Lý Thuyết đàn hồi ,Tương tự màng mỏng , Theory of Elasticity

SỰ TƯƠNG TỰ MÀNG MỎNG
Môn học: Lý Thuyết Đàn Hồi
Giảng viên: Vũ Công Hòa
Nhóm: 2


Nội dung báo cáo:


I.Phương pháp Prandtl
Bài toán đặt ra:
- Giả sử ta có một mặt cứng trên đó có khoét lỗ,
hình dạng lỗ giống như hình dạng mặt cắt.Trên mặt
lỗ có căng một cái màng mỏng .màng chịu áp lực
phân bố đều p. các điểm trên mặt trung giang của
màng sẽ có chuyển vị nhỏ z(x,y).Áp lực p coi như
tác dụng theo phương thẳng đứng.


-Xét màng mỏng chịu tác dụng của áp suất p
làm nó phồng lên so với mặt phẳng ban đầu.
z
p

y

x


- Gọi q là lực căng màng trên một đơn vị chiều dài.

qdx

O

D

x
C
qdy

dy
A

B
dx

y


-Ở

phân bố màng mỏng ABCD. Lực qdy tác dụng
lên cạnh AD và nghiêng 1 góc  với trục ox.

z

q

z
O

𝑧

𝑥

x


𝑧
-Vì góc  
là nhỏ.Nên lực tác dụng trên BC
𝑥
nghiêng 1 góc:

z 2 𝑧
 + dx 
+ 2 dx
𝑥
𝑥 𝑥

qdy

dx

z

BC

z
x

AD

qdy
O

z 2 z
+ 2 dx
x x
x


-Tương tự như vậy ta cũng có được góc nghiêng
của lực: AB: 𝑧
z 2 𝑧
𝑦

CD:

+ dy
𝑦 𝑦2

-Chiếu tất cả các lực tác dụng trên phân bố ABCD lên
trục Oz:
z
z 2 z
z
z 2 z
-qdy
+ qdy( + 2 dx) - qdx
+ qdx( + 2 dy) + pdxdy =0

x
x x
y
y y

AD

BC

AB

CD

Áp lực p


-Rút gọn biểu thức ta được:
2z
2z


−𝑝
2
 𝑧= 2+ 2=
𝑞
x
y

-Trên chu tuyến của màng: z = 0

(1)

(2)

-So sánh điều kiện (1), (2) , 2  = −2𝐺 và  = 0 trên chu tuyến.
 z =  với điều kiện

𝑝
𝑞

= 2𝐺


-Tưởng tượng cắt màng mỏng nằm ngang song song với

mặt cứng, ta được một đường khép kín đường đồng mức và
chiếu nó lên mặt cắt ngang thanh tròn bị xoắn.
z

O

y

x



 𝑧𝑦
𝐾′

O

K

𝑛
 𝑧𝑥

x


- Trên các đường đồng mức z = const 

𝑑𝑧
𝑑𝑠

=0 

𝑑
𝑑𝑠

=0

- Điều này chứng tỏ , ứng suất tiếp tại một phân bố diện tích
dọc theo đường cong có phương trùng với phương tiếp tuyến
đường cong đường ứng suất tiếp
- Ứng suất  tại một điểm:

 = 𝑧𝑦 cos  − 𝑧𝑥 sin 
𝑑𝑥
cos  =

𝑑𝑛

𝑑𝑦
sin  =
𝑑𝑛


 𝑥  𝑦

=−
−
=−
𝑥 𝑛 𝑦 𝑛
𝑛

𝑦𝑧


=−
𝑥

𝑥𝑧


=
𝑦


𝑧
=−

= 𝑡𝑎𝑛
𝑛
𝑛

  = tan

-  là góc nghiêng của màng so với mặt phẳng nằm
ngang


-Vì góc nghiêng tỷ lệ với các đường đồng mức trên màng, nên hệ các

đường đồng mức cho ta bức tranh về sự phân bố ứng suất tiếp trong
thanh bị xoắn.
max
𝑧𝑥

y
𝑧𝑦

𝑧𝑥

𝑧𝑥

h
max𝑧𝑦

x
𝑧𝑦

Hình 1
b


Từ hình ảnh, ta rút ra một số nhận xét sau:

1. Càng gần biên, mật độ các đường đồng mức càng cao. Tại biên
có ứng suất lớn nhất.
2. Đối với các biên là hình có hai trục đối xứng (hình ellip, hình
chữ nhật), thì mật độ đường đồng mức sẽ cao nhất ở cuối trục
ngắn của hình.
3. Nếu mặt cắt là hình chữ nhật hẹp thì tại những nơi đủ xa cạnh
ngắn, có thể coi màng mỏng bị biến dạng như một mặt trụ có
đường sinh song song với cạnh h. Dưới tác dụng của tải trọng
phân bố đều p lên màng, giao tuyến của mặt trụ này với mặt cắt
vuông góc với trục Oy là một đường parabol, dạng parabol này
suy ra từ (1):
𝑝
𝑏2

Z= (- 𝑥2 + )
2𝑞

4


Theo (1) hàm ɸ có dạng:

ɸ= Gθ(-𝑥2 +

𝑏2
)
4

Tương tự ở (1) và Mz=2 ∫F ɸdF, ta có:

Mz=2 ∫F zdF

(4)

Tức là mô men xoắn có thể đo bằng hai lần thể tích phần phồng lên của
𝑝
màng, với điều kiện thay Bằng 2Gθ. Xét điều kiện cân bằng của phần
𝑞

màng nằm trên mặt cắt 1-1 ta có:

pF – q ∫tgβ ds = 0

(5)

F là diện tích phần mặt cắt giới hạn bởi đường đồng mức, dấu ∫
biểu thị tích phân trên toàn bộ đường đồng mức khép kín.


Thay (1) và (3) vào (5), ta được:

∫τds = 2 GθF
Quan hệ này biểu thị định lý luân lưu của ứng suất tiếp: tích phân
của ứng suất tiếp trên một đường đồng mức là một hằng số tỉ lệ với

diện tích giởi hạn bởi đường đồng mức đó.
Phương pháp tương tự màng mỏng rất thuận tiện cho việc nghiên
cứu ứng suất và biến dạng của thanh bị xoắn có mặt cắt phức tạp mà
việc giải bằng lý thuyết có khó khăn.
Người ta thường chế tạo một cái hộp, ở mặt trên có khoét lỗ có hình
dạng mặt cắt ngang thanh bị xoắn. Lỗ được phủ một lớp màng
mỏng. Khi bơm hơi hoặc chất lỏng vào hộp, màng phồng lên. Bằng
phương pháp chụp ảnh nổi, người ta vẽ được các đường đồng mức
và tính được thể tích do màng phồng lên, từ đó tính được góc xoắn
và ứng xuất tiếp.


Trở lại với hình 1
Gθ(-𝑥2

𝑏2
+ )
4

Thay z =ɸ=
vào công thức (4), ta có:
Do đó:

𝑏
2
𝑏
−
2

Mz=2h ‫׬‬

θ =1

Mz

2
𝑏
(−𝑥2 + )
4

dx=

𝑏3ℎ
Gθ
3

3
𝐺𝑏
ℎ
3

Trên mỗi đường thẳng y = const đủ xa cạnh trên và cạnh dưới của
mặt cắt, ứng xuất tiếp có giá trị


6Mz
τ zy=− =− 3 𝑥
𝑏ℎ
𝑥

Ứng xuất này phân bố theo quy luật tuyến tính, biểu đồ phân bố

𝑏
vẽ ở hình 1. Ứng xuất tiếp lớn nhất khi x=±

3Mz
τ zy max= 2
𝑏ℎ

2