190 đề thi thử THPTQG năm 2018 môn toán bộ đề TN toán đề 12 file word có lời giải chi tiết doc

ĐỀ SỐ 12


BỘ ĐỀ THI THPT QUỐC GIA CHUẨN CẤU TRÚC BỘ GIÁO DỤC
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 60 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1: Cho góc α thỏa mãn π < α <
A. 6.

B.

3π
và sin α − 2 cos α = 1 . Tính A = 2 tan α − cot α .
2

1
.
6

C. 2.

D.

1
.
2

 π
Câu 2: Tìm các nghiệm x ∈  0; ÷ của phương trình sau
 2

x
3π 

π


4sin 2  π − ÷− 3 sin  − 2 x ÷ = 1 + 2 cos 2  x −
÷
2
4 

2


A. x =

5π
.
18

 5π 7π 
B. x ∈  ;  .
 18 18 

 a b2 3 b2
Câu 3: Cho khai triển nhị thức:  3 +
 b a 3 a2

hạng có tỉ số lũy thừa của a và b bằng −

C. x =

7π
.
18

D. x ∈∅

3n


÷ với a ≠ 0, b ≠ 0 . Hãy xác định hệ số của số
÷


1
biết rằng
2

1
1
3
10923
3C20n − C21n + C22n − C23n + ... +
C22nn =
2
4
2n + 1
5
A. 161280.

B. 280161.

C. 280116.

D. 116280.

Câu 4: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n > 4 ) . Tìm n biết rằng trong số các phần tử của A có
đúng 16n tập con có số phần tử là lẻ.
A. n = 8.

B. n = 9.

C. n = 10.

D. n = 16.

Câu 5: Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ công ty sữa, người ta gửi đến bộ phận kiểm
nghiệm 5 hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu và 3 hộp sữa nho. Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu
nhiên 3 hộp sữa để phân tích mẫu. Tính xác suất để 3 hộp sữa được chọn có cả 3 loại.
A.

2
.
11

B.

3
.

11

C.

4
.
11

2 
2  
2

Câu 6: Tính giới hạn lim 1 −
÷1 −
÷... 1 −
 2.3  3.4   ( n + 1) ( n + 2 )
A.

2
.
3

B. 0

C.

1

1
.

3

D.

2
.
3


÷
÷

D. +∞ .


(

x x + x2 + 1
Câu 7: Tính giới hạn xlim
→−∞
A.

1
.
2

Câu 8: Cho hàm số y =

)

1
B. − .
2

C. −∞

D. +∞

x3
π

sin  3 x + ÷. Tính đạo hàm y’.
3
4


π 3
π


2
A. y ' = x sin  3x + ÷+ x cos  3x + ÷.
4
4


π 3
π



2
B. y ' = x sin  3x + ÷+ x cos  3x + ÷.
4
3


π 2
π


3
C. y ' = x sin  3 x + ÷+ x cos  3x + ÷.
4
4


π 3 
π

2
D. y ' = x cos  3x + ÷+ x sin  3x + ÷.
4
4


Câu 9: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(1;2) và đường tròn (C) có tâm I, bán kính R. Gọi
uuuu
r uu
r
M ∈ ( C ) và N ∈ ( C ') : x 2 + y 2 − 2 x − 4 = 0 sao cho MN = IA . Gọi yM , yN lần lượt là tung độ

các điểm M, N. Hỏi mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau?
A. yM + y N = −4.

B. yM y N = 0.

C. yM − y N = 4.

D.

yM
=1
yN

Câu 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = b, AA ' = c . Tính khoảng
cách từ điểm A đến đường thẳng BD’
A.

C.

a b2 + c2

B.

a 2 + b2 + c2
c a 2 + b2

D.

a 2 + b2 + c2

Câu 11: Hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số
y = ax 3 + bx 2 + c
Phương án nào sau đây là đúng?
A. a = 2; b = 3; c = −4.
B. a = 1; b = −3; c = −4.
C. a = 1; b = 3; c = 4.
D. a = 1; b = 3; c = −4.
2

b c2 + a2
a 2 + b2 + c 2
ab + bc + ca
a 2 + b2 + c 2


Câu 12: Tìm giá trị của m để hàm số y =

mx 2 + 2 x + 1
luôn đồng biến trên từng khoảng xác
x +1

định của nó.
A. 0 < m ≤ 1

B. 0 ≤ m ≤ 1

Câu 13: Cho hàm số f ( x ) =

C. 0 ≤ m < 1

D. 0 < m < 1

x 9 x8 x 6 x5 x 4 x 2
− + − + − + x + 2017 . Mệnh đề nào sau đây
9 8 6 5 4 2

đúng?
A. Hàm số f ( x ) chỉ có cực đại;
B. Hàm số f ( x ) chỉ có cực tiểu;
C. Hàm số f ( x ) chỉ có cực đại và cực tiểu;
D. Hàm số f ( x ) không có cực trị.
Câu 14: Tìm điều kiện của a,b để hàm số y = ( x + a ) + ( x + b ) − x 3 có cực trị.
3

a ≥ 0
B. 
b ≥ 0

A. ab ≥ 0

a > 0
C. 
b > 0

3

D. ab > 0

Câu 15: Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 2 có điểm cực đại và cực tiểu nằm
về hai phía đối với đường tròn

( Cm ) : x 2 + y 2 − 2mx − 4my + 5m 2 − 1 = 0.
A. 1 < m <

5
3

B. −1 < m <

5
3

C.

3
< m <1
5

3
D. − < m < 1
5

Câu 16: Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
 π π
f ( x ) = 5cos x − cos 5 x trên đoạn  − ;  . Tính Mm.
 3 3
A. 6 3.

B. 8.

C. 12 3.

D. 3 3.

Câu 17: Một đường dây điện nối một nhà máy điện từ A đến một hòn đảo tại C. Khoảng cách
ngắn nhất từ C đến B là 1 km. Khoảng cách từ B đến A là 4. Mỗi km dây điện đặt dưới nước
mất 5000 USD, còn đặt dưới đất là 3000 USD. Hỏi điểm S trên bờ cách A bao nhiêu để khi
mắc dây điện từ A qua S rồi đến C ít tốn kém nhất?
A.

11
km.
4

B.

13
km.
4

C.

Câu 18: Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số y =
3

15
km.
4

x2 + x

x −1

D.

17
km.
4


A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 19: Cho hàm số y = x 3 − 2mx 2 + m 2 x + 1 − m có đồ thị (Cm). Tìm giá trị nguyên của m để
(Cm) tiếp xúc với trục hoành.
A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

3
2
Câu 20: Viết phương trình parabol đi qua các điểm cực trị của đồ thị ( C ) : y = x − 3 x + 4 và

tiếp xúc với đường thẳng y = −2 x + 2 .
A. y = 2 x 2 − 6 x + 4.

B. y = 2 x 2 + 6 x + 4.

C. y = 2 x 2 − 6 x − 4.

D. y = −2 x 2 + 6 x + 4.

e x + e− x
e x − e− x
Câu 21: Cho hai hàm số f ( x ) =
và g ( x ) =
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
2
2
A. f ( x ) là hàm số lẻ trên ¡ .

B. g ( x ) là hàm số lẻ trên ¡ .

C. f ' ( x ) = − g ( x )

D. g ' ( x ) = f ( x )

Câu 22: Cho log 2 3 = a, log 2 5 = b . Hãy tính log 3 125
A.

b
.

3a

B.

3b
.
a

C.

2a
.
b

D.

2b
.
a

a
.
1+ b

D.

b
.
1− a

Câu 23: Cho log12 6 = a, log12 7 = b . Hãy tính log 2 7
A.

a
.
a −1

B.

a
.
1− b

C.

Câu 24: Tìm số nghiệm nguyên của phương trình
x log

A. 1.

2

x + log x3 + 3

=

2
1
1
−

1+ x −1
1+ x +1

B. 2.

C. 3.

Câu 25: Tìm miền xác định của hàm số y = ln
A. D = ( 100; +∞ )

(

B. D = ( 0; +∞ )

D. 4.

8−2+ log x − 3 4 2−log x

)

C. D = ( 1000; +∞ )

D. D = ( 10; +∞ )

Câu 26: Tìm m để phương trình
3log 27 ( 2 x 2 − x + 2m − 4m 2 ) + log 1
3
2
2
có hai nghiệm x1 , x2 sao cho x1 + x2 > 1 .

4

x 2 + mx − 2m 2 = 0


 −1 < m ≤ 0
.
A.  2
 2
5

 −1 ≤ m < 0
.
B.  2
 2
5

 −1 < m < 0
.
C.  2
 2
5

 −1 < m < 0
.
D.  2

 ≤m< 1
2
5

1 
Câu 27: Cho x, y , z , t ∈  ;1÷. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4 
1
1
1


 1

P = log x  y − ÷+ log y  z − ÷+ log z  t − ÷+ log t  x − ÷
4
4
4


 4

A. 4.

B. 8.

C. 16.

D. 64.

Câu 28: Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 1 quý, với
lãi suất 1,65% một quý. Hỏi bao lâu người đó có được ít nhất 20 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi) từ
số vốn ban đầu? (Giả sử lãi suất không thay đổi).
A. 15 quý.

B. 16 quý.

C. 17 quý.

D. 18 quý.

b
x +1
Câu 29: Giả sử S = a ln − 1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
với
c
x−2
các trục tọa độ. Hỏi mệnh đề nào là đúng?
A. a + b + c = 8
Câu 30: Giả sử rằng

B. a > b

C. a − b + c = 1

∫ ( x − 2 ) sin 3xdx = −

D. a + 2b − 9 = 0

( x − m ) cos 3x + 1 sin 3x + C

n

p

. Tính giá trị của

m+n+ p.
A. 14

B. −2.

C. 9

D. 10
x

Câu 31: Cho f là một hàm số. Tìm số thực a > 0 sao cho ∀x > 0 ,

∫
a

A. 7.

B. 8.

C. 9.

f ( t)
dt + 6 = 2 x
t2

D. 10.

Câu 32: Cho f ( x ) là hàm liên tục và a > 0 . Giả sử rằng với mọi x ∈ [ 0; a ] ta có f ( x ) > 0
a

dx
theo a.
1+ f ( x)
0

và f ( x ) f ( a − x ) = 1. Hãy tính I = ∫
A. a.
Câu 33: Hàm số f ( x ) =

B.

a
.
2

C. 2a

e2 x

∫ t ln tdt

ex

A. Đạt cực tiểu tại x = 0 và đạt cực đại tại x = − ln 2.
B. Đạt cực tiểu tại x = − ln 2 và đạt cực đại tại x = 0.

C. Đạt cực tiểu tại x = 0 và đạt cực đại tại x = ln 2.
5

D. a 2 .


D. Đạt cực tiểu tại x = ln 2 và đạt cực đại tại x = 0.
Câu 34: Hình phẳng S giới hạn bởi ba đường y = x, y = 2 − x, x = 0 . Khi quay S quanh Ox,
Oy tương ứng ta được hai vật thể tròn xoay có thể tích là Vx , Vy . Hãy lựa chọn phương án
đúng?
A. Vy =

π
.
3

C. Vx + Vy =

B. Vx = 12.
20π
.
3

D. Vx + Vy =

8π
.
3

Câu 35: Một khu rừng có trữ lượng gỗ 4.105 m3 . Biết tốc độ sinh trưởng của các cây ở khu

rừng đó là 4% mỗi năm. Hỏi sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có bao nhiêu mét khối gỗ? (Lấy số
gần đúng).
A. 4,8666.105 m3 .

B. 4, 7666.105 m3 .

C. 4, 6666.105 m3 .

D. 4,5666.105 m3 .

Câu 36: Cho n ∈ ¥ , n > 3 thỏa mãn phương trình log 4 ( n − 3) + log 4 ( n + 9 ) = 3. Tổng phần
thực và phần ảo của số phức z = ( 1 + i ) .
n

A. 3.

B. 2.

C. 1

D. 0

2
Câu 37: Cho phương trình 8 z − 4 ( a + 1) z + 4a + 1 = 0 với a là tham số. Tìm a ∈ ¡

phương trình có hai nghiệm z1 , z2 thỏa mãn

để

z1

là số ảo, trong đó z2 là số phức có phần ảo
z2

dương.
A. a = 0.

C. a ∈ { 0; 2} .

B. a = 2.

D. a ∈ { 0;1; 2} .

2
2
Câu 38: Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là các nghiệm của phương trình ( z + 1) ( z − 2 z + 2 ) = 0. Hãy tính

S = z12018 + z22018 + z32018 + z42018
A. S = −2.

B. S = 2.

C. S = −1.

D. S = 1.

Câu 39: Cho ba số phức a,b,c phân biệt, khác 0 và thỏa mãn a = b = c . Biết một nghiệm
của phương trình az 2 + bz + c = 0 có môđun bằng 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. b 2 = 4ac.

B. b 2 = ac.

C. b 2 = 2ac.

D. b 2 = 3ac.

Câu 40: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A
sao cho BC = AC ' = 5a và AC = 4a . Tính thể tích hình lăng trụ.
6


A. V = 9a 3 .

B. V = 36a 3 .

C. V = 18a 3 .

D. Kết quả khác.

Câu 41: Một hộp đựng quả bóng tennis được thiết kế có dạng hình trụ sao cho đáy hộp là
đường tròn bằng với đường tròn lớn của quả bóng và chứa đúng 5 quả bóng (khi đậy nắp hộp
thì nắp hộp tiếp xúc với quả bóng trên cùng). Cho biết chiều cao của hộp là 25 cm. Tính diện
tích một quả bóng tennis.
A. S = 25 cm 2

B. S = 25π cm 2

C. S = 50π cm 2

D. S = 100π cm 2

Câu 42: Thiết diện qua trục của một hình nón tròn xoay là tam giác đều, cạnh a. Tính tỉ số
thể tích của hình cầu ngoại tiếp và hình cầu nội tiếp hình nón.
A.

2.

B. 2.

C. 4.

D. 8.

Câu 43: Cho hình chữ nhật ABCD cạnh AB = 4, AD = 2 . Gọi M,N lần lượt là trung điểm AB
và CD. Cho hình chữ nhật quay quanh MN ta thu được hình trụ tròn xoay. Tính thể tích của
hình trụ tròn xoay.
A. V = 4π .

B. V = 8π .

C. V = 16π .

D. V = 32π .

Câu 44: Cho S.ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy là a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc
60° . Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay có đỉnh S, đáy là đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC.

π a2
A. S xq =
.

3

2π a 2
B. S xq =
.
3

2
C. S xq = π a .

2
D. S xq = 2π a .

Câu 45: Cho hình lập phương (L) và hình trụ (T) có thể tích lần lượt là V1 và V2 . Cho biết
chiều cao của (T) bằng đường kính đáy và bằng cạnh của (L). Hãy chọn phương án đúng.
A. V1 < V2 .

B. V1 > V2 .

C. V1 = V2 .

D. Không so sánh được.

Câu 46: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

( S ) : x2 + y2 + z 2 + 4 y − 2z − 4 = 0

và mặt

phẳng ( α ) : x + y + 2 z − 8 = 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. ( α ) cắt (S) theo một đường tròn.
B. ( α ) tiếp xúc với (S).
C. ( α ) quâ tâm I của (S).
D. ( α ) và (S) không có điểm chung.
Câu 47: Trong không gian Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ sao cho
A ≡ O ( 0;0;0 ) , B ( a;0;0 ) , D ( 0; a;0 ) , A ' ( 0;0; a ) . Xét các mệnh đề sau:
7


(I). x + y + z − a = 0 là phương trình mặt phẳng (A’BD).
(II). x + y + z − 2a = 0 là phương trình mặt phẳng (CB’D).
Hãy chọn mệnh đề đúng.
A. Chỉ (I).

B. Chỉ (II).

C. Cả hai đều sai.

D. Cả hai đều đúng.

Câu 48: Trong không gian Oxyz, cho ∆ ABC có A ( 1;1;0 ) , B ( 0; 2;1) và trọng tâm G ( 0; 2; −1)
. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm C và vuông góc với mặt phẳng (ABC).
 x = −1 − t

A.  y = 3 + t
 z = −4


 x = −1 + t


B.  y = 3 − t
 z = −4


 x = −1 + t

C.  y = 3 + t
 z = −4 + t


 x = −1 + t

D.  y = 3 + t
 z = −4


Câu 49: Trong không gian Oxyz, viết phương trình tập hợp các điểm M sao cho ·AMB = 90°
với A ( 2; −1; −3) , B ( 0; −3;5 )
A. ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 1) = 18.

B. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 18.

C. ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 1) = 3.

D. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 3.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

2

x −1 y −1 z − 2
=
=
và
1
1
−2

mặt phẳng ( P ) : x + 2 y + z − 6 = 0 . Mặt phẳng (Q) chứa d và cắt (P) theo giao tuyến là đường
thẳng ∆ cách gốc tọa độ O một khoảng ngắn nhất. Viết phương trình mặt phẳng (Q).
A. x − y + z − 4 = 0

B. x + y + z + 4 = 0

C. x + y + z − 4 = 0

D. x + y − z − 4 = 0
Đáp án

1-B
11-D
21-D
31-C
41-B

2-A
12-B
22-B
32-B
42-C

3-D
13-D
23-D
33-A
43-B

4-A

14-D
24-A
34-D
44-B

5-B
15-C
25-A
35-A
45-B

6-C
16-A
26-C
36-D
46-D

7-B
17-B
27-B
37-C
47-D

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Đáp án B
Vì π < α <

3π
nên sin α < 0, cos α < 0.
2

8

8-A
18-C
28-D
38-C
48-D

9-D
19-C
29-A
39-B
49-A

10-A
20-A
30-A
40-A
50-C


sin α − 2 cos α = 1
2
⇒ ( 1 + 2 cos α ) + cos 2 α = 1
Ta có  2
2
sin α + cos α = 1
⇒ 5cos 2 α + 4 cos α = 0 ⇒ cos α = −

4

5

3
3
4
2
Suy ra sin α = − 1 − cos α = − ; tan α = ;cot α =
5
4
3
3 4 1
Vậy A = 2 tan α − cot α = 2. − = .
4 3 6
Câu 2: Đáp án A
x
3π 
π

2
2
Ta có 4sin  π − ÷− 3 sin  − 2 x ÷ = 1 + 2 cos  x −
÷
2
4 

2


3π 


⇔ 2 1 − cos ( 2π − x )  − 3 cos 2 x = 1 + 1 + cos  2 x −
÷
2 

⇔ 2 − 2 cos x − 3 cos 2 x = 2 − sin 2 x ⇔ sin 2 x − 3 cos 2 x = 2 cos x
⇔

1
3
π

π

sin 2 x −
cos 2 x = cos x ⇔ sin  2 x − ÷ = cos  − x ÷
2
2
3

3


π π
5π
2π


 2 x − 3 = 2 − x + k 2π
 x = 18 + k 3
⇔

⇔
 2 x − π = π + x + k 2π
 x = 5π + k 2π

3 2
6


( k ∈¢)

π
5π

.
Vì  x ∈ 0; ÷ nên ta chọn được nghiệm x =
2
18

Câu 3: Đáp án D
Xét

3
3
1
1
C22nk =
C22nk++11 và −
C22nk = −
C22nk++11
2k + 1

2n + 1
2k + 1
2n + 1

Điều kiện bài toán tương đương với:
3
1
10923
C21n +1 + C23n +1 + ... + C22nn++11 ) −
C22n+1 + C24n+1 + ... + C22nn+1 ) =
(
(
2n + 1
2n + 1
5
⇔

 10923
2 22 n +1
1  22 n +1
.
−
− C20n +1 ÷ =
.

2n + 1 2
2n + 1  2
5


Giải phương trình này hết sức đơn giản ta tìm được n = 7.
 a b2 3 b2
Ta có:  3 +
 b a 3 a2


21

k
k 8( 21− k ) −5( 21− k )
21

−
k 3
÷ = ∑ C21a b 3 b 3 a 3
÷
k =0


9


k
5k
− 35 +
1
35 = − 1 ⇔ k = 14
Hệ số của số hạng có tỉ số lũy thừa của a và b bằng − nên: 3
k
8k

2
2
− + 56 −
3
3
14
Vậy hệ số của bài toán thỏa mãn yêu cầu bài toán là C21 = 116280.

Câu 4: Đáp án A
Cn1 , Cn2 , Cn3 ,... lần lượt là số các tập con của A gồm 1;3;5… phần tử. Ta luôn có
Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... + Cnn = 2n ⇒ Cn1 + Cn2 + Cn3 + ... = 2n −1
n −1
n −5
Từ giả thiết ta có phương trình: 2 = 16n ⇔ 2 = n

( *)

Vì n > 4, n ∈ ¢ nên ta xét n = 5 thấy không thỏa (*), do đó ta xét n ≥ 6, n ∈ ¢
x −5
Xét hàm số f ( x ) = 2 − x liên tục trên nửa khoảng [ 6; +∞ ) , x ∉ ¢
x −5
Ta có f ' ( x ) = 2 ln 2 − 1 > 0, ∀x ≥ 6 ⇒ f ( x ) liên tục và đồng biến trên nửa khoảng [ 6; +∞ ) ,

x ∈ ¢ và f ( 8 ) = 0 ⇒ x = 8 là nghiệm duy nhất của phương trình 2 x −5 − x = 0, x ≥ 6, x ∈ ¢ .

Vậy n = 8 thỏa mãn đề bài.
Câu 5: Đáp án B
3
Số cách chọn 3 hộp sữa từ 12 hộp là: C12 = 220
1 1 1

Số cách chọn 3 hộp có cả 3 loại là C5C4C3 = 60

60
3
= .
220 11

Xác suất để 3 hộp sữa được chọn có cả 3 loại là
Câu 6: Đáp án C
2 
2  
2

Đặt xn = 1 −
÷1 −
÷... 1 −
 2.3   3.4   ( n + 1) ( n + 2 )
Từ 1 −
xn =

2

( k + 1) ( k + 2 )

=


÷
÷


k ( k + 3)
, k = 1,..., n ta có
( k + 1) ( k + 2 )

n ( n + 3)
1.4 2.5 3.6
n+3
...
=
2.3 3.4 4.5 ( n + 1) ( n + 2 ) 3 ( n + 1)

1
Vậy lim xn = .
3
Câu 7: Đáp án B

(

)



1 
1 
x x + x 2 + 1 = lim x  x + x 1 + 2 ÷
=
lim
x
x

−
x
1
+
Ta có xlim

÷
→−∞
x →−∞
x →−∞ 
x ÷
x2 ÷




10


1 

1 − 1 + 2 ÷


1
1
x 
= lim x 2 1 − 1 + 2 ÷
= lim x 2 
=− .

÷
x →−∞
x
→−∞
x 
2
1

1+ 1+ 2
x
Câu 8: Đáp án A
'

'

 x3 
π  x3  
π 
π
π



y ' =  ÷ sin  3 x + ÷+  sin  3 x + ÷÷ = x 2 sin  3 x + ÷+ x 3 cos  3 x + ÷
4 3  
4 
4
4




 3
Câu 9: Đáp án D
uuuu
r uu
r
Do MN = IA nên N = TuIAur ( M )
M ∈ ( C ) ⇒ N ∈ ( C1 ) là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến TuIAur
Do TuIAur ( I ) = A nên ( C1 ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) = 9.
2

2

N = ( C ') ∩ ( C1 ) ⇒ tọa độ điểm N là nghiệm của hệ phương trình
 x 2 + y 2 − 2 x − 4 = 0
 x = 1 ± 5 = xN
⇔

2
2
 y = 0 = y N
( x − 1) + ( y − 2 ) = 9
Suy ra xM = 1 ± 5, yM = −4
Vậy D sai.
Câu 10: Đáp án A
Do AB ⊥ AD ' nên ∆ ABD ' vuông tại A.
Trong ∆ ABD ' kẻ đường cao AH thì AH = d ( A, BD ')
Trong ∆ ADD ' ta có AD ' = AD 2 + DD ' = b 2 + c 2
BD ' = AB 2 + AD 2 = a 2 + b 2 + c 2
AB. AD '

a b2 + c2
=
Xét ∆ ABD ' ta được AH .BD ' = AB. AD ' ⇒ AH =
.
BD '
a2 + b2 + c2
Vậy d ( A, BD ') = AH =

a b2 + c 2
a 2 + b2 + c 2

Câu 11: Đáp án D
 c = −4
a = 1


Vì đồ thị hàm số đi qua các điểm (0;-4),(l;0),(-l;-2) nên  a + b + c = 0 ⇔ b = 3
 − a + b + c = −2
c = − 4


Câu 12: Đáp án B
11


• Tập xác định: D = ¡
• y'=

{ 1}

mx 2 + 2mx + 1

( x + 1)

2

• Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó khi và chỉ khi y ' ≥ 0, ∀x ≠ −1
• Xét m = 0 , ta có y ' =

1

( x + 1)

2

> 0, ∀x ≠ −1 (thỏa).

• Xét m ≠ 0
∆ ' = m 2 − m ≤ 0
0 ≤ m ≤ 1
⇔
⇔ 0 < m ≤ 1.
Yêu cầu bài toán ⇔ 
m > 0
m > 0
Kết luận: 0 ≤ m ≤ 1.
Câu 13: Đáp án D
• Tập xác định: D = ¡
8
7

5
4
3
7
4
2
• f ' ( x ) = x − x + x − x + x − x + 1 = ( x − 1) ( x + x + x + x ) + 1

(x
=

3

− 1) ( x 7 + x 4 + x 2 + x )
x2 + x + 1

+1 =

x10 + x5 + 1
+1
x2 + x + 1

2

 5 1 3
x + ÷ +
2 4
=
> 0, ∀x ∈ ¡
2

1 3

x+ ÷ +
2 4

Vậy hàm số f ( x ) không có cực trị.
Câu 14: Đáp án D
• Tập xác định: D = ¡
• y ' = 3 ( x + a ) + 3 ( x + b ) − 3x 2 = 3x 2 + 6 ( a + b ) x + 3 ( a 2 + b 2 )
2

2

• Hàm số có cực trị ⇔ y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ ∆ ' = 9 ( a + b ) − 3.3 ( a 2 + b 2 ) > 0 ⇔ ab > 0.
2

Câu 15: Đáp án C
Hàm số xác định và liên tục trên ¡ .
x = 0
2
2
Ta có: y ' = 3x − 6 x ; y ' = 0 ⇔ 3 x − 6 x = 0 ⇔ 
.
x = 2
Tọa độ các điểm cực trị: A ( 0; 2 ) , B ( 2; −2 )
12


Cách 1

Đồ thị hàm số có điểm cực trị nằm về hai phía đối với đường tròn (Cm) khi và chỉ khi
⇔ ( 4 − 8m + 5m 2 − 1) ( 4 + 4 − 4m + 8m + 5m 2 − 1) < 0
⇔ ( 5m 2 − 8m + 3) ( 5m 2 + 4m + 7 ) < 0 ⇔ 5m 2 − 8m + 3 < 0
(vì 5m 2 + 4m + 7 > 0, ∀m ∈ ¡ )
⇔

3
< m < 1.
5

Cách 2
• Đường tròn ( Cm ) : ( x − m ) + ( y − 2m ) = 1 có tâm I ( m; 2m ) , bán kính R = 1 .
2

2

2

2
36
6
• Ta có: IB = 5m 2 + 4m + 8 = 5  m + ÷ +
≥
> 1 = R ⇒ điểm B nằm ở phía ngoài
5
5
5


đường tròn ( Cm ) . Do đó điểm A nằm ở phía trong đường tròn ( Cm ) , tức là:

IA < 1 = R ⇔ 5m 2 − 8m + 4 < 1 ⇔ 5m 2 − 8m + 3 < 0 ⇔

3
< m < 1.
5

Câu 16: Đáp án A
f ' ( x ) = −5sin x + 5sin 5 x = 10 cos 3 x sin 2 x.

π

x
=
k

sin 2 x = 0
2
f '( x) = 0 ⇔ 
⇔
,k ∈¢ .
π
cos
3
x
=
0

x = + k π

6

3
π
 π π
 π
Do x ∈  − ;  nên x ∈  − ;0; 
6
 3 3
 6
 π
π 
 π
π 
Ta có f  − ÷ = f  ÷ = 2, f  − ÷ = f  ÷ = 3 3, f ( 0 ) = 4.
 3
3
 6
6
Suy ra M = 3 3, m = 2 . Vậy Mm = 6 3.
Câu 17: Đáp án B
Gọi x là khoảng cách từ S đến B. Khi đó khoảng cách từ S đến A là 4 − x ( 0 < x < 4 ) . Chi phí
mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là:
f ( x ) = 5000 1 + x 2 + 3000 ( 4 − x )
f '( x) =

 5x − 3 1 + x2
− 3000 = 1000 

1 + x2
1 + x2


5000 x


÷
÷

13


3
f '( x) = 0 ⇔ x = .
4
f '( x) =

(

5000
1 + x2

)

3

3
> 0, ∀x ⇒ f ''  ÷ > 0.
4

Do đó min f ( x ) =
x∈( 0; +∞ )

13
3
⇔x= .
4
4

Vậy để chi phí ít tốn kém nhất thì S phải cách A là

13
km.
4

Câu 18: Đáp án C
• Tập xác định: D = ( −∞; −1] ∪ [ 0; +∞ )

{1}.

 lim+ y = +∞
x →1
⇒ x = 1 là tiệm cận đứng.
• Ta có 
y = −∞
 xlim
−
→1
lim y = 1 ⇒ y = 1 là tiệm cận ngang.

x →+∞

lim y = −1 ⇒ y = −1 là tiệm cận ngang.

x →−∞

Do đó đồ thị hàm số đã cho có 3 tiệm cận.
Câu 19: Đáp án C
(Cm) tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm
 x 3 − 2mx 2 + m 2 x + 1 − m = 0
 x 3 − 2mx 2 + m 2 x + 1 − m = 0

⇔
 2
m
2
3 x − 4mx + m = 0
 x = m, x =
3

3

⇒ m ∈ −3;1; 
2

Do m ∈ ¢ nên m = −3; m = 1
Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 20: Đáp án A
(C) có hai điểm cực trị là A ( 0; 4 ) , B ( 2;0 )
2
Gọi ( P ) : y = ax + bx + c ( a ≠ 0 ) là parabol cần tìm.

c = 4
b = −2a − 2
⇔
.
Ta có A, B ∈ ( P ) ⇔ 
 4a + 2b + c = 0
c = 4
2
Khi đó ( P ) : y = ax − 2 ( a + 1) x + 4

(P) tiếp xúc với đường thẳng y = −2 x + 2 khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
14


 ax 2 − 2 ( a + 1) x + 4 = −2 x + 2
⇒ a = 2 ⇒ b = −6 .

 2ax − 2 ( a + 1) = −2
2
Vậy parabol ( P ) : y = 2 x − 6 x + 4 .

Câu 21: Đáp án D
∀x ∈ ¡ ⇒ − x ∈ ¡ và f ( − x ) =

e− x + e x
= f ( x)
2

Do đó f ( x ) là hàm số chẵn. Suy ra A sai.
Chứng minh tương tự g ( x ) là hàm số lẻ. Suy ra B sai.

Mặt khác, f ' ( x ) = g ( x ) . Suy ra C sai.
Vậy chỉ có D đúng.
Câu 22: Đáp án B
Ta có log 3 125 = 3log 3 5 = 3

log 2 5 3b
= .
log 2 3 a

Câu 23: Đáp án D
Ta có a = log12 6 < 1; b = log12 7 < 1 . Suy ra
Rõ ràng b > a > 0 ⇒
Mặt khác log 2 7 =

a
< 0 . Do đó (A) sai.
1− a

a
< 1. Do đó (C) sai.
1+ b

log12 7
b
=
.
log12 2 1 − a

Vậy (D) là phương án đúng.
Câu 24: Đáp án A

Điều kiện: x > 0
Phương trình đã cho tương đương với
x log

2

x + log x3 + 3

= x ⇔ ( log 2 x + log x 3 + 3) log x = log x


x =1
log x = 0

1

2
⇔ log x ( log x + 3log x + 2 ) = 0 ⇔ log x = −1 ⇔  x =
.

10
log x = −2

1
x =
100

Vậy phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm nguyên.
Câu 25: Đáp án A
15

Hàm số xác định khi và chỉ khi
 x > 0
 x > 0
8−2 + log x − 3 42 −log x > 0 ⇔  −2 + log x 3 2− log x ⇔  −2+ log x 3
2
> 4
) > ( 42−log x )
( 8
 8
 x > 0
 x > 0
⇔  9( −9 +log x )
⇔
4( 2 − log x )
>2
9 ( −2 + log x ) > 4 ( 2 − log x )
2
x > 0
x > 0
⇔
⇔
⇔ x > 100.
log x > 2
 x > 100
Vậy miền xác định của hàm số đã cho là: D = ( 100; +∞ )
Câu 26: Đáp án C
2
2

Ta có: 3log 27 ( 2 x − x + 2m − 4m ) + log 1

x 2 + mx − 2m 2 = 0

3

⇔ log 3 ( 2 x 2 − x + 2m − 4m 2 ) = log 3 ( x 2 + mx − 2m 2 )
 x 2 + mx − 2m 2 > 0
⇔ 2
2
2
2
2 x − x + 2m − 4m = x + mx − 2m
 x 2 + mx − 2m 2 > 0
 x 2 + mx − 2m 2 > 0

⇔ 2
⇔   x1 = m
2
 x = 1 − m
 x − ( m + 1) x + 2m − 2m = 0
 2
2
2
Phương trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 > 1

( 2m ) 2 + m.2m − 2m 2 > 0
 4m 2 > 0



2

⇔ ( 1 − m ) + m. ( 1 − m ) − 2m 2 > 0 ⇔ −2m 2 − m + 1 > 0

5m 2 − 2m > 0
2
2

( 2m ) + ( 1 − m ) > 1

m ≠ 0
 −1 < m < 0

1

⇔  −1 < m <
⇔ 2
1.

2
<
m
<

2
5
2

m
<

0
∨
m
>

5
Câu 27: Đáp án B
1 2
1 2
1 2
1
2
Dễ dàng có được x ≥ x − ; y ≥ y − ; z ≥ z − ; t ≥ t −
4
4
4
4

( 1)

Dấu “=” xảy ra trong các bất đẳng thức này khi và chỉ khi x = y = z = t =
16

1
2


1 
Vì x, y , z , t ∈  ;1÷ nên theo tính chất của lôgarit với cơ số dương và bé hơn 1 nên từ (1) ta
4 

có:
1
1
1


 1

log x y 2 ≤ log x  y − ÷;log y z 2 ≤ log y  z − ÷;log z t 2 ≤ log z  t − ÷;log t x 2 ≤ log t  z − ÷
4
4
4


 4

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức này, ta được:
1
1
1


 1

log x  y − ÷+ log y  z − ÷+ log z  t − ÷+ log t  z − ÷ ≥ 2 ( log x y + log y z + log z t + log t x ) (2)
4
4
4



 4

Dễ thấy log x y;log y z;log z t;log t x luôn dương nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:
log x y + log y z + log z t + log t x ≥ 4 4 log x y log y z log z t log t x ( 3 )
Mà log x y log y z log z t log t x = log x y

log x z log x t
log t x = 1
log x y log x z

( 4)

Từ (2). (3) và (4) suy ra điều phải chứng minh.
Câu 28: Đáp án D
Người gửi 15 triệu đồng sau n quý sẽ nhận được số tiền (cả vốn lẫn lãi) là 15. ( 1, 0165 ) .
n

Để có ít nhất 20 triệu ta phải có 15. ( 0,165 ) ≥ 20
n

⇒ n log ( 0, 0165 ) ≥ log 20 − log15
20
15
⇒n≥
≈ 17,58.
log ( 1, 0165 )
log

Vậy người đó cần gửi tiền liên tục 18 quý.
Câu 29: Đáp án A

Đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại điểm có tọa độ ( −1;0 ) . Khi đó
0

S=

∫

−1

x +1
dx =
x−2

0

x +1
∫−1 x − 2 dx =

0



3 

∫ 1 + x − 2 ÷ dx

−1

0
3

= ( x + 3ln x − 2 ) | = 3ln − 1
−1
2

Suy ra a = b = 3, c = 2
Vậy a + b + c = 8.
Câu 30: Đáp án A

17


du = dx
u = x − 2

⇒
Đặt 
cos 3 x .
 dv = sin 3xdx v = −
3

Khi đó

∫ ( x − 2 ) sin 3xdx = −

( x − 2 ) cos 3x + 1 sin 3x + C.
3

9

Suy ra m = 2, n = 3, p = 9

Vậy m + n + p = 14.
Câu 31: Đáp án C
Gọi F ( t ) là một nguyên hàm của

f ( t)
t2

Theo định nghĩa tích phân ta có: ∀x > 0, F ( x ) − F ( a ) + 6 = 2 x
Cho x = a ta thu được

a = 3 ⇒ a = 9.

Câu 32: Đáp án B
Đặt x = a − t ⇒ dx = − dt .
a
a
f ( t)
dt
dt
I = −∫
=∫
=∫
dt
Ta có
1+ f ( a − t ) 0 1+ 1
1+ f ( t )
a
0
f ( t)
0

a

Suy ra 2 I = I + I = ∫ dt = a.
0

Vậy I =

a
2

Câu 33: Đáp án A
Gọi F(t) là một nguyên hàm của hàm số t ln t trên ( 0; +∞ ) .
2x
x
Ta có f ( x ) = F ( e ) − F ( e )
2x
2x
x
x
4x
2x
2x
2x
Suy ra f ' ( x ) = 2e F ' ( e ) − e F ( e ) = 4 xe − xe = xe ( 4e − 1) .

Vậy f ' ( x ) = 0 ⇔ x = 0, x = − ln 2.
Kết luận: f đạt cực tiểu tại x = 0 và đạt cực đại tại x = − ln 2
Câu 34: Đáp án D
1 2

2π
Ta có Vy = 2. π r h =
(do r = h = 1 )
3
3
1
1
Vx = π h ( R 2 + r 2 + Rr − r 2 ) = π .1( 4 + 2.1) = 2π
3
3
18


Do đó Vx + Vy =

8π
.
3

Câu 35: Đáp án A
Gọi trữ lượng gỗ ban đầu là V0, tốc độ sinh trưởng hằng năm của rừng là i phần trăm.
Ta có:
- Sau 1 năm, trữ lượng gỗ là V1 = V0 + iV0 = V0 ( 1 + i ) ;
- Sau 2 năm, trữ lượng gỗ là V2 = V1 + iV1 = V1 ( 1 + i ) = V0 ( 1 + i ) ;
2

…
- Sau 5 năm, trữ lượng gỗ là V5 = V0 ( 1 + i ) .
5

5
3
Thay V0 = 4.10 m ; i = 4% = 0, 04 ta được: V5 = 4.105 ( 1 + 0, 04 ) ≈ 4,8666.105 m3
5

Câu 36: Đáp án D
Ta có log 4 ( n − 3) + log 4 ( n + 9 ) = 3 ⇔ log 4 ( n − 3) ( n + 9 ) = 3
n = 7
⇔ n 2 + 6n − 91 = 0 ⇔ 
 n = −13
3

7
2
z = ( 1 + i ) = ( 1 + i ) ( 1 + i )  = 8 − 8i.



Vậy tổng phần thực và phần ảo của số phức z bằng 0.
Câu 37: Đáp án C
Từ giả thiết suy ra z1 , z2 không phải là số thực. Khi đó

∆ ' < 0 ⇔ 4 ( a + 1) − 8 ( 4a + 1) < 0 ⇔ 4 ( a 2 − 6a − 1) < 0 ( *)
2

Suy ra z =
1

a + 1 − − ( a 2 − 6a − 1) i 2
4

; z2 =

a + 1 + − ( a 2 − 6a − 1) i 2
4

= z1

z1
a = 0
2
2
2
2
.
là số ảo ⇔ z1 là số ảo ⇔ ( a + 1) −  − ( a − 6a − 1)  = 0 ⇔ a − 2a = 0 ⇔ 
z2
a = 2
Thay vào điều kiện (*) thấy thỏa mãn.
Câu 38: Đáp án C
 z 2 = −1 = i 2
 z = ±i
⇔
Phương trình đã cho tương đương với  2
z = 1± i
 z − 2z + 2 = 0
Ta có S = z12018 + z22018 + z32018 + z42018 = ( i 2 )
= −2 + ( −2 )

1009 1009

i

1009

(

+ ( −i )

+ 21009 i1009 = −2.
19

)

2 1009

+ ( −2i )

1009

+ ( 2i )

1009


Câu 39: Đáp án B
Giả sử z1 , z2 là các nghiệm của phương trình az 2 + bz + c = 0 với z1 = 1.
Theo định lí Viet ta có: z1 z2 =

c

c 1
c 1
⇔ z2 =
⇒ z2 = .
= 1.
a
a z1
a z1

b
2
Bởi vì z1 + z2 = − ; a = b ⇒ z1 + z2 = 1.
a
1 1
2
2
Suy ra ( z1 + z2 ) z1 + z2 1 ⇔ ( z1 + z2 )  + ÷ = 1 ⇔ ( z1 + z2 ) = z1 z2 ⇔ b = ac.
 z1 z2 

(

)

Câu 40: Đáp án A
Đường cao của hình lăng trụ là CC ' = 25a 2 − 16a 2 = 3a
1

3
Do đó V = 3a.  .3a.4a ÷ = 18a
2


Câu 41: Đáp án B
Đường kính quả bóng tennis là 2 R =

25
= 5.
5
2

5
Diện tích quả bóng S = 4π R = 4π .  ÷ = 25π ( cm 2 )
2
2

Câu 42: Đáp án C
2

a 3

÷
V1  2 
=
= 4.
Ta có
V2  a 3 2

÷
 6 
Câu 43: Đáp án B
Ta có: V = π MA2 .MN = π .4.2 = 8π

Câu 44: Đáp án B
Kẻ SO ⊥ ( ABC ) thì O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC Do ∆ ABC đều cạnh a nên ta có

2 a 3
.
AO
2a 3
SA =
=3 2 =
1
cos 60°
3
2
Vậy S xq = π .OA.SA = π .

a 3 2a 3 2π a 2
.
.
=
3
3
3
20


Câu 45: Đáp án B
Do (T) nội tiếp trong (L) nên V1 > V2
Câu 46: Đáp án D
(S) có tâm I ( 0; −2;1) và bán kính R = 3 .
Ta có d ( I , ( α ) ) =

−2 + 2 − 8
6

=

4 6
> R = 3.
3

Vậy ( α ) không cắt mặt cầu (S).
Câu 47: Đáp án D
Thay các tọa độ A ' ( 0;0; a ) , B ( a;0;0 ) , D ( 0; a;0 ) vào phương trình ở (I) thấy thỏa. Cho nên
(I) đúng.
Tương tự như vậy ta chứng minh được (III) đúng.
Câu 48: Đáp án D
Do G là trọng tâm ∆ ABC nên C ( −1;3; −4 )
uuur
uuur
Ta có AB = ( −1;1;1) , AC = ( −2; 2; −4 )
 x = −1 + t
r uuu
r uuur

Đường thẳng ∆ qua G nhận u = AB; AC = ( −6; −6;0 ) nên có phương trình là  y = 3 + t
 z = −4

Câu 49: Đáp án A
Tập hợp các điểm M là mặt cầu đường kính AB.
Tâm I là trung điểm AB ⇒ I ( 1; −2;1)

Bán kính R = IA = 3 2
Vậy phương trình mặt cầu nói trên là ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 1) = 18 .
2

2

2

Câu 50: Đáp án C
Gọi H,I lần lượt là hình chiếu vuông góc của O lên (P) và ∆ .
Ta có d ( O, ∆ ) = OI ≥ OH . Dấu “=” xảy ra ⇔ I ≡ H .
r
Đường thẳng OH qua O ( 0;0;0 ) nhận n = ( 1; 2;1) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình

x = t

là  y = 2t
z = t

21


Mặt phẳng (P) có phương trình: x + 2 y + z − 6 = 0 .
Từ hai phương trình trên suy ra t = 1 ⇒ H ( 1; 2;1) .
Khi đó (Q) là mặt phẳng chứa d và đi qua H.

r
uuuur
Ta có M ( 1;1; 2 ) ∈ d , vectơ chỉ phương của d là u = ( 1;1; −2 ) , HM = ( 0; −1;1) .
r

r uuuur
Suy ra vectơ pháp tuyến của (Q) là n = u; HM  = ( −1; −1; −1)
Hơn nữa (Q) qua điểm M ( 1;1; 2 ) nên (Q) có phương trình là: x + y + z − 4 = 0

22