HUONG DAN ON TAP CHUONG II DAI SO 11 năm 2012 2013

HƯỚNG DẪN ƠN TẬP CHƯƠNG II ĐẠI SỐ 11 NĂM HỌC 2012 – 2013
A. Lý thuyết:
* Số phần tử của tập hợp hữu hạn A. Kí hiệu: n(A) hoặc A
a) VD: A = { a,b,c} . Ta nói: n(A) = 3 hoặc A = 3
1. Quy tắc cộng: Giả sử A và B là các tập khơng giao nhau. Khi đó: n(A ∪ B) = n(A) + n(B)
2. Quy tắc nhân: Giả sử A và B là hai tập hữu hạn bất kì. Khi đó: n(A x B) = n(A).n(B)
Với A x B là tập hợp tất cả các cặp có thứ tự (a, b), trong đó a∈ A , b∈ B
3. Hốn vị: * Kết quả của sự sắp xếp n phần tử của A theo một thứ tự nào đó được gọi là một
hốn vị của tập hợp A
* Số các hốn vị của A. Ký hiệu: Pn . Viết: Pn = 1.2.3...(n − 1).n = n! (đọc là: n giai thừa)
4. Chỉnh hợp: * Kết quả của việc lấy k phần tử của A (1≤ k ≤ n ) và xếp theo một thứ tự nào đó
được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử
n!
k
* Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử. Ký hiệu: A nk . Viết: A n =
(n − k)!
n
* Quy ước: a) 1! = 1
b) 0! = 1. Khi đó: A n = Pn = n!
5. Tổ hợp: * Một tập con gồm k phần tử của A (1≤ k ≤ n ) được gọi là một tổ hợp chập k của n
phần tử. Tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng
n!
k
* Số các tổ hợp chập k của n phần tử. Ký hiệu: Ckn . Viết: Cn =
k!(n − k)!
* Tính chất: a) Cnk = Cnn− k ( 0 ≤ k ≤ n )
b) Cnk−−11 + Cnk−1 = Cnk (1≤ k < n )
6. Nhị thức Niu-tơn:
a) Cơng thức nhị thức Niu-tơn: (a + b)n = C0nan + C0nan−1.b + ... + C0nan− k .bk + ... + C0na.bn−1 + Cnnbn
b) C0n + C1n + ... + Cnn = 2n

c) C0n − C1n + ... + (−1)k Cnk + ... + (−1)n Cnn = 0
c) Số hạng tổng qt trong khai triển là: Cnkan− k bk
* Nếu số hạng thứ 7 (chẳng hạn) thì k = 6 (theo cơng thức tổng qt)
Chú ý: a) Cnkan− k (− b)k = Cnkan− k (−1)k bk
b) C0n : gọi là hệ số của số hạng thứ 1; C1n : gọi là hệ số của số hạng thứ 2; …
7. Phép thử và biến cố:
a) Khơng gian mẫu: Tập hợp mọi kết quả có thể xảy ra của một phép thử. Ký hiệu: Ω
b) Biến cố: Mỗi tập con A của Ω
* Tập ∅ được gọi là biến cố khơng thể
* Tập Ω được gọi là biến cố chắc chắn
c) Biến cố A = Ω \ A được gọi là biến cố đối của A
* A và B đối nhau ⇔ A = B
* Nếu A ∩ B = ∅ thì A và B được gọi là hai biến cố xung khắc
8. Xác suất của biến cố:
n(A)
sốphầ
n tửcủ
a tậ
pA
=
Xác suất của biến cố A. Ký hiệu: P(A). Viết: P(A) =
n(Ω) sốphầ
n tửcủ
a khô
ng gian mẫ
u
Chú ý: a) P(A) ≥ 0, ∀A
b) P(Ω) = 1
c) P(∅) = 0
d) P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

B. Bài tập mẫu:
1. Phép cộng và phép nhân
Bài 1: Trong một lớp có 18 bạn nam, 12 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một bạn phụ trách
quỹ lớp
Giải: a) + Có 18 cách chọn bạn nam
+ Có 12 cách chọn bạn nữ
Vậy: Có 18 + 12 (cách chọn)
1


Bài 2: Trong một hộp chứa 6 quả cầu trắng được đánh số từ 1 đến 6 và 3 quả cầu đen được đánh
số từ 7 đến 9. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một trong các quả cầu ấy?
Giải: + Có 6 cách chọn quả cầu trắng
+ Có 3 cách chọn quả cầu đen
Vậy: Có 6 + 3 = 9 (cách chọn)
Bài 3: Bạn Hoàng có hai áo màu khác nhau và 3 quần kiểu khác nhau. Hỏi Hoàng có bao nhiêu
cách chọn một bộ quần áo?
Giải: + Có 2 cách chọn áo
+ Có 3 cách chọn quần
Vậy: Có 2.3 = 6 (cách chọn)
Bài 4: Trên giá sách có 10 quyển sách tiếng Việt khác nhau, 8 quyển tiếng Anh khác nhau và 6
quyển tiếng Pháp khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 quyển sách khác nhau?
Giải: + Có 10 cách chọn quyển sách tiếng Việt
+ Có 8 cách chọn quyển sách tiếng Anh
+ Có 6 cách chọn quyển sách tiếng Pháp
Vậy: Có 10.8.6 = 480 (cách chọn)
Bài 5: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm:
a) Một chữ số
b) 3 chữ số
c) 3 chữ số khác nhau

d) 3 chữ số chẵn khác nhau
e) 3 chữ số lẻ
f) 3 chữ số khác nhau lẻ
g) 4 chữ số khác nhau và bắt đầu bởi số 3
h) 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5
Giải: a) Có 6 cách chọn. Vậy: Có 6 số
b) Gọi số có hai chữ số có dạng: abc
+ a: có 6 cách chọn
+ b: có 6 cách chọn
+ c: có 6 cách chọn
Vậy: Có 6.6.6 = 216 (số)
c) Gọi số có hai chữ số khác nhau có dạng: abc
+ a: có 6 cách chọn
+ b: có 5 cách chọn (vì khác a)
+ c: có 4 cách chọn (vì c khác a, b)
Vậy: Có 6.5.4 = 120 (số)
d) Gọi số có 3 chữ số chẵn khác nhau có dạng: abc
+ c: có 3 cách chọn (vì c = { 2,4,6} )
+ a: có 5 cách chọn (vì a khác c)
+ b: có 4 cách chọn (vì b khác a, c)
Vậy: Có 3.5.4 = 60 (số)
* Cách khác: Có 120 – 60 = 60 (số) (vì số lẻ có 3 chữ số khác nhau bằng 60 (số))
e) Gọi số có 3 chữ số lẻ có dạng: abc
+ c: có 3 cách chọn (vì c = { 1,3,5} )
+ a: có 6 cách chọn
+ b: có 6 cách chọn
Vậy: Có 3.6.6 = 108 (số)
f) Gọi số có 3 chữ số khác nhau lẻ có dạng: abc
+ c: có 3 cách chọn (vì c = { 1,3,5} )
+ a: có 5 cách chọn (vì khác c)

+ b: có 4 cách chọn (vì b khác a, c)
Vậy: Có 3.5.4 = 120 (số)
* Cách khác: Có 120 – 60 = 60 (số) (vì số chẵn có 3 chữ số khác nhau bằng 60 (số))
g) Gọi số có 4 chữ số khác nhau và bắt đầu bởi số 3 có dạng: abcd
+ a = 3: có 1 cách chọn
+ b: có 5 cách chọn
+ c: có 4 cách chọn (vì c khác a)
+ d: có 3 cách chọn (vì d khác b, c)
Vậy: Có 1.5.4.3 = 60 (số)
h) Gọi số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5 có dạng: abcd
+ d = 5: có 1 cách chọn
+ a: có 5 cách chọn (vì a khác 5)
+ b: có 4 cách chọn (vì b khác a, d)
+ c: có 3 cách chọn (vì c khác a, b, d)
Vậy: Có 1.5.4.3 = 60 (số)
Bài 6: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm:
a) Bốn chữ số
b) Bốn chữ số khác nhau
c) Bốn chữ số khác nhau lẻ
d) 4 chữ số chẵn khác nhau
e) 5 chữ số chẵn
f) 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5
2


Giải: Gọi A = { 0,1,2,3,4,5,6,7}
a) Gọi số có 4 chữ số có dạng: abcd
+ a ≠ 0: có 7 cách chọn
+ b: có 8 cách chọn
+ c: có 8 cách chọn + d: có 8 cách chọn

Vậy: Có 7.8.8.8 = 3584 (số)
b) Gọi số có 4 chữ số khác nhau có dạng: abcd
+ a: có 7 cách chọn (vì a khác 0)
+ b: có 7 cách chọn (vì b khác a)
+ c: có 6 cách chọn (vì c khác a, b)
+ d: có 5 cách chọn (vì d khác a, b, c)
Vậy: Có 7.7.6.5 = 1470 (số)
c) Gọi số có 4 chữ số khác nhau lẻ có dạng: abcd
+d: có 4 cách chọn (vì d∈ { 1,3,5,7} )
+ a: có 6 cách chọn (vì a khác d và 0)
+ b: có 6 cách chọn (vì b khác a, d)
+ c: có 5 cách chọn (vì c khác a, b, d)
Vậy: Có 4.6.6.5 = 720 (số)
d) * Cách 1: Gọi số có 4 chữ số chẵn khác nhau có dạng: abcd với d = { 0;2,4,6}
TH1: + d = 0: có 1 cách chọn
+ a: có 7 cách chọn (vì a khác d)
+ b: có 6 cách chọn (vì b khác a, d)
+ c: có 5 cách chọn (vì c khác a, b, d)
Vậy: Có 1.7.6.5 = 210 (số)
TH2: + d ≠ 0: có 3 cách chọn
+ a: có 6 cách chọn (vì a khác d và 0)
+ b: có 6 cách chọn (vì b khác a, d)
+ c: có 5 cách chọn (vì c khác a, b, d)
Vậy: Có 3.6.6.5. = 540 (số)
Vậy: Tổng cộng có 210 + 540 = 750 (số)
* Cách 2: Có 1470 – 720 = 750 (số)
e) Gọi số có 5 chữ số chẵn có dạng: abcde với e = { 0;2,4,6}
+ e: có 4 cách chọn
+ a: có 7 cách chọn (vì a khác 0)
3

+ b, c, d: có 8 cách chọn
Vậy: Có 4.7.83 = 14336 (số)
f) Gọi số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5 có dạng: abc với c = { 0;5}
TH1: + c = 0: có 1 cách chọn
+ a: có 7 cách chọn
+ b: có 6 cách chọn (c khác a, c)
Vậy: Có 1.7.6 = 42 (số)
TH2: + c = 5: có 1 cách chọn
+ a: có 6 cách chọn (vì a khác 0, c)
+ b: có 6 cách chọn
Vậy: Có 1.6.6 = 36 (số)
Vậy: Có tất cả 42 + 36 = 78 (số)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Một người có 7 áo và 5 cà vạt. Hỏi có bao nhiêu cách chọn:
a) Một trong các đồ vật nói trên. ĐS: 12
b) Một chiếc áo và một chiếc cà vạt. ĐS: 35
Bài 2: Có 3 kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) và 4 kiểu dây (kim loại, da, vải và
nhựa). Hỏi có bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây. ĐS: 12
Bài 3: Một cô gái có 8 chiếc áo khác nhau, 6 quần tây khác nhau và 3 đôi giày khác nhau để mặc
khi đi làm. Nếy mỗi ngày cô ấy mặc một kiểu (áo, quần, giày) khác nhau đến cơ quan thì trong
bao lâu cô ấy mới thay đổi hết kiểu? ĐS: 144 (ngày)
Bài 4: Từ các chữ số 1, 2, 5, 6, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm:
a) Một chữ số
b) 4 chữ số
c) 4 chữ số khác nhau
d) 4 chữ số chẵn khác nhau
e) 4 chữ số khác nhau lẻ
f) 4 chữ số lẻ
g) 5 chữ số khác nhau và bắt đầu bởi số 2
h) 5 chữ số khác nhau chia hết cho 5

ĐS: a) 6
b) 1296
c) 360
d) 180
e) 180
f) 375
g) 120
h) 120
3


Bài 5: Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm:
a) 5 chữ số
b) 5 chữ số khác nhau
c) 5 chữ số khác nhau lẻ
d) 5 chữ số chẵn khác nhau
e) 6 chữ số chẵn
f) 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5
ĐS: a) 90000
b) 27216
c) 13440
d) 13776
e) 450000
f) 952
2. Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp:
Bài 1: Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm:
a) 7 chữ số khác nhau
b) 4 chữ số khác nhau
c) 4 chữ số lẻ khác nhau
d) 4 chữ số chẵn khác nhau

Giải: a) Số có 7 chữ số khác nhau: có 7! = 5040 (số)
b) Số có 4 chữ số khác nhau: có A 47 = 840 (số)
c) Gọi số có 4 chữ số lẻ khác nhau có dạng: abcd với d = { 1;3;5}
+ d: có 3 cách chọn
+ 3 vị trí a, b, c: có A 36 = 120 cách chọn
Vậy: Có 3.120 = 360 (số)
d) Gọi số có 4 chữ số chẵn khác nhau có dạng: abcd với d = { 2;4;6;8}
+ d: có 4 cách chọn
+ 3 vị trí a, b, c: có A 36 = 120 cách chọn
Vậy: Có 4.120 = 480 (số)
Bài 2: Từ các chữ số 0, 1, 2, 4, 5, 7, 8. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm:
a) 7 chữ số khác nhau
b) 5 chữ số khác nhau
c) 4 chữ số chẵn khác nhau
Giải: a) Gọi số có 7 chữ số khác nhau có dạng: a1a2a3a4a5a6a7
+ a1: có 6 cách chọn (vì a khác 0)
+ 6 Vị trí a2, a3, a4, a5, a6, a7: có 6! = 720 cách chọn
Vậy: Có 6.720 = 4320 (số)
b) Gọi số có 5 chữ số khác nhau có dạng: a1a2a3a4a5
+ a1: có 6 cách chọn
+ 4 vị trí a2, a3, a4, a5: có A 64 = 360 cách chọn
Vậy: Có 6.360 = 2160 (số)
c) * Cách 1: Gọi số có 4 chữ số chẵn khác nhau có dạng: a1a2a3a4 với a4 = { 0;2;4;8}
TH1: + a4 = 0: có 1 cách chọn
+ 3 vị trí a1, a3, a4: có A 36 = 120 cách chọn
Vậy: Có 1.120 = 120 (số)
TH2: + a4 ≠ 0: có 3 cách chọn
+ a1: có 5 cách chọn (vì a1 khác a4 và 0)
+ 2 vị trí a3, a4: có A 25 = 20 cách chọn
Vậy: Có 3.5.20 = 300 (số)

Vậy: Có tất cả 120 + 300 = 420 (số)
* Cách 2: Gọi số có 4 chữ số khác nhau có dạng: a1a2a3a4
+ a1: có 6 cách chọn (vì a khác 0)
+ 3 vị trí a2, a3, a4: có A 36 = 120 cách chọn
Vậy: Có 6.120 = 720 (số)
Gọi số có 4 chữ số lẻ khác nhau có dạng: a1a2a3a4 với a4 = { 1;5;7}
+ a4: có 3 cách chọn
+ a1: có 5 cách chọn (vì a khác a4 và 0)
2
+ 2 vị trí a2, a3: có A 5 = 20 cách chọn
Vậy: Có 3.5.20 = 300 (số)
Vậy: Số có 4 chữ số chẵn khác nhau có 720 – 300 = 420 (số)
Bài 3: Một lớp học có 25 học sinh. Họ muốn chọn ra một lớp trưởng, một lớp phó và 1 thủ quỹ
mà không cho kiêm nhiệm. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?
Giải: Có A 325 = 13800 (cách)
Bài 4: Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 người khác vào mười ghế kê thành một dãy?
Giải: Có 10! = 3628800 (cách)
4


Bài 5: Một công ty gồm 10 kỹ sư, 25 công nhân. Để lập một ban quản lý cần chọn 1 kỹ sư làm tổ
trưởng, 1 công nhân làm tổ phó, 3 công nhân làm tổ viên. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ quản lý?
Giải: + Chọn 1 kỹ sư làm tổ trưởng: có A 110 = 10 (cách )
+ Chọn 1 công nhân làm tổ phó: có A 125 = 25(cách)
+ Chọn 3 công nhân làm tổ viên: có C324 = 2024 (cách)
Vậy: Có 10.25.2024 = 506000 (cách)
Bài 6: Một lớp học có 30 học sinh. Họ muốn chọn ra một lớp trưởng, một lớp phó học tập và 5 tổ
trưởng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như trên?
Giải: * Cách 1: + Chọn 1 lớp trưởng và 1 lớp phó học tập: có A 230 = 870 (cách)
+ Chọn 5 tổ trưởng: có C528 = 98280 (cách)

Vậy: Có 870.98280 = 85503600 (cách)
* Cách 2: + Chọn 1 lớp trưởng: có A 130 = 30 (cách)
+ Chọn 1 lớp phó học tập: có A 129 = 29 (cách)
+ Chọn 5 tổ trưởng: có C528 = 98280 (cách)
Vậy: Có 30.29.98280 = 85503600 (cách)
Bài 7: Một cái hộp chứa 7 quả cầu trắng và 3 quả cầu đỏ. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 4 quả cầu:
a) Tùy ý
b) Có 2 quả cầu trắng và 2 quả cầu đỏ
c) Có nhiều nhất là 2 quả cầu đỏ
d) Có ít nhất là 1 quả cầu đỏ
4
Giải: a) Lấy 4 quả cầu tùy ý: có C10 = 210 (cách)
b) + Lấy 2 quả cầu trắng: có C27 = 21 (cách)
+ Lấy 2 quả cầu đỏ: có C32 = 3 (cách)
Vậy: Có 21.3 = 63 (cách)
Trình bày khác: Lấy 2 quả cầu trắng và 2 quả cầu đỏ: có C27.C32 = 63 (cách)
c) * Lấy 2 quả cầu đỏ và 2 quả cầu trắng: có C32.C27 = 63 (cách)
* Lấy 1 quả cầu đỏ và 3 quả cầu trắng: có C13.C37 = 105 (cách)
* Lấy 0 quả cầu đỏ và 4 quả cầu trắng: có C30.C47 = 35(cách)
Vậy: Có 63 + 105 + 35 = 203 (cách)
d) * Lấy 1 quả cầu đỏ và 3 quả cầu trắng: có C13.C37 = 105 (cách)
* Lấy 2 quả cầu đỏ và 2 quả cầu trắng: có C32.C27 = 63 (cách)
* Lấy 3 quả cầu đỏ và 1 quả cầu trắng: có C33.C17 = 7 (cách)
Vậy: Có 105 + 63 + 7 = 175 (cách)
Bài 8: Một hội đồng quản trị của một công ty gồm có 11 người gồm 7 nam và 4 nữ. Người ta
muốn lập ban thường trực gồm có 3 người. Hỏi rằng có bao nhiêu cách thành lập, biết rằng:
a) Chọn nam, nữ tùy ý
b) Phải chọn có đúng một nam
c) Phải chọn có ít nhất một nữ
d) Phải chọn có nhiều nhất 2 nữ

3
= 165 (cách)
Giải: a) Chọn 3 người nam, nữ tùy ý: có C11
1
2
b) Chọn có đúng 1nam và 2 nữ: có C7.C4 = 42 (cách)
c) * Chọn 1 nữ và 2 nam: có C14.C27 = 84(cách)
* Chọn 2 nữ và 1nam: có C24.C17 = 42 (cách)
* Chọn 3 nữ và 0 nam: có C34.C70 = 4 (cách)
Vậy: Có 84 + 42 + 4 = 130 (cách)
d) * Chọn 2 nữ và 1 nam: có C24.C17 = 42 (cách)
* Chọn 1 nữ và 2 nam: có C14.C27 = 84(cách)
5


* Chọn 0 nữ và 3 nam: có C04.C37 = 35(cách)
Vậy: Có 42 + 84 + 35 = 161 (cách)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Từ các số 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm:
a) 7 chữ số khác nhau
b) 6 chữ số khác nhau
c) 6 chữ số lẻ khác nhau
d) 6 chữ số chẵn khác nhau
e) 5 chữ số khác nhau chia hết cho 5
ĐS: a) 5040
b) 5040
c) 2880
d) 2160
e) 360
Bài 2: Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm:

a) 8 chữ số khác nhau
b) 4 chữ số khác nhau
c) 4 chữ số chẵn khác nhau
d) 4 chữ số lẻ khác nhau
e) 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5
ĐS: a) 35280
b) 1470
c) 750
d) 720
e) 390
Bài 3: Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 người khách vào 5 ghế xếp thành một dãy?
ĐS: 120
Bài 4: Mười người muốn chụp ảnh chung. Họ muốn chụp nhiều ảnh khác nhau bằng cách đổi chỗ
đứng lẫn nhau. Cho rằng mỗi lần đổi chỗ và chụp ảnh mất một phút. Hỏi cần bao lâu để có thể
chụp tất cả các ảnh khác nhau?. ĐS: 3628800 phút = 60480 giờ
Bài 5: Một nhóm người thành lập công ty. Họ muốn chọn một ban điều hành gồm một giám đốc,
một phó giám đốc và một thủ quỹ . Có 10 người hội đủ điều kiện được chọn. ĐS: 720
Bài 6: Một lớp học gồm 42 học sinh trong đó có 25 học sinh nam và 17 học sinh nữ. Có bao
nhiêu cách để chọn ra:
a) Một lớp trưởng, một lớp phó và một thủ quỹ. ĐS: 68880
b) Một lớp trưởng, lớp phó, 4 tổ trưởng. ĐS: 157373580
c) Một tổ gồm 5 người trong đó có 3 nam và 2 nữ. ĐS: 312800
d) Một nhóm gồm 6 người trong đó có đúng 1 nữ. ĐS: 903210
e) Một nhóm người gồm 5 người trong đó có nhiều nhất 2 nam. ĐS: 269688
f) Một nhóm người gồm 4 người trong đó có ít nhất 1 nam. ĐS: 109550
3. Giải phương trình: Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp
Giải các phương trình sau:
2
a) A 4x+1 = 14P3.Cxx−−13
b) C3x−1 − C2x−1 = A 2x−2

c) 2C2x+1 + 3A 2x = 30
3
(x + 1)!
(x − 1)!
= 14.3!.
Giải: a) ĐK: x ≥ 3, x∈ ¥ . Ta có: A 4x+1 = 14P3.Cxx−−13 ⇔
(x − 3)!
(x − 3)!2!
⇔ 2!(x + 1)! = 14.3!(x – 1)! ⇔ 2!(x + 1)x (x – 1)! = 14.3.2!(x – 1)! ⇔ x2 + x – 42 = 0
x = 6
. Vậy: Nghiệm của PT là: x = 6
⇔
x
=
−
7(loaï
i
)

(x − 1)!
(x − 1)!
2 (x − 2)!
2
−
= .
b) ĐK: x ≥ 4, x∈ ¥ . Ta có: C3x−1 − C2x−1 = A 2x−2 ⇔
3!(x − 4)! 2!(x − 3)! 3 (x − 4)!
3
x−1 x−1
2

(x − 2)!  x − 1 x − 1  2 (x − 2)!
⇔
⇔
−
=
−
= .


6
2(x − 3) 3
(x − 4)!  6
2(x − 3)  3 (x − 4)!
x = 9
⇔ (x – 1)(x – 3) – 3(x – 1) = 4(x – 3) ⇔ x2 – 11x + 18 = 0 ⇔ 
 x = 2(loaïi)
(x + 1)!
x!
+ 3.
= 30
c) ĐK: x ≥ 2, x∈ ¥ . Ta có: 2C2x+1 + 3A 2x = 30 ⇔ 2.
2!(x − 1)!
(x − 2)!
⇔ (x + 1)x + 3x(x – 1) = 30 ⇔ 2x2 – x – 15 = 0 ⇔ x = 3; x = −5/ 2 (loại)

6


BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giải các phương trình sau:

a) A 3x+1 + Cxx+−11 = 14(x + 1)
d) Px .A 2x + 72 = 6(A 2x + 2Px )

2
+ 42 = 0
b) 3A 2n − A 2n

c) Cnn−+12 + 2C3n−1 = 7(n − 1)
5
e) A 3x + 5A 2x = 21x
f) C4x−1 − C3x−1 − A 2x−2 = 0
4
c) n = 5
d) x = 3 hoặc x = 4
e) x = 4
f) x = 11

ĐS: a) x = 4
b) n = 6
4. Nhị thức Niu-tơn
Bài 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn:
a) (a – 3b)5
b) (2x + 3y)7
c) (3 – x)5
d) (2x – 1)6
Giải: a) (a – 3b)5 = C50 (1a)5 (-3b)0 + C15 (1a)4(-3b)1 + C25 (1a)3(-3b)2 + C35 (1a)2(-3b)3

+ C54 (1a)1(-3b)4 + C55 (1a)0(-3b)5
= a5 – 15a4b + 90a3b2 – 270a2b3 + 405ab4 – 243b5
b) (2x + 3y)7 = C07 (2x)7(3y)0 + C17 (2x)6(3y)1 + C27 (2x)5(3y)2 + C37 (2x)4(3y)3 + C47 (2x)3(3y)4

+ C57 (2x)2(3y)5 + C67 (2x)1(3y)6 + C77 (2x)0(3y)7
= 128x7 + 1344x6y + 6048x5y2 + 15120x4y3 + 22680x3y4 + 20412x2y5 + 10206xy6 + 2187y7
c) (3 – x)5 = C50 35(–x)0 + C15 34(–x)1 + C25 33(–x)2 + C35 32(–x)3 + C54 31(–x)4 + C55 30(–x)5
= 243 – 405x + 270x2 – 90x3 + 15x4 – x5
d) (2x – 1)6 = C60 (2x)6(-1)0 + C16 (2x)5(-1)1 + C26 (2x)4(-1)2 + C36 (2x)3(-1)3 + C64 (2x)2(-1)4
+ C56 (2x)1(-1)5 + C66 (2x)0(-1)6
= 64x6 – 192x5 + 240x4 – 160x3 + 60x2 – 12x + 1
8
3

2
Bài 2: Tìm hệ số x trong khai triển của biểu thức  x − 2 ÷
x 

Giải: Số hạng tổng quát trong khai triển là:
k
3
k 8− k 
C8x . − 2 ÷ = C8kx8− k .(−3x−2 )k = C8kx8− k .(−3)k .x−2k = C8k .(−3)k .x8−3k
 x 
Ứng với số hạng chứa x2, ta có: 8 – 3k = 2 ⇔ – 3k = – 6 ⇔ k = 2
Vậy: Hệ số x2 trong khai triển là: C82.(−3)2 = 252
10

1

Bài 3: Tìm số hạng thứ 5 trong khai triển  2x + 3 ÷
x 


k

k 10− k
10

Giải: Số hạng tổng quát trong khai triển có dạng: C x

 1
. 3 ÷
x 

4

15
 1
4 6 1
x . 12 = 6
Vậy: Số hạng thứ 5 là: C x . 3 ÷ = C10
x
x
x 
Bài 4: Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau:
9
15
 1

 3 3
a)  2 − x ÷
b)  2x + 2 ÷
x 

x


4 6
10

9− k

 1
Giải: a) Số hạng tổng quát trong khai triển là: C  2 ÷ .xk = C9k (x−2 )9− k .xk = C9k .x−18+3k
x 
Ứng với số hạng không chứa x, ta có: – 18 + 3k = 0 ⇔ k = 6
Vậy: Số hạng không chứa x là: C69 = 84
k
9

k

k
15

3 15− k

b) Số hạng tổng quát trong khai triển là: C (2x )
7

 3
k
. 2 ÷ = C15
(2)15− k .x45−3k .(3x−2 )k

x 


k
k
(2)15− k .x45−3k .3k.x−2k = C15
(2)15− k .x45−5k .3k
= C15
Ứng với số hạng không chứa x, ta có: 45 – 5k = 0 ⇔ k = 9
9
.26.39 = 6304858560
Vậy: Số hạng không chứa x là: C15
Bài 5: Tính tổng các hệ số trong khai triển của các biểu thức sau:
a) (3x + y)6
b) (2x + 3)7
c) (5x – 6)21
d) (4 – 3y)12
Giải: a) Tổng các hệ số là: (3.1 + 1)6 = 4096
b) Tổng các hệ số là: (2.1 + 3)7 = 78125
21
c) Tổng các hệ số là: (5.1 – 6) = –1
d) Tổng các hệ số là: (4 – 3.1)12 = 1
n
1

Bài 6: Trong khai triển  x − 2 ÷ có tổng các hệ số của 3 số hạng đầu là 28. Tìm hệ số của số
x 

3
hạng chứa x .

Giải: Tổng các hệ số của 3 số hạng đầu là 28, ta có: (−1)0 C0n + (−1)1C1n + (−1)2 C2n = 28
n!
n!
n!
n(n − 1)
⇔ C0n − C1n + C2n = 28 ⇔
−
+
= 28 ⇔ 1− n +
= 28
0!n! 1!(n − 1)! 2!(n − 2)!
2
9
 n = −6(loaïi)
1

2
⇔ n – 3n – 54 = 0 ⇔ 
(vì n ≥ 2, n∈ ¥ ) ⇒ Khai triển của biểu thức là:  x − 2 ÷
x 

n = 9
Số hạng tổng quát trong khai triển là:
k
1
k 9− k 
C9x . − 2 ÷ = C9kx9− k .(− x−2 )k = C9kx9− k .(−1)k .x−2k = C9k .(−1)k .x9−3k
 x 
Ứng với số hạng chứa x3, ta có: 9 – 3k = 3 ⇔ – 3k = – 6 ⇔ k = 2
Vậy: Hệ số x3 trong khai triển là: C39.(−1)3 = – 84

Bài 7: Biết hệ số của x3 trong khai triển của (1 – 4x)n là –1280. Tìm n
Giải: Số hạng tổng quát trong khai triển là: Cnk1n− k.(−4x)k = Cnk .(−4)k xk
YCĐB ⇒ k = 3. Mà: Hệ số của x3 là –1280, ta có: C3n (−4)3 = −1280 ⇔ C3n = 20

n!
3
2
= 20 ⇔ n(n – 1)(n – 2) = 120 ⇔ n – 3n + 2n – 120 = 0 ⇔ n = 6
3!(n − 3)!
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn:
a) (a + 2b)5
b) (3x – 2y)6
c) (3x – y)7
d) (3x + 1)8
e) (2 – 3x)6
ĐS: a) a5 + 10a4b + 40a3b2 + 80a2b3 + 80ab4 + 32b5
b) 729x6 – 2916x5y + 4860x4y2 – 4320x3y3 + 2160x2y4 – 576xy5 + 64y6
c) 2187x7 – 5103x6y + 5103x5y2 – 2835x4y3 + 945x3y4 – 189x2y5 + 21xy6 – y7
d) 6561x8 + 17496x7 + 20412x6 + 13608x5 + 5670x4 + 1512x3 + 252x2 + 24x + 1
e) 64 – 576x + 2160x2 – 4320x3 + 4860x4 – 2916x5 + 729x6
Bài 2: Tìm hệ số của x7 trong khai triển (1 – x)12. ĐS: 792
5
 3 2
Bài 3: Cho khai triển  3x − 2 ÷ . Tìm số hạng chứa x10. ĐS: – 810x10
x 

⇔

n

1

Bài 4: Trong khai triển  x2 + 2 ÷ có tổng các hệ số của 3 số hạng đấu là 11.
x 

a) Tìm số hạng thứ 2
b) Tìm số hạng cuối
c) Tìm hệ số của số hạng chứa x -4
1
ĐS: a) 4x4
b) 8
c) 4
x
Bài 5: Tính tổng các hệ số trong khai triển của các biểu thức sau:
a) (6x – 1)8
b) (4x + 3y)7
c) (7x – 6)32
d) (5 – 6x)25
e) (3x – 4)17
8


ĐS: a) 390625

b) 823543

c) 1

d) –1

e) –1
6

2

Bài 6: Tìm hệ số của x3 trong khai triển của biểu thức:  x + 2 ÷ . ĐS: 12
x 

2
n
Bài 7: Biết hệ số của x trong khai triển của (1 – 3x) là 90. Tính n. ĐS: n = 5
Bài 8: Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau:
8
10
9
 3 1
 3 1
 2 1
a)  x + ÷ ĐS: 28
b)  2x + 2 ÷ ĐS: 3360
c)  2x − 4 ÷ ĐS: 5040
x
x 
x 



5. Phép thử và biến cố - Xáx suất
Bài 1: Gieo một đồng tiền 2 lần. a) Mô tả không gian mẫu

b) Xác định các biến cố: A: “Kết quả gieo hai lần là như nhau”
B: “Có ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”
C: “Lần thứ hai mới xuất hiện mặt sấp”
D: “Lần đầu xuất hiện mặt sấp”
Giải: a) Không gian mẫu là: Ω = { SS,NN,SN,NS}
b) A = { SS,NN}
B = { SS,SN,NS}
C = { NS}
D = { SS,SN}
Bài 2: Một hộp chứa 4 cái thẻ được đánh số 1, 2, 3, 4. Lấy ngẫu nhiên 2 thẻ
a) Mô tả không gian mẫu
b) Xác định các biến cố sau: A: “Tổng các số trên hai thẻ là số chẵn”
B: “Tích các số trên hai thẻ là số chẵn”
Giải: a) Không gian mẫu là: Ω = { (1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}
b) A = { (1,3),(2,4)}
B = { (1,2),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)} = Ω \ { (1,3)}
Bài 3: Gieo một con súc sắc hai lần
a) Mô tả không gian mẫu
b) Phát biểu các biến cố sau dưới dạng mệnh đề :
A = { (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
B = { (2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4)}
C = { (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}
Giải: a) Không gian mẫu là:
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), 


Ω = (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) 



Hoặc Ω = { (i, j) |i, j ∈ ¥ ;1≤ i, j ≤ 6}
b) A: “Lần gieo đầu xuất hiện mặt 6 chấm”
B: “Tổng số chấm trong hai lần gieo là 8”
C: “Kết quả của hai lần gieo là như nhau”
Bài 4: Gieo một con súc sắc hai lần . a) Xác định không gian mẫu
b) Tính xác suất của các biến cố sau:
A: “Số chấm ở hai lần gieo là bằng nhau”
B: “Tổng số chấm không nhỏ hơn 10”
C: “Tổng số chấm chia hết cho 3”
D: “Mặt 5 chấm xuất hiện ở lần gieo đầu”
Giải: a) Ω = { (i, j) |i, j ∈ ¥ ;1≤ i, j ≤ 6} ⇒ n(Ω) = 36
n(A) 6 1
=
=
b) A = { (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)} ⇒ n(A) = 6 ⇒ P(A) =
n(Ω) 36 6
n(B) 6 1
=
=
B = { (4,6),(6,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)} ⇒ n(B) = 6 ⇒ P(B) =
n(Ω) 36 6
C = { (1,2),(2,1),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(3,6),(6,3),(4,5),(5,4),(6,6)} ⇒ n(C) = 12
⇒ P(C) =

n(C) 12 1
=
=
n(Ω) 36 3
9

n(D) 6 1
=
=
n(Ω) 36 6
Bài 5: Gieo một đồng tiền ba lần và quan sát sự xuất hiện mặt sấp (S), mặt ngửa (N)
a) Xác định không gian mẫu
b) Tính xác suất của các biến cố sau:
A: “Lần gieo đầu xuất hiện mặt sấp”
B: “Ba lần xuất hiện các mặt như nhau”
C: “Đúng hai lần xuất hiện mặt sấp”
D: “Ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”
Giải: a) Không gian mẫu là: Ω = { SSS,SSN,SNN,SNS,NSS,NSN,NNS,NNN} ⇒ n( Ω ) = 8
n(A) 4 1
= =
b) A = { SSS,SSN,SNS,SNN} ⇒ n(A) = 4 ⇒ P(A) =
n(Ω) 8 2
n(B) 2 1
n(C) 3
= =
=
B = { SSS,NNN} ⇒ P(B) =
C = { SSN,SNS,NSS} ⇒ P(C) =
n(Ω) 8 4
n(Ω) 8
n(D) 7
=
D = { SSS,SSN,SNS,NSN,NSS,SNN,NNS} ⇒ n(D) = 7 ⇒ P(D) =
n(Ω) 8
Bài 6: Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ một hộp chứa 20 thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Tìm xác suất để

thẻ được lấy ghi số: a) Chẵn
b) Chia hết cho 3
c) Lẻ và chia hết cho 3
Giải: Không gian mẫu là: Ω = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20} ⇒ n( Ω )= 20
n(A) 10 1
=
=
a) A = { 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20} ⇒ P(A) =
n(Ω) 20 2
n(B) 6
3
n(C) 3
=
=
=
b) B = { 3,6,9,12,15,18} ⇒ P(B) =
c) C = { 3,9,15} ⇒ P(C) =
n(Ω) 20 10
n(Ω) 20
Bài 7: Một tổ có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tìm xác suất sao cho trong 2 người
đó: a) Cả hai đều là nữ
b) Không có nữ nào
c) Ít nhất một người là nữ
d) Có đúng một người là nữ
2
= 45. Vậy: n(Ω) = 45
Giải: * Số cách chọn 2 người là: C10
n(A) 3 1
=
=

a) A: “Cả 2 đều là nữ” ⇒ n(A) = C32 = 3 ⇒ P(A) =
n(Ω) 45 15
n(B) 21 7
=
=
b) B: “Không có nữ nào” ⇒ n(B) = C27 = 21 ⇒ P(B) =
n(Ω) 45 15
n(C) 24 8
=
=
c) C: “Ít nhất một người là nữ” ⇒ n(C) = C13.C17 + C32.C07 = 24 ⇒ P(C) =
n(Ω) 45 15
n(D) 21 7
=
=
d) D: “Có đúng một người là nữ” ⇒ n(D) = C13.C17 = 21 ⇒ P(C) =
n(Ω) 45 15
Bài 8: Một bình đựng 8 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ, các viên bi này chỉ khác nhau về màu. Lấy
ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất để được: a) 3 viên bi xanh
b) 3 viên bi đỏ
c) 3 viên bi cùng màu
d) 3 viên bi khác màu
e) Ít nhất 2 viên bi xanh
3
Giải: * Số cách lấy 3 viên bi là: C12 = 220 . Vậy: n(Ω) = 220
D = { (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)} ⇒ n(D) = 6 ⇒ P(D) =

n(A) 56 14
=
=

n(Ω) 220 55
n(B)
4
1
=
=
b) B: “3 viên bi đỏ” ⇒ n(B) = C34 = 4 ⇒ P(A) =
n(Ω) 220 55
n(C) 60 3
=
=
c) C: “3 viên bi cùng màu” ⇒ n(C) = C38 + C34 = 60 ⇒ P(C) =
n(Ω) 220 11
a) A: “3 viên bi xanh” ⇒ n(A) = C38 = 56 ⇒ P(A) =

10


n(D) 160 8
=
=
n(Ω) 220 11
n(C) 60 3
=
=
e) E: “Ít nhất 2 viên bi xanh” ⇒ n(D) = C38 + C34 = 60 ⇒ P(C) =
n(Ω) 220 11
Bài 9: Trên giá sách có 4 quyển sách Toán, 3 quyển sách Lý, 2 quyển sách Hóa. Lấy ngẫu nhiên 3
quyển. a) Tính n(Ω)
b) Tính xác suất của các biến cố sau: 1) Ba quyển lấy ra thuộc ba môn khác nhau

2) Cả 3 quyển lấy ra đều là sách Toán
3) Ít nhất lấy được một quyển sách Toán
3
Giải: a) Số cách chọn ngẫu nhiên 3 quyển sách là: C9 = 84 . Vậy: n(Ω) = 84
n(A) 24 2
=
=
b)1)A:“3 quyển lấy ra thuộc 3 môn khác nhau” ⇒ n(A) = C14.C13.C12 = 24 ⇒ P(A) =
n(Ω) 84 7
n(B) 4 1
=
=
2) B: “Cả 3 quyển lấy ra đều là sách Toán” ⇒ n(B) = C34 = 4 ⇒ P(B) =
n(Ω) 84 21
3) C: “Ít nhất lấy được một quyển sách Toán”
n(C) 74 37
⇒ n(C) = C14.C25 + C24.C15 + C34.C50 = 74 ⇒ P(C) =
=
=
n(Ω) 84 42
Hoặc C : “3 quyển lấy ra không có quyển sách Toán nào”
n(C) 74 37
⇒ n( C ) = C35 = 10 ⇒ n(C) = 84 – 10 = 74 ⇒ P(C) =
=
=
n(Ω) 84 42
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Gieo một con súc sắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất của các biến cố sau:
1
1

a) A: “Xuất hiện mặt chẵn chấm”. ĐS: P(A) =
B: “Xuất hiện mặt lẻ chấm”. ĐS: P(B) =
2
2
2
c) C: “Xuất hiện mặt có số chấm không nhỏ hơn 3”. ĐS: P(C) =
3
Bài 2: Từ một hộp chứa 3 bi trắng, 2 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 bi. Tính xác suất của các
3
1
biến cố sau: a) A: “Hai bi cùng màu trắng”. ĐS:
b) B: “Hai bi cùng màu đỏ”. ĐS:
10
10
2
3
c) C: “Hai bi cùng màu”. ĐS:
d) D: “ Hai bi khác màu”. ĐS:
5
5
Bài 3: Từ một hộp chứa 10 cái thẻ, trong đó các thẻ đánh số 1, 2, 3, 4, 5 màu đỏ, thẻ đánh số 6
màu xanh và các thẻ đánh số 7, 8, 9, 10 màu trắng. Lấy ngẫy nhiên một thẻ.
a) Xác định không gian mẫu. ĐS: Ω = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
1
b) Tính xác suất các biến cố sau: A: “Lấy được thẻ màu đỏ”. ĐS:
2
2
1
B: “Lấy được thẻ màu trắng”. ĐS:
C: “Lấy được thẻ ghi số chẵn”. ĐS:

5
2
Bài 4: Gieo một đồng tiền liên tiếp cho đến khi lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp hoặc cả bốn lần
ngửa thì dừng lại.
a) Xác định không gian mẫu. ĐS: Ω = { S,NS,NNS,NNNS,NNNN}
d) D: “3 viên bi khác màu” ⇒ n(D) = 220 − (C38 + C34 ) = 160 ⇒ P(D) =

b) Tình xác suất các biến cố sau: A: “Số lần không vượt quá 3”. ĐS:
B: “Số lần gieo là 4”. ĐS:
11

2
5

3
5


Bài 5: Bạn thứ nhất có một đồng tiền, bạn thứ hai có con súc sắc (đều cân đối, đồng chất). Xét
phép thử “Bạn thứ nhất gieo đồng tiền, sau đó bạn thứ hai gieo con súc sắc”
a) Mô tả không gian mẫu của phép thử này.
ĐS: Ω = { S1,S2,S3,S4,S5,S6,N1,N2,N3,N4,N5,N6}
1
b) Tính xác suất của các biến cố sau: A: “Đồng tiền xuất hiện mặt sấp”. ĐS:
2
1
1
B: “Con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm”. ĐS:
C: “Con súc sắc xuất hiện mặt lẻ”. ĐS:
6

2
Bài 6: Một hộp chứa 20 quả cầu đánh số tứ đến 20. Lấy ngẫu nhiên một quả. Tính xác suất của
các biến cố sau:
1
3
a) A: “Quả cầu ghi số chẵn”. ĐS:
b) B: “Quả cầu ghi số chia hết cho 3”. ĐS:
2
10
3
17
c) C = A ∩ B . ĐS:
d) D: “Quả cầu ghi số không chia hết cho 6”. ĐS:
20
20
Bài 7: Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần
a) Hãy mô tả không gian mẫu. ĐS: Ω = { (x,y)|x,y∈ ¥ ;1≤ x,y ≤ 6}
b) Xác định và tính xác suất các biến cố sau:
A: “Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo không bé hơn 10”.
1
ĐS: A = { (4,6),(6,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)} ; P(A) =
6
B: “Mặt 5 chấm xuất hiện ít nhất một lần”.
11
ĐS: B = { (1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6)} ; P(B) =
36
Bài 8: Từ một hộp chứa 6 quả cầu trắng và 4 quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời 4 quả cầu.
Tính xác suất của các biến cố sau sao cho:
8
209

a) Bốn quả cầu lấy ra cùng màu. ĐS:
b) Có ít nhất một quả cầu màu trắng. ĐS:
105
210
97
23
c) Bốn quả cầu lấy ra khác màu. ĐS:
d) Có nhiều nhất 2 quả cầu trắng. ĐS:
105
42
Bài 9: Gieo một con súc sắc 2 lần. Tính xác suất của các biến cố sau:
11
a) A: “Mặt 6 chấm xuất hiện ít nhất 1 lần”. ĐS:
36
1
b) B: “Tổng số chấm trong 2 lần gieo là 7”. ĐS:
6
1
c) D: “Tích số chấm trong 2 lần gieo là số lẻ”. ĐS:
4
7
d) E: “Tổng số chấm ở 2 lần gieo nhỏ hơn 8 và chia hết cho 3”. ĐS:
36
Bài 10: Một bình đựng 5 viên bi xanh, 3 viên bi vàng, 4 viên bi trắng chỉ khác nhau về màu. Lấy
1
ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất các biến cố sau: a) Lấy được 3 bi xanh. ĐS:
22
b) Lấy được ít nhất 1 bi vàng.
34
ĐS: C33 + C23.C15 + C32.C14 + C13.C 52 + C13.C 42 + C13.C14.C15 = 136; P(B) =

55

12


c) Lấy được 3 viên bi cùng màu. ĐS: C35 + C33 + C34 = 15; P(C) =

13

3
44