HUONG DAN ON TAP CHUONG i DAI SO 11 NAM 12 13

HƯỚNG DẪN ÔN TẬP CHƯƠNG I ĐẠI SỐ 11 (2012 – 2013)
I. CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC: 1. Tập xác định của hàm số lượng giác:
π
a) Hàm số y = tan u . Điều kiện: cosu ≠ 0 ⇔ u ≠ + kπ , k ∈ ¢
2
b) Hàm số y = cot u . Điều kiện: sinu ≠ 0 ⇔ u ≠ kπ , k ∈ ¢
g(x)
c) Hàm số y =
. Điều kiện: sinu ≠ 0 ⇔ u ≠ kπ , k ∈ ¢
sin u
h(x)
π
d) Hàm số y =
. Điều kiện: cosu ≠ 0 ⇔ u ≠ + kπ , k ∈ ¢
cos u
2
* Các trường hợp đặc biệt: a) cosu ≠ 1 ⇔ u ≠ k2π , k ∈ ¢ b) cosu ≠ -1 ⇔ u ≠ π + k2π , k ∈ ¢
π
π
c) sinu ≠ 1 ⇔ u ≠ + k2π , k ∈ ¢
d) sinu ≠ -1 ⇔ u ≠ − + k2π , k ∈ ¢
2
2
2
Ghi nhớ: a) −1 ≤ sin u ≤ 1
b) −1 ≤ cos u ≤ 1 c) 0 ≤ sin u ≤ 1
d) 0 ≤ cos 2 u ≤ 1
e) 0 ≤ sinu ≤ 1
f) 0 ≤ cosu ≤ 1
g) 0 ≤ sinu ≤ 1
h) 0 ≤ cosu ≤ 1

II. CÁC PT LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1. PT sinx = a
a) Nếu a > 1 ⇔ a < −1 hoặc t > 1: PT sinx = a: Vô nghiệm
b) Nếu a ≤ 1 ⇔ −1 ≤ a ≤ 1
 x = arcsin a + k2π
 a là những cung không đặc biệt: sinx = a ⇔ 
(k∈¢ )
 x = π − arcsin a + k2π
1
3
2
 a là những cung đặc biệt như: ± ; ±
;±
2
2
2
 x = α + k2π
* sinx = a ⇔ sinx = sin α ⇔ 
( α là đơn vị rađian)
x
=
π
−
α
+
k2
π

 x = α + k3600
⇔

α
⇔
* sinx = a
sinx = sin
( α là đơn vị độ)

0
0
x
=
180
−
α
+
k360

π
π
Đặc biệt: a) sinx = 1 ⇔ x = + k2π
b) sinx = –1 ⇔ x = − + k2π
c) sinx = 0 ⇔ x = kπ
2
2
2. PT cosx = a. a) Nếu a > 1 ⇔ a < −1 hoặc t > 1: PT cosx = a: Vô nghiệm
b) Nếu a ≤ 1 ⇔ −1 ≤ a ≤ 1
 a là những cung không đặc biệt: cosx = a ⇔ x = ± arc cos a + k2π
1
3
2
 a là những cung đặc biệt như: ± ; ±

;±
2
2
2
* cosx = a ⇔ cosx = cos α ⇔ x = ± α + k2π ( α là đơn vị rađian)
* cosx = a ⇔ cosx = cos α ⇔ x = ± α + k3600 ( α là đơn vị độ)
π
Đặc biệt: a) cosx = 1 ⇔ x = k2 π
b) cosx = –1 ⇔ x = π + k2π
c) cosx = 0 ⇔ x = + kπ
2
π
3. PT tanx = a. Điều kiện: cosx ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ , k∈ ¢
2
 a là những cung không đặc biệt: tanx = a ⇔ x = arctana + kπ
3
 a là những cung đặc biệt như: ±
; ± 3 ; ±1 ; 0
3
* tanx = a ⇔ tanx = tan α ⇔ x = α + kπ ( α là đơn vị rađian)
1


* tanx = a ⇔ tanx = tan α ⇔ x = α + k1800 ( α là đơn vị độ)
π
π
Đặc biệt: a) tanx = 0 ⇔ x = kπ
b) tanx = 1 ⇔ x = + kπ
c) tanx = -1 ⇔ x = − + kπ
4

4
⇔
≠
≠
4. PT cotx = a. Điều kiện: sinx 0
x kπ , k∈ ¢
 a là những cung không đặc biệt: cotx = a ⇔ x = arccota + kπ
3
 a là những cung đặc biệt như: ±
; ± 3 ; ±1
3
* cotx = a ⇔ cotx = cot α ⇔ x = α + kπ ( α là đơn vị rađian)
* cotx = a ⇔ cotx = cot α ⇔ x = α + k1800 ( α là đơn vị độ)
π
π
π
Đặc biệt: a) cotx = 0 ⇔ x = + kπ
b) cotx = 1 ⇔ x = + kπ
c) cotx = -1 ⇔ x = − + kπ
2
4
4
II. PT LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP:
1/ PT bậc nhất đối với 1 hàm số lượng giác: at = b (a ≠ 0) (1), t là 1 trong những h/ số lượng giác
b
+ Bước 1: (1) ⇔ t =
+ Bước 2: Giải như PT lượng giác cơ bản
a
2/ PT bậc hai đối với 1 hàm số lượng giác: at2 + bt + c = 0 (a ≠ 0) (2)
t là một trong những hàm số lượng giác

III. PT BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sinx VÀ cosx: asinx + bcosx = c (a2 + b2 ≠ 0) (1)
+ Bước 1: Tính a 2 + b 2 (nháp)
a
b
c
+ Bước 2: Chia 2 vế cho a 2 + b 2 , ta được:
sinx
+
cosx
=
a 2 + b2
a 2 + b2
a 2 + b2
a
b
+ Bước 3: Đặt sin α = 2
, cos α = 2
2
a +b
a + b2
a
b
(Nếu
,
là những cung đặc biệt thì ta viết: sin α = sin β , cos α = cos β )
2
2
2
a +b
a + b2

+ Bước 4: Áp dụng đảo của công thức cộng
+ Bước 5: Giải PT lượng giác cơ bản
π
π


Ghi nhớ: a) sinx + cosx = 2 cos  x − ÷ = 2 sin  x + ÷
4
4


π
π


b) sinx – cosx = − 2 cos  x + ÷= 2 sin  x − ÷
4
4


2
2
Chú ý: Dạng: asin x + bsinxcosx + ccos x = 0
π
+ Bước 1: TH1: cosx = 0 ⇔ x = + kπ , k ∈ ¢ . Khi đó: sin2x = 1
2
π
π
* Nếu VT ≠ VP ⇒ x = + kπ không là n0 của PT
* Nếu VT = VP ⇒ x = + kπ là n0 của PT

2
2
π
+ Bước 2: TH2: cosx ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ , k ∈ ¢ (chia 2 vế cho cos2x): PT ⇔ atan2x + btanx + c = 0
2
+ Bước 3: Giải như PT bậc hai đối với 1 hàm số lượng giác.
π
Ghi nhớ: a) sinx – cosx = 0 ⇔ tanx = 1 ⇔ x = + kπ
4
π
b) sinx + cosx = 0 ⇔ tanx = -1 ⇔ x = − + kπ
4
IV. CUNG LIÊN KẾT: 1. Cung đối nhau:
2


a) cos( −α ) = cos α
b) sin( −α ) = – sin α
c) tan( −α ) = – tan α
d) cot( −α ) = – cot α
2. Cung bù nhau: a) cos( π −α ) = – cos α
b) sin( π −α ) = sin α
c) tan( π −α ) = – tan α
d) cot( π −α ) = – cot α
3. Cung hơn kém π : a) cos( π +α ) = – cos α b) sin( π +α ) = – sin α
c) tan( π +α ) = tan α
d) cot( π +α ) = cot α
π
π
4. Cung phụ nhau: a) sin( −α ) = cos α

b) cos( −α ) = sin α
2
2
π
π
c) tan( −α ) = cot α
d) cot( −α ) = tan α
2
2
π
π
π
5. Cung hơn kém : a) cos( +α ) = – sin α
b) sin( +α ) = cos α
2
2
2
π
π
c) tan( +α ) = – cot α d) cot( +α ) = – tan α
2
2
α
Lưu ý: a) sin( α + k2π ) = sin
b) cos( α + k2π ) = cos α
c) tan( α + kπ ) = tan α
d) cot( α + kπ ) = cot α
u k chaü
n
u k chaü

n
sinα neá
cosα neá
e) sin( α + kπ ) = 
f) cos( α + kπ ) = 
u k leû
u k leû
− sinα neá
− cosα neá
V. CÔNG THỨC CỘNG:
a) cos(a – b) = cosacosb + sinasinb
b) cos(a + b) = cosacosb – sinasinb
c) sin(a – b) = sinacosb – cosasinb
d) sin(a + b) = sinacosb + cosasinb
VI. CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI:
a
a
1
a) sin2a = 2sinacosa
b) sina = 2sin .cos
c) sin2a.cos2a = sin 2 2a
2
2
4
2 tan a
d) cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a
e) tan2a =
1 − tan 2 a
VII. CÔNG THỨC HẠ BẬC
1 + cos 2a

1 1
a) cos2a =
= + cos 2x ⇒ 1 + cos2x = 2cos2x
2
2 2
1
−
cos
2a
1
1
1 − cos 2a
b) sin2a =
= − cos 2x ⇒ 1 – cos2x = 2sin2x
c) tan 2 a =
2
2 2
1 + cos 2a
a
VIII. CÔNG THỨC TÍNH THEO tan = t
2
2t
2t
1− t2
a) sin a =
b) cos a =
c) tan a =
2
2
1+ t

1− t2
1+ t
IX. CÔNG THỨC NHÂN BA
1
a) sin3a = 3sina – 4sin3a ⇒ sin3a = (3sina – sin3a)
4
1
3tan a − tan 3 a
3
3
⇒
b) cos3a = 4cos a – 3cosa
cos a = (3cosa + cos3a)
c) tan 3a =
4
1 − 3tan 2 a
X. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG
1
1
a) cosacosb = [cos(a − b) + cos(a + b)]
b) sinasinb = [cos(a − b) − cos(a + b)]
2
2
1
1
c) sinacosb = [sin(a + b) + sin(a − b)]
d) cosasinb = [sin(a + b) − sin(a − b)]
2
2
XI. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH

3


a+b
a−b
a+b a − b
cos
sin
b) cosa – cosb = – 2sin
2
2
2
2
a+b
a−b
a+b a − b
cos
sin
c) sina + sinb = 2sin
d) sina – sinb = 2cos
2
2
2
2
sin(a + b)
e) tan a + tan b =
cos a cos b
XII. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
sin α
cos α

a) tan α =
b) cot α =
c) tan α . cot α = 1
cos α
sin α
1
1
d) sin 2 α + cos 2 α = 1
e) 1 + cot 2 α =
f) 1 + tan 2 α =
2
sin α
cos 2 α
BÀI TẬP MẪU
I. Hàm số lượng giác:
Bài 1: Tìm tập xác định các hàm số sau:
sinx + 2
3
2 + 3sinx
1− sinx
y=
y=
y=
π
x
a)
b)

c)
π


d) y =
2cos 2x − ÷
3sin − 2x ÷+ 3
sin
1− cos2x
3
3

4

π
π

π


e) y = tan 2x − ÷
f) y = 6cot − x ÷
g) y = tan 3x − ÷+ sin2x
6
4

3


x
Giải: a) ĐK: ≠ kπ ⇔ x ≠ 3kπ , k∈ ¢ . Vậy: TXĐ: D = ¡ \ { 3kπ,k ∈ ¢}
3
π π

5π
5π
π
+ kπ ⇔ x ≠
+ k , k∈ ¢ .
b) ĐK: 2x − ≠ + kπ ⇔ 2x ≠
3 2
6
12
2
π
 5π

Vậy: TXĐ: D = ¡ \  + k ,k ∈ ¢ 
2
 12

π
π
3π
π

π

− kπ , k∈ ¢
c) ĐK: 3sin − 2x ÷+ 3 ≠ 0 ⇔ sin − 2x ÷ ≠ −1 ⇔ − 2x ≠ − + k2π ⇔ x ≠
4
2
8
4


4

 3π

Vậy: TXĐ: D = ¡ \  − kπ,k ∈ ¢ 
8

d) ĐK: 1− cos2x ≠ 0 ⇔ cos2x ≠ 1 ⇔ 2x ≠ k2π ⇔ x ≠ kπ , k∈ ¢ . Vậy: TXĐ: D = ¡ \ { kπ,k ∈ ¢}
a) cosa + cosb = 2cos

π
π π
π
π
π

≠ + kπ ⇔ x = + k , k∈ ¢ . Vậy: TXĐ: D = ¡ \  + k ,k ∈ ¢ 
2
6 2
3
2
3

π
π
π

f) ĐK: − x ≠ kπ ⇔ x ≠ − kπ , k∈ ¢ . Vậy: TXĐ: D = ¡ \  − kπ,k ∈ ¢ 
3

3
3

π
π π
π
π
π

g) ĐK: 3x − ≠ + kπ ⇔ x = + k , k∈ ¢ . Vậy: D = ¡ \  + k ,k ∈ ¢ 
3
4 2
4
3
4

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tìm tập xác định các hàm số sau:
cosx + 1
5− sinx
2sin3x − 5
4
y=
y=
y=
π
2x
a)
b)
π


c)

d) y =
sin − 2x ÷
2 − 2cos 3x − ÷
3cos
3+ 3sin2x
4
3
3


3 π
π
 x π


e) y = tan − ÷
f) y = cot − 2x ÷
g) y = tan 2x + ÷− 3cos5x
2 5
6
 3 3


e) ĐK: 2x −

4

5− 2cosx
2x
 x 2π 
− cot − ÷
x
i)
j) y =
3sin − 3
5
4 3 
3
3π
3π
π
π
π
2π
π
+k
+k
ĐS: a) x ≠
b) x ≠ + k
c) x ≠
d) x ≠ − + kπ e)
4
2
6
2
12

3
4
5π
x≠
+ k3π
2
π
π
π
π
π −1
3π
8π
+k
+ kπ
+ k6π
+ k4π
f) x ≠
g) x ≠ + k
h) x ≠
i) x ≠
j) x ≠
10
2
3
2
2
2
3
II. Phương trình lượng giác:

BÀI TẬP MẪU
Bài 1: Giải các phương trình sau: (dạng PT lượng giác cơ bản)
3
2
1
a) sin3x = 3
b) cos(2x + 1) = −
c) sin (x – 2) =
d) cos2x = −
2
3
3
π

 3x π 
e) sin  2x + ÷= 1
f) cos − ÷ = −1
g) tan2x = 1
h) cotx = 3
3

 2 4
3
3
Giải: a) sin3x = 3: VN (vì 3 > 1)
b) cos(2x + 1) = − : VN (vì − < −1)
2
2
2
2



x − 2 = acrsin + k2π
x = 2 + acrsin + k2π


2
3
3
⇔ 
c) sin (x – 2) = ⇔ 
, k∈ ¢
3
 x − 2 = π − arcsin 2 + k2π
 x = π + 2 − arcsin 2 + k2π


3
3
1
1
 1
 1
d) cos2x = − ⇔ 2x = ± arccos − ÷+ k2π ⇔ x = ± arccos − ÷+ kπ , k∈ ¢
2
3
 3
 3
π
π π

π
π

+ kπ , k∈ ¢
e) sin  2x + ÷= 1 ⇔ 2x + = + k2π ⇔ 2x = + k2π ⇔ x =
3
3 2
6
12

3x π
3x 5π
5π
4π
 3x π 
− = π + k2π ⇔
=
+ k2π ⇔ x =
+ k , k∈ ¢
f) cos − ÷ = −1 ⇔
2 4
2
4
6
3
 2 4
π
π
π
g) tan2x = 1 ⇔ 2x = + kπ ⇔ x = + k , k∈ ¢

h) cotx = 3 ⇔ x = arccot3+ kπ , k∈ ¢
4
8
2
Bài 2: Giải các phương trình sau: (dạng PT lượng giác cơ bản)
π
1

 2x π 
3
− ÷= −
a) sin 2x − ÷ = 0
b) cos
c) sin(2x + 400 ) = −
d) tan(2x + 1) = 0
3
2

 3 4
2
π
x
2
3
e) cos =
f) tan(3x − ) = 3
g) cot(200 − 2x) =
h) cot(3x − 1) = − 3
6
3 2

3
π
π
π
π

Giải: a) sin 2x − ÷ = 0 ⇔ 2x − = kπ ⇔ x = + k , k∈ ¢
3
3
6
2

11π
 2x π 2π

− =
+ k2π
x=
+ k3π


1
2π
3 4 3
8
 2x π 
 2x π 
⇔
− ÷ = − ⇔ cos
− ÷ = cos ⇔ 

b) cos
2
3
 3 4
 3 4
 2x − π = − 2π + k2π
 x = − 5π + k3π
 3 4

3
8
0
0
0
2x + 40 = −60 + k360
3⇔
sin(2x + 400 ) = sin(−600 ) ⇔ 
c) sin(2x + 400 ) = −
0
0
0
0
2
2x + 40 = 180 + 60 + k360
1− 3sin3x
h) y =
cos(2x + 1) + 1

y=

5


2x = −1000 + k3600
 x = −500 + k1800
, k∈ ¢
⇔
⇔
0
0
0
0
2x = 200 + k360
 x = 100 + k180
1
π
d) tan(2x + 1) = 0 ⇔ 2x + 1 = kπ ⇔ x = − + k , k∈ ¢
2
2
x
π
x
π
3π
x
2⇔
cos = cos ⇔ = ± + k2π ⇔ x = ± + k6π , k∈ ¢
e) cos =
3
4

3
4
4
3 2
π
π
π
π π
π
π
f) tan(3x − ) = 3 ⇔ tan(3x − ) = tan ⇔ 3x − = + kπ ⇔ x = + k , k∈ ¢
6
6
3
6 3
6
3
3⇔
cot(200 − 2x) = cot600 ⇔ 200 − 2x = 600 + k1800 ⇔ x = −200 + k900
g) cot(200 − 2x) =
3
π
1 π
π
 π
h) cot(3x − 1) = − 3 ⇔ cot(3x − 1) = cot − ÷ ⇔ 3x − 1= − + kπ ⇔ x = − + k , k∈ ¢
6
3 18
3
 6

Bài 3: Giải các phương trình sau: (dạng PT lượng giác thường gặp)
π

a) 3cosx + 7 = 0
b) 2sin2x − 2 = 0
c) 2cos 2x − ÷− 1= 0
d) 3cos3x + 1= 0
4

 3x π 
0
e) 3tan + ÷+ 3 = 0
f) 2cot(2x − 150 ) − 2 = 0
g) 3− 3tan( 30 − x) = 0
 2 3
7
7
Giải: a) 3cosx + 7 = 0 ⇔ cosx = − : VN (vì − < −1)
3
3
π
π


x = + kπ
2x = + k2π


π
8

4
2⇔
⇔
sin2x = sin ⇔ 
b) 2sin2x − 2 = 0 ⇔ sin2x =
, k∈ ¢
4
2
 x = 3π + kπ
2x = π − π + k2π


4
8
π
π 1
π
π



c) 2cos 2x − ÷− 1= 0 ⇔ cos 2x − ÷ = ⇔ cos 2x − ÷ = cos
4
4 2
4
3



π π

7π
7π



2x
−
=
+
k2
π
2x
=
+
k2
π
x
=
+ kπ



4 3
12
24
, k∈ ¢
⇔
⇔
⇔
π

π
π
π
2x − = − + k2π
2x = − + k2π
 x = − + kπ



4
3

12
24
1
2π
1
 1
 1
d) 3cos3x + 1= 0 ⇔ cos3x = − ⇔ 3x = ± arccos − ÷+ k2π ⇔ x = ± arccos − ÷+ k
3
3
3
 3
 3
3
 3x π 
 3x π 
 π
 3x π 

⇔ tan + ÷ = tan − ÷
e) 3tan + ÷+ 3 = 0 ⇔ tan + ÷ = −
3
 2 3
 2 3
 6
 2 3
3x π
π
3x
π
π
2π
⇔
+ = − + kπ ⇔
= − + kπ ⇔ x = − + k , k∈ ¢
2 3
6
2
2
3
3
2⇔
cot(2x − 150 ) = cot450
f) 2cot(2x − 150 ) − 2 = 0 ⇔ cot(2x − 150 ) =
2
0
0
0
0

0
⇔ 2x − 15 = 45 + k180 ⇔ x = 30 + k90 , k∈ ¢
0
0
0
0
g) 3− 3tan( 30 − x) = 0 ⇔ tan( 30 − x) = 3 ⇔ tan( 30 − x) = tan60
⇔ 300 − x = 600 + k1800 ⇔ x = −300 + k900 , k∈ ¢

Bài 4: Giải các phương trình sau:

6


π
π
π


π

a) sin 2x − ÷ = sin x + ÷
b) tan − x ÷ = tan2x
c) cos(2x – ) – sin3x = 0
3
4
3


4 

d) sin3x = sin2x
e) cos3x = cosx
f) cos5x + cos2x = 0
g) sin3x – cos5x = 0
h) sin4x + cos2x = 0
i) sin3x + sinx = 0
 u = v + k2π
Ghi nhớ: a) sinu = sinv ⇔ 
b) cosu = cosv ⇔ u = ± v + k2π
u
=
π
−
v
+
k2
π

⇔
kπ
c) tanu = tanv
u=v+
d) cotu = cotv ⇔ u = v + kπ
e) cosu = – cosv ⇔ cosu = cos( π – v)
f) sinu = – sinv ⇔ sinu = sin(–v)
π

π

g) cosu = sinv ⇔ cosu = cos  − v÷

h) sinu = cosv ⇔ sinu = sin  − v÷
2 
2 
π

i) tanu = – tanv ⇔ tanu = tan(–v)
j) cotu = tanv ⇔ cotu = cot  − v÷
2 
π
π
7π


2x − = x + + k2π
x=
+ k2π


π
π
3
4


12
⇔
Giải: a) sin 2x − ÷ = sin x + ÷ ⇔ 
, k∈ ¢
3
4



2x − π = π − x − π + k2π
 x = 13π + k 2π


36
3
3
4
π
π
π
π
π

+ k , k∈ ¢
b) tan − x ÷ = tan2x ⇔ − x = 2x + kπ ⇔ –3x = − + kπ ⇔ x =
4
4
12
3
4 
π
π
π

π

c) cos(2x – ) – sin3x = 0 ⇔ cos(2x – ) = sin3x ⇔ cos  2x − ÷ = cos  − 3x ÷

3
3
3

2

π π
π
2π


2x − = − 3x + k2π
x= + k


π
3 2
6
5
π

⇔ 2x − = ±  − 3x÷ + k2π ⇔ 
⇔
, k∈ ¢
3
2

2x − π = − π + 3x + k2π
 x = π + k2π



3
2
6
 x = k2π
3x = 2x + k2π
⇔
d) sin3x = sin2x ⇔ 
, k∈ ¢
 x = π + k 2π
3x
=
π
−
2x
+
k2
π

5
5

 x = kπ
3x = x + k2π
⇔
e) cos3x = cosx ⇔ 3x = ± x + k2π ⇔ 
, k∈ ¢
x = k π
3x
=

−
x
+
k2
π


2
f) * Cách 1: cos5x + cos2x = 0 ⇔ cos5x = – cos2x ⇔ cos5x = cos( π – 2x)
π
2π

x
=
+
k

5x = π − 2x + k2π
7
7
⇔ 5x = ± ( π − 2x ) + k2π ⇔ 
⇔
, k∈ ¢
 x = − π + k 2π
5x = −π + 2x + k2π

3
3
7x
3x

* Cách 2: cos5x + cos2x = 0 ⇔ 2cos cos
=0
2
2
π
2π
7x


 7x π
x
=
+
k
cos
=
0
=
+
k
π



7
7
2
⇔
⇔2 2
⇔

 x = π + k 2π
 cos 3x = 0
 3x = π + kπ


 2 2
2
3
3
7


π

g) sin3x – cos5x = 0 ⇔ sin3x = cos5x ⇔ sin3x = sin  − 5x ÷
2

π
π
π


x
=
+
k
3x
=
−
5x

+
k2
π


16
4,
2
⇔
⇔
k∈ ¢
 x = − π + kπ
3x = π − π + 5x + k2π


2
4

π

x= k

3x = −x + k2π
2
⇔
h) sin3x + sinx = 0 ⇔ sin3x = –sinx ⇔ sin3x = sin(–x) ⇔ 
, k∈ ¢
π
3x = π + x + k2π
 x = + kπ


2
Bài 5: Giải các phương trình sau: (PT đưa về dạng PT tích)
a) cosx(sin2x + 1) = 0
b) (sinx + cosx)(2cos2x – 1) = 0
c) 2sin2xsinx − 3sinx = 0
d) cos2x – cos3x + cos4x = 0
e) sin5x + sin3x – cosx = 0
f) cos2x + sin4x = 0
g) cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0
h) (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx
 cosx = 0
Giải: a) cosx(sin2x + 1) = 0 ⇔ 
sin2x + 1 = 0
π
π
π
* cosx = 0 ⇔ x = + kπ , k∈ ¢
* sin2x = – 1 ⇔ 2x = − + k2π ⇔ x = − + kπ , k∈ ¢
2
2
4
sinx + cosx = 0
b) (sinx + cosx)(2cos2x – 1) = 0 ⇔ 
2cos2x − 1= 0
π
* sinx + cosx = 0 ⇔ tanx + 1 = 0 ⇔ tanx = -1 ⇔ x = − + kπ , k∈ ¢
4
1
π

π
π
* cos2x = ⇔ cos2x = cos ⇔ 2x = ± + k2π ⇔ x = ± + kπ , k∈ ¢
2
3
3
6
sinx = 0
c) 2sin2xsinx − 3sinx = 0 ⇔ sinx(2sin2x – 3 ) = 0 ⇔ 
2sin2x − 3 = 0
* sinx = 0 ⇔ x = kπ , k∈ ¢
π
π


2x = + k2π
x = + kπ


π
3
6
3⇔
⇔
* sin2x =
sin2x = sin ⇔ 
, k∈ ¢
3
2
2x = π − π + k2π

 x = π + kπ


3
3
d) cos2x + cos3x + cos4x = 0 ⇔ cos4x + cos2x + cos3x = 0 ⇔ 2cos3xcosx + cos3x = 0
π
π
π


x
=
+
k
3x
=
+
k
π
 cos3x = 0


6
3
2
⇔ cos3x(2cosx + 1) = 0 ⇔ 
⇔
⇔
, k∈ ¢

1
 cosx = −
 x = ± 2π + k2π
 cosx = cos 2π

2


3
3
⇔
⇔
e) sin5x + sin3x – cosx = 0 2sin4xcosx – cosx = 0 cosx(2sin4x – 1) = 0
π
π


x = + kπ
x = + kπ


π
2
2



 cosx = 0
 x = 2 + kπ
π

π
π
⇔
⇔
⇔  4x = + k2π
⇔ x =
+ k , k∈ ¢
1


sin4x =
6
24
2
sin4x = sin π



2

6
 4x = π − π + k2π
 x = 5π + k π


24
2
6
8

f) cos2x + sin4x = 0 ⇔ cos2x + 2sin2xcos2x = 0 ⇔ cos2x(1 + 2sin2x) = 0
π
π
π
π


x= + k
x= + k


π
4
2
4
2



2x
=
+
k
π
 cos2x = 0

π
π
2

⇔
⇔
⇔  2x = − + k2π ⇔  x = − + kπ , k∈ ¢
1


sin2x = −
6
12
sin2x = sin(− π )



2

6
2x = π + π + k2π
 x = 7π + kπ


12
6
g) cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0 ⇔ (cos3x – cosx) + (cos2x – 1) = 0 ⇔ – 2sin2xsinx – 2sin2x = 0
 x = kπ
sinx = 0
 x = kπ
⇔ 2sinx(sin2x + sinx) = 0 ⇔ 
⇔
⇔ 2x = −x + k2π


sin2x = − sinx
sin2x = sin(− x)
2x = π + x + k2π
 x = kπ
⇔ 3x = k2π ⇔

 x = π + k2π

 x = kπ

 x = k 2π , k∈ ¢
3

 x = π + k2π


h) (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx ⇔ (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = 2sinxcosx – sinx
⇔ (2cosx – 1)(2sinx + cosx) – sinx(2cosx – 1) = 0 ⇔ (2cosx – 1)(sinx + cosx) = 0
π

1
π
x
=
±
+ k2π



cosx

=
cos
cosx
=
3
, k∈ ¢
⇔
⇔
3⇔ 
2


π
 x = − + kπ
sinx = − cosx
 tanx = −1

4
Bài 6: Giải các phương trình sau:
2cos2x
=0
a) cos3xsin2x = cos5xsin4x
b)
c) cos2xtanx = 0
1− sin2x
1
1
Giải: a) cos3xsin2x = cos5xsin4x ⇔ (sin5x – sinx) = (sin9x – sinx)
2
2

π

x
=
k

5x = 9x + k2π
2
⇔ sin5x = sin9x ⇔ 
⇔
, k∈ ¢
5x = π − 9x + k2π
x = π + k π

14
7
2cos2x
= 0 . ĐK: sin2x ≠ 1
b)
1− sin2x
π
π


2x = 2 + k2π
 x = 4 + kπ (loaïi)
⇔ 2cos2x = 0 ⇔ cos2x = 0 ⇔ 
⇔
, k∈ ¢
π

2x = − + k2π
 x = − π + kπ


2
4
c) cos2xtanx = 0. ĐK: cosx ≠ 0
π
π
π


2x
=
+
k
π
x
=
+
k
 cos2x = 0
cos2x.sinx
⇔
⇔
⇔
= 0 ⇔ cos2xsinx = 0 ⇔ 
2
4
2 , k∈ ¢



sinx
=
0
cosx

 x = kπ
 x = kπ
Bài 7: Giải các phương trình sau: (PT bậc hai đối với 1 hàm số lượng giác)
x
a) 2sin2x + 3sinx – 2 = 0
b) 2cos2 + 2cosx − 2 = 0
c) 3tan2x – 2 3 tanx + 3 = 0
2
d) 6cos2x + 5sinx – 2 = 0
e) 5sin2x + 3cosx + 3 = 0
f) 2tanx – 3cotx – 2 = 0
9


1

sinx
=
−
 π
⇔ sinx = sin − ÷
2
Giải: a) * Cách 1: 2sin2x + 3sinx – 2 = 0 ⇔ 


 6
sinx = −2(loaïi)
π
π


 x = − 6 + k2π
 x = − 6 + k2π
, k∈ ¢
⇔
⇔
 x = π + π + k2π
 x = 5π + k2π


6
6
1

t= −
2

2
* Cách 2: Đặt t = sinx, −1≤ t ≤ 1. PT trở thành: 2t + 3t – 2 = 0 ⇔

 t = −2(loaïi)
π
π



x = − + k2π
x = − + k2π


1
6
6
 π
⇔
Suy ra: sinx = − ⇔ sinx = sin − ÷ ⇔ 
, k∈ ¢
2
 6
 x = π + π + k2π
 x = 5π + k2π


6
6

x
2
 cos =
x
x
x
π
2 2
⇔ cos = cos

b) 2cos2 + 2cos − 2 = 0 ⇔ 
2
2
2
4
x

cos
=
−
2(loaï
i
)

2
x
π
π
⇔ = ± + k2π ⇔ x = ± + k4π , k∈ ¢
2
4
2
π
π



tanx
=
tan(

−
)
x
=
−
+ kπ
3


tanx
=
−
6
6

⇔
c) 3tan2x – 2 3 tanx + 3 = 0 ⇔ 
3 ⇔
π

 x = π + kπ
tanx = tan
 tanx = 3


3
3
2
2
2

⇔
⇔
d) 6cos x + 5sinx – 2 = 0 6(1 – sin x) + 5sinx – 2 = 0 – 6sin x + 5sinx + 4 = 0
π
π
1



x
=
−
+
k2
π
x
=
−
+ k2π
sinx
=
−



π
6
6
2



, k∈ ¢
⇔
⇔ sinx = sin − ÷ ⇔ 
⇔
4
π
5
π
6


 x = π + + k2π
x =
sinx = (loaïi)
+ k2π



3
6
6
e) 5sin2x + 3cosx + 3 = 0 ⇔ 5(1 – cos2x) + 3cosx + 3 = 0 ⇔ –5cos2x + 3cosx + 8 = 0
 cosx = −1
⇔
⇔ x = π + k2π , k∈ ¢
 cosx = 8(loaïi)
5

2

− 4cotx − 2 = 0 ⇔ – 4cot2x – 2cotx + 2 = 0
f) 2tanx – 4cotx – 2 = 0 ⇔
cotx
π

x
=
−
+ kπ
 cotx = −1

4
, k∈ ¢
⇔
⇔
 cotx = 1
1
 x = arctan + kπ

2

2
Bài 8: Giải các phương trình sau: (PT bậc nhất đối với sinx và cosx)
a) sinx + cosx = 2
b) cosx – 3 sinx = 1
c) 3sin2x + 4cos2x = 5
2
d) 3 sinx – cosx = 2
e) 2sin x + 3 sin2x = 3
f) cos3x – sinx = 3 (cosx – sin3x)

10


1
1
sinx +
cosx = 1 (chia 2 vế cho 12 + 12 = 2 )
2
2
π
π
π
π π
π

⇔ sinxcos + cosxsin = 1 ⇔ sin  x + ÷ = 1 ⇔ x + = + k2π ⇔ x = + k2π , k ∈ ¢
4
4
4
4 2
4

1
1
π
π
* Cách 2: sinx + cosx = 2 ⇔
sinx +
cosx = 1 ⇔ sinxsin + cosxcos = 1

4
4
2
2
π
π
π
π
π

⇔ cosxcos + sinxsin = 1 ⇔ cos  x − ÷ = 1 ⇔ x − = k2π ⇔ x = + k2π , k ∈ ¢
4
4
4
4
4

π
π


* Cách 3: sinx + cosx = 2 ⇔ 2 cos  x − ÷ = 2 ⇔ cos  x − ÷ = 1
4
4


π
π
⇔ x − = k2π ⇔ x = + k2π , k ∈ ¢
4

4
1
1
π
π
1
3
b) * Cách 1: cosx – 3 sinx = 1 ⇔ cosx –
sinx = ⇔ cosxcos – sinxsin =
2
2
3
3
2
2
π π

x + = + k2π
 x = k2π

π 1
π
π
3 3


⇔ cos  x + ÷ = ⇔ cos  x + ÷ = cos ⇔ 
⇔
, k ∈¢
 x = − 2π + k2π

3 2
3
3


 x + π = − π + k2π
3


3
3
1
1
π
π
1
3
* Cách 2: cosx – 3 sinx = 1 ⇔ cosx –
sinx = ⇔ sin cosx – cos sinx =
2
2
6
6
2
2
π
π
−
x
=

+ k2π
 x = k2π
6
π
6
π

⇔ sin  − x ÷ = sin ⇔ 
⇔
, k ∈¢
 x = − 2π + k2π
π
π
6
6


 − x = π − + k2π
3

 6
6
3
4
3
4
c) 3sin2x + 4cos2x = 5 ⇔ sin2x + cos2x = 1. Đặt: cos α = ; sin α =
5
5
5

5
π
(1) ⇔ sin2xcos α + cos2xsin α = 1 ⇔ sin(2x + α ) = 1 ⇔ 2x + α = + k2π
2
α π
⇔ x = − + + kπ ( k ∈ ¢ )
2 4
1
π
π
3
d) * Cách 1: 3 sinx – cosx = 2 ⇔
sinx – cosx = 1 ⇔ sinxsin – cosxcos = 1
2
3
3
2
π
π
π
π
2π

⇔ cosxcos – sinxsin = –1 ⇔ cos  x + ÷ = –1 ⇔ x + = π + k2π ⇔ x =
+ k2π , k ∈ ¢
3
3
3
3
3


1
π
π
3
* Cách 2: 3 sinx – cosx = 2 ⇔
sinx – cosx = 1 ⇔ sinxcos – cosxsin = –1
2
6
6
2
π
π
π
π

⇔ sin  x − ÷ = –1 ⇔ x − = − + k2π ⇔ x = − + k2π , k ∈ ¢
6
6
2
3

1− cos2x
+ 3sin2x = 3 ⇔ 3sin2x − cos2x = 2
e) 2sin2x + 3 sin2x = 3 ⇔ 2.
2
1
π
π
⇔ 3 sin2x – cos2x = 1 ⇔ sin2xcos – cos2xsin = –1

2
6
6
2
Giải: a) * Cách 1: sinx + cosx =

2⇔

11


π
π
π
π

⇔ sin  2x − ÷ = –1 ⇔ 2x − = − + k2π ⇔ x = − + kπ , k ∈ ¢
6
6
2
6

f) cos3x – sinx = 3 (cosx – sin3x) ⇔ cos3x – sinx = 3 cosx – 3 sin3x
1
3
1
3
cos3x +
sin3x = sinx +
cosx

2
2
2
2
π
π
π
π
π
π


⇔ cos3xcos + sin3xsin = cosxcos + sinxsin ⇔ cos  3x − ÷ = cos  x − ÷
3
6
3
3
6
6


π
π
π


3x
−
=
x

−
+
k2
π
x
=
+ kπ


3
6
12
, k ∈¢
⇔
⇔
π
π
π
π
3x − = −x + + k2π
x = + k


8
2
3
6
⇔ cos3x +

3 sin3x = sinx +

3 cosx ⇔

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Giải các phương trình sau:
π
x

a) sin  2x − ÷ = 1
b) cos(x − 450 ) = −1
c) tan2x = 0
d) cot = 0
3
2

2
π
 3
e) cos  − 2x ÷ =
f) sin3x =
g) tan(2x + 1) = 2
h) cot3x = –5
3
6
 2
5π
π
+ kπ
ĐS: a) x =
b) x = 2250 + k3600

c) x = k
d) x = π + k2π
e) Vô nghiệm
12
2
1
2
2π

 x = 3arcsin 3 + k 3
1 1
π
1
π
f) 
g) x = − + arctan2 + k
h) x = arccot(−5) + k
2 2
2
3
3
 x = π − 1arcsin 2 + k 2π

3 3
3
3
Bài 2: Giải các phương trình sau:
π
1
5π 

3

2

a) sin3x =
b) cos( 2x − 300 ) = −
c) tan 2x + ÷ = 3
d) cot 2x − ÷ = −
4
2
2
3
2


π
2π

 x = 12 + k 3
 x = 750 + k1800
π
π
13π
π
+k
+k
ĐS: a) 
b) 
c) x =
d) x =

0
0
24
2
12
2
 x = π + k 2π
 x = −45 + k180

4
3
Bài 3: Giải các phương trình sau:
π

x
0
a) 2sin x + ÷+ 2 = 0
b) 2cos(3x − 450 ) − 3 = 0
c) 3cot + 20 ÷+ 3 = 0
4

3

π

x
π

0
d) 2cos 2x − ÷− 2 = 0

e) 2sin + 10 ÷+ 1= 0
f) 3tan − 2x ÷− 3 = 0
4

2

3

π

 x = 250 + k1200
x = − + k2π

ĐS: a)
2
b) 
c) x = −1500 + k5400
0
0

 x = 5 + k120
 x = π + k2π
π

 x = −800 + k7200
x = + kπ
π
π

d)

4
e) 
f) x = + k
0
0

12
2
 x = 400 + k720
 x = kπ
12


Bài 4: Giải các phương trình sau:
π
π
π



π

a) sin 3x − ÷ = sin x + ÷
b) cos 2x − ÷ = cos − x ÷
4
6
3




4 
π
π

π


c) tan 2x + ÷ = tan − x ÷
d) cot3x = cot x + ÷
5
3

3


5π
7π
2π


x
=
+
k
π
x
=
+
k



2π
π
π
π
24
36
3
+k
ĐS: a) 
b) 
c) x =
d) x = + k
45
2
6
2
 x = 13π + kπ
 x = π + k2π


48
12
Bài 5: Giải các phương trình sau:
a) cos3x – sin2x = 0
b) sin3x + sin5x = 0
c) cos4x + cosx = 0
d) sin3x + cos7x = 0
π
2π

π
π
π
2π
π




x
=
+
k
x
=
+
k
x
=
+
k
x
=
k




5
5

8
2
10
5
4
ĐS: a) 
b) 
c) 
d) 
 x = − π + k 2π
x = − π + k π
 x = − π + k2π
 x = − π + kπ




2
2
3
3
20
5
Bài 6: Giải các phương trình sau:
a) cosx(sin2x – cos2x) = 0
b) 2cosxsin3x + sin3x = 0
c) (cosx + 1)(2sin2x – 3 ) = 0
π
π
π

π
2π
+ k2π
ĐS: a) x = + kπ ; x = + k
b) x = k ; x = ±
2
8
2
3
3
π
π
c) x = π + k2π ; x = + kπ ; x = + kπ
6
3
Bài 7: Giải các phương trình sau:
a) cos3x – cos4x + cos5x = 0
b) sin7x – sin3x = cos5x
c) cos2x – cos8x + cos6x = 1
2
2
d) cos x – sin x = sin3x + cos4x
e) sin2x – 2cosx = 0
f) cos5x – cosx = 2sin 22x
3
g) sin3xcosx – cos3xsinx =
h) sin2x + cosx – 2sinx – 1 = 0 i) 2cos2x + 2sinxcos2x = 1
8
j) 2sin2x + 2 sin4x = 0
k) sinx + sin2x + sin3x = 0

l) 2cos2xcos3x = 1 + cos2x + cos5x
π
π
π


π
π
x
=
+
k
x
=
k



π
π
10
5
3

x = 8 + k 4
x
=
+
k





π
π
8
4
ĐS: a) 
b)  x = + kπ
c)  x = kπ
d)  x = + k2π


12
6
 x = ± π + k2π

π



3
x = k
 x = 5π + kπ
 x = 5π + k2π
3



12

6
π
π


x = − + k2π
x= k
π
π
π




6
2
 x = − 12 + k 2
 x = 2 + kπ


e) 
f)  x = k2π
g) 
h)  x = k2π
π
π

 x = π + k2π



x= + k
2π
7π


+ k2π
3
2
2
x =
x = k
5
6


π

 x = − 6 + k2π
π
π
π



x= k
x= k
x = + kπ





π
π
2
2
2
i)  x = + k
j) 
k) 
l) 

4
2
 x = ± 3π + kπ
 x = ± 2π + k2π
 x = ± π + k2π




8
3
3
 x = 7π + k2π

6
13


Bài 8: Giải các phương trình sau:

a) sin2xcos3x = sin3xcos4x

b) cos5xcosx = cos4x

sinx + 3cosx
=0
c)
π
sinx − cos
4

 x = kπ
 x = kπ
π
π

⇒ x= k
ĐS: a) ;
b) 
c) x = − + kπ
π
π
π
x =
x = k
+k
5
3
12
6

5


Bài 9: Giải các phương trình sau:
a) 2sin2x – 3sinx + 1 = 0
b) 3cos22x – 5cos2x + 2 = 0
c) 4tan2x – 5tanx + 1 = 0
x
x
d) sin2 + cos + 1 = 0
e) 3cosx = cos2x – 1
f) cos2x – sinx – 1 = 0
2
2
g) 3cos2x – 2sinx + 2 = 0
h) 3tanx – cotx + 2 = 0
i) 3sin 2x + 4cosx + 4 = 0
π

x
=
+ k2π

π
2


x = + kπ
 x = kπ


π
4
ĐS: a)  x = + k2π b) 
c) 
d) x = 2π + k4π
1
2
 x = ± arccos + k2π
6
 x = arctan 1 + kπ

2
3


4
 x = 5π + k2π

6
π

π

 x = 6 + k2π
x
=
−
+ kπ



2π
4
+ k2π
e) x = ±
f)  x = kπ
g) x = k2π
h) 
i) x = π + k2π
1
3


x = arctan + kπ
5π

+ k2π
3
x =
6

Bài 10: Giải các phương trình sau:
a) 3cosx + sinx = −2
b) cos3x – sin3x = 1
c) 2cosx – sinx = 2 d) 2sin2x + 3 sin2x = 3
e) 2sinx(cosx – 1) = 3 cos2x
f) 3 sinx – cosx = 1
g) 2sinx – 2cosx = 2
h) sin2x – cos2x + 3 sin2x = 2
i) sin4x + 3 cos4x – 2 = 0
j) 5sinx + 4cosx = 5

2π

x
=
k

2
1
 x = k2π
7π
3
; sinα =
+ k2π
ĐS: a) x =
b) 
c) 
( cosα =
)
5
5
6
 x = − π + k 2π
 x = −2α + k2π

6
3
π
5π



x = + k2π
π
x=
+ k2π



x = + k2π
π
π
3
12

3
d) x = + kπ
e) 
f)
g) 
h) x = + kπ

3
3
 x = 4π + k 2π
 x = 13π + k2π
x = π + k2π



9
3

12
π

x
=
− 2α + k2π

5
4
1
π
5π
π
2
; sinα =
+k
i) x = − + k ; x =
j) 
( cosα =
)
48
2
48
2
41
41
 x = π + k2π

2
Bài 11: Giải các phương trình sau: (Đại học)

a) (1 + 2sinx)2cosx = 1 + sinx + cosx
b) (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x
π
π
5π
π
π
+ kπ
ĐS: a) x = − + k2π ; x = + kπ ; x =
b) x = − + kπ ; x = + k2π ; x = k2π
2
12
12
4
2

14