DUNG DUONG VUONG GOC CHUNG

DỰNG ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG CỦA 2 ĐƯỜNG
THẲNG CHÉO NHAU
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Để dựng đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau ta có thể tiến hành theo các
phương pháp sau:
Cách 1)
Bước 1) Dựng mặt phẳng (P) chứa b song song với a
Bước 2) Chọn M trên a dựng MH vuông góc với mặt phẳng (P) tại H( bản chất là tìm hình
chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P) )
Bước 3) Từ H ta dựng đường thẳng a’ song song với a cắt b tại B
Bước 4) Từ B dựng đường thẳng song song với MH cắt mặt phẳng (P) tại A thì AB là đoạn
vuông góc chung
A
M
a

H
P

a’

B
b

Cách 2)
Bước 1) Dựng mặt phẳng (P) vuông góc với a tại O
Bước 2) Tìm hình chiếu vuông góc b1 của b trên mặt phẳng (P). Dựng hình chiếu vuông
góc của O trên b1 là H
Bước 3) Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B
Bước 4) Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A thì đoạn AB là đoạn vuông
góc chung

A

B

O

a

H

b

1

b1


Cách 3) Dùng khi a vuông góc với b
Bước 1) Dựng mặt phẳng (P) chứa b vuông góc với a tại A
Bước 2) Dựng AB vuông góc với b tại B thì AB là đoạn vuông góc chung
a

b
A

B

Ta xét các ví dụ sau
Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a tâm O. SA vuông góc

với ABCD và SA=a. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng
a) SB và AD b) SC và BD c) SB và CD d) SC và AD e) SB và AC
HD giải :
A
F
M

A
H

D

E

C

B
x

a) Nhận xét rằng:
AD  AB vì ABCD là hình vuông
AD  SA vì SA vuông góc với (ABCD)
Suy ra AD  ( SAB )
Dựng AM vuông góc với SB thì AM là đoạn vuông góc chung của SB và AD.
1
1
a 2
Trong tam giác SAB vuông cân tại A, ta có: AM  SB 
SA2  AB 2 
2

2
2
b) Nhận xét rằng: BD  AC vì ABCD là hình vuông
BD  SA vì SA vuông góc với (ABCD)
Suy ra BD  ( SAC )
Dựng OH vuông góc với SC thì OH là đoạn vuông góc chung của SC và BD.

2


Nhận xét rằng tam giác HCO và tam giác ACS là 2 tam giác vuông có chung góc nhọn Cˆ nên
OH OC
SA.OC

� OH 
chúng đồng dạng, suy ra:
SA SC
SC
2
1
a 2
Trong đó: OC  AC 
; SC 2  SA2  AC 2  a 2  a 2  3a 2 � SC  a 3
2
2
a 2
a.
Suy ra:
2 a 6
OH 

6
a 3





a 6
6
c) Nhận xét rằng: CD // AB � CD //  SAB 
Vậy khoảng cách giữa SC và BD bằng

� d  CD, SB   d  CD ,  SAB    d  D,  SAB    DA  a

Vậy khoảng cách giữa SB và CD bằng a
d) Nhận xét rằng: AD // BC � AD //  SBC 
� d  AD, SC   d  AD, SBC   d  A,  SBC    AM 

a 2
2

a 2
2
e) Dựng: Bx // AC � AC //  S , Bx  � d  AC , SB   d  A,  S , Bx  
hạ AE vuông góc với Bx ta được:
�Bx  AE
� Bx   S , Bx  �  S , Bx    SAE  ;  S , Bx  � SAE   SE
�
�Bx  SA
Vậy khoảng cách giữa SC và AD bằng

Hạ AF vuông góc với SE, ta có ngay AE   S , Bx 
Vậy AF là khoảng cách từ điểm A tới (S,Bx)

Trong tam giác SAE vuông tại A, ta có: AE  OB 

a 2
2

1
1
1
1
1
3
a 3
 2
 2
 2 � AF 
2
2
2
AF
SA
AE
a �a 2 � a
3
�
�
�2 �

a 3
3
Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có SA=2ª và vuông góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC là tam
giác vuông cân tại B với AB=a. Gọi M là trung điểm của AC
a) Hãy dựng đoạn vuông góc chung của SM và BC
b) Tính độ dài đoạn vuông góc chung của SM và BC.
Vậy khoảng cách giữa SB và AC bằng

3


S

M

A

N

C
F

E
H

B

HD giải:
a) Để dựng đoạn vuông góc chung của SM và BC ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách sau:
Cách 1: Gọi N là trung điểm của AB, suy ra: BC // MN � BC //  SMN 

�MN  AB
� MN   SAB  �  SMN    SAB  ;  SMN  � SAB   SN
Ta có: �
�MN  SA

Hạ BH  SN � BH   SMN 
Từ H dựng Hx song song với BC và cắt SM tại E. Từ E dựng Ey song song với BH và cắt BC tại
F. Đoạn EF là đoạn vuông góc chung của SM và BC.
�BC  AB
� BC   SAB  . Do đó (SAB) chính là mặt phẳng qua B
Cách 2: Nhận xét rằng: �
�BC  SA
thuộc BC và vuông góc với BC.
Gọi N là trung điểm của AB suy ra: MN // BC � MN   SAB  , suy ra MN là hình chiếu vuông
góc của SM trên (SAB)
Hạ BH  SN � BH   SMN  .
Từ H dựng Hx song song với BC và cắt SM tại E. Từ E dựng Ey song song với BH và cắt BC tại
F. Đoạn EF là đoạn vuông góc chung của SM và BC.
b) Nhận xét rằng tam giác SAN và tam giác BHN là 2 tam giác vuông có 2 góc nhọn đối đỉnh
BH BN
SA.BN

� BH 
nên chúng đồng dạng, suy ra:
SA SN
SN
2
2
1
a

a 17
2
�a � 17a
2
2
2
BN

AB

Trong đó:
; SN  SA  AN   2a   � �
� SN 
2
2
4
2
�2 �
a
2a.
2  2a 17
Suy ra: BH 
17
a 17
2

4


2a 17

.
17
Ví dụ 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc Aˆ  600 và
đường cao SO=a.
a) Tính khoảng cách từ O đến (SBC)
b) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AD và SB
S
Vậy khoảng cách giữa SM và BC bằng

A

B
H

J
O
D

I
C

A
J
D

B

C

HD giải:

�BC  OI
� BC   SOI 
a) Hạ OI vuông góc với BC và kéo dài OI cắt AD tại J. Ta có: �
�BC  SO
�  SBC    SOI  ;  SBC  � SOI   SI

Hạ OH vuông góc với SI, ta có OH   SBC  . Vậy OH là khoảng cách từ điểm O tới (SBC)
a
Với hình thoi ABCD ta có: BD=a vì tam giác ABD đều � OB 
2
a 3
AC  2 AO  2.
a 3
2
Trong tam giác OBC vuông tại O, ta có:
1
1
1
1
1
13
a 39




 2 � OI 
2
2
2

2
2
OI
OB OC
3a
13
�a � a 3
��
�2 �
Trong tam giác SAE vuông tại A ta có:
1
1
1
1
1
16
a 3

 2  2
 2 � OH 
2
2
2
OH
SO OI
a �a 39 � 3a
4
�
�
� 13 �





5


a 3
4
b) Nhận xét rằng: AD // BC � AD //  SBC  � d  AD, SB   d  AD,  SBC    d  J ,  SBC  
Vậy khoảng cách từ O đến (SBC) bằng

Mặt khác ta lại có: JO � SBC   I nên:
d  J ,  SBC  

d  O,  SBC  



JI
a 3
 2 � d  J ,  SBC    2d  O,  SBC    2OH 
OI
2

Vậy khoảng cách giữa SB và AD bằng

a 3
.

2

BÀI TẬP
1) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. I là trung điểm AB. Dựng IS vuông góc với mặt
a 3
phẳng (ABCD) và IS 
. Gọi M, N , P là trung điểm của BC,SD,SB. Dựng và tính đoạn
2
vuông góc chung của các cặp đường thẳng:
a) AB và SD b) SA và BD c) NP và AC d) MN và AP
2) Cho hình chóp SABC có ABC là tam giác vuông đỉnh B, AB  2a, BC  a 3, SA  2a và
vuông góc với (ABC). Gọi M là trung điểm của AB
a) Tính góc giữa 2 mp (SBC) và (ABC)
b) Tính khoảng cách từ A đến CM
c) Tính góc giữa 2 mp (SCM) và (ABC)
d) Tính khoảng cách từ A đến (SCM)

6


7