cách tính nhanh GIỚI HẠN và ĐẠO HÀM bằng máy tính CASIO

CÁCH TÍNH LIM (giới hạn) BẰNG CASIO FX 570 ES
I) tính lim x -> +
1: nhập biểu thức cần tính lim, ví dụ:
2: Ấn CALC
3: Nhập một số thật lớn (vì x tiến s về +∞), ví dụ 9 x109, 9999999,98989898,...

4:Ấn =, có kết quả gần đúng hoặc đúng

5: lấy kết quả "đẹp" (ở đây là 0.2), ví dụ: nếu nó ra 0, 99999999999 thì bạn lấy kết quả là 1, 1,333334-4
>1,333333-->3

6: nếu kết quả là số rất lớn (985764765, 36748968,1.2534x1028,...) hoặc rất bé(-846232156,..), đừng sợ, đó là
+vô cùng (và - vô cùng) đó!
II) Tính lim x-> - ∞
tương tự bên trên, thêm dấu trừ ví dụ: -9x10 9, -999999999, -88888888,...
III) Tính x  A+
ví dụ: lim+
𝑥→1

𝑥 2 +2𝑥−3
𝑥−1

1, nhập biểu thức

𝑥 2 +2𝑥−3
𝑥−1

2, Ấn CALC
3, bấm 1+ (vì tiến về 1+)
4, nhập 10-9 hoặc một số thật nhỏ, ví dụ: 0,000000001,...

5, Ấn =, có kết quả gần đúng hoặc đúng


6, lấy kết quả "đẹp" (ở đây là bằng 4), ví dụ: nếu nó ra 0,99999999999 thì bạn lấy kết quả là 1, 1,333334->1,333333-->4/3
•

nếu kết quả là số rất lớn (985764765, 36748968, 1.2534x10^28 ...) hoặc rất bé(-846232156,..), đừng sợ,
đó là +∞ (và -∞) đó!

•

Nếu kết quả có dạng , ví dụ: 5.12368547251.10^-25, nghĩa là 0,000...00512... (gần về 0), kết quả là 0

IV) Tính x  Atương tự, đổi 1+ thành 1*) VÍ DỤ ÁP DỤNG:
•

tính , ta bấm ,bấm CALC, bấm 2+ (vì đề chỉ cho tiến về 2 nên ta tạm cho nó về 2+ trước), bấm 10-9
(1.10^-9= 0.000000001 là một số rất nhỏ), máy hiện kết quả là 1.49998, ta làm tròn là 1.5, dạng phân số
là 3/2

•

Tính , ta bấm , bấm CALC, bấm [9] [x10x] [9] [=] (9.10^9= 9000000000, số rất lớn), máy hiện kết quả 1

CÁCH NHÂN, CHIA ĐA THỨC CHỈ BẰNG MÁY TÍNH
(Rút gọn biểu thức bằng máy tính :D)
(nhanh hơn cách dùng hoocne)
Phương pháp này mình nghĩ ra năm lớp 10 và thấy khá hữu ích trong áp dụng giải đề thi đại học, mình muốn
chia sẻ với mọi người và hy vọng giúp đỡ được các bạn phần nào trong đề thi đại học :) Ở Việt Nam, đây là
trang web đầu tiên đăng tải phương pháp bấm máy này. Bạn nào nếu có ý tưởng phát triển thêm này thì cứ liên

hệ mình qua Face nha, có gì mình cùng hợp tác nghiên cứu
Nếu các bạn đã xem một số bài viết được viết lại tương tự ở một trang nào khác thì cũng nên đọc bài viết của
mình để được cập nhật chính xác và đầy đủ nhất về phương pháp bấm máy sau đây. (Ví dụ như vì sao nên dùng
1000 thay vì 100 trong quá trình tính toán, vân vân và vân vân...) Mời các bạn đến với bài viết:
* CHÚ Ý: CÁC BẠN PHẢI LÀM HẾT TẤT CẢ CÁC VÍ DỤ NÀY ĐỂ HIỂU RÕ CÁCH LÀM NÀY
a) Đối với máy Fx 570MS, 570ES, 570ES PLUS, 570VN PLUS
Hehe! Có bao giờ bạn nghĩ rằng bạn có thể nhân những đa thức loằng ngoằng phức tạp bằng cách chỉ sử dụng
máy tính không? Ví dụ: (x+1)(x+2)+(3x2+x+6)(x+7), bạn giải ra kết quả là 3x3+23x2+16x+44
Bây giờ tôi sẽ giải bài này chỉ bằng cách bấm máy tính do tôi nghĩ ra!
Bạn bấm (X+1)(X+2)+(3X2+X+6)(X+7) CALC 1000 [=]
Để nhập "X" ta bấm alpha ) hoặc RCL )
Máy hiện 3023016044, bạn tách chúng thành từng cụm ba chữ số 3,023,016,044 (nhớ là từ tách bên phải sang
nghe), và đó chính là các hệ số cần tìm 3,23,16,44. Ta viết 3x3+23x2+16x+44


Đã có kết quả! Nhưng bắt buộc phải thử lại bằng cách bấm qua trái, bấm thêm –(3X3+23X2+16X+44) CALC 7
=, máy báo bằng 0, phép tính mình đúng
Xin giải thích một chút về quy trình bấm phím: bạn bấm 1000 [=] cho mọi bài toán,khi nhập phép tính thay x
bằng Ans
Ví dụ 2: (5x-3)(x2+6x-7)+10x-21
Bạn vẫn bấm như trên: (5X-3)(X2+6X-7)+10X-21 CALC 1000 [=]
Máy hiện 5026957000, bạn vẫn tách như trên 5,026,957,000
Từ phải sang, Nhóm 000, không có vấn đề gì, lấy hệ số là 0
Lần này phải cẩn thận hơn! Ở nhóm 957 ta hiểu là -43 (vì 1000-957=43) chứ không phải 957! Vì sao ư? Đơn
giản là vì 957 là số quá lớn không thể là hệ số của phép nhân này được và ta phải lấy 1000 trừ cho nhóm đó
Dấu hiệu cần chú ý tiếp theo là nhóm 026, nhóm này đứng sau nó là nhóm 957 (nhóm có hệ số âm), vậy ta lấy
26+1=27, hiểu đơn giản đằng sau nhóm có hệ số âm thì phải nhớ 1 (như kiểu học cấp 1 ý hihi)
Tóm lại, các hệ số cần tìm 5,27,-43,0 biểu thức cần tìm là 5x3+27x2-43x. Ta BẮT BUỘC thử lại bằng cách qua
trái, bấm thêm -(5X3+27X2-43X) CALC 7 = máy báo bằng 0 nghĩa là đúng
Ví dụ 3: (x2-3x+7)(x+2) bạn bấm (X2-3X+7)(X+2) CALC 1000 [=]

Máy hiện 999001014 tách thành 0,999,001,014 các hệ số lần lượt là 1,-1,1,14. Kết quả x3-x2+x+14. Ta thử lại
bằng cách bấm qua trái, bấm thêm -(X3-X2+X+14) CALC 7 = máy báo bằng không nghĩa là đúng
Ví dụ 4: (x2-3x-7)(x+2) bạn bấm (X2-3X-7)(X+2) CALC 1000 [=], máy hiện 998986986, tách thành
0,998,986,986. Bài này ta phân tích từ phải qua như sau 986 thành -14, tiếp theo 986 nhớ 1 là 987 rồi thành -13,
tiếp theo 998 nhớ 1 là 999 rồi thành -1
các hệ số ta suy ra 1,-1,-13,-14 ta có kết quả x3-x2-13x-14. Ta thử lại bằng cách qua trái, bấm -(X3-X2-13X-14)
CALC 7 = máy báo bằng 0 nghĩa là đúng
Ví dụ 5: (x+5)(x+3)(x-7)-(4x2-3x+7)(x-1) làm tương tự, máy hiện -2992051098, ta có các hệ số 3,-8,51,98. Ta
coi dấu trừ ở dãy số hiện ra là dấu trừ cho toàn bộ biểu thức. Vậy kết quả là -(3x3-8x2+51x+98)= -3x3+8x2-51x98. Ta thử lại bằng cách qua trái, bấm -(-3X3+8X2-51X-98) CALC 7 = máy báo bằng 0 nghĩa là đúng
Ví dụ 6: (x2+3x+2)(5-3x)-(x+2)(x-1)-(2x+3)(x-1)
Đến bài này mình xin trình bày luôn cách dùng nháp kết hợp nhẩm sao cho có hiệu quả, giúp các bạn tự tin hơn
trong việc vận dụng làm toán
Bạn làm tương tự như các bài trên, máy hiện -3006992985. Chuẩn bị 1 tờ giấy nháp và viết vào nháp các hệ số
từ phải sang lần lượt như sau
lần 1
-15
lần 2
-7 -15
lần 3
7 -7 -15
lần 4
3 7 -7 -15
lần 5 -3 -7 +7 +15 (vì có dấu trừ ở đầu)
thử lại bằng cách qua trái -(-3X3-7X2+7X+15) CALC 7 = máy báo bằng 0 nghĩa là kết quả đúng
Ghi vào bài làm chính thức kết quả -3x3-7x2+7x+15
Ví dụ 7,8,9: (tự luyện)
(-5x2+3x-2)(x+1)+5x-7 = -5x3-2x2+6x-9
(2x2+3x-7)(x-3)+(2-x)(x+1)(x-3) = x3+x2-17x+15
x3+5x-7+(x2+3)(x-4) = 2x3-4x2+8x-19

Ví dụ chia đa thức:
* Thông thường chia đa thức người ta thường dùng cách chia được dùng năm lớp 8 hoặc nếu chia không dư ta
có thể dùng phương pháp chia hoocne (horner). Nhưng với phương pháp này ta có thể dùng để chia đa thức ko
dư mà không cần dùng đến hoocne (horner). Nếu bạn hiểu cách nhân đa thức rồi thì chỉ cần thay nhân bằng chia
là được
bài toán (2x3-3x2-16x+21)/(x-3) ta bấm tương tự như nhân đa thức ra kết quả 2002993, vậy kết quả là 2x2+3x-7
Cách này dù không chia có dư được nhưng lại rất có giá trị trong việc nhẩm nghiệm phương trình bậc 3 hoặc
bậc 4
Ví dụ: x^3+4x^2-3x-2=0
Bấm máy ra một nghiệm chẳn x=1 và hai nghiệm lẻ
chia (x^3+4x^2-3x-2) cho (x-1) ra x^2+5x+2
giải tiếp phương trình trên x^2+5x+2=0 ra hai nghiệm lẻ còn lại là (-5+ căn 17)/2 và (-5-căn 17)/2
xong!

* Chia đa thức có dư trên máy VINACAL fx570es plus với tính năng Q...r
Các bạn bấm 1000= Shift VINACAL 1 sau đó nhập tử số Shift ) sau đó nhập mẫu số. Kết quả sẽ cho ra Q= kết
quả R= số dư
* Chia đa thức có dư trên máy CASIO fx570VN plus với tính năng ÷ R
Ví dụ (2x3-3x2-15x+23)/(x-3)
Ta giải tay bài này như sau:
2x3-3x2-15x+23=2x3-6x2+3x2-9x-6x+18+5
=2x2(x-3)+3x(x-3)-6(x-3)+5
=(2x2+3x-6)(x-3)+5
Kết quả 2x2+3x-6 dư 5
Giải máy
Các bạn nhập (2x3-3x2-15x+23) Alpha Phân số (x-3) CALC 1000 [=]
Kết quả sẽ cho ra 2002994 , R=5
Nghĩa là kết quả 2x2+3x-6 dư 5
Ta thử lại bằng cách (2X2+3X-6)(X-3) CALC 1000 [=]

Kết quả 1996985018, nghĩa là 2x3-3x2-15x+18 (vì có dư 5) vậy là phép tính đúng.

Bản chất: Hy vọng qua những ví dụ cụ thể trên các bạn có thể cơ bản nắm được bản chất của phương pháp này.
Bản chất chỉ là thế giá trị 1000 vào tất cả các giá trị x để tính toán thôi. Mặc dù rất đơn giản nhưng rất có ích
không phải ai cũng biết.
Ưu điểm của phương pháp: nhanh, ra kết quả có độ chính xác cao (hơn giải tay rất nhiều)
Hầu hết đề thi bậc phổ thông đều không có hệ số quá phức tạp nên áp dụng cách này rất hữu hiệu!
Lưu ý: Mình có một yêu cầu thế này, trong mọi bài toán bước thử lại là không thể bỏ qua. Bước thử lại gần như
là linh hồn của phương pháp này. Nó không mất của bạn quá vài giây, nhưng nếu bạn ko làm thì phương pháp
này trở thành con dao hai lưỡi giết chết bạn. Nếu bạn thử lại ở mọi bài toán, bạn sẽ không còn hoài nghi gì về
kết quả hay phương pháp mình làm đúng hay sai nữa. Nhờ việc thử lại những bước trước bạn có thể tự tin nhẩm
mà không sợ sau này kết quả sai. Theo kinh nghiệm của mình, khi bạn đã thuần thục phương pháp này, thời
gian bạn hoàn thành một phép tính bao gồm cả thử lại chỉ 5 giây, thậm chí với những bài toán đơn giản áp dụng
phương pháp này vẫn rất nhanh (cái này gọi là phụ thuộc máy tính đó, hehe). Phương pháp này mình nghĩ ra từ
hè 11 lên 12, mình có cả năm 12 để rèn luyện để tìm ra ưu nhược điểm của phương pháp, và mình kết luận bước


thử lại là quan trọng nhất. Nó đem lại một ưu điểm mà phương pháp giải tay không bao giờ đem lại được, đó là
tính chính xác. Nhiều khi vì sự chính xác này đến cả những bài đơn giản như (x+1)(x+2) cũng có thể bấm máy,
vì biết đâu nếu mình giải tay thì sai bước nào đó thì sao.
Ngoài ra, bước nhập biểu thức ban đầu, sau khi nhập xong bạn nên dùng con trỏ rà lại để đảm bảo mình nhập
đúng. Nếu bạn làm đúng thì không sợ gì kết quả sai nữa
Thêm một lưu ý nữa là nhớ mở ngoặc thì phải đóng ngoặc. Việc mở ngoặc đóng ngoặc bậy bạ cũng là một
nguyên nhân gây sai kết quả. Nhưng thường sau khi thử lại bạn sẽ nhìn ra điểm sai của mình để sửa nên ko sao
Trong một số trường hợp bạn thử lại kết quả vẫn sai thì bạn nên chuyển sang giải tay cho kịp giờ. Còn nếu lúc
rảnh rỗi thì bạn cố gắng kiểm tra xem mình sai ở bước nào, từ đó rút được kinh nghiệm.
Trong trường hợp hệ số là phân số thì phương pháp này không đúng, trường hợp này ta nên chuyển về số
nguyên để tính toán cho thuận tiện
Phương pháp bấm máy này mình đã vận dụng vào kì thi đại học rất thành công. Ở môn toán, gần như ko có bài
nào là mình không áp dụng, nó đã hạn chế sai sót của mình rất nhiều. Mình muốn khẳng định rằng phương pháp

này cực kì có ý nghĩa trong đề thi đại học.
Tại sao không phải 100 mà là 1000?
Cài này nhiều bạn thắc mắc. Dĩ nhiên là thế 1000 hay 100 đều giống nhau, chỉ cần thay vì nhóm 3 chữ số thì
chuyển sang nhóm 2 chữ số thôi. Nhưng qua quá trình làm toán mình xin khẳng định là không nên dùng 100. Vì
chọn 100 giúp ta làm gọn kết quả trên màn hình và có thể tính toán lên đến bậc 4 (thậm chí bậc 5) nhưng lại rất
dễ sai ở các hệ số từ 25 trở lên (có lúc hệ số dưới 10 mà vẫn sai). Với 1000 thì mọi hệ số có 2 chữ số đều đảm
bảo đúng (khoảng dưới 200 vẫn đúng). Qua quá trình học 12 ôn thi đại học, rất ít trường hợp tính toán bậc 4
nhưng lại rất nhiều trường hợp hệ số đạt đến 50 (rất nhiều lần là hơn 100). Lúc đó, nếu áp dụng 100 thì lúc bạn
thử lại kết quả sẽ là sai và bạn phải chuyển sang 1000 mới có kết quả đúng. Mình cũng không cứng nhắc bắt các
bạn chọn 1000 vì có nhiều khi sử dụng song song rất có hiệu quả. (Nhưng ít lắm)

Ví dụ về thử lại:
(5x+7)(2x2-3x+5)-(x-2)(x+5)(x-3)
Kết quả: 9x3-x2+23x+5
Ta bấm: (5X+7)(2X2-3X+5)-(X-2)(X+5)(X-3) CALC 1000 =
Máy ra kết quả 8999023005, nghĩa là 9x3-x2+23x+5
Ta thử lại bằng cách bấm: qua trái -(9x3-x2+23x+5) CALC 7=
Nếu máy ra kết quả bằng 0 nghĩa là ta làm đúng. Vậy là xong, khoẻ re!
Xin giải thích thêm, để nhập "X" ta bấm alpha ). Còn phím CALC là phím ở ngay dưới phím shift

Ở đây việc bấm CALC nhằm ra lệnh cho máy gán giá trị nào đó vào ẩn x (cái này chắc là nhiều bạn biết rồi
nhỉ). Cụ thể ở đây là gán 1000 vào X. Ở bước thử lại, ta bấm CALC 7= nhằm thử thế một giá trị khác vào X.
Ngoài 7 ra ta có thể thế bất cứ số nào, số 7 mình chỉ lấy ví dụ thôi, nhưng không được lấy những số như
10,100,1000,... Bạn nhớ nhé! Tốt nhất cứ theo mình CALC 7= là được


Có nhiều bạn ở bước thử lại này "lười" bấm CALC 7= mà cứ = luôn, như vậy kết quả thử lại là với số 1000 bạn
nhập lúc đầu rất dễ gây sai sót.

b) Đối với máy FX 500MS:

Ví dụ: (x+1)(x+2)+(3x2+x+6)(x+7), bạn giải ra kết quả là 3x3+23x2+16x+44
Bạn bấm 1000 [=] (Ans+1)(Ans+2)+(3Ans2+Ans+6)(Ans+7) [=]
Máy hiện 3023016044, bạn tách chúng thành từng cụm ba chữ số 3,023,016,044 (nhớ là từ tách bên phải sang
nghe), và đó chính là các hệ số cần tìm 3,23,16,44. Ta viết 3x3+23x2+16x+44
Thế là xong! Thử lại bằng cách bấm qua trái, bấm thêm –(3Ans3+23Ans2+16Ans+44)=, máy báo bằng 0, phép
tính mình đúng
Xin giải thích một chút về quy trình bấm phím: bạn bấm 1000 [=] cho mọi bài toán,khi nhập phép tính thay x
bằng Ans
Ví dụ 2: (5x-3)(x2+6x-7)+10x-21
Bạn vẫn bấm như trên: 1000 [=] (5Ans-3)(Ans2+6Ans-7)+10Ans-21 [=]
Máy hiện 5026957000, bạn vẫn tách như trên 5,026,957,000
Từ phải sang, Nhóm 000, không có vấn đề gì, lấy hệ số là 0
Lần này phải cẩn thận hơn! Ở nhóm 957 ta hiểu là -43 (vì 1000-957=-43) chứ không phải 957! Vì sao ư? Đơn
giản là vì 957 là số quá lớn không thể là hệ số của phép nhân này được và ta phải lấy 1000 trừ cho nhóm đó
Dấu hiệu cần chú ý tiếp theo là nhóm 026, nhóm này đứng sau nó là nhóm 957 (nhóm có hệ số âm), vậy ta lấy
26+1=27, hiểu đơn giản đằng sau nhóm có hệ số âm thì phải nhớ 1 (như kiểu học cấp 1 ý hihi)
Tóm lại, các hệ số cần tìm 5,27,-43,0 biểu thức cần tìm là 5x3+27x2-43x. Ta thử lại bằng cách qua trái, bấm
thêm -(5Ans3+27Ans2-43Ans)= máy báo bằng 0 nghĩa là đúng
Ví dụ 3: (x2-3x+7)(x+2) bạn bấm 1000 [=](Ans2-3Ans+7)(Ans+2) [=]
Máy hiện 999001014 tách thành 0,999,001,014 các hệ số lần lượt là 1,-1,1,14. Kết quả x3-x2+x+14. Ta thử lại
bằng cách bấm qua trái, bấm thêm -(Ans3-Ans2+Ans+14)= máy báo bằng không nghĩa là đúng
Ví dụ 4: (x2-3x-7)(x+2) bạn bấm 1000 [=](Ans2-3Ans-7)(Ans+2)[=], máy hiện 998986986, tách thành
0,998,986,986. Bài này ta phân tích từ phải qua như sau 986 thành -14, tiếp theo 986 nhớ 1 là 987 rồi thành -13,
tiếp theo 998 nhớ 1 là 999 rồi thành -1
các hệ số ta suy ra 1,-1,-13,-14 ta có kết quả x3-x2-13x-14. Ta thử lại bằng cách qua trái, bấm -(Ans3-Ans213Ans-14)= máy báo bằng 0 nghĩa là đúng
Ví dụ 5: (x+5)(x+3)(x-7)-(4x2-3x+7)(x-1) làm tương tự, máy hiện -2992051098, ta có các hệ số 3,-8,51,98. Ta
coi dấu trừ ở dãy số hiện ra là dấu trừ cho toàn bộ biểu thức. Vậy kết quả là -(3x3-8x2+51x+98)= -3x3+8x2-51x98. Ta thử lại bằng cách qua trái, bấm -(-3Ans3+8Ans2-51Ans-98)= máy báo bằng 0 nghĩa là đúng
Ví dụ 6: (x2+3x+2)(5-3x)-(x+2)(x-1)-(2x+3)(x-1)
Đến bài này mình xin trình bày luôn cách dùng nháp kết hợp nhẩm sao cho có hiệu quả, giúp các bạn tự tin hơn
trong việc vận dụng làm toán

Bạn làm tương tự như các bài trên, máy hiện -3006992985. Chuẩn bị 1 tờ giấy nháp và viết vào nháp các hệ số
từ phải sang lần lượt như sau
lần 1
-15


lần 2
-7 -15
lần 3
7 -7 -15
lần 4
3 7 -7 -15
lần 5 -3 -7 +7 +15 (vì có dấu trừ ở đầu)
thử lại bằng cách qua trái -(-3Ans3-7Ans2+7Ans+15)= máy báo bằng 0 nghĩa là kết quả đúng
Ghi vào bài làm chính thức kết quả -3x3-7x2+7x+15
Ví dụ 7,8,9: (tự luyện)
(-5x2+3x-2)(x+1)+5x-7 = -5x3-2x2+6x-9
(2x2+3x-7)(x-3)+(2-x)(x+1)(x-3) = x3+x2-17x+15
x3+5x-7+(x2+3)(x-4) = 2x3-4x2+8x-19

Mình thường sử dụng song song hai phương pháp "gán Ans" và "gán X". Qua thực thiễn mình thấy X mặc dù
phải bấm hai phím alpha ) để nhập trong khi Ans chỉ một phím nhưng việc hiển thị X giúp ta dễ nhìn hơn. Tiêu
chí mình đặt ra luôn là "chính xác" quan trọng nhất, vì vậy việc "gán X" giúp ta dễ nhận ra sai sót lúc nhập số
liệu ban đầu.
Nếu bạn nào muốn tham khảo bài viết này của mình để chia sẻ hoặc sáng tạo thêm để đăng trên các website
diễn đàn khác nên liên hệ trước qua facebook của mình hoặc ghi thêm "tham khảo Trần Ngọc Ánh Phương kinhnghiemhoctap.blogspot.com"
Khai triển đa thức có chứa tham số m bằng CALC 1000 kết hợp số phức (anh Mẫn Tiệp):
Anh Mẫn Tiệp (Hậu Giang) sau đọc được bài viết này đã nghĩ ra phương pháp này. Thực sự nó rất có ích trong
câu 1b của đề thi đại học. Các bạn cùng đến với ví dụ đầu tiên nhé
Ví dụ 1: 3(x-1)3-5m(x-1)2+m(x-1)+2-m

Kết quả là 3x3-(9+5m)x2+(11m+9)x-1-7m
Ta bấm như sau
B1: chọn chế độ số phức MODE 2
B2: Nhập 3(X-1)3-5i(X-1)2+i(X-1)+2-i CALC 1000=
Ở đây ta thay m bằng i {phím ENG}, X phím Shift )
B3: Máy hiện kết quả (có thể bấm thêm phím S<=>D để kết quả rõ ràng hơn)

B4: Ta có dãy số đầu tiên tương ứng với các hệ số 3,-9,9,-1. Dãy thứ hai có chứa i cũng làm tương tự, ta có các
hệ số -5,11,-7
B5: Vậy kết quả là 3x3-9x2+9x-1+m(5x2+11x-7) = 3x3-(9+5m)x2+(11m+9)x-1-7m
B6: Thử lại: qua trái, nhập -(3X3-(9+5i)X2+(11i+9)X-1-7i) CALC 7= máy báo bằng 0 nghĩa là kết quả đúng
B7: Bấm MODE 1 để quay lại chế độ thông thường. Nếu bạn cứ để máy ở Mode CMPLX thì một số chức năng
của máy có thể bị hạn chế đấy
Ví dụ 2: x2-2mx+(5x-3)(4x+m) = 21x2-12x+3mx-3m, bài này các bạn làm tương tự là được ^^
B1: chọn chế độ số phức MODE 2
B2: Nhập X2-2iX+(5X-3)(4X+i)
B3: Máy hiện kết quả


B4: Hệ số không chứa i (không chứa m): 21,-12,0
Hệ số chứa i (chứa m): 3,-3
B5: vậy kết quả là 21x2-12x+m(3x-3) = 21x2-12x+3mx-3m
B6: Thử lại: qua trái, nhập -(21X2-12X+3iX-3i) CALC 7= máy báo bằng 0 nghĩa là kết quả đúng
B7: Bấm MODE 1 để quay lại chế độ thông thường
Với phương pháp này dù chỉ áp dụng với m bậc nhất nhưng trong đề thi câu 1b thường là bậc 1 nên phương
pháp này thực sự rất có hiệu quả.

KIỂM TRA TÍNH ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ, NHẨM NGHIỆM NGUYÊN CỦA
PHƯƠNG TRÌNH
a) Nhẩm nghiệm nguyên của phương trình:

Trong nhiều bài toán việc đoán ra 1 nghiệm mang ý nghĩa quyết định. Những bài toán nhẩm nghiệm thường có
nghiệm là số nguyên nhỏ (ví dụ như 0, 1, 2, 3,...) bởi vậy việc sử dụng tính năng TABLE của Casio/Vinacal
fx570es sẽ rất tiết kiệm thời gian và công sức cho các bạn.
Chức năng TABLE có chức năng thay một loạt số vào một biểu thức rồi hiển thị cho ta kết quả. Vì vậy ta dùng
tính năng này để thay dãy số -14,-13,-12,...,0,1,...15 vào phương trình cần nhẩm để xem giá trị nào là nghiệm
Trong đề thi đại học khối B năm 2013 mình vừa thi có áp dụng cách này trong một ý của câu hệ phương trình,
mình xin dẫn ra làm ví dụ luôn
Ta xét phương trình sau . Để giải được bài này ta phải đoán nghiệm trước. Đầu tiên ta bấm MODE 7 để mở
chức năng table, màn hình xuất hiện

Ta chuyển toàn bộ phương trình về vế trái rồi nhập vào màn hình

Bấm =, máy báo
Nhập -14= sau đó máy báo
Nhập 15= sau đó máy báo
Nhập 1= sau đó máy ra kết quả

Ta sẽ thấy một bảng dài gồm hai cột X và F(x). Cột X là số ta thay vào. Cột F(x) là kết quả của biểu
thức
thì

mà ta nhập lúc đầu. ví dụ với X=2
= 6,6125


Ta kéo xuống sẽ thấy tương ứng với X=0 và X=1 thì biểu
thức
có giá trị bằng 0. Nghĩa là x=0 và x=1 là hai nghiệm
phương trình (từ đó, ta có thể nhanh chóng tìm ra hướng giải cho bài toán trên)
Mình xin giải thích thêm về các bước nhập start, end, step ở trên. Start? nghĩa là máy hỏi dãy số mình định thế

vào X bắt đầu bằng số mấy. End? nghĩa là máy hỏi dãy số mình định thế vào X kết thúc bằng số mấy. Step?
nghĩa là máy hỏi các số cách nhau bao nhiêu. Ở đây, mình nhập là dãy số chạy từ -14 đến 15 cách nhau 1 đơn
vị.
Làm xong bạn bấm MODE 1 để quay lại chế độ ban đầu
Các bạn làm tương tự với phương trình sau (cũng lấy từ đề khối B-2013)
Chọn MODE 7 (nếu đang ở sẵn chế độ TABLE thì khỏi bấm, ON thôi là được)
Nhập
= -14= 15= 1= máy hiện ra kết quả. Ta kéo xuống thấy, khi X=0
thì F(x) cũng bằng 0. Vậy x=0 là nghiệm phương trình

Trên đây chỉ trình bày cách nhẩm nghiệm, còn cụ thể bài hệ phương trình khối B-2013 giải như thế nào thì bạn
bấm vào link sau đây />Các bạn thử áp dụng phương pháp nhẩm nghiệm với phương trình sau . Ta thấy phương trình này có hai
nghiệm 0,1 từ đó ta có thể nghĩ đến phương pháp đạo hàm hai lần để chứng minh bài này không quá 2 nghiệm,
từ đó giải được bài toán.

b) KIỂM TRA TÍNH ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ:
Đang cập nhật... xin các bạn like fanpage bên dưới để mình tiện thông báo khi cập nhật xong
Trong quá trình sử dụng chức năng TABLE mình nghĩ ra một cách khá hay để tận dụng nó vào việc kiểm tra
tính đồng biến, nghịch biến. Trong nhiều bài toán phương trình hệ phương trình, ta băn khoăn không biết là hàm
số đó có đồng biến nghịch biến hay không, ta có thể dùng cách này để "thử trước", nếu không phải hàm đồng
biến hay nghịch biến thì kiếm cách khác đỡ mất thời gian
Ví dụ 1:
Ta sử dụng tính năng TABLE tương tự như phần trình bày ở trên
MODE 7 nhập bấm = -14=15=1=
Máy hiện ta kéo xuống thì thấy với X chạy từ -14 đến 15 thì F(x) có giá trị tăng dần và X=0 là nghiệm. Ta
đoán hàm trên là 1 hàm đồng biến, từ đó ta có thể nghĩ tới cách đạo hàm. Đây chỉ là 1 ví dụ đơn giản nên có thể
không cần bấm máy nhưng trong nhiều bài toán phức tạp, nhiều lúc ta cố gắng chứng minh hàm đồng biến
nghịch biến để giải mà trong khi hàm đó hoàn toàn không đồng nghịch biến gì hết thì quả thật mất công. Có
nhiều trường hợp cũng nên cẩn thận, có thể hàm là đồng/nghịch biến nhưng bạn không thể làm chứng minh hàm
đồng biến nghịch biến được, lúc đó, bạn nên nghĩ cách khác

Chứng minh phương trình có nghiệm bằng tính chất hàm số liên tục
Chứng minh phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [a;b].
Các bước giải bài toán:
Bước 1. Chứng minh hàm số liên tục trên khoảng (a;b).
Bước 2. Tính f(a),f(b).
Bước 3. Chứng minh f(a).f(b)≤0.
Bước 4. Kết luận phương trình có ít nhất một nghiệm trên đoạn [a;b].
Phương pháp này tương đối dễ hiểu, vì hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a;b) nên đồ thì của hàm số này
từ f(a) đến f(b) là một đường liền nét.
Mà f(a).f(b)≤0 nghĩa là f(a) và f(b) trái dấu nên một điểm nằm trên và một điểm nằm dưới trục hoành.
Vậy đồ thị của hàm số này từ f(a) đến f(b) sẽ cắt trục Ox tại ít nhất một điểm nên phương trình sẽ có ít nhất một
nghiệm trên khoảng (a;b).
Ta tham khảo một số ví dụ để nắm được phương pháp chứng minh phương trình có nghiệm.
Ví dụ 1. Chứng minh phương trình x4−3x2+5x−6=0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1;2).
Hướng dẫn:
Đặt f(x)=x4−3x2+5x−6 thì f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên R, vậy f(x) liên tục trên khoảng (1;2).
f(1)=−3,f(2)=8
Suy ra f(1).f(2)=−24 < 0
Vậy phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1;2).
Ví dụ 2. Chứng minh phương trình m(x−1)3(x−2)+2x−3=0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
Hướng dẫn:
Đặt f(x)=m(x−1)3(x−2)+2x−3 thì f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên R.
f(1)=−1,f(2)=1⇒f(1).f(2)=−1 < 0
Vậy phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1;2).
Ví dụ 3. Chứng minh rằng phương trình m2x4+2mx3+3x−1=0 luôn có nghiệm với mọi m.
Hướng dẫn:

Thủ thuật tính đạo hàm của một số hàm cơ bản bằng casio

THỦ THUẬT TÍNH ĐẠO HÀM
CỦA MỘT SỐ HÀM CƠ BẢN BẰNG CASIO
Nguyễn Minh Tuấn – THPT Bình Minh

Tham khảo thêm tại blog Casioer team:
/>
A. TÍNH ĐẠO HÀM CỦA MỘT ĐA THỨC.
Để tận dụng tốt phím

d
dx

ở trong máy tính trong việc tình đạo hàm ta sẽ cî cách để

tình đạo hàm của các hàm số đa thức như sau:
d
 Bước 1: Nhập vào máy
 f  x
dx
xX


Bước 2: CALC X  1000 sau đî ta tiến hành biểu diễn số đî qua X và thế là
xong!

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số sau:

f  x    x3  3x2  2   x  1   x  2   x2  x  1  x  2

2



3

Bước 1: Nhập vào máy:
d
2
3
X 3  3X 2  2   X  1   X  2   X 2  X  1   X  2

dx







xX

Bước 2: CALC X  1000 ta được kết quả: 8036042017

Tuy nhiên đây là kết quả tính của máy VINACAL còn máy
VN sẽ ra kết quả khác hình ảnh như sau:

Đî là hënh ảnh kết quả tëm được của máy Casio 570 Vn. Cái đuïi của kết quả là 36 còn của
VINACAL là 17. Bằng thực nghiệm ta thấy kết quả 17 của máy VINACAL là đúng. Những
bạn nào đang dùng VN hay dùng máy CASIO thë đừng quá quan trọng lỗi này, ta vẫn có

thể khắc phục bằng cách sau:
Sau khi tëm được kết quả của x 2 ta sẽ CALC X  0 để tìm hệ số tự do, sau đî trừ đi hệ số
tự do rồi CALC X  1 để tìm hệ số của X thế là kết quả là đúng. Ngoài ra khi bậc của đạo
hàm quá cao thì ta vẫn có thể dùng cách CALC X  0.001 để tìm lần lượt các hệ số từ bậc
nhỏ đến lớn.
+ Tiến hành rút gọn ta được kết quả như sau: 8036042017  8x3  36x2  42x  17
+ Ghi vào sau: 8X3  36X 2  42X  17, CALC X   ta được:


Thủ thuật tính đạo hàm của một số hàm cơ bản bằng casio

Vậy kết quả tình đạo hàm là đúng!
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số sau:

f  x    x  1  x2  2x  3    x  1 x  2    x 2  x  1  x
2



Bước 1: Nhập vào máy:
2
d
 X  1  X 2  2X  3    X  1 X  2    X 2  X  1 X
dx



Bước 2: CALC X  1000 ta được kết quả: 5.02003904  10





xX

12

+ Tiến hành rút gọn ta được kết quả như sau:
5.02003904  1012  5x4  20x3  39x2  40x  21
+ Ghi vào sau: 5X 4  20X 3  39X 2  40X  21,CALC X   ta được kết quả bằng 0 tức là
kết quả tình đúng!

B. TÍNH ĐẠO HÀM CỦA MỘT PHÂN THỨC.
Giả sử ta phải tình đạo hàm của hàm y 


f  x
thì gồm những bước sau:
g x

Bước 1: Nhập vào máy: g  x  
2

Do công thức tình đạo hàm của hàm y 

d  f  x 


dx  g  x  

xX

f  x
f ' x g  x  g 'x f x
 y' 
nên ta phải
2
g  x
g  x

nhân vào trước biểu thức g  x  để làm mất mẫu.
2



Bước 2: Sau đî tiến hành rút gọn ta được tử của y ' là đa thức h  x  . Cuối cùng
chỉ việc ghi vào bài làm là y' 

h x
g x

2

, và thế là xong!


Thủ thuật tính đạo hàm của một số hàm cơ bản bằng casio
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số sau: f  x  

x3  x  x2  x  1  x2  2

x2  1



Bước 1: Nhập vào máy biểu thức sau:
3
2
2
2
d  X  X  X  X  1  X  2 
2

 X  1  dx 

X2  1

 xX



Bước 2: CALC X  1000 ta được kết quả 2.000005  1012

+ Tiến hành rút gọn biểu thức trên ta được kết quả: 2.000005  1012  2x4  5x2  1
+ Ghi vào sau: 2X 4  5X 2  1 , CALC X   được kết quả:




Vậy kết quả tình đạo hàm là đúng!
Như vậy kết quả của bài toán là:

x3  x  x2  x  1  x2  2
2x 4  5x 2  1
f  x 
 f ' x 
2
x2  1
 x2  1

 x  1
f  x 
3
 2x  4 
4

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số sau:

Nhận xét: Theo như các bước làm ở trên, ta sẽ nhập vào màn hình biểu thức
4
d   x  1 
6
Nhưng tuy nhiên với phương pháp CALC X  1000 ta thì bắt

 2x  4   
dx   2x  4 3 
xX
đầu có vấn đề vì máy tính chỉ tính chính xác trong khoảng  1015 ; 1015  mà x 6 đã lên tới
1018 , cho nên cách này làm chắc chắn thất bại. Mà cho dù bạn nào có CALC X  100 để
giảm số mũ thë chắc chắn cũng sai vë bài này hệ số rất lớn! Do đî ta làm như sau, nhập vào
4
d   x  1 

4
máy biểu thức sau  2x  4   
 . Mënh đoán rằng sau khi tôi viết thế này
dx   2x  4 3 
xX
chắc có nhiều bạn sẽ đặt câu hỏi là tại sau dưới mẫu là  2x  4 

 2x  4 

6

+ Ta có:

4

mà không phải là

theo như cïng thức tình đạo hàm. Sau đây là chứng minh:

g '  x  .h
g  x
f  x  n
 f 'x 
h  x

 x   g  x  h n  x  ' g '  x  h n  x   g  x  n.hx n 1  x  .h '  x 

2
h 2n  x 
hn  x

h n 1  x  g '  x  .h  x   ng  x  .h '  x   g '  x  .h  x   n.g  x  .h '  x 


h 2n  x 
h n 1  x 
n


Thủ thuật tính đạo hàm của một số hàm cơ bản bằng casio
Đî là cách chứng minh , các bạn hiểu tại sao là  2x  4  mà không phải là  2x  4  rồi
4

6

chứ?
Đến đây ta đã tëm được đạo hàm của f  x  là: f '  x  

2x 4  16x 3  60x 2  64x  22

 2x  4 

4

C. TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM 1 CĂN


Bước 1: Áp dụng 3 công thức tình đạo hàm sau đây:
a. f  x   g  x  '  f '  x   g '  x 
b.

 u  '  2u'u

 f  x   f '  x  .g  x   g '  x  .f  x 
c. 
' 
2
g
x


g  x




Bước 2: Giả sử cần tình đạo hàm của hàm số f  x  

h x  g x f x
v  x u  x  m x

 Đầu tiên theo như cïng thức ta sẽ nhân 2 biểu thức sau với công thức tình đạo hàm
đî là 2 u  x  và





2

v  x u  x  m  x .

 Tiếp theo khi đã cî biểu thức





: 2 u  x v  x u  x  m  x 

d  h  x  g  x u  x 


dx  v  x  u  x   m  x  

 xX

Ta làm như sau:
 CALC X  1000 sau đî gán vào A:





2

2 u  x v x u x  m x 


d  h  x  g  x u  x 



A
dx  v  x  u  x   m  x  

 xX

Đổi dấu u  x  , CALC X  1000 sau đî gán vào B





2

2 u  x   v  x  u  x   m  x  

d  h  x  g  x u  x 


B
dx   v  x  u  x   m  x  

 xX

 Kết quả sau khi tình đạo hàm có dạng: f '  x  
AB

t  x  
2 u x


 Trong đî 
AB

l  x   2

t  x u  x  l x



2 u  x v  x u  x  m x



2


Thủ thuật tính đạo hàm của một số hàm cơ bản bằng casio
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số sau: f  x  


x2  x  1  x2  2
x2  2  1

Bước 1: Giống như cách làm như trên, ta nhập vào máy
2
d  X2  X  1  X2  2 
2
2
2 X 2 X 2 1  



dx 
X2  2  1
 xX





 Bước 2:
+ Chưa đổi dấu, CALC X  1000 gán vào A

2 X2  2





2

X2  2  1 

d  X2  X  1  X2  2 



dx 
X2  2  1


A
xX

+ Đổi dấu X 2  2 , CALC X  1000 gán vào B

d  X2  X  1  X2  2 
2 X  2  X  2  1  


dx 
 X2  2  1

2



2



2

B
xX

Ta được lần lượt A,B như sau:



Bước 3: Đạo hàm có dạng f '  x  

g  x  x2  2  v  x 
2 x2  2



x2  2  1



2

AB

 4x  2
g  x  
2
2
x

2
Với 
 v  x   A  B  2x 3  8x  4

2
 Vậy kết quả của bài toán là:
f  x 

x2  x  1  x2  2
x2  2  1

 f ' x 

Ví Dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số sau: f  x  

 4x  2 

x 2  2  2x 3  8x  4

2 x2  2



x2  2  1



2

x2  x  2   x  2  x2  x  1

 x  1

x2  x  1  2

Nhận xét: Đối với bài này hay một số bài khác nhìn hình thức khá là phức tạp thì ta nên
CALC X  100 để được kết quả chính xác, bởi vì nếu CALC X  1000 thì sau khi rút gọn
kết quả của hệ số x và hệ số tự do bị sai, và đừng bao giờ CALC X  0.001 nó làm các bạn
rất khî để khai triển, và hầu như tïi thấy phải mò rất lâu thì mới được kết quả chính xác.
Vì khi CALC X  0.001 ta tëm được đến hệ số của x 2 và đáng lẽ ra đến đî là hết nhưng tuy

nhiên do sai số nó lại cho tôi một dãy số đằng sau làm tôi nhầm tưởng chưa khai triển hết,
và đến đî là sai!. Và tïi cũng nîi thêm cách này chỉ giúp được cho những bài có
X  100 or X  1000 nằm trong tập xác định thì mới có thể làm được, còn những trường


Thủ thuật tính đạo hàm của một số hàm cơ bản bằng casio
hợp còn lại như tïi đã nîi khïng nên dùng cách CALC X  0.001 , bạn nào muốn thử thì
tùy nhé, tình tay cín nhanh hơn!.
 Bước 1: Nhập vào máy biểu thức:
2
2
d  X  X  2  X  2 X  X  1 


X X1 2 
2

dx 
 X  1 X  X  1  2

 xX



2 X  X  1  X  1
2




2

Bước 2:
Chưa đổi dấu, CALC X  1000 gán vào A



2 X  X  1  X  1
2





2

2
2
d  X  X  2  X  2 X  X  1 


X X1 2 
A
2

dx 
X

1
X


X

1

2



 xX



2

2

Đổi dấu X 2  X  1, CALC X  1000 gán vào B



2 X  X  1   X  1 
2

2
2
d  X  X  2  X  2 X  X  1 

X X1 2  
B

2

dx 

X

1
X

X

1

2



 xX



2



Ta được kết quả lần lượt như sau:



Bước 3: Đạo hàm có dạng f '  x  

2

g  x  x2  x  1  v  x 



2 x2  x  1  x  1 x2  x  1  2



2

AB

 61410  6x 2  14x  10
g  x  
2
2 x x1
Với 
A
 v  x    B  3182112  3x 3  18x 2  21x  12

2
 Vậy kết quả của bài toán là:

f  x 

x2  x  2   x  2  x2  x  1

 f ' x


 x  1

 6x


2

x2  x  1  2

 14x  10  x 2  x  1  3x 3  18x 2  21x  12



2 x2  x  1  x  1 x2  x  1  2



2

Nói chung phần này chỉ giúp tình toán nhanh hơn chứ không có ứng dụng gì nhiều
cả.

D. TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM 2 CĂN

Nói chung thủ thuật này không hữu ích nhiều như thủ thuật tình đạo hàm 1 căn, nhất là
đối với máy CASIO 570 Vn – Plus bị sai số nhiều cín chưa kể bị tràn màn hình. Nhưng
thôi mình cứ nîi để tham khảo.

Bây giờ ta cần tình đạo hàm của hàm số f  x  

a u  x  b v x  c u x v x  d
e u  x  f v x  g u x v x  h


Thủ thuật tính đạo hàm của một số hàm cơ bản bằng casio
 f ' x 

x u  x  y v x  z u x v x  m



4 u  x v x e u x  f v x  g u x v x  h



2

Đầu tiên nhập vào máy và CALC 1000 lưu vào A



4 u  x v  x e u x  f v x  g u x v x  h



2

d  a u  x  b v x  c u x v x  d 



dx  e u  x   f v  x   g u  x  v  x   h 

 xX

Tiếp theo đổi dấu lần lượt từng căn rồi cuối cùng là cả hai căn, gán lần lượt vào các biến
B,C,D.
ABCD 

ABCD
z
x 

4 u x
4 v x u x



Khi đî: 
ABCD
y  A  B  C  D 
m


4 v x

4

Nhìn khủng khiếp chứ!

Ví dụ : Tính đạo hàm của hàm số sau: f  x  

 x  1

x x x1 2

2 x x1  x  x1 1

Nhập vào máy:



4 x x1 2 x x1  x  x1 1



2

d   x  1 x  x x  1  2 


dx  2 x x  1  x  x  1  1 

Làm như hướng dẫn ta sẽ được đạo hàm có dạng:

f ' x 

a x b x1 c x x1 d



4 x x1 2 x x1  x  x1 1

ABCD

 4x 2  6x  8
a 
4 x

A

B
CD
b 
 4x 2  2x  2

4 x1
Với 
c  A  B  C  D  8x  4

4 x x1

d  A  B  C  D  8x 2  24x  6

4
Thử lại thấy đúng.



2

xX