hh12 c4

Trần Sĩ Tùng

Đề thi Tốt nghiệp – Đại học

I. KHỐI ĐA DIỆN – KHỐI TRÒN XOAY
ĐỀ THI TỐT NGHIỆP
Baøi 1. (TN 2006–pb) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên

SA vuông góc với đáy, cạnh bên SB bằng a 3 .
1. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
2. Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
1
ĐS: 1) V = a3 2
2) IB = IC = ID = IS.
3
Baøi 2. (TN 2007–pb) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh
B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết SA = AB = BC = a. Tính thể tích của khối chóp
S.ABC.
a3
.
6
Baøi 3. (TN 2007–pb–lần 2) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông
cạnh bằng a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = AC. Tính thể tích của khối chóp
S.ABCD.
ĐS: V =

a3 2
.
3
Baøi 4. (TN 2008–pb) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng
2a. Gọi I là trung điểm của cạnh BC.

1. Chứng minh SA vuông góc với BC.
2. Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a.
ĐS: V =

a3 11
.
24
Baøi 5. (TN 2008–pb–lần 2) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B,
ĐS:

1) BC ^ AI, BC ^ SI Þ BC ^ SA

2) V =

đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết AB = a, BC = a 3 và SA = 3a.
1. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
2. Gọi I là trung điểm của cạnh SC, tính độ dài đoạn thẳng BI theo a.
a3 3
a 13
2) BI =
.
2
2
Baøi 6. (TN 2009) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết ·
BAC = 120 0 , tính thể tích của khối chóp S.ABC
ĐS: 1) V =

theo a.
a3 2

.
36
Baøi 7. (TN 2010)
ĐS:
ĐS: V =

Trang 1


Đề thi Tốt nghiệp – Đại học

Trần Sĩ Tùng
ĐỀ THI ĐẠI HỌC

Baøi 1. (ĐH 2002A) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a.

Gọi M và N lần lượt là các trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác
AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
a2 10
16
Baøi 2. (ĐH 2002B) Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 có cạnh bằng a.
1. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A1B và B1D.
2. Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB1, CD, A1D1. Tính góc giữa hai
đường thẳng MP và C1N.
ĐS:

S=

a 6
2) MP ^ C1N.

6
Baøi 3. (ĐH 2002D) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC);
AC = AD = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng
(BCD).
ĐS: 1)

6 34
.
17
Baøi 4. (ĐH 2002A–db1) Tính thể tích khối tứ diện ABCD, biết AB = 1, AC = b, AD = c và
·
BAC = ·
CAD = ·
DAB = 60 0 .
ĐS:

ĐS:
Baøi 5. (ĐH 2002A–db2) Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền BC = a. Trên đường
thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại điểm A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt
phẳng (ABC) và (SBC) bằng 60 0 . Tính độ dài đoạn thẳng SA theo a.
ĐS:
Baøi 6. (ĐH 2002B–db1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc
với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Tính theo a khoảng
cách từ điểm S đến đường thẳng BE.
ĐS:
Baøi 7. (ĐH 2002B–db2) Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với
nhau. Gọi a, b, g lần lượt là các góc giữa mặt phẳng (ABC) với các mặt phẳng (OBC),
(OCA), (OAB). Chứng minh rằng: cos a + cos b + cos g £ 3 .
ĐS:
Baøi 8. (ĐH 2002D–db1) Cho hình tứ diện đều ABCD, cạnh a = 6 2 . Hãy xác định độ dài

đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AD và BC.
ĐS:
Baøi 9. (ĐH 2002D–db2) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh
bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC). Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng
(SBC) theo a, biết rằng SA =

a 6
.
2

ĐS:
Baøi 10. (ĐH 2003A) Cho hình lập phương ABCD.A¢B¢C¢D¢. Tính số đo của góc phẳng nhị
diện [B, A¢C, D].
ĐS: 120o
Baøi 11. (ĐH 2003B) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A/B/C/D/ có đáy ABCD là một hình thoi
cạnh a, góc ·
BAD = 60o . Gọi M là trung điểm cạnh AA/ và Nlà trung điểm cạnh CC/.
Chứng minh rằng bốn điểm B/, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh
AA/ theo a để tứ giác B/MDN là hình vuông.
Trang 2


Trần Sĩ Tùng

Đề thi Tốt nghiệp – Đại học

ĐS: a 2 .

Baøi 12. (ĐH 2003D) Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến là

đường thẳng D. Trên D lấy hai điểm A, B với AB= a. Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C,
trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với D và AC = BD =
AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt
phẳng (BCD) theo a.
a 3
a 2
; AH =
.
2
2
Baøi 13. (ĐH 2003A–db1) Cho tứ diện ABCD có AB = AC = a, BC = b. Hai mặt phẳng (BCD)
và (ABC) vuông góc với nhau và góc ·
BDC = 90 0 . Xác định tâm và tính bán kính mặt
ĐS: R =

cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a và b.
ĐS:
Baøi 14. (ĐH 2003A–db2) Cho lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C¢ có đáy là tam giác cân với AB = AC
= a và góc ·
BAC = 120 0 , cạnh bên BB¢ = a. Gọi I là trung điểm của CC¢. Chứng minh tam
giác AB¢I vuông ở A. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB¢I).
ĐS:
Baøi 15. (ĐH 2003B–db1) Cho hình lập phương ABCD.A¢B¢C¢D¢. Tìm điểm M thuộc cạnh
AA¢ sao cho mặt phẳng (BD¢M) cắt hình lập phương theo một thiết diện có diện tích nhỏ
nhất.
ĐS:
Baøi 16. (ĐH 2003B–db2) Cho hình chóp đều S.ABC, cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với đáy
một góc bằng j (0 0 < j < 90 0 ) . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ đỉnh
A đến mặt phẳng (SBC).

ĐS:
Baøi 17. (ĐH 2003D–db1) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a,
BC = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC. Chứng
minh rằng tam giác AMB cân tại M và tính diện tích tam giác AMB theo a.
2 2
a .
2
Baøi 18. (ĐH 2003D–db2) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam
giác ABC vuông tại A, AD = a, AC = b, AB = c. Tính diện tích S của tam giác BCD theo
ĐS: SD AMB =

a, b, c và chứng minh rằng 2S ³ abc(a + b + c) .
ĐS:
Baøi 19. (ĐH 2004B) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh
bên và mặt đáy bằng j ( (00 < j < 900 ) . Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và
(ABCD) theo j. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và j.
a3 2
.tan j
6
Baøi 20. (ĐH 2004B–db1) Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a và SA ^ (ABC). Tam giác ABC
có AB = BC = 2a, góc ·
ABC = 1200 . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
ĐS:

2 .tan j ;

V=

ĐS:
Baøi 21. (ĐH 2004D–db2) Cho hình vuông ABCD có cạnh AB = a. Trên các nửa đường thẳng

Ax, By vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và nằm về cùng một phía đối với mặt phẳng
(ABCD), lần lượt lấy các điểm M, N sao cho tam giác MNC vuông tại M. Đặt AM = m,
BN = n. Chứng minh rằng m(n - m) = a2 và tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích hình thang
ABNM.
ĐS:
Trang 3


Đề thi Tốt nghiệp – Đại học

Trần Sĩ Tùng

Baøi 22. (ĐH 2006A): Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O¢, bán kính đáy bằng

chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O¢
lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO¢AB.
3a3
12
Baøi 23. (ĐH 2006B): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,
AD = a 2 , SA = a và SA ^ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, SC; I là
giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng (SAC) ^ (SMB). Tính thể tích của khối tứ
diện ANIB.
ĐS:

V=

a3 2
ĐS:
V=
36

Baøi 24. (ĐH 2006D): Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA
= 2a và SA ^ (ABC). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Tính
thể tích của hình chóp A.BCMN.
3 3a3
50
Baøi 25. (ĐH 2006A–db1): Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có các cạnh AB = AD = a,
ĐS:

V=

a 3
và ·
BAD = 600 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh A'D' và A'B'.
2
Chứng minh AC' ^ (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN.
AA' =

3a3
16
Baøi 26. (ĐH 2006A–db2): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB =
a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 600.
ĐS:

V=

Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM =

a 3
. Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N.
3

Tính thể tích khối chóp S.BCNM.
10 3 3
a
27
Baøi 27. (ĐH 2006B–db1): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
·
BAD = 600 , SA ^ (ABCD), SA = a. Gọi C' là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua
ĐS:

V=

AC' và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại B', D'. Tính thể tích khối chóp
S.AB'C'D'.
a3 3
18
Baøi 28. (ĐH 2006B–db2): Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có A'ABC là hình chóp tam giác
đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA' = b. Gọi a là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và
(A'BC). Tính tana và thể tích khối chóp A'.BB'C'C.
ĐS:

V=

2 3b 2 - a 2
a 2 3b 2 - a 2
; V=
a
6
Baøi 29. (ĐH 2006D–db1): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi SH là
đường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt phẳng (SBC)

bằng b. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
ĐS:

tana =

Trang 4


Trần Sĩ Tùng
ĐS:

Đề thi Tốt nghiệp – Đại học
2
a3b
V= .
3 a 2 - 16b 2

Baøi 30. (ĐH 2006D–db2): Cho hình lập phương ABCD.A¢B¢C¢D¢ có cạnh bằng a và điểm K

2
a . Mặt phẳng (a) đi qua A, K và song song với BD, chia
3
khối lập phương thành hai khối đa diện. Tính thể tích của hai khối đa diện đó.
thuộc cạnh CC¢ sao cho CK =

a3
2a3
ĐS:
V1 = ;
V2 =

3
3
Baøi 31. (ĐH 2007A): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên
SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là
trung điểm SB, BC, CD. Chứng minh AM ^ BP và tính thể tích khối CMNP.
3a3
96
Baøi 32. (ĐH 2007B): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.
Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA; M là trung điểm của AE, N là
trung điểm của BC. Chứng minh MN ^ BD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
MN và AC.
ĐS:

V=

a 2
4
Baøi 33. (ĐH 2007D): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với
·
ABC = ·
BAD = 900 , BC = BA = a, AD = 2a. SA^(ABCD), SA = a 2 . Gọi H là hình
chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính khoảng cách
từ H đến (SCD).
ĐS:

d=

ĐS: d =

a

3

Baøi 34. (ĐH 2007A–db1): Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a 5

và ·
BAC = 1200 . Gọi M là trung điểm CC1. Chứng minh MB ^ MA1 và tính khoảng cách
d từ A đến (A1BM).
ĐS:

d=

a 5
3

Baøi 35. (ĐH 2007A–db2): Cho hình chóp SABC có góc ·
(SBC ),( ABC ) = 600 , ABC và SBC

(

)

là các tam giác đều cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ B đến (SAC).
ĐS:

d=

3a
13

Baøi 36. (ĐH 2007B–db1): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA ^

(ABCD). AB = a, SA = a 2 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB,
SD. Chứng minh SC^(AHK) và tính thể tích của tứ diện OAHK.
2a3
27
Baøi 37. (ĐH 2007B–db2): Trong mặt phẳng (P), cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và
điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P)
ĐS:

V=

tại A lấy điểm S sao cho ·
(SAB),(SBC ) = 600 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A

(

)

Trang 5


Đề thi Tốt nghiệp – Đại học

Trần Sĩ Tùng

trên SB, SC. Chứng minh tam giác AHK vuông và tính thể tích tứ diện SABC.
R3 6
ĐS:
V=
12

Baøi 38. (ĐH 2007D–db1): Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1 C1 có đáy ABC là tam giác vuông,
AB = AC = a, AA1 = a 2 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm đoạn AA1 và BC1. Chứng
minh MN là đường vuông góc chung của AA1 và BC1. Tính thể tích của tứ diện MA1BC1.
a3 2
12
Baøi 39. (ĐH 2007D–db2): Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a. M là
trung điểm của đoạn AA1. Chứng minh BM ^ B1 C và tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng BM và B1C.
ĐS:

V=

a 30
10
Baøi 40. (ĐH 2008A) Cho lăng trụ ABC. A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam
giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là
trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối chóp A’.ABC và cosin của góc giữa 2
đường thẳng AA’ và B’C’.
ĐS:

d=

a3
1
;
cos j =
2
4
Baøi 41. (ĐH 2008B): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a,
SB = a 3 và (SAB) vuông góc mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, BC. Tính

theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và cosin của góc giữa hai đường thẳng SM và
DN.
ĐS:

V=

a3 3
5
;
cos j =
3
5
Baøi 42. (ĐH 2008D): Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB =
BC = a, cạnh bên AA’ = a 2 . Gọi M là trung điềm của BC. Tính theo a thể tích của lăng
trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM, B¢C.
ĐS:

V=

2a3
a 7
;
d=
2
7
Baøi 43. (ĐH 2009A) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D;
ĐS:

V=

AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600 . Gọi I là
trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt
phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
3 15a3
ĐS:
V=
.
5
Baøi 44. (ĐH 2009B) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A¢B¢C¢ có BB¢ = a, góc giữa đường
thẳng BB¢ và mặt phẳng (ABC) bằng 600 ; tam giác ABC vuông tại C và ·
BAC = 600 .
Hình chiếu vuông góc của điểm B¢ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam
giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A¢.ABC theo a.
9a3
.
208
Baøi 45. (ĐH 2009D) Cho hình lăng trụ đứng ABC. A¢B¢C¢ có đáy ABC là tam giác vuông tại
B, AB = a, AA¢ = 2a, A¢C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A¢C¢, I là giao điểm
Trang 6
ĐS:

V=


Trần Sĩ Tùng

Đề thi Tốt nghiệp – Đại học

của AM và A¢C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến
mặt phẳng (IBC).

ĐS:

4a3
V=
,
9

d=

2a 5
.
5

Trang 7


Đề thi Tốt nghiệp – Đại học

Trần Sĩ Tùng

II. PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
ĐỀ THI TỐT NGHIỆP
Baøi 1. (TN 2002) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (a ) : x + y + z –1 = 0

x y z -1
= =
.
1 1
-1
1. Viết phương trình chính tắc của các đường thẳng là giao tuyến của mặt phẳng (a ) với

các mặt phẳng tọa độ. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD, biết A, B, C là giao điểm
tương ứng của mặt phẳng (a ) với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz; còn D là giao điểm của (d)
với mặt phẳng tọa độ Oxy.
2. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D. Xác định tọa độ tâm và bán
kính của đường tròn là giao tuyến của mặt cầu (S) với mặt phẳng (ACD).
ĐS:
1)
2)
Baøi 2. (TN 2003) Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A, B, C, D có tọa độ xác định bởi
uuur r r r
uuur
r r r
các hệ thức: A(2;4;-1), OB = i + 4 j - k , C(2;4;3), OD = 2i + 2 j - k .
và đường thẳng (d):

1. Chứng minh rằng AB  AC, AC AD, AD AB. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
2. Viết phương trình tham số của đường vuông góc chung  của hai đường thẳng AB và

CD. Tính góc giữa  và mặt phẳng (ABD).
3. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D. Viết phương trình tiếp diện
(a) của (S) song song với mặt phẳng (ABD).
ìx = 2
ï
4
5
ĐS: 1) V =
2) D: í y = 4 - 2t ; sin j =
3
5
ïîz = -1 + t

21 - 2
21 + 2
= 0; (a 2 ) : z = 0.
2
2
Baøi 3. (TN 2004) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1; –1; 2), B(1;
3; 2), C4; 3; 2), D(4; –1; 2).
1. Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn điểm đồng phẳng.
2. Gọi A¢ là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng Oxy. Hãy viết phương trình
mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A¢, B, C, D.
3. Viết phương trình tiếp diện () của mặt cầu (S) tại điểm A’.
3) x 2 + y 2 + z2 - 3 x - 6 y - 2 z + 7 = 0 ; (a1 ) : z +

ĐS: 2) x 2 + y 2 + z2 - 5 x - 2 y - 2 z + 1 = 0
3) 3 x + 4 y + 2 z + 1 = 0 .
Baøi 4. (TN 2005) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và hai đường thẳng
lần lượt phương trình:
x -1 y z
ìx + 2y - 2 = 0
(S): x 2 + y 2 + z2 - 2 x + 2 y + 4 z - 3 = 0 , (D1): í
, (D2):
= =
.
-1 1 -1
î x - 2z = 0
1. Chứng minh (∆1) và (∆1) chéo nhau.
2. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai đường
thẳng (∆1) và (∆2).
ĐS: 2) ( P1 ) : y + z + 3 + 3 2 = 0; ( P2 ) : y + z + 3 - 3 2 = 0
Baøi 5. (TN 2006–kpb) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; −1), B(1; 2;

1), C(0; 2; 0). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
1. Viết phương trình đường thẳng OG.
2. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm O, A, B, C.
Trang 8


Trn S Tựng

thi Tt nghip i hc

3. Vit phng trỡnh cỏc mt phng vuụng gúc vi ng thng OG v tip xỳc vi mt
cu (S).
x y z
S: 1) OG : = =
2) x 2 + y 2 + z2 - 2 x - 2 y = 0
3) x + 2 y - 3 10 = 0 .
1 2 0
Baứi 6. (TN 2006pb)
1. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ba im A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 6).
a) Vit phng trỡnh mt phng i qua ba im A, B, C. Tớnh din tớch tam giỏc ABC.
b) Gi G l trng tõm DABC. Vit phng trỡnh mt cu ng kớnh OG.
S:

a) ( ABC ) : 3 x + 2 y + z - 6 = 0 ; SD ABC = 3 14
2

2

ổ

1ử ổ
1ử
49
.
b) ỗ x - ữ + ỗ y - ữ + ( z - 1)2 =
ố
3ứ ố
2ứ
36
2. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ba im A(1; 1; 2), B(0; 1; 1), C(1; 0; 4).
a) Chng minh DABC vuụng. Vit phng trỡnh tham s ca ng thng AB.
uuur
uuur
b) Gi M l im sao cho MB = -2 MC . Vit phng trỡnh mt phng i qua M v vuụng
gúc vi ng thng BC.
28
S:
a) AB : { x = -1 + t; y = 1; z = 2 - t
b) x - y + 3z =0
3
Baứi 7. (TN 2007kpb) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ng thng d cú phng
x - 2 y +1 z -1
=
=
v mt phng (P) cú phng trỡnh: x - y + 3z + 2 = 0 .
trỡnh:
1
2
3
1. Tỡm to giao im M ca ng thng d vi mt phng (P).

2. Vit phng trỡnh mt phng cha ng thng d v vuụng gúc vi mt phng (P).
S: 1) M(1; 3; 2)
2) 3 x - z - 5 = 0 .
Baứi 8. (TN 2007pb)
1. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im M(1; 1; 0) v mt phng (P) cú
phng trỡnh: x + y - 2 z - 4 = 0 .
a) Vit phng trỡnh mt phng (Q) i qua im M v song song vi mt phng (P).
b) Vit phng trỡnh tham s ca ng thng d i qua M v vuụng gúc vi mt phng
(P). Tỡm to giao im H ca ng thng d vi mt phng (P).
S: a) (Q): x + y - 2 z + 2 = 0 b) { x = -1 + t; y = -1 + t; z = -2t ; H(0; 0; 2).
2. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im E(1; 2; 3) v mt phng (P) cú phng
trỡnh: x + 2 y - 2 z + 6 = 0 .
a) Vit phng trỡnh mt cu (S) cú tõm l gc to O v tip xỳc vi mt phng (P).
b) Vit phng trỡnh tham s ca ng thng D i qua im E v vuụng gúc vi (P).
S: a) x 2 + y 2 + z2 = 4
b) D : { x = 1 + t; y = 2 + 2t; z = 3 - 2t .
Baứi 9. (TN 2007kpbln 2) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai ng thng d v
ỡ x = -1 + t
ù
x -1 y + 2 z -1
Â
d ln lt cú phng trỡnh: d :
=
=
v d : ớ y = 1 - 2t .
1
2
1
ùợ z = -1 + 3t
1. Chng minh rng hai ng thng d v d vuụng gúc vi nhau.

2. Vit phng trỡnh mt phng i qua im K(1; 2; 1) v vuụng gúc vi ng thng dÂ.
S: 2) x - 2 y + 3z - 8 = 0 .
Baứi 10. (TN 2007pbln 2)
1. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai im E(1; 4; 5) v F(3; 2; 7).
a) Vit phng trỡnh mt cu i qua im F v cú tõm l E.
b) Vit phng trỡnh mt phng trung trc ca on thng EF.
S: a) ( x - 1)2 + ( y + 4)2 + ( z - 5)2 = 44
Trang 9

b) x + 3y + z - 5 = 0 .


Đề thi Tốt nghiệp – Đại học

Trần Sĩ Tùng

2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(1; 0; 2), N(3; 1; 5) và đường
ì x = 1 + 2t
ï
thẳng d có phương trình: í y = -3 + t .
ïîz = 6 - t
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d.
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm M và N.
ĐS: a) 2 x + y - z = 0
b) { x = 1 + 2t; y = t; z = 2 + 3t .
Baøi 11. (TN 2008–kpb) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; 2; 3) và mặt
phẳng (P) có phương trình: 2 x - 3 y + 6 z + 35 = 0 .
1. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (P).
2. Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P). Tìm toạ độ điểm N thuộc trục Ox sao
cho độ dài đoạn thẳng NM bằng khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).

x -1 y - 2 z - 3
ĐS: 1)
=
=
2) d ( M ,( P)) = 7 ; N(7; 0; 0) hoặc N(–5; 0; 0).
2
-3
6
Baøi 12. (TN 2008–pb)
1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; –2; –2) và mặt phẳng (P) có
phương trình: 2 x - 2 y + z - 1 = 0 .
a) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P).
b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P). Viết phương trình mặt phẳng (Q) sao
cho (Q) song song với (P) và khoảng cách giữa (P) và (Q) bằng khoảng cách từ A đến (P)
ì x = 3 + 2t
ï
ĐS:
a) í y = -2 - 2t
ïîz = -2 + t
7
; (Q) : 2 x - 2 y + z + 6 = 0 hoặc (Q) : 2 x - 2 y + z - 8 = 0 .
3
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 4; –1), B(2; 4; 3) và
C(2; 2; –1).
a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC.
b) Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
b) D(1; 2; –5).
ĐS: a) y + 2 z - 2 = 0
Baøi 13. (TN 2008–kpb–lần 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(–2; 1; –2) và
x -1 y +1 z

=
= .
đường thẳng d có phương trình:
2
-1 2
1. Chứng minh rằng đường thẳng OM song song với đường thẳng d.
2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d.
ĐS: 2) 2 x - y + 2 z + 9 = 0 .
Baøi 14. (TN 2008–pb–lần 2)
1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm M(1; –2; 0), N(–3; 4; 2) và mặt
phẳng (P) có phương trình: 2 x + 2 y + z - 7 = 0 .
a) Viết phương trình đường thẳng MN.
b) Tính khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng MN đến mặt phẳng (P).
x -1 y + 2 z
ĐS: a) MN :
=
=
b) d (I ,(P )) = 2 .
-2
3
1
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; –1; 3) và mặt phẳng (P) có
phương trình: x - 2 y - 2 z - 10 = 0 .
a) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P).
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P).
ĐS: a) d ( A,( P )) = 4
b) { x = 2 + t; y = -1 - 2t; z = 3 - 2t .
b) d ( A,( P)) =

Trang 10

Trần Sĩ Tùng

Đề thi Tốt nghiệp – Đại học

Baøi 15. (TN 2009)

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương
trình: (S): ( x - 1)2 + ( y - 2)2 + (z - 2)2 = 36 và (P): x + 2 y + 2 z + 18 = 0 .
a) Xác định toạ độ tâm T và bán kính của mặt cầu (S). Tính khoảng cách từ T đến (P).
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua T và vuông góc với (P). Tìm toạ
độ giao điểm của d và (P).
ĐS: a) T(1; 2; 2), R = 6
b) { x = 1 + t; y = 2 + 2t; z = 2 + 2t ; H(–2; –4; –4).
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; –2; 3) và đường thẳng d có
x +1 y - 2 z + 3
phương trình:
=
=
.
2
1
-1
a) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với d.
b) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d. Viết phương trình mặt cầu tâm A,
tiếp xúc với d.
ĐS: a) 2 x + y - z + 3 = 0
Baøi 16. (TN 2010)
ĐS:

b) d ( A, d ) = 5 2 ; ( x - 1)2 + ( y + 2)2 + ( z - 3)2 = 50 .

Trang 11


Đề thi Tốt nghiệp – Đại học

Trần Sĩ Tùng
ĐỀ THI ĐẠI HỌC

Baøi 1. (ĐH 2002A) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz, cho hai đường

ìx = 1+ t
ï
và D2 : í y = 2 + t
thẳng:
ïî z = 1 + 2t.
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng D1 và song song với đường thẳng
D2.
2. Cho điểm M(2; 1; 4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng D2 sao cho đoạn thẳng
MH có độ dài nhỏ nhất.
ĐS:
1) ( P ) : 2 x - z = 0
2) H(2; 3; 3).
Baøi 2. (ĐH 2002D) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2 x – y + 2 = 0
ì x - 2y + z - 4 = 0
D1 : í
î x + 2y - 2z + 4 = 0

ì(2m + 1) x + (1 - m ) y + m - 1 = 0
và đường thẳng dm: í
(m là tham số). Xác định m để đường
îmx + (2m + 1)z + 4m + 2 = 0
thẳng dm song song với mặt phẳng (P).
1
ĐS:
m=- .
2
Baøi 3. (ĐH 2002A–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz, cho đường
ì2 x - 2 y - z + 1 = 0
và mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z2 + 4 x - 6 y + m = 0 . Tìm m để
thẳng d: í
î x + 2 y - 2z - 4 = 0
đường thẳng d cắt (S) tại hai điểm M, N sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 8.
ĐS:
Baøi 4. (ĐH 2002A–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz, cho hai
ì x - az - a = 0
ìax + 3y - 3 = 0
.
và d2 : í
đường thẳng d1 : í
î x + 3z - 6 = 0
îy - z + 1 = 0
1. Tìm a để hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau.
2. Với a = 2, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d2 và song song với d1. Tính khoảng
cách giữa d1 và d2 khi a = 2.
ĐS:
Baøi 5. (ĐH 2002B–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D và mặt
ì2 x + y + z + 1 = 0

phẳng (P) lần lượt có phương trình: D: í
, (P): 4 x - 2 y + z - 1 = 0 . Viết
îx + y + z + 2 = 0
phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng D trên mặt phẳng (P).
ĐS:
Baøi 6. (ĐH 2002B–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương
trình: x - y + z + 3 = 0 và hai điểm A(-1; -3; -2), B(-5;7;12) .
1. Tìm toạ độ điểm C đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P).
2. Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho tổng MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.
ĐS:
Baøi 7. (ĐH 2003A) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật
ABCD.A¢B¢C¢D¢ có A trùng với gốc của hệ tọa độ, B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A¢(0; 0; b) (a > 0,
b > 0). Gọi M là trung điểm cạnh CC¢.
1. Tính thể tích khối tứ diện BDA¢M theo a và b.
a
2. Xác định tỷ số để hai mặt phẳng (A¢BD) và (MBD) vuông góc với nhau.
b
a2 b
a
ĐS: 1) VBDA¢M =
2) = 1 .
4
b
Trang 12


Trần Sĩ Tùng

Đề thi Tốt nghiệp – Đại học

Baøi 8. (ĐH 2003B) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 0), B(0; 0; 8)

uuur
và điểm C sao cho AC = (0; 6; 0) . Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường
thẳng OA.
ĐS: d(I, OA) = 5.
Baøi 9. (ĐH 2003D) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng dk có phương
ì x + 3ky - z + 2 = 0
trình: í
. Tìm k để đường thẳng dk vuông góc với mặt phẳng (P) có
îkx - y + z + 1 = 0
phương trình: x - y - 2 z + 5 = 0 .
ĐS: k = 1.
Baøi 10. (ĐH 2003A–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1, d2
x y +1 z
ì3 x - z + 1 = 0
lần lượt có phương trình: d1 : =
= và d2 : í
.
1
2
1
î2 x + y - 1 = 0
1. Chứng minh rằng d1, d2 chéo nhau và vuông góc với nhau.
2. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d cắt cả hai đường thẳng d1, d2 và song
x -1 y - 7 z - 3
=
=
.
song với đường thẳng D:

1
4
-2
ĐS:
Baøi 11. (ĐH 2003A–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với
A(2;3; 2) , B(6; -1; -2) , C(-1; -4;3) , D(1; 6; -5) . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và
CD. Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng CD sao cho tam giác ABM có chu vi nhỏ
nhất.
ĐS:
Baøi 12. (ĐH 2003B–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện OABC với

A ( 0; 0; a 3 ) , B(a; 0; 0) , C ( 0; a 3; 0 ) . Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng AB và OM.
ĐS:
Baøi 13. (ĐH 2003B–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm I (0; 0;1) ,
K(3; 0; 0) . Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm I, K và tạo với mặt phẳng Oxy
một góc bằng 30 0 .
ĐS:
Baøi 14. (ĐH 2003D–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương

trình: 2 x + 2 y + z - m 2 - 3m = 0 và mặt cầu (S): ( x - 1)2 + ( y + 1)2 + ( z - 1)2 = 9 . Tìm m để
mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S). Với m vừa tìm được hãy xác định toạ độ tiếp
điểm của (P) và (S).
ĐS:
Baøi 15. (ĐH 2003D–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;1;1) ,
ì3 x - 2 y - 11 = 0
B(0; -1;3) và đường thẳng d: í
.
î y + 3z - 8 = 0
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I của đoạn AB và vuông góc với

AB. Gọi K là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Chứng minh rằng d vuông
góc với IK.
2. Viết phương trình tổng quát của hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mặt
phẳng (Q) có phương trình: x + y - z + 1 = 0 .
ĐS:
Baøi 16. (ĐH 2004A) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy
ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S ( 0; 0; 2 2 ) .
Gọi M là trung điểm của cạnh SC.
Trang 13


Đề thi Tốt nghiệp – Đại học

Trần Sĩ Tùng

1. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM.
2. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N. Tính thể tích khối chóp
S.ABMN.
2 6
2 2
2
2) VS. ABMN = VS. ABM + VS . AMN =
+
= 2.
3
3
3
Baøi 17. (ĐH 2004B) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(–4; –2; 4) và đường
ì x = -3 + 2t
ï

thẳng d: í y = 1 - t . Viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm A, cắt và vuông góc
ïîz = -1 + 4t
với đường thẳng d.
x +4 y+2 z-4
ĐS: D:
=
=
.
3
2
-1
Baøi 18. (ĐH 2004D)
1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1. Biết A(a;
0; 0), B(–a; 0; 0), C(0; 1; 0), B1(–a; 0; b) với a > 0, b > 0.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B1C và AC1 theo a và b.
b) Cho a, b, thay đổi, nhưng luôn thoả mãn a + b = 4 . Tìm a, b để khoảng cách giữa
hai đường thẳng B1C và AC1 lớn nhất.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) và
mặt phẳng (P): x + y + z - 2 = 0 . Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có
tâm thuộc mặt phẳng (P).
ab
ĐS: 1a) d (B1C , AC1 ) =
1b) max d = 2 khi a = b = 2
a2 + b 2
ĐS: 1) d (SA, BM ) =

2) ( x - 1)2 + y 2 + ( z - 1)2 = 1 .
Baøi 19. (ĐH 2004A–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật

ABCD.A1B1C1D1 có A trùng với gốc toạ độ O, B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A1 ( 0; 0; 2 ) .

1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A1, B, C và viết phương trình hình
chiếu vuông góc của đường thẳng B1D1 trên mặt phẳng (P).
2. Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và vuông góc với A1C. Tính diện tích thiết diện của hình
chóp A1.ABCD với mặt phẳng (Q).
ĐS:
Baøi 20. (ĐH 2004A–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có

đáy ABCD là hình chữ nhật, AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết A ( - 2; -1; 0 ) ,

B ( 2; -1; 0 ) , S(0; 0; 3).
1. Viết phương trình mặt phẳng qua trung điểm M của cạnh AB, song song với hai đường
thẳng AD, SC.
2. Gọi (P) là mặt phẳng qua điểm B và vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện của
hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (P).
ĐS:
Baøi 21. (ĐH 2004B–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(4; 2; 2), B(0; 0; 7) và
x - 3 y - 6 z -1
đường thẳng d:
=
=
. Chứng minh rằng hai đường thẳng d và AB cùng
2
1
-2
thuộc một mặt phẳng. Tìm điểm C trên đường thẳng d sao cho DABC cân tại đỉnh A.
ĐS:
Baøi 22. (ĐH 2004B–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 0), M(1;
1; 1).
1. Tìm toạ độ điểm O¢ đối xứng với O qua đường thẳng AM.
Trang 14

Trần Sĩ Tùng

Đề thi Tốt nghiệp – Đại học

2. Gọi (P) là mặt phẳng thay đổi luôn đi qua đường thẳng AM, cắt các trục Oy, Oz lần
lượt tại các điểm B, C. Giả sử B(0; b; 0), C(0; 0; c), với b > 0, c > 0. Chứng minh rằng:
bc
b+c =
. Xác định b, c sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất.
2
ĐS:
Baøi 23. (ĐH 2004D–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 0; 0), B(2;
2; 0), C(0; 0; 2).
1. Tìm toạ độ điểm O¢ đối xứng với gốc toạ độ O qua mặt phẳng (ABC).
2. Cho điểm S di chuyển trên trục Oz, gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên đường
thẳng SA. Chứng minh rằng diện tích tam giác OBH nhỏ hơn 4.
ĐS:
Baøi 24. (ĐH 2004D–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 1) và đường
ìx + y = 0
thẳng d: í
. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với đường
î2 x - z - 2 = 0
thẳng d. Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc B¢ của điểm B(1; 1; 2) trên mặt phẳng (P).
ĐS:
Baøi 25. (ĐH 2005A) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d và mặt phẳng
x -1 y + 3 z - 3
(P) lần lượt có phương trình: d :
=

=
, (P): 2 x + y - 2 z + 9 = 0 .
-1
2
1
1. Tìm toạ độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2.
2. Tìm toạ độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình tham
số của đường thẳng D nằm trong mặt phẳng (P), biết D đi qua A và vuông góc với d.
ìx = t
ï
ĐS: 1) I1 (-3;5; 7), I 2 (3; -7;1)
2) A(0; –1; 4), D: í y = -1 .
ïîz = 4 + t
Baøi 26. (ĐH 2005B) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng
ABC.A1B1C1 với A(0; –3; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3; 0), B1(4; 0; 4).
1. Tìm toạ độ các đỉnh A1, C1. Viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với mặt
phẳng (BCC1B1).
2. Gọi M là trung điểm của A1B1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, M
và song song với BC1. Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1 C1 tại điểm N. Tính độ dài đoạn
MN.
576
ĐS: 1) A1(0; –3; 4), C1(0; 3; 4), (S): x 2 + ( y + 3)2 + z2 =
25
17
2) (P): x + 4 y - 2 z + 12 = 0 , MN =
.
2
Baøi 27. (ĐH 2005D) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:
x -1 y + 2 z +1
ìx + y - z - 2 = 0

d1:
=
=
và
d2: í
.
3
2
-1
î x + 3 y - 12 = 0
1. Chứng minh rằng d1 và d2 song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa
cả hai đường thẳng d1 và d2.
2. Mặt phẳng toạ độ Oxz cắt hai đường thẳng d1, d2 lần lượt tại các điểm A, B. Tính diện
tích tam giác OAB (O là gốc toạ độ).
ĐS: 1) (P): 15 x + 11y - 17z - 10 = 0
2) S = 5.
Baøi 28. (ĐH 2005A–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1;1;0), B(0; 2;
0), C(0; 0; 2).
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ O và vuông góc với BC. Tìm tọa độ
giao điểm của AC với mặt phẳng (P).
Trang 15


thi Tt nghip i hc

Trn S Tựng

2. Chng minh tam giỏc ABC l tam giỏc vuụng. Vit phng trỡnh mt cu ngai tip t
din OABC.
ổ2 2 2ử

S: 1) (P): y - z = 0 , M ỗ ; ; ữ
2) (S): x 2 + ( y - 1)2 + ( z - 1)2 = 2 .
ố3 3 3ứ
Baứi 29. (H 2005Adb2) Trong khụng gian vi h ta ờcac vuụng gúc Oxyz cho 3 im
A(2; 0; 0), C(0; 4; 0), S(0; 0; 4).
1. Tỡm ta im B thuc mt phng Oxy sao cho t giỏc OABC l hỡnh ch nht. Vit
phng trỡnh mt cu qua 4 im O, B, C, S.
2. Tỡm ta im A1 i xng vi im A qua ng thng SC.
S: 1) B(2; 4; 0), (S): ( x - 1)2 + ( y - 2)2 + (z - 2)2 = 9
2) A1(2; 4; 4).
Baứi 30. (H 2005Bdb1) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai ng thng:
ỡ x = -1 - 2 t
x y z
ù
d1 : = =
v d2 : ớ y = t
( t l tham s )
1 1 2
ùợ z = 1 + t
1. Xột v trớ tng i ca d1 v d2.
2. Tỡm ta cỏc im M thuc d1 v N thuc d2 sao cho ng thng MN song song
vi mt phng (P) : x - y + z = 0 v di an MN = 2 .
ổ4 4 8ử
ổ1 4 3ử
S: 1) d1, d2 chộo nhau.
2) M ỗ ; ; ữ , N ỗ ; - ; ữ .
ố7 7 7ứ
ố7 7 7ứ
Baứi 31. (H 2005Bdb2) Trong khụng gian vi h ta Oxyz cho im M(5;2; 3) v mt
phng (P) : 2 x + 2 y z + 1 = 0 .

1. Gi M1 l hỡnh chiu ca M lờn mt phng (P). Xỏc nh ta im M1 v tớnh di
an MM1.
x -1 y -1 z - 5
2. Vit phng trỡnh mt phng (Q) i qua M v cha ng thng:
=
=
.
2
1
-6
S: 1) M1(1; 2; 1), MM1 = 6
2) (Q): x + 4 y + z - 10 = 0 .
Baứi 32. (H 2005Ddb1) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho lng tr ng
OAB.O1A1B1 vi A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), O1(0; 0; 4).
1. Tỡm ta cỏc im A1, B1. Vit phng trỡnh mt cu qua 4 im O, A, B, O1.
2. Gi M l trung im ca AB. Mt phng (P) qua M vuụng gúc vi O1 A v ct OA,
OA1 ln lt ti N, K . Tớnh di an KN.
2 5
.
3
Baứi 33. (H 2005Ddb2) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hỡnh lp phng
ABCD.A1B1C1D1 vi A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), D1(0; 2; 2).
1. Xỏc nh ta cỏc nh cũn li ca hỡnh lp phng ABCD.A1B1C1D1. Gi M l
trung im ca BC. Chng minh rng hai mt phng (AB1D1) v (AMB1) vuụng gúc vi
nhau.
2. Chng minh rng t s khong cỏch t im N thuc ng thng AC1 (N A) ti 2
mt phng (AB1D1) v (AMB1) khụng ph thuc vo v trớ ca im N.
d
2
S: 1) C(2; 2; 0), D(0; 2; 0), A1(0; 0; 2), B1(2; 0; 2), C1(2; 2; 2)

2) 1 =
.
d2
2
S: 1) A1(2; 0; 4), B1(0; 4; 4), (S): ( x - 1)2 + ( y - 2)2 + (z - 2)2 = 9

2) KN =

Baứi 34. (H 2006A) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hỡnh lp phng

ABCD.AÂBÂCÂDÂ vi A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), AÂ(0; 0; 1). Gi M, N ln lt l
trung im ca AB v CD.
1. Tớnh khong cỏch gia hai ng thng AÂC v MN.

Trang 16


Trn S Tựng

thi Tt nghip i hc

2. Vit phng trỡnh mt phng cha AÂC v to vi mt phng Oxy mt gúc a, bit
1
.
cos a =
6
1
S: 1) d =
2) (Q1): 2 x - y + z - 1 = 0 , (Q2): x - 2 y - z + 1 = 0 .
2 2

Baứi 35. (H 2006B) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im A(0; 1; 2) v hai ng
ỡx = 1 + t
ù
x y -1 z +1
thng:
d1: =
=
,
d2: ớ y = -1 - 2t .
2
1
-1
ùợz = 2 + t
1. Vit phng trỡnh mt phng (P) qua A, ng thi song song vi d1 v d2.
2. Tỡm to cỏc im M thuc d1, N thuc d2 sao cho ba im A, M, N thng hng.
S: 1) (P): x + 3 y + 5z - 13 = 0
2) M(0; 1; 1), N(0; 1; 1).
Baứi 36. (H 2006D) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im A(1; 2; 3) v hai ng
x -2 y + 2 z-3
x -1 y -1 z +1
thng:
d1:
=
=
,
d2:
=
=
.
2

1
2
1
-1
-1
1. Tỡm to im AÂ i xng vi im A qua ng thng d1.
2. Vit phng trỡnh ng thng D i qua A, vuụng gúc vi d1 v ct d2.
x -1 y - 2 z - 3
2) D:
=
=
.
S: 1) AÂ(1; 4; 1)
1
-3
-5
Baứi 37. (H 2006Adb1) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hỡnh lng tr ng
ABC.AÂBÂCÂ cú A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), C(0; 2; 0), AÂ(0; 0; 2).
1. Chng minh AÂC vuụng gúc vi BC. Vit phng trỡnh mt phng (ABCÂ).
2. Vit phng trỡnh hỡnh chiu vuụng gúc ca ng thng BÂCÂ trờn mp(ABCÂ).
ỡx + y + z - 4 = 0
S: 1) (ABCÂ): y - z = 0
.
2) ớ
ợy - z = 0
Baứi 38. (H 2006Adb2) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt phng (P) cú phng
trỡnh: 3 x + 2 y - z + 4 = 0 v hai im A(4; 0; 0), B(0; 4; 0). Gi I l trung im ca on
thng AB.
1. Tỡm to giao im ca ng thng AB vi mt phng (P).
2. Xỏc nh to im K sao cho KI vuụng gúc vi mt phng (P) ng thi K cỏch u

gc to O v mt phng (P).
ổ 1 1 3ử
S: 1) M(12; 16; 0)
2) K ỗ - ; ; ữ .
ố 4 2 4ứ
Baứi 39. (H 2006Bdb1) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai ng thng D1, D2 cú
ỡx = 1 + t
ù
x - 3 y -1 z
phng trỡnh:
D1: ớ y = - 1 - t ,
D2:
=
= .
-1
2
1
ùợz = 2
1. Vit phng trỡnh mt phng cha ng thng D1 v song song vi ng thng D2.
2. Xỏc nh im A trờn D1 v im B trờn D2 sao cho on thng AB cú di nh nht.
S: 1) (P): x + y - z + 2 = 0
2) A(1; 1; 2), B(3; 1; 0).
Baứi 40. (H 2006Bdb2) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt phng (P) cú phng
trỡnh: 2 x + y - z + 5 = 0 v cỏc im A(0; 0; 4), B(2; 0; 0).
1. Vit phng trỡnh hỡnh chiu vuụng gúc ca ng thng AB trờn mt phng (P).
2. Vit phng trỡnh mt cu i qua O, A, B v tip xỳc vi mt phng (P).
ỡ2 x - y + 2 z + 5 = 0
S: (AÂBÂ): ớ
2) (S): x 2 + y 2 + z2 - 2 x - 2 y - 4 z = 0 .
ợ2 x - 3 y + z - 4 = 0

Baứi 41. (H 2006Ddb1) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt phng (P) cú phng
Trang 17


Đề thi Tốt nghiệp – Đại học

Trần Sĩ Tùng

trình: 4 x - 3y + 11z - 26 = 0 và hai đường thẳng lần lượt có phương trình:
x y - 3 z +1
x - 4 y z-3
=
=
,
d2:
= =
.
-1
2
3
1
1
2
1. Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau.
2. Viết phương trình đường thẳng D nằm trên (P), đồng thời cắt cả d1 và d2.
x +2 y-7 z-5
ĐS: 2) D:
=
=
.

5
-8
-4
Baøi 42. (ĐH 2006D–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1; 2; 0), B(0; 4; 0),
C(0; 0; 3).
1. Viết phương trình đường thẳng D đi qua O và vuông góc với mặt phẳng (ABC).
2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa OA, sao cho khoảng cách từ B đến (P) bằng
khoảng cách từ C đến (P).
x y z
ĐS: 1) D: = =
2) (P1): -6 x + 3y + 4 z = 0 , (P2): 6 x + 3y - 4 z = 0 .
6 3 4
Baøi 43. (ĐH 2007A) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:
ì x = -1 + 2t
ï
x y -1 z + 2
d1: =
=
và
d2 : í y = 1 + t .
2
-1
1
ïîz = 3
1. Chứng minh rằng hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau.
2. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7 x + y - 4 z = 0 và cắt
hai đường thẳng d1, d2.
x - 2 y z +1
ĐS: 2)
= =

.
7
1 -4
Baøi 44. (ĐH 2007B) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P)
d1:

lần lượt có phương trình: (S): x 2 + y 2 + z2 - 2 x + 4 y + 2 z - 3 = 0 , (P): 2 x - y + 2 z - 14 = 0
1. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán
kính bằng 3.
2. Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P)
lớn nhất.
ĐS: 1) y - 2 z = 0
2) M(–1; –1; –3).
Baøi 45. (ĐH 2007D) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2), B(–1; 2;
x -1 y + 2 z
4) và đường thẳng D:
=
= .
-1
1
2
1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc
với mặt phẳng (OAB).
2. Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng D sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất.
x y-2 z-2
ĐS: 1) d : =
=
2) M(–1; 0; 4).
2
-1

1
Baøi 46. (ĐH 2007A–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(–1; 3; –2), B
(–3; 7; –18) và mặt phẳng (P): 2 x - y + z + 1 = 0 .
1. Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (P).
2. Tìm tọa độ điểm M Î (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất.
ĐS: 1) 2 x + 5y + z - 11 = 0
2) M(2; 2; –3).
Baøi 47. (ĐH 2007A–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2; 0; 0); B(0;
ì6 x - 3 y + 2 z = 0
4; 0); C(2; 4; 6) và đường thẳng (d): í
.
î6 x + 3y + 2 z - 24 = 0
1. Chứng minh các đường thẳng AB và OC chéo nhau.
Trang 18


Trần Sĩ Tùng

Đề thi Tốt nghiệp – Đại học

2. Viết phương trình đường thẳng D song song với (d) và cắt các đường AB, OC.
ì6 x + 3y + 2 z - 12 = 0
ĐS: 2) D: í
.
î3 x - 3y + z = 0
Baøi 48. (ĐH 2007B–db1) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(–3; 5; –5),
B(5; –3; 7) và mặt phẳng (P): x + y + z = 0 .
1. Tìm giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng (P).
2. Tìm điểm M Î (P) sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất.
ĐS: 1) I(–1; 3; –2)

2) M º O(0; 0; 0).
Baøi 49. (ĐH 2007B–db2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2; 0; 0); M(0;
–3; 6).
1. Chứng minh rằng mặt phẳng (P): x + 2 y – 9 = 0 tiếp xúc với mặt cầu tâm M, bán kính
MO. Tìm tọa độ tiếp điểm.
2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa A, M và cắt các trục Oy, Oz tại các điểm tương
ứng B, C sao cho VOABC = 3.
x y z
x 2y z
ĐS: 1) I(3; 3; 6)
2) (Q1): + + = 1 , (Q2): - = 1.
2 3 3
2 3 6
Baøi 50. (ĐH 2007D–db1) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d và mặt
x - 3 y + 2 z +1
phẳng (P) lần lượt có phương trình: d:
=
=
, (P): x + y + z + 2 = 0 .
2
1
-1
1. Tìm toạ độ giao điểm M của d và (P).
2. Viết phương trình đường thẳng D nằm trong (P) sao cho D ^ d và khoảng cách từ M
đến D bằng 42 .
x -5 y+2 z+5
x +3 y+4 z-5
ĐS: 1) M(1; –3; 0)
2) D1:
=

=
, D2:
=
=
.
2
1
2
1
-3
-3
Baøi 51. (ĐH 2007D–db2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):
x -1 y - 3 z
x -5 y z+5
x – 2 y + 2 z – 1 = 0 và các đường thẳng d1 :
=
= và d2 :
= =
.
2
-3
2
6
4
-5
1. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d1 và (Q) ^ (P).
2. Tìm các điểm M Î d1, N Î d2 sao cho MN // (P) và cách (P) một khoảng bằng 2.
ĐS: 1) (Q): 2 x + 2 y + z - 8 = 0
2) M1(3; 0; 2), N1(–1; –4; 0)
hoặc M2(1; 3; 0), N2(5; 0; –5).

Baøi 52. (ĐH 2008A) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 5; 3) và đường
x -1 y z - 2
thẳng d:
= =
.
2
1
2
1. Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d.
2. Viết phương trình mặt phẳng (a) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (a) lớn nhất.
ĐS: 1) H(3; 1; 4)
2) (a): x - 4 y + z - 3 = 0 .
Baøi 53. (ĐH 2008B) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 1; 2), B(2; –2;
1), C(–2; 0; 1).
1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.
2. Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P): 2 x + 2 y + z - 3 = 0 sao cho MA = MB = MC.
2) M(2; 3; –7).
ĐS: 1) x + 2 y - 4 z + 6 = 0
Baøi 54. (ĐH 2008D) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(3; 3; 0), B(3; 0;
3), C(0; 3; 3), D(3; 3; 3).
1. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D.
2. Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
ĐS: 1) x 2 + y 2 + z2 - 3 x - 3 y - 3z = 0 2) H(2; 2; 2).
Baøi 55. (ĐH 2008A–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1; 1; 0), B(0; 2;
Trang 19


Đề thi Tốt nghiệp – Đại học

Trần Sĩ Tùng

0), C(0; 0; 2) .
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ O và vuông góc với BC. Tìm tọa độ
giao điểm của AC với mặt phẳng (P).
2. Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông. Viết phương trình mặt cầu ngọai tiếp
tứ diện OABC.
æ2 2 2ö
2
2
ĐS: 1) ( P ) : y - z = 0 , M ç , , ÷
2) x 2 + ( y - 1) + ( z - 1) = 2 .
è3 3 3ø
Baøi 56. (ĐH 2008A–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(2; 0; 0), C(0; 4;
0), S(0; 0; 4).
1. Tìm tọa độ điểm B thuộc mặt phẳng Oxy sao cho tứ giác OABC là hình chữ nhật. Viết
phương trình mặt cầu qua 4 điểm O, B, C, S.
2. Tìm tọa độ điểm A1 đối xứng với điểm A qua đường thẳng SC.
ĐS: 1) B(2; 4; 0), ( x - 1)2 + ( y - 2)2 + (z - 2)2 = 9

2) A1 (-2; 4; 4) .

Baøi 57. (ĐH 2008B–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

ì x = -1 - 2 t
x y z
ï
( t là tham số ).
d1 :
= =
và d2 : í y = t

1 1 2
ïî z = 1 + t
1. Xét vị trí tương đối của d1 và d2 .
2. Tìm tọa độ các điểm M thuộc d1 và N thuộc d2 sao cho đường thẳng MN song song
với mặt phẳng (P): x - y + z = 0 và độ dài đọan MN = 2 .
æ4 4 8ö
æ1 4 3ö
ĐS: 1) d1 và d2 chéo nhau
2) M ç ; ; ÷ , N ç ; - ; ÷ .
è7 7 7ø
è7 7 7ø
Baøi 58. (ĐH 2008B–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(5; 2; – 3) và mặt
phẳng (P): 2 x + 2 y - z + 1 = 0 .
1. Gọi M1 là hình chiếu của M lên mặt phẳng ( P ). Xác định tọa độ điểm M1 và tính độ
dài đọan MM1.
2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và chứa đường thẳng
x -1 y -1 z - 5
d:
=
=
.
2
1
-6
ĐS: 1) M1 (1; -2; -1) , MM1 = 6
2) (Q): x + 4 y + z - 10 = 0 .
Baøi 59. (ĐH 2008D–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho lăng trụ đứng

OAB.O1A1B1 với A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), O1(0; 0; 4).
1. Tìm tọa độ các điểm A1, B1. Viết phương trình mặt cầu qua 4 điểm O, A, B, O1.

2. Gọi M là trung điểm của AB. Mặt phẳng (P) qua M vuông góc với O1 A và cắt OA,
OA1 lần lượt tại N, K. Tính độ dài đoạn KN.
2 5
.
3
Baøi 60. (ĐH 2008D–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương
ABCD.A1B1C1D1 với A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), D1(0; 2; 2).
1. Xác định tọa độ các điểm còn lại của hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. Gọi M là
trung điểm của BC. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (AB1D1) và (AMB1) vuông góc
nhau.
2. Chứng minh rằng tỉ số khỏang cách từ điểm N thuộc đường thẳng AC1 ( N ≠ A ) đến 2
mặt phẳng (AB1D1) và (AMB1) không phụ thuộc vào vị trí của điểm N.
d
2
ĐS: 1) C(2; 2; 0), D(0;2;0), A1(0; 0; 2), B1(2; 0; 2), C1(2; 2; 2)
2) 1 =
.
d2
2
ĐS: 1) A1(2; 0; 4), B1(0; 4; 4), (S ) : ( x - 1)2 + ( y - 2)2 + ( z - 2)2 = 9

Baøi 61. (ĐH 2009A)

Trang 20

2) KN =


Trần Sĩ Tùng

Đề thi Tốt nghiệp – Đại học

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2 x - 2 y - z - 4 = 0 và mặt
cầu (S): x 2 + y 2 + z2 - 2 x - 4 y - 6 z - 11 = 0 . Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu
(S) theo một đường tròn. Xác định toạ độ tâm và tính bán kính đường tròn đó.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x - 2 y + 2 z - 1 = 0 và hai
x +1 y z + 9
x -1 y - 3 z +1
= =
, D2:
=
=
. Xác định toạ độ điểm M
1
1
6
2
1
-2
thuộc đường thẳng D1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng D2 và khoảng cách từ
M đến mặt phẳng (P) bằng nhau.
æ 18 53 3 ö
ĐS: 1) H(3; 0; 2), r = 4
2) M(0; 1; –3), M ç ; ; ÷ .
è 35 35 35 ø
Baøi 62. (ĐH 2009B)
1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1; 2; 1), B(–2;
1; 3), C(2; –1; 1) và D(0; 3; 1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho
khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x - 2 y + 2 z - 5 = 0 và hai

điểm A(–3; 0; 1), B(1; –1; 3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy
viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất.
x + 3 y z -1
ĐS: 1) ( P ) : 4 x + 2 y + 7 z - 15 = 0 , (P): 2 x + 3z - 5 = 0
2) D :
= =
26
11 -2
Baøi 63. (ĐH 2009D)
1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2; 1; 0), B(1; 2; 2), C(1; 1; 0) và
mặt phẳng (P): x + y + z - 20 = 0 . Xác định toạ độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho
đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P).
x +2 y-2 z
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D:
=
=
và mặt
1
1
-1
phẳng (P): x + 2 y - 3z + 4 = 0 . Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d
cắt và vuông góc với đường thẳng D.
ì x = -3 + t
æ5 1
ö
ï
ĐS: 1) D ç ; ; -1 ÷
2) d : í y = 1 - 2t .
è2 2
ø

ïî z = 1 - t
đường thẳng D1:

Trang 21