- Trang chủ >>
- THPT Quốc Gia >>
- Toán
Tap san toan 12 so 2 LTT
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (14.86 MB, 68 trang )
Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO QUẢNG NAM
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG
--------------------------------------------------------------------
CHUẨN BỊ THI THPT QUỐC GIA
TẬP II
NĂM HỌC : 2017- 2018
( LƯU HÀNH NỘI BỘ)
Bí quyết của thành công là hãy bắt đầu. Bí quyết để bắt đầu là chia nhỏ các công
việc nặng nề, phức tạp thành những việc nhỏ dễ quản lý hơn, rồi bắt đầu với việc thứ
nhất.
The secret of getting ahead is getting started. The secret of getting started is breaking
your complex overwhelming tasks into small manageable tasks, and then starting on
the first one.
Mark Twain
Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông
2
LỜI NGỎ
Các em học sinh thân mến!
Tiếp theo tập san ở học kỳ 1, các thầy cô trong Tổ Toán nhà trường tiếp tục chuyển
đến các em một số chuyên đề nhằm giúp các em ôn tập tôt cho kỳ thi sắp đến.
Trong các bài viết này dựa theo tư tưởng của đề minh họa 2018 của Bộ vừa phát hành.
Để đạt được điểm cao, các em phải giải được các bài toán khó nên các bài viết chỉ khai
thác các câu ở mức độ vận dụng thấp và vận dụng cao. Các bài viết đều có hướng dẫn tìm
lời giải và phân tích các hướng hiểu sai dễ chọn phương án nhiễu.
Hy vọng tập san này có ích cho các em!
Chúc các em đạt kết quả tốt trong kỳ thi THPT QG sắp đến.
Ban biên tập.
Đường đi khó - không khó vì ngăn sông cách núi mà khó vì lòng người ngại núi e sông.
Nguyễn Bá Học
Không biết đã bao nhiêu lần con người buông tay từ bỏ khi mà chỉ một chút nỗ lực, một
chút kiên trì nữa thôi là anh ta sẽ đạt được thành công.
How many a man has thrown up his hands at a time when a little more effort, a little more
patience would have achieved success.
Elbert Hubbard
Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông
3
CHUYÊN ĐỀ 1:
TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT
Trong đề minh họa thi THPT năm 2018 của bộ GDĐT có câu 49 về tổ hợp xác suất như
sau : Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 5 học sinh
lớp 12C thành một hàng ngang. Xác suất để trong 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng
lớp đứng cạnh nhau bằng
A.
11
630
B.
1
.
126
C.
1
.
105
D.
1
.
42
Đây là bài toán không khó lắm, nhưng mỗi phương án đều có hướng giải đến kết quả
đó, dĩ nhiên chỉ có một phương án đúng. Các phương án nhiễu quá hay nên bài toán trở nên
khó ! Trong cấu trúc đề thi năm nay có chương trình lớp 11, trong đó toán về xác suất tổ hợp
luôn là vấn đề khó. Nhằm giúp học sinh hướng đến điểm cao chúng tôi tổng hợp một số bài
tập khó có hướng dẫn lời giải giúp các em tự ôn tập tốt.
Câu 1. Một khối lập phương độ dài cạnh 2cm được sơn trắng 6 mặt, người ta chia đều khối đó
thành 8 khối lập phương nhỏ cạnh 1 cm, sau đó sắp xếp lại thành khối lập phương cạnh 2cm.
Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp để khối lập phương mới có bề ngoài được sơn trắng ?
A. 8!
B. 38
C. 3.8!
D. 38.8!
Hướng dẫn tìm lời giải: ta thấy có 8 khối lập phương nhỏ, mỗi khối có 3 mặt được sơn.
Để lắp lại thành khối lập thỏa mãn yêu cầu bài toán ta tiến hành 2 bước:
- Chọn vị trí cho 8 khối, nên có 8! cách.
- Ứng với mỗi vị trí, mỗi khối nhỏ có 3 cách xoay mặt sơn trắng ra ngoài. Do đó có 38 cách
sắp xếp 8 khối nhỏ
Vậy có 38.8! cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu . Chọn đáp án D.
Nếu hiểu không chính xác dễ dẫn đến chọn những phương án A,B,C.
Câu 2. Có bao nhiêu hình thang có đỉnh là đỉnh của đa giác đều 12 cạnh?
A. 135.
B. 150.
C. 75.
D. 285.
Hướng dẫn tìm lời giải: Hình thang là tứ giác có 2 cạnh đối song song, nên ta đi tìm số các
cặp cạnh hoặc đường chéo song song. Có 2 loại:
-Loại 1: Hình thang có trục đối xứng qua trung điểm 2 cạnh đối của đa giác. Có 4 đường chéo
cùng song song với 2 cạnh đa giác, suy ra có C62 hình thang, mà có 6 trục đối xứng loại này
nên có 6C62 hình thang, trong đó có C62 hình chữ nhật được kể 2 lần nên có 6C62 C62 75 hình
thang loại này.
- Loại 2: Hình thang có trục đối xứng là đường chéo qua tâm,ứng với mỗi trục có 5 đường
chéo song song nên có tất cả 6C52 hình thang loại này.
Do vậy có tất cả 6C62 C62 6C52 135 hình thang.
Nhận xét: nếu không trừ các hình chữ nhật kể 2 lần thì sẽ chọn phương án B, nếu không thấy
được loại 2 thì sẽ chọn phương án C, nếu kể 12 đường chéo sẽ dẫn đến phương án D. Bài này
dễ sai nên khó!
*
Câu 3. Cho đa giác đều A1 A2 ... A2 n ,2 n nội tiếp đường tròn tâm (O). Biết số tam giác
có các đỉnh là 3 trong số 2n điểm A1 , A2 ,..., A2 n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh
là 4 trong số 2n điểm đã cho. Tìm n.
A. n = 6.
B. n = 8.
C. n = 5.
D. n = 9.
Hướng dẫn tìm lời giải:
Ba điểm bất kỳ trong số 2n điểm đã cho luôn không thẳng hàng, do đó số tam giác nhận được
3
là C2n
.
Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông
4
Có n cặp điểm đối xứng qua O, tức là có n đường kính của (O). Dễ thấy cứ hai đường kính của
(O) sẽ tạo nên một hình chữ nhật. Do đó số hình chữ nhật có được là Cn2 .
Theo đề ta có phương trình C23n 20Cn2
Giải phương trình này ta được n = 8.
3
2
Nhận xét: Vấn đề quan trọng của bài toán là lập luận để dẫn đến phương trình C2 n 20Cn .
Đến đây ta có thể sử dụng máy tính để kiểm tra lần lượt các phương án để chọn được đáp án
đúng n = 8.
Câu 4. Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 10n có tổng các chữ số bằng 3?
A. n3 2n 2 2n.
B.
n3 3n2 2n
.
6
C.
n 3 5n
.
6
D. n 3 3n 2 2n .
Hướng dẫn tìm lời giải: Tổng các chữ số bằng 3 có các trường hợp sau: - Chi có số 3, tổng
1+2 =3 và 1 + 1 +1 = 3. Bây giờ ta sắp dãy n chữ số 0.
.- Chọn 1 vị trí để thay số 0 bởi số 3, có Cn1 cách.
- Chọn 2 vị trí để thay hai số 0 bởi hai số 1 và 2 sau đó hoán vị cho nhau, có 2Cn2 cách.
- Chọn 3 vị trí để thay ba số 0 bởi ba số 1 có Cn3 cách
Từ đó sẽ tìm được số các số nhỏ hơn 10n có tổng các chữ số bằng 3 là
n3 3n2 2n
.
6
Nhận xét: nếu thiếu cẩn thận quên quy đồng mẫu số sẽ dẫn đến phương án A, nếu quên hoán
vị hai vị trí 1 và 2 sẽ dẫn đến phương án C, thu gọn biểu thức quên ghi mẫu số sẽ đến phương
án D.
Câu 5. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 9 chữ số khác nhau trong đó có đúng 4 chữ số lẻ và chữ
số 0 đứng giữa hai chữ số lẻ?
A. 302400.
B. 241560.
C. 297160.
D. 311420.
Hướng dẫn tìm lời giải:
Vì chữ số 0 không thể đứng đầu và cuối nên có 7 cách sắp xếp vị trí cho chữ số 0.
Ta có A52 cách chọn và sắp xếp hai chữ số lẻ đứng liền trước và liền sau chữ số 0.
2
Cuối cùng ta có C3 cách chọn hai số lẻ còn lại và 6! cách sắp xếp 6 số (2 lẻ 4 chẵn) vào 6 vị
trí còn lại.
Vậy có 7.A 52 C32 .6! 302400 số.
Câu 6. Có bao nhiêu số tự nhiên có5 chữ số chia hết cho 7 và có chữ số hàng đơn vị bằng 1.
A. 1286.
B. 1015.
C. 946.
D. 1124.
Hướng dẫn tìm lời giải:
Giả sử số cần tìm là a1a2 a3a41 a1 0 .
Ta có a1a2 a3a41 10.a1a2 a3a4 1 7.a1a2 a3a4 3.a1a2 a3a4 1 nên để a1a2 a3a41 a1 0 chia
hết cho 7 thì phải có 3.a1a2 a3 a4 1 chia hết cho 7. Khi đó tồn tại số nguyên dương n sao cho
Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông
5
3.a1a2 a3a4 1 7 n , suy ra a1a2 a3a4
7n 1
n 1
2n
.
3
3
Do đó ta phải có (n-1) chia hết cho 3 hay tồn tại t nguyên dương sao cho
n 1 3t n 3t 1 , suy ra a1a2 a3a4 7t 2 .
Vì 1000 a1a2 a3a4 9999 1000 7t 2 9999
998
9997
t
nên
7
7
t 143;144;...;1428 , có 1286 giá trị t như vậy.
Dễ thấy ứng với mỗi giá trị của t là duy nhất một số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy có tất cả 1286 số cần tìm.
Câu 7. (Thi thử THPT trường chuyên Lê Thánh Tông 2018lần 1). Một dãy các hộp gồm 2018
hộp chứa bi đỏ và bi trắng. Biết mỗi hộp chứa đúng 1 bi đỏ và hộp thứ k thì chứa đúng k bi
trắng ( 1 k 2018 ). Lan lần lượt bốc ra từ mỗi hộp 1 bi và bắt đầu từ hộp thứ nhất. Lan sẽ
dừng lại ngay sau khi bốc được bi đỏ. Gọi P(n) là xác suất để Lan dừng lại ở lần bốc thứ n.
Tìm giá trị nhỏ nhất của n để P(n)
1
.
2018
A. 44
B. 30
C. 60
D. 45
Phân tích tìm lời giải: Theo đề thì hộp thứ nhất có 2 bi, hộp thứ k có k + 1 bi. Gọi P Ak là
xác suất bốc được bi đỏ ở hộp thứ k, khi đó xác suất không bốc được bi đỏ ở hộp thứ k là
1
k
, nên P Ak 1 P Ak
.
k 1
k 1
Như vậy xác suất bốc được bi đỏ ở hộp thứ n là P n P A1 .P A2 ....P An1 .P An
P Ak . Ta có P Ak
1 2
2 3
Ta có P n . .....
n 1 1
1
1
1
.
n n 1 2018
. Từ đề ta có
n n 1 n n 1
n n 1 2018
n 45, 4
. Do đó giá trị nhỏ nhất của n là 45. Chọn đáp án D.
n 44, 4
Câu 8. Từ các chữ số của tập M={ 0,1,3,5,7;9} người ta lần lượt ghi ngẫu nhiên 2 số tự nhiên
có 3 chữ số khác nhau. Tính xác suất để trong hai số đó có ít nhất một số là bội của 5.
A. P 0, 36.
B. P
36
.
55
C. P
326
.
605
D. P
163
.
550
Phân tích tìm lời giải. Số các số có 3 chữ khác nhau được lập từ M là 5. A52 100 . Do lần lượt
1
1
.C99
9900 .
ghi nên số phần tử không gian mẫu là: n C100
Gọi A là biến cố thỏa mãn đề bài. Ta phải tìm số các số có 3 chữ khác nhau lập từ M là
bội của 5. Số các số có chữ số 0 tận cùng là A52 , số các số có chữ số 5 tận cùng là 4 A41 , nên số
các số bội của 5 là A52 4 A41 36 . Từ đó sẽ tìm được số các số có 3 chữ số lập từ M không chia
1
1
1
C36
.C35
3564
hết cho 5. Dễ tìm được số phần tử của biến cố A là n A C361 .C64
Việc còn lại tìm xác suất biến cố A, đáp án đúng là P A 0,36 .
2
Chú ý: học sinh dễ nhầm khi tính không gian mẫu là C100
sẽ dẫn đến sai là chọn phương án B.
2
Tính sai khi chọn 2 số là bội của 5 là C36 sẽ dẫn đến phương án C, D.
Câu 9. Cho thập giác lồi có 10 cạnh được tô màu, chọn ngẫu nhiên tam giác có 3 đỉnh là các
đỉnh của thập giác. Tính xác suất để chọn được tam giác có 3 cạnh không tô màu.
Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông
6
A. P
1
2
B. P
5
12
C. P
7
12
D. P
5
12
Hướng dẫn tìm lời giải: Gọi đa giác là A1A2…A10 .
n C103 120 .
Số phần tử không gian mẫu
Số tam giác có 2 cạnh tô màu là 2 cạnh liên tiếp của đa giác nên có 10 tam giác. Tam giác có 1
cạnh tô màu giả sử cạnh A1A2 đỉnh còn lại được chọn từ 6 đỉnh {A4,; A5; ….: A9} nên số tam
giác có 1 cạnh tô màu là 10x6 = 60. Từ đó tìm được số tam giác có 3 cạnh không tô màu là 50.
Dễ dàng suy ra xác suất cần tìm là P
5
, chọn phương án B
12
Câu 10. Có 6 học sinh lớp 10, 5 học sinh lớp 11 và 4 học sinh lớp 12. Chọn ngẫu nhiên 8 học
sinh, tính xác suất để trong 8 học sinh đó số học sinh lớp 10 bằng số học sinh lớp 11.
A. P
1
2
B. P
5
12
C. P
95
429
D. P
5
12
Hướng dẫn tìm lời giải:
Số phần tử không gian mẫu là sô cách chọn 8 hs từ 15 hs: n C158 6435
Đây là bài toán phải phân các trường hợp. Do số học sinh lớp 12 là 4 nên số học sinh của 2 lớp
10 và 11 không thể bằng 1 được.
- Nếu có 2 học sinh 10 và 2 học sinh 11 và 4 học sinh 12 số cách chọn là C62 .C52 .C44 .
- Nếu có 3 học sinh 10 và 3 học sinh 11 và 2 học sinh 12 số cách chọn là C63 .C53 .C42 .
- Nếu có 4 học sinh 10 và 4 học sinh 11 và 0 học sinh 12 số cách chọn là C64 .C54 .
Nên số phần tử của biến cố có số học sinh của hai khối 10 và 11 bằng nhau là
C62 .C52 .C44 + C63 .C53 .C42 + C64 .C54 . =1425. Từ đó dễ dàng tính được xác suất cần tìm P
95
.
429
Câu 11. “Đổ tam hường” là trò chơi dân gian thưởng có trong ngày Tết xưa. Gieo đồng thời
3 con xúc sắc, người thắng cuộc nếu có xuất hiện ít nhất 2 mặt lục (6 chấm). Tính xác suất để
trong 4 ván chơi thắng ít nhất 3 ván.
A. P
8
.
19683
B. P
272
.
177147
C.
P
800
.
531441
D. P
880
.
531441
Hướng dẫn tìm lời giải. Gọi Ai là biến cố lần thứ i thắng. Tung 1 con xúc sắc xác suất xuất
hiện mặt lục là
1
5
, xác suất không xuất hiện mặt lục là .
6
6
Lần thứ i thắng khi cả 3 con xuất hiện mặt lục, hoặc có đúng 2 con xuất hiện mặt lục, theo
3
2
1
1
5
2
quy tắc cọng ta có lần thứ i thắng với xác suất là P Ai C32 .
6
6 6 27
25
Như vậy lần thứ i thua là P Ai 1 P Ai
27
Để chơi 4 ván thắng ít nhất 3 ván là: cả 4 ván đều thắng hoặc có 3 ván thắng 1 ván thua, do
2
4
3
2 25
272
đó xác suất là: P C43
chọn phương án B.
27
27 27 177147
Lời bàn: Nếu tính xác suất có đúng 2 mặt lục mà không nhân với C32 sẽ dẫn đến phương án
C,D nếu 3 ván thắng 1 ván thua mà không nhân với C43 thì sẽ dẫn đến phương án A. Nên đây
là bài toán khó!
Câu 12. Một đề thi trắc nghiệm có 50 câu, mỗi câu có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có 1
phương án đúng. Trả lời đúng 1 câu được 0,2 điểm. Một học sinh kém làm bài bằng các chọn
mỗi câu 1 phương án một cách tùy hứng. Tính xác suất để học sinh đó được 5 điểm.
A. P 6, 6839.1019
B. P 0,1122
C. P 0, 0188
D. P 8, 449.105
Hướng dẫn tìm lời giải. Để được 5 điểm thì học sinh đó chọn đúng được đúng 25 câu.
Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông
7
Xác suất để trả lời đúng 1 câu là
25
1 3
PC
4 4
1
3
và sai là . Nên xác suất để được 5 điểm là
4
4
25
25
50
8, 449.10 5 , chọn phương án D.
Chú ý: khi giải bài này thường học sinh quên nhân với C5025 nên dẫn đến phương án A, quên
25
3
nhân với sẽ dẫn đến phương án C, hoặc nhân với 25 sẽ dẫn đến phương án C. Ta thấy
4
một học sinh kém để đạt 5 điểm thì xác suất quá bé phải không! Nên lo học đừng cầu may
nhé!
Câu 13. Đề thi có 50 câu trắc nghiệm, mỗi câu có 4 phương án, trả lời đúng mỗi câu được 0,2
điểm. Một thí sinh đã làm được 40 câu trong đó đúng 32 câu. Ở 10 câu còn lại anh ta chọn
ngẫu nhiên 1 trong 4 phương án. Xác suất P để thí sinh đó đạt 8 điểm trở lên.
A. P
109
.
262144
B. P
215
.
262144
B. P
97
.
262144
D. P
137
262144
Hướng dẫn tìm lời giải Thí sinh đó làm đúng 32 câu như vậy được 32.0,2 = 6,4 điểm.
Thí sinh này muốn đạt trên 8 điểm thì phải chọn đúng 8−6,40,2=8 câu trở lên trong tổng số 10
câu còn lại. Nghĩa là thí sinh này chỉ được sai 0, 1 hoặc 2 câu.
Do đó yêu cầu bài toán trở thành tính xác suất để học sinh trả lời sai không quá 2 câu trong số
10 câu còn lại.
Mỗi câu có 4 phương án nên tổng số cách chọn là n(Ω)=410.
Mỗi câu có 3 phương án sai nên có 3 cách chọn sai mỗi câu.
0
0
- Chọn sai 0 câu có số cách: C10 .3 .
- Chọn sai 1 câu có số cách: C101 .31
- Chọn sai 2 câu có số cách: C102 .32
C100 .30 C101 .31 C102 .32
109
Vậy xác suất cần tính là P
. Chọn A.
10
4
262144
Câu 14. Một đa giác đều có 2n cạnh nội tiếp đường tròn tâm O. Chọn ngẫu nhiên một đường
chéo, tìm giá trị nhỏ nhất của n để xác suất chọn được đường chéo không qua tâm O lớn hơn
hoặc bằng
6
7.
A. 4.
B. 5.
C. 6.
D. 7.
Hướng dẫn tìm lời giải: Ta tìm xác suất chọn được đường chéo qua tâm O. Số đường chéo
của đa giác là C22n 2n , có n đường chéo qua tâm O, Nên xác suất để chọn được đường chéo
n
. Do đó xác suất chọn đường chéo không qua tâm O là
C 2n
1
6
n
1
. Đi giải bất phương trình 1
, tìm giá trị nhỏ nhất của n = 5.
1 2
1
2n 3 7
C2 n 2 n
2n 3
qua tâm là
2
2n
Chọn phương án B.
Câu 15. Có 2 hộp, mỗi hộp chứa một số bi trắng và bi đen. Tổng số bi ở cả hai hộp là 25 và có
một hộp chứa ít hơn 10 bi. Chọn ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 viên bi. Biết rằng xác suất chọn
được hai bi trắng là 0,54. Tính xác suất P của biến cố: ” chọn được hai bi đen”.
A. P = 0,04. B. P = 0,08. C. P = 0,02 D. P = 0,06.
Hướng dẫn tìm lời giải Giả sử hộp 1 có n1 bi, trong đó có k1 bi trắng
n1 , k1 * ;1 k1 n1 10 ;
hộp 2 có n2 bi, trong đó có k2 bi trắng
n ,k
2
2
* ;1 k2 n2 25 .
Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông
8
n1 n2 25 1
Theo đề ta có k1 k2
. 2 50k1k 2 27 n1n2 , suy ra n1n2 5 (3)
54
.
2
n n 100
1 2
Từ (1) ta suy ra n1 n2 5 ; từ (3) ta có n1 5 và n2 5 . Kết hợp điều kiện n1 10 ta được n1 = 5
và n2 = 20.
Từ (2) ta nhận được k1.k2 54 . Kết hợp điều kiện 1 k1 n1 5 và 1 k 2 n2 20 ta nhận
được k1 3 và k 2 18 .
3 2
0,04 . Chọn A.
5 20
Khi đó xác suất để dược hai bi đen là P .
Nhận xét: Vai trò các hộp đựng bi là như nhau, nhiều bạn đổi vai trò của hai hộp nên đẫn đến
kết quả sai là 0,08.
Câu 16. Một bà mẹ mong muốn sinh bằng được con gái (sinh được con gái thì không sinh
nữa, chưa sinh được con gái thì sẽ sinh nữa). Xác suất sinh được con gái trong mỗi lần sinh là
0,486. Tìm xác suất P để người mẹ đạt được mong muốn sau nhiều nhất hai lần sinh con (làm
tròn đến 3 chữ số thập phân).
A. P 0,735 .
B. P 0,736 .
C. P 0,249 .
D. P 0,250 .
Hướng dẫn tìm lời giải Gọi Ai là biến cố lần sinh thứ i người mẹ sinh được con gái và Ai là
biến cố lần sinh thứ i người mẹ sinh được con trai (i=1;2).
Ta có P(Ai)= 0,486 và P Ai 1 P Ai 0,514 .
Gọi A là biến cố người mẹ đạt được mong muốn sau nhiều nhất hai lần sinh con.
Từ đó suy ra P P ( A) P ( A ) P A .P A 0, 736. Chọn B.
Khi đó A A1 A1. A2 , A1 và A1. A2 xung khắc, A1 và A2 độc lập nhau.
1
1
2
Nhận xét: Học sinh cũng cần lưu ý đến quy tắc làm tròn số. Đây cũng là một vấn đề thường
gặp trong các bài toán thực tế.
Câu 17. Có 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Chọn ngẫu nhiên 8 tấm. Tính xác suất P để
chọn được 5 tấm mang số lẻ, 3 tấm mang số chẵn trong đó ít nhất 2 tấm thẻ mang số chia hết
cho 4.
A. P
1008
4199
B. P
3695
4199
C. P
504
4199
D. P
3191
4199
Hướng dẫn tìm lời giải Chọn ra 8 tấm thẻ 1 cách ngẫu nhiên có C208 cách.
Trong 20 tấm thẻ có 10 tấm mang số lẻ, có 5 tấm mang số chẵn không chia hết cho 4 và 5 tấm
thẻ mang số chẵn chia hết cho 4.
TH1: Lấy được 5 tấm mang số lẻ, 2 tấm mang số chẵn chia hết cho 4 và tấm mang 1 số chẵn
không chi hết cho 4 có: C105 .C52 .C51 .
TH2: Lấy được 5 tấm mang số lẻ, 3 tấm mang số chẵn chia hết cho 4 có C105 .C53 cách.
Vậy xác suất cần tìm là P
C105 .C53 C105 .C52 .C51 504
. Chọn C.
8
C20
4199
Câu 18. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau thành lập từ các chữ số
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Chọn ngẫu nhiên một số từ S. Tính xác suất P để được một số nhỏ hơn 4321
và hai chữ số 1 và 3 luôn đứng cạnh nhau.
A. P
17
.
90
B.
P
13
.
90
C. P
23
11
. D. P
.
90
90
Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông
9
Hướng dẫn tìm lời giải Đầu tiên ta đếm số phần tử của tập S, đây cũng chính là số phần tử của
không gian mẫu. Chú ý rằng tập nền có chứa chứ số 0 và chữ số cuối cùng của phần tử thuộc
S phải là chữ số chẵn (có thể bằng 0). Do đó ta xét hai trường hợp theo chữ số cuối cùng (
bằng O hoặc khác O). Dễ thấy số phần tử của S là A63 3.4. A52 360 .
Tiếp theo ta đếm các số tự nhiên chẵn thuộc S gồm 4 số khác nhau, nhỏ hơn 4321 và hai
chữ số 1 và 3 luôn đứng cạnh nhau. Giả sử các số này có dạng abcd .
+Trường hợp 1: a và b là các chữ số 1 và 3. Ta có 2! cách chọn a và b.
Khi đó d có 4 cách chọn d 0;2;4;6 và c có 4 cách chọn c 0;2;4;5;6 \ d .
Trong trường hợp này có 2!.4.4 = 32 số.
+Trường hợp 2: b và c là các chữ số 1 và 3. Ta có 2! Cách chọn b và c.
Nếu d = 0 thì có 2 cách chọn a a 2;4 .
Nếu d= 2 thì a = 4.
Nếu d= 4 thì a = 2.
Nếu d = 6 thì a = 2 hoặc a = 4.
Trường hợp này có 2!.(2+1+1+2) = 12 số.
Do đó số các số cần tìm là 32 + 12 = 44 số.
Chú ý rằng đây cũng chính là số kết quả có lợi cho biến cố mà bài toán yêu cầu.
Vậy xác suất cần tìm là P
44 11
. Chọn D.
360 90
Nhận xét: Học sinh cần chú ý hai điều kiện quan trọng của bài toán là chẵn, nhỏ hơn 4321,
hai chữ số 1 và 3 đứng kề nhau. Việc xét từng trường hợp cho các chữ số 1 và 3 cũng như các
giá trị của d có thể làm cho lời giải dài dòng nhưng khá rõ ràng. Khi chứ số cuối cùng có thể
bằng 0 thì nên chia thành hai trường hợp như lời giải trên hoặc dùng quy tắc phần bù (đếm
trường hợp chữ số đầu tiên có thể bằng 0 và trường hợp chứ số đầu tiên bằng 0).
A. P
7605
25088
B. P
7056
.
25088
C. P
6075
.
25088
D. P
5670
.
25088
Câu 19. Một hộp đựng 5 bi xanh 3 bi đỏ. Lấy liên tiếp 3 bi từ hộp theo quy tắc: nếu lấy được
bi đỏ thì trả lại vào hộp còn lấy được bi xanh thì không. Tính xác suất để trong ba lần lấy có
đúng 1 lần lấy đươc 1 bi xanh.
A. P
7605
25088
B. P
7056
.
25088
C. P
6075
.
25088
D. P
5670
.
25088
Hướng dẫn tìm lời giải Ta xét 3 trường hợp có đúng một lần được bi xanh.
TH1: Xanh - đỏ - đỏ.
Bước 1: xác suất lấy 1 xanh từ hộp ban đầu là
5
.
8
Bước 2: Sau khi lấy đi bi xanh thì hộp còn 4 xanh 3 đỏ, xác suất chọn 1 bi đỏ là
3
.
7
Bước 3: Ở bước 2 lấy ra bi đỏ sẽ bỏ trỏ lại nên số bi trong hộp vẫn là 4 xanh 3 đỏ nên xác suất
lấy được 1 bi đỏ lần này là
3
.
7
Vậy xác suất của trường hợp 1 theo qui tắc nhân là
5 3 3 45
. .
.
8 7 7 392
Thường hợp 2: Đỏ - xanh - đỏ.
Tương tự như trên ta có xác suất trong trường hợp này là
3 5 3 45
.
. .
8 8 7 448
Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông
10
Trường hợp 3: Đỏ - đỏ - xanh, xác suất trong trường hợp này là
3 3 5 45
.
. .
8 8 8 512
Vậy xác suất cần tìm là P
45
45
45
7605
. Chọn A.
392 448 512 25088
Câu 20. Bạn Hoa có 12 quyển sách trong đó có 3 quyển sách Toán . Hoa xếp sách lên một
chiếc kệ có 3 ngăn, một ngăn xếp 3 quyển sách, một ngăn xếp 4 quyển sách, một ngăn xếp 5
quyển sách. Nếu Hoa xếp sách một cách ngẫu nhiên, xác suất P để 3 quyển sách Toán được
xếp vào cùng một ngăn là bao nhiêu?
A. P
3
.
44
B. P
5
.
44
C. P
9
.
11
D. P
3
.
250
Hướng dẫn tìm lời giải Số cách sắp xếp 12 cuốn sách tùy ý là 12!.
Gọi các ngăn chứa 3 cuốn, 4 cuốn, 5 cuốn lần lượt là các ngăn A, B, C.
Trường hợp 1: 3 cuốn sách Toán nằm ở ngăn A.
Khi đó có 3! Cách sắp xếp 3 sách Toán vào ngăn A và 9! Cách sắp xếp 9 quyển sách còn lại
vào hai ngăn còn lại. Suy ra trường hợp này có m1 3!.9! cách.
Trường hợp 2: 3 sách Toán ở ngăn B. Chọn thêm 1 cuốn sách khác từ 9 cuốn sách còn lại để
xếp vào ngăn B, có 9 cách. Khi đó ở ngăn B có 4! cách sắp xếp. Tám cuốn sách còn lại được
xếp vào hai ngăn còn lại, có 8! cách. Như vậy trong trường hợp này có m2 9.4!.8! cách.
Trường hợp 3: 3 cuốn sách Toán cùng ở ngăn C. Tương tự trường hợp 2, số cách sắp xếp
2
trong trường hợp này là m3 C9 .5!.7! cách.
Vậy xác suất cần tính là P
m1 m2 m3 3
.
12!
44
Sau đây là một số bài tập dành cho các em rèn luyện thêm.
Câu 21. Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó có chứa các chữ số
3, 4, 5 và chữ số 4 đứng giữa chữ số 3 và chữ số 5.
A. 1470. B. 750.
C. 2940.
D. 1500.
Câu 22. Có 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Chọn ngẫu nhiên 8 tấm. Tính xác suất P để
chọn được 5 tấm mang số lẻ, 3 tấm mang số chẵn trong đó ít nhất 2 tấm thẻ mang số chia hết
cho 4.
A.
1008
4199
B.
3695
4199
C.
504
4199
D.
3191
4199
Câu 23. Từ các chữ số 0,1, 2,3, 4,5, 6 viết ngẫu nhiên một số tự nhiên gồm 6 chữ số khác
nhau có dạng a1a2 a3a4 a5 a6 . Tính xác suất P để viết được số thỏa mãn điều kiện
a1 a2 a3 a4 a5 a6 .
A. P
4
.
85
B. P
4
.
135
C. P
3
.
20
Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông
D. P
5
.
158
11
Câu 24. Một thí sinh tham gia kì thi THPT Quốc gia. Trong bài thi môn Toán bạn đó làm
được chắc chắn đúng 40 câu. Trong 10 câu còn lại chỉ có 3 câu bạn loại trừ được mỗi câu một
đáp án chắc chắn sai. Do không còn đủ thời gian nên bạn bắt buộc phải khoanh bừa các câu
còn lại. Hỏi xác suất bạn đó được 9 điểm là bao nhiêu?
A. 0.079 .
B. 0.179 .
C. 0.097 .
D. 0.068 .
Câu 25. Học sinh A thiết kế bảng điều khiển điện tử mở cửa phòng học của lớp mình. Bảng
gồm 10 nút, mỗi nút được ghi một số từ 0 đến 9 và không có hai nút nào được ghi cùng một
số. Để mở cửa cần nhấn 3 nút liên tiếp khác nhau sao cho 3 số trên 3 nút theo thứ tự đã nhấn
tạo thành một dãy số tăng và có tổng bằng 10. Học sinh B chỉ nhớ được chi tiết 3 nút tạo thành
dãy số tăng. Tính xác suất để B mở được cửa phòng học đó biết rằng để nếu bấn sai 3 lần liên
tiếp của sẽ tự động khóa lại.
A.
631
3375
B.
189
1003
C.
1
5
D.
1
15
Đáp án: 21D, 22C, 23 B, 24B, 25A.
Kết luận: Một số vấn đề quan trọng khác của chuyên để Tổ hợp – Xác suất chưa được đề cập
đến trong bài viết này như Nhị thức newton… Bài viết chỉ mong muốn đưa ra một số bài tập
và các lưu ý cần thiết cho các em học sinh khi ôn tập về chuyên đề này. Chúc các em đạt kết
quả cao trong kỳ thi sắp đến!
CHUYÊN ĐỀ II: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Trong hình thức thi trắc nghiệm môn Toán – học sinh phải nắm vững các kiến thức, khái
niệm định lí,… sử dụng thành thạo máy tính Casio, biết cách vận dụng linh hoạt các kiến thức
đã học để xử lý các bài toán ở cấp độ vận dụng – vận dụng cao.
Bài toán tính tích phân – thực chất là bài toán xác định nguyên hàm – Ngoài việc sử dụng
định nghĩa để tính các tích phân đơn giản – ta còn có những phương pháp khác để tính tích
phân : phương pháp biến đổi , phương pháp đổi biến , phương pháp tích phân từng phần,
phương pháp hình học … phương pháp loại suy, phương pháp thử sai.
Để hạn chế việc học sinh sử dụng máy tính để tìm đến kết quả - người ta với những cách
thức ra đề khác nhau đã tạo ra nhiều các bài tập đòi hỏi học sinh phải tư duy – phải giải .
Các em cần giải nhiều để quen – để biết xử lí tốt hơn các bài toán không quen thuộc – để tự
tin hơn và có thể đạt kết quả tốt nhất.
Chúng tôi giới thiệu với các em các nhóm bài tập trong lớp các bài toán tích phân để các
em tìm hiểu. Các em giải, tìm hiểu trước và sau đó đối chiếu với hướng dẫn giải ngay bên
dưới từng nhóm bài.
I/ CÁC CÂU TRẮC NGHIỆM
1/ Phương pháp biến đổi. Dựa vào định nghĩa tích phân, các tính chất tích phân…
2
Câu 1: Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên [1,2] và f(1) =1 , f(2) =2. Tính I=
f '( x)dx.
1
A. I=1
B. I=1
C. I=3
D. I=
7
2
Câu 2: Cho hàm y=f(x) liên tục trên R và thỏa mãn
Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông
12
f x 0, x
x
2
f ’ x e . f x , x .
f 0 1 .
2
Tính f(ln2)
3
1
2
A.
B.
C.
2
3
3
D. 2
1
Câu 3: Cho hàm f(x) với f(0) =f(1) =1. Biết I e x .[f ( x) f '( x)]dx ae b.
0
Tính Q= a
A. Q= 0
2017
+b
2017
B. Q=2
C. Q= 1
D. Q =2
b
Câu 4: Biết tan 2 xdx a b . Xác định hệ thức liên hệ giữa a và b.
a
A. b= a+ k
( kZ)
B. b= a + k2 ( kZ)
C. b= a+ k ( kZ)
D. b= a + k ( kZ)
2
7
Câu 5: Biết
sin
xdx a và
0
A. a b
12
12
2
2
cos xdx b . Tính I =
B.
7
7
cos 2 xdx theo a và b.
0
7
C.
a b
7
D.
ab
12
a b
2017
Câu 6: Xác định số các giá trị x biết
A. 0
B. 1
1
Câu 7: Biết
si n x
.dy 1 .
x
2016
x
2
0
C. 2
D. vô số.
1
dx a ln 2 b ln 3 với a, b là các số nguyên. Khẳng định nào sau đây
3x 2
đúng?
A. a b 2 .
B. a 2b 0 .
C. a b 2 .
(2 x 1)e 2 x
e 1
Câu 8: Biết
. Tính giá trị của số thực a.
dx
1
ln
ex 1
2
0
a
A. a=
3
2
D. a 2b 0 .
x
B. a
1
2
C. a=1
D. a=1
1
Câu 9: Biết
1
e2 3
dx
a
b
ln(
) . Tính giá trị biểu thức P =2a+b
0 e2 x 3
4
A. P= ½
B. P= ¼
C. P = 2/3
2/ Phương pháp đổi biến .
e
ln x eln x
Câu 10: Biết
dx e a b . Tính giá trị P= a+2b.
x
1
A.1
B. 2
C.
3
2
D. P= 1/3
D.
5
2
1
m
3 x ln 3
Câu 11: Biết 2 dx 6 0 . Tính m.
x
1
Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông
13
A. m=
3
2
B. m=
1
2
Câu 12: Biết
1 x 2 dx
0
A. P=10
B. P= 20
a
1
2
1
2
D. m= 2
3
với a,b Z. Tính P=a+b.
b
C. P= 12
4
Câu 13: Biết
C. m=
D. 16
2
f ( x)dx 16 . Tính
0
A. I= 16
I f (2 x)dx
0
B. I=32
C. I= 8
D. I=4
8
Câu 14: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm trên đoạn [-8; 8] , f (8) 3 và
5
f '( x) f '( x) dx 2 .
0
Tính f (8) .
A. f (8)
11
.
2
7
4
1
2
B. f (8) .
C. f (8) .
2
2
D. f (8)
11
.
2
Câu 15: Biết I cosx f (sin x)dx 8. Tính K sin x f (cosx)dx
0
0
A. K=8
B. K=8
C. K= 4
D. K=16
1
2
Câu 16: f(x) liên tục trên R và thỏa mãn f(x) +f(x) = 3x , xR. Tính
f ( x) dx .
1
A. 1
B. 1
C. 0
D. 2
Câu 17: Cho hàm f(x) liên tục trên R và thỏa mãn f(x)+f(x) =
2 2 cos 2x x R.
3
2
Tính I
f ( x)dx
3
2
A. I=3
B. I= -2
C. I=0
D. I=6
Câu 18: Biết y= f(x+ ) là hàm chẵn trên [ , ] và f(x )+ f(x+ ) = sinx+cosx.
2
2 2
2
2
Tính I f ( x)dx
0
A. 1
B. 0
C. 1
D.
1
2
Câu 19: Cho hàm số f ( x) liên tục trên và các tích phân
1
x 2 f ( x)
,
tính
tích
phân
dx
2
I
0 x 2 1
0 f ( x)dx .
A. 6
B. 2
3/ Phương pháp tích phân từng phần.
4
0
f (tan x)dx 4 và
1
C. 3
D. 1
3
Câu 20: Biết ln xdx a ln 3 b ln 2 1; a, b . Khi đó, giá trị của a b là:
2
A. 1
B. 5
C. 5
D. 6
2
Câu 21: Biết I e
5 2 x
dx aeb ce , với a, b, c là các số nguyên. Tính P = ab + c.
2
A. P = 4.
B. P = 12.
C. P = 0.
D. P = 6.
Câu 22: f(x) liên tục và có đạo hàm liên tục trên R , f(x)x.f’(x) =2x, xR và f(1) =2.
Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông
14
1
Tính
f ( x) dx
0
A.
1
2
B. 1
C.
3
2
D. 1
Câu 23: f(x) liên tục và có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn f(x)+x.f’(x) =2x, xR. Tính
f(1).
A. 1
B. 1
C. 2
D. 0
Câu 24: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục đến cấp 2 trên R. Biết f(1)f(0) = 2 và
1
x. f ''( x) dx 5 . Tính hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị
f(x) tại điểm có hoành độ bằng 1.
0
A. 3
B. 7
C. 0
D. 6
Câu 25: Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên đoạn 0;1 , F (0) 0, F (1) 2 và
1
0
f ( x)
dx 2 . Tính I =
x 1
1
F ( x)
( x 1)
2
dx .
0
A. 3
B.2
C. 1
D. 2
2017
Câu 26: Biết F(x) là một nguyên hàm của f(x) thỏa mãn F(2018) =
F ( x 1)dx 1.
1
2018
Tính I=
x. f ( x)dx.
0
A. I =2019
B. I= 2018
C. I= 2017
D. I=2016
1
Câu 27: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0,1] và thỏa mãn f(1)=0 , [f '( x)]2 dx 7 ,
0
1
x
2
f ( x)dx
0
A.
1
. Tính I=
3
7
4
1
f ( x)dx.
0
B. 1
C.
7
5
D. 4
4/ Phương pháp hình học
1
Câu 28: Biết
2 y y 2 dy = a. +b . Tính P = 2a+ b.
0
A. P = 2
B. P =
1
2
Câu 29: Biết
0
1 x 2 dx
1
2
a
C. P = 1
D. P =
2
3
3
với a,b Z. Tính P=a+b.
b
A. P=10
B. P= 20
C. P= 12
D. 16
Câu 30: Gọi V là thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi đường
x 2 4 y 2 4 0 khi ta quay hình (H) quanh trục Ox. V gần nhất với số nào dưới đây?
A. 16,75
B. 16,76
C. 16,74
D. 16,77
a
Câu 31: Tìm các số thực dương a sao cho
a 2 x 2 dx
0
A. 0
1
3
B. 0
C. 0
D. 0
Câu 32: Tính thể tích khối tròn xoay có được khi ta quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
(x-2)2+y2=4 và (x-1)2+y2=1 quanh trục Ox.
Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông
15
28
26
20
B.
C. 9
D.
3
3
3
Câu 33: AB là đường kính mặt cầu (S). M là điểm trên đoạn AB : AM=2BM. Mặt phẳng α
qua M vuông góc với AB chia khối cầu thành 2 khối nhỏ. Tính tỷ số k ( k<1) thể tích của 2
khối nhỏ này.
A.
A. k=
1
8
1
4
B. k=
C. k=
7
20
D. k=
3
10
II/ HƯỚNG DẪN GIẢI:
1/ Hướng dẫn các câu từ câu 1 đến câu 9:
2
2
1
Câu 1: I=
f '( x)dx f ( x) | f (2) f (1) 1
1
f ’ x
1
1
]' ex
e x C (*)
ex [
2
f x
f x
f x
Câu 2: f’(x) = ex.f 2(x)
1
f 0
e0 C 2 1 C C 1
(*) f(x) =
1
1
f(ln2) = .
e 1
3
x
1
1
1
x
x
Câu 3: I e .[f ( x) f '( x)]dx [f ( x)(e ) ' f '( x)e ]dx [f ( x).e x ]' dx f ( x).e x |10 f (1).e f (0)
0
x
0
0
I ae b f (1).e f (0) ae b a f (1) 1, b f (0) 1 Q 0
Câu 4:
b
b
a b tan 2 xdx (
a
a
12
Câu 5:
1
1)dx (tanx - x) |ba = tanb-tana - b+a tanb=tana b a k
2
cos x
7
cos 2 xdx
0
0
2017
Câu 6: 1
12
cos 2 xdx
7
cos 2 xdx
/7
0
7
12
dx sin 2 xdx
0
cos 2 xdx
/7
7
ab
2017
si n x
si n x
si n x
.dy
1.dy
s inx x ( x 0) (!) . Chọn phương án A.
x
x 2016
x
2016
1
Câu 7: a ln 2 b ln 3
0
1
1
1
1
x 1 1
2
1
dx (
)dx ln(
) |0 ln ln 2 ln 2 ln 3
2
x 3x 2
x 1 x 2
x2
3
2
0
a 2, b 1
a
a
a
e 1
(2 x 1)e x 2 x
2 x(e x 1) e x
ex
Câu 8: 1 ln
dx
dx (2 x x ) dx
2
ex 1
ex 1
e 1
0
0
0
ea 1
) a 1
2
1
1
1
e2 3
1
1
3
1
e2 x
Câu 9: a b ln(
) 2x
dx 2 x
dx (1 2 x
)dx
4
e 3
3 0 e 3
30
e 3
0
[x 2 ln(e x 1)]0a a 2 ln(ea 1) ln 2 a 2 ln(
1
1
1
1
1 1 2.e 2 x
1 1
1 1 e2 3
2x
dx ln(e 2 x 3) |10 ln(
) a ; b 2a b
3
6
2
3 6 0 e 3
3 6
3 6
4
2/ Hướng dẫn các câu từ câu 10 đến câu 19:
e
e
ln x x
1
1
1
1
1
dx (ln x. 1)dx ( ln 2 x x) |1e e 1 e a 1, b
x
x
2
2
2
2
1
1
Câu 10: ea b
Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông
16
1
m
m
1
1
1
1
3 x ln 3
1
x
x m
m
m
Câu 11: 2 dx 6 0 (3 ) ' dx 6 0 3 |1 6 3 3 6 3 32 m
x
2
1
1
Câu 12:
a
1
2
6
3
1 x 2 dx 1 sin 2 t .cos t dt ( x sin t )
b
0
0
16
1
1
1
3
3
cos t dt (1 cos 2t )dt .(t sin 2t ) |06 (
)
a 12 , b 8 a b 20
20
2
2
2 6 4
12 8
0
6
2
2
Câu 13: I
0
8
Câu 14:
4
1
1
f (2 x)dx f (2 x)d 2 x f ( x)dx 8
20
20
8
8
8
8
8
5
f '( x) f '( x) dx f '( x)dx f '( x)d ( x) f '( x)dx f '( x)d ( x) f '( x)dx
2 0
0
0
0
0
8
5
11
f (8) f (8) f (8)
2
2
2
Câu 15: K sin(
0
2
x) f (cos(
2
2
x))dx sin(
0
2
x) f (cos(
2
x))d (
2
x)
0
sinx f (cosx)d (x) I 8
2
1
1
1
2
Câu 16: [f ( x) f ( x)] dx 3x dx 1
0
1
0
f ( x) dx f ( x)d ( x) x
0
1
0
0
Câu 17: f(x)+f(x) =
f ( x) dx 1
2 2 cos 2 x 2 | cos x |
3
2
f ( x)dx
3
2
3
2
3
2
3
2
f ( x)dx
3
2
3
2
3
2
3
2
f ( x)dx
3
2
3
2
0
3
2
2
f ( x)d ( x) 4( cos xdx
0
cos xdx) 2I= 4.3=12 I=6
2
, ] f(x+ )= f(x+ ) ; x [ , ]
2 2
2
2
2 2
) = sinx+cosx
2
2 | cos x | dx
f ( x)d ( x) 4 | cos x | dx
2
2
f ( x)dx
3
2
Câu 18: y= f(x+ ) = g(x) là hàm chẵn trên [
3
2
3
2
f(x )+ f(x+
| 1
0
1
3 3
Tích phân 2 vế trên [ , ] ta được :
2 2
3 1
0
1
f ( x) dx f ( x) dx 1
3
2
1
2
2
2
( f x f ( x ))dx (s inx cosx)dx ( f x dx f ( x ) dx 2
2
2
0
0
0
0
2
2
2
0
( f x dx f ( x ) d ( x ) 2 ( f x dx f ( x) d ( x) 2
2
2
0
0
0
2
Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông
17
2
2
2 ( f x dx 2 ( f x dx 1
0
0
1
1
2
1
1
x f ( x)
f ( x)
Câu 19: 2 2
dx f ( x)dx 2
dx f ( x)dx K (*)
x 1
x 1
0
0
0
0
1
1
dt (1 tan 2 t )dt dt =
dx
2
cos t
1 x2
x = tant dx =
1
4
f ( x)
x=0 t=0 ; x= 1 t=
. Ta có : K= 2
dx =
4
x 1
0
f (tan t )dt = 4 (**)
0
1
(*)(**) I f ( x)dx 6
0
3/ Hướng dẫn các câu từ câu 20 đến câu 27:
3
Câu 20: a, b ; a ln 3 b ln 2 1 ln xdx ( x ln x x)32 3ln 3 2 ln 2 1 a=3,b=2 a+b=5
2
Câu 21: t=
1
dx . Khi x=2 t= 3, x=2 t=1
5 2x
5 2x dt =
2
1
aeb ce e
5 2 x
2
3
3
dx et (t )dt tet dt tet |13 et dt 3e3 e (e3 e) 2e3
3
1
1
a=2,b=3,c=0 P=6
1
Câu 22:
1
1
1
[f x x. f ’ x ] dx 2 x dx f x dx x. f ’ x dx 1.
0
0
1
0
1
1
f x dx x. f ( x) |10 f x dx 1 f x dx
0
0
0
1
1
0
3
2
1
1
Câu 23: [f x x. f ’ x ] dx 2 x dx f x dx x. f ’ x dx 1.
0
0
1
0
0
1
f x dx x. f ( x) |10 f x dx 1 x. f ( x) |10 1 f (1) 1
0
0
1
1
1
0
Câu 24: 5 x. f ''( x) dx x. f '( x) | f '( x)dx f '(1) f ( x) |10 f '(1) 2 f '(1) 7
0
0
1
1
1
F ( x)
1
1 1
1
Câu 25:
dx F ( x)(
) ' dx [F ( x)(
) |0 f ( x)(
)dx
2
( x 1)
x 1
x 1
x 1
0
0
0
1
1
1
F (1) F (0) f ( x)(
)dx 1 2 3
2
x 1
0
2018
Câu 26: I
2018
x. f ( x)dx
0
2018
x.F '( x)dx x.F ( x) |02018
0
2018
F ( x)dx 2018 F (2018)
0
F ( x)dx
0
2017
2018
F ( x 1)dx 2018 1 2017
1
1
1
1
1
1
Câu 27: x 2 f ( x)dx 1 f ( x).3x 2 dx f ( x).x3 |10 x3 f '( x)dx f (1) x 3 f '( x)dx
3 0
0
0
0
1
x3 f '( x)dx 1
0
Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông
18
1
1
1
3 2
1
2
[f '( x) 7 x ] dx [f '( x)] dx 14 x
0
0
0
3
f '( x)dx 49 x 6 dx 7 14 7 0
0
7
4
f '( x) 7 x3 0 (*) f ( x) x 4 C , f(1)=0 C=
1
0
1
7
4
1
7
7
7
7
f ( x)dx ( x 4 )dx ( x 4 1)dx
4
4
40
5
0
4/ Hướng dẫn các câu từ câu 28 đến câu 33:
Câu 28: Về phương diện hình học thì
1
1
2
S 2 y y dy 2 x x 2 dx là diện tích ¼ đường tròn tâm
0
0
I(1,0) bán kính bằng 1 S =
4
1
4
a= , b 0 P =
1
2
1
2
Câu 29: S 1 x 2 dx là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
0
đường y= 1 x 2 ; y=0,x=0,x=
1
2
S 1 x 2 dx S1 S2
0
1
( xem hình)
2
1
3R 2
3
R2
; ( R 1) a=12, b=8 a+b=20
12
8
12 8
(S1 là diện tích 1/12 hình tròn bán kính bằng 1 và S2 là diện tích ½ tam giác đều cạnh bằng 1)
Câu 30: Hình (H) là hình elip có 2 nửa trục là a=2 và b=1- Hình (H) này có diện tích S=
ab= 2 . Vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi khi ta quay hình (H) quanh trục
4
16
Ox có thể tích là V = a 2b
. Chọn B.
3
3
Nhớ: Diện tích Elip có 2 nửa trục a,b là S = ab
x2 y 2
Thể tích của khối tròn xoay sinh ra bởi hình (E) : 2 2 1(a b) khi quay (E)
a
b
4
3
quanh Ox là V ab 2
(Học sinh có thể tính trực tiếp- không cần biết hình (H) hoặc vật thể sinh từ (H) là hình gì, tuy
nhiên ở một khía cạnh khác – phương diện hình học có thể tìm đến kết quả như trên đây.)
a
Câu 31: Ta có S=
a 2 x 2 dx là diện tích ¼ hình tròn tâm O, bán kính
0
a,
S=
a2
4
. Ta có: S<
a2
4
< ( a>0) 0
Câu 32:
Thể tích V của khối tròn xoay bằng thể tích khối cầu lớn
( bán kính bằng 2) trừ thể tích khối cầu nhỏ( bán kính bằng 1)
4 .23 4 .13 28
V=
( hình bên)
3
3
3
Câu 33: Đây thực chất là bài toán tính tích phân – Tính thể tích V1 của một chỏm cầu có
chiều cao h = BM
2R
của một khối cầu bán kính R. Khối chỏm cầu được sinh từ hình (H)
3
là tam giác cong BMN – khi quay nó quanh trục Ox chứa đoạn AB
Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông
( xem hình)
19
R
V1
R h
R
( R 2 x 2 )dx ( R 2 x 2 )dx ( R 2 x
R
3
x3 R
) |R
3 3
28 3 4 R3 7
7
R
. V
3
3 27 27
( V là thể tích khối cầu )
Thể tích phần còn lại của khối cầu ( trừ chỏm cầu) là
20
V
27
V
7
k= 1
. Chọn C.
V2 20
V2 =
2
Câu 34: Cho
1
III/ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
4
f ( x)
f ( x)dx 2. Tính I=
dx
x
1
A. I=1
B. I=2
C. I=4
D. I=
1
Câu 35: Cho f(x) là hàm chẵn , liên tục trên [1,1] và
A. I=1
B. I=2
1
2
1
f ( x)
f ( x)dx 2 . Tính I = 1 e
1
1
C. I=4
D. I=3
e
x
dx.
e
f ( x)
1 x dx 1, f€ =1. khi đó tính I = 1 f '( x).ln xdx.
A. I=4
B. I=3
C. I=1
D. I=0
x
Câu 37: Cho hàm f(x) liên tục trên R và thỏa mãn f(x)+2017f(x) = e (*); x R.
Câu 36: Cho f(x) liên tục trên [1,e] và
1
Tính I=
f ( x)dx.
1
2
A. I
e 1
2018e
B. I=0
C. I
e2 1
2018e
D. I= e2017
Câu 38: Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn f(x)+x2.f’(x) =2x,
1
xR. Tính I= (2 x 1). f x dx
0
A. 1
B. 1
C. 2
D. 0
2017
Câu 39 : Cho y= f(x) =
A. I=
4
2
sin
x
I
.
Tính
0 x. f '( x)dx
sin 2017 x cos 2017 x
3
B. I=
C. I=
2
4
D.I=1
IV/. ĐỌC THÊM
Với phương pháp đổi biến ta dễ chứng minh các kết quả sau:
a
Nếu f(x) là hàm lẻ và liên tục trên đoạn [ a, a ] thì
f ( x) dx 0
a
a
Nếu f(x) là hàm chẵn và liên tục trên đoạn [ a, a ] thì
a
f ( x) dx 2 f ( x) dx
a
Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông
0
20
Nếu f(x) là hàm chẵn và liên tục trên [ α , α ] và a>0 thì
2
2
Nếu f(x) liên tục trên R thì
f ( x)
a x 1 dx 0 f ( x) dx
f (sin x) dx f (cos x) dx
0
0
Nếu f(x) liên tục trên R thì
x. f (sin x) dx 2 f (sin x) dx
0
0
a T
Nếu f(x) liên tục trên R , tuần hoàn với chu kì T thì
T
f ( x) dx f ( x) dx
a
0
Các em cần nhớ những kết quả này để áp dụng giải những bài khó của phần tích phân.
Thử nêu một vài bài tập liên quan:
a
2018
001: Gọi I =
ln( x 1 x 2 )dx , K=
a
ln( x 1 x 2 )dx . Hãy chọn phát biểu đúng.
2018
A. K=I
B. K=I
C. K= a.I
D. K=a.I
n
00 2: Tính I lim
n
ln(
1 x 2 x)dx
n
A. I= 1
B. I=0
/2
/2
003: Đặt
1
dx . Tính I
1
c
os2018
x
/2
A. I= α
B. I = α
C. I = 2 α
2018
004: Biết
0
C. I=1
1
dx theo α
1 sin 2018 x
D. I= e
D. I = 2 α
sin xcosx dx
2017
A. I= a
= a. Tính I= sin x cos x dx theo a.
0
B. I=
a
2
C. I= 2a
m
D. I= a
0
2
00 5: Với m 0, đặt ln( x 1 x ) dx n . Tính K
0
ln(
1 x 2 x)dx theo n.
m
1
1
D. K=
n
n
Chúc các em sức khỏe – niềm vui – đạt kết quả tốt trong kì thi tuyển sinh.
A. K =n
B. K=n
C. K =
CHUYÊN ĐỀ 3: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
I. Tính diện tích hình phẳng:
1. Nếu hàm số y f x liên tục trên đoạn a; b thì diện tích S của hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng x a; x b là:
b
S f x dx
a
2. Nếu các hàm số y f x , y g x liên tục trên đoạn a; b thì diện tích S của hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y f x , y g x và hai đường thẳng
b
x a; x b là: S f x g x dx
a
Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông
21
3. Nếu các hàm số x g y , x h y liên tục trên đoạn c; d thì diện tích S của hình
phẳng giới hạn bởi các đường cong x g y , x h y và hai đường thẳng
d
y c; y d là: S g y h y dy
c
Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
3 x 1
đồ thị hàm số y
và 2 trục tọa độ.
x 1
Hướng dẫn giải:
- Ta tìm cận tích phân là hoành độ giao điểm của đồ thị
1
hàm số đã cho với hai trục tọa độ: x 0, x
3
- Diện tích hình phẳng cần tìm:
0 3 x 1
0
4
4
S 1
dx 1 3
dx 1 4ln
x 1
3
3 x 1
3
Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y x 2 4 x 3
và đường thẳng (d): y x 3
Hướng dẫn giải:
Phương trình hoành độ giao điểm:
x 0
x2 4 x 3 x 3
x 5
Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm:
5
S x 3 x 2 4 x 3 dx
0
5
0 x 3 x
2
4 x 3 dx
Xét dấu f x x 2 4 x 3 để phá dấu giá trị tuyệt đối. Ta
có bảng xét dấu:
x
-∞
1
3
+∞
f(x)
+
0 - 0 +
Như vậy:
1
3
x 3 x
109
4 x 3 dx
6
S x 3 x 2 4 x 3 dx x 3 x 2 4 x 3 dx
0
1
5
3
2
Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y 2 4 x và đường thẳng d:
y 2x 4 .
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:
x 1
2 x 4 2 4 x
x 4
Diện tích hình phẳng cần tìm:
1
4
S 2 2 xdx 2 x 2 x 4 dx 9
0
1
Cách 2: Tung độ giao điểm là nghiệm của phương trình
Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông
22
y 2
y2 y 4
4
2
y 4
4 y4
y 4 y2
y2
dy
dy 9
Diện tích hình phẳng cần tìm: S
2
2
2
4
4
2
Nhận xét: Trong hai cách tính trên, với cách 1 ta cần có hình vẽ để thuận lợi cho việc
chia hình phẳng, còn cách 2 cho ta lời giải gọn gàng hơn.
4
II. Tính thể tích vật thể:
1. Trong không gian Oxyz, gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc
với trục Ox tại điểm a và b . Gọi S x là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt
phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x a x b . Giả sử S S x là
b
hàm liên tục. Thể tích V của vật thể B là: V S x dx
a
2. Cho hàm số y f x liên tục, không âm trên đoạn a; b . Thể tích khối tròn xoay sinh
bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành, hai đường thẳng
b
x a; x b khi quay quanh trục Ox là: V f 2 x dx
a
3. Cho hàm số x g y liên tục, không âm trên đoạn c; d . Thể tích khối tròn xoay sinh
bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x g y , trục tung, hai đường thẳng
y c, y d khi quay quanh trục Oy là:
d
V g 2 y dy
c
4. Cho hàm số y f x , y g x liên tục trên đoạn a; b . Thể tích khối tròn xoay sinh
bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , y g x , trục hoành, hai đường
thẳng x a; x b khi quay quanh trục Ox là:
b
V f 2 x g 2 x dx
a
Ví dụ 1: Tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y ln x , Ox và đường thẳng x 2 khi quay quanh Ox.
Hướng dẫn giải:
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y ln x và
trục Ox là nghiệm của phương trình: ln x 0 x 1
2
Khi đó V ln 2 xdx 2ln 2 2 4ln 2 2
1
Ví dụ 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình tròn tâm I 2;0 , bán
kính R 1 quanh trục Oy.
Hướng dẫn giải:
Phương trình đường tròn:
Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông
23
x 2 2 y 2 1 x 2
1 y2
Khi đó
1
V 2 1 y2
1
16
1
0
2
2 1 y2
2
dy
1 y 2 dy 4 2
MỘT SỐ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y 2 x x 2 , x y 2 .
1
5
6
1
A. S
B. S
C. S
D. S
6
2
5
2
Hướng dẫn giải:
x 1
Pt hoành độ giao điểm 2 x x 2 2 x
x 2
Khi đó S
2
1
2 x x 2 x dx 16
2
Đáp án A
Câu 2: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y x3 3 x, y x và
đường thẳng x 2 .
A. S 12
B. S 6
C. S 4
D. S 2
Hướng dẫn giải:
PT hoành độ giao điểm x3 3 x x x 0
Khi đó S
0
2
x3 4 x dx 12 . Đáp án A
Câu 3: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y 2 ax, x 2 ay a 0 .
a2
a2
A. S a
C. S
D. S
3
4
y 2 ax x 0
Hướng dẫn giải : PT hoành độ giao điểm:
2
x ay x a
a
x2
a2
dx
Khi đó S ax
Đáp án C
0
a
3
2
a2
B. S
2
Câu 4: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số
y e x , y e, y 1 e x 1
e 1
2
Hướng dẫn giải:
A. S
B. S
e 1
2
C. S
e3
2
Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông
D. S
e
2
24
Phương trình hoành độ giao điểm:
ex e x 1
e x 1 e x 1 x 0
1 e x 1 e x 1
Khi đó
0
1
e 1
V e 1 e x 1 dx e e x dx
1
0
2
Đáp án B
Câu 5: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y ln x, y 1, y x 1
1
3
1
3
A. e
B. e
C. e
D. e
2
2
2
2
Hướng dẫn giải:
Phương trình hoành độ giao điểm:
ln x 1 x e
ln x x 1 x 1
x 1 1 x 0
Khi đó
1
e
3
V 1 1 x dx 1 ln x dx e
0
1
2
Đáp án B
x2
chia hình tròn có tâm là gốc tọa độ, bán kính 2 2 thành hai phần. Tỉ
2
số diện tích của chúng thuộc khoảng nào dưới đây?
A. 0, 4;0,5
B. 0,5;0,6
C. 0,6;0,7
D. 0,7;0,8
Câu 6: Parabol y
Hướng dẫn giải:
Phương trình đường tròn: x 2 y 2 8 y 8 x 2
x2
Phương trình hoành độ giao điểm: 8 x
x 2
2
2
x2
Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn y 8 x và parabol y
2
2
2
x
1
Khi đó S1 8 x 2 dx 8
2
2
4 6
2
Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông
25
