Tìm hiểu về tính chất đối xứng của tinh thể vật rắn

Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2
LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình hoàn thành khóa luận tốt nghiệp của mình ngoài sự làm
việc một cách nghiêm túc và cố gắng của bản thân ra em đã nhận được sự
giúp đỡ và chỉ bảo tận tình của thầy giáo T.S Mai Xuân Dương, em xin chân
thành cảm ơn sự góp ý quý báu của thầy để cho khóa luận được hoàn chỉnh
hơn.
Tuy nhiên do thời gian nghiên cứu có hạn và còn có những hạn chế
nhất định trong quá trình nghiên cứu nên không tránh khỏi những thiếu sót
trong khóa luận. Để khóa luận được hoàn thiện hơn em rất mong nhận được
sự góp ý quý báu của thầy, cô và các bạn. Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05, năm 2010
Sinh viên thực hiện
Nguyễn Văn Thanh

LỜI CAM ĐOAN

Nguyễn Văn Thanh

1

K32 E Vật Lý


Tôi xin cam đoan những nội dung tôi trình bày trong khóa luận là kết
quả của quá trình nghiên cứu và tìm hiểu của bản thân tôi dưới sự hướng dẫn
của T.S Mai Xuân Dương. Những nội dung trình bày trong khóa luận này
không trùng với kết quả nghiên cứu của các tác giả khác. Những câu trích dẫn

trong đề tài có xuất xứ rõ ràng.
Khóa luận được hoàn thành tại trường đại học Sư Phạm Hà Nội 2
Hà Nội tháng 05, năm 2010
Sinh viên thực hiện

Nguyễn Văn Thanh

MỤC LỤC


LỜI CẢM ƠN............................................................................. 1
LỜI CAM ĐOAN....................................................................... 2
MỞ ĐẦU..................................................................................... 4
Chương 1: Cơ sở lý thuyết đối xứng tinh thể...........................7
1.1. Các hệ hóa học và các pha – Trạng thái hợp thể...........................7
1.2. Trạng thái rắn – tinh thể của vật chất. Định luật các góc không
đổi trong tinh thể...........................................................................9
1.3. Đối xứng hình dạng bên ngoài, cấu trúc, các quá trình vật
lý, điểm tinh thể học......................................................................13
1.4. Các phép đối xứng và cơ sở đối xứng........................................... 14
1.5. Các trục nghịch đảo và gương quay.............................................. 18
1.6. Các dạng đối xứng, các nhóm điểm. Các hệ tinh thể, các
lớp tinh thể....................................................................................26
Chương 2: Các dạng tinh thể đơn giản..................................... 30
2.1. Các dạng tinh thể...................................................................30
2.1. Hình chiếu phối cảnh.............................................................32
2.3. Sơ đồ kết luận về các dạng đối xứng tinh thể khả dĩ.....................37
2.4. Định luật về các số hữu tỉ..............................................................53
2.5. Định luật về tính dị hướng và các yêu cầu về sự định hướng so với
trục của tinh thể được cắt ra từ các thanh đơn tinh thể..................57

2.6. Mạng không gian. Phép tịnh tiến, các nhóm chuyển vị.................59
2.7. Các mạng không gian phức tạp. Bội số của các ô mạng cơ
sở phức tạp....................................................................................65
2.8. Mười bốn ô mạng Bravai.............................................................. 70
2.9. Tác dụng của phép tịnh tiến đối với tính chất đối xứng.
Tọa độ các điểm, các đường trong ô cơ sở.................................... 71


2.10.

Tính toán các khoảng cách và thể tích ô mạng không gian

2.11. Đối xứng của ô cơ sở............................................................77
2.12. Các dạng cơ bản của ô mạng không gian............................. 80
Chương 3: Một số bài tập........................................................... 81
3.1. Mật độ nguyên tử trong mạng tinh thể...................................84
3.2. Một số cấu trúc điển hình của vật rắn....................................86
3.3. Bài tập về các số tọa độ và mật độ xếp chặt, số các hạt
trong ô cơ sở................................................................................93
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP...............................................................96
KẾT LUẬN..................................................................................100
TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................... 103


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn
đề tài

Trong cuộc cách mạng khoa học
công nghệ hiện nay ngành vật lí chất rắn

đóng một vai trò đặc biệt quan trọng. Vật lí
chất rắn đã tạo ra những vật liệu cho phép
cho các ngành kỹ thuật mũi nhọn như
điện tử, năng lượng nguyên tử, du hành
vũ trụ, công nghệ nanô, vật liệu siêu dẫn
ở nhiệt độ cao,…Trong những năm gần
đây nhu cầu của các ngành này là rất cao,
đặt ra vấn đề tìm hiểu tính chất của vật
rắn để phục vụ cho sự phát triển của các
ngành trên.
2. Mục đích nghiên cứu
Nắm vững những tính chất quan
trọng nhất, cơ bản nhất của vật lí chất rắn
và giải thích tính chất đối xứng của vật rắn,
cấu trúc tinh thể điển hình của chúng.
Vận dụng lý thuyết để tính mật độ
nguyên tử trong tinh thể, hệ số xếp chặt
của một số mạng tinh thể điển hình.
3. Đ
ố
i
t
ư
ợ
n
g


g
v

à

n
g

p

h

h

i

ạ

ê

m

n

v

c

i

ứ
u

n
g

l

h

à

i
ê

v

n

ậ
t

c

r

ứ

ắ

u

n

.

Đ
ố
i

Phạm vi nghiên cứu là vật rắn có cấu
trúc tinh thể.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu những vấn đề cơ bản nhất

t

của chất rắn để tìm hiểu những vấn đề đã

ư

biết, nâng cao những vấn đề đã được tìm

ợ

hiểu để phục vụ cho các ngành kỹ thuật,

n

phục vụ cho đời sống.


5. Phương pháp
nghiên cứu

- Tra cứu, tìm
kiếm và
nghiên cứu
tài liệu.
- Phân loại,
sắp xếp, giải
bài tập.
6. Ý nghĩa khoa
học của việc
nghiên cứu
đề tài


Qua việc nghiên cứu đề tài về tính đối xứng của tinh thể vật rắn, đã giúp tôi
hiểu rõ hơn về cấu trúc tinh thể để áp dụng trong quá trình nghiên cứu vật lý
chất rắn.


CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT ĐỐI XỨNG TINH THỂ
1.1. Các hệ hóa học và các pha – Trạng thái hợp thể
1.1.1. Hệ hóa học
Tổ hợp các chất hóa học (các phần tử của hệ) nằm trong trạng thái pha
này hay pha khác một cách ước lệ bị phân chia, cách li khỏi môi trường xung
quanh được gọi là hệ hóa học. Hệ hóa học được mô tả bởi phương trình phản
ứng.
VD: H2O(nước đá) = H2O(nước)

(*)

Đây là phản ứng tan chảy của nước đá. Nước đá và nước cùng được tạo

bởi H2O. Chúng nằm ở hai trạng thái khác nhau. Trong các điều kiện thực tế
chúng có thể cho vào cùng một bình và bên trên chúng có thể là không khí với
hợp chất hơi nước,… Xem xét một quá trình tan băng chúng ta có thể đưa vào
hệ này tất cả các chất ngoài nước đá và nước. Trong trường hợp khác chỉ có
thể đưa vào đó một số chất. VD như hơi nước,vv… Từ phương trình (*) ta có
thể suy ra trong hệ trên đã cho trước một hợp thể. Điều đó có thể suy ra cùng
một chất ở một trạng thái hợp thể cụ thể, có thể có các trạng thái pha khác
nhau. Vd: Cthan, Ckim cương hay là O2, O3
1.1.2. Các thành phần hóa học
Các chất tạo lên một hệ hóa học cụ thể được gọi là các thành phần hóa
học (khái niệm này không trùng hợp với khái niệm về các thành phần hóa học
không phụ thuộc và cũng khác với khái niệm về nguyên tố hóa học)
Trong hệ H2O(rắn) = H2O(lỏng) = H2O(hơi) ta có duy nhất một thành phần
hóa học là H2O. Hệ như vậy gọi là hệ đồng thể.

1.1.3. Các trạng thái hợp thể


Người ta biết có bốn trạng thái hợp thể của hợp chất đó là: rắn – lỏng –
khí(hơi) – plasma. Trong đó ba trạng thái đầu ta đã biết từ lâu, trạng thái thứ tư
mới được nghiên cứu gần đây.
Theo định nghĩa cổ điển trong trạng thái rắn vật chất rất khó thay đổi
thể tích và hình dạng (rất ít bị biến dạng đàn hồi), trong trạng thái lỏng rất khó
thay đổi thể tích nhưng rất dễ thay đổi hình dạng (hầu như không bị nén
nhưng rất dễ đàn hồi), trong trạng thái khí (hơi) rất dễ thay đổi thể tích lẫn
hình dạng. Trong cả ba trạng thái trên của vật chất, tình nguyên vẹn và đặc
thù của nguyên tử luôn luôn được bảo toàn. Trong trạng thái plasma các
nguyên tử dưới tác dụng ở nhiệt độ rất lớn, thậm trí tới hàng triệu độ bị phân
rã và đánh mất đặc thù hình học riêng của mình. Các đặc trưng của trạng thái
hợp thể dựa vào tính bị nén và đàn hồi nhiều hay ít chỉ phù hợp với các trạng

thái khí. Còn đối với các hợp thể rắn và lỏng người ta sử dụng tới khái niệm
cấu trúc và nhiệt động học.
1.1.4. Các hệ đồng thể, dị thể, các pha
Các hệ hóa học có thể là đồng thể - đồng thể về mặt vật lý kể cả nếu
như chúng dị thể trong quan hệ hóa học. Hợp chất của các thành phần hóa học
(N2, O2,…) tạo lên không khí hay dung dịch của chúng trong nước hình thành
lên 1 hệ hóa học đồng thể đơn pha.
Theo các định nghĩa cổ điển về pha thì pha là 1 hệ đồng thể của 1 hệ
được giới hạn bởi các bề mặt bị phân chia. Định nghĩa này không hoàn toàn
chính xác. Chúng ta tam dừng ở trường hợp này. Hệ mà được cấu tạo với số
pha lớn hơn 1 gọi là hệ dị thể. Nếu ta lấy 1 số (chẳng hạn là 10) tinh thể NaCl
thì hệ trở thành phức, hệ 2 pha (dung dịch). Nếu muối bị hòa tan hết thì hệ là
đơn pha. Trong chương này chúng ta đồng nhất vật rắn và pha rắn nhưng đó
là 1 lỗi thô thiển. Tất cả các phần đồng thể của hệ dị thể (vật thể) khác nhau
về thành phần hóa học, cấu tạo, trạng thái nhiệt tạo thành 1pha. Vd: NaCl


cộng dung dịch, lượng pha rắn là 1 rất nhỏ so với 10 tinh thể ở pha rắn, có thể
xuất hiện các trạng thái ngược lại.
Nếu chúng ta quan tâm tới các chất bán dẫn và tính chất các vật rắn thì
chúng ta phải xác định 1 cách chính xác chúng có ở cùng 1 pha hay không. Ở
đây chúng ta quan tâm tới các tính chất đặc trưng của pha và nếu ta biết dược
các tính chất này chúng ta có thể tác động đẩy nhanh quá trình hình thành hay
phân rã pha. Đôi khi các đặc trưng cơ bản của vật chất được thể hiện ở các hệ
2 hoặc 3 pha. Vật chất của cùng 1 thành phần hóa học nằm ở trạng thái này
hay trạng thái pha khác có thể có tính chất hoàn toàn khác nhau. Vd: Than đá
và kim cương – các dạng tinh thể khác nhau của C. Các trạng thái pha của
chúng hoàn toàn khác nhau, các tính chất khác nhau tạo ra cấu trúc hóa học
khác nhau bởi chúng khác nhau về năng lượng hình thành nguyên tử bởi các
hàm nhiệt động học khác nhau.

Chú ý: Các đặc tính của vật rắn (đặc biệt là bán dẫn) không những chỉ
có ý nghĩa về thực tế còn có ý nghĩa về nguyên tắc nữa.
1.2. Trạng thái rắn – tinh thể của vật chất. Định luật về các góc không đổi
trong tinh thể [3]
Ở trên chúng ta đã nói về tính không chính xác về trạng thái rắn và
trạng thái lỏng của vật chất “rắn theo quan điểm cổ điển” nhưng thủy tinh và
hắc ín đông đặc lại là những chất lỏng quá nguội còn trạng thái đích thực phải
là trạng thái tinh thể. Các tinh thể có hình dạng rất khác nhau.
Vd: Muối chúng ta đã gặp trong tự nhiên được hình thành từ khối lập
phương (hình 1.1) và kim cương là hình chóp tứ diện. Theo định nghĩa của
G.V.Vulfo [3], các tinh thể được gọi là vật được giới hạn bởi với các tính chất
bên trong của nó, bởi các mặt phẳng. Các đơn tinh thể và đa tinh thể sẽ phục
vụ cho việc khám phá các tính chất của việc cấu thành tinh thể. Suy ra định
nghĩa tinh thể chính xác nhất phải mô tả được các tính chất bên trong nó.


Chúng phân biệt các vật chất. Ví dụ như trạng thái vô định hình hay lỏng, còn
trạng thái bên ngoài sẽ mô tả đơn diện hoặc đa diện.
Khoa học về các trạng thái tinh thể của vật chất gọi là tinh thể học. Đối
với tinh thể đặc trưng cơ bản là hình dạng (đúng) và các đối xứng của chúng.
Bằng nghiên cứu hình dạng hình học bên ngoài và cấu tạo bên trong của tinh
thể chúng ta có tinh thể học hình thể. Mối quan hệ giữa hình học bên ngoài và
cấu tạo bên trong của tinh thể và các tính chất vật lý hình thành lên tinh thể
học vật lý. Đó là các cầu lối vật lý của vật rắn.
Khoa học nghiên cứu mối quan hệ giữa
d

các thành phần hóa học của pha rắn và các cấu
tạo tinh thể, tính chất được gọi là hóa tinh thể.
Hình 1.1. Các tinh thể

a. Kim cương
b. Muối

a

a

b

1.2.1. Đơn tinh thể
Trong tự nhiên đôi khi ta bắt gặp các tinh thể rất lớn, các cạnh của
chúng có thể phân biệt bằng mắt. Những tinh thể đó gọi là đơn tinh thể. Các
kích thước hình học của chúng có thể từ 10µm đến 1m. Đối với kỹ thuật bán
dẫn ta hoàn toàn có thể đạt được kích thước lớn hơn thế người ta hình thành
các phương pháp nuôi cấy tinh thể. Các tinh thể có kích thước hàng chục cm
được nấu kéo, nhân tạo ở các công sở.
1.2.2. Các chất đa tinh thể


Trong tự nhiên tồn tại nhiều chất được cấu thành từ những tinh thể có
-7

kích thước rất nhỏ từ 10 µm ÷ 10 µm. Chúng liên kết bởi các lực liên kết
phần tử và định hướng khác nhau, những vật tổ hợp như thế gọi là các vật đa
tinh thể. Chúng ta có thể nói chính xác rằng tất cả kim loại được hình thành
bởi quá trình nguội nhanh của hợp kim lỏng là vật đa tinh thể.
Ví dụ: Thép lò xo, dây dẫn đồng, vàng…
Trong quá trình lắng đọng các nguyên tử từ trạng thái hơi xuất hiện các
cấu trúc gãy mà kích thước cỡ 1 ÷ 20 A. Các hình thành như vậy được gọi là
vô định hình. Ta có thế lấy ví dụ trong phản ứng cháy:

CH4 + O2 = C(bồ hóng) + 2H2O
1.2.3. Đa hình, dạng thù hình
Cùng một vật chất, như chúng ta đã biết có thể tạo thành các tinh thể
khác nhau. Hiện tượng này gọi là tính đa hình còn bản thân hình dạng (được
định hình ấy) gọi là dạng thù hình vật rắn của cùng một thành phần hóa học
có thể chứa dạng thù hình khác nhau vì chúng được cấu thành từ bao nhiêu
0

pha là phụ thuộc vào trong chúng có bao nhiêu biến thể. Thiếc trắng ở 18 C
hoặc thấp hơn có thể chuyển thành thiếc xám.
1.2.4. Các hình dạng tinh thể và định luật không đổi của các góc giữa các cạnh
Trong quá trình hình thành tinh thể của dạng thù hình nào đó có thể
xuất hiện các mẫu tinh thể có hình dạng khác nhau. Điều đó phụ thuộc vào:
tốc độ, thời gian phản ứng của các chất hay dung dịch vào việc hình thành các
vật hay phân rã chúng từ một hợp chất nào đó. Vì vậy đơn tinh thể NaCl có
thể hình thành ở dạng khác lập phương như dạng lăng kính tứ diện và kể cả
năm cạnh.
Các dạng hình thành mẫu tinh thể cho chúng ta một đường dẫn tới quá
trình nghiên cứu, so sánh cùng một dạng thù hình của cùng một chất và dẫn


tới hình thành định luật không đổi giữa các góc giữa các cạnh: “các tinh thể
của cùng một chất có thể có độ lớn, hình dạng và số mặt khác nhau nhưng góc
giữa các cạnh tương ứng liền kề ở cùng một nhiệt độ, áp suất luôn luôn không
đổi” (hình 1.2). Các định luật về các mặt phẳng của tinh thể và cái không đổi
góc giữa các cạnh của các mặt phẳng không chỉ đúng trong trường hợp là
phép gần đúng bậc 1 mà còn đúng ngay cả khi quan sát trực tiếp các tinh thể.
Nếu ta bàn về các cơ chế có thể của các mẫu tinh thể ta đi tới kết luận không
thể vi phạm định luật đó. Trên thực tế chúng ta có thể hình dung ra một mặt lý
tưởng trong quá trình hình thành lên tinh thể thì có thể bay tới mặt các phân

tử, nguyên tử từ hơi, dung dịch,… và các phần tử này bị bắt giữ bởi các bề
mặt và xuất hiện mối quan hệ láng giềng bên cạnh. Sự xuất hiện các nguyên
tử “lạ” trên bề mặt nào đó của tinh thể sẽ là nguyên nhân làm thay đổi cái
hình dạng của bề mặt đó và dẫn tới thay đổi góc giữa các cạnh của các mặt
bởi sự hình thành các thù hình tinh thể lạ. Hình 1.2. Định luật không đổi góc
giữa các cạnh (các dạng khác nhau của tinh thể thạch cao của cùng một dạng
thù hình)

Hình 1.2. Định luật các góc không đổi (tinh thể CaSO4.2H2O) [4]

1.3. Đối xứng hình dạng bề ngoài, cấu trúc, các quá trình vật lý, điểm tinh
thể học


Để nghiên cứu một cách toàn diện về tinh thể người ta sử dụng một số
phương pháp các đặc trưng hình học của cấu trúc cho phép chúng ta hình
dung ra sự phối trí của các hạt trong không gian nhờ cơ sở lý thuyết đối
xứng.
1.3.1. Đối xứng

Hiện tượng đối xứng trong dạng hóa học được E. X. Fêđôrôv đề xuất: Đối xứng là tính chất c

Các tinh thể có tính chất đối xứng hình dạng ngoài. Ví dụ tinh thể NaCl
và kim cương (bát diện). Trên hình 1.1 người ta mô tả một bát diện quay
quanh trục đi qua tâm các mặt lập phương.
1.l.3. Đối xứng về cấu trúc, đối xứng các quá trình vật lý
Đối xứng hình dạng các tinh thể có thể tương ứng với đối xứng bên
trong của nó làm xuất hiện đối xứng quá trình vật lý.
Lý thuyết về đối xứng chỉ xem xét đối xứng hình dạng bên ngoài tinh
thể (đối xứng nhóm, đối xứng liên tục), đối xứng cấu trúc bên trong gọi là lý

thuyết đối xứng bộ phận (cục bộ) dành cho các không gian gián đoạn và ứng
dụng trong lý thuyết về dịch chuyển khuếch tán và các nhóm không gian.


1.3.4. Điểm tinh thể học
Trong lý thuyết đối xứng đối tượng nghiên cứu là một tập hợp các điểm
hẹp trong không gian nào đó. Điểm tinh thể học khác với điểm toán học ở
chỗ là nó có thể tích, hình dạng, có đối xứng riêng và có định hướng trong
không gian, nó chính là các mặt tinh thể trừu tượng (lý thuyết đối xứng các
mặt bên ngoài) hay các phân tử, nguyên tử, ion trừu tượng (trong lý thuyết đối
xứng cấu tạo bên trong của các tinh thể). Đặc trưng cho sự định hướng và đối
xứng của các điểm tinh thể học trong không gian người ta mô tả bằng hình 1.4
dưới dạng các đường nét đứt và tam giác cạnh.
1.4. Các phép đối xứng và cơ sở đối xứng
Đối xứng được đặc trưng bởi các cơ sở và các thao tác đối xứng là các
thao tác chồng khít các điểm của tinh thể với các tinh thể khác cùng loại. Hai
phần hình học của tinh thể có thể lồng khít lên nhau gọi là đối xứng nhau. Các
phần tử đối xứng gọi là các phần tử mô tả hình học. Nhờ chúng, ta có thể tiến
hành các thao tác đối xứng.
Phân biệt các phần tử đối xứng bậc 1 và bậc 2. Đối xứng bậc 1 hay các
mặt đối xứng, các trục quay đối xứng, các tâm đối xứng đảo. Đối xứng bậc 2
là các phần tử đối xứng phức tạp như trục đảo ngược - gương - đảo.
Các mặt đối xứng được gọi là các mặt đối xứng phản xạ gương được
thực hiện bởi sự dịch chuyển các điểm bằng nhau.
Mặt đối xứng được ký hiệu bằng chữ M. (tiếng Pháp: Miroir - gương)
và chia đôi tất cả các đoạn thẳng vuông góc với nó, liên kết tất cả các điểm
đối xứng.

Nguyễn Văn Thanh

14

Lý

K32 E Vật


a
Hình 1.4. Thao tác trên điểm tinh thể học
a. Mặt đối xứng; b. Trục quay bậc 2; c. Tâm đảo.

Trục quay đối xứng bậc n được gọi là trục mà sau khi quay nó dưới một
o

góc  

360
n

thì xảy ra sự trùng hợp các điểm đối xứng. Các bậc của các trục

ký hiệu là n xác định bao nhiêu lần các dạng hình học đối xứng trùng với
0

chính nó sau khi quay quanh trục một góc 360 (hình 1.3 bậc trục quay là 5;
hình 1.4b bậc trục quay là 2).
Đối xứng riêng của mỗi điểm tinh thể học được mô tả trên hình 1.4 xác
định trục quay bậc 1. Nếu như chúng ta bàn về một hình dạng bất kỳ thì trục
quay là bất kỳ. Quả cầu có vô số bậc, hình hộp chữ nhật có một trục duy nhất
có bậc bằng vô cùng. Các đa diện có cạnh bằng n thì cũng có các trục bằng n.

Bậc của các trục quay khả dĩ bị giới hạn một cách nghiêm ngặt. Trong
trường hợp này chỉ có các trục bậc 2, 3, 4, 6.

Nguyễn Văn Thanh

17

K32 E Vật Lý


Hình 1.5. Trục đối xứng bậc 4

Trong hệ (I T) [5] họ ký hiệu 1, 2, 3, 4 và 6. Hai đầu của trục quay có
thể là khác nhau (trục cực). Ví dụ: Trong trường hợp trục bậc 4 đi qua lăng
kính 4 cạnh (hình 1.5a) bốn mặt, hoặc là khác nhau (hình 1.5b, c). Trong
trường hợp trục bậc 2 ta có mặt phẳng đối xứng, mặt phẳng này vuông góc
với trục bậc 4 ta ký hiệu trục 4/m. Trong các trường hợp tương tự góc quay
được xem là mặt phẳng đối xứng vuông góc với trục. Các ký hiệu tương ứng
là 2m, 4m, 6m. Các trục có bậc lớn hơn 2 gọi là trục chính. Trên hình 1.6 chỉ
ra các trục 2, 3, 4, 6, 2/m, 3/m, 4/m, 6/m (các ký hiệu các trục đối xứng). Tâm
đảo (tâm đối xứng) là tâm đảo ngược bằng nhau được gọi là các điểm hình
học, các đường cắt nối các phần của hình thể hình học nào đó đối ngược, song
song với nhau và bằng nhau nhưng có chiều ngược lại (bất đối xứng) (hình
1.4c). Các tâm đảo ta ký hiệu: bậc 1 .
Nếu sự đối xứng các điểm bằng nhau thì các điểm đó gọi là các điểm
tương ứng tỷ lệ. Trên hình 1.7 mô tả tinh thể Anoctit có tâm nghịch đảo đối
hình (hai hình đối xứng bằng nhau có thể chồng khít lên nhau nhưng cũng có
thể chúng không chồng khít nếu không nhờ phép đối xứng gương) các đối
hình chồng khít lên nhau nhờ phản xạ gương.

Hình 1.6 . Các trục quay bậc 2, 3, 4, 6, 2/m, 3/m, 4/m, 6/m.

Đối hình có thể là các phân tử đối
xứng cấu trúc tinh thể (hình 1.8.a) sự có
mặt của các phân tử cấu trúc đối hình dẫn
tới sự xuất hiện định dạng đối hình tinh
thể. Hình tượng đối hình tinh thể được
miêu tả đối xứng trái, phải như tinh thể
clorat natri kéo theo “đối hình’’ và các
tính chất vật lý. Ví dụ: Sự quay mặt
phẳng phân cực của ánh sang theo hoặc
ngược chiều kim đồng hồ.

Hình 1.7. Tinh thể Anoctit
có tâm nghịch đảo đối hình


Hình 1.8. Các phân tử và tinh thể đối hình
a. Các phân tử
b. Hình dạng quay trái và phải của các tinh thể clorat natri

1.5. Các trục nghịch đảo và gương quay
Trong một số các trường hợp để đồng nhất với trạng thái ban đầu chúng
ta cần phải thực hiện, không chỉ với phép quay hình với một góc nào đó mà
phải sử dụng cả phép phản xạ cùng với các mặt phụ trợ vuông góc với các
trục quay của hình. Các mặt phẳng này không nhất thiết phải là mặt phẳng đối
xứng hình học.
Các trục phức tạp tương tự hay các trục đối xứng phức tạp được gọi là
các trục quay gương. Các thao tác thực hiện nhờ các trục quay gương này có

thể thực hiện nhờ các trục nghịch đảo trong đó trục nghịch đảo bậc n được gọi
là trục kết hợp của các trục quay đồng thời không tách rời với các tâm nghịch
đảo. Trên thực tế chỉ ra rất khó có thể tách các trục quay độc lập và mặt phẳng
ngang với trục đó, từ một phía và các thao tác đồng thời trục quay và các mặt


Hình 1.9. a. Trục nghịch đảo bậc 1
b. Trục quay gương bậc 2

phản xạ gương từ phía khác. Muốn nói: rất khó tách biệt các trục quay và tâm
mạng đảo.
1.5.1. Trục mạng đảo bậc 1 và trục quay gương bậc 2
0

Ta quay điểm P1 trên hình 1.9a quanh trục quay bậc 1 với một góc 360

thì điểm P1 sẽ trùng khít lên chính nó. Bây giờ ta làm phép phản xạ nó qua
tâm đối xứng O và ta nhận được điểm P2. Ta thấy rất rõ trục nghịch đảo bậc 1
tương đương tâm nghịch đảo. Ta xem xét tác động trục gương – quay bậc 2.
Ta vẽ một mặt phản xạ gương π (hình 1.9b) và vuông góc với nó ta vẽ trục
0

bậc 2 xuyên qua mặt phẳng π tại điểm O. Ta thực hiện phép quay 180 điểm
P1 sẽ chuyển tới vị trí ξ1. Phản xạ tiếp theo trong mặt phẳng π sẽ cho chúng ta
một điểm đánh dấu vị trí cuối cùng P2 về tổng thể ta nhận được phép quay
gương trục bậc 2. Từ hai hình vẽ trên ta thấy vị trí các điểm là giống nhau.
Nếu ở hình có tâm nghịch đảo 1 thì không có mặt đối xứng nghĩa là tâm đối
xứng là bậc đối xứng bậc 1

.

Hình 1.10. a. Trục nghịch đảo bậc 2 (m)
b. Trục quay gương bậc 1

Nếu chúng ta thay trục đối xứng bậc 2 đồng thời với mặt phẳng phản xạ
gương π thì chúng ta có một mặt đối xứng độc lập, nghĩa là tổ hợp các phân tử
đối xứng không gian 2/m. Chúng ta nhận được hình từ bốn điểm chứ không
phải hai điểm.
1.5.2. Trục nghịch đảo bậc 2 và trục gương quay bậc 1
Trục nghịch đảo bậc 2 rất khác biệt với trục đối xứng (hình 1.10a).
0

Chúng ta quay điểm 2 một góc 180 ta sẽ đưa nó đến điểm trung gian S1
nhưng phép phản xạ qua tâm cho ta vị trí nó ở P2. Nơi vị trí P1 sẽ “rơi” do
phép phản xạ qua mặt phẳng đối xứng.
Chúng ta sử dụng trục quay gương bậc 1 (hình 1.10b), tiến hành quay
P1 xung quanh trục 1 và ta đưa điểm này về vị trí ban đầu của nó thì phép
phản xạ cuốt cùng trong mặt phẳng phản xạ đối xứng đưa P1 thành P2,.. Như
vậy trục quay gương bậc 1 tương đương với trục nghịch đảo bậc 2 (kết quả
nó tương đương với trục bậc 2), mặt phẳng π là mặt phẳng đối xứng thông
qua m. Nếu thay trục bậc 2 một cách đồng thời và không tách rời với tâm
nghịch đảo bậc 1 thì chúng ta có một tập hợp các phân tử không đối xứng 2 +


1 thành một hình cấu tạo từ bốn điểm chứ không phải hai điểm (hình 1.6).
Nói cách khác 2/m + 1về mặt tác dụng vì vậy 2/m được ký hiệu

1.5.3. Trục nghịch đảo bậc 3 và trục gương quay bậc 6

Hình 1.11. a. Trục nghịch đảo bậc 3 ; b. Trục quay gương bậc 6.

Trục nghịch đảo bậc về kết quả mà nói với trục quay bậc 3 cộng với
0

tâm nghịch đảo. Trên hình 1.11a điểm P1 sau khi quay 1 góc 120 sẽ chuyển
vào vị trí điểm P5 và thông qua tâm nghịch đảo sẽ nhận được điểm P2. Điểm
0

P2 quay một góc 120 sẽ rời đến điểm trung gian P4 và qua tâm nghịch đảo
nhận được P3,…Kết quả chúng ta nhận được 3 vị trí P1, P3 và P5 (mặt phẳng
trên), còn mặt phẳng dưới là ba điểm P2, P4 và P6. Trong đó ba điểm trên nằm
ở vị trí ba điểm dưới không choán chỗ. Trục quay gương bậc 6 sẽ cho chúng
0

ta kết quả tương tự (hình 1.11b). Quay P1 60 và phản xạ nó qua mặt phẳng π
ta nhận được điểm P2, …Trong đó mặt phẳng π được gọi là mặt phẳng đối
xứng.
Trục quay bậc 6 và mặt phẳng đối xứng ngang ký hiệu 6/m được tạo
thành bởi hình 12 điểm (hình 1.6), kết quả tương tự chúng ta có thể nhận được


khi ta làm phép biến đổi đối với các phân tử độc lập đối xứng 6 + 1 vì vậy
6/m có thể ký hiệu 6 + 1.


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Trục nghịch đảo bậc 4 và trục quay gương bậc 4 cho chúng ta kết quả
như nhau (hình 1.12). Ký hiệu

. Trên hình 1.12 ta thấy trục nghịch đảo bậc

4 cũng là trục bậc 2. Ngược lại trục bậc 2 không phải lúc nào cũng là trục
nghịch đảo bậc 4 . Mặt phẳng không phải lúc nào cũng là mặt phẳng đối xứng
của các hình, không có tâm đối xứng. Trục quay 4 + 1 cũng là 4/m và cũng là
các hình 8 điểm (hình 1.6) chúng ta ký hiệu tổ hợp không gian các phân tử đối
xứng là
1.5.4. Trục nghịch đảo bậc 6 và phép quay gương bậc 3
Được xem như là trục quay bậc 3 cộng với mặt phẳng đối xứng vuông
góc với nó (hình 1.13). Ký hiệu

Hình 1.12. a. Trục nghịch đảo bậc 4
b. Trục quay gương bậc 4

S2

Đến bây giờ ta biết rõ rằng không thể xem mặt phản xạ là các phần tử
của trục quay gương lúc nào cũng tương đương với mặt phẳng đối xứng của
các hình. Trục nghịch đảo được xem là dấu hiệu việc nhất thiết tồn tại tâm
nghịch đảo của hình. Từ vị trí các điểm trên hình 1.9 ÷ hình 1.13 ta thấy rất rõ
các hình nhận được sau khi ta tác động lên các điểm bởi các trục nghịch đảo
lẻ bậc
1,

3 ,…có tâm nghịch đảo. Còn các hình có trục nghịch đảo bậc chẵn

thì có các mặt phẳng đối xứng ( 2, 6 ). Các hình có trục nghịch đảo bậc 4

không có tâm và mặt phẳng đối xứng. Chúng ta thấy trục quay gương ở tác