Tìm hiểu về bài toán ổn định của hệ điều khiển với trễ thời gian

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM 2
KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Dung

TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN
VỚI TRỄ THỜI GIAN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY
Ngành: Toán ứng dụng

Người hướng dẫn: ThS. Nguyễn Trung Dũng

Hà Nội - 2014



LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới ThS. Nguyễn Trung
Dũng, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để em
có thể hoàn thành khóa luận này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thầy cô giáo
trong khoa Toán và các thầy cô trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã
giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong suốt quá trình học tại trường.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới
gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi
cho em trong quá trình học tập và hoàn thành khóa luận.
Hà nội, ngày 10 tháng 05 năm 2014
Sinh viên

Nguyễn Thị Dung

2


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của ThS. Nguyễn Trung
Dũng, khóa luận tốt nghiệp Đại học chuyên ngành Toán ứng dụng với
đề tài “Tìm hiểu về bài toán ổn định của hệ điều khiển với trễ
thời gian” được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện khóa luận, tác giả đã kế
thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết
ơn.
Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2014
Sinh viên

Nguyễn Thị Dung

3


Mục lục
LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Chương 1.CƠ SỞ TOÁN HỌC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.Một số kết quả của hệ phương trình vi phân hàm . . . .

5

1.2.Hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.Lớp hàm -K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.4.Đạo hàm Dini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.5.Một số bất đẳng thức ma trận tuyến tính . . . . . . . . . . .

20

1.5.1. Bất đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.5.2. Bất đẳng thức Park . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.5.3. Bất đẳng thức của Moon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.5.4. Bổ đề Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Chương 2.SỰ ỔN ĐỊNH LYAPUNOV CHO HỆ ĐIỀU KHIỂN
VỚI TRỄ THỜI GIAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.1.Định nghĩa sự ổn định Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.2.Phương pháp Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.3.Tiêu chuẩn ổn định đối với hệ điều khiển tuyến tính với
trễ thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1

35


Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2


LỜI NÓI ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài.
Hệ được gọi là có trễ khi tốc độ biến thiên trong hệ phụ thuộc vào
trạng thái trước đó. Hệ như vậy gọi là hệ trễ thời gian. Hệ trễ thời gian
thường xuất hiện khi nghiên cứu sự ổn định các hệ động lực học, mô
hình điều khiển kĩ thuật...
Bài toán ổn định với trễ được nghiên cứu từ những năm 60 của thế
kỉ 20. Đầu tiên, các nghiên cứu chủ yếu tập trung vào bài toán ổn định
qua các hệ phương trình vi phân tuyến tính đơn giản như các hệ phương
trình vi phân tuyến tính có trễ hằng hoặc các hàm khả vi liên tục. Tuy
nhiên, các nghiên cứu này vẫn còn nhiều hạn chế trong bài toán thực tế
khi gặp các hệ phương trình vi phân tuyến tính với trễ biến thiên. Do
đó, em đã chọn đề tài "Tìm hiểu về bài toán ổn định của hệ điều
khiển với trễ thời gian" nhằm cung cấp một số khái niệm và kết quả
về các tiêu chuẩn ổn định của hệ với trễ thời gian. Khóa luận gồm 2
chương:
Chương 1: "Cơ sở toán học", trình bày các khái niệm và các kết quả
của của hệ phương trình vi phân hàm, hàm Lyapunov, đạo hàm
Dini, bất đẳng thức ma trận tuyến tính, các ví dụ minh họa... là cơ
sở để nghiên cứu sự ổn định của hệ điều khiển với trễ thời gian.
Chương 2: "Sự ổn định Lyapunov cho hệ điều khiển với trễ thời
3

gian", trình bày các định nghĩa về sự ổn định theo Lyapunov của hệ
điều khiển, tìm hiểu các tiêu chuẩn ổn định dựa trên hàm Lyapunov
và các ví dụ minh họa.
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên
các vấn đề trong khóa luận vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không
thể tránh khỏi có những sai sót trong cách trình bày. Em mong được sự
góp ý xây dựng của thầy cô và các bạn. Em xin chân thành cảm ơn!

2. Mục đích, nhiệm vụ
Khóa luận đưa ra hệ thống lý thuyết ổn định của hệ điều khiển với
trễ thời gian. Đưa ra một số tiêu chuẩn ổn định theo hàm Lyapunov để
đơn giản trong việc xét tính ổn định.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu về bài toán ổn định của hệ điều khiển với trễ thời gian.

4. Phương pháp nghiên cứu
Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục
đích nghiên cứu.

4


Chương 1
CƠ SỞ TOÁN HỌC
Trong chương này, ta trình bày các khái niệm và các kết quả của hệ
phương trình vi phân hàm, hàm Lyapunov, đạo hàm Dini, bất đẳng
thức ma trận tuyến tính...là cơ sở để nghiên cứu sự ổn định của hệ điều
khiển trong chương 2.

1.1.

Một số kết quả của hệ phương trình vi phân
hàm

Xét hệ phương trình dưới đây
dxi
= gi (t, x1 , x2 , . . . , xn ) i = 1, n,
dt

(1.1.1)

trong đó, t ∈ I := (t1 , t2 ), t1 ≥ −∞, t2 ≤ +∞, vectơ trạng thái x =
(x1 , x2 , . . . , xn )T ∈ Ω ⊂ Rn , gi ∈ I × Ω, R1 , 0 ∈ Ω. (1.1.1) có thể được
viết lại dưới dạng vectơ
dx
= g(t, x), g = (g1 , g2 , · · · , gn )T .
dt

5

(1.1.2)


Giả sử gi thỏa mãn điều kiện Lipschittz, tức là,∀x, y ∈ Ω, ∀t ∈ I, ∃ hằng số L >
0 sao cho

n

|gi (t, x) − gi (t, y)| ≤ L

|xj − yj | .
j=1

∂gi (t, x1 , · · · , xn )
≤ Kij là hằng số , j = 1, n trên I thì
∂xj
điều kiện Lipschittz được thỏa mãn.
Rõ ràng, nếu

Định lý 1.1. ( Định lý sự tồn tại và duy nhất) Nếu g(t, x) = (g1 (t, x), . . . , gn (t, x))
thỏa mãn điều kiện Lipschittz, thì ∀(t0 , x0 ) ∈ I × Ω, ∃t∗ > 0, ∃1 nghiệm
duy nhất x(t, t0 , x0 ) thỏa mãn phương trình vi phân (1.1.2), với điều kiện
ban đầu:
x(t, t0 , x0 ) = x0 ,

(1.1.3)

dx(t, t0 , x0 )
= g(t, x(t, t0 , x0 )),
dt

(1.1.4)

trên khoảng [t0 − t∗ , t0 + t∗ ] .
Định lý 1.2. ( Định lý sự liên tục và khả vi với bài toán giá trị ban đầu)
(1)

Giả sử điều kiện của Định lý 1.1 thỏa mãn, và x(1) (t) := x(t, t0 , x0 ), x(2) (t) :=

(2)

x(t, t0 , x0 ) là 2 nghiệm của (1.1.2) xác định trên [t0 , t1 ] × Ω. Khi đó,
(1)

(2)

∀ε > 0, ∃δ > 0, sao cho x0 − x0

< δ thì

x(1) (t, t0 , x0 ) − x(2) (t, t0 , x0 ) < ε.
Tức là, tính liên tục của

∂gi
(i, j = 1, n) kéo theo tính liên tục của
∂xj

∂xi (t, t0 , x0 )
(i, j = 1, n).
∂x0j
Dưới đây , ta xét các phương trình vi phân với tham số
dx
= g(t, x, µ),
dt
6


trong đó, x ∈ Ω, t ∈ I, µ ∈ [µ1 , µ2 ] là vectơ tham số.

Định lý 1.3. (Định lý về sự liên tục và khả vi của nghiệm theo tham
số ) Giả sử g(t, x, µ) ∈ C [I × Ω × [µ1 , µ2 ] , Rn ] , g thỏa mãn điều kiện
Lipschittz với mọi giá trị tham số µ ∈ [µ1 , µ2 ]. Khi đó,
(1) ∀t0 ∈ I, x0 ∈ Ω, µ0 ∈ [µ1 , µ2 ]thì tồn tại hằng số p > 0, a > 0 sao cho
khi |µ − µ0 | ≤ p, nghiệm của (1.1.2) là x(t) := x(t, t0 , x0 , µ) xác định
trên [t0 − a; t0 + a] phụ thuộc liên tục vào µ.
(2) gi là giải tích đối với mọi biến số , kéo theo x(t) := x(t, t0 , x0 , µ)
cũng giải tích đối với µ.
(3) Sự khả vi liên tục của gi đối với các biến x1 , · · · , xn và µ, kéo theo
sự khả vi liên tục của x(t) := x(t, t0 , x0 , µ) đối với µ.
Ví dụ 1.1. Xét hệ vi phân tuyến tính bậc 2
d2 x
dx
+
λ
+ x = 0.
dt2
dt
Khi λ = 0, phương trình (1.1.5) có họ nghiệm tuần hoàn là:


x(t)
˙
= A sin(t + α)

(1.1.5)

(1.1.6)



x(t) = A cos(t + α)
trong đó A và α là hằng số. Khử t trong (1.1.6), thu được phương trình
quỹ đạo x˙ 2 + x2 = A2 , mô tả một họ các đường tròn khi A thay đổi.
Khi 0 < λ

1, theo Định lý 1.2, quỹ đạo nghiệm của hệ (1.1.6) xấp xỉ

nghiệm của (1.1.5) như mô hình 1.1.

7


Hình 1.1: Minh họa cho sự liên tục của hàm số.

1.2.

Hàm Lyapunov

Giả sử W (x) ∈ C[Ω, R1 ], tức là , W : Ω −→ R1 là liên tục, W (0) =
0; V (t, x) ∈ C[I × Ω, R1 ], tức là , V (t, x) : I × Ω −→ R1 là liên tục và
V (t, x) ≡ 0.
Định nghĩa 1.1. Hàm W (x) được gọi là xác định dương nếu


 > 0, nếux ∈ Ω, x = 0
W (x)

 = 0, nếu x = 0.
• W (x) được gọi là nửa xác định dương nếu W (x) ≥ 0, ∀ ∈ Ω .
• W (x) được gọi là xác định âm nếu W (x) xác định dương.

• W (x) được gọi là nửa xác định âm nếu W (x) ≤ 0.
• Hàm xác định âm và xác định dương được gọi là hàm xác định dấu.
8


• Hàm nửa xác định âm và nửa xác định dương được gọi là hàm có
dấu không đổi.
Định nghĩa 1.2. Hàm V (t, x) ∈ C[I × Ω, R1 ]( hoặc W (x) ∈ C[Ω, R1 ])
được gọi là thay đổi dấu nếu ∃t1 , t2 ∈ I và x1 , x2 ∈ Ω sao cho
V (t1 , x1 ) > 0, V (t1 , x2 ) < 0(W (x1 ) > 0, W (x2 ) < 0).
Ví dụ 1.2. Hàm W (x1 , x2 ) = 3x21 + 2x22 + 2x1 x2 là xác định dương.
Hàm W (x1 , x2 ) = x21 + x22 + 2x1 x2 = (x1 + x2 )2 là nửa xác định dương.
Hàm W (x1 , x2 ) = x21 + x22 − 3x1 x2 là hàm thay đổi dấu.
Hàm V (t, x1 , x2 ) = x21 sin t + x22 cos t là hàm thay đổi dấu.
Định nghĩa 1.3.

• Hàm V (t, x) được gọi là xác định dương nếu tồn

tại một hàm xác định dương W (x) sao cho V (t, x) > W (x) và
V (t, x) ≡ 0
• Hàm V (t, x)được gọi là xác định âm nếu −V (t, x) là xác định dương.
• Hàm V (t, x) ∈ C[I × Ω, R1 ] được gọi là nửa xác định dương nếu
V (t, x) ≥ 0, V (t, x) là nửa xác định âm nếu V (t, x) ≤ 0.
Ví dụ 1.3. V (t, x1 , x2 ) = (2 + e−t )(x21 + x22 + x1 x2 ) là xác định dương vì
V (t, x1 , x2 ) = (2 + e−t )(x21 + x22 + x1 x2 )
≥ x21 + x22 + x1 x2 := W (x1 , x2 ).
Ở đây, W (x1 , x2 ) là xác định dương, và V (t, 0) = 0.
Ví dụ 1.4. Hàm
3
V (t, x1 , x2 ) = (e−t )(x21 + x1 x2 + x22 )

5
9


Hình 1.2: Biểu diễn hình học của hàm xác định dương theo thời gian.

là nửa xác định dương, vì không tồn tại một hàm xác dịnh dương W (x)
sao cho V (t, x1 , x2 ) ≥ W (x).
Định nghĩa 1.4. Hàm W (x) ∈ C Rn , R1 được gọi là xác định dương
và R.u (Radially unbounded) không bị chặn nếu W (x) xác định dương
và W (x) → +∞ khi x → ∞.
Định nghĩa 1.5. Hàm V (t, x) ∈ I × Rn , R1 được gọi là xác định dương
và R.u không bị chặn nếu tồn tại một hàm W2 (x) xác định dương và R.u
không bị chặn sao cho V (t, x) ≥ W2 (x). Hàm V (t, x) được gọi là I.u.b
(Infinite upper bound) nếu tồn tại hàm W1 (x) xác định dương sao cho
|V (t, x)| ≤ W1 (x).
Ví dụ 1.5. Hàm V (x1 , x2 ) = a2 x21 + b2 + abx1 x2 . cos(x1 + x2 )
10


≥ 12 a2 x21 + 21 b2 x22 + 21 a2 x21 + 21 b2 x22 − |ab| |x1 | x2
= 12 a2 x21 + 21 b2 x22 + 21 (|ax1 | − |bx1 |)2
≥ 21 a2 x21 + 21 b2 x22 → +∞, x21 + x22 → +∞,
Vậy W (x1 , x2 ) là hàm xác định dương và R.u.
Ví dụ 1.6.
V (t, x1 , x2 ) =

2t 2
x1 + x22 . sin t
2

1+t

≤ x21 + x22 = W (x).
Do đó, V (t, x1 , x2 ) là hàm I.u.b.
Mô tả hình học cho hàm xác định dương V (t, x) ≥ W (x) được thể
hiện trong hình 1.3.
Biểu diễn hình học của hàm xác định dương với I.u.b
W1 (x) ≤ V (t, x) ≤ W2 (x)
được thể hiện ở hình 1.2.
Giả sử W (x) xác định dương với x ≤ H. Cấu trúc của W (x) rất phức
tạp, và có thể không đóng.

Ví dụ 1.7. Xét
x21
x22
W (x1 , x2 ) =
+
.
1 + x21 1 + x22
Khi 0 < c < 1, W (x1 , x2 ) = c là đường cong đóng, nhưng khi c ≥
1, W (x1 , x2 ) = c không đóng.
Thật vậy, với c ≥ 1
11


Hình 1.3: Biểu diễn hình học của hàm xác định dương thay đổi theo thời gian với I.u.b.

x21
= c không có nghiệm hữu hạn đối với x1 .
1 + x21

x22
W (0, x2 ) =
= c không có nghiệm hữu hạn đối với x1 .
1 + x22
Vậy theo hướng x1 (x2 = 0) hoặc x2 (x1 = 0), W (x1 , x2 ) = c không đóng.

W (x1 , 0) =

Tuy nhiên, khi 0 < c < 1, x2 = kx1 , k = 0 là một số thực bất kì, thì
phương trình
kx21
x21
+
=c
1 + k 2 x21 1 + x21
có nghiệm hữu hạn x1 , do đó đường W (x1 , x2 ) = c và đường thẳng x2 =
kx1 có hữu hạn giao điểm. Tương tự, W (x1 , x2 ) = c và x1 = kx2 , k = 0
có hữu hạn giao điểm. Do đó, W (x1 , x2 ) = c(0 < c < 1) là một đường
đóng (nhìn hình 1.3).

12


1.3.

Lớp hàm -K

Trong mục này, chúng tôi giới thiệu về lớp hàm K và mối liên hệ giữa
lớp hàm K và hàm xác định dương.

Hình 1.4: V= c là đường trong lân cận của 0.

Định nghĩa 1.6. Cho hàm ϕ ∈ [R+ , R+ ], với R+ := [0; +∞) hoặc ϕ ∈
C [[0; h] , R+ ]. Khi đó, ϕ là W-hàm , K-hàm nếu thỏa mãn:
(i) ϕ là hàm tăng,
(ii) ϕ(0) = 0.
Kí hiệu ϕ ∈ K.
Định nghĩa 1.7. Nếu ϕ ∈ [R+ , R+ ] là lớp hàm K và lim ϕ(r) = +∞
r→+∞

thì ϕ(r) được gọi là R.u K - hàm, kí hiệu là ϕ ∈ KR.
Định lý dưới đây trình bày về mối liên hệ giữa hàm xác định dương
và hàm thuộc lớp K.
13


Định lý 1.4. Cho Ω := {x, x ≤ h}. Cho W (x) ∈ Ω, R1 là hàm xác
định dương bất kì, khi đó tồn tại 2 hàm ϕ1 , ϕ2 ∈ K sao cho
ϕ1 ( x ) ≤ w(x) ≤ ϕ2 ( x ).

(1.3.7)

Chứng minh 1.1. Với h > 0 bất kì, ta chứng minh rằng (1.3.7) đúng
với x ≤ h. Đặt
ϕ(r) =

inf

r≤ x ≤h

W (x).

Rõ ràng , ta có ϕ(0) = 0, ϕ(r) > 0, với r > 0 và ϕ(r) là một hàm đơn
điệu không giảm trên đoạn [0, h]. Bây giờ ta chứng minh ϕ(r) là liên tục.
Vì W (x) liên tục nên ∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 sao cho
ϕ(r2 ) − ϕ(r1 ) : =
=

inf

W (x) −

inf

W (x) − W (x0 )

r2 ≤ x ≤h

r2 ≤ x ≤h

inf

r1 ≤ x ≤h

W (x)

≤ W (x1 ) − W (x0 )
≤ ε, khi x1 − x0 ≤ r2 − r1 ≤ δ(ε)
trong đó, ta thấy x1 = x0 khi x0 ∈ D2 := {x | r2 ≤ x ≤ h} .
Khi x0 ∈ D1 := {x | r1 ≤ x ≤ h}, ta lấy giao điểm của đường Ox0

rϕ(r)
và x = r2 , như hình 1.1. Đặt ϕ1 (r) :=
≤ ϕ(r). Rõ ràng, ta có
n
ϕ1 (0) = 0 và nếu 0 ≤ r1 < r2 ≤ h, ta có
ϕ1 (r1 ) :=

r1 ϕ(r1 ) r1 ϕ(r2 ) r2 ϕ(r2 )
≤
<
= ϕ1 (r2 ).
h
h
h

Do đó, ϕ1 (r1 ) là hàm đơn điệu tăng và vì vậy ϕ1 ∈ K. Đặt
ψ(r) := max W (x).
x ≤r

14


Khi đó, cho ψ(0) = 0. Bằng phương pháp tương tự, ta cũng chứng minh
được ψ(r) là hàm đơn điệu tăng và liên tục.
Đặt
ϕ2 (r) := ψ(r) + kr, (k > 0),
ta có

Hình 1.5: Mối liên hệ giữa hàm xác định dương và lớp hàm - K

ϕ2 (r1 ) = ψ(r1 ) + kr1 ≤ ψ(r2 ) + kr1 < ψ(r2 ) + kr2 = ϕ2 (r2 ).
Do đó, ϕ2 (r) là hàm đơn điệu tăng và ϕ2 (r) ∈ K. Từ các kết quả trên ta
có
ϕ1 ( x ) ≤ ϕ( x ) : =

inf

x ≤ ξ ≤h

W (ξ) ≤ W (x)

≤ max W (x) := ψ( x )
ξ ≤ x

≤ ϕ2 ( x ).
Do đó,
ϕ1 ( x ) ≤ w(x) ≤ ϕ2 ( x ).
15


Bằng phương pháp tương tự, ta có định lý dưới đây.
Định lý 1.5. Cho W (x) ∈ R1 , R1 là một hàm xác định dương và R.u
bất kì, khi đó tồn tại hai hàm ϕ1 (r), ϕ2 (r) ∈ KR sao cho
ϕ1 ( x ) ≤ w(x) ≤ ϕ2 ( x ).

1.4.

Đạo hàm Dini

Đặt I := [t0 , +∞), f (t) ∈ C I, R1 . Với t ∈ I bất kì thì 4 đạo hàm dưới

đây:
1
1
D+ f (t) := lim+ (f (t + h) − f (t)) = lim+ sup (f (t + h) − f (t)) (1.4.8)
h→0 h
h→0
h
1
1
D+ f (t) := lim (f (t + h) − f (t)) = lim+ inf (f (t + h) − f (t)) (1.4.9)
h→0
h
h→0+ h
1
1
D− f (t) := lim− (f (t+h)−f (t)) = lim− sup (f (t+h)−f (t)) (1.4.10)
h→0 h
h→0
h
1
1
D− f (t) := lim (f (t+h)−f (t)) = lim− inf (f (t+h)−f (t)) (1.4.11)
h→0
h
h→0− h
tương ứng gọi là đạo hàm phải trên, đạo hàm phải dưới, đạo hàm trái
trên, đạo hàm trái dưới của hàm f (t), và được gọi là các đạo hàm Dini.
Nhận xét 1.1. Nếu f (t) thỏa mãn điều kiện Lipschitz, thì 4 đạo hàm
Dini là hữu hạn. Hơn thế nữa, đạo hàm của hàm f (t) tồn tại khi và chỉ
khi 4 đạo hàm Dini bằng nhau.

Cho một hàm liên tục, mối quan hệ giữa sự đơn điệu và dấu của đạo
hàm Dini được xác định như sau.
Định lý 1.6. Điều kiện cần và đủ để f (t) ∈ C I, R1 đơn điệu tăng
trên I là D+ f (t) ≥ 0, ∀t ∈ I.
16


Chứng minh 1.2. Điều kiện cần là rõ ràng vì t2 > t1 kéo theo f (t2 ) >
f (t1 ). Bây giờ ta chứng minh điều kiện đủ.
Trước tiên, giả sử D+ f (t) ≥ 0 trên I.
Nếu có 2 điểm α, β ∈ I và α < β sao cho f (α) > f (β), khi đó ∃µ
thỏa mãn f (α) > µ > f (β) và điểm t ∈ [α, β] sao cho f (t) > µ. Đặt
ξ = sup {t : f (t) > µ}. Khi đó, ξ ∈ [α, β] và sự liên tục của f (t) ta có
f (ξ) = µ. Do đó, với ∀t ∈ [ξ, β], ta có
f (t) − f (ξ)
≤0
t−ξ

(1.4.12)

Do đó, ta có D+ f (ξ) ≤ 0, điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy f (t) là
hàm đơn điệu tăng.
Tiếp theo, giả sử D+ f (t) ≥ 0. Khi đó, với ξ > 0 bất kì, ta có
D+ (f (t) + ξt) = D+ f (t) + ξ ≥ ξ > 0

(1.4.13)

Theo chứng minh trên thì f (t) + ξt là hàm đơn điệu tăng với ξ tùy ý. Vì
vậy f (t) là hàm đơn điệu tăng trên I. Định lý được chứng minh.
Chú ý: Nếu ta thay thế D+ f (t) ≥ 0 bởi D+ f (t) ≥ 0, khi đó điều

kiện đủ của định lý 1.6 vẫn đúng .
Tương tự, nếu ta thay D+ f (t) ≥ 0 bởi D− f (t) ≥ 0, D− f (t) ≥ 0 hoặc
D− f (t) ≥ 0, và do đó, bất kì 1 trong 4 đạo hàm Dini không âm thì f (t)
là hàm không giảm.
Dưới đây, ta xét đạo hàm Dini của một hàm dọc theo nghiệm của phương
trình vi phân. Xét hệ phương trình vi phân, cho bởi
dx
= f (t, x)
dt
17

(1.4.14)


trong đó f (t, x) ∈ C [I × Rn , Rn ].

Định lý 1.7. Giả sử V (t, x) ∈ C I × Ω, R1 , Ω ⊂ Rn , 0 ∈ Ω, V (t, x)
thỏa mãn điều kiện Lipschitz đối với x, tức là
|V (t, x) − V (t, y)| ≤ L x − y , ∀t ∈ I, ∀x, y ∈ Ω.
Khi đó đạo hàm phải trên và đạo hàm phải dưới của V (t, x) dọc theo
nghiệm x(t) của (1.4.14) có dạng dưới đây:
D+ V (t, x(t)) |(1.4.14)
1
= lim+ V (t + h, x) + hf (t, x) − V (t, x)),
h→0 h
D+ V (t, x(t)) |(1.4.14)
1
= lim V (t + h, x) + hf (t, x) − V (t, x).
h→0+ h

(1.4.15)

(1.4.16)

Chứng minh 1.3. Giả sử nghiệm x(t) xác định trong miền I × Ω. Với
x(t, x) ∈ I × Ω. Gọi L là hằng số Lipschitz của V (t, x) trong I × Ω. Sử
dụng khai triển Taylor và điều kiện Lipschitz, ta được
V (t + h, x(t + h)) − V (t, x(t)) = V (t + h, x + hf (t, x) + hε) − V (t, x)
< V (t + h, x + hf (t, x) + Lh [ε] − V (t, x).
trong đó, ε → 0, h → +0. Do đó,
+

1
V (t, x(t)) |(1.4.14) : = lim+ [V (t + h, x(t + h)) − V (t, x(t))]
h→0 h
1
≤ lim+ [V (t + h, x + hf (t, x)) + Lh [ε] − V (t, x)]
h→0 h
1
= lim+ [V (t + h, x + hf (t, x)) − V (t, x)]. (1.4.17)
h→0 h
18


Mặt khác,
V (t + h, x(t + h)) − V (t, x(t)) = V (t + h, x + hf (t, x) + hε) − V (t, x)
≥ V (t + h, x + hf (t, x) − Lh [ε] − V (t, x).
(1.4.18)
Do đó,
1

D+ V (t, x(t)) |(1.4.14) : = lim+ [(V (t + h, x(t + h)) − V (t, x(t))]
h→0 h
1
≥ lim+ [(V (t + h, x + hf (t, x)) − V (t, x)].
h→0 h
(1.4.19)
Kết hợp (1.4.17) với (1.4.19), ta có
D+ V (t, x(t)) |(1.4.14) :
1
= lim+ [V (t + h, x + hf (t, x)) − V (t, x)].
h→0 h

(1.4.20)

Vì vậy (1.4.15) là đúng. Chứng minh của (1.4.16) được chứng minh
tương tự. Do đó, ta có:
D+ V (t, x(t)) |(1.4.14) :
1
= lim [V (t + h, x + hf (t, x)) − V (t, x)].
h→0+ h

(1.4.21)

Nhận xét 1.2. Nếu V (t, x) có đạo hàm cấp một liên tục đến với t, cùng
với nghiệm x(t) của (1.4.14), ta có
dV
|(1.4.14) = D+ V (t, x(t)) |(1.4.14)
dt
= D+ V (t, x(t)) |(1.4.14)
= D− V (t, x(t)) |(1.4.14) = D− V (t, x(t)) |(1.4.14)

∂V
∂V
∂V
+
f (t, x) =
+ gradV.f (t, x).
∂t
∂x
∂t
19


Theo Định lý 1.6, V (t, x(t)) không giảm ( không tăng) dọc theo
nghiệm của (1.4.14) khi và chỉ khi
D+ V (t, x(t)) |(1.4.14) ≥ (D+ V (t, x(t)) |(1.4.14) ≤ 0).

1.5.

Một số bất đẳng thức ma trận tuyến tính

Việc sử dụng bất đẳng thức có vai trò quan trọng để đưa ra các điều
kiện ổn định đối với hệ tuyến tính. Dưới đây là một số bất đẳng thức
ma trận tuyến tính quan trọng.
1.5.1.

Bất đẳng thức cơ bản

∀a, b ∈ Rn và ∀R > 0, ta có
−2aT b ≤ aT Ra + bT R−1 b
1.5.2.

Bất đẳng thức Park

∀a, b ∈ Rn và ∀R > 0, ∀M ∈ Rn×n ta có
 
 T 
a
R
RM
a
 
−2aT b ≤   
∗ (M T R + I)(RM + I)
b
b

20


1.5.3.

Bất đẳng thức của Moon

∀a ∈ Rna , ∀a ∈ Rnb , ∀N ∈ Rna ×nb , và với X ∈ Rna ×na , Y ∈ Rna ×nb , Z ∈
Rna ×nb và nếu




X Y

∗ Z


≥0

thì
 T 
 
a
X Y −N
a
 .
−2aT N b ≤   
b
∗
Z
b
1.5.4.

Bổ đề Schur

Cho ma trận đối xứng


S11 S12
,
S = ST = 
∗ S22
trong đó S11 ∈ Rr×r , khi đó các điều kiện sau là tương đương:
(1) S < 0;

T −1
(2) S11 < 0, S22 − S12
S11 S12 < 0; và
−1 T
(3) S22 < 0, S11 − S12 S22
S12 < 0.

21