Chuyên đề lượng giác ôn thi THPT Quốc gia môn Toán – Nguyễn Hồng Điệp

NGUYỄN HỒNG ĐIỆP

ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
ĐẠI SỐ 11

LƯỢNG GIÁC
y

(0, 1)
3
2

− 12 ,
2
2
2 , 2

−

3π
4

120◦

5π
6

2
2
2 , 2

π
2

2π
3

3 1
2 ,2

−

3
1
2, 2

π
3

90◦

60◦

150◦
(−1, 0)

π

30◦

7π

6

−

◦

11π
6

300◦

7π
4

270
4π
3

2
2
2 ,− 2

− 21 , −

330◦
240◦

5π
4

(1, 0)

2π

360
0◦ ◦

210◦

−

π
6

180◦

3
1
2 ,−2

3 1
2 ,2

π
4

3π
2

3

2

5π
3

2
2
2 ,− 2
3
1
2,− 2

(0, −1)

2018

3
1
2 ,−2

x


Chữ kí (ˆ .ˆ )

Tên...............................................

u
v
a

B

01ds – LATEX– 201803

LƯỢNG GIÁC
Copyright © 2018 by Nguyễn Hồng Điệp


Nguyễn Hồng Điệp

Phần I

Lý thuyết
1

Công thức lượng giác

1.1

Công thức lượng giác cơ bản

• sin2 x + cos2 x = 1

• tan x. cot x = 1

• tan x =

sin x
cos x

• 1 + tan 2 x =

• cot x =

cos x
sin x

• 1 + cot 2 x =

1.2

1
cos2 x
1
sin2 x

Mất dấu trừ

• − cos( x) = cos(π − x)

• − tan x = − tan(− x)

• − sin x = sin(− x)

• − cot x = cot(− x)

1.3

Đổi chéo

• cos x = sin

π

−x

• cot x = tan

−x
2
π
• tan x = cot − x
2

2
π
• sin x = cos − x
2

1.4

Hơn kém nhau

• − sin x = cos

π

π

2

+x

• − tan x = cot

2
π
• − cot x = tan + x
2

2

π

π

2

+x

• − cos x = sin x −

π

2

Công thức cộng
• sin( x + y) = sin x cos y + sin y cos x

• tan( x + y) =

tan x + tan y
1 − tan x tan y

• tan( x − y) =

tan x − tan y
1 + tan x tan y

• sin( x − y) = sin x cos y − sin y cos x
• cos( x + y) = cos x cos y − sin x sin y
• cos( x − y) = cos x cos y + sin x sin y

2.1

Công thức nhân đôi
2 tan x

• sin 2 x = 2 sin x cos x

• tan 2 x =

• cos 2 x = cos2 x − sin2 x
= 2cos2 x − 1
= 1 − 2sin2 x

1 + cos 2 x
2
1 − cos 2 x

• sin2 x =
2
• cos2 x =

3

1 − tan2 x


Nguyễn Hồng Điệp

2.2

Công thức nhân ba

• sin 3 x = 3 sin x − 4sin3 x

• cos3 x =

3 cos x + cos 3 x
4

• sin3 x =

3 sin x − sin 3 x
4

• cos 3 x = 4cos3 x − 3 cos x
• tan 3 x =

2.3

3 tan x − tan3 x
1 − 3 tan2 x

Tích thành tổng

• cos x. cos y =

1
[cos( x − y) + cos( x + y)]
2

• sin x. sin y =

1
[cos( x − y) − cos( x + y)]
2

2.4

• sin x. cos y =

Tổng thành tích

x+ y
x− y
cos
2
2

x− y
x+ y
sin
• cos x − cos y = −2 sin
2
2
x+ y
x− y
• sin x + sin y = 2 sin
cos
2
2
x− y
x+ y
sin
• sin x − sin y = 2 cos
2
2
• cos x + cos y = 2 cos

• tan x + tan y =

sin( x + y)
cos x cos y

• tan x − tan y =

sin( x − y)
cos x cos y

• cot x + cot y =

3

1
[sin( x − y) + sin( x + y)]
2

sin( x − y)
sin x sin y

• cot x − cot y =

2 sin x +

• sin x + cos x =

4
π
2 cos x −
4

=

• sin x − cos x =

2 sin x −

• 1 + sin 2 x = (sin x + cos x)2

sin( x + y)
sin x sin y

• 1 − sin 2 x = (sin x − cos x)2

Phương trình cơ bản

• sin x = sin u ⇔

x = u + k 2π
x = π − u + k2π

• cos x = cos u ⇔

x = u + k2π
x = − u + k 2π

3.2

• tan = tan u ⇔ x = u + kπ

• cot = cot u ⇔ x = u + kπ

Công thức nghiệm thu gọn

• sin x = 1 ⇔ x =

π

2

π

4
π
= − 2 cos x +
4

Phương trình lượng giác

3.1

π

• cos x = 1 ⇔ x = k2π

+ k 2π

π
• sin x = −1 ⇔ x = − + k2π
2

• cos x = −1 ⇔ x = π + k2π

• sin x = 0 ⇔ x = kπ

• cos x = 0 ⇔ x =

4

π

2

+ kπ


Nguyễn Hồng Điệp

4

Tập xác định
• Căn thức
• Phân thức

f ( x) xác định ⇔ f ( x) ≥ 0
1
xác định ⇔ f ( x)
f ( x)

• Căn thức ở mẫu:

1

f ( x)

0

xác định ⇔ f ( x) > 0

• y = sin f ( x) xác định ⇔ f ( x) xác định.
• y = cos f ( x) xác định ⇔ f ( x) xác định.
• y = tan x xác định ⇔ cos x

0⇔x

• y = cot x xác định ⇔ sin x

0⇔x

5

π

2

+ kπ

k π.

GTLN, GTNN của hàm số lượng giác
• −1 ≤ cos x ≤ 1,

−1 ≤ sin x ≤ 1

• 0 ≤ cos2 x ≤ 1,

0 ≤ sin2 x ≤ 1

• 0 ≤ | cos x| ≤ 1,

0 ≤ | sin x| ≤ 1

6

• −1 ≤ cos x ≤ 1 ⇔ −1 ≤ − cos x ≤ 1

• −1 ≤ sin x ≤ 1 ⇔ −1 ≤ − sin x ≤ 1

Phương trình lượng giác cơ bản

6.1

Phương trình sin

① sin x = sin α ⇔

x = α + k 2π
,k ∈ Z
x = π − α + k 2π

② sin x = m
• Nếu | m| > 1 thì phương trình vô nghiệm.
• Nếu | m| ≤ 1
1
2
3
,±
, ±1
◦ m ∈ 0, ± , ±

2
2
2

thì m = sin α với α là các góc đặc biệt trong bảng lượng

giác.
1
2
3
◦ m ∉ 0, ± , ±
,±
, ±1
2
2
2

thì

sin x = m ⇔

6.2

x = arcsin m + k2π
,k ∈ Z
x = π − arcsin m + k2π

Phương trình cos

① cos x = cos α ⇔

x = α + k 2π
,k ∈ Z
x = −α + k2π

② sin x = m
• Nếu | m| > 1 thì phương trình vô nghiệm.

5


Nguyễn Hồng Điệp
• Nếu | m| ≤ 1
1
2
3
◦ m ∈ 0, ± , ±
,±
, ±1
2
2
2

thì m = sin α với α là các góc đặc biệt trong bảng lượng

giác.
1
2
3
◦ m ∉ 0, ± , ±

,±
, ±1
2
2
2

thì

cos x = m ⇔

6.3

x = arcsin m + k2π
,k ∈ Z
x = − arcsin m + k2π

Phương trình tan

① tan x = tan α ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z
② tan x = m
• Nếu m ∈ 0, ±

3
, ±1, ± 3
3

thì m = tan α với α là các góc đặc biệt trong bảng lượng

3
, ±1, ± 3

3

thì

giác.
• Nếu m ∉ 0, ±

tan x = m ⇔ x = arctan m + kπ, k ∈ Z

6.4

Phương trình cotan

① cot x = cot α ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z
② cot x = m
• Nếu m ∈ 0, ±

3
, ±1, ± 3
3

thì m = cot α với α là các góc đặc biệt trong bảng lượng

3
, ±1, ± 3
3

thì

giác.

• Nếu m ∉ 0, ±

cot x = m ⇔ x = arctan m + kπ, k ∈ Z

7

Phương trình bậc 2 đối với hàm số lượng giác
• asin2 x + b sin x + c = 0, đặt t = sin x, điều kiện | t| ≤ 1
• acos2 x + b cos x + c = 0, đặt t = cos x, điều kiện | t| ≤ 1
• atan2 x + b tan x + c = 0, đặt t = tan x, điều kiện x
• acot2 x + b cot x + c = 0, đặt t = cot x, điều kiện x

π

2

+ kπ ( k ∈ Z )

kπ ( k ∈ Z )

• Nếu đặt : t = sin2 x hoặc t = |sin x| , thì điều kiện là 0 ≤ t ≤ 1.

6


Nguyễn Hồng Điệp

8

Phương trình bậc nhất theo sin và cos

Dạng a sin x + b cos x = c

(1),

① điều kiện có nghiệm a2 + b2 ≥ c2 .
② Chia hai vế phương trình (1) cho
a
a2 + b 2

9

a2 + b2 ta được
b

sin x +

a2 + b 2

Phương trình đối xứng
• Dạng:

a.(sin x ± cos x) + b. sin x. cos x + c = 0

• Đặt: t = cos x ± sin x =

2. cos x ∓

π

4

, | t| ≤

2

1
⇒ t2 = 1 ± 2 sin x. cos x ⇒ sin x. cos x = ± ( t2 − 1).
2
• Lưu ý:
◦ cos x + sin x =
◦ cos x − sin x =

2 cos x −

π

4
π

=

2 sin x +

π

4
π
= − 2 sin x −
2 cos x +

4
4

7

cos x =

c
a2 + b 2


Nguyễn Hồng Điệp

Phần II

Trắc nghiệm hàm số lượng giác
1

Tập xác định

1.1

Hàm sin và côsin

Câu 1. Tìm tập xác định D của hàm số y = sin 4 x.
A D = R.
B D = [−1; 1].
D D = R\

C D = [−4; 4].

Câu 2. Tập xác định của hàm số y = cos
A x > 0.
B x ≥ 0.

kπ
,k ∈ Z .
4

x là

C R.

D x 0.

Câu 3. Trong các hàm số sau, hàm số nào có tập xác định là R?
A y = sin

x.

2
x

B y = cos .

C y = sin

Câu 4. Tìm tập xác định D của hàm số y = sin
A D = R.
B D = R \ {0}.
Câu 5. Tìm tập xác định D của hàm số y = sin

A D = R.

B D = R \ {4}.

.

D y = cot 2 x.

x.

C D = [0; +∞).
1

x2 − 4

Câu 6. Tìm tập xác định D của hàm số y = cos
A D = R.

1

x2 + 1

B D = R \ {−1; 1}.

D D = (0; +∞).

.

C D = R \ {−4; 4}.

D D = R \ {−2; 2}.

1
.
1 − x2
C D = [−1; 1].

D D = (−1; 1).

Câu 7. Tìm tập xác định D của hàm số y = cos x.
π
A D = R \ {kπ, k ∈ Z}.
B D = R\
+ k2π, k ∈ Z .
2

C D = R.
Câu 8. Tập xác định của hàm số y = sin
A D = R\ {−1} .
C D = (−∞; −1) ∪ (0; +∞).

D D = R \ {k2π, k ∈ Z}.
x
là :
x+1

B D = (−1; +∞) .
D D = R.

Câu 9. Tập xác định của hàm số y = sin − x là :

A D = [0; +∞).
B D = (−∞; 0).
C D = R.

D D = (−∞; 0].

Câu 10. Tập xác định của hàm số y = cos 1 − x2 là :
A D = (−1; 1).
B D = [−1; 1] .
C D = (−∞; −1) ∪ (1; +∞).
D D = (−∞; −1] ∪ [1; +∞).
Câu 11. Tập xác định của hàm số y = cos
A D = [−1; 0).
C D = (−∞; −1] ∪ (0; +∞).

x+1
là :
x
B D = R\ {0}.

D D = (0; +∞).

8


Nguyễn Hồng Điệp

1.2

Hàm tan và côtan

Câu 12. Tìm tập xác định D của hàm số y = tan x.
π
A D = R.
B D = R\
+ k π, k ∈ Z .
C D = R\

π

+ k2π, k ∈ Z .

2

D D=

π

2

2
+ k2π, k ∈ Z .

Câu 13. Hàm số y = tan x xác định trên khoảng nào dưới đây?
A (0; π).

B −

3π
;0 .

2

C

−π π
; .
2 2

D (−π; 0).

Câu 14. Tìm tập xác định D của hàm số y = tan 2 x.
π
π
A D = R\ + kπ, k ∈ Z .
B D = R\ + kπ, k ∈ Z .
2

2
π kπ
D D = R\ + , k ∈ Z .
4
2

C D = R\ kπ, k ∈ Z .

Câu 15. Tìm tập xác định D của hàm số y = cot x.
π
A D = R.
B D = R\
+ k π, k ∈ Z .

2
D D = R \ {k2π, k ∈ Z}.

C D = R \ {kπ, k ∈ Z}.

Câu 16. Hàm số y = cot x xác định trên khoảng nào dưới đây?
A (0; π).

B

−π π
; .
2 2

C (−π; π).

D −

3π
;0 .
2

x
2

Câu 17. Tìm tập xác định D của hàm số y = tan .
A D = R \ {2}.
C D = R\

π

B D = R \ {π + k2π, k ∈ Z}.
+ k π, k ∈ Z .

2

D D = R \ {k2π, k ∈ Z}.

Câu 18. Tìm tập xác định D của hàm số y = tan x +
π

C D = R\

1.3

2

6

.

2π
+ k π, k ∈ Z .
3
π
D D = R\
+ k π, k ∈ Z .
3

A D = R \ − + k π, k ∈ Z .

π

π

B D = R\

6
+ k π, k ∈ Z .

Hàm phân thức lượng giác

Câu 19. Tìm tập xác định D của hàm số y =

2
.
sin x

B D = R\

C D = R \ {kπ, k ∈ Z}.
Câu 20. Tập xác định của hàm số y =
A x

π

2

+ k π.

B x

k π.

B x

C x
1
là
sin x − cos x

k 2π .

Câu 22. Tập xác định của hàm số y =
A R.

1 − 3 cos x
là
sin x

k 2π .

Câu 21. Tập xác định của hàm số y =
A x

π

+ k π, k ∈ Z .
2
D D = R \ {k2π, k ∈ Z}.

A D = R.

C x

kπ
.
2
π

2

+ k π.

D x

D x

2
là:
sin x

B R\ {0}.

C R\ {kπ}.

9

D R\

k π.

π

4

+ k π.

π

2

+ kπ .


Nguyễn Hồng Điệp
2 sin x
là:
1 + cos x
C R.
B R\ {π + k2π}.

Câu 23. Tập xác định của hàm số y =
π

A R\

2

+ kπ .

D R\ {−1}.

1 − sin x
là:
cos x − 1
π
B R\ + kπ .
C R\ {kπ}.
2

Câu 24. Tập xác định của hàm số y =
A R.

1.4

Hàm căn thức

Câu 25. Tìm tập xác định D của hàm số y =
A D = R.
π

C D=

2

cos x + 1.
B D = R \ {−π + k2π, k ∈ Z}.

+ k π, k ∈ Z .

D D = {π + k2π, k ∈ Z}.

Câu 26. Tập xác định của hàm số y =
A D = ∅.
B D = R.

1 − sin x là:

Câu 27. Tập xác định của hàm số y =
A R.
B ∅.

sin x − 2 là:

1.5

D R\ {k2π}.

C D = [−1; 1].

D D = (−1; 1).

C R\ {1}.

π

D R\

2

+ kπ .

Các dạng kết hợp

Câu 28. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
1
có tập xác định D = R.
sin x
C Hàm số y = cot x có tập xác định D = R.

B Hàm số y = tan x có tập xác định D = R.

A Hàm số y =

D Hàm số y = sin x có tập xác định D = R.

Câu 29. Tập xác định của hàm số y = tan 2 x + cot 2 x là:
A R\

kπ
.
4

B R\

kπ
.
2

Câu 30. Tập xác định của hàm số y =

A x

k2π.

B x=

π

3

π

2

+ k π.

π

2

+ kπ .

C


x


x

π

+ kπ

2
k 2π

C x = k π.
1 + cos x
sin2 x

B R\ {kπ} .

kπ
+ kπ .
4

D R\

.

D

π



x

+ kπ

2
.
π
+ kπ
3


x

cot x
là:
cos x

B x = k 2π .

Câu 32. Tập xác định của hàm số y =
A R\

tan x
là:
cos x − 1

+ k 2π .

Câu 31. Tập xác định của hàm số y =
A x=

C R\ {kπ}.

D x

π
k .
2

là:
C R.

D R\ {π + k2π}.

1
.
cos x(sin 2 x + 1)
π
π
π
π
A D = R\ − + kπ; + kπ, k ∈ Z .
B D = − + k π; + k π , k ∈ Z .
4
2
4
2
π
π
C D = R\ − + k2π, k ∈ Z .
D D = R\ + kπ, k ∈ Z .
2
2
1

Câu 34. Tìm tập xác định D của hàm số y =
.
(cos x − 1). sin x
π
A D = R\ + k2π, k ∈ Z .
B D = R\ {kπ, k ∈ Z}.
2
C D = R\ {k2π, k ∈ Z}.
D D = {kπ, k ∈ Z}.

Câu 33. Tìm tập xác định D của hàm số y =

10


Nguyễn Hồng Điệp
ĐÁP ÁN CÂU TRẮC NGHIỆM
1.
11.
21.
31.

A
C
D
D

2.
12.
22.

32.

B
B
D
B

3.
13.
23.
33.

C
C
B
A

2

Tính chẵn lẻ

4.
14.
24.
34.

C
D
C
B

5. D
15. C
25. A

6. D
16. A
26. B

7. C
17. B
27. B

8. A
18. D
28. D

9. D
19. C
29. A

10. B
20. D
30. C

Câu 35. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
C y = cot 3 x.
A y = sin 2 x.
B y = cos 3 x.

D y = tan 2 x.

Câu 36. Hàm số lượng giác nào dưới đây là hàm số chẵn?
A y = sin 2 x.
B y = cos 2 x.
C y = 2 sin x + 1.

D y = sin x + cos x.

Câu 37. Hàm số lượng giác nào dưới đây là hàm số lẻ?
A y = sin2 x.
B y = sin x.
C y = cos 3 x.

D y = x sin x.

Câu 38. Xét trên tập xác định của hàm số thì khẳng định nào sau đây là đúng?
A Hàm số y = sin 3 x là hàm số chẵn.
B Hàm số y = cos(−3 x) là hàm số chẵn.
C Hàm số y = tan 3 x là hàm số chẵn.
D Hàm số y = cot 3 x là hàm số chẵn.
Câu 39. Xét trên tập xác định của hàm số thì khẳng định nào sau đây là sai?
A Hàm số y = sin 2 x là hàm số lẻ.
B Hàm số y = tan 2 x là hàm số lẻ.
C Hàm số y = cot 2 x là hàm số lẻ.
D Hàm số y = cos 2 x là hàm số lẻ.
Câu 40. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
A y = |sin x|.
B y = x2 sin x.

C y=

x
.
cos x

D y = x + sin x.

C y=

sin x + 1
.
cos x

D y = sin x + cos x.

Câu 41. Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?
A y = | tan x|.

B y = cot 3 x.

ĐÁP ÁN CÂU TRẮC NGHIỆM
35. B

3

36. B

37. B

38. B

39. D

40. A

41. B

GTLN-GTNN

3.1

Bậc nhất đối với sin và côsin

Câu 42. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = 7 − 2 cos x +
A −2 và 7.

B −2 và 2.

π

4

lần lượt là:

C 5 và 9.

D 4 và 7.

C T = R.

D T = [−1; 1].

Câu 43. Tìm tập giá trị T của hàm số y = sin 2 x.
1 1
.
2 2

A T= − ;

B T = [−2; 2].

Câu 44. Xét trên tập xác định của hàm số thì khẳng định nào sau đây là đúng?
1
có tập giá trị là [−1; 1].
cos x
C Hàm số y = cot x có tập giá trị là [−1; 1].

A Hàm số y =

B Hàm số y = tan x có tập giá trị là [−1; 1].
D Hàm số y = sin x có tập giá trị là [−1; 1].

11


Nguyễn Hồng Điệp
Câu 45. Hàm số y = cos x nhận giá trị âm với mọi x thuộc khoảng nào trong các khoảng
sau?
π

π
π
A − ;0 .
B (0; π).
C
;π .
D 0; .
2

2

Câu 46. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y = 3 + 2 cos x.
A M = 1.
B M = 4.
C M = 2.

2

D M = 5.

Câu 47. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = 2 + 3 cos x.
A M = 5 và m = 2.
B M = 5 và m = 1.
C M = 2 và m = −1.
D M = 2 và m = 1.
Câu 48. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = 2 sin x − 3.
A M = −1 và m = −5. B M = −1 và m = −3. C M = 5 và m = −1.
D M = −5 và m = 5.
Câu 49. Giá trị lớn nhất M của hàm số y = 3 − 2 sin 3 x là:
A M = −1.

B M = 5.
C M = 3.
Câu 50. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3 sin x +
A 3.

π

bằng bao nhiêu?

4

C 0.

B −1.

Câu 51. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y = 2 − | cos x|.
A M = 1.
B M = 3.
C M = 0.
Câu 52. Giá trị lớn nhất của hàm số y = cos x +
A max y = 1.

1
3

D −3.
D M = 2.

2 − cos2 x là:

C max y = 2.

B max y = .

D M = 1.

D max y =

2.

Câu 53. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = 4 sin x + 3 − 1 lần lượt là:
A 2 và 2.
B 2 và 4.
C 4 2 và 8.
D 4 2 − 1 và 7.

3.2

Bậc 2

Câu 54. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin2 x − 4 sin x − 5 là:
C 0.
A −20.
B −8.

D 9.

Câu 55. Giá trị lớn nhất của hàm số y = 1 − 2 cos x − cos2 x là:
C 0.
A 2.

B 5.

D 3.

8

Câu 56. Giá trị lớn nhất của biểu thức A = sin x + cos8 x là:
A

1
.
8

B

1
.
4

Câu 57. Tập giá trị của hàm số y =
A T = [0; 1].

3.3

C
1
2

sin x
1

B T = 0; .
2

+

1
.
2

D 1.

1
là
cos2 x

C T = (−∞; 1].

D T = [4, +∞).

Hàm nhất biến đối với sin và côsin

Câu 58. Tập giá trị của hàm số y = cos x + sin x là:
A − 2; 2 .
B [−2; 2].
C R.

D [−1; 1].

Câu 59. Tập giá trị của hàm số y = 3 sin x + 4 cos x là:
A T = [−3; 3].

B T = [−4; 4].
C T = (4; ∞].

D T = [−5; 5].

Câu 60. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin x − cos x là:
A 1 và −1.
B 1 và 2.
C − 2 và 2.
D − 2 và 1.
Câu 61. Giá trị lớn nhất của hàm số y =
A 2.

B −1.

π π
3 sin x + cos x trên đoạn − ;
là:
3 6
C 3.
D 1.

12


Nguyễn Hồng Điệp

3.4

Phân thức

Câu 62. Tập giá trị của hàm số y =
A T = [−2; 1].
C T = (−∞, −2] ∪ [1, +∞).

D T = R\ {1}.

Câu 63. Tập giá trị của hàm số y =
A T=

2
;2 .
11

sin x + 2 cos x + 1
là:
sin x + cos x + 2
B T = [−1; 1].
cos x + 2 sin x + 3
là:
2 cos x − sin x + 4

B T = [−1; 1].

Câu 64. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
1
2

1
2

A 2 và .
1
3

D T = R.

C T = [−7; 1].

2 + cos x
là:
sin x + cos x − 2

B − và 2.

C − và −3.

D Một kết quả khác.

sin x + 1
đạt giá trị nhỏ nhất tại?
sin x + cos x + 2
π
A x= .
B x = 0.
2
π
π
C x = + kπ, (k ∈ Z).
D x = − + kπ, (k ∈ Z).

2
2

Câu 65. Hàm số y =

3.5

Hàm tan và côtan

Câu 66. Tập giá trị của hàm số y = cot 2 x là:
A R.
B R\ {kπ}.

C [−2; 2].

D Kết quả khác.

Câu 67. Tập giá trị của hàm số y = tan x + cot x là:
A T = R \ (−2; 2).
B T = [−2; 2].
C T = − 2,

D T = (−∞; −2].

2 .

Câu 68. Tập giá trị của hàm số y = tan 3 x + cot 3 x là:
A [−2; 2].
B [−1; 1].
C [−π; π].

D R \ (−2; 2).

Câu 69. Tập giá trị của hàm số y = tan 2 x là:
A [−1; 1].

3.6

B R\

π

4

+

kπ
.
2

C R.

D [−2; 2].

Xét trên đoạn

Câu 70. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y = cos x trên đoạn
1
2

A M= .

B M = 0.

π π
;
.
3 2

C M = 1.

D M = −1.
π 5π

Câu 71. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = 1 − 2 sin x trên đoạn − ;

6 6

A m = −1.

C m = 2.

B m = 0.

π π

4 3

B M = 2.

C M = 3−

B m = −1.

C m = 1.

13

.

D M = 4.

3.

Câu 73. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = cot x trên đoạn
A m = 0.

1
2

D m= .

Câu 72. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y = 3 − tan x trên đoạn − ;
A M = 0.

.

π 2π
;
.

4 3

D m = − 3.


Nguyễn Hồng Điệp
π π

Câu 74. Giá trị lớn nhất của hàm số y = tan x trên khoảng − ;

2 4

A 0.

B −1.

là:

C 1.

D 2.
π π

Câu 75. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2sin2 x + 3 trên đoaạn − ;
A 5.

B 3.

C

6 3

7
.
2

là:
D

9
.
2

ĐÁP ÁN CÂU TRẮC NGHIỆM
42.
52.
62.
72.

C
C
A
D

43.
53.
63.
73.

D

D
A
D

44.
54.
64.
74.

D
B
D
C

45.
55.
65.
75.

C
A
D
B

46. D
56. D
66. A

47. B
57. D

67. A

14

48. A
58. A
68. D

49. B
59. D
69. C

50. D
60. C
70. A

51. D
61. C
71. A


Nguyễn Hồng Điệp

Phần III

Trắc nghiệm phương trình lượng giác
1

Cơ bản

Câu 76. Hỏi x =

π

3

là nghiệm của phương trình nào sau đây?

A 2 sin x = −1.
Câu 77. Hỏi x =

B 2 sin x = 1.
π

4

C 2 sin x = − 3.

D 2 sin x =

3.

là nghiệm của phương trình nào sau đây?

A sin x = 1.

1
2

C sin x. cos x = .

B cos x = 1.

Câu 78. Nghiệm đặc biệt nào sau đây là sai
π
A sin x = −1 ⇔ x = − + k2π.

B sin x = 0 ⇔ x = kπ.

2
C sin x = 0 ⇔ x = k2π.

D sin x = 1 ⇔ x =

Câu 79. Tìm tập nghiệm S của phương trình sin x. cos x −

π

C S = − + k π, k ∈ Z .
4

1
3

A sin x = .

2

+ k2π.

1
là nghiệm của phương trình nào sau đây?
3
1
1
1
B sin( x + 2π) = − .
C sin x = arcsin − . D sin( x + π) = − .
3
3
3

Câu 81. Nghiệm của phương trình sin x = 1 là:
π
π
A x = − + k 2π .
B x = + k π.
2

π

π

= 0.
4
3π
B S=
+ k π, k ∈ Z .
4
3π

D S = k π;
+ k π, k ∈ Z .
4

A S = {kπ, k ∈ Z}.

Câu 80. Hỏi x = arcsin −

D sin 2 x = 0.

2

C x = k π.

D x=

π

2

+ k2π.

Câu 82. Cho a là một số thực. Phương trình sin x = sin a tương đương với
A x = a + k2π ∨ x = −a + k2π(k ∈ Z).
B x = a + k2π ∨ x = π − a + k2π(k ∈ Z).
C x = a + kπ (k ∈ Z).
D x = −a + kπ (k ∈ Z).
Câu 83. Phương trình sin x = −1 tương đương với
π
A cos x = 0.

B x = − + kπ ( k ∈ Z).

2
π
D x = + k2π ∨ x = − + k2π ( k ∈ Z).
2
2

π

π

C x = − + k2π (k ∈ Z).
2

3
.
2
π
4π
+ k 2π , k ∈ Z .
B S = − + k2π,
3
3
π
5π
D S=
+ k 2π ,
+ k 2π , k ∈ Z .
12

12

Câu 84. Tìm tập nghiệm S của phương trình sin 2 x = −
π

2π
+ k 2π , k ∈ Z .
6
3
π
5π
C S=
+ k 2π ,
+ k 2π , k ∈ Z .
6
6

A S = − + k 2π ,

Câu 85. Tìm tập nghiệm S của phương trình cos x = 1.
A S = {k2π, k ∈ Z}.
B S = {kπ, k ∈ Z}.
C S=

π

2

+ k π, k ∈ Z .

D S=

kπ
,k ∈ Z .
2

Câu 86. Nghiệm của phương trình cos x = −1là:
A x = π + k π.

π

B x = − + k2π.

C x = π + k 2π .

2

15

D x=

3π
+ k π.
2


Nguyễn Hồng Điệp
1
2

Câu 87. Nghiệm của phương trình cos x = − là:
π

π

A x = ± + k 2π .

B x = ± + k2π.

3

C x=±

6

2π
+ k 2π .
3

π

D x = ± + kπ .
6

2
.
2
3π
3π
3π

3π
A S = − + k π;
+ k π, k ∈ Z .
B S = − + k 2π ;
+ k 2π , k ∈ Z .
8
8
8
8
3π
π
3π
π
+ k π; + k π, k ∈ Z .
D S=
+ k 2π ; + k 2π , k ∈ Z .
C S=
8
8
8
8
1
Câu 89. Tìm tập nghiệm S của phương trình cos 3 x = .
3
1
1
1
1
A S = − arccos + k2π; arccos + k2π, k ∈ Z .
3

3
3
3
1 k 2π
1 k2π
B S = − arccos +
; arccos +
,k ∈ Z .
9
3
9
3
1
1
C S = − arccos + k2π; arccos + k2π, k ∈ Z .
9
9
1
1 k 2π 1
1 k 2π
D S = − arccos +
; arccos +
,k ∈ Z .
3
3
3 3
3
3

Câu 88. Tìm tập nghiệm S của phương trình cos 2 x = −

Câu 90. Tìm tập nghiệm S của phương trình cos 2 x =
A S = R.
1
2

1
2 + kπ; arccos
2

B S = − arccos
C S = ∅.

π

π

4

4

D S = − + k2π;

2.

2 + k π, k ∈ Z .

+ k2π .

3

.
2
B S = {120◦ + k360◦ ; −180◦ + k360◦ , k ∈ Z}.

Câu 91. Tìm tập nghiệm S của phương trình cos( x + 30◦ ) = −
A S = {120◦ + k360◦ ; k360◦ , k ∈ Z}.
C S = {120◦ + k180◦ ; k180◦ , k ∈ Z}.

D S = {120◦ + k180◦ ; −180◦ + k180◦ , k ∈ Z}.
π

Câu 92. Tìm tập nghiệm S của phương trình cos 2 x = cos .

3
π
π
A S = − + k π; + k π, k ∈ Z .
B S = − + k2π; + k2π, k ∈ Z .
6
6
6
6
π
π
π
π
+ k π ; + k π, k ∈ Z .
+ k2π; + k2π, k ∈ Z .
C S=
D S=

6
3
6
3
1
Câu 93. Tìm tập nghiệm S của phương trình cos x = cos .
2
1
1
1
1
A S=
+ k2π; π − + k2π, k ∈ Z .
B S = − + k2π; + k2π, k ∈ Z .
2
2
2
2
π
π
π
2π
+ k2π;
+ k 2π , k ∈ Z .
C S = − + k2π; + k2π, k ∈ Z .
D S=
3
3
3
3

π

π

Câu 94. Tìm tập nghiệm S của phương trình cos 3 x = cos 45◦ .
A S = {15◦ + k120◦ ; 45◦ + k120◦ , k ∈ Z}.
B S = {−15◦ + k120◦ ; 15◦ + k120◦ , k ∈ Z}.
C S = {15◦ + k360◦ ; 45◦ + k360◦ , k ∈ Z}.
D S = {−15◦ + k360◦ ; 15◦ + k360◦ , k ∈ Z}.
1
2
B S = {−45◦ + k180◦ ; 45◦ + k180◦ , k ∈ Z}.

Câu 95. Tìm tập nghiệm S của phương trình cos (2 x − 30◦ ) = − .
A S = {−45◦ + k360◦ ; 75◦ + k360◦ , k ∈ Z}.
C S = {−45◦ + k180◦ ; 75◦ + k180◦ , k ∈ Z}.

D S = {−75◦ + k180◦ ; 75◦ + k180◦ , k ∈ Z}.

16


Nguyễn Hồng Điệp
x
3
+ 20◦ = −
.
2
2
B S = {260◦ + k360◦ ; −340◦ + k360◦ , k ∈ Z}.

Câu 96. Tìm tập nghiệm S của phương trình cos
A S = {260◦ + k360◦ ; 20◦ + k360◦ , k ∈ Z}.
C S = {260◦ + k720◦ ; 20◦ + k720◦ , k ∈ Z}.

D S = {260◦ + k720◦ ; −340◦ + k720◦ , k ∈ Z}.

Câu 97. Tìm tập nghiệm S của phương trình cos 2 x −
7π
11π
A S=
+ k π;
+ k π, k ∈ Z .
24
24
π
π
C S = − + k π; + k π, k ∈ Z .
24
24

π

1
= .
2
7π
π
+ k π; − + k π, k ∈ Z .
24

24
7π
7π
−
+ k2π;
+ k 2π , k ∈ Z .
24
24
π
= cos x + .
4
π
π
k2π
− + k 2π ; − +
,k ∈ Z .
12
36
3
7π k 2π
π
+
,k ∈ Z .
− + k2π; −
12
36
3

4

B S=
D S=

Câu 98. Tìm tập nghiệm S của phương trình cos 2 x +

π

3
11π
A S = − + k2π;
B S=
+ k2π, k ∈ Z .
12
36
5π
π
C S = − + k 2π ;
+ k2π, k ∈ Z .
D S=
12
36
Câu 99. Phương trình cot x = 1 tương đương với
π
A cos x = 1.
B x = + kπ, k ∈ Z.
C tan x = 1.
2
x
Câu 100. Phương trình tan = tan x có họ nghiệm là
2

C x = π + k2π, k ∈ Z.
A x = k2π, k ∈ Z.
B x = kπ, k ∈ Z.
π

D x = kπ, k ∈ Z.

D x=

π

2

+ kπ, k ∈ Z.

Câu 101. Nghiệm của phương trình sin 3 x = sin x là:
π
π
π
A x = + k π.
B x = k π; x = + k .
2

C x = k 2π .

D x=

π

2

4
2
+ kπ; k = k2π..

Câu 102. Nghiệm của phương trình cos 3 x = cos x là:
π
A x = k2π.
B x = k 2π ; x = + k 2π .
2
π
D x = k π ; x = + k 2π .
2

π

C x=k .
2

ĐÁP ÁN CÂU TRẮC NGHIỆM
76. D
86. C
96. D

2

77. C
87. C
97. B

78. C
88. A
98. D

79. D
89. D
99. C

80. B
90. C
100. A

81. D
91. B
101. D

82. B
92. A
102. C

83. C
93. B

Đưa về Cơ bản

Câu 103. Tìm họ nghiệm của phương trình

π

− 1 = 0.

3
π
B x = − + kπ, k ∈ Z.
6
D x = kπ, k ∈ Z.

3 cot x +

π

A x = − + 2kπ, k ∈ Z.
6
C x = 2 kπ, k ∈ Z.

Câu 104. Phương phương trinh 1 + tan x = 0 có họ nghiệm là
π
π
A x = + k π , k ∈ Z.
B x = + k2π, k ∈ Z.
4

4

π

C x = − + kπ, k ∈ Z.
4

4

Câu 105. Phương trình tan 2 x = 1 có họ nghiệm là
kπ
, k ∈ Z.
8
2
π
C x = + k2π, k ∈ Z.
4

A x=

π

π

D x = − + k2π, k ∈ Z.
π

+ kπ, k ∈ Z.
4
π
D x = + k2π, k ∈ Z.
4

B x=

+

17

84. A
94. B

85. A
95. C


Nguyễn Hồng Điệp
Câu 106. Họ nghiệm của phương trình cot x +
π
A x = − + kπ, k ∈ Z.
C x=

π

3

3 = 0 là

π

B x = − + k π , k ∈ Z.

3
+ k2π, k ∈ Z.

6
D x = + k π , k ∈ Z.
6
π

Câu 107. Phương trình tan (2 x + 12◦ ) = 0 có họ nghiệm là
A x = −6◦ + k180◦ , k ∈ Z.
B x = −6◦ + k360◦ , k ∈ Z.
C x = −12◦ + k90◦ , k ∈ Z.
D x = −6◦ + k90◦ , k ∈ Z.
Câu 108. Họ nghiệm của phương trình

3π
= 0 là
5
π
π
B x = − + k , k ∈ Z.
5
4
π
π
D x = − + k , k ∈ Z.
5
3

3 tan 3 x +

π
+ k , k ∈ Z.
8
4
π
π

C x = − + k , k ∈ Z.
5
2

A x=

π

Câu 109. Phương trình tan x = cot x có họ nghiệm là
π
π
π
A x = − + kπ, k ∈ Z.
B x = + k , k ∈ Z.
C x=

π

4

4
+ kπ, k ∈ Z.

4
2
π
π
D x = + k , k ∈ Z.
4
4

Câu 110. Nghiệm của phương trình 3 + 3 tan x = 0 là:
π
π
π
A x = + k π.
B x = + k 2π .
C x = − + k π.

D x=

Câu 111. Nghiệm của phương trình cot x +
π
π
A x = + k 2π .
B x = + k π.

D x = − + k π.

3

2

3

6

3 = 0 là:

Câu 112. Nghiệm của phương trình 2 sin 4 x −

π
7π
π
+k ;x =
+k .
8
2
24
2
C x = kπ; x = π + k2π.

π

3

6

+ k π.

3

− 1 = 0 là:
π

+ k2π.
2
π
D x = π + k2π; x = k .
2
Câu 113. Nghiệm của phương trình sin x. cos x = 0 là:

π
π
A x = + k 2π .
B x=k .
C x = k 2π .
2
2
Câu 114. Nghiệm của phương trình sin x. cos x. cos 2 x = 0 là:
π
π
A x = k π.
B x=k .
C x=k .
2
8
Câu 115. Nghiệm của phương trình 2. sin x. cos x = 1 là:
π
A x = k2π.
B x = k π.
C x=k .
2
Câu 116. Nghiệm của phương trình sin 3 x = cos x là:
π
π
π
π
A x = + k ; x = + k π.
B x = k 2π ; x = + k 2π .
8
2

4
2
π
π
C x = k π ; x = + k π.
D x = kπ ; x = k .
4
2
Câu 117. Nghiệm của phương trình cos x + sin x = 0 là:
π
π
A x = − + k π.
B x = + k π.
C x = k π.
4
6

A x=

2

π

C x = − + k π.

6

π

π

π

B x = k 2π ; x =

D x=

π

6

+ k2π.

π

D x=k .
4

D x=

D x=

π

4

π

4

+ k π.

+ k π.

Câu 118. Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ của pt sin 4 x + cos 5 x = 0 theo thứ tự là:
A x=−

π

18

;x =

π

6

.

B x=−

π

18

;x =

2π
.
9

C x=−

π

18

;x =

Câu 119. Nghiệm của phương trình cos4 x − sin4 x = 0 là:
π
π
π
A x= +k .
B x = + k π.
C x = π + k 2π .
4

2

2

18

π

2

.

D x=−

π

18

D x = k π.

;x =

π

3

.


Nguyễn Hồng Điệp
x
2

Câu 120. Giải phương trình lượng giác: 2 cos +
5π

A x = ± + k2π.
3
.

3

B x=±

5π
+ k 2π .
6

3 = 0 có nghiệm là:

C x=±

5π
+ k 4π .
6

D x=±

5π
+ k4π.
3

Bậc 2

Câu 121. Phương trình nào sau đây vô nghiệm
A sin x + 3 = 0.
B 2cos2 x − cos x − 1 = 0.
C tan x + 3 = 0.
D 3 sin x − 2 = 0.
Câu 122. Phương trình lượng giác cos2 x + 2 cos x − 3 = 0 có nghiệm là:
A x = k2π.
B ..

C x = 0.
Vô nghiệm
Câu 123. Phương trình sin2 x − 2 sin x = 0 có nghiệm là
π
A x = k2π.
B x = k π.
C x = + k π.
2

D x=

D x=

Câu 124. Nghiệm dương bé nhất của phương trình 2sin2 x + 5 sin x − 3 = 0 là
π

π

A x= .

C x=

B x= .

6

2

3π
.

2

3
= 0 có nghiệm là:
4
π
π
C x = ± + k π.
B x = ± + k π.
3
6

D x=

π

2
π

2

+ k2π.

+ k2π.

5π
.
6

Câu 125. Phương trình cos2 2 x + cos 2 x −

2π

A x = ± + k π.
3
.

Câu 126. Phương trình lượng giác cos2 x + 2 cos x − 3 = 0 có nghiệm là
π
C x = + k2π.
A x = k2π.
B x = 0.
2

3
= 0 có nghiệm là
4
π
π
B x = ± + k π.
C x = ± + k π.
3
6

π

D x = ± + k 2π .
6

D Vô nghiệm.

Câu 127. Phương trình cos2 2 x + cos 2 x −
A x=±

2π
+ k π.
3

π

D x = ± + k 2π .
6

2

Câu 128.
Phương trình tan x + 5 tan x − 6 = 0 có họ nghiệm
là


x=

π

π
x = − + kπ
4
B 
, k ∈ Z.
x = arctan(−6) + k2π

+ k 2π

4
, k ∈ Z.
x = arctan(−6) + k2π

π
x = + kπ

4
, k ∈ Z.
C
x = arctan(−6) + kπ

A 

Câu 129.
Họ nghiệm của phương trình

π

+ kπ
4
, k ∈ Z.
π
x = + kπ
6

π
x = + k 2π


4
, k ∈ Z.
C 
π
x = + k 2π
6

x=

A 


Câu 130.
Phương trình

x=

A 


x=

π

4
π
3

+ kπ

+ kπ

.

D

x = kπ
x = arctan(−6) + kπ

, k ∈ Z.

3 tan2 x − 
1 + 3 tan x + 1 = 0 là
π
x = + k 2π

3
B 
, k ∈ Z.
π
x = + k 2π
4

π
x = + kπ

3
, k ∈ Z.
D 
π

x = + kπ
6

2
3tan
 x −π(3 + 3) tan x + 3 =0 có πnghiệm
 x = + kπ
x = + kπ


4
4
B
.
C 
.
π
π

 x = + kπ
x = − − kπ
3
3

19

π
x = − + kπ

4

D 
.
π
x = − + kπ
3




Nguyễn Hồng Điệp
Câu 131.
Nghiệm của phương trình sin2 x − 5 sin x + 6 = 0 là

x = α + k 2π

 x = π − α + k2π
,với sin α = 2, sin β = 3.
A 
 x = β + k 2π

x = π − β + k 2π
x = α + k 2π

C

x = β + k 2π

B Vô nghiệm .

D x = k π.

.

Câu 132. Nghiệm của phương trình 2sin2 x − 5 sin x − 3 = 0 là:
π

A x = − + k 2π ; x =
C x=

π

2

6

7π
+ k 2π .
6

π

5π
+ k 2π .
3
6
π
5π
D x = + k 2π ; x =
+ k2π.
4

4

B x=

+ k π ; x = π + k 2π .

+ k2π; x =

Câu 133. Nghiệm của phương trình 3cos2 x − 8 cos x − 5 là:
A x = k π.
B x = π + k 2π .
C x = k 2π .

4

π

D x = ± + k 2π .
2

Đưa về bậc 2

Câu 134. Phương trình lượng giác sin2 x − 3 cos x − 4 = 0 có nghiệm là
π
π
C x = + k π.
A x = − + k 2π .
B x = −π + k2π.

D Vô nghiệm.

Câu 138. Phương trình cos4 x − cos 2 x + 2sin6 x = 0 có nghiệm là:
π
π
π
C x = k π.
A x = + kπ .
B x= +k .

D x = k 2π .

2

6
Câu 135. Họ nghiệm của phương trình tan x + cot x = −2 là
π
π
A x = + k2π, k ∈ Z.
B x = − + k2π, k ∈ Z.
4
4
π
π
C x = + kπ, k ∈ Z.
D x = − + kπ, k ∈ Z.
4
4
Câu 136. Phương trình cos 2 x + 4 cos x + 1 = 0 có nghiệm là
π
π

π kπ
π
A x = + kπ, k ∈ Z.
B x = + k2π, k ∈ Z. C x = + , k ∈ Z.
D x = + kπ, k ∈ Z.
2
2
2
2
4
Câu 137. Phương trình 4 cos x − 2 cos 2 x − cos 4 x = 1 cócác nghiệm là:



π
π
π
2π
π
π
π
x= +k
x
=
=
k
x = + kπ
x= +k



6
3.
3
3 .
2
4
2.
A 
.
B 
C 
D 
π
π
x=k
x = k 2π
x = kπ
x=k
4
2

2

4

2

3
= 0 có nghiệm là:
4

π
π
π
A x = ± + k π.
B x = ± + k π.
C x = ± + k π.
3
6
4
π
π
5
Câu 140. Phương trình cos 2 x + + 4 cos − x = có nghiệm là:
3
6
2


π
π
π
x = − + k 2π
x = + k2π
x = − + k2π



3
6
6

A 
.
B 
.
C 
.
π
5π
3π
x = + k 2π
x=
+ k2π
+ k 2π
x=
2
6
2

Câu 139. Phương trình sin2 2 x − 2cos2 x +

D x=±



D 


2π
+ k π.
3

π

+ k 2π
3
.
π
x = + k 2π
4

x=

Câu 141. Nghiệm của phương trình cos2 x + sin x + 1 = 0 là:
π
π
π
A x = − + k 2π .
B x = + k 2π .
C x = − + k π.

D x = ± + k 2π .

Câu 142. Nghiệm của phương trình 2 cos 2 x + 2 cos x 2 = 0
π
π
π
A x = ± + k 2π .
B x = ± + k π.
C x = ± + k 2π .

D x = ± + k π.

2

4

2

2

4

3

20

π

2

π

3


Nguyễn Hồng Điệp
Câu 143. Phương trình lượng giác: sin2 x − 3 cos x − 4 = 0 có nghiệm là:
π
π
A x = − + k 2π .
B x = −π + k2π.

C x = + k π.

D Vô nghiệm.

Câu 144. Phương trình lượng giác: cos2 x + 2 cos x − 3 = 0 có nghiệm là:
π
A x = k2π.
B x = 0.
C x = + k2π.

D Vô nghiệm.

2

6

2

Câu 145. Nghiêm của phương trình sin4 x − cos4 x = 0 là:
π

A x = ± + k 2π .
4

5

B x=

3π
+ k 2π .

4

C x=

−π
+ k π.
4

D x=

π

4

+

kπ
.
2

Thuần nhất đối với sin và côsin

Câu 146. Phương trình a sin x + b cos x = c có nghiệm khi và chỉ khi
A a2 + b 2 > c 2 .
B a2 + b 2 < c 2 .
C a2 + b 2 ≥ c 2 .

D a2 + b 2 ≤ c 2 .

Câu 147. Phương trình lượng giác: cos x −

π
A x = + k 2π .
B Vô nghiệm.

D x=

6

3 sin x = 0 có nghiệm là:
π
C x = − + k 2π .
6

Câu 148. Nghiệm của phương trình sin x +
π
π
A x = − + k 2π .
B x = − + k π.
3

3

Câu 149. Phương trình:
π

1
A sin 3 x − = − .
6
2

3. cos x = 0 là :
π
C x = + k π.
3

π

2

+ k π.
π

D x = − + k π.
6

3. sin 3 x + cos 3 x = −1 tương đương với phương trình nào sau đây:
π
π
π
1
π
1
B sin 3 x + = − .
C sin 3 x + = − .
D sin 3 x + = .
6
6
6
2
6

2

Câu 150. Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm:
A

1
1
cos 4 x = .
4
2
D cot2 x − cot x + 5 = 0.

B

3 sin x = 2.

C 2 sin x + 3 cos x = 1.
Câu 151. Phương trình:
π

1
A sin 3 x − = − .
6
2

3. sin 3 x + cos 3 x = −1 tương đương với phương trình nào sau đây:
π
π
π
1

π
1
C sin 3 x + = − .
B sin 3 x + = − .
D sin 3 x + = .
6
6
6
2
6
2

Câu 152. Nghiệm của phương trình
2π
A x = ± + k2π .
3

3 sin x − cos x = 2 là
2π
2π
+ k 2π .
B x=
C x = − + k 2π .
3
3

Câu 153. Nghiệm của pt sin x + cos x = 2 là:
π
π
A x = + k 2π .

B x = − + k2π.
4

Câu 154. Nghiệm của pt sin x −

5π
13π
+ k 2π ; x =
+ k 2π .
A x=
12
12
π
5π
C x = + k 2π ; x =
+ k 2π .
6
6

D x=

π

6

3 cos x = 1 là

π

21

+ k2π; x =

π

+ k 2π .
2
6
π
5π
D x = + k 2π ; x =
+ k2π.
4
4
Câu 155. Nghiệm của phương trình cos x + sin x = 1 là:
π
π
A x = k2π; x = + k2π.
B x = k π ; x = − + k 2π .
2
2
π
π
C x = + kπ; x = k2π.
D x = + k π; x = k π.
6
4
Câu 156. Nghiệm của phương trình cos x + sin x = −1 là:
π
π

A x = π + k 2π ; x = − + k 2π .
B x = π + k2π; x = + k2π.
2
2
π
π
C x = − + k π ; x = k 2π .
D x = + k π; x = k π.
3
6

B x=

2

+ k2π.

D x = π6 + k2π.

C x = − + k 2π .

4

π


Nguyễn Hồng Điệp
Câu 157. Nghiệm của phương trình sin x +
π

5π
A x = − + k2π; x =
+ k2π.
12
12
π
2π
C x = + k 2π ; x =
+ k 2π .
3
3

2 là:
π
3π
B x = − + k 2π ; x =
+ k 2π .
4
4
π
5π
D x = − + k 2π ; x = − + k 2π .
4
4

3 cos x =

Câu 158. Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
A 3 sin 2 x − cos 2 x = 2.
B 3 sin x − 4 cos x = 5.

π

D

C sin x = cos .
4

3 sin x − cos x = −3.

Câu 159. Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm
A

1
1
cos 4 x = .
4
2
2
D cot x − cot x + 5 = 0.

B

3 sin x = 2.

C 2 sin x + 3 cos x = 1.

Câu 160. Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
A 3 sin 2 x − cos 2 x = 2.
B 3 sin x − 4 cos x = 5.
π

C sin x = .

D

3

3 sin x − cos x = −3.

Câu 161. Phương trình nào sau đây có dạng phương trình bậc nhất đối với sin x, cos x?
A sin x + cos 3 x = 2.
B 2 cos 2 x + 10 sin x + 1 = 0.
C sin 2 x − 2 cos 2 x = 2.
D cos2 x + sin x + 1 = 0.
Câu 162. Nghiệm của phương trình : sin x + cos x = 1 là :


x = k 2π

B
.
π
x = + k2π
2


A x = k2π.
Câu 163.
Phương trình


π

A 


6

x = − + k2π
4
.
π
x = + k 2π
6

C x=

π

4

+ k2π.


D 

x=

π

4

+ k 2π

.
π
x = − + k2π
4

3
− 1 sin x −
3 + 1 cos x + 3 − 1 = 0 có các nghiệm
là:

π
π
π
x = − + k 2π
x = − + k 2π
x = − + k2π



6
2
8
.
.
B 
C 
.

D 
π
π
π
x = + k2π
x = + k 2π
x=
+ k 2π
3
9
12

Đưa về thuần nhất

Câu 164. Phương trình 2sin2 x +
A x=

π

3

3 sin 2 x = 3 có nghiệm là:
2π
4π
B x=
+ k π.
C x=
+ k π.
3
3

+ k π.

Câu 165.
Phương trình sin x+ cos x =

x=


A 

x=

π

4
π
6

+k
+k

2 sin 5 x có nghiệm
là:

π
π
π
x=
+k

x=
+k


16
2
12
2
B 
C 
π
π.
π
π .
x=
+k
x= +k
24
3
8
3
π

π

2
π.
3

D x=



D 

5π
+ k π.
3

x=

A 

+ k 2π

4
x = kπ

.

Câu 167. Nghiệm của phương trình sin2 x +
π
π
A x = + k π; x = + k π.
2

π

6

C x = − + k2π; x = −

6

x = − + k 2π
3
.
C 
x = k2π

x = − + kπ
4
.
B 
x = kπ

5π
+ k 2π .
6

π

π
x = − + kπ
3
.
D 
x = kπ

3 sin x cos x = 1 là:
π
π

B x = + k2π; x = + k2π.
2
6
π
5π
D x = + k 2π ; x =
+ k2π.
6
6

22

+k

18
2
π
π .
x= +k
9
3

Câu 166.
Nghiệm của phương
cos 7 x. cos 5 x − 3 sin 2 x = 1 − sin 7 x. sin 5
x là

 trình
π
π

π
x=

π


Nguyễn Hồng Điệp

7

Phương trình tích

Câu 168. Nghiệm dương nhỏ nhất của pt 2 sin x + 2 2 sin x cos x = 0 là:
A x=

3π
.
4

π

π

C x= .

B x= .
4

3
π

π
Câu 169. Tìm tập nghiệm S của phương trình sin x − . cos x − = 0.
4
6
π
2π
π
+ k π;
+ k π, k ∈ Z .
+ k π, k ∈ Z .
A S=
B S=
4
3
4
2π
π
C S=
+ k π, k ∈ Z .
+ k π, k ∈ Z .
D S=
3
3

D x = π.

Câu 170. Tìm tập nghiệm S của phương trình sin ( x + 30◦ ) . cos ( x − 45◦ ) = 0.
A S = {−30◦ + k180◦ , k ∈ Z}.
B S = {−30◦ + k180◦ ; 135◦ + k180◦ , k ∈ Z}.
D S = {45◦ + k180◦ , k ∈ Z}.

C S = {135◦ + k180◦ , k ∈ Z}.
Câu 171.
Nghiệm của phương

 trình : sin x. 2 cos x −  3 = 0 là
A 

x = kπ
.
π
x = ± + k2π
6

B 

x = kπ
.
π
x = ± + kπ
6

C 

x = k2π
.
π
x = ± + k 2π
3

π

D x = ± + k 2π .
6

Câu 172. Phương trình cos2 x + cos2 2 x + cos2 3 x + cos2 4 x = 2 tương đương với phương trình:
A cos x. cos 2 x. cos 4 x = 0.
B cos x. cos 2 x. cos 5 x = 0.
C sin x. sin 2 x. sin 4 x = 0.
D sin x. sin 2 x. sin 5 x = 0.
Câu 173. Phương trình sin2 x + sin2 2 x = sin2 3 x + sin2 4 x tương đương với phương trình nào sau
đây?
A cos x. cos 2 x. cos 3 x = 0.
B cos x. cos 2 x. sin 3 x = 0.
C cos x. sin 2 x. sin 5 x = 0.
D sin x. cos 2 x. sin 5 x = 0.
Câu 174. Phương trình cos2 x + cos2 2 x + cos2 3 x + cos2 4 x = 2 tương đương với phương trình nào
sau đây?
A cos x. cos 2 x. cos 4 x = 0.
B cos x. cos 2 x. cos 5 x = 0.
C sin x. sin 2 x. sin 4 x = 0.
D sin x. sin 2 x. sin 5 x = 0.
Câu 175. Phương trình sin 3 x − 4 sin x. cos 2 x = 0 có các nghiệm là:
x = k 2π
.
A 
π
x = ± + nπ
3



x = kπ
.
B 
π
x = ± + nπ
6





C 


x=k

π

2
.
π
x = ± + nπ
4

2π
x = k 3
.
D 


2π
+ nπ
x=±
3


Câu 176.
Phương trình sin 8
x − cos 6 x =

+ kπ
4
π
π.
x=
+k
12
7

x=

A 


3 (sin 6 x + cos
là:
 8 x)πcó các họ nghiệm 
π
x = + kπ
x = + kπ

x = + kπ



3
5
8
B 
C 
D 
π.
π.
π.
π
π
π
x= +k
x= +k
x= +k
6
2
7
2
9
3
π

π

Câu 177.

Phương trình: (sinx − sin 2 x) (sin x + sin 2 x) = sin2 3 x có các nghiệm là:

x=k


A 

π

x=k

3
π.
x=k
2


B 

π

2π
3 .
C 
x = kπ


6
π.
x=k

4

x=k

Câu 178. Nghiệm của pt cos2 x − sin x cos x = 0 là:
π
π
π
A x = + k π; x = + k π.
B x = + k π.
C x=

4
π
2

2

D

2
5π
7π
D x=
+ k π; x =
+ k π.
6
6

+ k π.

23

x = k 3π
x = k 2π

.


Nguyễn Hồng Điệp
Câu 179. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình (2 sin x − cos x) (1 + cos x) = sin2 x là:
π

A x= .

B x=

6

5π
.
6

C x = π.

D x=

π

12

.

Câu 180. Giải phương trìnhcos3 x − sin3 x = cos 2 x .
π
π
π
π
A x = k2π, x = + kπ, x = + kπ.
B x = k 2π , x = + k 2π , x = + k 2π .
C x = k 2π , x =

8

2
π

4
π
+ k 2π , x = + k π .
2
4

D x = k π, x =

2
4
π
π
+ k π, x = + k π .

2
4

Đẳng cấp bậc 2

Câu 181. Nghiệm dương nhỏ nhất của pt 4sin2 x + 3 3 sin 2 x − 2cos2 x = 4 là:
π
π
π
π
A x= .
B x= .
C x= .
D x= .
6

4

3

2

2

2

Câu 182. Phương trình 6sin x + 7 3 sin 2 x − 8cos x = 6 có các nghiệm là:


A 

x=



x=

π

2
π
6



+ kπ
+ kπ

.

Câu 183.
Phương trình

π


A 

x = − + kπ
4

B 

x=



x=

π

4
π
3

+ kπ
+ kπ

C 

.



x=

π

+ kπ

8
.
π
+ kπ
x=
12

3π
 x = 4 + kπ
D 
.

2π
+ kπ
x=
3


3 + 1 sin2 x − 2 3 sin x cos x+

3 − 1 cos2 x = 0 có các nghiệm là:
π
x = + kπ

4
B 
.
x = α + kπ
với tan α = 2 − 3


π
x = + kπ

8
D 
.
x = α + kπ
với tan α = 1 − 3

.

x = α + kπ
với tan α = −2 +

π
x = − + kπ

8
C 
x = α + kπ
với tan α = −1 +

9



3

.
3

Phương trình có điều kiện

Câu 184. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình tan x. tan 5 x = 1 là:
π
π
π
A x=− .
B x=− .
C x=− .
12

3

6

Câu 185. Nghiệm của phương trình tan x + cot x = 2 là:
π

A x = − + k π.
4

B x=

π

+ k π.

C x=

5π
+ k 2π .
4

π

D x=− .
4

D x=−

3π
+ k2π.
4

4
Câu 186.
Phương trình tan x + 3 cot x = 4 có nghiệm là:


π
π
x = + k 2π
x = + kπ
4
4
A 
, k ∈ Z.
B 
, k ∈ Z.

x = arctan 3 + k2π
x = arctan 3 + kπ
π
C x = + kπ, k ∈ Z.
D x = arctan 4 + kπ, k ∈ Z.
4
π
π
Câu 187. Phương trình tan − x tan + 2 x = 1 có nghiệm là
3
2
π
π
5π
A x = − + kπ, k ∈ Z. B x = + kπ, k ∈ Z.
C Vô nghiệm.
D x=
+ kπ, k ∈ Z.
6
6
6
Câu 188. Họ nghiệm của phương trình tan 3 x. tan x = 1 là
π
π
π
π
π
π
π
π

A x = + k , k ∈ Z. B x = + k , k ∈ Z. C x = + k , k ∈ Z. D x = + k , k ∈ Z.
8
8
4
4
8
4
8
2
Câu 189. Giải phương trình tan 3 x. cot 2 x = 1.
π
A Phương trình vô nghiệm.
B x = k , k ∈ Z.
2
π
π
C x = − + k , k ∈ Z.
D x = kπ, k ∈ Z.
4
2

24


Nguyễn Hồng Điệp
Câu 190. Phương trình: tan
π

π

2

− x + 2 tan 2 x +

+ k2π, k ∈ Z.
4
π
π
C x = + k , k ∈ Z.
4
2

A x=

Câu 191. Phương trình: tan x +
A

x = kπ
x = arctan 3 + kπ

π

π

2

= 1 có nghiệm là
π
B x = + kπ, k ∈ Z.
4

π
D x = ± + kπ, k ∈ Z.
4

+ tan x = 1 có họ nghiệm là

4

, k ∈ Z.

B

C x = k2π, k ∈ Z.

x = k 2π
x = arctan 3 + kπ

, k ∈ Z.

D Phương trình vô nghiệm.

3 sin x
= 0 có nghiệm là
1
sin x −
2
π
π
A x = + k 2π .
B Vô nghiệm.

C x = + k π.
6
6
cos 2 x
Câu 193. Phương trình cos x + sin x =
có nghiệm là:
1 − sin 2 x



π
π
3π
x = − + k2π
x
=
+
k
2
π
x=
+ kπ

4


4
4




π

π
π
C 
A  x = + kπ .
B 
 x = + kπ .
 x = − + k 2π .

8


2
2

π
x=k
x = kπ
x = k2π
2

Câu 192. Phương trình lượng giác

cos x −

1
1
= 2 cos 3 x +

có nghiệm là:
sin x
cos x
π
π
3π
A x = + k π.
B x = − + k π.
C x=
+ k π.
4
4
4
sin x + sin 2 x + sin 3 x
= 3 có nghiệm là:
Câu 195. Phương trình
cos x + cos 2 x + cos 3 x
π
π
π
π
π
2π
A x= +k .
B x= +k .
C x=
+k .
3
2
6

2
3
2

D x=

7π
+ k 2π .
6

5π
x=
+ kπ

4


3π
D x =
+ kπ .

8

π
x=k
4


Câu 194. Phương trình 2 sin 3 x −

Câu 196. Các nghiệm thuộc khoảng (0; π) của phương trình:
3 tan x là:
π 5π
π 3π
π 5π
A , .
B , .
C , .

D x=−

D x=

3π
+ k π.
4

π
5π
+k .
6
2

tan x + sin x +

8 8

4 4
6 6
sin 3 x cos 3 x

2
Câu 197. Phương trình
+
=
có nghiệm là:
cos 2 x sin 2 x sin 3 x
π
π
π
π
π
π
A x= +k .
B x= +k .
C x= +k .
8
4
6
3
3
2

D

tan x − sin x =

π 2π
,
.
3 3

D x=

π

+ kπ .

4

Câu 198. Phương trình sin3 x + cos3 x + sin3 x. cot x + cos3 x. tan x =
A x=

π

8

+ k π.

Câu 199. Phương trình
A x=

10

π

2

+ k π.

B x=

π

4

2 sin 2 x có nghiệm là:
3π
C x = + k2π.
D x=
+ k 2π .
4
4
π

+ k π.

sin4 x + cos4 x 1
= (tan x + cot x) có nghiệm là:
sin 2 x
2
π
π
π
C x= +k .
B x = + k 2π .
3
4
2

D Vô nghiệm.

Có điều kiện về góc

Câu 200. Nghiệm của phương trình 2sin2 x − 3 sin x + 1 = 0 thỏa điều kiện: 0 ≤ x <
π

A x= .
6

π

π

B x= .

C x= .

4

2

25

π

2
π

D x=− .
2