ngan hang cau hoi toan ki thuat

A. LOẠI CÂU HỎI 1 ĐIỂM
Câu 1:
Cho hàm biến phức f  z cos2 z , tính f '  i  .
Bài giải:
Ta có: f  z  cos2 z 2 cosz cosz  2 cosz  sinz  sin2z
Vậy: f  z  sin2z  f  i   sin2i







Câu 2:
'  i 
Cho hàm biến phức f  z e2 z , tính f   .
3
Bài giải:

Ta có: f  z   e 2z   2z  e 2z 2e 2z


i
2i
2

i


Vậy: f  z  2e 2z  f   2e 3 2e 3
3

2
2 

2 cos
 i sin   1  i 3
3
3 


Câu 3:
Cho hàm biến phức f  z , thoả mãn f '  z 6z  1 và f 1  i  9i .
Bài giải:
Từ: f '  z  6 z  1  f  z  f '  z dz   6 z  1dz 

6z 2
 z  c 3 z 2  z  c
2

 f  z  3 z 2  z  c





 f 1  i  31  i   1  i   c 3 1  2i  i 2  1  i  c 5i  1  c
mà f 1  i  9i  5i  1  c 9i  c 4i  1
2

Vậy: f  z 3z2  z  c 3z2  z  4i  1

Câu 4:
Tìm biến đổi Laplace F(s) = L {tsin3t}.
Bài giải:
dn
Áp dụng: L t n x  t    1 n
X s 
ds n





Ta có: L t. sin 3t    1
Vậy: F  s  


d  3 
6s
 3 





2
2
ds  s 2 3 2 
 s 3 

s2  9



6s
s  9s 2
4

Câu 5:
Tìm biến đổi Laplace F(s) = L {e-2tcos22tsin3t}.
Bài giải:
1
2
Ta có: cos 2t sin 3t  1  cos 4t  sin 3t
2
1
1
 sin 3t   sin 3t cos 4t 
2
2
1
1 1
 sin 3t    sin 7t  sin t 
2
2 2
1
1
1
 2t
 2t

 2t
Vậy: F  s   L e sin 3t   L e sin 7t   L e sin t
2
4
4
1
3
1
7
1
1



2  s  2  2  3 2 4  s  2 2  7 2 4  s  2 2  12

Câu 6:
Tìm biến đổi Laplace F(s) = L {e-4tsin23t}.
Bài giải:
  4t  1  cos 6t  
 4t
2

Ta có: F  s   L e sin 3t  L  e 
2



1
1

 L e  4t   L e  4t cos 6t 
2
2







2


 s  4
1 1
1
 
 
2 s  4 2  s  4 2  6 2
Câu 7:
Tìm biến đổi Laplace F(s) = L { t3e-2t}.
Bài giải:





3  2t

Ta có: F  s   L t e

d3
ds 3

6
 1 

 
 s  2 4
 s 2
Câu 8:

Tìm biến đổi Laplace F(s) = L {(4cos3t – 5sin2t)ch2t}.
Bài giải:


e 2t  e  2t 




F
s

L
(4cos3t
5sin2t)ch2
t

L

(4cos3t
5sin2t)
Ta có:


2


4
4
5
5
 L e 2t cos3t  L e -2t cos3t - L e 2t sin2t - L e -2t sin2t
2
2
2
2
4  s  2
4  s  2
5
2
5
2




2
2
2

2  s  2   9 2  s  2   9 2  s  2  4 2  s  2  2  4
Câu 9:
Tính

 7 4  5 4
.
 3
Bài giải:

3
1
3
1
 3 4  1 4 
 3 4  1 4 
Ta có:  7 4  5 4   1  3 4  1  1 4   4
4
4
4
 3 
 2  1
2!
2!
3 
3 
3





3
3 16 2 16 2
16
 3 4 1  3 4
sin
4 
2 
2  3
 16

2.1
2
2
2
16 2


Câu 10:
Tính

 3  3 2 
.
 9 2 
Bài giải:

1
2! 1 2 
 3  3 2   2  1 1  1 2
24 
16

16
2





Ta có:
 9 2 
 4  1 2
 2.4  1!!  7!!  1.3.5.7 105
24
Câu 11:

8  2x
Sử dụng hàm Gamma tính tích phân x e dx .
0

Bài giải:
Đặt 2x = t; dx = 1/2dt.
8



1  t  t
1
1
8  2x
8 t
Ta có: x e dx    e dt  8 t e dt  9  9 

2 0 2
2.2 0
2
0
1
8!
 9  8  1  9
2
2
Câu 12:
Cho

x(t) = 2t, 0  t  2. Tìm khai triển Fourier của x(t) theo các hàm cos
Bài giải:




 n 4

Ta có: x t 2     1  1
n

n1

2

2

n

cos t
2

Câu 13:
Cho

x(t) = 2t, 0  t  2. Tìm khai triển Fourier của x(t) theo các hàm sin
Bài giải:




Ta có: x t  1    1
n1

n

 n2 sinn2 t


Câu 14:
Tìm biến đổi Z của các dãy tín hiệu sau: x(n) = e-3nu(n).
Bài giải:
n



e3z
 1 
Ta có: X z    x  n z  n  e  3n z  n    3   3

e z 1
n 
n 0
n 0  e z 
3
e z
Vậy: X z   3
, z e-3
e z 1


, z e-3

Câu 15:
Tìm biến đổi Z của các dãy tín hiệu sau: x(n) = e-3(n -1)u(n).
Bài giải:



 1 
Ta có: X z    x  n z  n  e  3 n  1 z  n  e 3  e  3n z  n  e 3   3 
n 
n 0
n 0
n 0  e z 
3
3
6
e e z
ez

, z e-3
 3
 3
e z 1 e z 1
e6 z
Vậy: X  z  3
, z e-3
e z 1


n

Câu 16:
Tìm biến đổi Fourier của dãy tín hiệu sau: x(n) = 5-nu(n).
Bài giải:
n




i
2

nf
i
2

f



X  f    x ne
   5e
 
Ta có:

n
n0 
1

1
5ei 2f

X  z
1
zei 2nf
5ei 2f  1
5ei 2f

Câu 17:
Tìm biến đổi Fourier của dãy tín hiệu sau: x(n) = 2-n +1u(n).
Bài giải:


Ta có:
n




i

2

nf
i
2

f


X  f    x ne
   2e



n
n0 
1

2
4ei 2f

 X  z
1
zei 2nf
2ei2f  1
2ei 2f

B. LOẠI CÂU HỎI 2 ĐIỂM
Câu 1:
Tìm hàm phức khả vi f (z) (viết công thức theo z ), biết rằng

f(z) = U(x,y) + iV(x,y) có phần thực
U(x,y) = x2 – y2 + 3e-2ycos2x + 3y, với z = x + iy.
Bài giải:
Để hàm f(z) là hàm phức khả vi ta phải có:
v
 u
1
 x  x, y   y  x, y 
 u
v
  x, y   
 x, y 
 2
 y
x
u
 x, y  2 x  6e  2 y sin 2 x
 3
Ta có:
x
u
 x, y   2 y  6e  2 y cos 2 x  3  4
y
Từ (2) và (4) suy ra V(x,y) = 2xy + 3e-2ysin2x.-3x + C
 f(z) = x2 – y2 + 3e-2ycos2x + 3y +i2xy + i3e-2ysin2x-i3x +Ci





 x 2  i 2 xy  y 2  3e  2 y  cos 2 x  sin 2 y    y  ix   iCi
 x  iy   3e e i 2 x  3i  x  iy   Ci
Z 2  3e 2iZ  3iZ  Ci
2

 2y

Câu 2:
Tìm hàm phức giải tích f (z) (viết công thức theo z ), biết rằng
f(z) = U(x,y) + iV(x,y) có phần ảo
x
V(x, y)  2
 3e - y cosx - 6xy  2x  3 , với z = x + iy.
x  y2
Bài giải:
Để hàm f(z) là hàm phức khả vi ta phải có:
u
 x, y   v  x, y 
1
x
y


Ta có:

v
 x, y   2- 2xy2 2  3e- ycosx - 6x
y
x  y 

Từ (1) và (2) suy ra U  x, y  

 2

y
 3e - y sinx - 3x 2
x  y2
2

 x

x
 3e -y sinx - 3x 2  i 2
 3e -y cosx - 6xy  2x  3 
2
2
x y
x y

với z = x + iy.
Có thể tiếp tục như câu 1…
 f  z 

2

Câu 3:
Tìm hàm phức khả vi f (z) (viết công thức theo z = x + iy), biết rằng
f(z) = U(x,y) + iV(x,y) có phần thực
U(x,y) = e-x (xcos y + ysin y) và F(0) = i.
Bài giải:

u
 x, y   e -x (xcos y  ysin y)  e -x cos y
Ta có:
x
Để hàm f(z) là hàm phức khả vi ta phải có:
u
 x, y   v  x, y 
x
y
u
 x, y   e -x xcos y  e -x ysin y  e -x cos y  v  x, y 

x
y
-x
-x
-x
-x
 V  e xsiny  e ycos y  e sin y  e siny
e-x  ycos y - xsiny 
 f  z  e -x  xcos y - ysiny  ie -x  ycos y - xsiny
với z = x + iy.
Có thể tiếp tục như câu 1…
Câu 4:
 2

Sử dụng hàm số Bêta hãy tính tích phân: I  

sin 2 2 x

0

cot gx

dx

Bài giải:


Ta có:

2

 2 sinx cosx 2 dx 4

I 
o

1

cos 2 x
1

sin 2 x



2



3

cos
0

2

5

2

5
2 1
4

xsin xdx2 2 cos
2

0

7
2 1
4

x sin

xdx


Vậy:

5 7
5 7
1  3 
  
  
  1  1
4
4
4
4
4  1 
5 7
I 2 ,  2     2     2 
 3
 2  1
5 7
 4 4
  
4 4


1 3  


1 1 3  3
1 3 1  1

4
4


   
 1  
 sin 
4  4 4  4
4 4  4  4

4   3
I 2
2
2
2!
2!
2!
8 2

Câu 5:
2

cos2x
dx.
Sử dụng hàm số Bêta hãy tính tích phân: I  
tgx
0
Bài giải:


Ta có: I 

2

2 cos

2

1
2



x  1 cos x sin



1
2

xdx

o



2



5
2

2 cos x sin



1
2



xdx 

0



2

1



cos 2 x sin



1
2

xdx

0

7
2 1
4

2 cos
0

2

1
2 1
4

x sin

1
xdx 2 
2



2

3
2 1
4

cos

1
2 1
4

x sin

xdx

0

7 1
 3 1
  
  
7 1 1 3 1
 4  4  1   4  4 
Vậy: I  ,    ,  
 4 4  2  4 4   7  1  2  3  1 




 4 4
 4 4
3  3 1
  

3
2 3

2
4  4  4
I





 2
3
3
 2 
2
2
2
2 sin
4 sin
4
4
Câu 6:
2
2
Sử dụng hàm số Bêta hãy tính tích phân: I  .3 cotgxcos 2xdx.
0

Bài giải:




2

1
3



1
3

13
3



1
3





I  cos x sin x 4 cos4 x  4 cos2 x  1 dx
o

Ta có:



2



7
3

2



1
3

4 cos x sin xdx 4 cos x sin xdx
0

Vậy:

0



2

1
3

cos xsin
0

 16 2 
 10 2  1  4 2 
I 2 ,   2 ,    , 
 6 6
 6 6 2 6 6
 16   2 
 10   2 
 4  2
2   2     
6
6
 6  6  6 6
    
 3
 2 
21

5  5 1
2  2 1
 2 1
2     2    
  
3  3  3
3  3  3 1  3  3



 3
 2 
2

1
5 2

2


2  
2 
3 3 sin 2
3 sin 2
sin 2
3 
3 1
3

2!
1!
2
1
10
4

20  6 4  9



9 sin 2
3 sin 2
2 sin 2
18 sin 2

3
3
3
3
5
5


9 3
18 sin 2
3
2
5
2
Vậy: I  .3 cot gx cos 2 xdx 
9 3
0


Câu 7:
d n

x J n  x  xn J n 1  x .
a) Chứng minh rằng
dx
2
b) Tính x J 1  xdx.
Bài giải:
1.d n
x J n  x  x n  1J n  1  x 

(1)
xdx
Nhân hai vế của (1) cho x ta được:
x.d n
d n

x J n  x    x.x n  1 J n  1  x  

x J n  x   x n J n  1  x 
xdx
dx
Đây là điều phải chứng minh.
d 2
2
2
b. Ta có: x J 1  x dx  x J 2  x  dx  x J 2  x 
dx

a. Ta có:











1
3

xdx


x
x  
 2
2

2 

  1 k  x  2 k
 

k 0 k! k  n !  2 

x4

4

  1 k  x  2 k
 

k 0 k! k  n !  2 


Câu 8:
a) Chứng minh rằng

d n
x J n  x xn J n 1  x .
dx





1

b) Tính xJ 0  xdx .
0

Bài giải:
1.d n
x J n  x  x n  1J n  1  x 
(1)
xdx
Nhân hai vế của (1) cho x ta được:
x.d n
d n

x J n  x    x.x n  1 J n  1  x  
 x J n  x   x n J n  1  x 
xdx
dx
Đây là điều phải chứng minh.
1
1

1
d
b. Ta có: xJ 0  x dx   xJ1  x dx  xJ 1  x 
0
dx
0
0

a. Ta có:





    1   
1.J  .1  0.J  .0  J    
 
2 k 0 k! k  n !  2 
k

2k

Câu 9:
a) Chứng minh rằng
b) Tính

J 3  x

x

2

d n

x J n  x    x  n J n 1  x  .
dx

dx.
Bài giải:

1 d n
 x J n  x   x  n  1 J n 1  x 
(1)
x dx
Nhân hai vế của (1) cho -x ta được:
  x   d  x  n J  x    x.x  n  1J  x   x  n J  x 

n
n 1
n 1
x dx
Đây là điều phải chứng minh.
J  x
d
b. Ta có:  3 2 dx x  2 .J 3  x  dx   x  2 .J 2  x  dx  x  2 J 2 x
dx
x



a. Ta có: 





x
 x  2  
 2

2 

  1 k  x  2 k
 

k 0 k! k  2 !  2 



1    1  x 
 

4 k 0 k! k  2 !  2 
k



2k

Câu 10:
 1 neáu
t 5
Tìm biến đổi Fourier của x t  
t 5
 0 neáu
Bài giải:


5



Ta có: X f   x  t e


 i 2 ft

dt 2cos 2ft dt
0

10 sin C10
2.5 sin C 2.5f  10 sin C10f  
0


neáu
f 1
neáu
f 0

Câu 11:
Tìm biến đổi Fourier của các hàm số x(t) = (t)cos 3t.
Bài giải:
Ta có: x  t  x  t  cos 2f 0 t
(1)



1
1
(1)  X f   X f  f 0   X f  f 0  (2)
2
2
Như vậy từ (1) và (2) áp dụng vào hàm x(t) = (t)cos 3t

1 
1 
Ta có: X f    f  f 0    f  f 0 
2
2
1 sin   f  f 0   1 sin   f  f 0  
 
 
(3)
2
 f  f 0 
2
 f  f 0 
sin   f  f 0  


 sin C f  f 0    f  f 
0
Đặt: 
sin   f  f 0  
 sin C f  f 0  

 f  f 0 

 4
 5


1
1
Thay (4), (5) vào (3) ta được X f   sin C f  f 0   sin C f  f 0 
2
2
3
Trong đó vì: 2f 0 t 3t  f 0 
2

Câu 12:


1 3 3
a) Chứng tỏ rằng z z x, y  x y  G x  H y là nghiệm tổng quát của phương trình
6
2
 z

 x 2 y , trong đó G, H là hai hàm khả vi liên tục đến cấp 2.
xy
b) Tìm nghiệm của phương trình trên thỏa mãn điều kiện z(x, 0) = x2, z(1, y) = cos y.

Bài giải:
a. Do G, H là hai hàm khả vi liên tục đến cấp 2 nên ta có:
/

z  1

Zx  Z x, y    x 3 y 2  G  x   H y  
x  6
x
3
1
/
/
 x 2 y 2   G x   x  x 2 y 2   G x   x
6
2
/
2z  1 2 2
/
/ 
 Zxy  Z x, y  xy 
 x y   G  x   x  x 2 y
xy  2
y
1
 Z  Z x , y   x 3 y 2  G  x   H y 

6
2z
 x 2 y , trong đó G, H là hai hàm khả vi liên tục đến
là nghiệm tổng quát của phương trình
xy
cấp 2.
1
2
b. Ta có: Z x ,0  0 y  G  x   H  0  G  x 
6
mà Z x,0  x 2 nên suy ra: G  x   x 2
1
 Z Z x , y   x 3 y 2  x 2  H y 
(*)
6
1 2
Ta có: Z1, y   y  1  H y 
6
1 2
y  1  H  y  cos y
mà Z1, y  cos y nên suy ra:
6
1
 H y  cos y  y 2  1
(1)
6
1 3 2
1 2
2
Thay (1) vào (*) ta được: Z x , y   x y  x  cos y  y  1

6
6
1 3 2
1 2
2
Hay Z  Z x, y   x y  x  cos y  y  1
6
6
2
 z
x 2 y
Là nghiệm của phương trình
xy
/
x

Câu 13:


2 u
2 u

4
e2 xy , biết rằng phương trình có một
2
2
x
y
2x + y
nghiệm riêng dạng u = kxe , k là một hằng số.

Tìm nghiệm tổng quát của phương trình

Bài giải:
Từ nghiệm riêng u = kxe2x + y ta có:
u
2u
ke 2 x  y  2kxe 2 x  y 
2ke 2 x  y  2ke 2 x  y  4kxe 2 x  y
x
x 2
(1)
4ke 2 x  y  4kxe 2 x  y
2
u
 u
kxe 2 x  y 
kxe 2 x  y
(2)
2
y
y
2 u
2 u

4
e2 xy
Thay (1) vào (2) vào phương trình:
2
2
x

y
2 x y
e 2 x  y  k 
ta được : 4ke

1
4

1 2x  y
Vậy u u  x , y   xe
là nghiệm tổng quát cần tìm.
4

Câu 14:
Cho X là một biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn N(;2). Đặt y(t) = Xe-t, t  0.
Hãy tìm hàm trung bình và hàm tự tương quan của quá trình y(t), t  0.
Bài giải:
-Ta có hàm trung bình: m t  Ex  t  Const .
 Ey t  E Xe  t e  t E X  μ
( là tham số, có thể chọn  =0,…,n).
-Ta có hàm tự tương quan: r  s, t  cov x  s , x  t   E  x  s   m  x  t   m  .





   t  τ    t  
   t  τ
 Xe   E  X 2   e 
 cov y t  τ ; y t   E  Xe 






  t  τ   t
  2t  τ 
σ 2 .e 
.e
σ 2 .e




  t 
 e 



Câu 15:
Số cuộc gọi đến tổng đài là quá trình Poisson
X(t) với tốc độ trung bình 4 cuộc gọi trong
một đơn vị thời gian.
Hãy tính
P{X(1) = 2} và P{X(1) = 2, X(3) = 6}.
Bài giải:


Ta có λ 4; Pn  t  P X t  n 

λ n n  λt
t e
n!

4 2 2  41
1 e 8e  4
2!
Vậy P X1 2 8e  4
Ta có P X1 2; X 3 6 P X1 2; X 3  X1 4
4 4 4  4.2 85  12
P X1 2 P X 2  4 8e  4 .
.2 .e
 .e
4!
4!
5
8
Vậy P X1 2; X 3 6  .e  12
4!
 P X1 2 

Câu 16:
Số cuộc gọi đến tổng đài là quá trình Poisson
X(t) với tốc độ trung bình 3 cuộc gọi trong
một đơn vị thời gian.
Hãy tính
P{X(1) = 2 X(3) = 6} và P{X(3) = 6 X(1) = 2}.
Bài giải:
P X1 2; X 3 6 P X1 2; X 3  X1 4
P X1 2 X 3 6 


-Ta có
P X 3 6
36 6  3.. 3
3 e
6!
3 2 2  3.1 3 4 4  3.2
6! 1 e  2 e
6! P X1 2 .P X 2 4
2!
4!

12
9
12
9
3 e
3 e
6 4 9
3
3
4
6!.3 .2 .e
6!.2
5.6.2
5.2


 6  5
12

9
6
2!.4!.3 e
4!.3
3
3
4
5.2
Vậy P X1 2 X 3 6  5
3
P X1 2; X 3 6 P X 2  4

-Ta có P X 3 6 X1 2  
P X1 2
P X1 2


34 4  6
2 e
 4! 2
12.e  3
3
e  3
2!
3
Vậy P X 3 6 X1 2 12.e

Câu 17:
Cho X(t), t ≥ 0 là quá trình Poisson với cường độ  = 3. hãy tính:
P{X(1)  2}, P{X(1),X(2) = 3}.

Bài giải:

 3 3 2   3 17  3
-Ta có P X1 2  1    e  e
2
 1! 2! 
-Ta có P X1, X 2 3  P X1 1, X 2 3  P X1 1, X 2  X1 2 
3
32
33 e  6
P X1 1, X1 2   e  3  e  3 
1!
2!
2
3
6
3 e
Vậy P X1, X 2 3  
2