định nghĩa 1.2.2 ([39]). Cho M và N là hai R-môđun. M đ-ợc gọi là giả
N -nội xạ nếu với mọi môđun con A của N , với mỗi đơn cấu từ A vào M,
đều mở rộng đ-ợc đến đồng cấu từ N vào M. Môđun M đ-ợc gọi là giả
nội xạ nếu M là giả M-nội xạ.
Định nghĩa 1.2.3 ([32]). Cho M là R-môđun.
i) M đ-ợc gọi là thoả mãn điều kiện C1 (hay M là môđun CS) nếu mỗi
môđun con A của M, A cốt yếu trong hạng tử trực tiếp của M.
ii) M đ-ợc gọi là thoả mãn điều kiện C2 nếu mỗi môđun con đẳng cấu
với hạng tử trực tiếp của M là hạng tử trực tiếp của M.
iii) M đ-ợc gọi là thoả mãn điều kiện C3 nếu với A, B là hai hạng tử
18

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Page 18


19 of 128.

trực tiếp của M, A B = 0 thì A B là hạng tử trực tiếp của M.
iv) M đ-ợc gọi là liên tục (t.-., tựa liên tục) nếu M là CS và thoả điều
kiện C2 (t.-., C3).
Từ định nghĩa ta thấy, nếu môđun M là tựa nội xạ thì M là giả nội xạ.
Các tác giả R. R. Hallett ([21]), K. S. Jain, S. Singh ([26]) và M. L. Teply
([40]) đã chỉ ra rằng, lớp môđun giả nội xạ là mở rộng thực sự của lớp
môđun tựa nội xạ. Trong [12], Q. H. Dinh đã chứng minh rằng lớp môđun
giả nội xạ là lớp con của lớp các môđun thỏa mãn điều kiện C2.
Định lý 1.2.2 ([12, Theorem 2.6]). Nếu M là giả nội xạ thì M thoả mãn
điều kiện C2.
Mối quan hệ giữa môđun nội xạ và các tr-ờng hợp mở rộng của nó đ-ợc

thể hiện qua sơ đồ sau:
Nội xạ



tựa nội xạ

giả nội xạ




liên tục

C2




tựa liên tục

C3

C1

Ngoài các lớp môđun trên, các lớp môđun sau cũng là các tr-ờng hợp
mở rộng của môđun nội xạ:
Định nghĩa 1.2.4. Cho M, N là các R-môđun.
i) Môđun M đ-ợc gọi là N -nội xạ đơn nếu với mọi môđun con A của
N , với mỗi đồng cấu f : A M sao cho f (A) là môđun con đơn, tồn tại

đồng cấu từ N vào M là mở rộng của f . Vành R đ-ợc gọi là nội xạ đơn
phải (t.-., trái) nếu RR (t.-., R R) là R-nội xạ đơn ([34]).
ii) Môđun M đ-ợc gọi là GQ-nội xạ nếu với mọi môđun con A đẳng
19

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Page 19


20 of 128.

cấu với môđun con đóng của M, với mỗi đồng cấu từ A vào M đều mở
rộng đ-ợc đến đồng cấu từ M vào M ([22]).
iii) Môđun N đ-ợc gọi là M-c-nội xạ nếu với mỗi môđun con đóng A
của M và mỗi đồng cấu từ A vào N đều có thể mở rộng đến đồng cấu từ
M vào N . Môđun M đ-ợc gọi là c-nội xạ nếu M là N -c-nội xạ với mọi
môđun N . Môđun M đ-ợc gọi là tựa c-nội xạ nếu M là M-c-nội xạ ([11]).
Sau đây là tính nội xạ t-ơng hỗ của các hạng tử trực tiếp của môđun giả
nội xạ và môđun tựa liên tục:
Mệnh đề 1.2.3 ([12, Theorem 2.2]). Nếu M = K N là giả nội xạ thì K
là N -nội xạ.
Mệnh đề 1.2.4 ([32, Proposition 2.10]). Nếu M = K N là tựa liên tục
thì K là N -nội xạ.
Ta biết rằng, trong tr-ờng hợp tổng quát, tổng trực tiếp của các môđun
tựa nội xạ (t.-., tựa liên tục) ch-a hẳn là môđun tựa nội xạ (t.-., tựa liên tục).
Các định lý sau đây chỉ ra một điều kiện đủ để tổng trực tiếp các môđun
tựa nội xạ (t.-., tựa liên tục) là tựa nội xạ (t.-., tựa liên tục):
Mệnh đề 1.2.5 ([32, Corollary 1.19]). Môđun ni=1 Mi là tựa nội xạ khi và
chỉ khi Mi là Mj -nội xạ với mọi i, j = 1, 2, ..., n. Đặc biệt, M n là tựa nội
xạ khi và chỉ khi M là tựa nội xạ.
Định lý 1.2.6 ([32, Theorem 2.13]). Cho {Mi : i I} là họ các môđun tựa

liên tục. Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng:
(1) M = iI Mi là tựa liên tục;
(2) iI\j Mi là Mj -nội xạ.
20

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Page 20


21 of 128.

Đối với vành tự đồng cấu S của môđun liên tục M, tác giả Y. Utumi đã
chỉ ra rằng S/J (S) là vành chính quy Von Neumann và liên tục phải. Hơn
nữa, S là vành nửa chính quy:
Định lý 1.2.7 ([34, Theorem 1.25]). Cho M là R-môđun phải liên tục. Khi
đó
(1) S là nửa chính quy và J (S) = { S| Ker e M},
(2) S/J (S) là liên tục phải.

1.3

Môđun xạ ảnh và một số lớp môđun mở rộng của nó.

Định nghĩa 1.3.1 ([32]). Cho M, P là các R-môđun:
i) Môđun P đ-ợc gọi là M-xạ ảnh nếu với mọi môđun N và mọi toàn
cấu : M N , với mọi đồng cấu : P N , tồn tại đồng cấu f : P M
sao cho = f .
ii) Môđun P đ-ợc gọi là xạ ảnh nếu P là M-xạ ảnh với mọi môđun M.
Môđun P đ-ợc gọi là tựa xạ ảnh nếu P là P -xạ ảnh.
Sau đây là một số tính chất của môđun xạ ảnh:
Mệnh đề 1.3.1 ([32, Proposition 4.31]). Cho P là M-xạ ảnh. Nếu A M

thì P là A-xạ ảnh và M/A-xạ ảnh.
Mệnh đề 1.3.2 ([32, Lemma 4.32]). Cho P = iI Ai . Khi đó, P là M-xạ
ảnh khi và chỉ khi Ai là M-xạ ảnh với mọi i I.
Mệnh đề 1.3.3 ([32, Proposition 4.33]). Môđun P là (ni=1 Ai )-xạ ảnh (n
N) khi và chỉ khi P là Ai -xạ ảnh với mọi i = 1, 2, ..., n.
21

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Page 21


22 of 128.

Môđun M đ-ợc gọi là thoả mãn điều kiện D1 (hay M là môđun nâng)
nếu mỗi môđun con N của M, tồn tại sự phân tích M = A B sao cho
A N và N B
B. Môđun M đ-ợc gọi là thoả mãn điều kiện D2 nếu
mỗi môđun con N của M, M/N đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của M thì
N là hạng tử trực tiếp của M. Môđun M đ-ợc gọi là thoả mãn điều kiện
D3 nếu với A, B là hai hạng tử trực tiếp của M, A + B = M thì A B
là hạng tử trực tiếp của M. Môđun M đ-ợc gọi là rời rạc (t.-., tựa rời rạc)
nếu M thoả mãn điều kiện D1 và D2 (t.-., D1 và D3). Môđun con L đ-ợc
gọi là phần phụ của N M nếu L + N = M và N L
L. M đ-ợc
gọi là môđun có tính chất mọi môđun con đều có phần phụ (supplemented),
đ-ợc gọi tắt là môđun có phần phụ, nếu mọi môđun con N của M, tồn tại
L là phần phụ của N trong M.
Sơ đồ sau thể hiện mối quan hệ giữa lớp môđun xạ ảnh và một số lớp
môđun mở rộng khác:
Xạ ảnh

tựa xạ ảnh

rời rạc


D2
tựa rời rạc

D3
D1

có phần phụ

Nhận xét 1.3.2. Môđun tựa xạ ảnh ch-a hẳn là môđun rời rạc. Thật vậy,
xét Z-môđun Z. Khi đó, Z là môđun xạ ảnh và không thỏa mãn điều kiện
D1. Nh- vậy Z là môđun tựa xạ ảnh và không là rời rạc.
Mở rộng khái niệm môđun con bé, Y. Zhou đã đ-a ra khái niệm môđun
-bé và một số khái niệm liên quan. Môđun con N của M đ-ợc gọi là -bé
trong M, ký hiệu là N
M, nếu N + L = M với M/L suy biến thì
L = M. Môđun P đ-ợc gọi là -phủ xạ ảnh của môđun M nếu P là xạ
ảnh và tồn tại toàn cấu f : P M sao cho Ker f P . Vành R đ-ợc gọi
là -hoàn chỉnh (t.-., -nửa hoàn chỉnh) nếu mọi R-môđun (t.-., hữu hạn
sinh) đều có -phủ xạ ảnh ([52]). Sau đó, T. M. Kosan giới thiệu khái niệm
22

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Page 22

23 of 128.

môđun -nâng và môđun có -phần phụ, đồng thời đặc tr-ng vành -hoàn
chỉnh và -nửa hoàn chỉnh thông qua hai lớp môđun này:
Định nghĩa 1.3.3 ([29]). Cho M là R-môđun và N M.
i) Môđun con L đ-ợc gọi là -phần phụ của N trong M nếu M = N +L
và N L L.
ii) M đ-ợc gọi là môđun -nâng (-lifting) nếu với mỗi môđun con N
của M, tồn tại sự phân tích M = A B sao cho A N và B N M.
iii) Môđun M có tính chất mọi môđun con đều có -phần phụ, đ-ợc gọi
tắt là môđun có -phần phụ (-supplemented), nếu mọi môđun con N của
M tồn tại L M sao cho L là -phần phụ của N trong M.
Định lý 1.3.4 ([29, Theorem 1.1]). Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng đối
với vành R:
(1) R là -hoàn chỉnh (t.-., -nửa hoàn chỉnh);
(2) Mọi R-môđun (t.-., hữu hạn sinh) là có -phần phụ;
(3) Mọi R-môđun xạ ảnh (t.-., hữu hạn sinh và xạ ảnh) là có -phần phụ;
(4) Mọi R-môđun xạ ảnh (t.-., hữu hạn sinh và xạ ảnh) là -nâng.
Các tác giả trong [46] và [7] tiếp tục nghiên cứu lớp môđun có -phần
phụ và khảo sát các lớp con của nó, đó là các lớp môđun có -phần phụ
nhiều và môđun -địa ph-ơng. Từ đó, R. Tribak ([46]) chỉ ra một đặc tr-ng
của vành nửa hoàn chỉnh thông qua môđun -địa ph-ơng:
Định nghĩa 1.3.4. i) M đ-ợc gọi là môđun có -phần phụ nhiều (amply
-supplemented) nếu mỗi môđun con A, B của M sao cho A + B = M, tồn
tại -phần phụ P của A sao cho P B ([46]).
23

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Page 23

24 of 128.

ii) Môđun M đ-ợc gọi là -địa ph-ơng nếu (M) =
M} là môđun con cực đại của M và (M) M ([7]).

{N M|N



Mệnh đề 1.3.5 ([46, Proposition 2.3]). Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng
đối với vành R:
(1) R là nửa hoàn chỉnh;
(2) R/J (R) là nửa đơn, RR là tổng hữu hạn các môđun con đơn và -địa
ph-ơng.
Các lớp môđun -nâng và môđun có -phần phụ là các lớp mở rộng
thực sự của môđun nâng và môđun có phần phụ (t-ơng ứng). Tuy nhiên,
trong [7], các tác giả đã chỉ ra các ví dụ chứng tỏ hai lớp môđun địa ph-ơng
và môđun -địa ph-ơng là không chứa nhau. Sau đây là các đặc tr-ng của
môđun -địa ph-ơng:
Mệnh đề 1.3.6 ([46, Proposition 2.17]). Cho M = N K là một môđun.
Các khẳng định sau là t-ơng đ-ơng:
(1) M là -địa ph-ơng;
(2) a) N là -địa ph-ơng, K là nửa đơn và xạ ảnh, hoặc (b) K là -địa
ph-ơng, N là nửa đơn và xạ ảnh.
Mệnh đề 1.3.7 ([46, Proposition 2.19]). Cho M là một môđun. Khi đó,
các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng:
(1) M là -địa ph-ơng;
(2) M = L N sao cho L là môđun cyclic, -địa ph-ơng và N là nửa
đơn, xạ ảnh.

24

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Page 24


25 of 128.

Các đặc tr-ng Artin của môđun Rad(M) và (M) thông qua điều kiện
dây chuyền trên các môđun con bé và -bé đã đ-ợc I. Al-Khazzi, P. F. Smith
và Y. Wang chứng minh:
Định lý 1.3.8 ([3, Theorem 5]). Cho M là một môđun. Khi đó Rad(M) là
Artin khi và chỉ khi M thỏa mãn điều kiện DCC trên các môđun con bé.
Định lý 1.3.9 ([50, Theorem 2.5]). Cho M là một môđun. Khi đó (M) là
Artin khi và chỉ khi M thỏa mãn điều kiện DCC trên các môđun con -bé.
Từ đó, các tác giả trên đã đ-a ra các đặc tr-ng của môđun Artin thông
qua môđun con bé và môđun con -bé:
Định lý 1.3.10 ([3, Theorem 7]). Cho M là một môđun. Khi đó M là Artin
khi và chỉ khi M là môđun có phần phụ và thỏa mãn điều kiện DCC trên
các môđun con phần phụ và môđun con bé.
Định lý 1.3.11 ([50, Theorem 3.10]). Cho M là một môđun. Khi đó M là
Artin khi và chỉ khi M là môđun có -phần phụ nhiều và thỏa mãn điều
kiện DCC trên các môđun con -phần phụ và môđun con -bé.

1.4

Môđun và vành Artin, Nơte.

Định nghĩa 1.4.1. i) Môđun M đ-ợc gọi là Nơte nếu mỗi tập khác rỗng các
môđun con nào đó của M đều có phần tử cực đại.
ii) Môđun M đ-ợc gọi là Artin nếu mỗi tập khác rỗng các môđun con

nào đó của M đều có phần tử cực tiểu.
iii) Vành R đ-ợc gọi là Nơte phải (t.-., trái) nếu môđun RR (t.-., R R)
là Nơte.
25

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Page 25