ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ

Chuyên đề : Ứng dụng tích phân
trong các bài toán thực tế

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
TRONG CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ
GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: NGUYỄN THANH TÙNG
ĐÁP ÁN
1A

2D

3C

4B

5B

6B

7A

8D

9C

10B

11C

12B

13A

14B

15C

16D

17D

18C

19D

20A

21A

22A

23B

24C

25A

26D

27B

28C

29C

30C

31B

32B

33C

34A

35A

36A

37D

38B

39A

40D

41B

42D

43D

44C

45C

46D

47C

48C

49C

50B

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:

Một chất điểm chuyển động trên trục Ox

v  t   3t  6t  m / s 

với vận tốc thay đổi theo thời gian

2

t2  4   s 

. Tính quãng đường chất điểm đó đi được từ thời điểm

t1  0  s 

đến

.

A. 16 m .

B. 24 m .

C. 8 m .

D. 12 m .

Lời giải
Chọn.A.

Áp dụng công thức:
Câu 2:

t2

4

t1

0

s�
v  t  dt  �
(3t 2  6t )dl

Casio
���
�16 .

Bạn Minh ngồi trên máy bay đi du lịch thế giới và vận tốc chuyển động của máy bay là
v (t )  3t 2  5 (m / s ) . Tính quãng đường máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10.
A. 246 m.

B. 252 m .

C. 1134 m .

D. 966 m .

Lời giải
Chọn.D.
Quãng đường mà máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là:
10

10

4

4





S�
v  t  dt  �
3t 2  5 dt  966  m 

Câu 3:

.

Một ô tô đang chạy với vận tốc 10 (m / s ) thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển
động chậm dần đều với vận tốc v(t )  5t  10 (m / s) , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng

Nhóm WORD HÓA KHOÁ HỌC TRỰC TUYẾN TOÁN 12
Trang 1


Chuyên đề : Ứng dụng tích phân
trong các bài toán thực tế
giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển
bao nhiêu mét?
A. 0, 2 m .

B. 2 m .

C. 10 m .

D. 20 m.

Lời giải
Chọn.C.
Lúc bắt đầu đạp phanh: v  5t  10  10 � t  0 .
v  t   5t  10  0 � t  2
Tại thời điểm ô tô dừng hẳn thì
.
2

Khi đó quãng đường cần tìm là:

2

2

�5t 2
�
s�
v  t  dt  �
 5t  10  dt  �  10t �  10
�2
�0
0
0

Chú ý: Nếu một chất điểm chuyển động với vận tốc

v  f  t

.

(phụ thuộc vào thời gian) thì

t2

quãng đường nó đi được từ thời điểm t1 � t2 là
Câu 4:

s�
f  t  dt
t1

.

v  t   2 t (m / s )  0 �t �30 
Một chiếc ôtô đang đi trên đường với vận tốc
. Giả sử tại thời
điểm t  0 thì quãng đường s  2 m . Phương trình thể hiện quãng đường theo thời gian ôtô đi
được là:

A.

s

4 3
t 2
3
.

B. s  2 t .

4
s  t3  2
3
C.
.

D.

s

4 3
t
3
.

Lời giải
Chọn.B.
4 3
4 3
s�
v  t  dt  �
2 tdt  t 2  C 
t C
3
3
Ta có:
.
Ta có:
Câu 5:

s  0  2 � C  2 � s 

4 3
t 2
3
.

v  t   3t  2
Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức
,
m
thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật đi được tính theo đơn vị . Biết tại thời điểm
t  2 s thì vật đi được quãng đường là 12 m . Tại thời điểm t  30 s thì vật đi được quãng
đường là bao nhiêu?
A. 1412 m .

B. 1140 m .

C. 302 m .
Lời giải

Nhóm WORD HÓA KHOÁ HỌC TRỰC TUYẾN TOÁN 12
Trang 2

D. 240 m .


Chuyên đề : Ứng dụng tích phân
trong các bài toán thực tế
Chọn.B.

3
s t  �
v  t  dt  �
 3t  2  dt  t 2  2t  C
2
Áp dụng công thức
.

3
s  2   12 � 10  C  12 � C  2 � s  t   t 2  2t  C
2
Tại thời điểm t  2 s ta có
.
s  30   1412  m 
Tại thời điểm t  30 s thì vật đi được quãng đường là
.

Câu 6:

Một chuyển động với vận tốc

v  t  ,  m / s 

có gia tốc

a t 

1
m / s2 


t 1
. Vận tốc ban đầu của

 m / s  của vật sau 9 giây bằng bao nhiêu?
vật là 8 m / s . Hỏi vận tốc
A.

ln10  8  m / s 

.

B.

ln10  8  m / s 

.

C.

ln11  8  m / s 

.

D.

ln10  m / s 

.

Lời giải

Chọn.B.
Cách 1:
1
v  0  8
v t  �
a  t  dt  � dt  ln t  1  C ���
� C  8 � v  t   ln t  1  8 � v  9   ln10  8
t 1
.
9

Cách 2: Vận tốc của vật sau 9 s là
Câu 7:

Một vật chuyển động với gia tốc

30  m / s 

9
1
v  v0  � dt  8  ln t  1 0  8  ln10
t 1
0

a  t   20  1  2t 

2

 m / s  . Khi

t  0 thì vận tốc của vật là

. Tính quãng đường vật đó di chuyển sau 2 giây ( m là mét, s là giây).

A. 48 m .

B. 46 m .

C. 47 m .

D. 49 m .

Lời giải
Chọn.A.

Áp dụng công thức
Ta có

.

10
2
�
v t  �
a  t  dt  �
20  1  2t  �dt 
C
�
� 1  2t

v  0   30 � C  20 � v  t  

10
 20  m / s 
1  2t
.

Gọi S là quãng đường mà vật di chuyển được sau 2 giây.
2
2
2
� 10
�
�S �
v  t  dt  �
 20 �
dt   5ln  1  2t   20t  �48m
�
0
1  2t
�
0
0�
.

Nhóm WORD HÓA KHOÁ HỌC TRỰC TUYẾN TOÁN 12
Trang 3

.

Chuyên đề : Ứng dụng tích phân
trong các bài toán thực tế
Câu 8:

Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc

a  t   4  t  m / s

v  30  m / s 

thì đột ngột thay đổi gia tốc

. Tính quãng được đi được kể từ thời điểm thay đổi gia tốc đến thời điểm

vận tốc lớn nhất.
848
m
A. 3
.

64
m
B. 3 .

128
m
C. 3
.

424
m
D. 3
.

Lời giải
Chọn.D.
Áp dụng công thức

v t  �
a  t  dt  �
 4  t  dt  4t 

t2
C
2
.

t2
1
2
v  0   30 � C  30 � v  t   4t   30    t  4   46 �46
2
2
Ta có:
.
t

4
s

Vận tốc lớn nhất tại thời điểm
. Khi đó quãng đường mà chất điểm đi được là:
4
4
� t2
� 424
S�
v  t  dt  �
4t   30 �
dt 
 m
�
2
3
�
�
0
0
.

Câu 9:

10  m / s 
Một vận động viên đua xe F1 đang chạy với vận tốc
thì anh ta tăng tốc với vận tốc
a  t   6t  m / s 2 

, trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc tăng tốc. Hỏi quãng

đường xe của anh ta đi được trong thời gian

A. 1010 m .

10  s 

B. 100 m .

kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là bao nhiêu?

C. 1100 m .

D. 1110 m .

Lời giải
Chọn.C.
v t  �
a  t  dt  �
6tdt  4t 2  C

Áp dụng công thức
v  0   10 � C  10 � v  t   3t 2  10

.

.

Quãng đường mà xe đi được trong 10 s là

10

10

0

0

S�
v  t  dt  �
 3t 2  10  dt  1100 m

.

a  t   3t  t 2
Câu 10: Một vật chuyển động với vận tốc 10  m / s thì tăng tốc theo thời gian t là
. Tính
quảng đường vật đi được trong khoảng 10 s kể từ khi bắt đầu tăng tốc.
130
km
A. 3
.

4300
km
B. 3
.

3400
km
C. 3
.

Nhóm WORD HÓA KHOÁ HỌC TRỰC TUYẾN TOÁN 12
Trang 4

D. 130 km .


Chuyên đề : Ứng dụng tích phân
trong các bài toán thực tế
Lời giải
Chọn.B.
Ta có:





v t  �
a  t  dt  �
3t  t 2 tdt 

3t 2 t 3
 C
2
3
. Do vận tốc ban đầu v  10 � C  10 .
10

10

Khi đó:

�3t 2 t 3
� �t 3 t 4
� 4300
s t  �


10
dt  �   10 � 
�
�
2 3
3
� �2 12
�0
0 �

.

v  t   160  10t  m / s  . Tính quãng đường S mà
Câu 11: Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc
vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm t  0  s  đến thời điểm vật dừng lại.
A. S  2560 m .

B. S  2180 m .

C. S  1280 m .

D. S  1840 m .

Lời giải
Chọn.C.
16

Vật dừng lại thì

v  t   0 � 160  10t  0 � t  16  s  � S  �
 160  10t  dt  1280 m
0

.

Câu 12: Một ôtô đang chạy thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, ôtô chuyển động chậm dần đều với
vận tốc v  t   12t  24  m / s  , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt
đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ôtô còn di chuyển bao nhiêu mét?
A. 18 m .

B. 24 m .

C. 15 m .

D. 20 m .

Lời giải
Chọn.B.
v  t   12t  24  0 � t  2
Ta có:
.
2

Quãng đường ôtô di chuyển từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn là:

s t  �
 12t  24  dt  24
0

.

v�
 t   2t  t 2  m / s 2  .
Câu 13: Một vật đang chuyển động với vận tốc 10 m / s thì tăng tốc với gia tốc
Tính quãng đường S mà vật đi được trong khoảng thời gian 12 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.

A. 2304 m .

B. 2424 m .

C. 720 m .
Lời giải

Chọn.A.

Nhóm WORD HÓA KHOÁ HỌC TRỰC TUYẾN TOÁN 12
Trang 5

D. 3576 m .


Chuyên đề : Ứng dụng tích phân
trong các bài toán thực tế

Ta có:
Vì

v�
(2t  t 2 )dt � v  t   t 2 
 t   2t  t 2 � v  t   �

v  0  0

nên

t3
C
3
.

t3
 10
3
.

v t  t2 

Vậy quãng đường vật đi được trong trong khoảng thời gian 12 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là
12

12

�2 t 3

� �t 3 t 4
�
S�
t


10
dt  �   10 �  2304 m
�
�
3
� �3 12
�0
0�
.
v�
 t 

v t  m / s

3
m / s2 

t 1
. Vận tốc ban đầu

Câu 14: Một vật chuyển động với vận tốc
có gia tốc
của vật là 6 m / s . Tính vận tốc của vật sau 10 giây (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
A.

v  8 m / s

.

B.

v  13  m / s 

.

C.

v  10  m / s 

.

D.

v  15  m / s 

.

Lời giải
Chọn.B.
10

Ta có:

3

v  v0  � dt �6  7,19 �13  m / s 
t 1
0

Câu 15: Một vật chuyển động thẳng với vận tốc

.

v  t   m / s

. Biết gia tốc

v�
 t 

3
 m / s2 
t 1
và vận

tốc ban đầu của vật là v  0   6  m / s  . Tính vận tốc v  10  của vật sau 10 giây (làm tròn đến
hàng đơn vị).
A.

v  10   7  m / s 

.

B.

v  10   42  m / s 

. C.

v  10   13  m / s 

. D.

v  10   24  m / s 

.

Lời giải
Chọn.C.
v�
 t 

3
 3ln t  1  C
v  0   6 � C  6 � v  t   3ln t  1  6
t 1
. Khi đó:
.

Ta có:
v  10   3ln11  6 �13
Vậy
.

Câu 16: Một vật chuyển động với vận tốc

vật là

v t

có gia tốc là

a  t   3t 2  t  m / s 2 

. Vận tốc ban đầu của

2  m / s  Hỏi vận tốc của vật sau 2 s
.
.

A. 8 m / s .

B. 16 m / s .

C. 10 m / s .
Lời giải

Nhóm WORD HÓA KHOÁ HỌC TRỰC TUYẾN TOÁN 12
Trang 6

D. 12 m / s .


Chuyên đề : Ứng dụng tích phân
trong các bài toán thực tế
Chọn.D.

Ta có:

v t  �
a  t  dt  �
(3t 2  t )dt  t 3 

t2
C
2
.

t2
3
�
v
t

t

 2 � v  2   12  m / s 
 
v  0  2 � C  2
2
Ban đầu vật có vận tốc
.
Câu 17: Một ôtô đang chạy đều với vận tốc 15 m / s thì phía trước xuất hiện chướng ngại vật nên người
2
lái đạp phanh gấp. Kể từ thời điểm đó, ôtô chuyển động chậm dần đều với gia tốc a m / s .
Biết ôtô chuyển động thêm được 20 m thì dừng hẳn. Hỏi a thuộc khoảng nào dưới đây.

A.

 4;5 .

B.

 3; 4  .

C.

 6;7  .

D.

 5;6  .

Lời giải
Chọn.D.
Gọi x  t  là hàm biểu diễn quãng đường, v  t  là hàm vận tốc.
t

Ta có:

v  t   v  0  �
(a )dt  at � v  t   at  15
0

t

Khi đó:

.

t

1
x t  �
v  t  dt  �
 at  15 dt   at 2  15t
2
0
0

.

at  15  0
�
v t  0
15
8
�
�
��1 2
�  t  15t  20 � t  � a � 5; 6 
�
2
3
 at  15t  20
�x  t   20

�
2
�
Ta có:
.

Câu 18: Hai ô tô xuất phát tại cùng một thời điểm trên cùng đoạn đường thẳng AB , ô tô thứ nhất bắt
đầu xuất phát từ A và đi theo hướng từ A đến B với vận tốc va  t   2t  1  km / h  ; ô tô thứ hai
xuất phát từ O cách A một khoảng 22 km và đi theo hướng từ A đến B với vận tốc 10 km / h ,
sau một khoảng thời gian người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô thứ hai chuyển động chậm
dần đều với vận tốc va  t   5t  0  km / h  . Hỏi sau khoảng thời gian bao lâu kể từ khi xuất
phát hai ô tô đó gặp nhau.
A. 4 h .

B. 8 h .

C. 6 h .
Lời giải

Chọn.C.

Khoảng thời gian xe 2 xuất phát đến lúc đạp phanh là: t  2 h .
Quãng đường các xe đi được trong khoảng thời gian trên:

Nhóm WORD HÓA KHOÁ HỌC TRỰC TUYẾN TOÁN 12
Trang 7

D. 7 h .

Chuyên đề : Ứng dụng tích phân
trong các bài toán thực tế
2

AC  �
 2t  1 dt  6 km

+) Xe 1: Đi từ A đến C là

0

.

+) Xe 2: Đi từ O đến D là OD  2.10  20 km .
Suy ra: CD  22  20  6  36 km .
Chọn mốc thời gian tại vị trí xuất phát, sau thời gian t1 hai xe gặp nhau. Hai xe đang ở các vị trí
tức thời C, D.
t1

+) Li độ xe 1 là:

x1  �
 2t  1 dt  km 
2

.

t1

+) Li độ xe 2 là:

x2  �
 5t  20  dt  CD  km 
2

Để hai xe gặp nhau thì:

.

t1

t1

2

2

x1  x2 � �
 2t  1 dt  �
 5t  20  dt  36 � t1  6  h 

.

Vậy sau khoảng thời gian là 6 h hai xe gặp nhau.

a  t   20  1  2t   m / s 2 
Câu 19: Một vật di chuyển với gia tốc
. Khi t  0 thì vận tốc của vật bằng
30 m / s . Tính quãng đường vật đó di chuyển sau 2 giây (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
2

A. 8 m .

B. 108 m .

C. 68 m .

D. 48 m .

Lời giải
Chọn.D.

Ta có:



v t  �
a  t  dt  �
20  1  2t 

Khi đó:

v  0   30 �

2



dt 

20 (1  2t ) 1
10
�
C 
C
2
1
1  2t
.

10
10
 C  30 � C  20 � v  t  
 20
1  2.0
1  2t
.

Vậy quãng đường vật đó di chuyển sau 2 giây là:
2

2
10
s�
(
 20)dt   5 ln 1  2t  20t   5ln 5  40 �48, 0471896
0
1  2t
0

.

Câu 20: Một ôtô đang dừng và bắt đầu chuyển động theo một đường thẳng với gia tốc
a  t   6  2t  m / s 2 

, trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc ôtô bắt đầu

chuyển động. Hỏi quãng đường ôtô đi được kể từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vận tốc của
ôtô đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu mét?
A. 18 m .

B. 36 m .

45
m
C. 2 .

Nhóm WORD HÓA KHOÁ HỌC TRỰC TUYẾN TOÁN 12
Trang 8

27
D. 4 .


Chuyên đề : Ứng dụng tích phân
trong các bài toán thực tế
Lời giải
Chọn.A.
v t  �
(6  2t )dt  6t  t 2  C

v t  0 � C  0
. Ta có
(thời điểm ban đầu ôtô dừng).
2
2
v  t   6t  t  9  (3  t ) �9 � vmax  9
Khi đó:
khi t  3 .
Ta có:

3

Suy ra:

S�
(6t  t 2 )dt  18m
0

.

v  t   1  2sin 2t  m / s  . Tính quãng đường vật di chuyển
Câu 21: Một vật chuyển động với vận tốc
trong khoảng thời gian từ thời điểm t  0  s  đến tời điểm
3
 1 m 
A. 4
.

B.

1 m 

t

3
 s
4
.

3
 1 m 
C. 4
.

.

D.

3 m

.

Lời giải
Chọn.A.
s

Quãng đường vật di chuyển:

3

4

3

 1  2sin 2t  dt   t  cos 2t  04
�



0

3
 1 m 
4

.

3
a t 
m / s2 

v
t
m
/
s





t 1
có gia tốc
Câu 22: Một vật chuyển động với vận tốc
. Vận tốc ban đầu

của vật là
A.

6  m  / s  .

3ln11  6  m / s 

Hỏi vận tốc của vật sau 10 giây là bao nhiêu?
.

B.

3ln 6  6  m / s 

.

C.

2 ln11  6  m / s 

.

D.

3ln11  6  m / s 

.

Lời giải
Chọn.A.
3
v  t   � dt  3ln  t  1  C
t 1
Ta có:
.
v  0   2ln1   C  6 � C  6 � v  t   3ln t  1  6 � v  10   3ln1 1  6  m / s 
Khi đó:
.
a  t   3t  t 2  m / s 2 
10 
m
/
s
Câu 23: Một vật chuyển động với vận tốc
thì tăng tốc với gia tốc
. Tính
quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.

7
4300
4000
m
m
m
A. 12 .

B. 3
.
C. 3
.
Nhóm WORD HÓA KHOÁ HỌC TRỰC TUYẾN TOÁN 12
Trang 9

127
m
D. 12 .


Chuyên đề : Ứng dụng tích phân
trong các bài toán thực tế
Lời giải
Chọn.B.

Ta có:

v t  �
(3t  t 2 ) dt 

3t 2 t 3
3t 2 t 3
v  0  10
  C ���
� C  10 � v  t  
  10
2
3

2
3
.
10

Vậy quãng đường cần tìm là

10

�3t 2 t 3
� 4300
S�
v  t  dt  �
dt 
 m
�   10 �
2 3
3
�
0
0 �

.

162  me�
t
Câu 24: Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao
so với mặt đất
đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển
động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật

v  t   10t  t 2

, trong đó

t  phu�
t

v t
mét / phút  m / p 
là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động,
được tính theo đơn vị
.
v
Hỏi khi bắt đầu tiếp đất vận tốc của khí cầu bằng bao nhiêu?
A.

v  5 m / p

.

B.

v  7 m / p

.

C.

v  9 m / p

.

D.

v  3 m / p 

.

Lời giải
Chọn.C.
Gọi thời điểm khí cầu bắt đầu chuyển động là t  0 , thời điểm khí cầu bắt đầu tiếp đất là t1 .
Khi đó quãng đường khí cầu đi được từ thời điểm t  0 đến t1 là:
t1

t13
t  dt 5t

162
 10t ������
�
3
0
2

2
1

Suy ra vận tốc khi tiếp đất:

t1 �4,93
�
�
t1 10,93
�
�
t1 �9
�

v  v  t1   v  9   9

t1��
0;10�
�
�

v  t  10t t 2

t1

9
.

.
v t 

t
3,

Câu 25: Một chất điểm M chuyển động nhanh dần đều trên một đường thẳng với vận tốc

trong đó t là khoảng thời gian bằng giây tính từ lúc bắt đầu chuyển động. Sau 6 giây kể từ lúc
bắt đầu chuyển động thì M giữ nguyên vận tốc và chuyển sang trạng thái chuyển động thẳng
đều, trạng thái này được duy trì trong 1 phút. Tính quãng đường mà M dịch chuyển được
trong 10 giây đầu tiên.
A. 14 m .

B. 16 m .

C. 6 m .
Lời giải

Chọn.A.
Cách 1:
Nhóm WORD HÓA KHOÁ HỌC TRỰC TUYẾN TOÁN 12
Trang 10

D. 10 m .


Chuyên đề : Ứng dụng tích phân
trong các bài toán thực tế
6

Quãng đường mà M di chuyển trong 6 giây đầu là:

6

6

t

t2
S1  �
v  t  dt  �dt 
 6  m
3
6
0
0
0

.

Vận tốc của vật sau 6 giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động là v(6)  2 .
4.2  8  m 
Suy ra, quãng đường mà M di chuyển trong 4 giây tiếp theo là:
.
6  8  14  m 
Vậy quãng đường mà M di chuyển trong 10 giây đầu là:
.
Cách 2:
Vận tốc của vật sau 6 giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động là v(6)  2 .
Khi đó ta có hệ trục biểu diễn chuyển động của điểm M như hình vẽ bên.
10

Ta có:

S  t  �
v  t  dt  SOABD 

 AB  OD  BD   4  10  2  14

2

0

v t 

2

.

1 sin   t 

 m / s
2

. Gọi S1 là quãng đường vật đó

Câu 26: Một vật chuyển động với vận tốc là
đi trong 2 giây đầu và S 2 là quãng đường đi từ giây thứ 3 đến giây thứ 5. Kết luận nào sau đây
là đúng?
A. S1  S 2 .

B. S 2  2 S1 .

C. S1  S 2 .

D. S1  S 2 .

Lời giải
Chọn.D.

�1  sin   t  �
S1  �
dt �0,35318  m 
� 
�
2

0
�
�
Ta có:
,
5
�1  sin   t  �
S2  �
dt �0, 45675  m  � S 2  S1.
� 
�
2


3�
�
.
2

Câu 27: (THPTQG – 2017 – 101 – 41) Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc

v  km / h 

t  h
phụ thuộc vào thời gian
có đồ thị của vận tốc như hình bên.
Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một
I  2; 9 
phần của đường parabol có đỉnh
và trục đối xứng song song với trục
tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song với trục hoành.
Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn
đến hàng phần trăm).
A.

s  23, 25  km 

.

B.

s  21,55  km 

.

C.

s  15,50  km 

Lời giải
Chọn.B.
Nhóm WORD HÓA KHOÁ HỌC TRỰC TUYẾN TOÁN 12

Trang 11

.

D.

s  13,83  km 

.


Chuyên đề : Ứng dụng tích phân
trong các bài toán thực tế
+) Trong khoảng thời gian từ t1  0 h � t2  1 h vật chuyển động với vận tốc:

v  at 2  bt  c  f  t   km / h 

. Do đồ thị đi qua điểm

 0; 4 

và có đỉnh

I  2; 9 

, suy ra:

�
c4
c4

�
�
�
5
5
� b
�

2
� �a   � v  f  t    t 2  5t  4
�
4
4
� 2a
�
b5
�
�
�f  2   4a  2b  c  9 �
.
Khi đó tại t2  1 h thì vận tốc

v

31
 km / h 
4
.

+) Suy ra trong khoảng thời gian từ t2  1 h � t3  3 h vật chuyển động với vận tốc

v

31
 km / h 
4
.

Vậy quãng đường vật đi được trong 3 giờ là:
1

3

31
259
�5 2
�
s�
 t  5t  4 �
dt  � dt 
�21,58  km 
�
4
12
� 1 4
0�
.
Câu 28: (THPTQG – 2017 – 102 – 38) Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận
tốc

v  km / h 

phụ thuộc vào thời gian

t  h

có đồ thị là một phần của

I  2; 9 
đường parabol có đỉnh
và trục đối xứng song song với trục tung
như hình bên. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó.
A.
C.

s  24, 25  km 
s  24, 75  km 

.

B.

.

D.

s  26, 75  km 
s  25, 25  km 

.
.

Lời giải
Chọn.C.

Trong khoảng thời gian từ t1  0 h � t2  3 h vật chuyển động với vận tốc:
v  at 2  bt  c  f  t   km / h 
 0; 6  và có đỉnh I  2; 9 , suy ra:
. Do đồ thị đi qua điểm
�
c6
c6
�
�
�
3
3
� b
�

2
��
a   � v  f  t    t 2  3t  6
�
4
4
� 2a
�
b5
�
�

�
�f  2   4a  2b  c  9
.
Vậy quãng đường vật đi được trong 3 giờ là:
3

�3 2
� 99
s�
dt 
 24, 75  km 
� t  3t  6 �
4
4
�
0�
.
Nhóm WORD HÓA KHOÁ HỌC TRỰC TUYẾN TOÁN 12
Trang 12


Chuyên đề : Ứng dụng tích phân
trong các bài toán thực tế
Câu 29: (THPTQG – 2017 – 103 – 35) Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận

v  km / h 
t  h
tốc
phụ thuộc vào thời gian
có đồ thị của vận tốc như hình

bên. Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó
I  2; 9 
là một phần của đường parabol có đỉnh
và trục đối xứng song
song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song
với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ đó.
A.

s  26,5  km 

C.

.

s  27  km 

.

B.

s  28,5  km 

D.

.

s  24  km 

.

Lời giải
Chọn.C.
+) Trong khoảng thời gian từ

t1  0 h � t 2  3 h

vật chuyển động với vận tốc:

v  at 2  bt  c  f  t   km / h 

O  0; 0 
I  2;9 
. Do đồ thị đi qua điểm
và có đỉnh
, suy ra:
�
c0
c0
�
�
�
9
9
� b
�

2
� �a   � v  f  t    t 2  9t
�
4

4
� 2a
�
b9
�
�
�
�f  2   4a  2b  c  9
.

27
v
 km / h 
t

3
h
4
Khi đó tại 2
thì vận tốc
.
+) Suy ra trong khoảng thời gian từ t2  3 h � t3  4 h vật chuyển động với vận tốc

v

27
 km / h 
4
.
3

4

27
�9 2
�
�
 t  9t �
dt  � dt  27  km 
�
4
� 3 4
Vậy quãng đường vật đi được trong 4 giờ là: 0 �
.
Câu 30: (THPTQG – 2017 – 104 – 35) Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận
tốc

v   km / h 

phụ thuộc vào thời gian

t  h

có đồ thị là một phần của

�1 �
I � ;8 �
đường parabol có đỉnh �2 �và trục đối xứng song song với trục tung
như hình bên. Tính quãng đường s người đó chạy được trong khoảng thời

gian 45 phút, kể từ khi bắt đầu chạy.
A.
C.

s  4, 0  km 

s  4,5  km 

.

B.

.

D.

s  2,3  km 

s  5,3  km 

Lời giải
Nhóm WORD HÓA KHOÁ HỌC TRỰC TUYẾN TOÁN 12
Trang 13

.
.


Chuyên đề : Ứng dụng tích phân
trong các bài toán thực tế

Chọn.C.
Trong

khoảng

thời

gian

0 h � 1h

từ

vật

chuyển

động

với

vận

tốc

v  at  bt  c  f  t   km / h 
2

�1 �
I � ;8 �

O  0; 0 
Do đồ thị đi qua điểm
và có đỉnh �2 �, suy ra:
�
�
c0
c0
�
�
� b
�

2
� �a  32 � v  f  t   32t 2  32t
�
2
a
�
�
b  32
�
a b
�
f
2



c


8


�
�
4 2
.
3
t1  0 h � t2  h
4 ) là:
Vậy quãng đường vật đi được trong 45 phút (từ
3
4





s�
32t 2  32t dt 
0

99
 4, 5  km 
4

.

Câu 31: Trong một đợt xả lũ, nhà máy thủy điện đã xả lũ trong 40 phút với tốc độ lưu lượng nước tại
v  t   10t  500  m3 / s 

thời điểm t giây là
. Hỏi sau thời gian xả lũ trên thì hồ thoát nước của
nhà máy đã thoát đi một lượng nước là bao nhiêu?

A.

4.106  m3 

.

B.

3.107  m3 

.

C.

6.106  m3 

.

D.

5.104  m3 

.

Lời giải
Chọn.B.

2400

Lượng nước thoát ra là:

h(t )  cm 
Câu 32: Gọi

2
� 10t  500  dt   5t  500t  0

2400

 

 3.107 m3

0

.

là mực nước ở bồn chứa sau khi bơm nước được t giây. Biết rằng

13
t 8
5
và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6
giây (làm tròn đến kết quả hàm phần trăm).
h�
 t 

A.

3,33  cm 

.

B.

2, 66  cm 

.

C.

2,33  cm 

.

Lời giải
Chọn.B.

Nhóm WORD HÓA KHOÁ HỌC TRỰC TUYẾN TOÁN 12
Trang 14

D.

5, 06  cm 

.

Chuyên đề : Ứng dụng tích phân
trong các bài toán thực tế
6

Ta có:

6

6

4
1
1 3
h t  �
h�
 t  dt  �3 t  8dt  �  t  8 3  2, 66  cm 
5
5 4
0
0
0

.

Câu 33: Người ta bơm nước vào một bồn chứa, lúc đầu bồn không chứa nước, mức nước ở bồn chứa
sau khi bơm phụ thuộc vào thời gian bơm nước theo một hàm số

h  h t

trong đó h tính bằng

 t   3 2t  1 và. Mức nước ở bồn sau khi bơm được 13 giây
cm , t tính bằng giây. Biết rằng h�
là:
243
cm
A. 8
.

243
cm
B. 4
.

C. 30 cm .

D. 60 cm .

Lời giải
Chọn.C.
Cách 1:
13

13

13

0

0

0

3
3
h  13  h  0   �
h�
2t  1dt � h  13  �
2t  1dt  h  0   30  0  30  0  30
 t  dt  �

.

Cách 2:
3
h t  �
2t  1dt 

Lúc đầu  t  0 

3
 2t  1 3 2t  1  C
8
.
� h  0  0 � C  

bể không có nước
3
3

� h  t    2t  1 3 2t  1  � h  13  30
8
8
.

3
8.

Câu 34: Trong một phòng thí nghiệm, người ta quan sát một đám vi trùng ban đầu có

250000  con  , tới

4000
1  0, 5n . Gọi x là
ngày thứ n thì số lượng vi trùng trong đám ấy là f  n  con, với
số lượng vi trùng trong đám ấy sau 10 ngày, giá trị của x gần với kết quả nào nhất trong các
kết quả sau đây?
f�
 n 

A. x �264000 .

B. x �264334 .

C. x �14334 .

D. x �14000 .

Lời giải
Chọn.A.

� 4000 �
�8000 �
f  n  �
f�
dn  �
d  n  2   8000ln  n  2   C
 n  dn  �
�
�
�
�
1

0,5
n
2

n
�
�
�
�
Ta có:
.
f  0   8000ln 2  C  250000 � C  250000  8000 ln 2
Khi đó:
.

Nhóm WORD HÓA KHOÁ HỌC TRỰC TUYẾN TOÁN 12
Trang 15

Chuyên đề : Ứng dụng tích phân
trong các bài toán thực tế
Suy ra:

f  10   8000ln1 0  C  8000ln1 0  250000  8000ln 2 �262876

gần 26400 nhất.

h  t  là thể tích nước bơm được sau t giây.
Câu 35: Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi
2
�
Cho h  t   3at  bt và ban đầu bể không có nước. Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là

150 m3 , sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là 1100 m3 . Tính thể tích của nước trong bể sau
khi bơm được 20 giây.
3
A. 8400 m .

3
B. 4200 m .

3
C. 600 m .

3
D. 2200 m .

Lời giải
Chọn.A.
Ta có:





h t  �
h�
 t  dt  �3at 2  bt dt  at 3  b

Do ban đầu hồ không có nước nên

t2
C
2
.

h  0   0 � C  0 � h  t   at 3  b

t2
2 .

�
52
3
h
5


a
.5

b
�
 150


�
a 1
�
�
2
��
� h  t   t 3  t 2 � h  20   8400 m3
�
2
b

2
10
�
�
h  10   a.103  b �  1100
�
2
Do đó: �
.

 

D  t  đô la mỗi năm, với D  t   90  t  6  t 2  12
Câu 36: Một công ty phải gánh chịu nợ với tốc độ
trong đó t là thời gian (tính theo năm) kể từ khi công ty bắt đầu vay nợ. Sau 4 năm công ty đã
phải chịu 1626000 đô la tiền nợ nần. Tìm hàm số biểu diễn tốc độ nợ nần của công ty này

A.

D  t   30

t

2

 12t   1610640
3

D  t   30 3  t 2  12t   1610640

.

B.

D  t   30

t

D  t   30

t

3

C.

.

D.

2

 12t   C

2

 12t   1595280

3

.

3

Lời giải
Chọn.A.
1

Ta có:

D t  �

90  t  6  t 2  12tdt  45�
 2t  12   t 2  12t  2 dt
1

 45�
 t 2  12t  2 d  t 2  12t  

45
3
2

t

2

 12t   C  30
3

t

2

 12t   C
3

.

Vì sau bốn năm số nợ là 1626000 đô la nên ta có:
D  4   30

4

2

 12.4   C  1626000 � 15360  C  1626000 � C  1610640
3

Nhóm WORD HÓA KHOÁ HỌC TRỰC TUYẾN TOÁN 12
Trang 16

.

.


Chuyên đề : Ứng dụng tích phân
trong các bài toán thực tế

Vậy

D  t   30

t

2

 12t   1610640
3

.

Câu 37: Trong Vật lý, công được hình thành khi một lực tác động vào một vật và gây ra sự dịch chuyển,

F  x
ví dụ như đi xe đạp. Một lực
biến thiên, thay đổi, tác động vào một vật thể làm vật này
di chuyển từ x  a đến x  b thì công sinh ra bởi lực này có thể tính theo công thức
b

W �
F  x  dx

F  x   3x  2
. Với thông tin trên, hãy tính công W sinh ra khi một lực
tác
động vào một vật thể làm vật này di chuyển từ x  1 đến x  6 .
a

A. W  12 .

B. W  18 .

C. W  20 .

D. W  14 .

Lời giải
Chọn.D.
6

Ta có:

W  �3 x  2dx  14
1

.

Câu 38: Sau t giờ làm việc một người công nhân A có thể sản xuất với tốc độ được cho bởi công thức

p�
 t   100  e0,5t đơn vị/ giờ. Giả sử người đó bắt đầu làm việc từ 8 giờ sáng. Hỏi người đó sẽ
sản xuất được bao nhiêu đơn vị từ 9 giờ sáng tới 11 giờ trưa?
0,5
1,5
A. 200  2e  2e .
0,5
1,5
C. 200  2e  2e .

0,5
1,5
B. 200  2e  2e .
0,5
1,5
D. 200  2e  2e .

Lời giải
Chọn.B.
Mốc thời gian là 8 giờ nên 9 giờ thì t  1 , lúc 11 giờ thì t  3 .
Vậy số đơn vị công nhân A sản xuất được là:

3

3

1

1

p�
 t  dt  �
 100  e0,5t  dt   100t  2e0,5t   200  2e0,5  2e1,5
�
3
t

Câu 39: Ông An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và
kích thước như hình vẽ bên, biết đường cong phía
1 m 2 
trên là một Parabol. Giá
của rào sắt là
700.000 đồng. Hỏi ông An phải trả bao nhiêu
tiền để làm cái cửa sắt như vậy (làm tròn đến hàng
phần nghìn).

A. 6.417.000 đồng.

B. 6.320.000 đồng.

Nhóm WORD HÓA KHOÁ HỌC TRỰC TUYẾN TOÁN 12
Trang 17

.


Chuyên đề : Ứng dụng tích phân
trong các bài toán thực tế
C. 6.520.000 đồng.

D. 6.620.000 đồng.
Lời giải

Chọn.A.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
2
Parabol có đỉnh là điểm C (0; 2) nên có dạng: y  ax  2 .
2

�5 3 � 3
�5 �
B � ; ��  a � � 2
�2 � .
Do Parabol đi qua điểm �2 2 � 2

Khi đó diện tích S của cửa rào sắt là diện tích phần hình phẳng giới bởi các đường
2 2
�
�y   x  2; y  0
25
�

�
x  2,5
�x  2,5;
.
2,5

2,5

Suy ra:

3
�
55
� 2 2
� � 2 x
S �

x

2
dx


 2x � 
�
� �
25
� � 25 3
�2,5 6
25 �

.

Vậy ông An phải trả số tiền để làm cái cửa sắt là: T  S (700.000) �6.417.000 (đồng).
Câu 40: Trên quả địa cầu, vĩ tuyến 30 độ Bắc chia khối cầu thành 2 phần (khoảng cách từ tâm của quả
cầu tới mặt cắt bằng nửa bán kính). Tính tỉ số thể tích giữa phần lớn và phần bé của khối cầu
đó.
27
A. 8 .

9
B. 8 .

24
C. 5 .

Lời giải
Chọn.D.

Nhóm WORD HÓA KHOÁ HỌC TRỰC TUYẾN TOÁN 12
Trang 18

27
D. 5 .


Chuyên đề : Ứng dụng tích phân
trong các bài toán thực tế

x � R  h; R  dựng mặt phẳng    vuông góc Ox

 O; R 
cắt mặt cầu
theo một đường tròn có bán kính rx .
Tại điểm có hoành độ

S  x
Gọi
là diện tích hình tròn này. Khi đó thể tích khối chỏm cầu có chiều cao h của khối
cầu bán kính R là:
R

Vc.cau 

R

�S  x  dx  �  r 
x

R h

R h

2

R

R

�
x3 �

� h�
dx  �
  R  x  dx   �R 2 x  �  h 2 �R  �
3 �R h
� 3�
�
R h
.
2

2

4
5 R 3
 R3 
3
24  27
3
3
R
 5R
5 R
5
h  � Vc.cau 
2
24 . Vây tỉ số là:
24
Áp dụng kết quả trên, ta có:
.
Câu 41: Ông An có một mảnh vườn hình Elip có độ dài trục

lớn bằng 16 m và độ dài trục bé bằng 10 m . Ông
muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8 m và nhận
trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ).
o�
ng /1m2 .
Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 �
Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải
đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn).
A. 7.826.000 đồng.

B. 7.653.000 đồng.

C. 7.862.000 đồng.

D. 7.128.000 đồng.

Lời giải
Chọn.B.
Ta có độ dài trục lớn: 2a  16 � a  8 và độ dài trục nhỏ 2b  10 � b  5 .
5
�
y
64  y 2  E1 
�
x
y
8

1� �
64 25

�y  5 64  y 2  E 
2
�
� 8
Suy ra phương trình Elip:
.
2

2

Nhóm WORD HÓA KHOÁ HỌC TRỰC TUYẾN TOÁN 12
Trang 19


Chuyên đề : Ứng dụng tích phân
trong các bài toán thực tế

 E1  ;  E2 
�
�
�x  4; x  4

Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường:
4
4
5
5
� S  2 � 64  x 2 dx  �64  x2 dx
8
20

4
.
Suy ra số tiền ông An cần để trồng hoa là:
4

.

Casio

T  S .100000  250000�64  x 2 dx  7653000
0

đồng.

Câu 42: Một khuôn viên dạng nửa hình tròn có đường kính bằng
4 5  m 

. Trên đó người thiết kế hai phần để trồng hoa có
dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm
nửa hình tròn và hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa
đường tròn (phần tô màu), cách nhau một khoảng bằng

4  m

, phần còn lại của khuôn viên (phần không tô màu)
dành để trồng cỏ. Biết các kích thước cho như hình vẽ và kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản là
100.000 �
o�
ng / m2 . Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cỏ Nhật Bản trên phần đất đó? (Số tiền
được làm tròn đến hàng nghìn).

A. 2.388.000 đồng.

B. 3.895.000 đồng.

C. 1.194.000 đồng.

D. 1.948.000 đồng.

Lời giải
Chọn.D.

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ.
2
2
2
Phương trình cả đường tròn: x  y  20 � y  20  x là phương trình nửa đường tròn trên.
2
Phương trình Parabol  P  có đỉnh là gốc O sẽ có dạng y  ax .
2
P
M
2;
4
�
4

a

2
� a  1 � y  x2 .







Mặt khác
qua

Khi đó phần diện tích của hình phẳng giởi hạn bởi

 20  x
�
2

S1 

2

Vậy phần diện tích trồng cỏ là:

S

2

 P



và nửa đường tròn (phần tô màu) là:

 x 2 dx �11,94 m 2
.

1
S hinh.tron  S1 �19, 47592654
2
, 47592654.

Nhóm WORD HÓA KHOÁ HỌC TRỰC TUYẾN TOÁN 12
Trang 20


Chuyên đề : Ứng dụng tích phân
trong các bài toán thực tế
Vậy số tiền cần có là: S .100000 �1948000 (đồng).
Câu 43: Người thợ gốm làm cái chum từ một khối cầu có bán kính 5 dm bằng cách cắt bỏ hai chỏm cầu
đối nhau. Tính thể tích của cái chum biết chiều cao của nó bằng 6 dm (quy tròn 2 chữ số thập
phân).
3

3

A. 135, 02 dm .

3
C. 428, 74 dm .

B. 104, 67 dm .

3
D. 414, 69 dm .

Lời giải
Chọn.D.

Hình phẳng 
y  3; y  3 .

H

2
giới hạn bởi đồ thị hàm số x  25  y ; x  0 và hai đường thẳng

Khi quay hình phẳng quanh trục tung ta được hình dạng cái chum (như hình vẽ).

 25  y
�
3

V

Vậy thể tích cái chum là:

3

2



2

3

dy   �
 25  y2  dy  132 �414, 69
3

.

Câu 44: Để trang trí toà nhà người ta vẽ lên tường một hình như sau: trên mỗi cạnh hình lục giác đều có
cạnh là 2 dm là một cánh hoa hình parabol mà đỉnh parabol  P  cách cạnh lục giác là 3dm và
nằm phía ngoài hình lục giác, 2 đầu mút của cạnh cũng là 2 điểm giới hạn của đường
Hãy tính diện tích hình trên (kể cả lục giác).
A.

8 3  12  dm2 

.

B.

8 3  24  dm 2 

.

C.

6 3  24  dm2 

Lời giải
Chọn.C.

Nhóm WORD HÓA KHOÁ HỌC TRỰC TUYẾN TOÁN 12
Trang 21

.

D.

 P

6 3  12  dm 2 

.

đó.


Chuyên đề : Ứng dụng tích phân
trong các bài toán thực tế

Xét 1 cánh hoa hình parabol như mô tả; đặt hệ trục như hình vẽ.
 P  có đỉnh là điểm I  0;3 nên có dạng: y  ax 2  3 .
Do parabol
Do

 P

đi qua điểm

 1;0  � a  3 � y  3x 2  3 .
1

Suy ra diện tích mỗi cánh hoa là:
Diện tích lục giác đều là:

S 2  6.

S1 

 3x
�

2

1

a

2

4

3

2

2
 6�

Vậy tổng diện tích của hình cần trang trí là:

 3 dx    x 3  3x 
3
4

6 3

1

 4  dm 2 

.

S  6 S1  S 2  24  6 3  dm 2 

Câu 45: Một bồn nước được thiết kế với chiều cao
8 dm , miệng bồn nước là hình chữ nhật có
chiều dài 20 dm , chiều rộng 8 dm và bề mặt
cong đều nhau với mặt cắt ngang là một hình
parabol như hình vẽ bên. Hỏi bồn chứa được
tối đa bao nhiêu lít nước?
1280
A. 3 .
1256
C. 3 .

1

B. 1280 .
D. 1280 .
Lời giải

Chọn.C.

Nhóm WORD HÓA KHOÁ HỌC TRỰC TUYẾN TOÁN 12
Trang 22

.

.


Chuyên đề : Ứng dụng tích phân
trong các bài toán thực tế
Xét mặt cắt parabol, chọn hệ trục như hình vẽ.
2
O  0; 0 
Do Parabol có đỉnh là
nên có dạng: y  ax .
1
1
� y  x2
2
2 .
Đồ thị đi qua điểm nên
nên 8  16a
4
1

64 128
S  S hv  �x 2 dx  64 

dm 2
2
3
3
4
Diện tích phần mặt cắt là:
.
4
� 1 2 � 128
S�
8 x �
dx 
dm 2
�
2 �
3
4 �
(hoặc có thể tính:
)
�a

A  4;8 





20

Khi đó thể tích của bồn là:

20

V�
Sdx 

128

�3



dx 

2560
dm3
3





.
2560
V  20 S 
dm3
3

(hoặc có thể tính
).
Câu 46: Một thùng rượu có bán kính các đáy là 30 cm , thiết diện vuông
góc với trục và cách đều hai đáy có bán kính là 40 cm , chiều cao
0



0



thùng rượu là 1m (hình vẽ). Biết rằng mặt phẳng chứa trục và cắt
mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol, hỏi thể tích của
thùng rượu là bao nhiêu?
A. 425162 lít.
B. 212581 lít.
C. 212, 6 lít.
D. 425, 2 lít.
Lời giải
Chọn.D.

Gọi

 P  : x  ay 2  by  c

đi qua

A  4;0  B  3;5  C  3; 5 
,

,
.

a  4; b  0
�
�
1
�
1 2
c
�  P : x  
y 4
�
25
25
Suy ra: �
.

Nhóm WORD HÓA KHOÁ HỌC TRỰC TUYẾN TOÁN 12
Trang 23




Chuyên đề : Ứng dụng tích phân
trong các bài toán thực tế
5

2

� 1 2
�
�V   �

y  4 �dy  425, 2 dm3  425, 2
�
25
�
5 �
(lít).





Chú ý: Trước đó ta đã đổi số liệu sang đơn vị dm.
Câu 47: Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai phần đối xứng nhau qua
mặt nằm ngang và đặt trong một hình trụ. Thiết diện thẳng đứng qua
trục của nó là hai parabol chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt nằm
ngang. Ban đầu lượng cát dồn hết ở phần trên của đồng hồ thì chiều cao
3
h của mực cát bằng 4 chiều cao của bên đó (xem hình). Cát chảy từ
3
trên xuống dưới với lưu lượng không đổi 2,90 cm / phút . Khi chiều
cao của cát còn 4 cm thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường
tròn chu vi 8 cm (xem hình). Biết sau 30 phút thì cát chảy hết xuống

phần bên dưới của đồng hồ. Hỏi chiều cao của khối trụ bên ngoài là bao
nhiêu cm? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
A. 8cm .

B. 12 cm .

C. 10 cm .

D. 9 cm .

Lời giải
Chọn.C.

Xét thiết diện chứa trục của đồng hồ cát như hình vẽ.
2
O  0; 0 
Do parabol có đỉnh là điểm
nên có dạng: y  ax .

Parabol đi qua điểm

A  4; 4 

nên

a

1
1
� y  x2
4
4 .

Thể tích phần cát ban đầu bằng thể tích khối tròn xoay sinh ra khi ta quay nhánh bên phải của
parabol trên quanh trục Oy và bằng lượng cát đã chảy trong 30 phút.
Ta có thể tích:

Nhóm WORD HÓA KHOÁ HỌC TRỰC TUYẾN TOÁN 12
Trang 24


Chuyên đề : Ứng dụng tích phân
trong các bài toán thực tế
h



V �
2 y
0



2

h

dy  2,9.30  87 � 2 y 2  87 � 2h 2  87 � h 
0

4
4 87
2  �

h 2
3 2
Vậy chiều cao của hình trụ bên ngoài bằng: 3

10 cm

87
2

.

.

Câu 48: Trong chương trình nông thôn mới, tại
một xã X có xây một cây cầu bằng bê
tông như hình vẽ. Tính thể tích khối bê
tông để đổ đủ cây cầu. (Đường cong
trong hình vẽ là các đường Parabol).
3
A. 21m .
3
C. 40 m .

3

B. 18 m .
3
D. 19 m .
Lời giải

Chọn.C.

Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ.
19 �
�
A � ;0 �
, B  0; 2 
P1  : y  ax  c

2
�
�
Gọi
là Parabol đi qua hai điểm
.
8
19
�
�
a
0  a.( ) 2  2
�
�
��
361
2
�
8 2
�  P1  : y  
x 2

�
�
2b
b2
�
�
361
Ta có hệ phương trình sau:
.
2

� 5�
D�
 P  : y  ax  c là Parabol đi qua hai điểm C  10;0  , �0; 2 �
�.
Gọi 2
1
5
�
�
a
0  a.(10)2 
�
�
�
40
2��
�
�
5

1
5
�5  b
�
b
�  P2  : y   x 2 
� 2
40
2.
Ta có hệ phương trình sau: �2
2

Nhóm WORD HÓA KHOÁ HỌC TRỰC TUYẾN TOÁN 12
Trang 25