bai tap su dung cong thuc nguyen ham tich phan

NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
BÀI 1. BÀI TẬP SỬ DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN
I. B¶ng c«ng thøc nguyªn hµm më réng



 ax  b  dx  1  ax  b 

1

a   1 

dx

1

 ax  b  a ln ax  b  c

e

ax b

m
a
a

ax b

2

2

dx 

 sin  ax  b  dx 

1

1

 cotg  ax  b  dx  a ln sin  ax  b   c
dx

dx
1
ax

ln
c
2
2a a  x
x

 cos

 ln  x  x 2  a 2   c

2

dx
a x

2

 arcsin

2

dx
x a
2

2



x
c
a

1
x
arccos  c
a
a

1 a  x2  a2
  ln
c
a
x
x x2  a2

dx



1
cos  ax  b   c
a

 tg  ax  b  dx   a ln cos  ax  b   c

 sin

x a

x

1
max b  c
a ln m

1

 cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   c

dx
1
x
 arctg  c
2
a

a
x

2



c

1 ax b
e
c
a

dx





dx 

 c ,   1

2

2

 ax  b 



1
cotg  ax  b   c
a

dx
1
 tg  ax  b   c
 ax  b  a

x

x

a2  x2  c

x

x

a2  x2  c

 arcsin a dx  x arcsin a 

 arccos a dx  x arccos a 

 arctg a dx  x arctg a  2 ln  a
x

x

a

2

 arc cotg a dx  x arc cotg a  2 ln  a
x

b

x a

 x2   c

2

 x2   c

dx

1

ax  b
c
2

dx

1

ax  b
c
2

 ln  ax  b dx   x  a  ln  ax  b   x  c  sin  ax  b   a ln tg



a 2  x 2 dx 

x a2  x2 a2
x
 arcsin  c
2
2
a

 sin  ax  b   a ln tg



eax sin bx dx 

eax  a sin bx  b cos bx 
c
a 2  b2



eax cos bx dx 

eax  a cos bx  b sin bx 
c
a 2  b2

II. NHỮNG CHÚ Ý KHI SỬ DỤNG CÔNG THỨC KHÔNG CÓ TRONG SGK 12

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

1


Các công thức có mặt trong II. mà không có trong SGK 12 khi sử dụng phải chứng minh lại bằng cách
trình bày dưới dạng bổ đề. Có nhiều cách chứng minh bổ đề nhưng cách đơn giản nhất là chứng minh
bằng cách lấy đạo hàm
1. Ví dụ 1: Chứng minh:
Chứng minh:

a

dx
x

2

2



x

dx
2

a



2

x

dx
a

2



2

1
xa
ln
c;
2a x  a

a

dx
2

x

2



1
ax
ln
c
2a a  x

1  1
1 
1  dx
dx  1 x  a


c

 dx  
  ln
2a  x  a x  a 
2a  x  a
x  a  2a x  a







1  1
1 
1  dx
d a  x   1
ax


ln
c

 dx  

2a  a  x a  x 
2a  a  x
a  x  2a a  x





 ln  x  x2  a 2   c

dx



2. Ví dụ 2: Chứng minh rằng:



x a
2

2





 1  x2  a2
Chứng minh: Lấy đạo hàm ta có: ln x  x 2  a 2  c  
x  x2  a2






1
2
2 
x x a 
1



1
x x a
1





2
2
2
2
2
2
2
2
x a  x x a
x a
x a
2

x

3. Ví dụ 3: Chứng minh rằng: 
Đặt tg u 







x
, u   ,  
2 2
a

a

dx
a x
2

dx
2

x



Đặt sin u  ,u    ,   
 2 2
a

dx





d  a tg u 

2

a x
2

a2  x2

1
x
u  c (với tg u  )
a
a
1

1

 a 1  tg u   a  du  a u  c

dx

4. Ví dụ 4: Chứng minh rằng:
x

2



2

2





2

2

uc

(với sin u 

d  a sin u 
a 2 1  sin 2 u 

x
, a > 0)
a



 du  u  c

Bình luận: Trước năm 2001, SGK12 có cho sử dụng công thức nguyên hàm

a

dx
2

1
x
 arctg  c và
a
a
x
2



dx
a x
2

2

 arcsin

x
 c (a > 0) nhưng sau đó không giống bất cứ nước nào trên thế
a

giới, họ lại cấm không cho sử dụng khái niệm hàm ngược arctg x, arcsin x. Cách trình bày trên để khắc phục
lệnh cấm này.
III. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN ĐƠN GIẢN
III.1. CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN:

1. Biểu diễn luỹ thừa dạng chính tắc:
1

n

x  xn ;

n

m

xm  x n ;

n k

m

x m  x nk

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

2


1
1
1
n
n ;


x
;

x
n
xn
x

1
n

x

xm

m
n

1

;
n k

x

m
nk

xm

2. Biến đổi vi phân:
dx  d(x ± 1)  d(x ± 2)  …  d(x ± p)
adx  d(ax ± 1)  d(ax ± 2)  …  d(ax ± p)

  



x p
d

 a 

1
dx  d x  1  d x  2 
a
a
a

III.2. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HOẠ
1.

 x 3  1  1
1 
x3
 2

dx
 x  1 dx    x  x  1  x  1  dx
 x 1

   x 2  x  1 dx  

2.


x

4 x  7 dx =

d  x  1

1
1
 x 3  x 2  x  ln x  1  c
x 1
3
2

1
 4 x  7   7  4 x  7 dx
4

3
5
3
1
1 
1 2
2


2  7  4x  7 2  d  4x  7 
2  7  4x  7  2  c




4
x

7
4
x

7


16 
16  5
3

3. I 17  

dx
1

2
2x  5
2



d  2 x



2 x   5 
2

2



 10 
arctg 
x  c
 5 
10

1

4.

dx
1
d 2 x 
1
1 
1
2x
 1

x



d
2

ln
c
 2 x + 5 ln 2  2 x  2 x  5 5ln 2   2 x 2 x  5 
5ln 2 2 x  5

5.

cos 5 x
3
2
3
 1  sin x dx   cos x 1  sin x  dx   1  sin x  cos x  cos x sin x  dx

 

  1  sin 2 x  d  sin x    cos 3 xd  cos x   sin x 

sin 3 x cos 4 x

c
3
4

III.3. CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI
J1  

 x  1 x  2 x  3 x  4 
x x

dx ; J 2  

7x  3
3x 2  7x  5
dx ; J 3  
dx
2x  5
x2

J4  

2x 3  5x 2  7x  10
4x 2  9x  10
2x 2  3x  9
dx ;J5  
dx ; J 6  
dx
x 1
2x  1
 x  110

J7  

x 3  3x 2  4x  9

 x  215

J 9   x  3

100



dx ; J8  

2x 3  5x 2  11x  4

 x  130

dx

x  13 dx ; J10   x  12 5x  215 dx ; J11   x 2  3x  52x  133 dx



J12   2x 2  3 . 5  x  1 dx ; J13  
3

x 2  3x  5
7

 2x  1

4



dx ; J14   x 4 . 9 2x 5  3



4

dx

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

3


x9

J15  

5

4

x

ln 2



x dx
2



3 x 7

dx
ex  1

1

2



; J 22  

ln 2



; J 25 

0

dx ; J17  

x3
x  x2 1

dx





3x



dx
2



7 x 2
2



; J 23  



 2x

ln 2

e2x dx

ex  1







; J 26 

ln 2

e x  1 dx ; J 27 

0


0

ln 2

J32 


0

3

J36 


0

dx
; J33 
e x 3

ln 4


0



 5 x2  3



1  ex
dx
1  ex



2



dx
2

1 1  ex
1
1 1  ex
dx
e x dx
dx

; J 29  
; J30   2x
; J31  
x
1  e2x
 ex
e3x
0 1 e
0
0 e
0
1



2

dx

dx
e3x dx
1  ln x

;
J

; J35  
dx
34

x
x
x
x
e  4e
0 1 e
1
1

1



x 5 1  x 2 dx ; J 37   x 5 1  x 3



6

e

1

dx ; J 38   x 3 1  x 2 dx

0

0





2

1
1 2 x  1 dx
1
dx
dx
2x
x
 x
; J 40   x
;
J

;
J

41
42
 4 x

 e 1  e dx
x
4

3
4

2
0
0
0
0
1

J39

x  x2 1



J 21  

J 28

x

dx
dx
dx
; J19   2

; J 20   2
2
 x  2  x  5
x 2 x 6
x  2 x2  3

J18  

J 24 

 2  3x 
10

dx ; J16  

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

4