GIỚI hạn hàm số liên tục (lý thuyết + bài tập vận dụng) file word quy

CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2

|

0


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2

Mục lục
HÀM SỐ LIÊN TỤC........................................................................2
Vấn đề 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm...................2
Vấn đề 2. Xét tính liên tục của hàm số trên một tập..................8
Vấn đề 3. Chứng minh phương trình có nghiệm......................................14

HÀM SỐ LIÊN TỤC
1. Định nghĩa
�Cho hàm số y  f (x) xác định trên khoảng K và x0 �K
| HÀM SỐ LIÊN TỤC

1


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2
f (x)  f (x0 )
1) Hàm số y  f (x) liên tục tại x0 � lim
x� x0
2) Hàm số y  f (x) không liên tục tại x0 ta nói hàm số gián đoạn tại x0
� y  f (x) liên tục trên một khoảng nếu nó kiên tục tại mọi điểm của khoảng
đó.
� y  f (x) liên tục trên đoạn �

a; b�
�
�nếu nó liên tục trên  a; b và
lim f (x)  f (a) , lim f (x)  f (b) .
x�a

x�b

2. Các định lý cơ bản.
Định lý 1 :
a) Hàm số đa thức liên tục trên tập R
b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng
xác định của chúng
Định lý 2. Các hàm số y  f (x), y  g(x) liên tục tại x0 . Khi đó tổng, hiệu, tích
f (x)
liên tục tai x0, thương y 
liên tục nếu g(x0 ) �0 .
g(x)
a; b�
Định lý 3. Cho hàm số f liên tục trên đoạn �
�
�.
Nếu f (a) �f (b) và M là một số nằm giữa f (a) , f (b) thì tồn tại ít nhất một số
c� a; b sao cho f (c)  M
a; b�
Hệ quả : Cho hàm số f liên tục trên đoạn �
�
�.
Nếu f (a) f (b)  0 thì tồn tại ít nhất một số c� a; b sao cho f (c)  0.
Chú ý : Ta có thể phát biểu hệ quả trên theo cách khác như sau :

a; b�
Cho hàm số f liên tục trên đoạn �
�
�. Nếu f (a) f (b)  0 thì phương trình
f (x)  0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a; b) .
Vấn đề 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
Phương pháp:
�Tìm giới hạn của hàm số y  f (x) khi x � x0 và tính f (x0 )
f (x) thì ta so sánh lim f (x) với f (x ) .
�Nếu tồn tại lim
0
x� x0
x� x0
Chú ý:
1. Nếu hàm số liên tục tại x0 thì trước hết hàm số phải xác định tại điểm đó
f (x)  l � lim f (x)  lim f (x)  l .
2. lim
x�x0
x�x
x�x
0

0

�f (x) khi x x0
f (x)  k .
3. Hàm số y  �
liên tục tại x  x0 � lim
x�x0
k

khi
x

x
0
�

| HÀM SỐ LIÊN TỤC

2


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2
�f1(x) khi x x0
4. Hàm số f (x)  �
liên tục tại điểm x  x0 khi và chỉ khi
�f2(x) khi x  x0
lim f1(x)  lim f2(x)  f1(x0) .

x� x0

x�x0

Chú ý:
�f (x) khi x x0
�Hàm số y  �
liên tục tại x  x0 khi và chỉ khi
�k khi x  x0
lim f (x)  k .
x� x0

�f (x) khi x  x0
�Hàm số y  �
liên tục tại x  x0 khi và chỉ khi
�g(x) khi x �x0
lim f (x)  lim g(x) .

x� x0

x�x0

Các ví dụ
Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số sau tại x  3
�x3  27
khi x �3
�
�x2  x  6
f
x

1.   �
�10
khi x  3
�3

� x 3
khi x  3
�
2
x


3

3
f
x

2.   �
� x 1 2
 khi x �3
�
Lời giải:

1. Hàm số xác định trên �
Ta có f (3) 

x3  27
(x  3)(x2  3x  9)
10
f (x)  lim 2
 lim
và lim
x�3
x�3 x  x  6
x�3
(x  3)(x  2)
3

x2  3x  9 27


�f (3) .
x�3
x 2
5
Vậy hàm số không liên tục tại x  3.

 lim

f (x)  lim(
x  1)2  4 ;
2. Ta có f (3)  4 và lim
x�3
x�3
lim f (x)  lim

x 3

 lim

2x  3  3
 3 �lim f (x)
x�3
2

2x  3  3 x�3
Vậy hàm số gián đoạn tại x  3.

x�3

x�3

Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm chỉ ra
�x2  x  2
�x2  1 khi x �1
�
khi x �1
1. f (x)  �
tại điểm x0  1 2. f (x)  � x  1
2
khi x  1
�
�
1
khi x  1
�
Lời giải:
| HÀM SỐ LIÊN TỤC

3


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2
f (x)  lim(x2  1)  2  f (1)
1. Ta có f (1)  2và lim
x�1
x�1
Vậy hàm số liên tục tại điểm x  1.
2. Ta có f (1)  1
lim f (x)  lim

x�1

x 1

x�1

lim f (x)  lim

x�1

(x  1)(x  2)

x�1

(x  1)(x  2)

x�1

 lim(2
 x)  3


x 1

 lim(
x  2)  3 �lim f (x)

x�1

x�1

Suy ra không tồn tại giới hạn của hàm số y  f (x) khi x � 1.
Vậy hàm số gián đoạn tại x  1.
Ví dụ 3 Tìm a để hàm số sau liên tục tại x  2
�3 4x  2
�
khi x �2
1. f  x  � x  2
�a
khi x  2
�

� x4  5x2  4
khi x  2
�
2. f  x  � x3  8
�ax2  x  1
khi x �2
�
Lời giải:

1. Ta có f (2)  a và

lim f (x)  lim
x�2

x�2

3

4x  2
4
1
 lim

x�2 3
x 2
(4x)2  23 4x  4 3

Hàm số liên tục tại điểm x  2 � lim f (x)  f (2) � a 
x�2

2. Ta có : lim f (x)  lim
x�2



x�2



1
.
3

x4  5x2  4
(x2  1)(x  2)

lim
1

x�2
x3  8
x2  2x  4

lim f (x)  lim ax2  x  1  4a 3  f (2)
x�2

x�2

f (x)  lim f (x)  f (2)
Hàm số liên tục tại x  2 � xlim
�2
x�2
1
.
2
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
� 4a 3  1 � a  

� x2
khi x �4
�
�x  4
f
(
x
)

Bài 1 Cho hàm số
. Khẳng định nào sau đây đúng nhất

�
�1
khi x  4
�
�4
A. Hàm số liên tục tại x  4
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm trên tập xác định nhưng gián đoạn tại x  4
C. Hàm số không liên tục tại x  4
D. Tất cả đều sai
Lời giải:

| HÀM SỐ LIÊN TỤC

4


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2

x2
1
1
 lim
  f (4)
x
�
4
x 4
x2 4
Hàm số liên tục tại điểm x  4.
Ta có : lim f (x)  lim

x�4

x�4

�x2  3x  2
 2 khi x  1
�
Bài 2 Cho hàm số f (x)  � x  1
. Khẳng định nào sau đây
�3x2  x  1
khi x �1
�
đúng nhất
A. Hàm số liên tục tại x  1
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm
C. Hàm số không liên tục tại x  1
D. Tất cả đều sai
Lời giải:
�
(x  1)(x  2) �
lim f (x)  lim �
 2� 2
x�1
x�1
� x 1
�





lim f (x)  lim 3x2  x  1  3 �lim f (x)
x�1

x�1

x�1

Hàm số không liên tục tại x  1.
� x
khi x �1
�cos
2
Bài 3 Cho hàm số 3. f  x  �
. Khẳng định nào sau đây
�x  1 khi x  1
�
đúng nhất
A. Hàm số liên tục tại tại x  1và x  1.
B. Hàm số liên tục tại x  1, không liên tục tại điểm x  1.
C. Hàm số không liên tục tại tại x  1và x  1.
D. Tất cả đều sai
Lời giải:
Hàm số liên tục tại x  1, không liên tục tại điểm x  1.
Bài 4. Chọn giá trị f (0) để các hàm số f (x) 
A.1

B.2

2x  1  1

liên tục tại điểm x  0 .
x(x  1)

C.3
Lời giải:

D.4

2x  1  1
2x
f (x)  lim
 lim
1
Ta có : lim
x�0
x�0
x
�
0
x(x  1)
x(x  1) 2x  1  1





Vậy ta chọn f (0)  1

| HÀM SỐ LIÊN TỤC

5


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2

Bài 5. Chọn giá trị f (0) để các hàm số f (x) 
A.1

Vậy ta chọn f (0) 



3



2
3

2x  8  2
3x  4  2

liên tục tại điểm x  0 .

2
9
Lời giải:

B.2

f (x)  lim
Ta có : lim
x�0
x�0

3

C.



3x  4  2



(2x  8)2  2.3 2x  8  4



D.

1
9

2
9

2
.
9

�x  x  2
�
khi x  1
Bài 6 Cho hàm số f (x)  � x  1
. Khẳng định nào sau đây đúng
�
2x  3
khi x �1
�
nhất
A. Hàm số liên tục tại tại tại x0  1
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm
C. Hàm số không liên tục tại tại x0  1..
D. Tất cả đều sai
Lời giải:
f (x)  lim  2x  3  1
Ta có: f (1)  1 và xlim
�1
x�1
lim f (x)  lim

x�1

x�1

x x 2
x2  x  2
 lim
x�1 (x  1)(x  x  2)

x 1

lim

x�1

x 2
x x 2



3
2

f (x) �lim f (x)
Suy ra xlim
�1
x� 1
Vậy hàm số không liên tục tại x0  1.
�x  1 3 x  1
�
khi x �0
Bài 7 Cho hàm số 3. f (x)  �
. Khẳng định nào sau đây
x
�
2
khi x  0
�
đúng nhất

A. Hàm số liên tục tại x0  0
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm như gián đoạn tại x0  0
C. Hàm số không liên tục tại x0  0
D. Tất cả đều sai
| HÀM SỐ LIÊN TỤC

6


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2
Lời giải:
Ta có: f (0)  2
lim f (x)  lim
x�0

x�0

� 1 3 x  1 �
x  1 3 x  1
 lim �
1
�
�
x�0 �
x
x
�
�

�

�
1
 lim �
1
� 2  f (0)
3
x�0
� 1 x  1  x  1�
Vậy hàm số liên tục tại x  0 .
�3 x  1
khi x �1
�
�
Bài 8 Cho hàm số f (x)  �x  1
. Khẳng định nào sau đây đúng
1
�
khi x  1
�
�3
nhất
A. Hàm số liên tục tại x  1
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm
C. Hàm số không liên tục tại tại x  1
D. Tất cả đều sai
Lời giải:
Ta có : lim f (x)  lim
x�1

x�4

x1
1
1
 lim
  f (1)
x  1 x�4 3 x2  3 x  1 3

3

Hàm số liên tục tại điểm x  1.
�x2  x  2
 2x khi x  2
�
Bài 9 Cho hàm số f (x)  � x  2
�x2  x  3
khi x �2
�
. Khẳng định nào sau đây đúng nhất
A. Hàm số liên tục tại x0  2
B. Hàm số liên tục tại mọi điẻm
C. Hàm số không liên tục tại x0  2
D. Tất cả đều sai
Lời giải:
�
�
(x  1)(x  2)
 2x� 4
Ta có : lim f (x)  lim �
x�2

x�2
� x 2
�





lim f (x)  lim x2  x  3  5 �lim f (x)
x�2

x� 2

x�2

Hàm số không liên tục tại x0  2 .
� x  2a khi x  0
Bài 10. Tìm a để các hàm số f  x  � 2
liên tục tại x  0
�x  x  1 khi x �0
| HÀM SỐ LIÊN TỤC

7


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2

A.

1

2

B.

1
4

C.0

D.1

Lời giải:
f (x)  lim(
x  x  1)  1
Ta có : lim
x�0
x�0
2

lim f (x)  lim(
x  2a)  2a

x�0

x�0

Suy ra hàm số liên tục tại x  0 � a 

1
.

2

� 4x  1  1
khi x �0
�
Bài 11. Tìm a để các hàm số f (x)  �ax2  (2a 1)x
liên tục tại x  0
�
3
khi x  0
�
A.

1
2

B.

1
4

C. 

1
6

D.1

Lời giải:
f (x)  lim

Ta có : lim
x�0
x�0

4x  1  1
x ax  2a 1
 lim
x�0

4

 ax  2a 1 

Hàm số liên tục tại x  0 �



4x  1  1



2
2a 1

2
1
 3 � a  .
2a 1
6

� 3x  1  2
khi x  1
�
� 2
Bài 12. Tìm a để các hàm số f (x)  � x2  1
liên tục tại x  1
a
(
x

2)
�
khi x �1
�
� x 3
A.

1
2

B.

Ta có : lim f (x)  lim


x�1

x�1

lim f (x)  lim

x�1

x�1

1
4

3
4
Lời giải:
C.

D.1

3x  1  2 3

8
x2  1

a(x  2) a

x 3
2
2

Suy ra hàm số liên tục tại x  1 �

a 3
3
 � a .

2 8
4

Vấn đề 2. Xét tính liên tục của hàm số trên một tập
| HÀM SỐ LIÊN TỤC

8


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2
Phương pháp:Sử dụng các định lí về tính liên tục của hàm đa thức, lương
giác, phân thức hữu tỉ …
Nếu hàm số cho dưới dạng nhiều công thức thì ta xét tính liên tục trên mỗi
khoảng đã chia và tại các điểm chia của các khoảng đó.
Các ví dụ
Ví dụ 1 Xét tính liên tục của các hàm số sau trên toàn trục số:
1. f (x)  tan2x  cos x

2. f (x) 

x  1 2
x  3x  2
2

Lời giải:
�

�
1. TXĐ: D  �\ �  k , k���
2

�4
Vậy hàm số liên tục trên D
�x  1�0
�x  1
��
2. Điều kiện xác định: � 2
�x  3x  2 �0 �x �2
Vậy hàm số liên tục trên  1;2 � 2;� .
�a2  x  2
khi x  2
�
Ví dụ 2 Xác định a để hàm số f  x  � x  2  2
liên tục trên �.
� 1 a x khi x �2
�
Lời giải:
Hàm số xác định trên �
Với x  2 � hàm số liên tục
Với x  2 � hàm số liên tục
f (x)  lim(1
 a)x  2(1 a)  f (2)
Với x  2 ta có lim
x�2
x�2
lim f (x)  lim

a2(x  2)

 lim a2( x  2  2)  4a2

x  2  2 x�2
Hàm số liên tục trên �� hàm số liên tục tại x  2
x�2

x�2

� lim f (x)  lim f (x) � 4a2  2(1 a) � a  1, a 
x�2

x�2

1
.
2

1
là những giá trị cần tìm.
2
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Vậy a  1, a 

x 2
. Khẳng định nào sau đây đúng nhất.
x  x 6
A. Hàm số liên tục trên �

Bài 1. Cho hàm số f (x) 

2

B. TXĐ : D  �\  3; 2 .Ta có hàm số liên tục tại mọi x �D và hàm số gián
đoạn tại x  2, x  3
| HÀM SỐ LIÊN TỤC

9


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2
C. Hàm số liên tục tại x  2, x  3
D. Tất cả đều sai
Lời giải:
TXĐ : D  �\  3; 2 .Ta có hàm số liên tục tại mọi x �D và hàm số gián đoạn tại
x  2, x  3
Bài 2. Cho hàm số f (x)  3x2  1 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất.
A. Hàm số liên tục trên �
�
�
1 � �1
�; 
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm x ��
��� ; ��
3� � 3
�
�
�
�
1 � �1
�;
C. TXĐ : D  �
��� ; ��

2� � 2
�
�
� 1 1 �

;
D. Hàm số liên tục tại mọi điểm x ��
.
�
� 3 3�
Lời giải:
�
�
1 � �1
�; 
TXĐ : D  �
��� ; ��
3� � 3
�
�
�
�
1 � �1
�; 
Ta có hàm số liên tục tại mọi điểm x ��
��� ; ��
3� � 3
�
�
� 1 �

1
lim  f (x)  0  f �

�� hàm số liên tục trái tại x  
� 1�
� 3�
x��

3
�
3
�

�

�1 �
lim  f (x)  0  f � �� hàm số liên tục phải tại x  1
�1 �
� 3�
x�� �
3
3
� �

� 1 1 �

;
Hàm số gián đoạn tại mọi điểm x ��
�.
3

3�
�
Bài 3. Cho hàm số f (x)  2sin x  3tan2x . Khẳng định nào sau đây đúng nhất.
A. Hàm số liên tục trên �
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm
�

�
C. TXĐ : D  �\ �  k , k���
2
�2


 k , k��.
4
2
Lời giải:

D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x 

| HÀM SỐ LIÊN TỤC

10


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2
�

�
TXĐ : D  �\ �  k , k���

2
�4
Ta có hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc D và gián đoạn tại các điểm
x



 k , k��.
4
2

�x2  5x  6
khi x  2
�
Bài 4. Cho hàm số f  x  � 2x3  16
. Khẳng định nào sau đây đúng
� 2  x khi x �2
�
nhất.
A. Hàm số liên tục trên �
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm
C. Hàm số không liên tục trên  2:�
D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x  2 .
Lời giải:
TXĐ : D  �\  2
x2  5x  6
� hàm số liên tục
2x3  16
�Với x  2 � f (x)  2  x � hàm số liên tục
�Với x  2 � f (x) 

�Tại x  2 ta có : f (2)  0
lim f (x)  lim  2  x  0 ;
x�2
x�2
lim f (x)  lim
x�2

x�2

(x  2)(x  3)
1

�lim f (x)
2
24 x�2
2(x  2)(x  2x  4)

Hàm số không liên tục tại x  2.
�3 x  1
khi x  1
�
� x1
Bài 5. Cho hàm số f (x)  �
. Khẳng định nào sau đây đúng
�3 1 x  2
khi x �1
�
� x 2
nhất.

A. Hàm số liên tục trên �
B. Hàm số không liên tục trên �
C. Hàm số không liên tục trên  1: �
D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x  1 .
Lời giải:
Hàm số xác định với mọi x thuộc �
| HÀM SỐ LIÊN TỤC

11


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2

�Với x  1� f (x)  1 x  2 � hàm số liên tục
x 2
�Với x  1� f (x) 

3

x1
x1

�Tại x  1 ta có : f (1) 
lim f (x)  lim
x�1

x�1

3

x 1
x 1

 lim
x�1

� hàm số liên tục

2
3
(x  1)( x  1)
(x  1)( 3 x2  3 x  1)



2
;
3

1 x  2 2
  lim f (x)  f (1)
x�2
x�1
x 2
3 x�1
Hàm số liên tục tại x  1.
Vậy hàm số liên tục trên �.
lim f (x)  lim

�x2  3x  2

khi x �1
�
Bài 6. Cho hàm số f  x  � x  1
. Khẳng định nào sau đây đúng
� a khi x  1
�
nhất.
A. Hàm số liên tục trên �
B. Hàm số không liên tục trên �
C. Hàm số không liên tục trên  1: �
D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x  1 .
Lời giải:
Hàm số liên tục tại mọi điểm x �1 và gián đoạn tại x  1
� 2x  1  1
�
khi x �0
Bài 7. Cho hàm số f  x  �
. Khẳng định nào sau đây đúng
x
� 0 khi x  0
�
nhất.
A. Hàm số liên tục trên �
B. Hàm số không liên tục trên �
C. Hàm số không liên tục trên  0;�
D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x  0 .
Lời giải:
Hàm số liên tục tại mọi điểm x �0 và gián đoạn tại x  0

| HÀM SỐ LIÊN TỤC

12


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2

�
2x  1 khi x �0
�
(x  1)3 khi 0  x  2 . Khẳng định nào sau đây đúng
Bài 8. Cho hàm số f (x)  �
�
� x  1 khi x �2
nhất.
A. Hàm số liên tục trên �
B. Hàm số không liên tục trên �
C. Hàm số không liên tục trên  2;�
D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x  2 .
Lời giải:
Hàm số liên tục tại mọi điểm x �2và gián đoạn tại x  2
�
2x2  x  1 khi x �1
�
f
(
x
)

Bài 9. Cho hàm số
. Khẳng định nào sau đây đúng

�
3x  1
khi x  1
�
nhất.
A. Hàm số liên tục trên �
B. Hàm số không liên tục trên �
C. Hàm số không liên tục trên  2;�
D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x  �1 .
Lời giải:
Hàm số liên tục tại mọi điểm x ��1và gián đoạn tại x  �1.
�

sin x khi x �
�
�
2
Bài 10. Xác định a, bđể các hàm số f  x  �
liên tục trên �
�ax  b khi x  
�
2
� 2
�a 
A. � 
�
b 1
�

� 2

�a 
B. � 
�
b 2
�

� 1
�a 
C. � 
�
b 0
�

� 2
�a 
D. � 
�
b 0
�

Lời giải:
�
� 2
a b  1
�
a
�2
�
�� 
Hàm số liên tục trên �� �


�
�
b 0
 a b  1 �
�2

| HÀM SỐ LIÊN TỤC

13


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2
�x3  3x2  2x
khi x(x  2) �0
�
x(x  2)
�
�
khi x  2
Bài 11. Xác định a, bđể các hàm số f (x)  �a
liên tục
�
b
khi x  0
�
�
�
trên �
�a  10

A. �
b  1
�

�a  11
B. �
b  1
�

�a  1
C. �
b  1
�
Lời giải:

�a  12
D. �
b  1
�

�
a 1
Hàm số liên tục trên �� �
.
b  1
�
�3 x  2  2x  1
�
khi x �1
Bài 12. Tìm m để các hàm số f (x)  �

liên tục trên �
x 1
�3m 2
khi x  1
�
A. m 1

B. m

4
3

C. m 2

D. m 0

Lời giải:
x  2  2x  1
nên hàm số liên tục trên khoảng �\  1
x 1
Do đó hàm số liên tục trên � khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x  1
Ta có: f (1)  3m 2
Với x �1 ta có f (x) 

lim f (x)  lim
x�1

x�1

3

3

x  2  2x  1
x 1

�
x3  x  2
�
 lim �
1
x�1
(x  1) x2  x3 x  2  3 (x  2)2
�
�





�
�
�
�
�

�
�
x2  x  2
� 2

 lim �
1
x�1
2
2
3
3
�
�
x

x
x

2

(
x

2)
�
�
Nên hàm số liên tục tại x  1 � 3m 2  2 � m
Vậy m

4
3

4
là những giá trị cần tìm.

3

� x  1 1
khi x  0
�
Bài 13. Tìm m để các hàm số f (x)  � x
liên tục trên �
2
�
2x  3m 1 khi x �0
�
| HÀM SỐ LIÊN TỤC

14


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2

B. m 

A. m 1

1
6

C. m 2

D. m 0

Lời giải:

x  1 1
nên hàm số liên tục trên  0;�
x

�Với x  0 ta có f (x) 

�Với x  0 ta có f (x)  2x2  3m 1 nên hàm số liên tục trên (�;0) .
Do đó hàm số liên tục trên � khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x  0
Ta có: f (0)  3m 1
lim f (x)  lim
x�0

x�0



x  1 1
1
1
 lim

x�0
x
x  1 1 2



lim f (x)  lim 2x2  3m 1  3m 1
x�0

x�0

Do đó hàm số liên tục tại x  0 � 3m 1
Vậy m 

1
1
� m 
2
6

1
thì hàm số liên tục trên �.
6
Lời giải:

Với x  2 ta có hàm số liên tụC.

Để hàm số liên tục trên � thì hàm số phải liên tục trên khoảng  �;2 và liên
tục tại x  2.
�Hàm số liên tục trên  �;2 khi và chỉ khi tam thức
g(x)  x2  2mx  3m 2 �0, x �2
� '  m2  3m 2 �0 3 17
�
ۣ
TH 1: �
2
�g(2)  m 6 �0

m

3 17
2

�
m2  3m 2  0
2
�
 '  m  3m 2  0 �
�
��
m 2
TH 2: �
�x1  m  '  2
�
 '  (m 2)2
�
� 3 17
3 17
�
m
��
 m 6
2 �
2
�
m 6
�
Nên

3 17
�m 6 (*) thì g(x) �0, x �2
2

� lim f (x)  lim
x�2

x�2





2x  4  3  3

| HÀM SỐ LIÊN TỤC

15


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2
x 1
3

x�2
x�2 x  2mx  3m 2
6 m
3
 3 � m 5 (thỏa (*))
Hàm số liên tục tại x  2 �

6 m
Vậy m 5 là những giá trị cần tìm.
lim f (x)  lim

2

Vấn đề 3. Chứng minh phương trình có nghiệm
Phương pháp :
�Để chứng minh phương trình f (x)  0 có ít nhất một nghiệm trên D, ta
chứng minh hàm số y  f (x) liên tục trên D và có hai số a, b�D sao cho
f (a). f (b)  0.
�Để chứng minh phương trình f (x)  0 có k nghiệm trên D, ta chứng minh
hàm số y  f (x) liên tục trên D và tồn tại k khoảng rời nhau (ai ; ai 1) (i=1,2,…,k)
nằm trong D sao cho f (ai ). f (ai 1)  0.
Các ví dụ
Ví dụ 1 Chứng minh rằng các phương trình sau có đúng một nghiệm.
1. x5  3x  1 0

2. x3  2x  4 3 3 2x
Lời giải:

1. Xét hàm số f (x)  x5  3x  1 là hàm liên tục trên �
Mặt khác: ff(1)  1, (0)  1� ff(1). (0)  1 0
Nên phương trình f (x)  0 có ít nhất một nghiệm thuộc  1;0 .
Giả sử phương trình có hai nghiệm x1 , x2 .





5
5
Khi đó: f (x1)  f (x2 )  0 � x1  x2  3 x1  x2   0





�  x1  x 2  x14  x13x2  x12x22  x1x23  x24  3  0
(1)
1 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 43
A
2

2

� 1
� �1
� 1
Do A  �x12  x1x2 � � x1x2  x22 � x12x22  3  0
� 2
� �4
� 2
Nên (1) � x1  x2
Vậy phương trình luôn có đúng một nghiệm.
3
2. Điều kiện: x �
2
Phương trình � x3  2x  3 3 2x  4  0
� 3�

Xét hàm số f (x)  x3  2x  3 3 2x  4 liên tục trên ��; �
� 2�

| HÀM SỐ LIÊN TỤC

16


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2
�3 � 19
�3 �
ff(0)  4  3 3  0, � �
 0 � ff(0). � � 0
�2 � 8
�2 �
Nên phương trình f (x)  0 có ít nhất một nghiệm
Giả sử phương trình f (x)  0 có hai nghiệm x1 , x2
Khi đó: f (x1)  f (x2 )  0









� x13  x23  2 x1  x2   3

3 2x1  3 2x2  0

�
�
6
� 0
�  x1  x2  �x12  x1x2  x22  2 
�
�
3

2
x

3

2
x
�
1 4 4 4 4 4 4 44 2 4 4 41 4 4 4 4 423�
B

� x1  x2
2

� x2 � 3x22
6
 2
 0)
(Vì B  �x1  �
2� 4

3 2x1  3 2x2
�
Vậy phương trình luôn có nghiệm duy nhất.
Ví dụ 2 Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm :
1. x7  3x5  1  0

2. x2 sin x  x cos x  1 0
Lời giải:

1. Ta có hàm số f (x)  x  3x  1 liên tục trên R và ff(0). (1)  3  0
7

5

Suy ra phương trinh f (x)  0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0;1) .
2. Ta có hàm số f (x)  x2 sin x  xcos x  1 liên tục trên R và ff(0). ()    0 . Suy
ra phương trinh f (x)  0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0; ) .
Ví dụ 3.

x5  2x3  15x2  14x  2  3x2  x  1 có đúng 5 nghiệm phân biệt

Lời giải:
Phương trình đã cho tương đương với





x5  2x3  15x2  14x  2  3x2  x  1

2

� x5  9x4  4x3  18x2  12x  1  0 (1)
Hàm số f (x)  x5  9x4  4x3  18x2  12x  1 liên tục trên �
� 1 � 19
 � 
0
Ta có: ff(2)  95  0, (1)  1  0, f �
� 2 � 32
ff(0)  1  0, (2)  47  0, f (10)  7921  0
Do đó phương trình f (x)  0 có ít nhất 5 nghiệm thuộc các khoảng

| HÀM SỐ LIÊN TỤC

17


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2
�
1� � 1 �
1;  �
,  ;0�
,  0;2 ,  2;10
�
2� �
�
�2 �
Mặt khác f (x) là đa thức bậc 5 nên có tối đa 5 nghiệm.

 2; 1 ,

Vậy phương trình đã cho có đúng 5 nghiệm.
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1 Chứng minh rằng phương trình sau có đúng ba nghiệm phân biệt
1. x3  3x  1  0

2. 2x  63 1 x  3

Bài 2 Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của
m, n
1. m x  1

3

 x  2  2x  3  0

3. m x  a  x  c  n x  b  x  d  0

2.

1
1

m
cos x sin x

( a �b �c �d ).

Bài 3 Cho m 0 và a, b, c là ba số thực bất kỳ thoả mãn
a

b
c

  0. Chứng minh rằng phương trình ax2  bx  c  0 luôn có
m 2 m 1 m
nghiệm.
Bài 4. Chứng minh rằng phương trình :

 1;1
x  5x  4x  1  0 có năm nghiệm thuộc khoảng  2;3
a x  b  x  c  b x  c  x  a  c x  a  x  b  0 ; a,b,c  0 có hai nghiệm phân

1. x4  x3  3x2  x  1  0có nghiệm thuộc khoảng
2.
3.
biệt.

5

3

4. (1 m2 )x5  3x  1  0 luôn có nghiệm với mọi m
5. m2.(x  2)  m(x  1)3.(x  2)4  3x  4  0 có nghiệm với mọi m.
Bài 5 . Cho các số thực dương m,n,p thỏa mãn: n  m; mp  n2 và

a b c
   0.
m n p

Chứng minh rằng phương trình : f (x)  ax2  bx  c  0 luôn có nghiệm.

Bài 6.
0;1� �
0;1� liên tụC.Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một
1. Cho hàm số f : ����
�
0;1�
số thực c��
�
�sao cho f  c  c .
2. Cho hàm số f :[0;+�) � [0;+�) liên tục và lim

x��

tồn tại ít nhất một số c�0 sao cho f (c)  c.

f (x)
 L  1 Chứng minh rằng
x

3. Tìm tất cả các hàm số f : �� � liên tục tại x  0 thỏa: f (3x)  f (x) .
0;1� �
0;1�liên tục trên �
0;1�
4. Cho hàm số f : ����
�
�
�và thỏa ff(0)  (1) .
| HÀM SỐ LIÊN TỤC

18

CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2
1
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì phương trình f (x)  f (x  )  0 luôn
n
0;1�
có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn �
�
�.
Bài 7.
a; b�
1. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a ;b] và n điểm x1; x2 ;...; xn ��
�
�. Chứng
a; b�
minh rằng tồn tại ít nhất một điểm c��
�
�sao cho nf (c)  f (x1)  f (x2 )  ...  f (xn ) .
2. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất các số 0      1 sao cho
cos   2 và  tan   1.
Lời giải:
Bài 1
1. Xét hàm số f (x)  x3  3x  1, ta có hàm số liên tục trên R và
ff(2)  1 ;

(0)  1 ; ff(1)  1 ; (2)  3

� ff(2). (0)  1 0, ff(0). (1)  1  0, ff(1). (2)  3  0
Suy ra phương trình có ba nghiệm phân biệt thuộc các khoảng

(2;0),(0;1),(1;2) .
Mà f(x) là đa thức bậc ba nên f(x) chỉ có tối đa 3 nghiệm
Vậy phương trình đã cho có đúng ba nghiệm.
2. Phương trình � 2x  3  63 x  1 � (2x  3)3  216(x  1)  0
Xét hàm số f (x)  (2x  3)3  216(x  1) , ta có hàm số liên tục trên R và
ff(4)  251, (0)  189, ff(1)  1, (7)  35
Suy ra � ff(4). (0)  0, ff(0). (1)  0, ff(1). (7)  0
Suy ra phương trình có ba nghiệm phân biệt thuộc các khoảng
(4;0),(0;1),(1;7) .
Mà f(x) là đa thức bậc ba nên f(x) chỉ có tối đa 3 nghiệm
Vậy phương trình đã cho có đúng ba nghiệm.
Bài 2
1. Ta có hàm số f (x)  m x  1

3

 x  2  2x  3 liên tục trên R và

ff(1). (2)  5  0 � phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc (2;1)

2. Điều kiện : x �k , k��
2
� �
0; �và
Xét hàm số f (x)  sin x  cos x  msin xcos x ,liên tục trên �
� 2�

ff(0). ( )  1 0 do đó phương trình f (x)  0 có ít nhất một nghiệm
2

| HÀM SỐ LIÊN TỤC

19


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2
� �

x0 �
0; � x0 k
�
2
� 2�
Do đó phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm.
3. Hàm số f (x)  m x  a  x  c  n x  b  x  d liên tục trên R và
f (a). f (c)  n2  a b  a d  c  b  c  d �0 � phuowngt rình đã cho có ít nhất một
nghiệm.
Bài 3 Đặt f (x)  ax2  bx  c
� c  0 � f (x)  0 có nghiệm x  0
�m 1 �
c

� c �0 ta có f (0)  c; f �
�
�m 2 � m m 2
�m 1 �
c2
� ff(0). �

 0 , suy ra phương trình f (x)  0 có ít nhất một

�
�m 2 � m m 2
nghiệm.
Bài 4. Gọi f (x) là vế trái của các phương trình
1. Ta có hàm số y  f (x) liên tục trên � và ff(1). (1)  3  0
Nên phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc (1;1) .
3
( 2) ( )  0;
2. Ta có hàm số y  f (x) liên tục trên � và ff
2
3
1
1
ff( ) (1)  0; ff(1). ( )  0; ff( ) (1)  0; ff(1) (3)  0
2
2
2
Nên ta có điều phải chứng minh.
3. Ta có hàm số y  f (x) liên tục trên �và
2

f (a) f (b) f (c)  abc �
(a b)(b c)(c  a)�
�
� 0
Nên ta có điều phải chứng minh.
f (x).lim f (x)  0
4. Ta có hàm số y  f (x) liên tục trên �và xlim
��
x��

Nên ta có điều phải chứng minh.
5. Ta có hàm số y  f (x) liên tục trên �và ff(1). (2)  0
Nên ta có điều phải chứng minh.
n
n2
n
Bài 5 Ta xét f ( )  a 2  b  c .
m
m
m
� 1 m
a b c
m � n2
n
  0 � 2�
a. 2  b  c� c(  2 )  0
Mặt khác từ :
m n p
m � p n
n �m
�

n2  pm
pm n2
pm n2
m n
n
f
(
)


c
.

0
�
f
(
)

c

f (0)
m
pm
pm
n2 m
pn2
| HÀM SỐ LIÊN TỤC

20


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2
* Xét c  0
Nếu a  0 � b  0 � f (x) là đa thức không, do đó f(x) sẽ có nghiệm trong (0;1)
b n
Nếu a�0, từ giả thiết �    1 và f (x)  x(ax  b)  0
a m
b

� x   �(0;1)
a
pm n2 2
�n �
n
. (0) 
f (0)  0 � f (x) có nghiệm x �(0; ) �(0;1) .
* Xét c �0 , ta có: ff� �
pm
m
�m�
Bài 6.
0;1�
1. Xét hàm số g x  f  x  x ,ta có y  g(x) liên tục trên �
�
�và g(0)g(1)  0 nên
0;1�
�: g(c)  0 � f (c)  c .
tồn tại c��
�
2. �Nếu f (0)  0 thì ta chọn c  0 .
�Nếu f (0)  0.
Xét hàm số g(x)  f (x)  x , ta có hàm g liên tục trên [0; �) và g(0)  0
Vì lim

x��

f (x)
f (a)
 L  1 nên tồn tại số a 0 sao cho

 1� g(a)  0
x
a

� g(0).g(a)  0 nên tồn tại số thực c� 0; a sao cho g(c)  0
Hay là f (c)  c.
�x � �x �
3. Ta có: f (x)  ff� � � 2 � ... 
�3 � �3 �

�x �
f �n �
�3 �

x
0, x
3n
Suy ra: f (x)  f (0)  a, x ��
� 
Cho n ��

Vậy f là hàm hằng.
� 1�
� n  1�
0;
4. Xét hàm số g(x)  f �x  � f (x) , ta có g là hàm liên tục trên �
�
� n�
� n �
n1

Và

�k �

� �k  1� �k �
�
� ff(1)  (0)  0
� �n �
k0 �
� ��
�
n1

�g�
� ��ff� n
�n �
�
k 0

�i � �j �
.g� � 0
Suy ra tồn tại hai chỉ số i , j � 0,1,...,n 1 sao cho : g� �
�n � �n �
1
0;1�
Hay phương trình : g(x)  0 � f (x)  f (x  )  0 có nghiệm trên �
�
�.
n

Bài 7.
1. Xét hàm số : g(x)  nf (x)  f (x1)  f (x2)  ...  f (xn ) liên tục trên [a ;b].

| HÀM SỐ LIÊN TỤC

21


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2
Vì f liên tục trên đoạn [a ;b] nên tồn tại giá trị lớn nhất M, nhỏ nhất m do đó
a,b�
�sao cho f ()  m, f ()  M � g().g()  0 .
tồn tại  , ��
�
2. Hàm số : f (x)  cos x  x2 liên tục trên � và ff(0). (1)  1(cos1 1)  0
Suy ra  � 0;1 : f ()  0 hay cos   2
Mặt khác hàm số y  cos x là hàm nghịch biến trên (0;1) , hàm y  x2 là hàm đồng
biến trên  0;1 nên  là số duy nhất.

Hàm số g(x)  x tan x  1 liên tục trên  0;1 và ff(0). (1)  1(tan1 1)  0 , đồng thời
hàm số g(x) đồng biến trên (0;1) nên tồn tại duy nhất số thực  �(0;1) sao cho
 tan   1  0.
Vì sin x  x x  0 nên g() 

sin 
 1 0  f () �    .


| HÀM SỐ LIÊN TỤC

22