Các bài toán tính toán trong nửa nhóm ma trận

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

TRẦN THỊ HOÀN

CÁC BÀI TOÁN TÍNH TOÁN
TRONG NỬA NHÓM MA TRẬN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

HÀ NỘI - 2014


TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

TRẦN THỊ HOÀN

CÁC BÀI TOÁN TÍNH TOÁN
TRONG NỬA NHÓM MA TRẬN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
ThS. NGUYỄN HUY HƢNG

HÀ NỘI – 2014


LỜI CẢM ƠN

Nghiên cứu khoa học là một chủ đề hấp dẫn nhiều ngƣời quan
tâm đặc biệt là đối với sinh viên năm cuối. Vì thông qua quá trình tự
nghiên cứu, em có thể hiểu rõ hơn về bộ môn, nâng cao đƣợc nhận thức
về bức tranh Toán học và bƣớc đầu tập nghiên cứu khoa học mở rộng
và nâng cao tầm nhìn, tầm hiểu biết của mình.
Trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này,
em đã nhận đƣợc sự chỉ bảo, góp ý và hƣớng dẫn giúp đỡ hết sức tận
tình của thầy giáo ThS. Nguyễn Huy Hƣng. Bên cạnh đó, em cũng
nhận đƣợc sự góp ý chân thành của các thầy cô giáo trong khoa Toán
nói chung và các thầy cô trong tổ Đại số nói riêng, cùng các bạn sinh
viên K36A_SP Toán. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô
giáo đã giúp đỡ em bƣớc đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học,
chắc chắn điều đó sẽ rất bổ ích cho em trên con đƣờng học tập và công
tác sau này.
Trong quá trình nghiên cứu vì thời gian có hạn và bƣớc đầu làm
quen với phƣơng pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh
khỏi thiếu sót. Vì vậy em rất mong nhận đƣợc sự đóng góp của quý
thầy cô giáo và bạn bè để đề tài của em đƣợc hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2014.
Sinh viên
Trần Thị Hoàn


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận của em đƣợc hoàn thành dƣới sự hƣớng dẫn của thầy
giáo ThS. Nguyễn Huy Hƣng cùng với sự cố gắng nỗ lực của bản
thân. Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, em có tham
khảo tài liệu của một số tác giả đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận này là kết quả

nghiên cứu của bản thân, không trùng với kết quả của tác giả nào khác.
Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 05 năm 2014.
Sinh viên
Trần Thị Hoàn


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU

1

CÁC KÍ HIỆU THUẬT NGỮ

3

CHƢƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

5

1.1. Định nghĩa

5

1.1.1. Lý thuyết ma trận

5

1.1.2. Lý thuyết nhóm

8

1.1.3. Đại số trừu tƣợng

9

1.1.4. Các từ hữu hạn

10

1.1.5. Các số siêu phức

10

1.2. Mối liên hệ giữa các từ và ma trận

13

1.2.1. Đồng cấu nửa nhóm

14

1.2.2. Đồng cấu nhóm

15

1.3. Các bài toán tính toán trong nửa nhóm ma trận

16

CHƢƠNG 2 . CÁC BÀI TOÁN TÍNH TOÁN TRÊN NỬA NHÓM
MA TRẬN QUATERNION.

19

2.1. Giới thiệu các số siêu phức

19

2.2. Đồng cấu từ quaternion

20

2.2.1. Ma trận biểu diễn của quaternion

23

2.2.2. Hệ quả

23

2.3. Nửa nhóm ma trận quaternion cấp thấp

24

2.4. Các bài toán tính toán trong số nguyên Lipschitz

32

KẾT LUẬN

36

TÀI LIỆU THAM KHẢO

37


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết nửa nhóm là một phần tƣơng đối trẻ của toán học. Nhƣ
một hƣớng tách biệt của đại số với mục tiêu riêng của nó, việc xác định
rõ các bài toán và phƣơng pháp nghiên cứu của lý thuyết nửa nhóm đƣợc
hình thành khoảng cách đây 70 năm. Một trong các động cơ chính đối
với sự tồn tại một lý thuyết toán học nào đó là những ví dụ thú vị và tự
nhiên. Đối với lí thuyết nửa nhóm, sự lựa chọn rõ ràng nhất cho những ví
dụ nhƣ thế là nửa nhóm các phép biến đổi. Nhiều phép biến đổi khác
nhau của những tập khác nhau xuất hiện ở mọi lúc và mọi nơi trong toán
học.
Khi nghiên cứu về lý thuyết nửa nhóm, nó sẽ giúp chúng ta tìm
hiểu đƣợc thông tin cần thiết về các tính chất của nhóm, nửa nhóm. Ngày
nay, lý thuyết nửa nhóm đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu
một số ngành khoa học cơ bản nhƣ toán học, vật lý, ...
Năm 1940, Rees đã đƣa vào khái niệm nửa nhóm ma trận trên
một nhóm với phần tử không, gọi là nửa nhóm ma trận Rees.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về nửa nhóm ma trận trong lý
thuyết nửa nhóm, dƣới góc độ một sinh viên sƣ phạm toán và trong
phạm vi của một khóa luận tốt nghiệp cùng sự giúp đỡ tận tình của thầy
giáo – ThS. Nguyễn Huy Hƣng em đã lựa chọn đề tài : “Các bài toán
tính toán trong nửa nhóm ma trận” để tiến hành nghiên cứu. Nội dung

chủ yếu của luận văn là đề cập đến các vấn đề tính toán đƣợc xác định
trên nửa nhóm ma trận, và xét tính giải đƣợc hay không giải đƣợc của
một bài toán tiêu biểu.
2. Mục đích nghiên cứu

1


Trong quá trình thực hiện đề tài đã giúp em làm quen với việc
nghiên cứu khoa học, tinh thần làm việc độc lập, tìm hiểu sâu hơn về Đại
số. Đặc biệt là hiểu rõ hơn về các vấn đề tính toán trong nửa nhóm ma
trận.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
+ Các bài toán tính toán trong nửa nhóm ma trận.
+ Xét tính giải đƣợc và không giải đƣợc của một bài toán tiêu biểu.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Đề tài này đƣợc nghiên cứu nhằm khai thác các kiến thức về vấn
đề tính toán đƣợc xác định trên nửa nhóm ma trận và xét tính giải đƣợc
hay không giải đƣợc của các bài toán.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Đề tài đƣợc hoàn thành dựa trên sự kết hợp các phƣơng pháp:
nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp, đánh giá.
6. Bố cục khóa luận
Ngoài mở đầu, kết luận, phụ lục và tài liệu tham khảo, khóa luận
gồm có 2 chƣơng:
Chƣơng 1 . Các kiến thức chuẩn bị
Nội dung chính của chƣơng này trình bày những kiến thức cơ sở sẽ
dùng cho các chƣơng sau nhƣ lý thuyết ma trận, lý thuyết nhóm, đại số
trừu tƣợng, các từ hữu hạn và các số siêu phức, mối quan hệ giữa các từ
và ma trận, đồng cấu nhóm, đồng cấu nửa nhóm và các bài toán tính toán

trong nửa nhóm ma trận.
Chƣơng 2 . Các bài toán tính toán trên nửa nhóm ma trận
quaternion
Nội dung chủ yếu của chƣơng này trình bày các kiến thức về các
bài toán nửa nhóm ma trận quaternion và các kết quả liên quan.

2


CÁC KÍ HIỆU THUẬT NGỮ
Các kí hiệu cơ bản :
- Tập các số tự nhiên.
- Vành các số nguyên.
- Trƣờng các số hữu tỉ.
- Trƣờng các số phức.

( ) - Trƣờng các số phức hữu tỉ.
H ( ) - Vành các quaternion hữu tỉ.
H ( )0 - Vành các quaternion hữu tỉ thuần túy.
F - Một vành số bất kì.
Các kí hiệu về ma trận :

I n - Ma trận đơn vị cấp n.

F nn - Tập các ma trận trên hệ thống số F .

det(M ) - Định thức của ma trận M .
M 1 - Ma trận nghịch đảo của ma trận M ( tồn tại khi và chỉ khi

det(M )  0 ).

M T - Ma trận chuyển vị của ma trận M .

Mi , j - Là phần tử ở hàng i, cột j của ma trận M .

 (M ) - Tập các giá trị riêng của ma trận M .
 (M ) - Bán kính phổ của ma trận M .
A  B - Tích Kronecker của hai ma trận A và B .
A  B - Tổng trực tiếp của hai ma trận A và B .
Các kí hiệu từ :
Cho các từ u  u0u1...um và v  v0v1...vn :

uv  u0u1...umv0v1...vn - là phép ghép của u và v .

3


u R  un  u1u0 - Nghịch đảo của từ u .

 - Từ trống.
Các kí hiệu lí thuyết nhóm :

A  B - Hợp của hai tập A và B .
A  B - Giao của hai tập A và B .

| A | - Bản số của tập A .
G - Nửa nhóm tạo bởi tập các ma trận vuông G .

S - Một ma trận nửa nhóm.
Các kí hiệu khác :
PCP- ( Post‟s correspondence problem) Bài toán tƣơng ứng của Post.

nPCP - Cấp nhỏ nhất cho trƣờng hợp của PCP mà đƣợc biết đến là không
giải đƣợc.

SU 2 - Biểu thị nhóm khả nghịch đặc biệt ( tập các ma trận vuông cấp 2
có định thức bằng 1).

O3 - Là nhóm các phép biến đổi của không gian Euclide chiều 3.
SO3 - Là nhóm trực giao đặc biệt, bao gồm các ma trận có định thức bằng
1 hoặc -1.

4


CHƢƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Định nghĩa
Chúng ta sẽ sử dụng các kí hiệu

, , ,

lần lƣợt cho các tập số

tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ và số phức. Trƣờng số phức hữu tỉ đƣợc kí
hiệu bởi

( ) , là các số có dạng a  bi , trong đó a, b

và i 2  1.

Một cách tổng quát hơn và không giới hạn vào một hệ thống số cụ

thể nào, chúng ta sẽ sử dụng kí hiệu F để chỉ một vành tùy ý.
Một tập hợp là một tập các đối tƣợng riêng biệt (đƣợc gọi là các
phần tử của tập hợp). Cho 2 tập hữu hạn, ví dụ là A  w, x, y và

B   x, y, z , khi đó hợp của A và B đƣợc kí hiệu A  B  w, x, y, z ,
nó là tập các phần tử lấy từ một trong 2 tập A hoặc B . Giao của 2 tập A
và B kí hiệu là A  B   y, z , nó là tập các phần tử xuất hiện trong cả 2
tập A và B .
Bản số của một tập hợp A  a1 , a2 ,..., an  đƣợc kí hiệu bởi | A | và
đƣợc định nghĩa nhƣ là số các phần tử trong tập A , do vậy | A | n .
1.1.1. Lý thuyết ma trận
Ta kí hiệu một ma trận m  n trên một vành F là F

mn

. Hầu nhƣ

chúng ta chỉ làm việc trên ma trận vuông, hay khi đó m  n . Chúng ta sẽ
sử dụng những tính chất cơ bản của ma trận, đƣợc nhắc lại dƣới đây:
Kí hiệu I n là ma trận đơn vị cấp n :

1
0
In  
 ...

0

0
1

...
0

5

...
...
...
0

0
0 
... 

1


Cho một ma trận M  F nn , ta kí hiệu một phần tử trong hàng i và
cột j bởi Mi , j  F . Ma trận chuyển vị của M , kí hiệu là M T , ma trận
này thu đƣợc bằng cách hoán đổi các hàng thành các cột.
Một

x   x0

vectơ

hàng

x

là

một

ma

trận

cấp

1 n :

x1 ... xn1  . Một vectơ cột là chuyển vị của một vectơ hàng

và có cấp n 1 .
Hai vectơ x   x0

x1 ... xk  , y   y0
T

y1 ... yk  đƣợc gọi
T

là trực giao nếu:

x y   x0
T

x1

xk  y0

...

y1

...

k

yk    xi yi  0
T

i 0

k

Nếu cả hai vectơ x và y là đơn vị thì

x
i 0

2
i

k

  yi2  1 , và
i 0

cũng trực giao thì khi đó chúng đƣợc gọi là trực chuẩn.
Định thức của một ma trận M đƣợc kí hiệu det(M ) . Chúng ta có
thể định nghĩa nó sử dụng quy nạp Laplace mở rộng định thức con. Cho
một ma trận

A  aij   F nn , F

là một vành tùy ý, khi đó

~

Aij  F ( n1)( n1) biểu thị ma trận con của A với hàng i và cột j bị
xóa. Giả sử rằng định thức xác định trên F ( n1)( n1) , khi đó:
n

det( A)   (1)i j aij det( Aij ) , 1  i  n
~

j 1

Định nghĩa định thức của một ma trận 1 1 là giá trị duy nhất
trong ma trận. Tính chất quan trọng của định thức là:

det( AB)  det( A)  det( B), A, B  F nn
Một ma trận

M

là khả nghịch (có một nghịch đảo,

M 1 , MM 1  I ) khi và chỉ khi det(M )  0 . Ngƣợc lại, M đƣợc gọi là

6


suy biến hay không khả nghịch. Ma trận D đƣợc gọi là ma trận chéo nếu

Di, j  0, i  j , tất cả các phần tử trừ đƣờng chéo đều là 0. Ma trận T
đƣợc gọi là ma trận tam giác trên nếu Ti , j  0 , j  i , phần tam giác
dƣới của ma trận là số 0 (không bao gồm đƣờng chéo hàng đầu).
Cho một ma trận M  F nn , một vectơ khác vectơ không x  F n
mà Mx   x , ở đó   , đƣợc gọi là một vectơ riêng. Vô hƣớng 
đƣợc gọi là một giá trị riêng của ma trận M . Nói chung, ma trận M có
thể có đến n giá trị riêng khác nhau. Ta kí hiệu  (M ) là tập các giá trị
riêng của M , nó đƣợc gọi là phổ của M . Bán kính phổ của M là giá trị
không âm  ( M )  max |  |:   ( M ) .
Nếu Mx   x thì ( I  M ) x  0 . Vì x khác vectơ không,

( I  M ) là suy biến, do đó det( I  M )  0 . Điều này cho một đa thức
bậc n , gọi là đa thức đặc trƣng, nghiệm của nó là các giá trị riêng của

M.
Cho hai ma trận A  F i j và B  F km khi đó tích Kronecker của

A và B , kí hiệu A  B , đƣợc định nghĩa bởi:

 A1,1 B ... A1, j  B 


A  B   ...

...
...   F ik jm
 A B ... A B 
i , j  
 i ,1
Chúng ta đi tìm hiểu tính chất tích hỗn tạp của tích Kronecker:
Bổ đề 1.1. Cho A  F mn , B  F pq , C  F nk , D  F qr . Khi đó:

( A  B)(C  D)  AC  BD
Cho hai ma trận A  F mm và B  F nn , tổng trực tiếp của A và

B , kí hiệu A  B đƣợc cho bởi:

7


 A1,1

 ...
A
 m,1
A B  
 0

 ...

 0

...

A1,m

0

...

...
...

...
Am,m

...
0

...
...

...

0

B1,1

...

...
...

...

0

...
Bn,1

...
...

0 

... 
0 
  F ( mn )( mn )
B1,n 

... 

Bn,n 

Dễ nhận thấy rằng det( A  B)  det( A)  det( B) bởi định nghĩa
của định thức.
1.1.2. Lý thuyết nhóm
Một nửa nhóm đƣợc kí hiệu bởi (S , ) , ở đây S là một tập (có thể
vô hạn) các phần tử và phép tính của S có tính chất kết hợp. Nếu

a, b  S thì a  b  S . Ta luôn bỏ qua dấu  và chỉ cần viết ab . Ta gọi tập
tối tiểu các phần tử G mà bất kỳ phần tử nào của S cũng có thể biểu
diễn dƣới dạng tích của các phần tử của G là hàm sinh của nửa nhóm S .
Nếu mỗi cách phân tích nhƣ vậy là duy nhất thì ta gọi đó là nửa nhóm tự
do.

Nếu tồn tại một phần tử e  S mà x  S , ta có: xe  ex  x , thì

e đƣợc gọi là phần tử đơn vị, S đƣợc gọi là một vị nhóm, kí hiệu
(S , , e) . Ta chứng minh đƣợc phần tử đơn vị e là duy nhất. Hơn nữa,
nếu x  S , y S sao cho xy  yx  e , thì S đƣợc gọi là một nhóm
(mỗi phần tử đều có phần tử ngƣợc). Nếu  cũng giao hoán

(ab  ba, a, b  S ) cấu trúc trên đƣợc gọi là một vị nhóm giao hoán hay
một nhóm Abel. Nếu mỗi sự phân tích của các phần tử của S là duy nhất
theo các phần tử sinh của nhóm với tích rút gọn, thì nhóm đó đƣợc gọi là
tự do.

8


Một nửa nhóm là một tập S với hai phép toán định nghĩa trên
chúng, kí hiệu + và  , và phân biệt rõ ràng hai phần tử 0,1 vì (S , ,0) là
một nửa nhóm giao hoán và (S , ,1) là một nửa nhóm. Nếu (S , ,0) là
một nhóm Abel thì S là một vành. Nếu (S \{0},,1) tạo thành một nhóm
Abel thì S là một trƣờng.
Một vành chia là một vành mà mỗi phần tử có một nghịch đảo.
Chúng ta thấy rằng một vành chia tƣơng tự nhƣ một trƣờng nhƣng không
yêu cầu phép nhân giao hoán. Ta thấy rằng các quaternion tạo thành một
vành chia nhƣng không là một trƣờng vì chúng không giao hoán đối với
phép nhân. Vành chia đôi khi cũng đƣợc gọi là trƣờng nghiêng hoặc
trƣờng không giao hoán.
1.1.3. Đại số trừu tƣợng
Các cấu trúc nhƣ là nửa nhóm, nhóm, trƣờng,... đƣợc gọi chung là
cấu trúc đại số. Chúng ta sẽ sử dụng hàm số hoặc ánh xạ giữa các cấu
trúc đại số tƣơng đƣơng, cái mà bảo tồn các tính chất nhất định.

Cho hai cấu trúc đại số A , B cùng loại, ta định nghĩa một ánh xạ
 ánh xạ các phần tử của A (đƣợc gọi là miền xác định) tới các phần tử

của B (đƣợc gọi là miền ảnh) bởi  : A  B . Nếu mỗi phần tử của A
ứng với một phần tử riêng biệt của B , nghĩa là  ( x)  ( y)  x  y , thì

 đƣợc gọi là đơn ánh. Nếu mỗi phần tử y  B, x  A sao cho:

 ( x)  y , thì  đƣợc gọi là toàn ánh. Một hàm số vừa đơn ánh, vừa
toàn ánh đƣợc gọi là song ánh.
Một đồng cấu là một ánh xạ  giữa hai cấu trúc đại số cùng loại

A , B sao cho  ( x  y)  ( x)  ( y), x, y  A , ở đó  là toán tử nhị
phân của A ,

là toán tử nhị phân của B . Một đơn cấu là một đồng cấu

đơn ánh và một đẳng cấu là một đồng cấu song ánh.

9


1.1.4. Các từ hữu hạn
Cho một bảng chữ cái   a0 , a1 ,..., ak  , ta định nghĩa một từ hữu
hạn w trên tập  bởi: w  w 0 w1...w n  .
Cho hai từ u  u0u1...um và v  v0v1...vn trên một bảng chữ cái,

u, v  , phép ghép của u và v , viết u  v (hoặc viết tắt là uv ) đƣợc
cho bởi:

uv  u0u1...umv0v1...vn 
Nghịch đảo của từ w  w 0 w1...w n viết là w R đƣợc định nghĩa bởi

w R  w n  w1w 0 . Từ trống đƣợc kí hiệu  và biểu thị một từ với 0 chữ
cái. Kí hiệu | w | là độ dài của từ w , do vậy với w  w 0 w1...w n , ta có

| w | n  1 và |  | 0 .


Nghịch đảo của một chữ a kí hiệu bởi: a 1 hoặc a . Nghịch đảo








của một từ w  w0 w1...wn có thể định nghĩa là w  w 1  w n ...w1 w 0 là
nghịch đảo của w , với mỗi chữ cái đƣợc thay thế bởi nghịch đảo của nó.


w là nghịch đảo của w , vì rõ ràng:








w  w  w 0  w1  w n w n  w1 w 0  
1.1.5. Các số siêu phức
Các số phức hữu tỉ kí hiệu bởi
trong đó a, b 

( ) , chúng có cấu trúc a  bi ,

và i 2  1 . Tồn tại một phần mở rộng tự nhiên đến các

số phức, mà cho các số siêu phức, ở đó cho ta các số có nhiều phần ảo.
W.R.Hamilton phát hiện ra bằng cách sử dụng chiều bốn, chúng ta
có thể mở rộng các số phức từ một vành chia với với các tính chất tƣơng

10


tự số phức. Thực vậy, chúng ta sử dụng ” Xây dựng Cayley-Dickson ”,
nó có thể định nghĩa một đại số trong chiều bất kì là lũy thừa của 2.
Một dạng tƣơng tự với số phức, đó là quaternion hữu tỉ, hay chính
là các số siêu phức, chúng có dạng   a  bi  cj  dk , ở đó

a, b, c, d 

. Để giảm bớt kí hiệu, ta định nghĩa vectơ   (1, i, j , k )

khi đó   (a, b, c, d )   . Ta kí hiệu tập các quaternion hữu tỉ bởi

H ( ) . Một quaternion có phần thực là 0 đƣợc gọi là một quaternion
thuần túy và tập các quaternion hữu tỉ nhƣ vậy đƣợc kí hiệu là H ( )0 .

Phép cộng quaternion cũng đơn giản nhƣ trong số phức, đó là
chúng ta sẽ thực hiện cộng theo từng phần của các yếu tố:

(a1, b1, c1, d1 )  (a2 , b2 , c2 , d2 )  (a1  a2 , b1  b2 , c1  c2 , d1  d2 ) 
Phép nhân quaternion không giao hoán. Phép nhân hoàn toàn đƣợc
xác định bởi các phƣơng trình sau:

i 2  j 2  k 2  1,
ij  k   ji,
jk  i  kj ,
ki  j  ik
Do vậy, hai quaternion 1  (a1 , b1 , c1 , d1 )  và 2  (a2 , b2 , c2 , d2 ) , ta
định nghĩa tích của chúng nhƣ sau:

12  (a1a2  b1b2  c1c2  d1d2 )  (a1b2  b1a2  c1d2  d1c2 )i
(a1c2  b1d 2  c1a2  d1b2 ) j  (a1d 2  b1c2  c1b2  d1a2 )k
và kết quả này có thể đƣợc kiểm tra khi nhân liên tiếp và sử dụng các
phƣơng trình ở trên.
Một cách tƣơng tự với số phức, ta định nghĩa liên hợp của


  (a, b, c, d )  bởi   (a, b, c, d ) . Bây giờ ta có thể xác định

11




một chuẩn trên quaternion bởi ||  ||   a 2  b2  c 2  d 2 . Nghịch
đảo của một quaternion đƣợc cho bởi:




 1 
||  ||2
vì ta thấy rằng:



||  ||2
1
 

1
||  ||2 ||  ||2
Bất kỳ một quaternion nào cũng có nghịch đảo. Chú ý rằng

I  (1,0,0,0)  H ( ) là một quaternion đồng nhất. Và các tính chất
khác của một vành chia có thể đƣợc kiểm tra dễ dàng.
Một quaternion đơn vị quy ƣớc là 1 và tƣơng ứng với một phép
quay trong không gian 3 chiều. Cho một vectơ đơn vị r  (r1 , r2 , r3 ) và
một phép quay góc 0    2 , ta cần tìm một biến đổi quaternion để
biểu diễn một phép quay góc  (tính bằng radian) của một điểm

P '  ( x, y, z ) 

3

quanh trục r . Để làm đƣợc điều đó, ta cần dùng một

mã hóa của P ' là một quaternion thuần túy P , cụ thể là:

P  (0, x, y, z )    H ( )0 .
Ta định nghĩa một hàm số  q : H ( )  H ( ) bởi  q ( P)  qPq1 ,

P  H ( ),|| q || 1. Nếu q là lựa chọn chính xác để biểu diễn một phép
quay của  quanh một trục đơn vị r , thì hàm số sẽ trở thành một
quaternion thuần túy có dạng: (0, x ', y ', z ')   ở đây, ( x ', y ', z ') 
điểm quay chính xác.
Nó cũng đƣợc biết đến nhƣ sau:

12

3

là



 
   cos , r sin   
2
2

biểu diễn một phép quay của góc  quanh trục

r . Do đó, sử dụng

  ( P) nhƣ vừa mô tả quay P theo yêu cầu.
Tất cả đơn vị quaternion có thể tƣơng ứng với các điểm trên ba

chiều. Một cặp đơn vị quaternion p, q bất kì biểu diễn một phép quay
bốn chiều. Cho một điểm x  H ( ) , ta định nghĩa một phép quay của


x bởi: px q . Ta cũng sử dụng kí hiệu SU 2 để biểu thị nhóm khả nghịch
đặc biệt (tập các ma trận vuông cấp 2 có định thức bằng 1). O3 là nhóm
các phép biến đổi của không gian Euclide 3 chiều. SO3 là một nhóm con
của O3 , đƣợc gọi là nhóm trực giao đặc biệt, bao gồm các ma trận vuông
cấp 3 có định thức bằng 1 hoặc -1.
1.2. Mối liên hệ giữa các từ và ma trận
Có một mối liên hệ chặt chẽ giữa bài toán về từ và bài toán ma
trận. Trong phần này, chúng ta sẽ nhấn mạnh mối liên hệ này và chỉ ra
một số đơn cấu giữa các từ hoặc tập của các từ và ma trận cấp thấp. Rõ
ràng, vì các số phức là giao hoán, chúng ta không hi vọng lƣu trữ một từ
trong một số phức duy nhất khi sử dụng phép nhân chuẩn tắc là ghép các
từ, tuy nhiên chúng ta chỉ ra rằng các từ có thể bị chứa trong ma trận cấp
2, thậm chí trên các số nguyên.
Chúng ta chỉ xem xét các từ nhị phân trong phần này và hầu hết
khóa luận, vì chúng ta có thể thƣờng sử dụng đồng cấu đơn giản từ bảng
chữ cái bất kì đến bảng chữ cái nhị phân. Ví dụ, cho 2 bảng chữ cái

   x1 , x2 ,..., xk  và   a, b chúng ta có thể định nghĩa đồng cấu

 :    bởi  ( xi )  aib . Đó là một đơn cấu và có thể thƣờng đƣợc

13


sử dụng để quy về các bài toán trên bảng chữ cái bất kì đến bài toán trên
bảng chữ cái nhị phân.

Chúng ta sẽ đƣa ra các ví dụ cả về nửa nhóm tự do và nhóm tự do
(ở đó có sự xuất hiện của các chữ cái nghịch đảo). Các đồng cấu này sẽ
đƣợc sử dụng trong suốt khóa luận và  dƣới đây cũng đƣợc biết đến từ
các tài liệu. Chúng ta tìm hiểu sự tự do của  khi nghiên cứu quaternion
ở chƣơng sau.
1.2.1. Đồng cấu nửa nhóm
Cho một bảng chữ cái nhị phân   a, b ,  1 :  

22

đƣợc

định nghĩa bởi:

 1 1
,
 0 1

1 0 

1 1 

 1 (a)  
Khi đó,
Cho

 1 (b)  

 1 là một đơn cấu.

 , :  

22

là các đơn cấu đƣợc định nghĩa nhƣ sau:

 2 1
 2 2
1 1
1 2
,  (b)  
,  (a)  
,  (b)  




 0 1
0 1
0 2
 0 2

 (a)  

Các tính chất thú vị của  và  là chúng đều nguyên và là các
tam giác trên. Hơn nữa, vì phần tử  2,2 của  (w1 ) và phần tử 1,1 của

 (w 2 ) là bằng 1, w1 , w 2  , khi chúng ta hình thành các tổng trực
tiếp  (w1 )  (w 2 ) , chúng ta có thể hợp các phần tử này với nhau và ánh
xạ vào

33

chứ không phải

44

.

14


1.2.2. Đồng cấu nhóm



Cho một bảng chữ cái nhị phân với các nghịch đảo của nó
 



  a, b, a, b lập thành một nhóm (, ) . Cho  :  

22

đƣợc định

nghĩa bởi:



 1 0
 1 2 
1 2
 1 0

(
b
)


(
a
)


(
b
)

 2 1 
0 1 ,
,
 2 1 ,


0 1





 (a)  



Nhận thấy  là một đơn cấu, tức là nhóm đƣợc tạo ra bởi






 (a),  (b),  (a), (b) là nhóm tự do.
Trong chƣơng sau, chúng ta đề cập đến các bài toán tính toán trên

quaternion hữu tỉ. Các định lí phát triển ở đó cho phép chúng ta xác định
một ánh xạ  :   ( ) 22 , ở đó :

3 4

 3

i
0


 5
 (a)   5 5
 ,  (b)  
3 4 

 0
 4
 i


5 5 

 5

3 4

3

i
0
5 5




 (a)  
 ,  (b)   5
3 4 
 0
4
 i


5 5 


5

4
5
,
3

5

4
5

3 .

5 



Chúng ta chứng minh  là một đơn cấu trong phần 2.2.1 và do









vậy nhóm tạo bởi  (a), (b), (a), (b) là tự do. Chú ý rằng các ma
trận đó là ma trận unita.

15


1.3. Các bài toán tính toán trong nửa nhóm ma trận
Chúng ta sẽ chủ yếu xem xét các bài toán tính toán trên nửa nhóm
ma trận. Sau đây chúng ta phác thảo cấu trúc những vấn đề chung mà
chúng ta sẽ xem xét.
Bài toán 1.1. (MEMBERSHIP PROBLEM)
Cho một nửa nhóm S đƣợc tạo ra bởi một tập hữu hạn G , và một
phần tử duy nhất X . Khi đó, liệu X  S hay không?
Các vấn đề tính toán đƣợc cho bởi các lớp ví dụ chứ không phải
những ví dụ duy nhất. Ví dụ, chúng ta có thể yêu cầu ”Cho một tập sinh
của 10 ma trận nguyên cấp 4 tạo ra một nửa nhóm S . Khi đó, tồn tại hay
không một thuật toán xác định liệu X  S , ở đó X 

44

?”. Ta mong

muốn tìm một thuật toán duy nhất mà chúng ta có thể lấy bất kì ví dụ nào
thuộc lớp ví dụ đó và trở lại câu trả lời „đúng‟ hoặc „sai‟ sau một vài
bƣớc hữu hạn hoặc chúng ta chứng minh không tồn tại thuật toán nhƣ
vậy.
Bài toán 1.2. (VECTOR REACHABILITY PROBLEM)
Cho một nửa nhóm ma trận S , tạo ra bởi một tập hữu hạn

G  F nn và hai vectơ cột x, y  F n . Tồn tại hay không ma trận M  S
sao cho: Mx  y ?
Rõ ràng, trong bài toán Vector Reachability ma trận M không là

duy nhất. Ví dụ, chúng ta thấy rằng:

 1 3 1
 1 11 
    2 

2
2
 0 11 
   

  1 2  1  1 



16


Bài toán 1.3. (SCALAR REACHABILITY PROBLEM)
Cho một nửa nhóm ma trận S , đƣợc tạo bởi một tập hữu hạn

G  F nn , hai vectơ cột x, y  F n và một vô hƣớng r  F . Tồn tại hay
không ma trận M  S sao cho xT My  r ?
Rõ ràng rằng M không là duy nhất trong bài toán Scalar
Reachability.
Bài toán 1.4. (SEMIGROUP FREENESS PROBLEM)
Cho một tập hữu hạn của ma trận G sinh ra một nửa nhóm S , mọi
phần tử M  S có phân tích duy nhất thành nhân tử trên G ?
Nhƣ một ví dụ của Semigroup Freeness Problem, giả sử ta có một
tập gồm 2 ma trận G ={A, B} tạo ra một nửa nhóm S . Xem xét cây nhị

phân các tích của G trên hình 1.1.
Nếu ví dụ hai phần tử đƣợc đánh dấu, AAB và BBA bằng nhau thì
ma trận của chúng là bằng nhau, vậy không có sự phân tích thành nhân
tử duy nhất trên G . Nếu mọi ma trận trong cây nhị phân vô hạn là duy
nhất, thì nửa nhóm đó là tự do. Chúng ta nghiên cứu sự tự do của nửa
nhóm ma trận quaternion trong định lí 2.8 (Phần 2.3).

17


I

A

B

AA

AAA

AAB

AB

ABA

BA

ABB

BAA

BB

BAB

BBA

BBB

Hình 1.1. Cây nhị phân của hai ma trận.
Bài toán 1.5. (VECTOR AMBIGUITY PROBLEM)
n
nn
Cho một nửa nhóm S  F
và một vectơ ban đầu u  F . Cho

V là một tập của các vectơ sao cho V  v | v  Mu; M  S  . Liệu S và

u có tạo ra một tập mờ của các vectơ không? Hay nói cách khác, câu hỏi
là liệu mọi vectơ của tập V có duy nhất ma trận M  S sao cho:

Mu  v ?
Bài toán này có thể đƣợc coi nhƣ là bài toán về sự tự do của một
tập các vectơ tạo thành bởi phép nhân của mỗi ma trận là một nửa nhóm
hữu hạn sinh. Ngƣời ta có thể chỉ ra bài toán này là không giải đƣợc.

18

CHƢƠNG 2 . CÁC BÀI TOÁN TÍNH TOÁN TRÊN NỬA NHÓM
MA TRẬN QUATERNION
2.1. Giới thiệu các số siêu phức
Quaternion từ lâu đã đƣợc sử dụng trong nhiều lĩnh vực, bao gồm:
đồ họa máy tính, rô bốt, định vị toàn cầu và vật lý lƣợng tử, nhƣ một
công cụ toán học hữu ích cho việc xây dựng các thành phần của phép
quay không gian bất kì và thiết lập chính xác thuật toán tìm kiếm trên sự
hợp thành.
Nhiều câu hỏi tự nhiên về quaternion khá là khó khăn và tƣơng
ứng với các bài toán lý thuyết cơ bản trong toán học, vật lý và lý thuyết
tính toán. Quaternion khả nghịch thực sự tạo thành một phủ kép của
nhóm quay SO3 , nghĩa là mỗi phần tử của SO3 tƣơng ứng với 2
quaternion khả nghịch. Điều này làm cho chúng thích hợp để nghiên cứu
phép quay và mômen động lƣợng và chúng đặc biệt hữu ích trong cơ học
lƣợng tử. Nhóm của các quaternion khả nghịch tạo thành nhóm SU 2 , đó
là một nhóm unita đặc biệt.
Quaternion không giao hoán và điều này dẫn tới nhiều bài toán với
nhiều nghiên cứu về chúng. Đặc biệt, định nghĩa định thức và tìm các giá
trị riêng và nghịch đảo của một ma trận quaternion là bài toán rất khó.
Trong chƣơng này, chúng ta sẽ nghiên cứu giải quyết các câu hỏi về nửa
nhóm của quaternion, ma trận quaternion và phép quay của các bài toán
trong 1.3.
Cho đến nay không có nhiều nghiên cứu về các bài toán tính toán
trên quaternion và ma trận quaternion. Nó là một phần riêng biệt vì các
kết quả về ma trận trên

, ,

không dễ dàng chuyển đổi trong các

trƣờng hợp của quaternion. Chúng ta xem xét hầu hết các bài toán mở
cho nửa nhóm ma trận vuông cấp 2, chỉ ra tính không giải đƣợc của

19


chúng trong trƣờng hợp các ma trận trên quaternion. Sau các quaternion,
các số siêu phức không có tính kết hợp và do vậy không tạo thành một
nửa nhóm. Qua điều đó có thể kết luận rằng nghiên cứu trên ma trận
quaternion cung cấp một bức tranh hoàn chỉnh về giải quyết các bài toán
trên nửa nhóm ma trận. Chúng ta cũng sẽ nghiên cứu nhiều bài toán cho
trƣờng hợp của số nguyên Lipchitz và phát biểu nhiều bài toán mở mớicác bài toán mà phát sinh trong nghiên cứu.
Chúng ta cũng sẽ thiết lập mối quan hệ giữa các bài toán nửa
nhóm ma trận cổ điển và các bài toán có thể giải đƣợc trong nửa nhóm
của các phép quay. Thật vậy, sử dụng đơn vị quaternion để mã hóa các
bài toán tính toán cho chúng ta một cơ hội để xây dựng và chứng minh
nhiều kết quả thú vị của phép quay 3 và 4 chiều đƣợc đĩnh nghĩa bởi
quaternion. Đặc biệt, ta sẽ chỉ ra rằng bài toán của phép quay điểm tới
điểm của mặt cầu 3 chiều là không giải đƣợc. Bài toán tƣơng tự trong
mặt hai chiều là bài toán mở, có thể đƣợc xây dựng nhƣ một trƣờng hợp
đặc biệt của bài toán vô hƣớng có thể tính đƣợc cho nửa nhóm ma trận
mà chúng ta thấy không giải đƣợc cho trƣờng hợp tổng quát. Các kết quả
trên phép quay nửa nhóm cho ngay hệ quả cho một lớp các nửa nhóm ma
trận trực giao.
2.2. Đồng cấu từ quaternion


 
 

Cho   a, b là một bảng chữ cái nhị phân và   a, b là bảng






chữ cái ngƣợc, nhƣ vậy a  a 1 và b  b 1 . Cho u  (1,0,0) và


 

v  (0,1,0) với u, v 

3



. Định nghĩa  : (  ) 

đồng cấu cho bởi:

20

 H ( ) là một