KS GIÁO VIÊN TOÁN VĨNH PHÚC 2017 2018

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
ĐỀ CHÍNH THỨC

KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CHUYÊN MÔN GIÁO VIÊN
NĂM HỌC 2017-2018
ĐỀ MÔN TOÁN- CẤP THCS
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
—————————

Câu 1 (2,0 điểm). Cho biểu thức A =

x +2
x + 3 3x + 4 x − 5
−
−
.
x +1 5 − x x − 4 x − 5

a) Rút gọn A.
b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A > −2.
 x − my = 2 − 4m
, với m là tham số .
 mx + y = 3m + 1

Câu 2 (2,0 điểm). Cho hệ phương trình 
a) Giải hệ phương trình với m = 2 .

b) Chứng minh rằng hệ phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất ( x0 ; y0 ) với mọi m và biểu
2
2
thức B = x0 + y0 − 5 ( x0 + y0 ) không phụ thuộc vào m.

Câu 3 (1,0 điểm). Cho phương trình x 2 − 2mx + m 2 − m + 3 = 0 (1) ( x là ẩn, m là tham số). Tìm tất
cả các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm . Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình (1).
2
2
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = x1 + x2 − 4 x1 x2 .

Câu 4 (3,0 điểm). Cho đường tròn ( O; R ) , đường kính AB . Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn

( O; R ) và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao cho
với đường tròn ( O; R ) tại điểm M ( M khác A ).

AP > R . Từ điểm P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc

a) Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp.
b) Đường thẳng vuông góc với AB tại điểm O cắt đường thẳng BM tại điểm N . Chứng minh
rằng tứ giác OBNP là hình bình hành.
c) Đường thẳng PM và ON cắt nhau tại điểm I , đường thẳng PN và OM cắt nhau tại điểm J .
Chứng minh rằng đường thẳng IJ đi qua trung điểm của OP.
Câu 5 (1,0 điểm). Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( m, n ) sao cho 6m + 2n + 2 là một số chính
phương.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn
Chứng minh rằng

a2 + 1
b2 + 1
c2 + 1
d 2 +1
+
+

+
≥3
2
2
2
2

(

1
1
1
1
+
+
+
= 2.
a +1 b +1 c +1 d +1

)

a + b + c + d − 8.

----Hết---Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh …………………………………………………….. Số báo danh ……………..


SỞ GDĐT VĨNH PHÚC
(Đáp án gồm 04 trang)

KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CHUYÊN MÔN GIÁO VIÊN
NĂM HỌC 2017-2018
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN : CẤP THCS

Câu 1 (2,0 điểm). Xét biểu thức : A =

x +2
x + 3 3x + 4 x − 5
−
−
x +1 5 − x x − 4 x − 5
Nội dung

1a) Rút gọn A .
x ≥ 0

⇔ 0 ≤ x ≠ 25
ĐK: 5 − x ≠ 0

x − 4 x − 5 ≠ 0
Đặt x = a ta có :
A=

0,25

a + 2 a + 3 3a 2 + 4a − 5 a + 2 a + 3 3a 2 + 4a − 5
−
−
=
+

−
a + 1 5 − a a 2 − 4a − 5
a + 1 a − 5 a 2 − 4a − 5

( a + 2 ) ( a − 5 ) + ( a + 3) ( a + 1) − ( 3a
( a + 1) ( a − 5)
( a + 1) ( a + 2 )
− a 2 − 3a − 2
=
=−
( a + 1) ( a − 5 )
( a + 1) ( a − 5 )
=

Điểm
1,00

2

+ 4a − 5 )

a+2
x +2
x +2
=−
.
. Vậy A = −
a−5
x −5
x −5

1b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A > −2.
=−

a+2
a+2
> −2 ⇔ 2 −
>0
a−5
a−5
 a > 12
a − 12
⇔
>0⇔
a −5
a < 5

Ta có A > −2 ⇔ −

Với 0 ≤ a < 5 ⇔ x < 5 ⇔ 0 ≤ x < 25.
Với a > 12 ⇔ x > 12 ⇔ x > 144 . Vậy giá trị cần tìm là 0 ≤ x < 25 hoặc x > 144.
 x − my = 2 − 4m
Câu 2 (2,0 điểm). Cho hệ phương trình 
, với m là tham số .
 mx + y = 3m + 1
Nội dung
2a) Giải hệ phương trình với m = 2 .
 x − 2 y = −6
Với m = 2 hệ trở thành 
2 x + y = 7

0,25

0,25
0,25
1,00
0,25
0,25
0,25
0,25

Điểm
1,00
0,25

x = 2 y − 6
 x = 2 y − 6
⇔
⇔
2 x + y = 7
 2 ( 2 y − 6 ) + y = 7

0,25

8

 x = 5
x = 2 y − 6
⇔
⇔
5 y = 19

 y = 19

5

0,25


 8 19 
Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất ( x; y ) =  ; ÷ .
5 5 

0,25

2b) Chứng minh rằng hệ phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất
m và biểu thức B = x02 + y02 − 5 ( x0 + y0 ) không phụ thuộc vào m.

( x0 ; y0 ) với mọi

Từ PT thứ hai của hệ ta có y = 3m + 1 − mx , thế vào PT thứ nhất ta được:

( m2 + 1) x = 3m2 − 3m + 2

Do m + 1 ≠ 0 với mọi m nên (*) có nghiệm duy nhất x =
2

Khi đó y =

4m 2 + m + 1
m2 + 1

( *)

3m2 − 3m + 2
m2 + 1

1,00

0,25

.

. Vậy với mọi m hệ luôn có nghiệm

0,25

 3m2 − 3m + 2 4m 2 + m + 1 
x
;
y
=
;
.
÷
( 0 0 ) 
2
2
÷
m
+
1

m
+
1



2
2
2
2
Từ hệ ta có ( x − my ) + ( mx + y ) = ( 2 − 4m ) + ( 3m + 1) ⇔ ( m + 1) ( x + y ) = 25m − 10m + 5
2

⇔ x2 + y2 =

2

2

2

0,25

25m 2 − 10m + 5
.
m2 + 1

7 m 2 − 2m + 3
25m 2 − 10m + 5
7 m 2 − 2m + 3

Suy
ra
.
B
=
−
5.
= −10.
m2 + 1
m2 + 1
m2 + 1
Câu 3 (1,0 điểm). Cho phương trình: x 2 − 2mx + m 2 − m + 3 = 0 ( 1) , ( x là ẩn, m là tham số ).

Mặt khác x0 + y0 =

0,25

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình ( 1) có nghiệm . Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương
trình. Tìm các giá trị của m để biểu thức C = x12 + x22 − 4 x1x2 đạt giá trị lớn nhất.
Nội dung
Phương trình ( 1) có nghiệm khi và chỉ khi ∆′ = m − 3 ≥ 0 ⇔ m ≥ 3.

Điểm
0,25

Theo định lý Viét ta có x1 + x2 = 2m; x1x2 = m 2 − m + 3.

0,25

(

2

)

C = x12 + x22 − 4 x1x2 = ( x1 + x2 ) − 6 x1x2 = 4m 2 − 6 m 2 − m + 3 = −2m 2 + 6m − 18

0,25

C = −2m 2 + 6m − 18 = −18 + 2m ( 3 − m ) ≤ −18, ∀m ≥ 3 . Dấu đẳng thức xảy ra khi m = 3 .
0,25
Vậy giá trị lớn nhất của C bằng −18 khi m = 3 .
Câu 4 (3,0 điểm). Cho đường tròn ( O; R ) , đường kính AB . Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn ( O; R ) và
lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao cho AP > R . Từ điểm P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn
( O; R ) tại điểm M ( M khác A ).
a) Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp.
b) Đường thẳng vuông góc với AB tại điểm O cắt đường thẳng BM tại điểm N . Chứng minh rằng tứ
giác OBNP là hình bình hành.
c) Đường thẳng PM và ON tại điểm I , đường thẳng PN và OM cắt nhau tại điểm J . Chứng minh
rằng đường thẳng IJ đi qua trung điểm của OP.
Nội dung

Điểm


4a) Chứng minh rằng tứ giác APMO là tứ giác nội tiếp.

1,0

·

·
Ta có PAO
= PMO
= 900
·
·
Suy ra PAO
+ PMO
= 1800. Do đó tứ giác APMO nội tiếp.
4b)…. Chứng minh rằng tứ giác OBNP là hình bình hành.

0,5
0,5
1.0

1
1
Ta có ·ABM = ·AOM . Mà OP là phân giác của góc AOM ⇒ ·AOP = ·AOM
2
2
⇒·ABM = ·AOP ⇒ MB || OP (1)
Ta có hai tam giác AOP, OBN bằng nhau (gcg). Suy ra OP = BN

(2)

0,25
0,25

Từ (1) và (2) suy ra OBNP là hình bình hành.

0,25
0,25

4c)…. Chứng minh rằng đường thẳng IJ đi qua trung điểm của OP.

1,0

Gọi K là giao điểm của OP và AN. Do PN || AO , suy ra AONP là hình chữ nhật, suy ra K là trung
điểm của OP.
Do PM ⊥ OJ và ON ⊥ PJ nên I là trực tâm tam giác OPJ. Suy ra IJ ⊥ OP (3)
·
·
·
·
Ta có ·APO = POI
(sole) và ·APO = OPI
, suy ra OPI
. Do đó tam giác IPO cân tại I.
= POI
Mà K là trung điểm của OP nên IK ⊥ OP (4). Từ (3) và (4) suy ra I , J , K thẳng hàng.

0,25
0,25
0,25
0,25

Câu 5 (1,0 điểm). Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( m, n ) sao cho 6m + 2n + 2 là một số chính
phương.
Nội dung
Điểm

(

)

6m + 2n + 2 = 2 3m × 2m −1 + 2n−1 + 1 là một số chính phương thì 3m × 2m−1 + 2n−1 + 1 phải là
một số chẵn. Vậy trong hai số 3m × 2m−1 và 2n−1 có một số chẵn và một số lẻ.
TH1: Nếu 3m × 2m−1 là số lẻ thì m = 1 , khi đó 6m + 2n + 2 = 8 + 2n.
Ta thấy ngay n = 1, n = 2 không thỏa mãn và n = 3 thỏa mãn.

(

)

n
n −2
+ 2 ⇒ 2n−2 + 2 là số chính phương.
Xét n ≥ 4 , ta có 8 + 2 = 4 2

Một số chính phương khi chia cho 4 có số dư là 0 hoặc 1 mà 2n−2 + 2 chia 4 dư 2 nên không là
số chính phương. Do đó cặp ( m, n ) = ( 1;3) là một nghiệm của bài toán.

0,25

0,25


TH2: Nếu 2n−1 là số lẻ thì n = 1 , khi đó 6m + 2n + 2 = 6m + 4. Ta có

0,25

m

6m + 4 ≡ ( −1) + 4 ≡ 3 hoặc 5 (mod 7)
2

2

2

2

Mặt khác ( 7 k ) ≡ 0 ( mod 7 ) , ( 7 k ± 1) ≡ 1( mod 7 ) , ( 7 k ± 2 ) ≡ 4 ( mod 7 ) , ( 7 k ± 3 ) ≡ 2 ( mod 7 ) ,

Do đó 6m + 2n + 2 không thể là số chính phương. Vậy ( m, n ) = ( 1;3) là đáp số duy nhất cần tìm.
1
1
1
1
+
+
+
= 2.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn :
a +1 b +1 c +1 d +1
Chứng minh rằng :
a2 + 1
b2 + 1
c2 + 1
d 2 +1

+
+
+
≥ 3 a + b + c + d −8
2
2
2
2
Nội dung
2
a +1
2
−a
 a2 + 1

a2 + 1
 2

2
− a=

÷ ≤ 2  a + 1 + a ÷ = ( a + 1) 2
.
Mà
+
a
2
2
 2
÷


2
÷
a +1




+ a
2

(

Ta có

0,25

)

Điểm

0,25

2

a2 + 1
1 ( a − 1)
− a≥ .
.
2

2 a +1

Suy ra
Ta có

( a − 1) 2
a +1

∑
cyc

4
4
= ( a + 1) +
− 4 . Cùng các BĐT tương tự ta được:
a +1
a +1
 1
 

1 
4 


÷

÷
a+ b+ c+ d ≥
a + 1) + ∑
− 16  =  ∑ a ÷− 2

(
∑
÷  cyc a + 1 ÷
2  cyc
 2  cyc ÷
 





= a −3+

a2 + 1
−
2

(

)

1

1

a
1 

a
= ∑ 1 −

= 2  ∑ a − 1÷ = 2  ∑ ( a + 1) + ∑
− 4 ÷ (do ∑
÷ = 2 , theo giả thiết)
a + 1 cyc  a + 1 
 4 cyc
÷  4 cyc
÷
a
+
1
cyc
cyc




1
a
≥ a , suy ra
Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ta được ( a + 1) +
4
a +1
1
a
−4≥ a + b + c + d −4
( a + 1) + ∑
∑
4 cyc
cyc a + 1
Do đó

∑

cyc

a2 + 1
−
2

(

) (

a+ b+ c+ d ≥2

0,25

0,25

0,25

)

a + b + c + d − 8 (đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1.
Lưu ý khi chấm bài:
- Hướng dẫn chấm (HDC) chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của
học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó.
- Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.

- Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được
điểm.
- Bài hình học nếu không vẽ hình phần nào thì không cho điểm phần đó.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
/>