Bài toán ổn định của phương trình động lực trên thang thời gian

ĐẠI HỌC Q UỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN
ĩỊc ĩỊí ĩỊ* *Ịí 'Ị' ĩỊ*
B À I T O Á N ổ \ Đ Ị N H C Ủ A P H Ư Ơ N G T R Ì N H
Đ Ộ N G L ự c T R Ê N T H A N G T H Ờ I G I M
MÃ SỐ: QT -07-01
CHỦ TRÌ ĐỂ TẢI:
PGS.TS. ĐẶNG ĐÌNH CHÂU
.A I H O C q u ố c g i a h a N Ọ i
'R U N G TÂM T H Ô NG TIN THƯ VIÊN
HÀ NỘI-2008
D T /
Đ Ạ I H Ọ C Q U Ố C G IA H À N Ộ I
T R Ư Ờ N G Đ Ạ I H Ọ C K H O A H Ọ C T ự N H IÊ N
B À I T O Á N ổ \ Đ Ị N H C Ủ A P H Ư Ơ N G T R Ì N H
Đ Ộ N G L ự c T R Ê N T H A N G T H Ờ I G I A N
MÃ SỐ: QT 0701
Chủ trì để tài:
PGS. TS. Đặng Đình Châu
C á c c á n b ỏ t h a m g i a :
T .s N g u yễn Thiệu H u y
T .s N g u yễn Sinh B ảy
Th.s. L ê h u y Tiễn
Th.s. N g u yễn Bùi C ương
Cn. N guyễn N g ọ c H uy
HÀ NỘI-2008
B Á O C Á O T Ó M T Ắ T :
a. Tên đề t à i : B ài toán Ổn định của hệ động lực trên thang thỏi gian
Mã số: QT 07-01
b. Chủ trì đề tài: PGS.TS. Đ ặng Đình Châu
c. Các cán bỏ phối hơp :

T.s Nguyễn Thiệu Huy,
T.s Nguyễn Sinh Bảy,
Thạc sĩ Lê Huy Tiễn
Ths. Nguyễn Bùi Cương,
Cn. Nguyễn Ngọc Huy
d. Muc tiêu và nối dung nghiên cứu:
Việc nghiên cứu các hệ động lực tổng quát là một trong những vấn đề có ý nghĩa
quan trọng trong lý thuyết toán học. Mặt khác nhiều mô hình phát triển trong
thiên nhiên và cuộc sống hàng ngày đều tuân theo các quy luật cơ bản của hệ động
lực toán học vì vậy các kết quả nghiên cứu của nó có nhiều ứng dụng rộng rãi
trong thực tế. Những công trình nghiên cứu về Lý thuyết hệ động lực tổng quát bắt
đầu xuất hiện từ nửa đầu thế kỷ XVII nhưng hiện nay nó vẫn là những phương
hướng n ghiên cứu của lý th uyết toán học được nhiều nh à khoa học qua n tâm và
tiếp tục phát triển theo nhiều phương hướng khác nhau . Gần đây một xu hướng
mới của lý thuyết Giải tích ra đời và đang được nhiều người quan tâm nghiên cứu
đó là “Giải tích trên thang thời gian
Đề tài Q T -07-01 tiếp tục theo phương hướng nghiên cứu truyền thống của
Bộ m ôn G iải tích toán học thuộ c khoa T oán - Cơ - Tin học , Trườ ng Đ ại học kho a
học Tự nhiên từ nhiều năm nay là nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm và của
các hệ đôn g lực và phương trình vi phân và củac hệ đôn g lực tổng qu át . Bài to án
cụ thể của đề tài là xác lập các điều đủ cho tính ổn định của hệ động lực trên
thang thời gian .Phương ph áp chín h sử dụng ở đây là phương pháp x ấp xỉ thứ n h ấ t .
Lý thuyết Giải tích trên thang thời gian mới hình thành và phát triển từ sau
nãm 1998 , với m ụ c đích xây dựng m ột cách trìn h bày ch ung ch o các hàm liên tục
(theo n ghĩa cổ điển ) và các hàm rời rạc . VI vậy nó có ý ng hĩa ứng d ụng trong lý
thuy ết tín hiệu số , các m ô hình sinh thái và m ốt số bài to án cụ th ể của phương
trìn h vi phân hàm . N ội dung chính của bản b áo cáo trong đề tài gồ m ba chươ ng :
Chương I :Trình bày lại những kiến thức cơ bản về Lý thuyết Giải tích trên thang
thời gian (GTTTTG)
Chương II : T rình bày tổng quan về Lý th u yết ổn định của phươ ng trìn h độn g lực

trên than g thời gian
Chương III : Trình bày m ột số kiến thức cơ bản của nghiệm củ a hệ các phương
trình độn g lực trên thang thời gian và đ iều kiện đú ch o sự ổn định m ũ của nó .
T rong đề tài đã xây dựng nhiều ví dụ m inh hoạ lý thuyết và ứng d ụng thực tiễn .
Viết được 1 bài báo(gưỉ đăng) và hoàn thành 1 (đã gửi đãng ký) báo cáo hội nghị
khoa học Toán học toàn quốc năm 2008
Hoàn thành 2 luận văn thạc sĩ (đã bảo vệ), một Cử nhân nghành Toán .
7. Tình hình kinh phí của đề tài: Đã thanh toán theo đúng dự định
Xác nhận của BCN khoa
, u u
(yS.TC
Chủ trì đề tài
PGS TS. Đặng Đình Châu
Trường Đại học Khoa học tự nhiên
M U C L U C
M Ở ĐẦU
C H Ư Ơ N G 1: C ác k iến thức cơ s ở
.
1
I. C ác khái niệm của giải tích trên thang thời gian và b ất đẳng thức
Gronvvall- B e lm an 1
II . Các ví dụ và ứn g d ụ n g 3
CHƯƠNG 2: Sự ổn định của phương trình động lực trên thang thời gian

6
I.MỘt số khái niệm cơ b ả n 6
II.S ự ổn định của phươ n g trình động lực vô h ư ớ n g

7
C H Ư Ơ N G 3: v ề m ột điều kiện đủ của sự ổn đ ịnh m ũ đều củ a hệ phươ ng trình

động lực trên thang thời g ia n 10
1. Đ ặt bài t o á n 10
2 .Các khái niệm cơ s ở 10
3 B ài to án ổn định m ũ của hệ động lực tuyến t í n h

16
Kêt luận 21
Tài liệu tham k h ả o 22
MỞ ĐẦU
Lý thuyết về giải tích trên thang thời gian được khời xướng bởi Steían
H ilg er từ năm 1988. Sau đó đư ợc nhiều người quan tâm n g hiên cứu và áp
dụng vào m ộ t số m ô hình thực tế ứng d ụ n g . T rong số những c ông bô' gần
đây về các kết quả của lý thuyêt Giải tích trên thang thời gian chúng ta
có thể kể đến Aganval R., Aubach B Kaymakcalan B., Bohner M. ,
Kaymakcalan B , Peterson A , Oregan D (xem [1] [2] [3 [4]) Ở trong
lĩnh vực này người ta thường cố găng tìm một phương pháp biểu diễn
chung cho các kết quả nghiên cứu toán học đối với các lớp hàm liên tục
cũng như rời rạc . Trong đó những vấn đề liên quan đ ến lý th u y ết định
tính
củ a Phương trình vi phân và Phương trình sai phân là một tromg các
bài to án được q uan tâm nh iều hơn cả .
C ác khái niệm phép tính vi p hân , tích phân trong giải tích cổ điển đã
được xây d ựng lại và n ghiên cứu m ột cách có hệ th ống (xem [1] [2] [3
[4]) . T rên cơ sở đó n hững n ghiên cứ u cơ bản của lý thuyết định tín h của
phươ n g trình vi phân và phư ơng trìn h sai phân được trình bày lại dưới
dạn g tổng quát hơn p hù hợp cho cả phương trình vi phân lẫn sai p h ân và
có thể đ ú ng cho những m ô hình rời rạc trên nhữ ng m iền xác định tổng
quát hơn của tập hợp R, đó là th an g thời gian bất kì T, tứ c là m ộ t tập đóng
nào đó cùa R.
T rong đề tài QT - 07- 01 ở chuong 1 ch ú ng tôi sẽ trình bày m ột cách sơ

lượ c nhữ ng khái niệm cơ sở của giải tích trên thang thời gian và đư a ra
m ột số ví dụ m inh họa điển hình . T iếp đó tro ng c hương thứ 2 c húng tôi
sẽ dành cho việc trình bày m ột số kết quả về việc ng hiên cứ u tính ổn định
củ a ph ư ơ n g trình động lực tu yến tính có nhiễu trên than g thời gian .
T ro ng c hương này chú ng tôi đã đưa ra m ột điều k iện đủ d ùng k iể m tra
tính ổn định của phư ơ n g trình đ ộng lực tuyến tính với hệ số b iến th iên
trên th ang thờ i gian d ạng tuyến tinh. T ro n g ch ương cuối kết quả này đượ c
m ở rộ ng cho hệ p hươn g trình động lực dưới dạng tổng quát để có thể đi
đến các ứ ng dụng trong các m ô h ình thực tế.
T ro ng m ột thời gian hữu hạn để có thể hoàn thiện trọn vẹn n h ữ n g bài
toán phứ c tạp trong m ộ t lĩnh vực m ới là m ột việc tư ơ ng đối khó. N h ữ n g
kêt qu ả đạt đư ợc tro ng đề tài này là những phần tiếp nối liên tục của m ột
hệ th ông nghiên cứu của nhóm các cán bộ g iản g dạy và sinh viên thuộc
nghành phươn g trình vi phân ờ trư ờ ng Đ ại H ọc K hoa H ọc T ự N h iên , Đ ại
H ọc Q uôc G ia H à N ội kết hợp với m ột số cán bộ giảng dạy ở các trường
Đ ại học khác thuộc Thủ đô H à nội.
Phân đóng góp của đề tài là p hát triển những kết qu ả cổ điển san g m ột
loại hình mới củ a G iải tích các ngh iên cứu ờ đây vừa có ý ng h ĩa nhất
định về m ặt khoa học đồng thời nó cũng góp phần q uan trọ n g ch o lĩnh
vực đào tạo tro ng các trư ờng Đ ại học.
Chương 1 CÁC KHÁI NIỆM c ơ SỞ
I. CÁC KHÁI NIỆM C ơ BẢN CỦA GIẢI TÍCH TRÊN THANG THỜI
GIAN VÀ BẤT ĐẢNG THỨC GRONWALL-BELLMAN
Trước tiên chúng tôi xin được nhắc lại một số khái niệm và kết quả cơ bản dưới đây
được trích dẫn từ cống trình của Hilger [1] và trong tài liệu của Bohner và Peterson [2].
Giả sử T là một tập đóng của R khi đó ta có một thang thời gian Cho t e T, ta định
nghĩa toán tử nhảy tiến (íorvvard jumper operator) ơ : T -> T được xác định như sau:
ơ(t) := inf{s £ T : s > t}
và toán tử nhảy lùi (backvvard jumper operator) p : T —> T xác định bởi
p(t) := sup{s 6 T : s < t}

Một điểm t € T được gọi là điểm trù mật trái (left dense) nếu p(t) = í và là điểm trù
mật phải (right dense) nếu ơ(t) — t. Một điểm t e T được gọi là tán xạ trái nếu p(t) < t
và là điểm tán xạ phải nếu ơ(t) > t. Một hàm g : T —> R được gọi là liên tục trù mật
phải (rd - continuous) nếu g liên tục tại các điểm trù mật phải và giới hạn bẽn trái tồn tại
hữu hạn tại các điểm trù mật trái. Lớp các hàm liên tục trù mật phải biểu thị bởi Crd{T).
Hàm hạt (graininess íưnction) trên thang thời gian T được xác định bởi ụ,(t) := ơ(t) - t.
Tập Tk là T - {m} nếu T có tán xạ trái lớn nhất m và Tk = T nếu sup T = oo.
Định nghĩa l.l(a ). (Đạo hàm A cấp một)
Cho t e Tk và X : T -» R. Nếu tồn tại xA(í) sao cho với mọi e > 0, tồn tại một lân cận
u của t thoả mãn
|[x(cr(í)) - x (s )] -
xA(t)[ơ(t) - s]
^
eịa(t) -
s|
với mọi s € u thì ta nói xA(t) là đạo hàm delta của X tại t và X là khả vi delta tại t.
Định lý 1.1. Cho hàm g : T —>■ R và t e T. Khi đó
(i) Nếu g khả vi tại t thì g liên tục tại t.
(ii) Nếu g liên tục tại t và t là tán xạ phải thì g khả vi tại t và
_ 9(v(t)) - g(t)
s [ > ~ Át)
(iii) Nếu g khả vi tại t và t là điểm trù mật phải thì
g*(t) = Ị im g (t)- g W .
<-+s t — s
(iv) Nếu g khả vi tại t thì g{ơ(t)) = g(t) +
Định nghĩa l.l(b). (Đạo hàm A cấp cao)
Cho hàm / : T -> /?, ta nói rằng đạo hàm cấp hai / AA tồn tại nêu đạo hàm cấp một / A
khả vi trên Tkỉ = (Tk)k và / AA = ( / A)A : Tk2 -í R. Tưcmg tư ta đinh nghía đạo ham
cấp cao / A" : Tkn ->• = ( / A"”') A. Ta qui ước / A° = / và Tk° = T.
Định nỊỉhĩa 1.2. (Định nghĩa tích phân A)

Nếu GA(t) = g(t) thì tích phân delta Cauchy của g được xác định bời
2
Ta có thể chỉ ra được rằng nếu g G Crd{T) thì tích phân Cauchy Gịt) := / fỄ g(s)As tồn
tại, t0 G T và thoả mãn GA(t) = g(t),t £ T. Định nghĩa chi tiết của tích phân delta có
thể xem trong [1] và [2].
Định nghĩa 1.3. Hàm p :T -» R được gọi là thoái lui (regressive) nếu
Lớp các hàm thoái lui và liên tục trù mật phải được biểu thị bởi 7z — 7Z(T) = 7Z(T,TZ).
Định nghĩa 1.4. Ta biểu thị 71+ = 'R+ (T,'1V) = {p e : 1 + ụ,(t)p(t) > 0, Ví e T } là
lớp các hàm thoái lui dương.
Định lý 1.2. Nếu ta định nghĩa phép ”cộng khép kín” trên Tí xác định bởi
thì (71, 0) là một nhóm Abel. Phần tử đối của p(t) là
■ = p (0
1 + /x(t)p(t)
Định nghĩa 1.5. Phép ”trừ khép kín” trên 7Z được xác định bởi
(p ỡq )(t) := p e (G q ).
Định nghĩa 1.6. (Hilger [1]) Giả sử h > 0 là một số thực bất kỳ , ta định nghĩa các iập
Gh và Ch như sau
Trong trường hợp h = 0 , ta ký hiệu Co = c và ta có z0 = Co = c là tập các sô' phức.
Để dẫn đến khái niệm hàm mũ tương tự như trong giải tích cổ điển chúng ta xét một số
các hàm sau đây
Định nghĩa 1.7 Cho h ^ 0, ta xét phép biến đổi th : ch Gh xác định như sau
trong đó Log là hàm logarit thông thường.
Định nghĩa 1.8. (Hàm mũ). Cho p G 71, ta định nghĩa hàm mũ được xác định bời
trong đó phép biến đổi £h(z) được xác định trong định nchĩa 1.7.
Định lý 1.3. ( Các tính chát của hàm mũ). Cho p. q £ 71 và t. r. .s 6 T, khi đó
(i) e0(t.s) = 1 và Cpự.t) = 1;
(ii) cp(ơ{tịs) = (1 + ụự)p{t))ep{t,s):
(.V ® ợ)(t) := p(t) + g(t) + t e T
Ch = { z e C \ z ^ - ị }
h

Zh(z)
\Log{ 1 + zh), h > 0
z, h = 0
3
(»“ > ^ b ) = ee P(M );
( iv ) e p ( í , s ) = ;T(
7
^y = e e p ( s , f ) ;
(v) ep(í,s)ep(s, r) = ep(t,r);
(vi) ep(í, s)eí (í> s) = epeg(í, s);
(vii) ẵ ẽ ỉ = epeọ(t’s)'
Tiếp theo ta đưa ra hai công thức biến thiên hằng số trong [1], tương ứng với hai phương
trình động lực tuyến tính cấp 1.
Định lý 1.4. (Công thức biến thiên hàng số 1). Giả sử f là hàm liên tục trù mật phải
trên T và p G Tt, khi đó nghiệm duy nhất của bài toán Cauchy
xA(t) = -p(t)x(ơ(t)) + / ( í ) , xặo) = Xo
trong đó t0 G Ĩ và x0 € R, được cho bởi
x(t) = e-p(t,t0)x0 + [
e _ p ( í , ơ ( r ) ) / ( r ) A r .
Jtữ
Định lý 1.5. (Công thức biến thién hằng sỏ 2). Giả sử f là hàm liên tục trù mật phải
trên T và p £ 7Z, khi đó nghiệm duy nhất của bài toán Cauchy
xA(t)=p(t)x(t)+f(t), x(t0) = Xo
trong đó t0 £ T và Xo € R, được cho bởi
x(t)
=
ep(t,t0)x0
+
í ep(t, ơ {r))f
( r ) A r .

J to
Định lý 1.6. (Bất đảng thức Gronvvall). Cho y, f e Crd và g e TZ+,g ^ 0. Khi đó nếu
2/(0 < /( 0 + Ị y(T)ỡ(T)AtVí e T
Jto
thì ta có
y(t)^ĩ(t) +
/ es(í -ơ (r )) /(T)p(r )A rV í € r.
Jtữ
Định lý 1.7. (Bất đảng thức Becnuli). Cho Q e R~ thì
ea{t, s) ^ ì + a(t - s), Ví ^ s.
II .CÁC v í DỤ VÀ ỨNG DỤNG
Ví dụ 1.1. Cho h > 0 và T — hz = {hk : k e Z}
Khi đó với t E T, ta có
ơ(t) = inf{s £ T : s > t} = inf{í 4- nh,Ti e X} = t + h
và p(t) = t - h. Hàm hạt //(f) = ơ(t) - t = h là hàm hăng.
Ví du 1.2. Cho a,b > 0 và xét thang thời gian
P(ì,b = q[/t(ũ + 6), Ả,'(ữ + ò) + o!
4
Khi đó
Ịt, t e U^L0[k(a + b),k(a + b) + a)
+ b, te u ^L0{k(a + b) 4- a}
(2) = / ° ’ teu^=0[k{a + b),k{a + b) + a)
1^6, t G U^=q{/l(q + 6) + ữ}
Ví dụ 1.3. Xét một mạch điện đơn giản với điện trở R, cuộn cảm L và điện dung c. Giả
sử ta thay đổi điện dung tuần hoàn theo một đơn vị thời gian ô > 0. Khi đó với thang
thời gian
Gọi Q(t) là tổng điện dung và/(í) là cường độ hiện thời của mạch tại thời điểm t. Khi
đó
7 A fí) Í° 1 t e u keN{k-S }
\ — — £Ỉ(t), otheruuhise

trong đó b là hằng số thoả mãn — 1 < bỗ < 0.
Ví dụ 1.4. Cho q > 1 và
Xét thang thời gian T = qz. Ta có
ơ(t) = inf{ợu : n G [ra + 1, oo)} = qm+1 = qqm — qt
Do đó ta có ơ(t) — qt và p(t) — w E T.
Và fi(t) = ơ(t) - t = (q - 1 )t, Ví e T.
Cho hàm / : T —> R, ta có
và
Pl-6,6 — UjtỄ/v0[^> 4- 1 — ổ]
bQ(t), t € u k€N{k — 5}
/, othervuhise
và
qz ;= {qk : k € z}, q2 := qz u {0}
f&(f\ - - f^t) - / ( Ể)
J u Ịi(t) (q-l)t ’
Ví e T \ {0}.
và
5
Đạo hàm cấp hai của f tại t Ỷ 0 được tính như sau
/ “ (0 = fA{ơ(t)) - /A(t)
ỊJL{t)
f A(Qt) - r (0
(iq - l)í
/(q2t)-/(<?0 _
<?(<?-!)*
______
(q-Ị)t
(.q - l)t
ỉ {Ở) - f(qt) - qf(qt) + qf{t)
QÌQ - 1)2i

= /(g2*) - (9+ l)/(<7*) + <?/0)
q(q - l)2t
Vậy ta có
f{q2t) - (g + Ị)/(gQ + g/(0
; l j 0( g - i ) 2f
6
Chương 2: s ự Ổ n ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG L ự c
VÔ HƯỚNG TRÊN THANG THỜI GIAN
I. Một sô niệm cơ bản
Trong phần này chúng ta sẽ sử dụng một số khái niệm và kết quả cơ bản sau đây:
Định nghĩa 1. (Hàm mũ). Cho p e 1Z, ta định nghĩa hàm mũ được xác định bởi
trong đó phép biến đổi £h(2) được xác định trong định nghĩa 1.7.
Bổ đề 2.1 ( Các tính chất của hàm mũ). Cho p, q e TZ và t, r, s e T, khi đó
( i) e0(t,s) = 1 v à ep(t, ì) = 1 ;
( ii ) ep(ơ(t), s) = ( 1 + fiịt)p(t))ep{t, s);
e p ( t ,s ) = e ep(^> s ) ỉ
( iv ) ep(t, s) = = eep(s, í ) ;
(v) ep(t, s)ep(s,
r) = ep(t,r
);
(v i) ep (í, s)eq(t,
s) =
epeg ( í ,s ) ;
Bổ đề 2.2. (Biến thiên hằng số). Giả sử f là hàm liên tục trù mật phải trên T và p e ĩí,
khi đó nghiệm duy nhất của bài toán Cauchy
Bổ đề 2.3. (Biến thiên hằng số). Giả sử f là hàm liên tục trù mật phải trên T và p e ĩl,
khi đó nghiệm duy nhất của bài toán Cauchy
Dựa vào các bổ đề trên ta nhận được đánh giá sau :
Định lý 2.1. Cho p e TI, to £ T và giả sử r ^ Pp(t) ^ q, t G [í0, oo)r . Khi đủ với mọi
t e [fo, oo)T ta có:

xA(t) = -p(t)x(ơ(t)) + /(í), x(t0) = Xo
trong đó t0 € T và Xo G R, được cho bởi
x(t) = eep(í, to)xo + eep(t, ơ-(r))/(r) Ar.
xA(t) =p(t)x(t) +f(t), x(t0) = x 0
trong đó t0 e T và Xo € R, được cho bởi
x(t) = ep(t, t0)x0
4-
ep(t,
c r ( r ) ) / ( r ) A r .
Cho p e TZ, t € [ío, oo)t ta định nghĩa
-^logịl + //(í)p(í)l, /i(í) > 0
p(0. /z(t) = 0
e
7
( 1 )
Ta luôn giả thiết nghiêm của bài toán Cauchy của (1) với điều kiện ban đầu xậi) = Xị là
tồn tại và duy nhất trên khoảng không bị chặn trên [to, °o)r • Ký hiệu x(t)= x(t, t\,xi)
là nghiệm duy nhất của bài toán Cauchy trên và giả sử g(t, 0) = 0, khi đó x(t) = 0 là
nghiệm tầm thường của (1).
Dưới đây ta nhắc lại một số định nghĩa về ổn định
Định nghĩa
a.Nghiệm tầm thường của (1) là ổn định trên [Í0)Oo)r nếu với ti e Ịío,oo)t’ và bất kỳ
€ > 0, tồn tại ổi = ỏ(t1,e) > 0 sao cho nếu ịxil < ổ thì |x(i, < e với mọi
t e [ti,oo)T.
b.Nghiộm tầm thường của (1) là ổn định tiệm cận trên [í0,oo)x nếu nó ổn định trên
[Í0)°°)r và với bất kỳ t\ e [ío,oo)x tồn tại ổ! = ổi(íi) > 0 sao cho nếu \xi\ < ổi thì
lim x(t, ti,Xi) = 0.
c.Nghiệm tầm thường của (1) là ổn định mũ trên ịt0,oo)T nếu với bất kỳ íi G [t0,oo)T,
tồn tại K = K(t\) > 0, ỗ > 0 sao cho |x(í,íi, Xi)| ^ Ke~5(t~tl')\xi\ với mọi t € [íi,oo)r-
Nếu K không phụ thuộc vào t\ thì ta nói rằng nghiệm tầm thường của (1) là ổn định mũ

đều trên [ío, oo)t-
Ta quan tâm đến phương trình động lực tuyến tính cấp một
Trong đó ta luôn giả sử rằng nghiệm của bài toán Cauchy tương ứng với (2) là tồn tại và
duy nhất trên khoảng [ío>°°)r •
Định
lý
2.2. Giả sử u là một lân cận của X = 0 và f(t, x) là một hàm liên tục với
(t,x)

6
[í o ,o o ) :r x
N thoả mãn các điều kiện :
với mọi t e
[ío , o o ) r -
Khi đó nếu p

6

71 và q
: = lim s u p ( ^ o o /? p (0 < 0
thì nghiệm tầm thường của (2) là ổn
định mũ trên
[í
0
, o o ) r -
Hơn nữa nếu q
: = s u p
Pp(t) <
0
thì nghiệm tầm thường của (2)

là ổn định mũ đều trên
[ío ,
0 0
)
7

Chứng minh. Theo công thức biến thiên hằng số (Định
lý
1.5) ta
c ó
xA(t) =p(t)x(t) 4- f(t,x)
(2)
1;
_
f(t,x)
lim — —— =
0

(a)
V A nr* v '
với mọi t
G [fo ,
0 0
) t-
Và giả thiết tồn tại M
G
R + sao cho
x(t) = C p (í, fi)x i + í ep(í, ơ ( r ) ) / ( r , x ( r) ) A r
Jtỵ
eep(t, tị)x(t) = Xi+ eep(t, ti)ep{t,

ơ ( r ) ) / ( r , i ( r ) ) A r
= x1 +
/ e e p ( í , í i ) e e p ( ơ - ( r ) , í ) / ( r , x ( r ) ) A r
= Xi+ [
e e p ( ơ ( r ) , í i ) / ( r , x ( t ) ) A t
Từ (2.3) ta có với mọi e > 0, tồn tại ổ > 0 sao cho |/( í , x)| ^ e|x| với t G [Í0)C »)r, M <
Ta có
|e
0
p ( M i M í ) K | x i| +
[
| e e p ( ơ ( r ) , í
1
) | | / ( r , x ( r ) ) | A r
1
ế
\xx\+e [ |eep( a ( r ) , í 1)||x (r) |A i
= \xi\ + e [ |eep(ơ (r),Ể i) x ( r)|A r
=
|lll+ £ / 1
| l + #,(
1
r)p ( r)||ee''(T' íl)l(T )|A T
Sử dụng bất đẳng thức Gronwall (định lý 1.6) với /( í ) = |x i|,y (í) = ỊY— \
y(í) = |eep(í,íi) x (í)|- Ta có
|e
0
p ( í , í i ) x ( í ) | ^ ịx i l +
[
e

5
( í , ơ ( t ) ) | x
1
| ^ ( t ) A t
•/«1
= M + M [ eeg(ơ{T),t)g(T)Ar
1
= |l l l + | l l l / , ĩ T ^ w ee’ (T' t)9(T)A T
= W - M / (e ỡ )(T )e e s ( T ,í)A r
Jtx
= k il - W [ees(M) - e 01,(íi,í)] = |zi|eơ(M i).
9
Do đó |x (t)| ^ \xi\\ep(t,ti)\\eg(t, íi)|.
Từ
^ M, t e [to,oo)T
\l + ịl(t)p(t)\
ta có
e 9
Do đó
( M i ) = e x p { / , f '‘M (l ĩ 7 ^ H õ ỉ )A r}
< e ^ i(ĩH#T?Mĩ)AT <
Đặt q = li m s u p ^ o o /? p (í) < <
7
i < 0, khi đó tồn tại T\ 6 [ Í
0
i ° ° ) t sao cho /? p ( í) ^ <
7
i < 0
v ớ i mọi t £ [T i,00) 7'.
Theo định lý (1.3) và định lý (2.1), ta có

|x(t)| ^ |ep( í,íi) |e M t(í_íl)|:Ei|
= |ep( t , r i) I M 7 - 1, í 1)|e "-< ‘ - ‘ ' ) | i 1|
< e « ‘(‘- T''|e p(T1, í 1) |e " c" - ,l)!ii|
Đặt
Khi đó
K _ \eP(Ti, £ị)|
e í i C n - t i )
:(í)| < K e ^ - ^ e ^ - V ị x i|
= Ke^+MM-Vịxiị
với mọi t e [íi, 0 0 ) T-
Do qi < 0, chọn € > 0 đủ bé sao cho <7! 4- Me < 0.
Vậy nghiệm tầm thường
c ù a
(2) là ổn định mũ trên
[£
0
,
0 0
)
7

Giả sử q := sup{/3p(í) : t £ Ịío,oo)j’} < 0. Khi đó suy ra Ppịt) ^ q < 0 với mọi
t e [t0,oo)T. Với ti e [£0, 00)7-, theo định lý 2.1 ta có
eP(M i) < e9‘(í Ếl)
|.r(f)| ^ A'eộ(í_íl)e;Ut(í_íl)| i 1| = I<e^+Me){t- tl)\xx\
Từ (2.5) ta có
10
với K ^ 1 và không phụ thuộc tị.
Do q < 0, chọn e > 0 đủ bé sao cho <7 4- Me < 0.
V ậ y n g h iệ m tầ m th ư ờ n g c ủ a (2 ) là ổ n đ ịn h m ũ đ ề u trê n [ío , o o

)t-
Định lý được chứng minh.
Từ kết quả của định lý 2.2, ta dễ dàng suy ra được kết quả sau về phương trình động
lực tuyến tính thuần nhất
x A(í) = p(t)x(t) (3)
Hệ
q u ả .
Giả sử p E 7Z. Nếu limsupt^yaoPpit) - q < 0 thì nghiệm tầm thường của (3)
là ổn định mũ trên [to, oq)t-
11
Chương 3: V Ể s ự Ổ n Đ ỊN H M Ũ Đ Ể U c ủ a n g h i ệ m
C Ủ A H Ệ ĐỘNG L ự c T R Ê N T H A N G T H Ờ I G IA N .
1. Đạt bài toán:
Giả sử BU1 là không gian Euclid n chiều và T là thang thời gian. Ta kí hiệu
[ío , ° o )t — {t E T : 0 < t0 ^ t < o o }
Xét bài toán với điều kiện ban đầu
ịx A(t) = A(t)x(t)
+
f{t,x), te [to, oo)t
(4 )
\ x ( t 0) Xq
Trong đó * (.) € Rn\ A(.) e Crd(Tk, Mn(R)), f : T X Rn -> Rn , f(t, 0) = 0,V í G
[ío , o o ) r - T a lu ô n g iả th iế t hệ (4 ) th o ả m ã n c á c đ iề u k iệ n về sự tồ n tạ i d u y n h ấ t n g h iệ m .
Ta n h ắ c lạ i n g h iệ m tầ m th ư ờ n g
x(t)
= 0 củ a h ộ (4 ) là ổ n đ ịn h trê n [ío , o o )x n ế u
v ớ i m ọ i
€
>
0

, tồ n tạ i ổ =
ỗ(to,e) >

0
s a o c h o ||x 0 || <
ô
th ì ||r r ( í ,ío ,x o || < e v ớ i m ọ i
t e [í0, oo)T.
N g h iệ m tầ m th ư ờ n g
x(t)
= 0 c ủ a h ệ (4 ) là ổ n đ ịn h tiệ m c ậ n trê n [ í0 ,
oo)t
n ế u n ó ổ n đ ịn h
trên [Í0 j ° o ) t và tồn tại ỗ — ổ(to) > 0 sao cho ||x o || < ỗ thì lim ||x ( í,í0) ^oll = 0 .
t—YOC
Nghiệm tầm thường x(t) = 0 của hệ (4) được gọi là ổn định mũ trên [í0, oo)T nếu tồn tại
K — K(to) > 0,ỗ > 0 sao cho
\\x{t,t0,x0)\\ ^ A"e_í(*-ío)||xo||.
N ế u K k h ô n g p h ụ th u ộ c
t0
th ì ta n ó i rằ n g n g h iệ m tầ m th ư ờ n g
x(t)
= 0 c ù a h ệ (4 ) là ổ n
định mũ đều.
Trong phần này , chúng tôi sẽ trình bày một số kết quả trong việc nghiên cứu tính
ổ n đ ịn h c ủ a h ệ đ ộ n g lự c trê n th a n g th ờ i g ia n T.
Đầu tiên, chúng ta xét mối liên hệ giữa tính ổn định mũ của phương trình động lực
( 1) và phương trinh động lực tuyến tính không thuần nhất biến đổi theo thời gian:
xA(t)
=

A(t)x(t), t
€ [ío ,
°°)t
(
5
)
trong đó x(.) e Rn\ A(.) € Crdự, Mn{R)).
chúng ta kí hiệu ộ(t) — ộA(t, t0) là ma trận nghiêm cơ bản của (5), khi đó ỘA(t, t0)x0 là
n g h iệ m c ủ a bà i to á n (5 ) v ớ i đ iề u k iệ n b a n đầ u
x(t0)
= Xo
2. Các khái niệm cơ sở
Một số khái niệm và kết quả sau đây , được trích dẫn từ tài liệu [2] và [6] sẽ được sử
dụng trong việc nghiên cứu tính ổn định mũ của hệ phương trình động lực trên thang thời
gian ( 1) .
Định nghĩa:
Hàm p : T —> R được gọi là thoái lui (regressive) nếu
1 + ự(t)p(t) 7^ 0, Ví € T.
Lớp các hàm thoái lui (regressive) và liên tục trù mật phải được kí hiệu bởi V và ta đặt:
= {p € V : 1 + > n. Ví G T}.
12
Với mỗi t,s eT ,p € v +, ta kí hiệu cp(t, s) như sau:
A r, Ví, T , s e T
w(t, s) — exp{(fi(t, s)}.
Tức là w[t, s) = ep(t, s) nếu p (í) là cô' định . Dễ dàng kiểm tra được rằng họ các phép
biến đổi (w(t, s)), t ^ s từ R vào R thoả mãn các điều kiện sau:
1) w(t, í) = 1, Ví € T,
2) w(£, r)iy (r, s) = w(t, s), Vt,s,r€T,
3) w~1(t,s) = w(s,t), Vt,s£T.
Chúng ta sẽ gọi {w(t, s)),t ^ s là họ các phép biến đổi tiến hoá từ R vào R (xem [6])

sinh bởi p(t), p G V.
Chú ý rằng trong ở chương 2, chúng ta đã xét họ hàm ep(t, s) và các tính chất của chúng
( x e m Đ ịn h lí 1 .3 ). T r o n g p h ầ n n à y c h ú n g ta sẽ n h ắ c lạ i m ộ t s ố tín h c h ấ t tiê u b iể u c ủ a
Giả sử p e V, khi đó họ các phép biến dổi tiến hoá (w(t, s)) sinh bởi p, t. 'ỷ s thoả mãn
phương trình:
chúng.
Bổ đề 3.1:
wA(t, s) = p(t)w(t, s), V t,s£ T
Bổ đề 3.2
Cho T là m ột thang thời gian , p e V và w(t, s) = ep(t, s) t ^ s, t,s E T
Khi đó :
i) x{t) — w(t,to)x0 là nghiệm duy nhất của bài toán Cauchy:
xA(t) = p(t)x(t), t G T
x(t0) = X o , to e T,x0 e R
(6)
ii)
Ui)
w(ơ{t), s) = w(t, s )(l + Ịl{t)p{t)) Ví, s e ĩ .
13
Bổ đề 3.3
Cho T là một thang thời gian , p e V Khi đó nếu
_______
ỉ n | l + f p ( í ) |
li m s u p l i m

—r

< 0
t—y oc£->mW Ẹ
Thì nghiệm tầm thường x(t) = 0 của hệ (6) là ổn định mũ.

Chứng minh:
Từ bổ đề (3.1) ta có : x(t) = w(t,t0)x0- là nghiệm của (6) thoả mãn điều kiện
x(t0) Xq
Theo giả thiết của định lý :
ln\l + £p(í)| „
lim sup lim

-r-—— < 0
t—> ooí-►MO Ẹ
Ta s u y ra tồ n tạ i
q
< 0 , í i £ [ í o , o o ] t th o ả m ã n :
lim ! n ! ỉ ± M > l < 9 < 0, Ví e [íi,o o ]x
ị
Jt lim ln|l+{p(r)| AT
=>w(t,t!) = e 11 *-+“<*> ( ^ e<ỉ(t-ti)
V ì
w(t,to)
=
w(t,t1)w(ti,to)xo
n ê n ta c ó
=► |x (í)| = K M o ) l < e9(í- tl)^ r ^y|u;(í1,ío)||xo |
= e
<j(t-
e'
q ( t l - í o )
|x0| = Keq(t ío)|x0|, (q < 0)
trong đó K = 5 ^ 0 -
C h ú ý rằ n g c á c đ á n h g iá trê n là đ ề u đ ố i v ớ i
fi(t)

v ớ i m ọ i
te [t0,
o o ]T n ê n b ằ n g p h ư ơ n g
pháp truy hồi ta có thể chứng minh được rằng nghiệm tầm thường x(t) = 0 của hệ (2 .7)
là ổn định mũ.
Nhận xét
Nếu
ln\l + £p(t)\
sup lim

< 0
(0,00)7- £
thì tồn tại q < 0 không phụ thuộc vào t vằt0 sao cho với mọi t e [0, oo)r thoả mãn:
1- M l+ £ p ( O I
lim n <: q < 0,
Do w(t,to) = w(t,to)w(to,0). Nên
e g (< 0-0 )
14
= e5<‘-°)J^ | á r = K e * . ( « < 0)
H a y
M M o ) K # e 9t ^ e 9t
trong đó K = 5 í ặ S -
Vậy nghiệm tầm thường x(t) = 0 của hệ ( ) là ổn định mũ đều.
Trường hợp p = A, A là sô' phức, ta có định lý sau (xem [5]).
Định lý 3.1
Cho T là một thang thời gian không giới nội trên (sup T = oo) và X e C . Phương trình
vô hướng
XA — Xx, X £ c (7)
là ổn định m ũ nếu và chỉ nếu một trong các khả năng sau được thoả mãn với bất kỳ
to £ T

i) 7(A) := lim sup — r lim, M 1+SA |Ai < ũ,
T—tOO T - t 0 Jt0 s-^ ơ) s
ii) Vr 6 T : 3t G T sao cho 1 + ịi{t)\ = 0 với t > T .
trong đó ta quy ước InO = — oo.
Tập giá trị các A thoả mãn các điểu kiện của Định lý 3.1 ta sẽ gọi là tập ổn định của (7)
trên thang thời gian T . Ví dụ nếu A e R thì tập ổn định của (7) trên T = R là R~
,nếu T = z là (—1,1)
3. Bài toán ổn định mũ của hệ động lực tuyên tính
A. Hệ phương trình động lực tuyến tính không thuần nhất:
X é t h ệ cá c p h ư ơ n g trìn h đ ộ n g lự c tu y ế n tín h k h ô n g th u ầ n n h ấ t (1 )
ịxA(t) = A(t)x(t) + f(t,x(t)), íe[0,oo)T
Ị x ( 0 ) = X Q
Trong đó x(t) e Rn,A(t) G Crd(T*, Mn(R)), f : [0, oo) X Rn -* Rn là hàm phi tuyến,
f(t, 0) = 0, Ví 6 [0,oo)T
N g h iộ m x (t) c ủ a (4 ) v ó i trạ n g th á i b a n đ ầ u Xo tạ i 0 c h o b ở i:
x{t) = ộA(t,0)xo + ỉ ộA(t,ơ(s))f(s,x(s))As
J 0
T iế p th e o ta lu ô n g iả th iế t c á c đ iề u k iệ n sau đ â y lu ô n lu ô n đ ư ợ c th o ả m ã n :
Lị) Ma trận ( / + n(t)A(t)),t G T là khả nghịch.
L2) Tồn tại hàm g xác định dương sao cho(Ví € [0, oo)x) ta có:
\\f(t,x(t)\\ < ^(í)||x(í)||,
tro n g đ ó h à m g th o ả m ã n :
ln\l + g(t)sI .
lim sup

A.s < + 00,
Giả sử A e ơ(A) và Ví 6 [0, oo)r tồn tại một số 7 > 0 sao cho
|1 + /í(í)A|7 ^ 1
Ta ký hiệu :
S c (T

) : = { A G C | l i m s u p — - —
[
l i m < 0 }
T—>00 T —to Jto 8->Ịl(t) s
Sc(T) được gọi là tập ổn định của tập phổ ơ(A) của ma trận A.
Định lý 3.2
Giả sử các điều kiện L ị, Z/2 được thoả mãn và 3 K > 0, 3A 6 Sc(T) sao cho :
IIộA(t, s)|| < Kexp[X(t - s)], Ví, s G [0, oo)r
Khi đó nghiệm tầm thường x(t) = 0 của hệ tuyến tính không thuần nhất (4) là ổn định
mũ.
Chứng minh:
Từ
x(t) = ộA(t,0)x0+ [ ộA(t,ơ(s))f(s,x(s))As
J 0
Đặt a* = ext ta nhận được đánh giá:
||x(í)ll « ATa‘| M + K f V " w S ( s ) ||i(s ) ||A s
J 0
Nhân 2 vế với a ~ \ ta được:
o -'||r (t) || < tf||xoll + K [ ‘a -°^ g (s)ị\x(s)\\As
J 0
Đặt y(t) = a _ t||x(í)||, ta có:
||y(í)|| ^ K\\xo\\ + í /fy(s)||ĩ/(s)||As
J 0
Kí hiệu w(t,s) — eg(t,s), áp dụng bổ đề Gronvvall - Bellman ta có :
Ilĩ/(t)|| ^
K\\xo\\\u!(t,
0)1
,,
_
/**_ ln[ 1 4- g(t)s}

w{t, 0) = / lim sup —-— A.S
J 0 s— s
15
trong đó
16
a _ t||x (í)|| ^ / f ||x o| | H í , 0)|
Hay
||x(í)|| ^ K\\xo\\\w(t, 0)|c>ít
Chú ý rằng w(t, 0) = /ố lim s u p s ^ t ) inl1+agWal A s, vậy theo giả thiết của định lí, ta suy
ra M > 0 sao cho w(t,0) ^ M
Nên ta có:
||s (í)|| < K \\xo\\M oít
Đặt K i = KM,Ỗ = - Ina > 0, ta được
||x(í)ll
Dễ thấy rằng A = - ổ G Sc{T) Vậy nghiệm tầm thường x(t) — 0 của hộ phương trình
động lực (4) là ổn định mũ.
Định lí được chứng minh.
B. Tính ổn định của hệ phương trình động lực tuyến tính thuần nhất :
Trong hệ phương trình (1), với e = 0 và A(t) = A € Mn(R) thì ta sẽ có hệ phương trình
tuyến tính thuần nhất:
xA(t) = Ax(t), te [ t0,oo)T (9)
Trong trường hợp T = R+, (T(t))t>0 là nửa nhóm các toán tử tuyến tính liên tục từ Rn
vào Rn sinh bởi A và T(t) = eAt. Trong trường hợp T là thang thời gian tổng quát, chúng
ta ký hiệu ệ(t) = ỘA{t,to) là ma trận nghiệm của bài toán Cauchy
ộA(t) = A ộ ( t), t G T
ệ(t0)
= 00
to
£
T

trong đó / + ịi{t)A là ma trận khả nghịch . Để thuận tiện sau đây ta ký hiệu A0 = v4(0)
. Trong công trình của các tác giả Christian Potzsche, Steían Siegmund và Fabian Wirth
(xem [6]) đã chỉ ra rằng ỘA(t,to) có thể xác định bằng phương pháp ma trận dạng
Joocdang. Trong trường hợp riêng ta dễ dàng tìm được ma trận mũ Ộa{t, to) như sau
Do đó:
4>A{t, to) —
Định nghĩa
T(t - to), t,t0 e R
(.E + hA) V , t £ T = hZ,h> 0
Cho n £ No và \ € CrdR(Tk, c), m " : T X T k -> c là ánh xạ dược xác định như sau
m ị := 1, 77i"+1(í, r ) := ị
JT 1 + ụ,(s)\(s)
Trong [5] đã chỉ ra đặc trưng phổ của hệ phương trình động lực là ổn định mũ. Để di
đến việc xác lập kết quả trên cho hệ phương trình động lực (ệ ) ta cần sử dụng bổ đề sau:
17
Bổ đề
Giả sử tồn tại một số 7 > 0 sao cho
|1 + /x(í )A(í )|7 ^ 1 ( 10)
Khỉ đó với mọi t ^ T và n £ N0 ta có
Ta ký hiệu
S c ( T ) := {A
G
c I lim supsup ——— I lim
T->oo T — t 0 Jt0
f T ln\ 1 + sA|
/ lim — 1— - — - A t < 0 }
Từ bổ đề trên ta có thể chứng minh kết quả sau (xem [6]).
Định lý 3.3
Cho T là thang thời gian không giới nội trên, A € Mn(R) là thoái lui. K hi đó:
i) Nếu nghiệm tầm thường của (2) là ổn định m ũ thì ơ(A) c Sc(T)

ii) Nếu điều kiện (10) thoả mãn với tất cả các giá trị riêng À của A và nếu ơ(A) c Sc(T)
thì nghiệm tầm thường của (2) là Ổn định mũ.
Sau đây chúng tôi sẽ trình bày một số điều kiện đủ về tính ổn định mũ của nghiệm
của hệ tuyến tính thuần nhất. Xét hệ phương trình động :
Chứng minh tương tự như trong định lí (3.2) ta có kết quả sau:
Định lý 3.4
Giả sử đối với hệ (3) các điều kiện (Lị) và (L4) là thoả mãn và 3K > 0, 3X (E Sc(T)
sao cho :
Khi đó nghiệm tầm thường x(t) = 0 của hệ tuyến tính thuần nhất (2) là ổn định mũ.
xA(t) = A(t)x(t), í € [ 0, 00)7’
x(0) = Xo
( 11)
Trong đó x(.) € Rn,A(.) e Crd{T, Mn(R)).
Ngoài giả thiết (Lỵ) ta sẽ giả thiết ma trận A(t) thoả mãn các điều kiện sau:
L4) A(t) là g-Lipschitz, tức là tồn tại hàm g(t) xác định dương sao cho
\\<pA0(t, s)|| ^ Kexp[X(t
-
s)], Ví, s

G [0. o o )r
Chứng minh:
- ni^C QUOC GIA HA NỌI
ưuNG TÂr/í thò n g tin thij viên
18
Chú ý rằng hệ (3) có thể viết lại dưới dạng:
xA(t) = ,4 ( 0 ) :e ( í) + [ i4 ( í ) — Ẩ ( 0 ) ] : r ( í )
Do đó:
x(t) = ộA(t,Q)x0+ Ị </>v4( í , o - ( s ) ) [ A ( s ) - j 4 ( 0 ) ] x ( s ) A s
J 0
Sử dụng quá trình chứng minh tương tự như trong định lí (3.2) chúng ta sẽ nhận được

chứng m inh của định lí (3.4).
KÉT LUẬN
Trong những năm cuối thế kỉ 20, sự phát triển mạnh mẽ của Công nghệ tin
học và nhiều nghành khoa học khác (Kĩ thuật tín hiệu số, Công nghệ sinh
học ) đã kéo theo sự phát triển mạnh mẽ của các nghành toán học lý thuyết
nói chung và hệ động lực tổng quát nói riêng. Để đáp ứng yêu cầu bức thiết của
các thành tựu khoa học đó vào đời sống hàng ngày đòi hỏi người nghiên cứu
khoa học cần phải biết sử dụng công cụ khoa học mới vào kĩ thuật tính toán
thích hợp mới. Như vậy, yếu tố sáng tạo và khả năng tự trang bị được nhiều
kiến thức mới là yếu tố cần thiết và cơ bản nhất trong việc thực hiện và hoàn
thiện các đề tài nghiên cứu khoa học.
Trong đề tài này chúng tôi đã dành cho việc tiếp cận với một phương
hướng mới của lý thuyết. Giải tích toán học với tên gọi là Giải tích trên thang
thời gian. Các kết quả nghiên cứu mới được trình bày ở một dạng lý thuyết mới
phù hợp cho các lóp hàm liên tục hoặc rời rạc . Hy vọng rằng nó có thể đem lại
dược nhiều tiện ích cho các nhà kĩ thuật và có thể sử dụng hữu hiệu cho các mô
hình ứng dụng trong một ngày gần đây. Thành công đầu tiên trong quá trình
nghiên cứu là một điều kiện đủ cho tính ổn định của phương trình đông lực
trên thang thời gian cùng với các ví dụ ứng dụng minh hoạ.