Giai tich 12 maxmin mo dun so phuc

BÀI TẬP GTLN-GTNN MÔ ĐUN SỐ PHỨC
Trong các số phức

Câu 1.

môđun nhỏ nhất. Hỏi tích
A.

25.

B.

z

z − 3i + iz + 3 = 10

thỏa mãn

z1z2

−25.

. Hai số phức

là bao nhiêu
C.

16.

D.

z1

và

z2

có

−16.

z − 4 + z + 4 = 10

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

Câu 2.

. Gọi M, m lần lượt là giá

v = ( m− 4i ) + ( 2 + Mi )

z

trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
26

A.

26

B.

. Tính
C.

5 2

D.
2

.
50

2

P = z − 2 + z + 1− i + z − 2 − 5i

Tìm số phức z sao cho biểu thức

Câu 3.

đạt giá trị nhỏ
2 z − 1− 2i = 3i + 1− 2z

nhất, biết rằng số phức z thỏa mãn điều kiện
1 17
z= +
i
4 4

A.

1 17
z= −
i
4 4

.

1 17
z=− −
i
4 4

z=−

1 17
+
i
4 4

B.
C.
D.
Câu 4. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2

P = z − 2 + i − z + 1− 4i

2

, biết rằng số phức z thỏa mãn điều kiện

z ( i + 1) + 1+ i =

2

. Tính

M +n
2

2

M + n = 20
2

A.

Câu 5.

M + n = 20 + 12 2
2

B.

M + n = 12 2
2

C.

2

2

2

M + n = 10 + 6 2
2

D.

Cho số phức

z

2

(

w = ( z + 3− i ) z + 1+ 3i

thỏa mãn điều kiện

)

là một số thựC.

z

Tìm giá trị nhỏ nhất của

A.

2 2

B.

là:
2

C.
z + 2− i

Câu 6.

Cho số phức

z

thỏa mãn

z + 1− i

3 3

D.

= 2

. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn

z

nhất của
A.
C.

3+ 10
3+ 10

:
và
và

−3+ 10
10

3

B.

3

và

−3+ 10

D.Không tồn tại.
1

z − 2i = z + 2

Câu 7. Cho số phức z thỏa mãn :
P = z + 2i + z − 5+ 9i
70

A.

B.

.Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 10

C.

4 5

1+ i
z+ 2 = 1
1− i

m = min z ; M = max z

Câu 8. Cho số phức z thỏa mãn:
m+ iM

m+ iM = 10

, đặt

m+ iM = 3 2

A.

B.

74

D.

, tìm

m+ iM = 10

m+ iM = 8

C.

D.
z − 3− 4i = 2

Cho số phức z thỏa mãn:

Câu 9.

2

P = z+ 2 − z− i

z

, tìm

để biểu thức

2

đạt GTLN.
A.

5 2

Câu 10.

B.10

Trong các số phức

nhất.Môdun của

z0

z

thỏa mãn

D.

(1+ i )

z+ 2 = 1
z0
1− i

,

3 5

là số phức có môđun lớn

bằng:

A.1
Câu 11.

C.

2 5

B.4
Trong các số phức

10

C.
z

D.9

z = z − 3+ 4i

thỏa mãn

, số phức có môđun nhỏ nhất

là:
A.

z = 3+ 4i

B.

z = −3− 4i

z=

C.

3
− 2i
2

z=

D.

3
+ 2i
2

z − 2 − 4i = z − 2i

Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện
có mô đun bé nhất.

. Tìm số phức z

Câu 12.

A.

z = 2+ i

Câu 13.

B.

z = 3+ i

Tìm số phức z thoả mãn
z=

A.z=2i
Câu 14.

C.

Cho số phức

B.

z

4
5

+

thỏa

2
5

z = 2 + 2i

(z − 1)(z + 2i)

C.

z + i − 1 = z − 2i

2

z = 1+ 3i

là số thực và môđun của z nhỏ nhất?

z=

i

D.

3
5

+

4
5

i

D.

1
z = 1+ i
2

. Giá trị nhỏ nhất của

z

là


1
2

A.

B.1

2

C.

D.

1
4

z − 3+ 2i =

Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện
môđun nhỏ nhất là:
Câu 15.

78 + 9 13
i
26
13

3

z = 2+

A.
z = 2−

C.

+

B.

78 − 9 13
i
26
13

3

+

D.

3
2

, số phức z có

z = 2 − 3i

z = 2+ 3i
z + 3i = z + 2 − i

Trong số phức z thỏa mãn điều kiện
bé nhất là:

, số phức z có mô đun

Câu 16.

A.

z = 1− 2i

B.

z = −1+ 2i

C.

1 2
z= − + i
5 5

z=

D.

1 2
− i
5 5

z − 3i + 1

Câu 17. Tìm số phức z sao cho
z = 1+ 3i.
z = −1+ 3i

A.

đạt giá trị nhỏ nhất?

B.

z

Câu 18.

Tìm

biết

z

là số phức thỏa mãn
z = 13.

Tìm GTNN của

A.

biết

z

thỏa mãn

z = 3.

z = 1.

A.

.

z = 0.

z = 1.

C.

z

Tìm GTLN của

D.
4 + 2i
z−1 = 1
1− i

B.

Câu 20.

z = 5.

C.

z

z = 2.

đạt giá trị nhỏ nhất.

z = 5.

B.

Câu 19.

D.

biết

z

D.
−2 − 3i
z+ 1 = 1
3− 2i

thỏa mãn

.
z = 2.

z = 2.

B.

z = 3.

C.

D.

z − 3+ 4i = 5

Câu 21.

Trong các số phức z thoả mãn

, gọi

lớn nhất. Tổng phần thực và phần ảo của
A.

9.

z = −3+ i

z− i
+2
2i + 1

z = 13.

A.

C.

z = 3− i

B.

−1.

C.
3

z0

−2.

z0

là số phức có môđun

bằng
D.

2.


z− 3− i ≤ 2
Câu 22.

Trong các số phức z thoả mãn

z1

, gọi

và

z2

lần lượt là số

z1 − z2

phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất. Giá trị của
A.

4.

B.

4 3.

C.

bằng

2 3.

D.

z − 2 = z + 4i

Trong các số phức z thoả mãn
môđun nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất đó bằng

, gọi

Câu 23.

A.

3 2
.
2

B.

C.

Trong các số phức z thoả mãn
nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất đó bằng

A.

1
.
2

B.

3 5
.
5

1.

, gọi

z0

C.

Câu 25. Trong các số phức z thoả mãn
z0 + 1− 2i

đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, môđun của

A.

B.

2

.

z0

, gọi

C.

z0

3
.
2

3 2
.
2

là số phức sao cho

bằng

2
.
2

D.

2.

z − 4 + z + 4 = 10

Trong các số phức z thoả mãn
môđun nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất đó bằng

, gọi

Câu 26.

A.

4.

3.

B. .

C.

5
.
3. 2

là số phức có môđun

D.
z+ 2 ≥ z− 2

1.

là số phức có

D.

 z − 2 ≤ z + 1

 z + i ≥ z − 3i

Câu 24.

z0

2.

2.

D.

z0

là số phức có

5.

z + 2i − 1 = z + i
Câu 27.

Cho số phức z thoả mãn

số phức z để MA ngắn nhất, với

A.

 23 1 
M  ; ÷.
 10 10 

B.

A ( 1;4)

. Tìm các điểm M biểu diễn cho
.

 13 1 
M  ; ÷.
 5 5

C.

 13 1 
M  ; − ÷.
 5 5

D.

 13 1
M  − ; ÷.
 5 5

z − 1+ 2i ≤ 2 5
Câu 28.

Trong các số phức z thoả mãn

, gọi M, m lần lượt là giá trị

z

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

. Tính M + n
4


A.

M +n= 2 5

Cho số phức

Câu 29.

diễn số phức

A.

z

M +n= 3 5

B.


−5 
M  −1; ÷
4



Câu 30. Cho số phức
z = 3+ i

A.

D.

thỏa mãn hệ thức

ngắn nhất, với

B.
z

M + n= 4 5

M +n= 5

2z + i = 2z − 3i + 1

z

MA

để

C.

. Tìm các điểm

 3
A  1; ÷
 4

 −9 
M  0; ÷
 8

C.

B.

 −9 
M  ;0÷
 4 

D.

C.

 1 23 
M  ; − ÷.
 20 20 

z

z

. Tìm

z = 1+ 3i.

biểu

.

z − 2 − 4i = z − 2i

thỏa mãn

M

để

z = 2 + 2i.

D.

nhỏ nhất

z = 4i.

z = x + yi ( x; y Î ¡ )

z - 2- 4i = z - 2i

Câu 211. Biết số phức

thỏa mãn điều kiện

đồng

M = x2 + y2.

thời có môđun nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức
A.

M =8

.

B.

M = 10

.

M = 16

C.

Câu 212. Cho các số phức

z, w

.

D.

M = 26

.

z + 2- 2i = z - 4i

thỏa mãn

và

w = iz +1

. Giá trị nhỏ

P=w

nhất của biểu thức
Pmin =

A.

2
.
2

B.

là:

Pmin = 2 2.

C.

Câu 213. Cho các số phức
phức

z3

z1 = 1+ 3i

,

D.

z2 = - 5- 3i

và môđun số phức
æ
3 4ö
Mç
; ÷
÷
ç
÷.
ç
è5 5ø

B.

C.

Câu 214. Cho số phức
số phức

w = 3z3 - z2 - 2z1

z

æ
1 3ö
Mç
; ÷
÷
ç
÷.
ç
è5 5ø

3 2
.
2

M ( x; y)

. Tìm điểm

, biết rằng trong mặt phẳng tọa độ điểm

d : x - 2y +1= 0

A.

Pmin =

Pmin = 2.

M

biểu diễn số

nằm trên đường thẳng

đạt giá trị nhỏ nhất.
D.

æ 3 1ö
Mç
- ; ÷
÷
ç
÷.
ç
è 5 5ø

z +1- i = z - 3i

thỏa mãn

. Tính môđun lớn nhất

w max

của

1
w= .
z

w max =

A.

7 5
.
10

w max =

B.

Câu 215. Xét số phức

z

2 5
.
7

w max =

C.

4 5
.
7

w max =

D.

9 5
.
10

và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là

z( 4 + 3i )

Số phức
Biết rằng

và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là
MM ' N ' N

M , M '.

N , N '.

P = z + 4i - 5.

là một hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của
5


5

Pmin =

34

A.

.

Pmin =

B.

2
5

.

Câu 216. Cho số phức
P=w

nhất của
A.

3
Pmin = .
2

B.

A.

.

B.

P =2

z2 - 4- i = 5
Pmin =

A.

B.

D.

.

. Tìm giá trị nhỏ

.
Pmin = 1.

thỏa mãn

P = z1 - z2

.

D.

1
Pmin = .
2

z1 - 2i = 3

z1, z2

z2 + 2+ 2i = z2 + 2+ 4i

và

C.

P = 3.

D.

P = 4.

2

2

z1 - 2 - z1 + i = 1

z1

. Giá trị

bằng:

thỏa mãn

. Tìm giá trị nhỏ nhất của
2 5
.
5

13

thỏa mãn

C.

Câu 218. Cho số phức

4

Pmin =

z - 2z + 5 = ( z- 1+ 2i ) ( z + 3i - 1)

z

Câu 217. Cho hai số phức
P =1

.

2

Pmin = 2.

nhỏ nhất của biểu thức

2

C.

w = z - 2+ 2i

, với

1

Pmin =

Pmin = 5.

C.

z2

và số phức

P = z1 - z2

thỏa mãn

.
Pmin =

Pmin = 2 5.

D.

3 5
.
5

z = x + yi ( x; y Î ¡ )

Câu 219. Biết số phức
z - ( 3+ 4i ) = 5

thỏa mãn đồng thời các điều kiện
2

P = z + 2 - z- i

2

z

và biểu thức
z = 50

z = 33

A.

đạt giá trị lớn nhất. Tính

.

B.

z = 10

.

C.
z1, z2

Câu 220. Xét các số phức

z =5 2

.

D.

.
z - 2- 4i = 5

thỏa mãn điều kiện

. Gọi

lượt là các số phức có môđun nhỏ nhất và môđun lớn nhất. Tính
A.

w = 4 + 8i.

B.

w = 1+ 2i.

Câu 221. Xét các số phức

C.
z

.

w = 3+ 6i.

D.

w = 4- 8i.

( 1+ i ) z +1- 7i = 2

thỏa mãn điều kiện

. Gọi

lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức
S = 10.

B.

S = 2.

Câu 222. Xét các số phức

C.
z

S = 24.

D.

Tính

thỏa mãn điều kiện

- 2- 3i
z +1 = 1
3- 2i

là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức
S = 2022.

B.

S = 2016.

C.

S = 2018.

6

D.

m, M

lần

S = M - m.

S = 4.

P = z.

A.

lần

w = z1 + z2.

P = z.

A.

z1, z2

S = 2014.

Tính

. Gọi

m, M

lần lượt

S = 2020- M + m.


z

Câu 223. Xét các số phức

z - 2- 3i = 1

thỏa mãn

. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

P = z +1+ i

nhất của biểu thức
13 + 2

A.
C.

6

và

4

lần lượt là:

13 - 2

và

.

B.

.
z

thực. Tìm giá trị lớn nhất
Pmax = 2.

B.

B.

Pmax = 2 2.

C.

nhỏ nhất
A.

Pmin

Pmin = 2 5 - 2.

Câu 227. Gọi
z1, z2 Î T

T

z
2+ z2

là số

.

Pmax = 2.

D.

Pmax = 8.

P=

C.
z1

z1

. Biểu thức
z2

và

. Tìm phần ảo

a= 0.

z2

và

D.
thỏa mãn

a

z +i
z

đạt giá trị nhỏ

của số phức

w = z1 + z2.

a= 1.

z1 - 4 = 1

và

iz2 - 2 = 1

. Tìm giá trị

P = z1 + 2z2 .

Pmin = 4 2 - 3.

C.

Pmin = 4-

2.

D.

là tập hợp các số phức

z

Pmin = 4 2 + 3.

z- i ³ 3

thỏa mãn

z- 1 £ 5

và

. Gọi

lần lượt là các số phức có mođun nhỏ nhất và lớn nhất. Tìm số phức

w = z1 + 2z2

A.

B.

không phải là số thực và

thỏa mãn

a= 4.

của biểu thức

w=

z³ 2

z

Câu 226. Cho các số phức

.

của biểu thức

nhất và giá trị lớn nhất lần lượt tại
A.

và

.

13 - 4

P = z +1- i

Pmax

Câu 225. Xét các số phức
a= - 4.

z

thỏa mãn

13 - 1

và

13 + 4

D.

Câu 224. Cho số phức

A.

13 +1

.

w = 12- 2i

. B.

w = - 2+12i

z

Câu 228. Cho số phức

.

C.

w = 6- 4i

.

D.

w = 12+ 4i

.

z - 4 + z + 4 = 10

thỏa mãn

. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

z

của
lần lượt là:
A. 10 và 4. B. 5 và 4.
Câu 229. Cho số phức
nhất và nhỏ nhất của
A.

S = 2 5.

B.

z

| z|

thỏa mãn

. Tính

S = 2.

Câu 230. Cho số phức

C. 4 và 3.

D. 5 và 3.
. Gọi

M

và

m

lần lượt là giá trị lớn

S = M + m.

C.

z

4i
z+ = 2
z

S = 5.

D.

S = 13

.

z =1

thỏa mãn

T = z +1 + 2 z - 1.

.Tìm giá trị lớn nhất của
7


A.

Tmax = 2 5.

B.

Tmax = 2 10.

Câu 231. Xét số phức

C.

Tmax = 3 5.

D.

z =1

z

thỏa mãn

. Gọi

M, m

P = z2 +1 - 1+ z

giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A.

S = 2-

2.

B.

S = 2 + 2.

Câu 232. Xét số phức

. Tính
C.

S = 2 - 2.

D.

z =1

z

thỏa mãn

. Gọi

Tmax = 3 2.

lần lượt là giá trị lớn nhất và

S = M + m.
S =-

M, m

lần lượt là giá trị lớn nhất và

P=

P = z2 - z +1 + z +1

giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A.

5
P= .
4

P=

B.

5
.
26

Câu 233. Xét số phức

. Tính
3
.
4

P=

C.

P=

D.

z =1

z

2.

thỏa mãn

. Gọi

M, m

M
.
m +1
2

13
.
16

lần lượt là giá trị lớn nhất và

3

P = z + 3z + z - z + z

giá trị nhỏ nhất của biểu thức
w=

A.

3 5
.
4

w=

B.

3 17
.
4

. Tính môđun của
w=

C.

Câu 234. Cho các số phức

z

15
.
4

w=

D.
z =1

thỏa mãn

. Gọi

w = M + mi.

3 13
.
4

M, m

lần lượt là giá trị lớn nhất

P = z +1 + 2 z - 1

và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A.
C.

M = 3 5, m= 2.

B.

M = 2 5, m = 2.

D.
z

Câu 235. Cho số phức

. Khi đó:
M = 3 5, m= 4.

M = 2 10, m = 2.

z- 1 = 2.

thỏa mãn điều kiện

Tìm giá trị lớn nhất của

T = z + i + z - 2- i .

biểu thức
A.

Tmax = 8 2.

B.

Tmax = 4.

Câu 236. Xét số phức

C.

z1, z2

Tmax = 4 2.

D.

Tmax = 8.

z1 - z2 = 1

thỏa mãn

và

z1 + z2 = 3.

Gọi

P = z1 + z2

giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A.

M
= 3.
m

B.

M
= 2.
m

C.

M
= 5.
m

D.

. Tính

M, m

M
.
m

M
= 2.
m

Câu 237. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Xét các số phức
z + 2- i + z - 4- 7i = 6 2.

Gọi

z - 1+ i

. Tính

m, M

lần lượt là

z

thỏa mãn

lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của

P = m+ M .

8


A.
C.

P = 13 + 73

5 2 + 2 73
2

P=

.

B.
P=

P = 5 2 + 2 73

.

D.
z

Câu 238. Xét số phức

5 2 + 73
2

.
.

z + 3- 2i + z - 3+ i = 3 5.

thỏa mãn

Gọi

M, m

lần lượt là giá

P = z + 2 + z- 1- 3i

trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A.
C.

M = 17 + 5, m= 3 2.

B.

M = 26 + 2 5, m= 2.

D.
z

Câu 239. Xét số phức

.

M = 26 + 2 5, m= 3 2.

M = 17 + 5, m = 2.

z + 2- 3i + z - 6- i = 2 17.

thỏa mãn

Gọi

M, m

lần lượt là giá

P = z +1- 2i - z - 2+ i

trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A.
C.

M = 3 2, m = 0.

B.

M = 3 2, m= 5 2 - 2 5.

Câu 240. Xét số phức

z

D.

.

M = 3 2, m= 2.
M = 2, m= 5 2 - 2 5.

z - 2+ 2i - z +1- 3i = 34.

thỏa mãn

Tìm giá trị nhỏ nhất của

P = z +1+ i .

biển thức
Pmin =

A.

9
34

.

B.

Pmin = 3.

C.

Pmin = 13.

D.

Pmin = 4.

ĐÁP ÁN
Câu 1. Cách mẹo
2z − 2 + 2i = 1 ⇔ 2 x − 2 + 2 yi + 2i = 1
 Gọi số phức z = x + yi thỏa mãn
⇔ ( 2 x − 2) + ( 2 y + 2) = 1

2

2

⇔ ( x − 1) + ( y + 1) =
2

2

1
4

C
I 1; −1)
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn ( ) có tâm (
bán

kính

R=

1
2

9


 Với mỗi điểm
kính

M ( x; y )

R ' = z = x2 + y2

ngoài với đường
Khi đó

z = OM = OI − R =

R= z

. Vì vậy để

( C ')

M

điểm

biểu diễn số phức z = x + yi sẽ thuộc đường tròn tâm O bán

sẽ là

tiếp

nhỏ nhất thì đường tròn

điểm

của

đường

tròn

( C ') phải tiếp xúc
( C)

và

( C ')

và

−1 + 2 2
2

⇒ Đáp số chính xác là A
Câu 2. Hướng dẫn giải:Chọn A
Giả sử z = a + bi (a, b ∈ ¡ ) .

(

)

z − z + 2i = 2

3
1
2

2
z + z − i ⇔ 4 ( b + 1) = 4 4a 2 + ( b − 1) ⇔ b = a 2.
2
2

P = z −3 =

( a − 3)

2

+ ( a2 ) =

( a − 3)

2

2

+ a4

4
2
. Đặt f (a) = a + a − 6a + 9 .

f ′(a ) = 4a 3 + 2a − 6 . f ′(a ) = 4a 3 + 2a − 6 = 0 ⇔ a = 1 .Lập BBT suy ra f (t ) đạt GTNN bằng 5
khi a = 1 .

Vậy Pmin = 5 .
Câu 3. Hướng dẫn giải:Chọn C

Gọi

z = x + yi ( x, y ∈ ¡

Ta có

)

(

)

u = ( z + 3 − i ) z + 1+ 3i = x2 + y2 + 4x − 4y + 6 + 2( x − y − 4) i

Vì u là số thực nên x − y − 4 = 0 nên tập hợp các điểm biểu diễn số phức

z là đường thẳng x − y − 4 = 0 ( d) . Gọi M ( x; y) là điểm biểu diễn số phức
z . Modun của z nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất hay OM ⊥ d . Tìm được
M ( −2;2)
z = −2 + 2i

nên
.
Câu 4. Hướng dẫn giải:Chọn D

iz − 3 = z − 2 − i
 Gọi số phức z = x + yi thỏa mãn
⇔ − y − 3 + xi = x − 2 + ( y − 1) i

⇔ ( − y − 3) + x 2 = ( x − 2 ) + ( y − 1)

2

2

2

⇔ y 2 + 6 y + 9 + x2 = x2 − 4 x + 4 + y 2 − 2 y + 1
⇔ x + 2 y +1 = 0
⇔ 20 x 2 + ( y − 3) = 100 − 12 y
2

d : x + 2 y +1 = 0
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng ( )

10


M ( x; y )

 Với mỗi điểm

z = OM ≥ OH
biểu diễn số phức z = x + yi thi
với H là hình

d
chiếu vuông góc của O lên đường thẳng ( ) và OH là khoảng cách từ điểm O

lên đường thẳng

(d)

OH = d ( O; ( d ) ) =

Tính

1.0 + 2.0 + 1
12 + 2 2

1
5

=

1
5

z ≥

Vậy
⇒ Đáp số chính xác là D
x + yi +
Câu 5.

1
x 2 − y 2 + 1 + 2 xyi
x 3 − xy 2 + x + x 2 yi + y 3i − yi + 2 xy 2
=
=
x + yi

x + yi
x2 + y 2

Hướng dẫn giải: Chọn D

z − 3i + i z + 3 = 10
 Gọi số phức z = x + yi thỏa mãn
⇔ x + ( y − 3) i + y + 3 + xi = 10
⇔ x 2 + ( y − 3) +
2

⇔

( y + 3)

2

( y + 3)

2

+ x 2 = 10

+ x 2 = 10 − x 2 + ( y − 3)

2

⇔ ( y + 3) + x 2 = 100 − 20 x 2 + ( y − 3 ) + x 2 + ( y − 3 )
2

2

2

⇔ 20 x 2 + ( y − 3) = 100 − 12 y
2

⇔ 25 x 2 + 16 y 2 = 400
x2 y2
⇔
+
=1
16 25

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường Elip
thuộc trục nhỏ là
 Với mỗi điểm

A ( −4; 0 ) , A ' ( 4; 0 )

M ( x; y )

( E) :

x2 y 2
+
=1
16 25
có 2 đỉnh

biểu diễn số phức z = x + yi sẽ thuộc đường tròn tâm O bán

kính
. Vì elip ( ) và đường tròn
nhỏ nhất thì M là đỉnh thuộc trục nhỏ
R ' = z = x2 + y 2

E

( C ) có cùng tâm

O nên để OM

⇒ M ≡ A ' ⇒ z1 = −4 , M ≡ A ⇒ z2 = 4
z1.z2 = ( −4 ) .4 = −16

Tổng hợp
⇒ Đáp số chính xác là D
Câu 6. Hướng dẫn giải:Chọn D
z ,z
 Nếu đề bài hỏi tích z1 z2 với 1 2 có giá trị lớn nhất thì hai điểm M biểu diễn

hai số phức trên là hai đỉnh thuộc trục lớn

⇒ M ≡ B ' ⇒ z1 = −5i , M ≡ A ⇒ z2 = 5i
z1 z2 = 5i. ( −5i ) = −25i 2 = 25

Tổng hợp
Câu 7. Đáp án C
Cách 1.

11

B ( 0; −5 ) , B ' ( 0;5 )


z = x2 + y2
z − 1+ i = 1⇔ ( x − 1) + ( y + 1) = 1
z
=
x
+
yi
x
,
y
∈
¡
Gọi
với
thì
và
.
 x = 1+ cosϕ

y = −1+ sinϕ
ϕ ∈ 0;2π 
Đặt 
, với
. Khi đó:

2

(

2

)

2
2

π
z = x2 + y2 = 3 + 2( cosϕ − sinϕ ) = 3 + 2 2cos ϕ + ÷ ≥ 2 − 1
4

. Đẳng thức xảy ra
3π
ϕ=
4 nên z nhỏ nhất bằng 2 − 1 .
khi và chỉ khi:

Cách 2:

Xét điểm

M ( x; y)

biểu diễn cho số phức z = x + yi thỏa mãn điều kiện

( x − 1) + ( y + 1)

thuộc đường tròn
2

z − 1+ i = 1

2

=1

có tâm

I ( 1;−1)

, bán kính R = 1.

z = OM

, đường thẳng OM cắt đường tròn tại hai điểm A, B ứng với OM lớn
nhất, nhỏ nhất.
Câu 8. Câu 2. Cách 1: Đáp án A

z = x2 + y2
z +2 =i - z ⇔ 4 x + 2 y + 3 = 0 . Ta có
Gọi z = x + yi với x, y ∈ ¡ thì
và
z= x +y
2

x= −

2

2

nhỏ nhất

⇔ z =x +y
2

2

2

nhỏ nhất hay

z = 5x2 + 6x +

9
4 nhỏ nhất khi

3
3
3 3
x= −
z= − − i
5 và
10 . Vậy số phức cần tìm là
5 10

Cách 2:

Xét điểm

M ( x; y)

biểu diễn cho số phức z = x + yi thỏa mãn điều kiện

z +2 =i - z thuộc đường thẳng ∆: 4 x + 2 y + 3 = 0 . z = OM , OM nhỏ nhất khi M là
hình chiếu vuông góc của O trên ∆, từ đó suy ra M.
Câu 3. Đáp án B
Cách 1: Đại số
Câu 9.

2
−2 − 3i
z + 1 = 1⇔ x2 + ( y + 1) = 1
Gọi z = x + yi với x, y ∈ ¡ . Khi đó 3 − 2i
 x = cosϕ

ϕ ∈ 0;2π 
 y = −1+ sinϕ

Đặt

, với

. Khi đó:

z = x2 + y2 = 3 + 2( cosϕ − sinϕ ) = 2( 1− sinϕ ) ≤ 4
2

ϕ=

3π
2 nên z lớn nhất bằng 2.

Cách 2:

12

. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:


Xét điểm

M ( x; y)

biểu diễn cho số phức z = x + yi thỏa mãn điều kiện

−2 − 3i
2
z+1 = 1
x2 + ( y + 1) = 1
3 − 2i
thuộc đường tròn
tâm I (0; - 1), bán kính R = 1.
z = OM
, OM lớn nhất khi OM = OI + R = 1 + 1 = 2.

Câu 4. Đáp án A

C1: Đại số
C2: Hình họC.
Câu 10.

Xét điểm

M ( x; y)

(

)(

)

v = z − i 2+ i
biểu diễn cho số phức z = x + yi , ta có
là một

( x − 2) + ( y + 3)
2

z − 2 + 3i =
số thuần ảo thì 2x − y + 1= 0 .

2

= MA

(trong đó A(2;
-3) biểu diễn cho số phức v = 2 – 3i). MA đạt GTNN khi M là hình chiếu vuông

góc của A trên đường thẳng 2x − y + 1= 0 , từ đó tìm được tọa độ M là nghiệm:


6
x
=
−

2x − y + 1= 0 
5
⇔

 x + 2y + 4 = 0  y = − 7

5
8 5
z − 2 + 3i = MA =
5
Vậy
Câu 5. Đáp án B
C1: Đại số
C2: Hình họC.
Câu 11.

Gọi

z = x + yi , A ( 4;0) , B( −4;0)

. Khi đó:

z − 4 + z + 4 = 10 ⇔ MA + MB = 10

nên

2

2

x y
+
=1
25
9
điểm M thuộc Elip có phương trình:
.
z = x2 + y2

Ta có
, nên
OB = OB’ = 3 = m
Vậy

z

đạt GTLN bằng OA = OA’ = 5 = M,

z

đạt GTNN bằng

v = ( m− 4i ) + ( 2 + Mi ) = 5 + i = 26

Câu 6. Đáp án D
C1: Đại số
C2: Hình họC.
Câu 12.

Xét điểm
đó,

G ( 1;2)

M ( x; y)

(

) (

) (

)

A 2;0 ; B −1;1 ;C 2;5
biểu diễn cho số phức z = x + yi ,
. Khi

2 z − 1− 2i = 3i + 1− 2z ⇔ 2x + 14y − 5 = 0
. Gọi G là trọng tâm ∆ABC thì
2

2

P = z − 2 + z + 1− i + z − 2 − 5i = MA 2 + MB2 + MC 2 = 3MG2 + GA 2 + GB2 + GC 2

13


P đạt giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của G trên 2x + 14y − 5 = 0 ,


17
x
=
2x + 14y − 5 = 0 
4
⇔

7x − y − 30 = 0
y = − 1

4
suy ra tọa độ của M là nghiệm:
Câu 13.

Câu 7. Đáp án A

z( i + 1) + 1+ i = 2 ⇔ ( x − 1) + y2 = 1
z
=
x

+
yi
Gọi
,
2

2

2

P = z − 2 + i − z + 1− 4i = x + y + 2
 x = 1+ cosϕ

y = sinϕ
ϕ ∈  0;2π 
Đặt 
, với
. Khi đó:

π
P = x + y + 2 = cosϕ +sinϕ +3= 2cos ϕ − ÷ + 3 ⇒ 3 − 2 ≤ P ≤ 3 + 2
4

Câu 14.

Khi đó:

Câu 8: Đặt z = x + yi , khi đó w = ( x + 3 + ( y − 1i ))( x + 1 − ( y − 3)i ) ∈ ¡ ⇔ y = x + 4
2
z = x 2 + y 2 = x 2 + ( x + 4)2 = 2( x + 2)2 + 8 ≥ 8 ⇔ z ≥ 2 2

z +2- i
= 2 Û x + 2 + ( y - 1)i = 2 x +1 + ( y +1)i
z
=
x
+
yi
z
+
1
i
Câu 15. Câu 9: Đặt
, khi đó:
2
2
Û ( x + 2) + ( y - 1) = 2( x +1)2 + 2( y +1) 2 Û x 2 + ( y + 3)2 = 10(1)
2
2
Ta tìm nhỏ nhất của T = x + y .
2
2
Cách 1(Đại số): Từ (1) x = 10 - ( y + 3) ³ 0 Û - 10 - 3 £ y £ 10 + 3 . Do đó:
2
T = x 2 + y 2 = 1 − 6 y ⇒ 19 − 6 10 ≤ T ≤ 19 + 6 10 ⇔ ( 10 − 3) 2 ≤ z ≤ ( 10 + 3) 2

Cách 2(Hình học): (1) là đường tròn (C) tâm I(0;-3), bán kính 10 ; còn
T = x 2 + y 2 là đường tròn tâm O, bán kính thay đổi (C’). Khi đó số phức cần tìm
phải là giao của hai đường tròn đã cho, số phức có mô đun lớn nhất là khi (C’)
tiếp xúc ngoài với (C) nhỏ nhất khi tiếp xúc trong với (C). Vẽ hình ta thấy được

đáp án A.
 x = 10 cos t
, t ∈ [ 0;2π ]

y
=
−
3
+
10
sin
t

Cách 3: Đặt 
, khi đó
T = x 2 + y 2 = 10cos 2 t + ( 10 sin t − 3) 2 = 19 − 6 10 sin t , dễ dàng tìm được GTNN,
GTLN.

Câu 10: Tương tự câu 2
Cách 1: Đại số thông thường.
Cách 2: Ta dùng hình học .
Câu 16.

z - 2 + 2i = 1 Û ( x - 2) 2 + ( y + 2) 2 = 1

, là đường tròn (C) tâm I(2 ;-2), bán kính

R=1(màu xanh)
T = x 2 + y 2 là đường tròn (C’) thay đổi(màu đỏ). GTLN là tiếp xúc ngoài tai điểm
A, GTNN là tiếp xúc tại B. Trong đó A, B là giao của đường thẳng y=-x với (C).

Ta tìm được đáp án A.
14


Cách 3 : Lượng giáC.
z − 2i = z + 2 ⇔ x + y = 0
Câu 17. Câu 11 :
, tức biểu diễn hình học của số phức
thỏa mãn giả thiết là đường thẳng y=-x. Xét điểm A(0 ;-2) và B(5 ;-9) thì
P = z + 2i + z − 5 + 9i = MA + MB
. Dễ thấy A, B cùng phía với đường thẳng y=-x,
nên MA+MB nhỏ nhất bằng BA’ trong đó A’ đối xứng với A qua đường thẳng
y=-x :

Ta dễ tìm được A’(2 ;0) dó đó P min=A’B= 3 10
1+ i
z + 2 = 1 ⇔ iz + 2 = 1 ⇔ z − 2i = 1 ⇔ x 2 + ( y − 2) 2 = 1
Câu 18. Câu 12: 1 − i
T = x2 + y2 = 4 y − 3

M = max z = 3

( y − 2) 2 ≤ 1 ⇔ 1 ≤ y ≤ 3

với

, do đó:

từ đó tìm được

m = min z = 1

và

m + iM = 10
2

z = z .z

Câu 13: Áp dụng tính chất
thì ta có
2
z + 2 − z − i = ( z + 2)( z + 2) − ( z − i )( z + i) = 2( z + z ) + 3 − i ( z − z ) = 4 x + 2 y + 3

Câu 19.
2

Khi đó:

z − 3 − 4i = 5 ⇔ ( x − 3) 2 + ( y − 4) 2 = 5

2
2
Đặt : T = 4 x + 2 y = 4( x − 3) + 2( y − 4) + 20 ≤ (16 + 4)(( x − 3) + ( y − 4) ) + 20 = 2 10 + 20
x −3
y−4=
2
Dấu
bằng
xảy

ra
khi
,
khi
2
2
( x − 3) + ( y − 4) = 5 ⇔ x = 5 ∨ x = 1 ⇒ y = 5 ∨ y = 3

Từ đó tìm được

z =5 2
15

đó


Câu 20.

Câu 14.

( 1 + i ) a + bi + 2 = i a + bi + 2 = 2 − b + ai
1+ i
z+2=
(
)
(
)
(
)
2

Cách 1: Gọi z=a+bi, khi đó 1 − i
1+ i
2
2
z + 2 = 1 ⇔ ( 2 − b) + a2 = 1
2 − b ) + a 2 = 1 ⇔ a 2 + b 2 = 4b − 3
(
1
−
i
=>
<=>
2

2
2
a 2 + b 2 ≤ 3 => z0 ≤ 3
2 − b ) ≤ 1 => 1 ≤ b ≤ 3
Ta có (
=> a + b = 4b − 3 ≤ 9 =>
. Dấu bằng xảy
ra khi a=0; b=3 => z0=3i.
Đáp án D
2

( 1 + i ) a + bi + 2 = i a + bi + 2 = 2 − b + ai
1+ i
z+2=
(
)

(
)
(
)
2
Cách 2: Gọi z=a+bi, khi đó 1 − i
1+ i
2
z + 2 = 1 ⇔ ( 2 − b) + a2 = 1
=> 1 − i
r r r r
r
r
2
u
≤ v − u + v => a 2 + b 2 ≤ ( 2 − b ) + a 2 + 2 = 3
u ( a; b ) , v ( 0; 2 )
2

Gọi
ta có:
Dấu bằng xảy ra khi a=0; b=3,
Đáp án D
Câu 21. Câu 15.
Cách 1: Gọi z=a+bi, khi đó
=>

( a − 3)

a2 + b2 =

a 2 + b2 =

Ta có
Đáp án D.

2

+ ( b − 4)

2

=>

( a − 3)

2

+ ( b − 4)

2

<=> 6a + 8b − 25 = 0

1
1
25 5
5
3
a 2 + b 2 62 + 82 ≥ ( 6a + 8b ) =

=
min z =
a = ;b = 2
10
10
10 2 =>
2 khi
2
=>

Cách 2: Gọi z=a+bi, khi đó

( a − 3)

a2 + b2 =

z − 3 + 4i =

2

+ ( b − 4)

2

z − 3 + 4i =

( a − 3)

2

+ ( b − 4)

<=> 6a + 8b − 25 = 0 <=>

2

a=

25 − 8b
6

2

5
 25 − 8b 
2
a +b = 
÷ +b ≥
2
 6 
2

ta có:

2

Dấu bằng xảy ra khi b=2,
Đáp án D.
Câu 22. Câu 16

a=

3
2

z − 2 − 4i = z − 2i ⇔ ( a − 2 ) + ( b − 4 ) = a 2 + ( b − 2 )
2

Cách 1: Gọi z=a+bi, khi đó

2

2

⇔ 4a + 4b = 16 ⇔ a + b = 4
1
2
a 2 + b2 ≥ ( a + b ) = 8
2
Ta có:
. Dấu bằng xảy ra khi a=b=2 => z=2+2i

Đáp án C

z − 2 − 4i = z − 2i ⇔ ( a − 2 ) + ( b − 4 ) = a 2 + ( b − 2 )
2

Cách 2: Gọi z=a+bi, khi đó
⇔ 4 s + 4b = 16 ⇔ a + b = 4

16

2

2


r
r
u ( a; b ) , v ( 1;1)
Gọi
r r rr
u v ≥ u.v

a
<=> (

Ta có:
=> z=2+2i
Đáp án C.
Câu 23. Câu 17.

2

+ b 2 ) 2 ≥ ( a + b ) = 16 => a 2 + b 2 ≥ 8
2

Cách 1: Gọi z=a+bi, khi đó
b+2a-2=0  b=2-2A.
a + b = a + ( 2 − 2a )

2

Ta

có:

2

2

2

. Dấu bằng xảy ra khi a=b=2

( z − 1) ( z + 2i ) = ( a 2 + b 2 − a − 2b ) + ( b + 2a − 2 ) i

là số thực nên

2

4 4

= 5a − 8a + 4 = 5  a − ÷ +
5 5.

2

Dấu

bằng

xảy

ra

khi

4
2
4
2
a = ; b = => z = + i
5
5
5
5

Đáp án B
Cách 2: Gọi z=a+bi, khi đó
b+2a-2=0
 b+2a=2.
r
r
Gọi

( z − 1) ( z + 2i ) = ( a 2 + b 2 − a − 2b ) + ( b + 2a − 2 ) i

là số thực nên

u ( a; b ) , v ( 2;1)

Ta có:

r r rr
u v ≥ u.v

<=>

(a

2

+ b 2 ) 5 ≥ ( 2a + b ) = 4 => a 2 + b 2 =
2

4
5 . Dấu bằng xảy ra khi

4
2
4
2
a = ; b = => z = + i
5
5
5
5

Đáp án B.
Câu 24. Câu 18.

z + i − 1 = z − 2i ⇔ ( a − 1) + ( b + 1) = a 2 + ( b + 2 )
2

Cách 1: Gọi z=a+bi, khi đó
2a+2b+2=0  b=-1-A.

2

2

1 1

a + b = a + ( −1 − a ) = 2a + 2a + 1 = 2  a + ÷ +
2 2 .

Ta có:
1
1
1
1 1
z =
a = − ; b = − => z = − − i
2
2
2
2 2 =>
2

2

2

2

2

2

Dấu

bằng

xảy

ra

khi

Đáp án A
z + i − 1 = z − 2i ⇔ ( a − 1) + ( b + 1) = a 2 + ( b + 2 )
2

Cách 2: Gọi z=a+bi, khi đó
2a+2b+2=0
 a+b=-1.
r
r
Gọi

2

2

u ( a; b ) , v ( 1;1)

Ta có:

r r rr
u v ≥ u.v

<=>

(a

2

+ b 2 ) 2 ≥ ( a + b ) = 1 => a 2 + b 2 =
2

1
2.

Dấu bằng xảy ra khi

1
1
1
1 1
z =

a = − ; b = − => z = − − i
2
2
2
2 2 =>

Đáp án A
Câu 25. Câu 19.

z − 3 − 3i = 2 ⇔ ( a − 3) + ( b − 3) = 2
2

Cách 1: Gọi z=a+bi, khi đó

3 2
a + 4 + b2 + 4)
(
2
2
2
=> a + b ≥ 8 . Dấu bằng xảy ra khi a = 2; b = 2 => z = 2 + 2i

<=> a 2 + b 2 + 16 = 6a + 6b ≤

17

2


Đáp án D

z − 3 − 3i = 2 ⇔ ( a − 3) + ( b − 3) = 2
2

Cáchr 2: Cách
1: Gọi z=a+bi, khi đó
r
Gọi

u ( a; b ) , v ( 3 − a;3 − b )
r r r r
u + v ≥ u +v

(a

2

Ta có:
<=>
a
=
b
=
2
=>
z = 2 + 2i
xảy ra khi
Đáp án D
Câu 26. Câu 20.

+ b2 ) +

( 3 − a)

2

+ ( 3 − b ) ≥ 3 2 => a 2 + b 2 = 2 2
2

z + 3i = z + 2 − i ⇔ a 2 + ( b + 3) = ( a + 2 ) + ( b − 1)
2

Cách 1: Gọi z=a+bi, khi đó

2

. Dấu bằng

2

2

bằng

xảy

⇔ 4a − 8b = 4 ⇔ a = 1 + 2b

a + b = ( 1 + 2b )
2

Ta
b=

có:

2

−2
1
1 2
=> a = => z = − i
5
5
5 5

2

2

2 1

+ b = 5b + 4b + 1 = 5  b + ÷ +
5 5.

2

2

Dấu

ra

khi

Đáp án D
z + 3i = z + 2 − i ⇔ a 2 + ( b + 3) = ( a + 2 ) + ( b − 1)
2

Cách 2: Gọi z=a+bi, khi đó

2

2

⇔ 4a − 8b = 4 <=> a − 2b = 1
r
r
u ( a; b ) , v ( 1; −2 )

Gọi

Ta có:
b=

r r rr
u v ≥ u.v

<=>

(a

2

+ b 2 ) 5 ≥ ( a − 2b ) = 1 => a 2 + b 2 ≥
2

−2
1
1 2
, a = => z = − i
5
5
5 5

Đáp án D.
Câu 27. Câu 21. Hướng dẫn giải: Chọn B

1
5.

z − 3i + 1 ≥ 0 nên z − 3i + 1min = 0 ⇔ z − 3i + 1 = 0 ⇔ z = −1+ 3i .
Vậy z =- 1 + 3i
Câu 28. Câu 22. Hướng dẫn giải:Chọn A
z + 2 + 3i
z− i
z + 2 + 3i
+2 =
=
2i + 1
2i + 1

2i + 1
z− i
+ 2 min ⇔ z + 2 + 3i min ⇔ z + 2 + 3i = 0
2i + 1

Nên
Vậy

z = −2 − 3i ⇒ z = 13

Câu 29.

Câu 23. Hướng dẫn giải:Chọn C

Kiểm tra nhanh thấy
Nên

4 + 2i
z−1 = 1
z = 0 thỏa mãn 1− i

z min = 0

Câu 30. Câu 24. Hướng dẫn giải: Chọn B
−2− 3i
z + 1 = 1 ⇔ −iz + 1 = 1
3− 2i

−iz + 1 = 1⇔ x2 + ( y + 1) = 1(*)
Gọi z = x + yi . Khi đó

2

18

Dấu bằng xảy ra khi


Điểm biểu diễn M(x; y) của z chạy trên đường tròn (*) . Cần tìm M thuộc đường
z =2
tròn này để OM lớn nhất. Dễ thấy OM lớn nhất khi M(0; - 2) . Vậy
Câu 31. Câu 25. Hướng dẫn giải: Chọn D
2
2
2
z = x + yi . Khi đó z + i = z + 1 ⇔ x + (y + 1) = ( x + 1) + y ⇔ x = y
2

Gọi

2

Nên
Nên

w = z+2i = x 2 +( y + 2) = 2x 2 + 4x + 4 ³

2

w min = 2

Câu 32. Câu 26. Hướng dẫn giải: Chọn C
2
2
2
z − 2− 4i = z − 2i ⇔ ( x − 2) + ( y − 4) = x2 + ( y − 2) ⇔ x + y − 4 = 0

2+i 2 + i
2
=
max ⇔ z min ⇔ x2 + ( 4 − x) min = 8
z
z
.
5
10
w max=
=
4
2 2
Vậy
w=

Câu 33.

Câu 27. Đáp án là C.

Giải:
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm
5; đường tròn này đi qua gốc toạ độ O.

I ( 3; −4)

Điểm biểu diễn A của z0 là điểm đối xứng của O qua I, nên
Suy ra z0 = 6 − 8i .
Câu 34. Câu 28. Đáp án là A.
Giải:
2;

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là hình tròn (C) tâm

I

(

, bán kính bằng

A ( 6; −8)

.

) , bán kính bằng

3;1

Các điểm biểu diễn của z1, z2 tương ứng là giao điểm của đường thẳng OI với
hình tròn (C).
Khi đó

z1 − z2

bằng đường kính của (C).

z −z = 4

Suy ra 1 2
.
Câu 35. Câu 29. Đáp án C
Giải:

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d : x + 2y + 3 = 0 . Điểm

biểu diễn H của z0 là hình chiếu vuông góc của gốc toạ độ O trên đường thẳng
D.
3 6
3 5
z0 = − − i
z0 =
5 .
5 5 . Do đó,
Tìm toạ độ của H, suy ra
Câu 36. Câu 30. Đáp án C

Giải:

19


Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là nửa mặt phẳng phía trên của đường
thẳng d1 : y = 1 và nửa mặt phẳng phía bên phải đường thẳng
d1; d2

Từ hình vẽ, ta suy ra giao điểm I của

1
d2 : x = .
2

là điểm biểu diễn cho z0.

1 
1
5
I  ;1÷
z0 = + i
z0 =
2 . Do đó,
2 .
Ta có  2  , suy ra
Câu 37. Câu 31. Đáp án D

Giải:
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là nửa mặt phẳng bên phải trục tung
(bao gồm cả trục tung). Nếu gọi
thoả mãn

z0 + 1− 2i

thì điểm H biểu diễn cho số phức z0

nhỏ nhất khi IH nhỏ nhất, tức là H là hình chiếu của I trên

trục tung. Suy ra toạ độ H là
Câu 38. Câu 32. Đáp án B
Giải:
Nếu gọi

I ( −1;2)

F1 ( −4;0) , F2 ( 4;0)

H ( 0;2)

. Vậy môđun của z0 bằng OH=2.

là điểm biểu diễn các số phức -4 và 4, M là điểm biểu

z − 4 + z + 4 = 10 ⇔ MF1 + MF2 = 10

diễn số phức z, khi đó

.

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là elip có các tiêu điểm
và có trục lớn bằng 10.

F1 ( −4;0) , F2 ( 4;0)

x2 y2
+
=1
Elip này có phương trình: 25 9

.

Điểm biểu diễn cho z0 chính là giao điểm của Elip với trục tung; toạ độ là

( ±3;0) .

Khi đó môđun của z0 bằng 3.
Câu 39. Câu 33.
Gọi z = x + yi

z + 2i − 1 = z + i ⇔ 4x + 8y + 9 = 0( d)

8x − 4y − 5 = 0.

, đường thẳng đi qua A vuông góc với d có pt:

 x − 3y − 4 = 0
 23 1 
⇒ M  ; ÷.

3x + y − 7 = 0
 10 10 
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: 
Câu 40. Câu 34.
z = x + yi

Gọi

z − 1+ 2i ≤ 2 5 ⇔ ( x − 1) + ( y + 2) ≤ 20
2

2

trình: y = −2x .

, Gọi

A ( 1; −2)

, đường thẳng OA có phương

x = 3
( x − 1) + ( y + 2) = 20 
 y = −6  M = 3 5
⇒ 
⇒


x
=
−
1
y
=
−
2
x
n = 0



  y = 2
2

2

Xét hệ:
Câu 41. Câu 35.

20


Gọi z = x + yi

2z + i = 2z − 3i + 1 ⇔ 4x + 8y + 9 = 0( d)

8x − 4y − 5 = 0

, đường thẳng đi qua A vuông góc với d có pt:

.

4x + 8y + 9 = 0
 1 23 
⇒ M  ; − ÷.

8
x
−
4
y

−
5
=
0
 20 20 
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: 
Câu 42. Câu 36.
z = x + yi

Gọi

z − 2 − 4i = z − 2i ⇔ x + y − 4 = 0

x− y = 0

, đường thẳng đi qua A vuông góc với d có pt:

.

x + y − 4 = 0

⇒ M ( 2;2) .
x− y = 0
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: 
2

2

z - 2- 4i = z - 2i ¾¾
® ( x - 2) +( y- 4) = x2 +( y - 2)

2

Câu 211. Ta có
Û x2 + y2 - 4x - 8y + 20 = x2 + y2 - 4y + 4 ¾¾
® y = 4- x .
2

2

z = x2 + y2 = x2 +( 4- x) = 2x2 - 8x +16 = 2( x - 2) + 8 ³ 2 2.

Khi đó
Vậy môđun nhỏ nhất của

z

là

2 2.

Û x = y = 2 ¾¾
® M = 8.

Xảy ra

Chọn A.

z = x + yi ( x; y Î ¡ )

Câu 212. Đặt

.
2

2

z + 2- 2i = z - 4i ¾¾
® ( x + 2) +( y- 2) = x2 + ( y- 4)

2

Ta có
2

2

2

Û ( x + 2) +( y- 2) = x2 +( y- 4) ¾¾
® y = 2- x .
w = iz +1= i ( x + yi ) +1= ix - y +1= ix - ( 2- x) +1= ( x - 1) + xi.

Khi đó
2

æ 1ö
1
2
w = ( x - 1) + x2 = 2ç

x- ÷
+ ³
÷
ç
÷
ç
è 2ø 2

2
2

Suy ra

. Chọn A.
M Î d ¾¾
® M ( 2y - 1; y)

Câu 213. Vì
Điểm
Ta có

M

.

biểu diễn số phức

z3

z3 = ( 2y- 1) + yi ( x; y Î ¡ ) .

, suy ra

w = 3z3 - z2 - 2z1 = 3( 2y- 1+ yi ) - ( - 5- 3i ) - 2( 1+ 3i ) = 6y +( 3y- 3) i.
2

2

2

w = ( 6y) +( 3y- 3) = 3 4y2 +( y- 1) = 3 5y2 - 2y +1

Suy ra
2

æ
1ö
4
2
6
÷
÷
=3 ç
5.y+ ³ 3.
=
.
ç
÷
÷ 5
ç

è
5ø
5
5

21


Du

"="

ổ 3 1ử
1
3
y = ắắ
đ x = - ắắ
đM ỗ
- ; ữ
ữ.
ỗ
ữ
ỗ
ố 5 5ứ
5
5

xy ra

Chn D.

z = x + yi ( x; y ẻ Ă )

Cõu 214. Gi

.
2

Ta cú

2

2

( x +1) +( y- 1) = x2 +( y- 3) 2x + 4y- 7 = 0

z +1- i = z - 3i

, suy ra

.

Suy ra tp hp cỏc s phc
z min = d[O;D ] =

Ta cú

- 7
2

2

2 +4

=

D : 2x + 4y - 7 = 0.

z

thuc ng thng

7 5
1
2 5
ắắ
đ w max =
=
.
10
z min
7

Chn B.

z2 - 2z + 5 = ( z - 1+ 2i ) ( z + 3i - 1)

Cõu 216. Ta cú
2

2

2

( z - 1) + 4 = ( z - 1+ 2i ) ( z + 3i - 1) ( z - 1) - ( 2i ) = ( z - 1+ 2i ) ( z + 3i - 1)
ộz - 1+ 2i = 0 (1)
( z - 1+ 2i ) ( z - 1- 2i ) = ( z - 1+ 2i ) ( z + 3i - 1) ờ
ờ( z - 1- 2i ) = ( z + 3i - 1) (2).
ờ
ở
đ w = - 1ắắ
đ P = w = 1.
( 1) ị z = 1- 2i ắắ

T
( 2)

z = x + yi ( x; y ẻ Ă )

Xột

. Gi

.
2

2

2

2

đ ( x - 1) +( y- 2) = ( x - 1) +( y + 3) y = ( z - 1- 2i ) = ( z + 3i - 1) ắắ

1
.
2

Ta cú
2

w = x-

ổử
1
3
3ữ 3
2
i - 2+ 2i = ( x - 2) + i ắắ
đ P = w = ( x - 2) +ỗ
ữ
ỗ
ữ 2 > 1.
ỗ
ố2ứ
2
2

Khi ú
Vy

Pmin = 1.

Chn C.
z1 = x1 + y1i

Cõu 217. t

v

z2 = x2 + y2i

vi

x1, x2, y1, y2 ẻ Ă .

2

z1 - 2i = 3 đ x +( y1 - 2) = 9 ắắ
đ
2
1



tp hp cỏc s phc

z1

2

( C ) : x +( y- 2) = 9
2

ng trũn


.

z2 + 2+ 2i = z2 + 2+ 4i
2

2

2

đ ( x2 + 2) +( y2 + 2) = ( x2 + 2) +( y2 + 4)

y2 + 3 = 0 ắắ
đ

2

tp hp cỏc s phc

z2

l ng thng

d: y=- 3

.

22

l


2

P = z1 - z2 = ( x2 - x1) +( y2 - y1)

2

Ta có

đây chính là khoảng cách từ điểm
A ( x1; y1) Î ( C )

điểm

z2 - z1 min Û ABmin .

. Do đó

B ( x2 ; y2 ) Î d

Dựa vào hình vẽ ta tìm được

đến

ABmin = 2

khi

A ( 0;- 1) , B( 0;- 3)

. Chọn B.
Nhận xét. Ở bài này đường thẳng và đường tròn có vị trí đặc biệt nên vẽ hình
sẽ nhận ra ngay được hai điểm

A

&

B

, nếu không thì viết phương trình đường

( C)

thẳng qua tâm của
rồi loại điểm.

và vuông góc với

d

( C)

, sau đó tìm giao điểm với

và

d

z = x + yi ( x; y Î ¡ )

Câu 218. Gọi
2

. Ta có

2

2

2

z - 2 - z + i = 1® ( x - 2) + y - x - ( y +1) = 1¾¾
® 2x + y- 1= 0.
2

2


Suy ra tập hợp các số phức

z1

là đường

D : 2x + y- 1= 0.

thẳng
z - 4- i = 5 ¾¾
® ( x - 4) +( y- 1) i = 5


2

2

Û ( x - 4) +( y- 1) = 5.

Suy ra tập hợp các số phức
2

2

z2

là đường tròn

I ( 4;1)

( C ) : ( x - 4) +( y- 1) = 5

có tâm

và bán kính

R = 5.

Khi đó biểu thức

P = z1 - z2

là khoảng cách từ một điểm thuộc

D

đến một điểm

( C)

thuộc

.
Pmin = MN = d[ I , D ] - R =

Từ đó suy ra

8
5
2

-

5=

3 5
.
5

Chọn D.
2

z - ( 3+ 4i ) = 5 ¾¾
® ( x - 3) +( y - 4) = 5.

Câu 219. Vì
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức
bán kính
Ta có

R= 5

z

( C)

là đường tròn

.

2
2
2
2ù

2
P = ( x + 2) + yi - x +( y- 1) i = ( x + 2) + y2 - é
êx +( y- 1) ú
ë
û

.

= 4x + 2y + 3 Û 4x + 2y + 3- P = 0.

23

I ( 3;4)

có tâm

và


Ta tìm

P

sao cho đường thẳng

Û d[ I , D ] £ R Û

Do đó

( C)

D : 4x + 2y + 3- P = 0
12+ 8+ 3- P
20

Pmax = 33

. Dấu

và đường tròn

có điểm chung

£ 5 Û 23- P £ 10 Û 13 £ P £ 33.

"="

ìï 4x + 2y- 30 = 0
Û ïí
Û
ïï ( x - 3) 2 +( y- 4) 2 = 5
î

xảy ra

ïì x = 5
íï
ïîï y =5

.

2

z = 5 +( - 5) = 5 2
2

Vậy

. Chọn D.
z = x + yi ( x; y Î ¡ )

Câu 220. Gọi

.
2

2

z - 2- 4i = 5 ® ( x - 2) + ( y- 4) = 5.

Ta có
Suy ra tập hợp các số phức
I ( 2;4)

tâm

, bán kính

R= 5

Gọi
z1, z2

( C)

là đường tròn

OI

y = 2x

là

.

lần lượt là hai điểm biểu diễn của số phức

. Khi đó tọa độ điểm

phương trình

M, N

là nghiệm của hệ

ìï y = 2x
ï
í
ïï ( x - 2) 2 +( y- 4) 2 = 5
î

éïì x = 1
êïí
êï y = 2
ìï z = 1+ 2i
ïî
Û ê
¾¾
® ïí 1
¾¾
® w = 4 + 8i.
êì
ïïî z2 = 3+ 6i
êïï x = 3
êí
êïïî y = 6
ë

Chọn A.

( 1+ i ) z +1- 7i = 2 Û 1+ i z +

Câu 221. Ta biến đổi
Û

2. z - ( 3+ 4i ) = 2 Û z - ( 3+ 4i ) = 1.

Đẳng thức

1- 7i

= 2
1+ i

( *)

( *)
R =1

chứng tỏ tập các số phức

z

I ( 3;4)

là đường tròn tâm

.

Khi đó

có

.

Phương trình đường thẳng
M, N

z1, z2

ìï Pmin = OI - R = 5- 1 = 4

ïì m= 4
ïí
¾¾
® ïí
¾¾
® S = 2.
ïï Pmax = OI + R = 5+1= 6
ïîï M = 6
î

Câu 222. Ta có

- 2- 3i
=- i
3- 2i

nên

Chọn B.

- 2- 3i
z +1 = 1Û - iz +1 = 1
3- 2i

24

, bán kính


Û - i . z+

1
= 1Û z- ( - i ) = 1
- i

. Đẳng thức này chứng tỏ tập các số phức
I ( 0;- 1)

tròn tâm
Khi đó

R =1

, bán kính

.

ìï m= 0
ïìï Pmin = OI - R = 1- 1 = 0
¾¾
® ïí
¾¾
® S = 2018.
í
ïï Pmax = OI + R = 1+1= 2
ïîï M = 2
î

z = x + yi ( x; yÎ ¡ )

Câu 223. Gọi

z

và

M

Chọn C.

là điểm biểu diễn số phức
2

z.

2

( x - 2) +( y- 3) i = 1¬¾® ( x - 2) +( y- 3) = 1.

Từ giả thiết, ta có
Khi đó tập hợp các điểm

I ( 2;3)

M

thuộc đường tròn tâm

P = z +1+ i = z +1+ i = z +1- i

Ta có

Vậy

A ( - 1;1) ¾¾
® P = MA

. Đặt

ìï P = AI - R = 13- 1
ï min
.
í
ïï P = AI + R = 13 +1
ïî max

R = 1.

, bán kính
.

Chọn B.

P = z +1+ i = z +1+ i = z +1- i

Cách Đại số: Ta có

.

1= z - 2- 3i = ( z +1- i ) - 3- 2i ³ z +1- i - - 3- 2i = P -

13

Theo giả thiết:
1³ P -

13 ¾¾
®- 1£ P -

13 £ 1¬¾
® 13 - 1£ P £ 13 +1.

Suy ra
Câu 224. Vì
w=

Ta có
Vì

w

z

không là số thực nên

z- z ¹ 0

.

z

z
z
¾¾
®w=
=
.
2 + z2
2 + z2 2+ z 2
w=wÛ

là số thực nên

z
z
=
2
2+ z
2+ z2

éz - z = 0 ( loaïi)
2
Û z( 2 + z 2 ) = z ( 2 + z2 ) Û 2( z - z ) = z.z ( z - z ) Û ê
Û z = 2 ® z = 2.
êz.z = 2
ë
z

Suy ra tập các số phức
A ( - 1;1) ¾¾
® P = MA

Đặt
Vậy

với

là đường tròn tâm

Câu 225. Biến đổi
1
z' =
z

, khi đó

Chọn B.

z +i
i
1
1
= 1+ = i = - i
z
z
z
z

ìï
ïï z ' £ 1
2

í
ïï
P
=
z
'- i
ïïî

, bán kính

là điểm biểu diễn của số phức

Pmax = AO + R = 2 + 2 = 2 2.
P=

Đặt

M

O( 0;0)

( 1)

.

( 2)
25

.

z

.

R= 2

.

là đường