Bài tập áp dụng công thức lượng giác full

Gv. Trần Mạnh Tùng - 091 3366 543 21.02.2013
Btad
Btad Btad
Btad Công thức lợng giác
Công thức lợng giác Công thức lợng giác
Công thức lợng giác




1. Trên đờng tròn lợng giác, xác định các điểm M khác nhau, biết rằng cung AM có số đo:
a) 2610
0
b) 600
0
c) 1997

d) 321

/4
e)
2
k

f)
6 3
k

+
g) k
3

4 4
k

+
h) -
4

+ k
2

.
2. Tìm số đo của các cung tạo bởi họ các điểm M (M
1
, M
2
, )





a) b) c)
3. Rút gọn:
a) sin
3
13

b) cos
4
11

c) tan
4
21

d) cot
3
20



e) sin(

+
2

) f) cos (

+
2

) g) sin(

+k

) h) tan(

+k

)
i) A = tan10
0
.tan20
0
tan80
0

B = sin1170
0
cos180
0
+ tan315
0
cot585
0
- cos(-675
0
)sin765
0
C = sin(
2

- x) + cos(

- x) - tan(

+ x) - cot(
2
3

- x).
4. Tìm góc

thoả mn đoạn chỉ ra
a)
3
2 , ;
6 3 2 2
k



= +


b)
, ;
4 2 2
k



= +


.
5. Chứng minh rằng:
a) sin
4

x + cos
4
x = 1 - 2sin
2
xcos
2
x. b) sin
6
x + cos
6
x = 1 - 3sin
2
xcos
2
x.
c) tanx + cotx = sin
2
xtanx + cos
2
xcotx + 2sinxcosx.
d) (tanx - sinx)
2
+ (1 - cosx)
2
=
2
1
cos
1

x
.
6. Biết sinx + cosx =

. Tính:
a) sinxcosx b) sin
3
x + cos
3
x c) |sinx - cosx| d) sin
6
x + cos
6
x.
7. Cho sin

=
5
4
,
2

<

<

. Tìm các giá trị lợng giác của góc

.
(cos , tan ,cot ).


8. Tìm max, min của mỗi hàm số sau:
a) y = 4sin2x + 5 b) y = 2cos(x -
3

) - 1 c) y =
xsin2 +
+ 3.
d) y = sin
2
x - 2sinx + 4 e) y = cos
2
x + 4cosx - 1






M
1

M

2

M
2

M
1

M
4

M
3

M
1

M
2

M
3

4

3


3

Gv. Trần Mạnh Tùng - 091 3366 543 21.02.2013
9. S dng cỏc cụng thc lng giỏc c bn
a) Tớnh giỏ tr ca biu thc
3 2
3 3
cos x + cosx.sin x - sinx
A = khi tanx = 2
sin x - cos x

b) Cho
4 4
98
3sin 2
81
x cos x+ =
. Tớnh
4 4
2sin 3
A x cos x
= +
.
10. Tính:
sin15
0
, cos75
0
, cot105
0
, sin

12
5

, cos
12
5

, tan
8

.
11. Chứng minh rằng:
a) cot

- tan

= 2cot2

b) sin3

= 3sin

- 4sin
3


c) cos3

= 4cos
3

- 3cos

d)
2 2
2 2
tan tan
tan( ) tan( )
1 tan tan
a b
a b a b
a b

= +


e)
cos( ) 2cos( ) 3cot tan
sin( ) sin( ) 2
a b a b b a
a b a b
+ + +
=
+
f)
1
2 cot 2 cot tan
sin 2 2 2
a a
a

a



+ =






g)
sin sin 3 sin5
tan3
cos cos 3 cos5



+
=
+
h)





2cos
2
)

4
cos()
4
cos(
1
=
+

i) sin

+ sin(

+
3
2

) + sin(

+
3
4

) = 0.
12. Biến đổi thành tích:
a)
xcos
2
1
+ b) cosx + sin2x - cos3x c) 3sinx + 4cosx
d) sin

2
x + sin
2
2x - sin
2
3x e) 1 - sinx + cosx
f) 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x
g)
cos 4x cos3x; cos3x cos6x;
sin 5x sin x
+ +

h)
(
)
(
)
(
)
sin a b sin a b ; t an a b tana; t an 2a tana
+ + +

i)
( ) ( )
(
)
sin a + b
sin a + b + c - sina - sinb - sinc; cos a + b + c + cosa + cosb + cosc;
sina + sinb

j)
sina - sinb sina + sin3a + sin5a sina + si
n4a + sin7a
; ;
tana - tanb cosa + cos3a + cos5a cosa + co
s4a + cos7a

13. Biến đổi thành tổng:


(
)
(
)
o o
2
a/ sin .sin b/ cos5x.cos3x
c/ sin x 30 cos x 30
5 5

+


( ) ( ) ( )
d) 2sinx.sin2x.sin3x; e) 8cosx.sin2x.sin3x;
f) sin x .sin x .cos2x;
g) 4cos a b .cos b c .cos c a
6 6

+






14. Rút gọn:

x x x x x x
A 4sin .sin .sin ; B 4cos .cos .cos
3 3 3 3 3 3


+ +


= =







2 4 6 8
C cosx cos x cos x cos x cos x
5 5 5 5

= + + + + + + + +






Gv. TrÇn M¹nh Tïng - 091 3366 543 21.02.2013

2 2
1 3
cos x sin x
cos a cos b sin 2x 2 sin x
2 2
D E F G
1
sin(a b)
3 sin 2x 2 sin x
cos x
sin x
2
2
+ +
− +
= = = =
−

−
−
−
.
15. Chøng minh

o o o o o o o o o
o o o o o o o o o
1 3 3
a / sin10 .sin50 .sin70 b/ cos10 .cos50 .cos70 c/ tan10 .tan50 .tan70
8 8 3
3 1
d/ sin20 .sin40 .sin80 e/ cos20 .cos40 .c
os80 f / tan 20 .tan40 .tan80 3.
8 8
= = =
= = =

16. Chøng minh

o o o o o o
o
1 8
a / 2sin 70 1 b / tan30 tan 40 tan50 tan
60 cos20
2sin10
3
2 5 8 7
c / tan tan tan tan sin
6 9 18 3 18

3
π π π π π
− = + + + =
+ + + =


( )
o 2
sin x sin y x y cos x sin x 1 sin 2x
d / tan e / tan 45 x f / tan x
cos x cos y 2 cos x sin x 1 sin 2x 4
π
 
+ + + −


= = + = −




 
+ − +
.
17. Chøng minh

( )
2
o o o
1 cos x cos 2x cos3x

a / 2 cos x; b / 4cos x.cos x .cos x cos 3x
2cos x cos x 1 3 3
c / 4sin x.sin x .sin x sin 3x. AD :Tính A= sin20 .sin 40 .sin 80
3 3
d / tan x.tan x
3
π π
π π
π
   
+ + +
 
 
= + − =
 
 
 
 
   
+ −
   
 
 
+ − =
 
 
 
 
   



+



(
)
o o o
.tan x tan 3x AD :Tính A= tan20 .tan 40 .tan 80
3
π
  
 

− =
 

 

  

18. Cho sin
α
=
13
7
,
2
π
<

α
<
π
. TÝnh: cos2
α
, sin2
α
, cot2
α
.
19. Cho sin
α
=
5
4
−
, -90
0
<
α
< 0
0
. TÝnh cot(
α
+ 60
0
).
20. Chøng minh r»ng:
a) cos
5

π
cos
4
1
5
2
=
π
b) cos
7
π
cos
7
2
π
cos
8
1
7
4
−=
π
c) cos
5
π
- cos
5
2
π
=

2
1

d) cos
7
π
- cos
7
2
π
+ cos
2
1
7
3
=
π
e) sin18
0
cos36
0
=
4
1
f) cos20
0
cos40
0
cos80
0

=
8
1

g) 16sin10
0
sin20
0
sin50
0
sin70
0
= 1 i) 8cos10
0
cos20
0
cos40
0
= cotg10
0

h) tan9
0
- tan27
0
- tan63
0
+ tan81
0
= 4 k)

4
10cos
3
10sin
1
00
=−

21. Cho tam gi¸c ABC cã c¸c gãc A, B, C. Chøng minh c¸c ®¼ng thøc sau:
a) sinA + sinB + sinC = 4
2
cos
2
cos
2
cos
CBA
b) cosA + cosB + cosC = 4
sin sin sin 1
2 2 2
A B C
+

c) sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC d) tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC
e)
tan tan tan tan tan tan 1
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
+ + =
f) sin

2
A+sin
2
B+sin
2
C = 2 + 2cosAcosBcosC
g) cos
2
A+cos
2
B+cos
2
C=1-2cosAcosBcosC h)
cot cot cot cot cot cot
2 2 2 2 2 2
A B C A B C
+ + =

Gv. Trần Mạnh Tùng - 091 3366 543 21.02.2013
22. Cho

ABC. Chứng minh rằng:
a) asin(B - C) + bsin(C - A) + csin(A - B) = 0 b)
2
sin
2
sin
2
sin4
CBA

Rr
=

c) bccosA + cacosB + abcosC =
2
222
cba
++

d)
p
C
ba
B
ac
A
cb 3
2
cos)(
2
cos)(
2
cos)(
222
=+++++
e)
1
tan tan 2
2 2 3
A B

a b c
= + =

f)
==
cba
m
c
m
b
m
a
ABC đều
g)
222
21 cba
m
m
b
c
c
b
+==
và 2cotA = cotB + cotC h) a + c = 2b

ac = 6Rr.
23. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a)
C
B

CB
A
cos
cos
sinsin
sin
+
+
=




ABC vuông ở A b) sinA + sinC = 2cos
2
B




ABC cân ở B
c)







=

+=
acb
abc
a
bccba
333
2
222




ABC đều.
24. Nhận dạng

ABC biết:
a) cos
2
A + cos
2
B + cos
2
C = 1 b) acosB - bcosA = asinA - bsinB
c) sinA + sinB + sinC = 1 - cosA + cosB + cosC d) tanA + tanB = 2cot
2
C

e)
22
4

2
sin
cos1
ca
ca
B
B

+
=
+
f) cosAcosBcosC =
8
1

g) sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C =
4
9
h) 3S = 2R
2
(sin
3
A + sin
3

B + sin
3
C).
25. Tính các góc của

ABC biết:
a)
0
2
5
)2cos2(cos32cos
=+++ CBA
b)
2
3
sinsincos
+= CBA

26
*
. Chứng minh rằng,


ABC ta luôn có:
a)
8
1
coscoscos
CBA
b)

2
cos
2
cos
2
cossinsinsin
CBA
CBA
++++

c)
tan tan tan 3 3
A B C+ +
(câu c thêm giả thiết: tam giác ABC nhọn).

t
tt
tranmanhtung
ranmanhtungranmanhtung
ranmanhtung