PHUONG PHAP HAM SO VA CAC BAI TOAN CO THAM SO

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088

CHUYÊN ĐỀ 10

PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ VỚI CÁC BÀI TOÁN CHỨA
THAM SỐ
Biên soạn GV Nguyễn Trung Kiên 0988844088
I) Phương trình có tham số:
Cơ sở phương pháp:
- Khi gặp các phương trình có chứa tham số dạng bậc nhất:
VD: m x 2  2   2m  1 x  0 (phương trình bậc nhất theo m)
+ Đặt điều kiện của biến: Giả sử x �D .
+ Đưa phương trình về dạng: m  f ( x ) ( x �D)(*)
Chú ý trong bước này: khi thực hiện phép chia ta phải kiểm tra điều kiện mẫu số khác 0
� điều kiện để (*) có nghiệm là: M inf( x) �m �Maxf ( x) với x �D . Đôi khi hàm số không tồn
tại Max, Min.
�min f ( x) � M
� điều kiện N  m  M
Mà �
�max f ( x) � N
- Nếu thực hiện việc đổi biến số thì cần lưu ý tập giá trị của biến mới
VD: Đặt x  2  3  x  t với x � 2;3




2

Ta có: t 5 2

x

2  3 x 

Theo bất đẳng thức côsi: 2

t2

5

 x  2  3  x 

�x  2  3  x  5

�
5 �
t2 5 5
5 t
10
�
Khi xét hàm số f(t) thì D  �
� 5; 10 �
II) Bất phương trình có chứa tham số:
m �f ( x)
�
Đưa về dạng �
m �f ( x)
�
Chú ý: Khi chia hoặc nhân 2 vế bất phương trình với 1 số hạng thì:
+) Bất phương trình không đổi dấu nếu số hạng đó dương
+) Bất phương trình đổi dấu nếu số hạng đó âm.

1) Điều kiện để bất phương trình m �f ( x) có nghiệm x �D là m �min f ( x ) với x �D
2) Điều kiện để bất phương trình m �f ( x) đúng với x �D là m �max f ( x ) với x �D
3) Điều kiện để bất phương trình m �f ( x) có nghiệm x �D là m �max f ( x ) với x �D
4) Điều kiện để bất phương trình m �f ( x) đúng với x �D là m �min f ( x) với x �D .
* Khi tìm min, max 1 hàm số thì phương pháp hiệu quả nhất là dùng phương pháp hàm số (xét
đạo hàm). Ngoài ra có thể sử dụng các bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopxki….
Ta xét các ví dụ sau:
VD1) Tìm m để phương trình: 1  x  8  x   1  x   8  x   m (*) có nghiệm.
Giải: ĐK: 1 �x �8
  Đặt  1  t
8 t t

t

0.

253


CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088
2
9 t 2 18
Có t  9  2  1  x   8  x  �9 � 2  1  x   8  x   9 ���

t

�
3;3 2 �
�
�

t2  9
t2
9
 m �  2t   m
2
2
2
2
t
9
t ��
3;3 2 �
Xét f (t )   2t 
�
�
2
2
f�
(t )  t  2  0t ��
3;3 2 �
�
�� f (t ) là hàm đồng biến
96 2
� max f (t )  f (3 2) 
2
min f (t )  f (3)  3
(*) � t 

� ĐK: 3 �m �9  6 2

2
2; 2  3 �
VD2) Tìm m để bất phương trình: x  4  x   m x 2  4 x  5  2 �0 có nghiệm x ��
�
�
2x  4
2
2

�0 Vì x ��
2; 2  3 �
Giải: Đặt x  4 x  5  t � t   x  2   1 �1; t �
�
�nên
2 x2  4x  5
t2  5
t � 1; 2 . Bất phương trình tương đương với m �
với t � 1; 2
t2
t2  5
t � 1; 2
Xét f (t ) 
t2
2t  t  2   t 2  5 t 2  4t  5
4
f�
(t ) 

 0t  1; 2  � min f (t )  f (1)  
2

2
3
 t  2
 t  2
� ĐK là m �

4
3





2
VD3) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: log 3  mx  1 �2 log 1  x  3x  2 (*)
9

mx  1  0
mx  1  0
�
�
��
Giải: ĐK: � 2
1 m  2
 x  3x  2  0
�
�
�3
1 log x 2 3 x 2
mx

 mx۳
(*) �log





x 2 3 x 3 với x � 1; 2 

 x 2  3x  3
۳ m
x
2
 x  3x  3
 2 x  3 x   x 2  3x  3  x 2  3
x � 1; 2  ; f �
Xét f ( x) 
( x) 

x
x2
x2
f�
( x)  0 � x  � 3





1

3 3 6
 32 3
Ta có: f (1)  1; f (2)   ; f ( 3) 
2
3
� ĐK để bất phương trình có nghiệm là m �1
VD4) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 4 x 4  13 x  m  x  1  0
254


CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088
Giải: Phương trình � 4 x 4  13 x  m  1  x
�
�x �1
�x �1
� �4
2 � � 3
4 x  6 x2  9 x  1  m
�
�x  13 x  m   1  x 
Xét hàm số f ( x)  4 x 3  6 x 2  9 x với x �1
� 3
x
�
2
2
2
�
�
�

Ta có: f ( x)  12 x  12 x  9 � f ( x)  12 x  12 x  9 � f ( x)  0 � �
1
�
x
�
2
Bảng biến thiên:
1
x

1

�

2

f’(x)

+

0

-

5
2

f(x)

-11

5
3
m
2
2
2
VD5) Tìm m để phương trình: m x  2  x  m có 3 nghiệm phân biệt.
x
2
Giải: Phương trình � m x  2  1  x � m 
(do x 2  2  1  0x )
x2  2 1
x2
x2  2 1 
x
x2  2
Xét hàm số: f ( x ) 
� f�
( x) 
x2  2 1
x2  2 1
m
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm: �1�۳







f�
( x) 

2  x2  2
x 2
2





x  2 1
2

2



� f�
( x)  0 � x  � 2

Bảng biến thiên:

255


CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088

�

x

 2

f’(x)

-

+

2
+

0

-

0

2

f(x)

-

-

Dựa vào bảng biến thiên �  2  m  2 .
VD6) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình sau:

m x2  1  x  2  m .
x2
2
 f ( x ) (do x 2  1  1  0)
Giải: Phương trình � m x  1  1  x  2 � m 
2
x 1 1
Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hai hàm số y=m và y=f(x)
x  x  2
x2  1  1 
x2  1  2 x  1
x2  2 
Xét hàm số y=f(x), ta có: f �
( x) 
2
2
x2  1  1
x2  1  x2  1  1













� 1
4
�x �
� f�
( x)  0 � x  1  2 x  1 � � 2
�x
3
�x 2  1  4 x 2  4 x  1
�
2

Bảng biến thiên:
x

4
3

-

f’(x)

+

0

+

-

5
4

f(x)
-1

1

Dựa vào bảng biến thiên suy ra:

256


CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088
� 5
m
Nếu: � 4 � phương trình vô nghiệm
�
m �1
�
� 5
m
� phương trình có 1 nghiệm
Nếu: � 4
�
1 �m �1
�
5
Nếu: 1  m  � phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
4

*Chú ý: Khi đặt ẩn phụ ta phải tìm miền xác định của ẩn phụ và giải quyết toán ẩn phụ trên miền
xác vừa tìm. Cụ thể:
+Khi đặt t=u(x), x �D, ta tìm được t �Y và phương trình và phương trình f(x,m)=0.
(1) trở thành g(t,m)=0(2). Khi đó (1) có nghiệm x �D � (2) có nghiệm t �Y .
+Để tìm miền xác định của t ta có thể sử dụng các phương trình tìm miền giá trị (vì miền xác
định của t chính là miền giá trị của hàm u(x)).
* Nếu bài toán yêu cầu xác định số nghiệm thì ta phải tìm sự tương ứng giữa x và t, tức là 1 giá
trị t �Y thì phương trình u(x)=t có bao nhiêu nghiệm x �D.
VD7) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: m





x  2  2 4 x2  4  x  2  2 4 x2  4

Giải: Điều kiện: x �2
Ta thấy x=2 không là nghiệm của phương trình nên ta chia 2 vế phương trình cho
� x2
� x2
4
4

2
được: m �
�
� x2
� x  2  2 (*)
�
�



4

x 2  4 , ta



2 t4 1
4
x2
4
 0 � t 1
 0 � t  x  2  x  2 � x  4
2 � 4
t 1
x2
t 1
1 �
t 2  2t
�
 f (t ) (3)
Khi đó (*) trở thành: m �  2 � t  2 � m 
2t  1
�t
�
Phương trình đã cho có nghiệm � (3) có nghiệm t>1
2t 2  2t  2
�

f
(
t
)

 0t  1 . � f (t )  f (1)  1
Xét hàm số f(t) với t>1, có:
2
 2t  1
Vậy phương trình có nghiệm � m  1
* Trong các bài toán trên sau khi đặt ẩn phụ ta thường gặp khó khăn khi xác định miền xác định
của t. Ở trên chúng ta đã làm quen với 3 cách tìm miền xác định của t. Tuy nhiên ngoài những
cách trên ta còn có cách khác để tìm miền giá trị của t ví dụ như
x2 4
4
*t4
 1
�t 1
x2
x2
VD8*) Tìm m để phương trình sau có nghiệm (4m  3) x  3  (3m  4) 1  x  m  1  0 (1)
Giải:
Điều kiện 3 �x �1
Phương trình � m(4 x  3  3 1  x  1)  3 x  3  4 x  1  1
Đặt t 

4

257

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088

�m

Vì



3 x  3  4 x 1 1
(2)
(4 x  3  3 1  x  1)

x3

 
2

1 x



2

2t
�
x3  2
�
�
1 t2

 4 nên ta đặt �
2
�1 x  2 1 t
�
1 t2

Khi đó (2) trở thành: m 

 
16t  6  1  t   t

12t  8 1  t 2  1  t 2
2

2

1



Với t � 0;1

7t 2  12t  9
 f (t ) (3)
5t 2  16t  7

(t )  
(1) có nghiệm � (3) có nghiệm t � 0;1 có f �



52t 2  8t  60
5t 2  16t  7



2

 0t � 0;1

7
9
7
9
 f (1) �f (t ) �f (0)  � m
9
7
9
7
2t
�
x3  2
�
�
1 t2
Tại sao ta đặt ? �
xuất phát từ vấn đề lượng giác hoá: x 2  y 2  a 2 ta đặt
2
�1 x  2 1 t
1 t2

�
2t
�
xa
�
�x  asin

�
1 t2
t

tan
�
tiếp tục đặt
�
�
2
2
�y=acos
�y  a 1  t
1 t2
�
VD9) Chứng minh rằng với mọi m>0 phương trình sau luôn có nghiệm
� x 2  mx  2 �
log 2 �
� 2 x  x 2  mx  2  1
� 2 x 1
�
�
�

�x 2  mx  2  0
2
Giải: Vì x  mx  2 �0 nên ĐKXĐ: �
(*)
2x 1  0
�
1
Do m>0 nên (*) � x 
2
�

PT � log 2 x 2  mx  2  x 2  mx  2  log 2  2 x  1  2 x  1 (1)
Hàm số: f ( x)  log 2 t  t đồng biến trên  0; �

Nên (1) � x 2  mx  2  2 x  1 � x 2  mx  2  4 x 2  4 x  1 � m  3x  4 

1
 g ( x)
x

1
�1
�
Lập BBT của hàm g(x) trên � ; ��
ta thấy m  0 phương trình g(x)=m luôn có nghiệm x  .
2
�2
�
III) Hệ phương trình, hệ bất phương trình

258


CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088
1) Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất
Khi gặp các bài toán tìm điều kiện để có nghiệm duy nhất ta thường dùng phương pháp
điều kiện cần và đủ để chỉ ra các giá trị tham số có thể thoả mãn sau đó thử lại( Kiểm tra
điều kiện đủ) để kết luận
Điểm mấu chốt của bài toán là kiểm tra tính đối xứng của nghiệm để suy ra điều kiện cần
Ta xét ví dụ sau:
� x 1  y 1  a
�
Ví dụ 1) Cho hệ phương trình �
. Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất
�x  y  2a  1
Giải:
Điều kiện cần: Giả sử hệ có nghiệm (x,y) suy ra (y-2;x+2) cũng là nghiệm của hệ. Để hệ có
nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là x=y-2 khi đó hệ có dạng
�
�
2 y 1  a
� y 1  y 1  a
�
��
� 2(2a  3)  a
�
2 y  2a  3
�y  2  y  2a  1
�
a �0

�
� �2
� a  2 6
a

4
a

2

0
�
Vậy a  2  6 là điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất
�
� x 1  y 1  2  6
Điều kiện đủ: Với a  2  6 hệ có dạng �
�x  y  5  2 6
� 64 6
�x 
�
�
u  x 1
u v  2 6
2 6
�
�
�
4
��
��

Đặt �
Giải hệ ta có u  v 
2
2
2
v  y 1
u v  52 6
�y  14  4 6
�
�
�
�
4
Là nghiệm duy nhất của hệ
Kết luận a  2  6 .
Ví dụ 2) Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất.
�
�x  y  2 xy  m �1
�
�x  y �1
Giải
Điều kiện cần:
Giả sử hệ có nghiệm (x;y) suy ra (y;x) cũng là nghiệm
Để hệ có ngiệm duy nhất điều kiện cần là x=y
�
m �2( x  1) 2  1 �
m �2( x  1) 2  1
�2 x �1
1
�

�
�
m
Khi đó hệ có dạng �
��
�
1
1
2
2
2
( x  1) �
�2( x  1) �m  1 �x  1 �
�
2
4
�
�
Điều kiện đủ:
Ta xét hai trường hợp:

259


CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088
�x  y �1
�
�
1 hệ có nghiệm duy nhất x=y=1/2.Vì đường
( x  1) 2  ( y  1) 2 �

�
�
2
1
2
2
thẳng (d) x+y-1=0 tiếp xúc với đường tròn ( x  1)  ( y  1)  tại một điểm x=y=1/2
2
1
*) Với m  Hệ có vô số nghiệm
2
� 1
y�
�
1
3
1
� 2
� 1  m  �m � Rõ ràng có vô số giá trị y thoả
Thật vậy chọn x  � �
3
2 �
4
2
( y  1) 2 �m 
�
4
mãn
1
Kết luận m  

2
Ví dụ 3) Tìm các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực duy nhất:
�
�  1  x   1  y   x  y (1)
�2
�x  y 2  m(2)
Giải: Do hệ đối xứng nên nếu (x;y) là 1 nghiệm của hệ thì (y;x) cũng là 1 nghiệm của hệ. Do đó
để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì y=x. Thay vào phương trình (1) của hệ ta có:
1 x  2x � x  1 .
Thay x=y=1 vào phương trình (2) � m  2
�
�  1 x  1 y  x  y
Khi m=2 thì hệ trở thành �
�x 2  y 2  2
�x  y �0
�
�x  y  0
�x  y  2
2
�
��
1   x  y   xy   x  y  � �
hoặc �
�xy  1
�xy  1
�
2
 x  y   2 xy  2
�
Dễ thấy hệ có 3 nghiệm (1;-1); (-1;1) (1;1). Vậy hệ không tồn tại giá trị m thoả mãn.

2) Điều kiện để hệ có k nghiệm
Khi gặp các bài toán dạng này ta thường làm theo cách:
- Đặt điều kiện của 1 ẩn (nếu có)
- Biểu diển một ẩn theo ẩn còn lại
- Đưa hệ phương trình về dạng 1 phương trình tương đương sau đó tìm điều kiện để
phương trình có k nghiệm
Ta xét các ví dụ sau:
2
�
3  x  1  y  m  0
�
VD1 ) Tìm m để hệ phương trình: �
có 3 cặp nghiệm phân biệt.
x

xy

1
�
�
1
*) Với m   hệ có dạng
2

260


CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088
�x �1
�

Giải: Ta có: x  xy  1 � xy  1  x � � x 2  2 x  1 (do x=0 không là nghiệm phương
�y 
x
�
trình)
x2  2x  1
Thay vào phương trình thứ nhất ta được: 3 x 2  6 x 
 m  3 (a)
x
Hệ có 3 cặp nghiệm � (a) có 3 nghiệm phân biệt thoả mãn x �1 .
x2  2 x  1
1
Xét hàm số f ( x)  3 x 2  6 x 
 3x 2  7 x  2  với
x
x
3
2
1 6x  7 x 1
1
1
� f�
( x)  6 x  7  2 
� f�
( x)  0 � x  1; x   ; x 
2
x
x
2
3

Bảng biến thiên:
x

-

f’(x)

-

-1
-

0

+

0

-

-

+

1
3

0

-

0

+

f(x)

1
+
9

11
3

-7
-

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy (a) có 3 nghiệm phân biệt.
11
20
�
�
�3  m  3 �9
�3  m �12
��
��
27
15
�
�

7  m  3  
4  m  
�
�
4
4
20
15
 m �12 hoặc 4  m  
Vậy
là những giá trị cần tìm.
3
4
VD 2) Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm x �4
�
(1)
�x y 3
�
� x  5  y  3 �a (2)
Điều kiện x, y �0
�x �4
x � y 3 t ; �
2 t 3
Đặt t �
�y �0

261


CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088

Khi đó (2) trở thành a � t 2  5  t 2  6t  12  f (t ) (3)
Xét hàm số f(t) với t � 2;3 ta có
f '(t ) 

t

t 3



t 5
t  6t  12
� 2t  30t  45  0 PTVN
Ta có bảng biến thiên sau
t
t
2
2

2

; f '(t )  0 � t t 2  6t  12  (t  3) t 2  5

2

f’(t)

3
+

14  3

f(t)

5
Hệ có nghiệm khi (3) có nghiệm ۳ a 5
Chú ý: Nếu câu hỏi là hệ nghiệm đúng với mọi x �4 thì điều kiện là a � 14  3

BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT
PHƯƠNG TRÌNH CÓ THAM SỐ
Biên soạn Gv Nguyễn Trung Kiên 09889844088
log(mx )
 2 có nghiệm
log( x  1)
 x2  3x  3
f ( x) 
 0x
cos2 x
Câu 2) Tìm m để :
2
�1 �
(m  1) � �  21sin x  2m
�2 �
�
�x  y  m
Câu 3) Tìm m để hệ: �
Có nhiều hơn hai nghiệm.
 x  1 y 2  xy  m  y  2 
�
Câu 4) Tìm m để bất phương trình:

Câu 1) Tìm m để phương trình:

x

2



 1  m �x x 2  2  4 đúng với x � 0;1
2

Câu 5) Tìm m để phương trình:
x2  4 x 3

�1 �
��
�5 �
Câu 6) Tìm m để:

 m 4  m2  1 có 4 nghiệm phân biệt.

262


CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088
1  x  3 1  x  m có 2 nghiệm.
Câu 7) Tim m để bất phương trình sau có nghiệm:
3

a 2x2  7  x  a

Câu 8) Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
x x  x  12  m 5  x  4  x





Câu 9) Tìm m để phương trình:
1  x 2  2 3 1  x 2  m có nghiệm. duy nhất
Câu 10) Tìm x thoả mãn x>1 để bất phương trình:
log 2 x2  x  x  m  1  1
 
đúng với 0 �m �4 .
m

Câu 11) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất:
x  1  x  2m x  1  x   2 4 x  1  x   m 3
Câu 12) Tìm m để:





log 2 2 x  log 1 x 2  3  m log 4 x 2  3 có nghiệm � 32; �
2

Câu 13) Tìm m để bất phương trình có nghiệm:
x x  x  1 �m log 2 2  4  x



Câu 14) Tìm m để với x � 0; 2 thoả mãn:







log 2 x 2  2 x  m  4 log 4 x 2  2 x  m �5
Câu 15) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:
log x m x 2  1  log x  m x 2  2 x  3









Câu 16) Tìm m để bất phương trình:
x  4  x  m





x 2  4 x  5  2 �0 có nghiệm đúng với x �
2; 2  3 �

�
�
Câu 17) Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
2 log 1  mx  28    log5 12  4 x  x 2



25



Câu 18) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:
1 x
1  1  x  8  x  m  x  8
�3m
8 x
Câu 19) Tìm m để bất phương trình đúng với x  0; 4 :



9  x  1 � 3 x  m  1  3 x  4
2



2

Câu 20) Tìm m để bất phương trình có nghiệm � 0;1 :

x

2



2

 2  m �x x 2  4  13

�
Câu 21) Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với x �
� 2; 10 �

263


CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088
x

x

�m
x2 1
Câu 22) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:
x 2  3x  1  m x 4  x 2  1 �0
Câu 23) Tìm a để bất phương trình sau đúng với x :

 log

3







x 2  ·+5  1 log 5 x 2  ax +6 �1

Câu 24) Tìm m để moi nghiệm của bất phương trình :
log 3 5 x 2  8 x  3  2 đều thoả mãn bất phương trình:
log 2


x

2







 1  log 2 3x 2  x  m



.

Câu 25) Tìm m để bất phương trình sau đúng với x � 1; 2 :

 m  2  log 2 1  x  1  2m log 1  x  1  1 �0
2

2

Câu 26) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
x4  4 x  m  4 x4  4x  m  6
Câu 27) Tìm m để bất phương trình ln(1  x ) �x  mx 2 nghiệm đúng với mọi x �0
Câu 28) Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt
x3  2 x 2  2 x  m3  3m 2  1  x  1
Câu 29) Chứng minh rằng với mọi m>0 phương trình sau luôn có nghiệm
x 2  mx  2
log 2 (
)  2 x  x 2  mx  2  1
2x 1
�
� 2x  1 1 � 2x 1
Câu 30) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm �
3
�8 x  5  x  2 x  1  2m �0
Câu 31) Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm x 3  3 x 2  1 �a



x  x 1



3

264