H lythuyet12

KIẾN THỨC CƠ BẢN 12 – HỌC KỲ 1

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
1) Tính tăng giảm và cực trị:Cho hàm số y=f(x) xác định trên D
* y = C ⇔ y’= 0 ∀x ∈ D
* Hàm số tăng trên D ⇔ y’ ≥ 0, ∀x∈D
* Hàm số giảm trên D ⇔ y’ ≤ 0, ∀x∈D
* Hàm số có cực trị ⇔ y’= 0 hoặc khơng xác định tại xo & đổi dấu
khi x qua xo.
 y '( xo ) = 0
* Hàm số có cực trị tại x0 ⇔ 
 y "( xo ) ≠ 0
 y '( xo ) = 0
* Hàm số đạt CĐ (CT) tại x0 ⇔ 
 y "( xo ) < 0(> 0)
Chú ý:
 Đối với hàm nhất biến : Hàm số tăng ⇔ y’ > 0 ;
Hàm số giảm ⇔ y’ < 0
 Nếu y’ có dạng tam thức bậc hai thì: Hàm số có cực trị
⇔ y’ đổi dấu hai lần ⇔ y’= 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0
2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của y = f (x) trên
Khoảng (a ; b )
 Tính y’
 Lập BBT trên (a ; b )
 Kết luận :
max y = yCD hoặc
( a ;b )

min y = yCT
( a ;b )

Đoạn [a;b]
 Tính y’
 Giải pt y’ = 0 tìm nghiệm
x0 ∈ ( a; b )
 Tính y (x0 ) , y(a) , y (b)
Chọn số lớn nhất M , nhỏ nhất
m kết luận
max y = M , min y = m
[ a ;b ]

[ a ;b ]

3)Khảo sát hàm số Gồm các bước:
Bước 1: Tập xác định.
Bước 2: Tính và xét dấu y’ ( y’=0 ⇔ x=? ⇒ y=?)
Bước 3: giới hạn bên phải, giới hạn bên trái tại điểm gián đoạn
(hàm nhất biến), giới hạn khi x dần đến +∞, −∞ đồng thời chỉ ra
tiệm cận (nếu có).
Bước 4: Tóm tắt 3 bước trên qua bảng biến thiên.
Kết luận về tính tăng giảm và cực trị của hàm số
Bước 5: Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung, trục hồnh (nếu
có), tìm thêm điểm phụ (nếu cần) rồi vẽ đồ thị hàm số.
a) Hàm bậc ba: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d ( a ≠ 0)
* D = .
* y’ = 3ax2 – 2bx + c
* Có 2 cực trị (∆’ > 0) hoặc khơng có cực trị (∆’ ≤ 0). Lúc đó
Hàm số ln đồng biến (nghịch biến) trên R khi a > 0 (a < 0)
Đồ thị đối xứng qua điểm uốn.
b) Hàm trùng phương: y = ax4 + bx2 + c ( a ≠ 0)
* D = .

* y' = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b)
* Có 3 cực trị (a.b < 0 hoặc chỉ có 1 cực trị(a.b ≥ 0).
* Đồ thị có trục đối xứng là trục tung
ax + b
c) Hàm nhất biến: y =
( c ≠ 0 & ad – bc ≠ 0)
cx + d
 d
* D = \ −  ;
 c
ad − bc
* y' =
2 y’ ln dương hoặc ln âm. Khơng có cực trị.
( cx + d )
* Có một TCĐ: x = − d/c và một TCN: y = a/c

CÁC VẤN ĐỀ VỀ HÀM SỐ
Vấn đề 1: Sự tương giao của hai đường
y = f(x): (C) ;
y = g(x): (C’)
 Phương trình hồnh độ giao điểm của (C) & (C’): f(x) = g(x)
Số nghiệm của phương trình là số điểm chung
Vấn đề 2: Biện luận số nghiệm của 1 phương trình bằng đồ thị
 Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = m hay f(x) = h(m) (1)
Đây là phương trình hồnh độ giao điểm của (C) và đường thẳng
y = m (h(m)) cùng phương Ox.
 Số điểm chung là số nghiệm của phương trình (1)
Vấn đề 3: Điều kiện tiếp xúc giữa hai đường
y = f(x): (C);
y = g(x): (C’)

 Điều kiện (C) và (C’) tiếp xúc nhau ⇔ Hệ phương trình sau có
 f ( x) = g ( x)
nghiệm: 
 f '( x ) = g '( x )
( Nghiệm của hệ phương trình chính là hồnh độ tiếp điểm)
Vấn đề 4: Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C):y=f(x)
Phương trình tiếp tuyến với (C) của đồ thị hàm số y = f ( x) tại
điểm M (x0 ; y0 ) là: y – y0 = y’ (x0) . ( x – x0 )
Trong phương trình trên có ba tham số x0 ; y0 ; y’(x0) .Nếu biết
một trong ba số đó ta có thể tìm 2 số còn lại nhờ hệ thức : y0 = f
(x0) ; y’(x0)= f ’(x0).
Chú ý :
 k = y’(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến của ( C ) tại M ( x0 ; y0 )
 Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b thì k = a
1
 Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = ax + b thì k = −
a
Các dạng thường gặp
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại điểm
M0(x0 ; y0) ∈ (C ) có pttt y = y’(x0)(x – x0) + y0
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) biết tiếp
tuyến có hệ số góc k.
Gọi M0(x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến của
(C) tại M0 là:
y = y’(x0)(x – x0) + y0
Giải phương trình y’(x0) = k tìm x0 và y0 .
*Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) y = f(x) , biết tiếp
tuyến đi qua A(xA ; yA)
Gọi M0(x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến của
(C) tại M0 là:

y = y’(x0)(x – x0) + y0
tiếp tuyến đi qua A(xA ; yA) nên yA = y’(x0)(xA– x0) + y0
giải pt này tìm được x0, trở về dạng 1
Vấn đề 5: Điểm cố định của họ đường (Cm): y=f(x,m)
(dồn m, rút m, khử m)
A(x0,y0) là điểm cố định của (Cm)⇔ A(x0,y0) ∈ (Cm), ∀m
⇔ y0 = f(x0,m), ∀m
⇔ Am2 + Bm + C = 0,∀m hoặc Am + B = 0, ∀m
A = 0
A = 0

⇔  B = 0 hoặ
c 
B = 0
C = 0

Giải hệ phương trình trên để tìm điểm cố định.
Vấn đề 6: Tập hợp điểm M(x;y)
 Tính x và y theo tham số
 Khử tham số để tìm hệ thức giữa x và y


 Giới hạn quỹ tích (nếu có).
Vấn đề 7: CMR điểm I(x0;y0) là tâm đối xứng của (C):y=f(x)
uur
Tịnh tiến hệ trục Oxy thành hệ trục OXY theo OI = ( x0 ; y0 ) .
 x = X + x0
Công thức đổi trục: 
 y = Y + y0
Thế vào y = f(x) ta được Y = f(X)

Chứng minh hàm số Y = f(X) là hàm số lẻ.
Suy ra I(x0;y0) là tâm đối xứng của (C).
Vấn đề 8: CMR đường thẳng x = x0 là trục đối xứng của (C).
uur
Dời trục bằng phép tịnh tiến OI = ( x0 ;0 )
 x = X + x0
Công thức đổi trục 
y = Y
Thế vào y = f(x) ta được Y = f(X)
C minh hàm số Y = f(X) là hàm số chẵn.
Suy ra đường thẳng x = x0 là trục đối xứng của (C).
HÀM LUỸ THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
Hàm số mũ y = a x; TXĐ D = 
x > 0
Hàm số lgarit y = logax, ĐK: 
; TXĐ D = (0; +∞)
0 < a ≠ 1
Các công thức
 Công thức lũy thừa: Với a > 0, b > 0; m, n ∈ ta có:
m
1
1
= a−n ; ao = 1; a−1 =
; a n = n am
an
a
 anam = an+m ;
 (an)m = anm ;
 (ab)n = anbn;
n

a
an
an
  ÷ = m .
= a n−m ;
m
b
a
b
 Công thức logarit:
logab = c ⇔ ac = b (0 < a ≠ 1; b > 0)
Với 0 < a ≠ 1, 0 < b ≠ 1; x, x1, x2 > 0; α ∈ ta có:
 logaa = 1 ;  loga`1 = 0 ;  a loga x = x ;  alogbx = xlogba.


= logax1−logax2;
1
 log aα x = log a x ;(logaax=x);
α
1
log b x
 logax=
;(logab=
).
log b a
log b a

 loga(x1x2)=logax1+logax2 ;  loga
 logaxα = α.logax

 logba.logax=logbx;

x1
x2

Phương trình và bất phương trình mũ−logarit
1/ Phương trình mũ - logarít cơ bản :
Dạng ax = b (0 < a ≠ 1 )
Dạng log a x = b ( 0 < a ≠ 1)
 b ≤ 0 : pt vô nghiệm
 Điều kiện : x > 0
 b > 0 : a x = b ⇔ x = log a b
 log x = b ⇔ x = a b
a

2/Bất phương trình mũ- lôgarít
Dạng ax > b (0 < a ≠ 1)
 b ≤ 0 : Bpt có tập nghiệm R
b>0 :
x
khi a > 1: a > b ⇔ x > log a b
khi 0 < a < 1:
a > b ⇔ x < log a b .
x

cơ bản :
Dạng log a x > b ( 0 < a ≠ 1)
 Điều kiện : x > 0
Khi a > 1
log a x > b ⇔ x > a b

khi 0 < a < 1
log a x > b ⇔ x < a b .

3/ Cách giải :Đưa về cùng cơ số – Đặt ẩn phụ .

HÌNH HỌC
Nhắc lại

Các công thức tính diện tích.

a/ Công thức tính diện tích tam giác:
1
1
a.b.c
S = a.ha = a.b sin C =
2
2
4R
= p.r =

p.( p − a )( p − b)( p − c ) với p =

a+b+c
2

1
AB. AC ,
2
2
 ∆ABC đều cạnh a: S = a 3

4
b/ Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh
c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng
Đặc biệt :  ∆ABC vuông ở A : S =

d/ Diên tích hình thoi : S =

1
(chéo dài x chéo ngắn)
2

1
(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao
2
e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao
f/ Diện tích hình tròn : S = π .R 2 .
Chú ý:
 Đường chéo của hình vuông cạnh a là d = a 2 ,
 Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a 3 ,
 Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là
d/ Diện tích hình thang : S =

d=

a 2 + b2 + c 2 ,

 Đường cao của tam giác đều cạnh a là h = a 3
2
 Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều (tam giác đều,
hình vuông, …) và các cạnh bên đều bằng nhau ( hoặc có đáy là

đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).
 Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

THỂ TÍCH
1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: V = B.h .
(B diện tích đáy, h chiều cao)
Thể tích khối hộp chữ nhật:
V = a.b.c
( a,b,c là ba kích thước)
Thể tích khối lập phương:
V = a3
( a là độ dài cạnh)
1
2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP:
V = Bh
3
3. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN:
Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’ là các điểm tùy ý lần lượt
VSABC
SA SB SC
=
thuộc SA, SB, SC ta có:
.
VSA ' B 'C ' SA ' SB ' SC '
1 2
πr h ;  Sxq = πrl .
3
 V = π r2h ;  Sxq = 2πrl .
4π r 3
V=

;  S = 4 πr2 .
3

4. KHỐI NÓN:  V =
5. KHỐI TRỤ:
6. KHỐI CẦU :

Nắm chắc, hiểu lý thuyết, phương pháp +
làm nhiều bài tập ⇒ THÀNH CÔNG.