Bat dang thuc va tim MIN MAX

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TIM GIÁ TRỊ NHỎ RẤT LỚN NHẤT
ĐẶNG THÀNH NAM
I)
NỘI DUNG KIẾN THỨC
1. Bất đẳng thức Cô – si.
√

Cho 2 số không âm ta có:
Dấu “=” xảy ra khi a = b

√

Cho 3 số không âm ta có:
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
2. Bất đẳng thức BunhiaCopsky

Cho x, y, a, b là các số thực ta luôn có: (x2 + y2)(a2 + b2) ≥ (ax + by)2
Dấu “=” xảy ra khi {

(k

R)

Một số biến dạng của hai BĐT trên.
Cho a, b dương ta luôn có: (a + b)( + ) ≥ 4 ⇒ + ≥
√

Chứng minh: Theo BĐT Cô – si: {

⇒(a + b)( + ) ≥ 4

√

Mở rộng tương tự cho 3 số a, b, c dương ta luôn có: +
Cho x, y, a, b là các số thực ta luôn có: (
⇒

+

≥

(

)

)(x2 + y2) ≥ (a + b)2

+

.

Đặt u = x2 , v = y2 ta có BĐT:
Mở rộng BĐT cho 3 số:

+

≥

+
+

≥

(

(

+ ≥

)
)


II) BÀI TẬP VẬN DỤNG.
Ví dụ 1. Cho x, y > 0 thỏa mãn x2 + y2 = 2. Chứng minh:
Lời giải. Ta có: (
Mặt khác:

+ 3y =

+ 3y =

(

)

≥4

Ta có: x + x + 2y = 2(x + y) ≤ 2√ (
⇒

(

+

)
(

)

≥

≥4

+ 3y)2

)≥(

)(

+

+

)=4

= 4. Dấu “=” xảy ra khi x = y = 1.

Cách 2: BĐT ⇔ x3(x + 2y) + 9y4 ≥ 4y2(x + 2y)
Chia cả hai vế cho y3 đặt t 

x
trở thành phương trình bậc 4 ẩn t . Chứng minh
y

tương đương rồi về nhân tử (t – 1).
Cách 3: 2y ≤ y2 + 1 = 3 – x2
⇒

≥

+

+

=

+

(

)

≥ 4,

(

√ )

Tới đây rồi khảo sát hàm số hoặc chứng minh tương đương dồi về nhân tử (x -1)
Ví dụ 2. (*) Bất đẳng thức phụ:

+

≥(

)

,

Áp dụng:
Cho x, y, z ≥ 0 thỏa mãn x2 + y2 + z2 ≤ 3y. Tìm GTNN của biểu thức: P = (
+(

)

+(

)

Lời giải.
C/m BĐT phụ, ta có:
⇒

+

≥

(

)

≥

+

(

)

. Mặt khác: ab ≤

(

)

(đpcm). Dấu “=” xảy ra khi a = b

)


P=(

+

)

(

+(

)

)

≥
(

)

+(

≥

)

(

)

Ta có: (x2 + 1) + (y2 + 4) + (z2 + 1) ≥ 2x + 4y + 2z ⇒ 2x + 4y + 2z ≤ 3y + 6
⇔ 2x + y + 2z ≤ 6 ⇔ x + + z ≤ 3. Vậy P ≥ (

)

=1

Vậy MinP = 1 khi x = 1, y = 2, z = 1.
Cách 2:
Ta có: (x + 1)2 ≤ 2(x2 + 1); (z + 3)2 ≤ 4(z2 + 3)
P≥

≥

(

)

(

)

+(
+(

)

+

)

=
≥

(

(

)

)

+

+(

+

+(

)

)

Tới đây ta có thể dùng phương pháp khảo sát hàm số, học sinh THCS thì dùng
biến đổi tương đương bằng cách rồi về nhân tử (y – 2).
Ví dụ:
Bài toán phụ , cho x, y thỏa mãn xy ≥ 1. Ta có:
≥

+

. Với – 1< xy ≤ 1 bất đẳng thức đổi chiều.

Lời giải.
BĐT⇔

(

)(

)

≥

⇔ (2 + x2 + y2)(1 + xy) ≥ 2(1 + x2)(1 + y2)
⇔ x2 + y2 + xy(x2 + y2) + 2xy + 2 ≥ 2 + 2(x2 + y2) + 2x2y2
⇔ (x – y)2(xy – 1) ≥ 0 (luôn đúng
Chứng minh BĐT đổi chiều làm tương tự.

)


Ví dụ.
Cho a, b, c ≥ 1. Chứng minh:

+

≥

+

.

Lời giải.
Ta có:

≥

+

;

√

≥

+

√

(Trong đó d là số thực bất kì và d ≥ 1)
VT +

≥ 2(

+

√

Chọn d3 = √
⇔ VT ≥

)≥

√

⇔d=

.

√

≥

⇒ VT +

(đpcm)

Áp dụng. Cho x, y, z > 2, thỏa mãn: + + = 1
Chứng minh: (x – 1)(y – 1)(z – 1) ≥ 8.
Lời giải. Ta có: (
⇔1≥

√(

+(

)

)(

)(

+(

)

)

)

≥

⇔ (x – 1)(y – 1)(z – 1) ≥ 8

Ví dụ:
Cho x, y > 0 thỏa mãn 2(x2 + y2) +
Tìm GTLN của P =

+

=5

-

Lời giải.
5 = 2(x2 + y2) +

≥

+ 4xy ⇔ 4x2y2 – 5xy + 1 ≤ 0

⇔ (xy – 1)(4xy – 1) ≤ 0 ⇔ ≤ xy ≤ 1.
Áp dụng:

√(

)(

)(

)


P ≤ f(t) =

-

.

Đặt t = xy, t

[ ; 1] ⇒ P =

f’(t) = (

+(

)

)

=(

-

) (

)

<0

t

[ ; 1]

Vậy MaxP = f( )
- Nếu là học sinh THCS thì chứng minh tương đương rồi về nhân tử (t – ¼)
Ví dụ 1.
Cho x, y, z
P=

+

[ ; 3]. Tìm GTNN của biểu thức:
+

Lời giải.
Không mất tính tổng quát, giả sử: z = max{x, y, z}.
Ta có: P =

+

+

≥

+
√

Đặt t = √

(1 ≤ t ≤ 3). P ≥ f(t) =

+

=

+

P ≥ f(t) ≥ f(3) = .
- Nếu là học sinh THCS thì Chứng minh tương đương rồi về nhân tử (t-3).