2 1 CUC TRI

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
A. CHUẨN KIẾN THỨC

1. Khái niệm cực trị hàm số :
Giả sử hàm số xác định trên tập hợp D ( D ⊂ ¡

)

và x0 ∈ D

x0 được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một

( a;b) ⊂ D
khoảng ( a;b) chứa điểm x0 sao cho: f 
.
f(x) < f(x0) ∀x ∈ ( a;b) \ { x0}
Khi đó f ( x0 ) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f .

x0 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một

( a;b) ⊂ D
khoảng ( a;b) chứa điểm x0 sao cho: 
.
f(x) > f(x0) ∀x ∈ ( a;b) \ { x0}
Khi đó f ( x0 ) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f .

Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị
Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì ngư=ời ta nói rằng hàm số f
đạt cực trị tại điểm x0 .
Như vậy : Điểm cực trị phải là một điểm trong của tập hợp D
Điểm cực đại , cực tiểu gọi chung là điểm cực trị của hàm số , f(x 0 ) là giá

trị cực trị (hay cực trị ) của hàm số.
Chú ý.
a)Giá trị cực đại (cực tiểu ) f(x0) của hàm số f chưa hẳn đã là GTLN
(GTNN) của hàm số f trên tập xác định D mà f(x0) chỉ là GTLN (GTNN) của
hàm số f trên khoảng (a,b) ⊂ D và (a;b) chứa x0 .
b)Nếu f’(x) không đổi dấu trên tập xác định D của hàm số f thì hàm số f
không có cực trị .
2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị:
Định lý 1: Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó , nếu f có đạo

hàm tại điểm x0 thì f '( x0 ) = 0 .
Chú ý :
• Đạo hàm f ' có thể triệt tiêu tại điểm x0 nhưng hàm số f không đạt cực
trị tại điểm x0 .
• Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có
đạo hàm
• Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm
số bằng 0, hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm .
3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:
Định lý 2: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng ( a;b) chứa điểm x0 và có
đạo hàm trên các khoảng ( a;x0 ) và ( x0;b) . Khi đó :

48


f '( x0 ) < 0,x ∈ ( a;x0 )
Nếu 
thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0 .
f '( x0 ) > 0,x ∈ ( x0;b)
f '( x0 ) > 0,x ∈ ( a;x0 )

Nếu 
thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0 .
f '( x0 ) < 0,x ∈ ( x0;b)

Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng ( a;b) chứa
điểm x0 , f '( x0 ) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0 .
Nếu f ''( x0 ) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0 .

Nếu f ''( x0 ) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0 .
Chú ý :
1. Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm (x0;f(x0)) được gọi là
điểm cực trị của đồ thị hàm số f .

f '(x0 ) = 0
thì định lý 3
f ''(x0 ) = 0

2. Trong trường hợp f '(x0 ) = 0 không tồn tại hoặc 
không dùng được.

B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.
Dạng 1: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Bài toán 01: TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH.

Phương pháp giải
Tìm tập xác định D của hàm số f.
Tính f’(x).
Tìm nghiệm của phương trình f’(x) = 0 (nếu có) và tìm các điểm x0 ∈ D
mà tại đó hàm f liên tục nhưng f’(x0) không tồn tại.
Vận dụng định lý 2 (lập bảng xét dấu f’(x) ) hay định lý 3 (tính f’’(x)) để

xác định điểm cực trị của hàm số.
Chú ý: Cho hàm số y = f(x) xác định trên D.
Điểm x = x0 ∈ D là điểm cực trị của hàm số khi và chỉ khi hai điều kiện sau
đây cùng thảo mãn:
• Tại x = x0 đạo hàm triệt tiêu hoặc không tồn tại
• Đạo hàm đổi dấu khi x đi qua x0 .

Các ví dụ
Ví dụ 1 : Tìm cực trị của các hàm số sau:
1. y =

1− x2
x

−x2 + x + 1
2x − 4
Lời giải.
y=

49

2.


1. Tập xác định : D = ¡ \ { 0}
Ta có: y' = −1−

1

< 0 ∀x ∈ D , suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng

x2
xác định và không có điểm cực trị.
Giới hạn : lim y = −∞ , lim y = +∞; lim y = +∞ , lim y = −∞.
x→0−

x→0+

x→−∞

x→+∞

Bảng biến thiên
x

-∞

-

y'

y

+∞

0

+∞

+∞

-∞

-∞

2. Tập xác định : D = ¡ \ { 2}

1
x = 1 , y = − 2
Ta có: y' =
, ∀x ∈ D: y' = 0 ⇔ 
(x − 2)2
x = 3 , y = − 5

2
lim y = +∞ , lim y = −∞.
Giới hạn : lim− y = +∞ , lim+ y = −∞;
−2x2 + 8x − 6

x→2

x→−∞

x→2

x→+∞

Bảng biến thiên
x

-∞

-

y'

y

2

1
0

3

+

+

0

+∞

-

+∞

+∞
-1/2
CT

CÑ
-5/2
-∞

Hàm số đạt cực đại tại x = 3 ,yCĐ = −
x = 1 ,yCT = −

-∞

5
,hàm số đạt cực tiểu tại
2

1
.
2

50


Ví dụ 2 : Tìm cực trị của các hàm số sau:
1. y = −

x3
+ 2x2 − 3x + 1
3

2.

y = ( x – 2) – 3x + 4.

3

Lời giải.
1. Tập xác định : D = ¡

1
x = 1 , y(1) = −

3.
Ta có: y' = −x + 4x − 3 , ∀x ∈ D:y' = 0 ⇔ 
 x = 3 , y(3) = 1
2

3
1
3 1 2
Giới hạn : lim y = lim x  − + − 2 + 3 ÷ = +∞ ;
x→−∞
x→−∞
 3 x x
x 
 1 2 3
1
lim y = lim x3  − + −
+
÷ = −∞
2
x→+∞
x→+∞
 3 x x

x3 
Bảng biến thiên
x

1

-∞

-

y'
y

0

3

+

+∞

0
yCÑ
1

-1/3
yCT

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1và yCT = −

-∞

1
,hàm số đạt cực đại tại x = 3 và
3

yCĐ = 1.
2. Tập xác định : D = ¡
Ta có: y' = 3( x – 2) – 3 , ∀x ∈ D:
3

 x = 1,y(1) = 0
y' = 0 ⇔ 3(x − 2)2 = 3 ⇔ (x − 2)2 = 1 ⇔ 
 x = 3,y(3) = −4
Giới hạn : lim y = +∞ , lim y = −∞
x→+∞

Bảng biến thiên

51

x→−∞

-

+∞


x

-∞

1

+

y'
y

3

-

0

+∞

+

0

+∞

yCÑ
0

yCT
-4

-∞

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 và yCT = −4 ,hàm số đạt cực đại tại x = 1và
yCĐ = 0 .
Ví dụ 3: Tìm cực trị của các hàm số sau:
1
5
1. y = − x4 − x2 +
4
4
Lời giải.
1. Tập xác định : D = ¡

2. y = 2x3 + 3x + 1.

Ta có: y' = −x3 − 2x = −x(x2 + 2) , ∀x ∈ D: y' = 0 ⇔ x = 0,y(0) =
Giới hạn :

5
4

 1 1
5 
lim y = lim x4  − −
+
÷ = −∞;
2
x→−∞
4

x

4x4 

x→−∞

 1 1
5 
lim y = lim x4  − −
+
÷ = −∞
2
x→+∞
x→+∞
 4 x
4x4 
Bảng biến thiên
x

-∞

+

y'

+∞

0

-

0

CÑ

y

5
4

-∞

-∞

Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0 , yCĐ =

5
.
4

2. Tập xác định : D = ¡
Ta có: y' = 6x2 + 3 > 0 ∀x ∈ D , suy ra hàm số đồng biến trên ¡
3
1
3
1
3
3
Giới hạn : lim y = lim x  2 + 2 + 3 ÷ = −∞; lim y = lim x  2 + 2 + 3 ÷ = +∞
x→−∞
x→−∞
x→+∞
x→+∞


x
x 

x
x 
Bảng biến thiên

52


x

-∞

+∞

+

y'

+∞

y
-∞
Ví dụ 4: Tìm cực trị của các hàm số sau:
1. y = −x4 + 2x2 + 3

2. y = x4 – 2x2 −  3

Lời giải.
1. Tập xác định : D = ¡
 x = 0 , y(0) = 3
Ta có: y' = −4x3 + 4x = −4x(x2 − 1), ∀x ∈ D: y' = 0 ⇔ 
 x = ±1 , y(±1) = 4
Giới hạn : lim y = −∞; lim y = −∞
x→−∞

x→+∞

Bảng biến thiên
x

-1

-∞

+

y'

0

-

0

CÑ

y

4

1

0

+

0

+∞

-

CÑ

3

4

CT

-∞

-∞

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0 , yCT = 3.
Hàm số đạt cực đại tại hai điểm x = ±1, yCĐ = 4
2. Tập xác định : D = ¡

 x = 0 , y(0) = −3
Ta có: y' = 4x3 − 4x = 4x(x2 − 1), ∀x ∈ D: y' = 0 ⇔ 
 x = ±1 , y(±1) = −4

2
3

2
3
lim y = lim x4  1−
−
= +∞ ; lim y = lim x4  1−
−
÷
÷ = +∞
2
4
2
x→−∞
x→−∞
x→+∞
x→+∞

x
x 

x
x4 
Bảng biến thiên
Giới hạn :

53


x

-1

-∞

-

y'
y

1

0

+

0

0

-

+∞

+

0

+∞

+∞
CÑ

-3

-4

-4
CT

CT

Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0 , yCĐ = −3 .
Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm x = ±1 , yCT = −4
Ví dụ 5: Tìm cực trị của các hàm số sau:
1.

y = x3 −

3x2
− 6x + 3
2

2.

9 2
x −6
2
Lời giải.
Tập xác định : D = ¡
y = −x3 +


13
x = −1,y(−1) =

Ta có: y' = 3x – 3x – 6 , ∀x ∈ D: y' = 0 ⇔
2

x
=
2,y(2)
=
−
7

3
6
3
3
−
+
Giới hạn : lim y = lim x  1−
÷ = −∞
2

x→−∞
x→−∞
2x x

x3 
2


3 6
3
lim y = lim x3  1−
−
+
÷ = +∞
2
x→+∞
x→+∞
2x x

x3 
Bảng biến thiên
x

-∞

-1

+

y'

y

0

2

-

0

-∞

+
+∞

yCÑ
13/2

+∞

yCT
-7

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 ,yCT = −7 ,hàm số đạt cực đại tại
13
.
2
2. Tập xác định : D = ¡
x = −1, yCĐ =

54


2

Ta có: y' = −3x + 9x ,

 x = 0 , y(0) = −6

y'
=
0
⇔
∀x ∈ D:
 x = 3 , y(3) = 15

2


9
6
lim y = lim x3  −1+
−
÷ = +∞ ;
x→−∞
2x

x3 

Giới hạn :

x→−∞


9
6
lim y = lim x3  −1+
−
÷ = −∞
x→+∞
2x x3 

Bảng biến thiên
x→+∞

x

-

y'
y

0

-∞

0

+∞

3

+

-

0

+∞

yCÑ
15/2
-6
yCT

-∞

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = −6, hàm số đạt cực đại tại
15
.
2
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
x = 3 ,yCĐ =

Bài 1: Tìm cực trị (nếu có) của hàm số sau: y =

x2 − x + 1
x−1

Bài 2: Tìm cực trị (nếu có) của các hàm số sau:

1. y = −x3 − 1,5x2 + 6x + 1
2. y = x3 + 3x2 + 3x + 5
x3
x2
− 3. + 2x + 4
3
2
Bài 3: Tìm cực trị (nếu có) của các hàm số sau:
1. y = −x4 + 2x2 + 1
2. y = −x4 + 2x2 + 1
3. y =

3. y = −0,25.x4 + x3 − 4x + 1

4. y = −x4 + 6x2 − 8x + 1

Bài toán 02: TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ CỦA HÀM SỐ CHỨA GIÁ TRỊ
TUYỆT ĐỐI, CHỨA CĂN THỨC.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm cực trị (nếu có) của các hàm số sau:
4− x
1. y =
2.
4+ x
y = x+ 3 +

55

1
x+1

Lời giải.
1. TXĐ: D = ¡
Nếu x ∈ [0; +∞) thì y =
Nếu x ∈ (−∞;0] thì

4− x
8
⇒ y' = −
< 0 , ∀x ∈ [0; +∞)
4+ x
(4 + x)2

y=

4+ x
8
⇒ y' =
> 0 , ∀x ∈ (−∞;0]
4− x
(4 − x)2

1
1
, y'(0− ) = Vì y'(0+ ) ≠ y'(0− ) nên y'(0) không tồn tại
2
2
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 1
Tại x = 0 thì y'(0+ ) = −


1
x + 3 + x + 1 khi x ≥ −3
1
=
2. y = x + 3 +
1
x+1 
−(x + 3) +
khi x < −3

x+ 1
TXĐ: D = ¡ \ { −1}
1
(x + 1)2 − 1
1
=
Nếu x ≥ −3 thì y = x + 3 +
, ta có: y' = 1−
x+ 1
(x + 1)2
(x + 1)2
(x + 1)2 = 1 x + 1 = ±1  x = 0
⇔
⇔
Và y' = 0 ⇔ 
x > −3
 x > −3
 x = −2

1
3
1
5
+
= ,y'(−3− ) = −1−
=−
Tại x = −3 , ta có: y'(−3 ) = 1−
2
2
4
4
(−3 + 1)
(−3 + 1)
Vì y'(−3+ ) ≠ y'(−3− ) nên y'(−3) không tồn tại
Nếu x < −3 thì y = −(x + 3) +

1
1
< 0 , ∀x < −3
, ta có: y' = −1−
x+1
(x + 1)2

Bảng biến thiên:
x
y'

-∞

-3

-

-2

+

0

-1

-

+∞

0

-

0

+

CÑ
0

y

4

CT

CT

1
Suy ra điểm cực tiểu của hàm số là x = −3 , yCT = − và x = 0, yCT = 4 ;
2
x
=
−
2,
y
=
0.
điểm cực đại của hàm số là
CĐ
Ví dụ 2: Tìm cực trị của hàm số sau: y = x + x2 − x + 1

56


Lời giải.
Hàm số xác định ⇔ x + x2 − x + 1 ≥ 0 ⇔ x2 − x + 1 ≥ −x
∀x ∈ ¡ x ≤ 0
x2 − x + 1≥ 0 − x ≥ 0
⇔
∨ 2
⇔
∨
⇔ x ≥ 0∨ x ≤ 0 ⇔ x∈ ¡

2
x ≥ 0
x ≤ 1
−x ≤ 0
x − x + 1 ≥ (−x)
Vậy tập xác định của hàm số : D = ¡
2x − 1
 x + x2 − x + 1 ' 1+

÷
2 x2 − x + 1 + 2x − 1
 =
2 x2 − x + 1 =
y' = 
2 x + x2 − x + 1 2 x + x2 − x + 1 2 x2 − x + 1. x + x2 − x + 1

1
1− 2x ≥ 0
x ≤
y' = 0 ⇔ 2 x2 − x + 1 = 1− 2x ⇔  2
⇔
2

2
4 = 1
4(x − x + 1) = (1− 2x)

Vậy phương trình y' = 0 vô nghiệm, lại có y' luôn tồn tại ,suy ra hàm số
không có điểm cực trị .
Bài 1: Tìm cực trị (nếu có) của các hàm số sau:

1. y = 1+ x − 1
2. y = x ( x − 3)
Bài 2: Tìm cực trị (nếu có) của các hàm số sau:
x− 2
x2 + 20
1. y =
2. y =
x2 − 4x + 6
x+ 1
Bài 3: Tìm cực trị (nếu có) của các hàm số sau:
1. y = x 4 − x2
2. y = 2x − x2 − 3
Bài 4: Tìm cực trị (nếu có) của các hàm số sau:
1. y =

x ( x − 3)

2. y = ( x + 3) 3 − 2x − x2

Bài 5: Tìm cực trị (nếu có) của các hàm số sau:

3
1. y = x2 − x + 1 + x2 + x + 1
2
2. y =  x + ÷ − x + 4x − 3
2


Bài toán 03: TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.

Các ví dụ

Ví dụ 1 Tìm cực trị (nếu có) của hàm số : y = 2sin2x − 3
Lời giải.
TXĐ: D = ¡
Ta có y' = 4cos2x
y' = 0 ⇔ cos2x = 0 ⇔ x =
y'' = −8sin2x

π
π
+ k ,k ∈ ¢ ,
4
2

π
π
π
 −8
y'' + k ÷ = −8sin  + kπ ÷ = 
2
4
2
 8

57

khi
khi

k = 2n
k = 2n + 1


π
4

π
4



Vậy hàm số đạt cực đại tại các điểm x = + nπ;y  + nπ ÷ = −1 và đạt cực đại tại
x=



π
π π
π
+ ( 2n + 1) ;y  + ( 2n + 1) ÷ = −5
4
2 4
2

Ví dụ 2 Tìm cực trị (nếu có) của hàm số : y = 3 − 2cosx − cos2x
Lời giải.
TXĐ: D = ¡
Ta có: y' = 2sinx ( 2cosx + 1) và y'' = 2cosx + 4cos2x
sinx = 0 ⇔ x = kπ

y' = 0 ⇔ 
cosx = − 1 ⇔ x = ± 2π + k2π

2
3
y''( kπ ) = 2cos( kπ ) + 2cos2( kπ )

y''( kπ ) = 6 > 0 nếu k chẵn, suy ra hàm số đạt cực tiểu tại điểm

x = 2nπ ,n ∈ ¢ và y ( 2nπ ) = 0

y''( kπ ) = 2 > 0 nếu k lẻ, suy ra hàm số đạt cực tiểu tại điểm

x = ( 2n + 1) π ,n ∈ ¢ và y ( 2n + 1) π = 4 .

 2π

2π
y'' ±
+ k2π ÷ < 0 suy ra hàm số đạt cực đại tại điểm x = ±
+ k2π và
3
 3

 2π
 9
y ±
+ k2π ÷ =
 3
 2

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: Tìm cực trị (nếu có) của các hàm số sau:
1. y = 2sin2x − 3

2. y = sin6

x
x
+ cos6
4
4

Bài 2: Tìm cực trị (nếu có) của các hàm số sau:
3
3
 π
2. y = cos x + sin x + 3sin2x
1. y = cosx sinx trên đoạn 0; 
 2
Bài toán 04: TÌM ĐIỂM LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ CỦA SỐ HÀM SỐ

Các ví dụ

Ví dụ 1 Tìm các giá trị của m để hàm số: y = x3 − 3x2 + 2 có điểm cực đại
và điểm cực tiểu nằm ở về hai phía khác nhau của đường tròn

( Cm ) : x2 + y2 − 2mx − 4my + 5m2 − 1= 0 .

Lời giải.
TXĐ: D = ¡

 x = 0 ⇒ y = 2 ⇒ A(0;2)
Ta có : y' = 3x2 − 6x và y' = 0 ⇔ 
 x = 2 ⇒ y = −2 ⇒ B(2; −2)

58


( Cm ) : ( x − m) 2 + ( y − 2m) 2 = 1 có tâm I ( m;2m)

và bán kính R = 1

2

Vì IB = 5m2 + 4m + 8 5 m + 2 ÷ + 36 ≥ 6 > 1 = R ⇒ điểm A nằm trong đường
5
5
5

3
tròn ( C m ) ⇔ IA < 1 ⇔ < m < 1.
5
Ví dụ 2 Cho đồ thị (C) : y = x4 − 6x2 + 2x . Chứng minh rằng (C) có 3 điểm
cực trị phân biệt không thẳng hàng . Viết phương trình đường tròn qua 3
điểm cực trị đó .
Lời giải.
Trước hết ta có y′ = 2(2x3 − 6x + 1) ⇒ y′ = 0 ⇔ 2x3 − 6x + 1 = 0
Xét hàm g(x) = 2x3 − 6x + 1 liên tục trên ¡ và có g(−2).g(−1) = −9 < 0 ,
g(−1).g(1) = −9 < 0 , g(1).g(2) = −15 < 0 . Do đó phương trình g(x) = 0 có ba
nghiệm phân biệt hay hàm số có ba cực trị phân biệt.
Gọi M(x0;y0) là một điểm cực trị nào đó.

1
3
⇒ y0 = x04 − 6x02 + 2x0 = −3x02 + x0 . Suy ra cả ba điểm cực
2
2
3
trị đều nằm trên Parabol y = −3x2 + x nên nó không thẳng hàng.
2
3
9
Mặt khác lại có y02 = (−3x02 + x0)2 = 9x04 − 9x03 + x02
2
4

1

1  9 2 117 2 63
9
= 9x0  3x0 − ÷− 9 3x0 − ÷ + x0 =
x0 − x0 +
2
2 4
4
2
2


Nên có: x03 = 3x0 −

y0  63

9
121 2 63
9 121 1
x0 − x0 + =
 x0 −
÷ − x0 +
4 2
3 2
2
4
2
2
131
121
9
⇔ x02 + y02 +
x0 +
y0 − = 0 .
8
12
2
131
121
9
x+
y − = 0.
Vậy các điểm cực trị nằm trên đường tròn x2 + y2 +
8
12
2

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho hàm số y = x3 − 3x2 + 1. Tìm m để đường thẳng nối hai điểm cực
Suy ra x02 + y02 =

trị của hàm số đã cho cắt đường tròn (T) : x2 + y2 − 4x − 2y + m = 0 một dây
cung có độ dài bằng

4 30
.
5

Bài 2: Cho hàm số y = x3 − 3x2 + 2 có đồ thị là ( C ) . Gọi A ,B là các điểm cực
đại, cực tiểu của đồ thị ( C ) . Viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị

( C)

59

tại 2 điểm M ,N sao cho tứ giác AMBN là hình thoi.


Bài toán 06: TÌM CỰC TRỊ CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ KHÁC

Các ví dụ
Ví dụ 1 Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x = 0 và chứng minh rằng
hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, biết rằng hàm số f ( x) xác định bởi:
 3 1+ xsin2 x − 1

,x≠ 0
f ( x) = 

x
0
, x= 0

Lời giải.
f '( 0) = lim

x→0

f '( 0) = lim

f ( x) − f ( 0)
x

= lim

3

1+ xsin2 x − 1

x→0

x2

,

xsin2 x




2 3
x2  3 1+ xsin2 x + 1+ xsin2 x + 1


sinx
1
f '( 0) = limsinx.
.
=0
2 3
x→0
x
2
2
3 1+ xsin x + 1+ xsin x + 1
x→0

(

)

(

Mặt khác x ≠ 0, ta có :

)

sin2 x

f ( x) =

3

( 1+ xsin x)
2

2

3

2

⇒ f ( x) ≥ 0 = f ( 0) .

+ 1+ xsin x + 1

Vì hàm số f ( x) liên tục trên ¡ nên hàm số f ( x) đạt cực tiểu tại x = 0.
 2
1
x sin , x ≠ 0
Ví dụ 2 Cho hàm số f ( x) = 
. Chứng minh rằng f '( x) = 0 nhưng
x
0
, x= 0

hàm số f ( x) không đạt cực trị tại điểm 0.
Lời giải.
f ( x) − f ( 0)
1
Ta có

= xsin với mọi x ≠ 0.
x
x
1
x = 0 nên lim f ( x) − f ( 0) = 0 . Do đó hàm số
Với mọi x ≠ 0: xsin ≤ x và xlim
→0
x
x→0
x
f ( x) có đạo hàm tại x = 0 và f '( 0) = 0 .
Lấy một dãy xn =

1
1
sin2nπ = 0,∀n ∈ ¡ .
, khi đó f ( xn ) =
2nπ
( 2nπ) 2

Giả sử ( a;b) là một khoảng bất kỳ chứa điểm 0.

60


xn = 0 nên với n đủ lớn x ∈ ( a;b) và do f ( x ) = 0 = f ( 0) ,∀n ∈ ¡ , theo
Vì xlim
n
n
→0

định nghĩa cực trị của hàm số , x = 0 không phải là một điểm cực trị của
f ( x) .

Dạng 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ
Bài toán 01: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ HOẶC KHÔNG CÓ CỰC
TRỊ.
Phương pháp .
Quy tắc 1: Áp dụng định lý 2
• Tìm f '( x)

• Tìm các điểm xi ( i = 1,2,3...) tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục
nhưng không có đạo hàm.
• Xét dấu của f '( x) . Nếu f '( x) đổi dấu khi x qua điểm x0 thì hàm số có cực
trị tại điểm x0 .
Quy tắc 2: Áp dụng định lý 3
• Tìm f '( x)

• Tìm các nghiệm xi ( i = 1,2,3...) của phương trình f '( x) = 0 .
• Với mỗi xi tính f ''( xi ) .

− Nếu f ''( xi ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi .

− Nếu f ''( xi ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi .

Các ví dụ
Ví dụ 1 :
1. Định m để hàm số y =

x2 + mx + 2
không có cực trị.

x−1

2. Cho hàm số: y = ( m − 2) x3 − mx − 2 . Với giá trị nào của m thì đồ thị của
hàm số không có điểm cực đại và điểm cực tiểu.
Lời giải.
1. Hàm số đã cho xác định D = ¡ \ {1}= ( −∞;1) ∪ ( 1; +∞ )
Ta có: y' =

x2 − 2x − m − 2
(x − 1)2

Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi y' = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm
kép , tức phải có: ∆ ' ≤ 0 ⇒ 1+ m + 2 ≤ 0 ⇒ m ≤ −3
Vậy, với m ≤ −3 thì hàm số không có cực trị.
2. Hàm số đã cho xác định trên ¡
Ta có: y′ = 3( m − 2) x2 − m

61


Để hàm số không có cực trị thì phương trình y′ = 0 vô nghiệm hoặc có
nghiệm kép ⇔ ∆ ≤ 0 ⇔ 0 + 4.3m ( m − 2) ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 2

Ví dụ 2 :
1. Định m để hàm số y = (m + 2)x3 + 3x2 + mx − 5 có cực đại, cực tiểu.
2. Tìm m ∈ ¡

để hàm số: y = mx4 + ( m − 1) x2 + 1− 2m chỉ có một điểm cực

trị.

Lời giải.
1. Hàm số đã cho xác định D = ¡
Ta có: y' = 3(m + 2)x2 + 6x + m
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt ,
tức phải có:
m ≠ −2  m ≠ −2
 m ≠ −2
m ≠ −2
⇔
⇔
⇔
⇔
2
∆ ' > 0
9 − 3m(m + 2) > 0 −3m − 6m + 9 > 0 −3 < m < 1
m ≠ −2
Vậy, với 
thì hàm số có cực đại, cực tiểu.
−3 < m < 1
2. Hàm số đã cho xác định D = ¡
x = 0
Ta có y' = 4mx3 − 2( m − 1) x và y' = 0 ⇔ 
2
 2mx + m − 1 = 0 ( *)
Hàm số chỉ có một cực trị khi phương trình y' = 0 có một nghiệm duy nhất
và y' đổi dấu khi x đi qua nghiệm đó .Khi đó phương trình
2mx2 + m − 1 = 0

( *)

vô nghiệm hay có nghiệm kép x = 0

m = 0
m = 0
m ≤ 0

⇔  m ≠ 0
⇔
⇔
 ∆ ' = −2m ( m − 1) ≤ 0  m < 0 ∨ m ≥ 1  m ≥ 1
 
Ví dụ 3: Tìm m∈ ¡

để hàm số y = −2x + 2 + m x2 − 4x + 5 có cực đại

Lời giải.
Hàm số đã cho xác định D = ¡
x− 2
y' = −2 + m
; y" =
2
Ta có:
x − 4x + 5

m

(x

2

)

− 4x + 5

3

.

+ Nếu m = 0 thì y = −2 < 0 ∀x ∈ ¡ nên hàm số không có cực trị.
+ m ≠ 0 vì dấu của y'' chỉ phụ thuộc vào m nên để hàm có cực đại thì
trước hết y" < 0 ⇔ m < 0 . Khi đó hàm số có cực đại ⇔ Phương trình y' = 0
có nghiệm ( 1) .
Cách 1:

62


( 2) .

Ta có: y' = 0 ⇔ 2 ( x − 2) 2 + 1 = m ( x − 2)
Đặt t = x − 2 thì ( 2) trở thành :

t ≤ 0
t ≤ 0


mt = 2 t + 1 ⇔  2
⇔ 2
1 ⇒ ( 1) có nghiệm
2

 m − 4 t = 1 t = 2

m −4
2

(

)

⇔ m2 − 4 > 0 ⇔ m < −2 (Do m < 0 ).
Vậy m < −2 thì hàm số có cực đại.
Cách 2: Với m < 0 hàm số đạt cực đại tại x = x0
⇔ y'( x0 ) = 0 ⇔

m ( x0 − 2)
x02 − 4x0 + 5

x02 − 4x0 + 5

= 2⇔

x0 − 2

=

m
( 1)
2

Với m < 0 thì ( 1) ⇒ x0 < 2 . Xét hàm số : f ( x0 ) =

lim f ( x0 ) = lim

x→−∞

x02 − 4x0 + 5

x→−∞

Ta có f '( x0 ) =

x0 − 2

= −1, lim f ( x0 ) = lim
x→ 2−

−2

( x0 − 2)

Bảng biến thiên :
x

2

x02 − 4x0 + 5

x→ 2−

x0 − 2

,x0 < 2

x02 − 4x0 + 5
x0 − 2

= −∞

< 0,∀x0 ∈ ( −∞;2)

−∞
2

f '( x)

x02 − 4x0 + 5

−

−1

f ( x)

−∞
Phương trình ( 1) có nghiệm x0 < 2 ⇔
Ví dụ 4: Tìm m∈ ¡

để hàm số y =

Parabol ( P ) : y = x2 + x − 4 .

m
< −1 ⇔ m < −2
2

x2 + mx + 2
có điểm cực tiểu nằm trên
x−1

Lời giải.
Hàm số đã cho xác định D = ¡ \ { 1}
Ta có y' =

x2 − 2x − m − 2

( x − 1)

2

,x ≠ 1. Đặt g ( x) = x2 − 2x − m − 2 .

Hàm số có cực đại , cực tiểu khi phương trình g ( x) = 0 có hai nghiệm

63


∆ ' = 1− ( − m − 2) > 0 m + 3 > 0
⇔
⇔ m > −3
phân biệt khác 1 ⇔ 
m ≠ −3

g ( 1) = − m − 3 ≠ 0

(

)

A 1+ m + 3;m + 2 + 2 m + 3 là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số .

(

A ∈ ( P ) ⇔ m + 2 + 2 m + 3 = 1+ m + 3

)

2

+ 1+ m + 3 − 4 ⇔ m = −2

(

)

3
2
2
3
Ví dụ 5: Cho hàm số y = x − 3mx + 3 m − 1 x − m + m ( 1) , m là tham

số. Tìm m để hàm số ( 1) có cực đại, cực tiểu đồng thời thời khoảng cách
từ điểm cực tiểu của đồ thị đến gốc tọa độ O bằng 3 lần khoảng cách từ

điểm cực đại của đồ thị đến O .
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định D = ¡

(

)

2
2
Ta có: y' = 3x − 6mx + 3 m − 1

(

)

y' = 0 ⇔ 3x2 − 6mx + 3 m2 − 1 = 0 ⇔ x2 − 2mx + m2 − 1 = 0 ⇔ x = m − 1 ∨ x = m + 1
àm số có cực đại, cực tiểu ∀m ∈ ¡ .
Điểm cực đại của đồ thị là A ( m − 1;2 − 2m) ;

Điểm cực tiểu của đồ thị là B( m + 1; −2 − 2m) .
OB = 3OA ⇔

( m + 1) 2 + ( −2 − 2m) 2 = 3 ( m − 1) 2 + ( 2 − 2m) 2

2
2
2
2
⇔ ( m + 1) + ( −2 − 2m) = 9( m − 1) + ( 2 − 2m)  ⇔ 2m2 − 5m + 2 = 0



1
⇔ m = 2 hoặc m =
2

Ví dụ 6: Tìm m∈ ¡

để hàm số y =

x2 − ( m + 1) x − m2 + 4m − 2

x−1
thời tích các giá trị cực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định D = ¡ \ { 1}
Ta có y' =

x2 − 2x + m2 − 3m + 3

( x − 1)

2

=

g ( x)

( x − 1)

2

có cực trị đồng

,x ≠ 1 , g ( x) = x2 − 2x + m2 − 3m + 3

Hàm số có cực đại , cực tiểu khi phương trình g ( x) = 0,x ≠ 1
∆
 '> 0
⇔ 1< m < 2
có hai nghiệm phân biệt x1,x2 khác 1. ⇔ 
g ( 1) ≠ 0
Gọi A ( x1;y1 ) ,B( x2;y2 ) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì x1,x2

64


là nghiệm của phương trình g ( x) = 0,x ≠ 1 .
 x = 1− − m2 + 3m − 2 ⇒ y = 1− m + 2 − m2 + 3m − 2
1
1
Khi đó y' = 0 ⇔ 

2
2
 x2 = 1+ − m + 3m − 2 ⇒ y2 = 1− m − 2 − m + 3m − 2

(

)

y1.y2 = ( 1− m) − 4 −m2 + 3m − 2
2

 7 4
y1.y2 = 5m2 − 14m + 9 = f ( m) và f ( m) có đỉnh S ; − ÷
 5 5
7
4
Với 1 < m < 2 , xét f ( m) có m = ∈ ( 1;2) ⇒ min f ( m) = −
m∈( 1;2)
5
5
4
7
khi m =
5
5
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1:
1. Tìm m để hàm số: y = mx3 + 3mx2 − (m − 1)x − 1 có cực trị.
⇒ min y1.y2 = −

2. Tìm m∈ ¡

để hàm số: y = mx4 + ( m − 1) x2 + 1− 2m chỉ có một điểm cực

trị.
1 4
3

x − mx2 + . Xác định m để đồ thị của hàm số đã
2
2
cho có cực tiểu mà không có cực đại.
Bài 3: Tìm m để hàm số sau có cực trị:
1.
x2 + (2m − 1)x + m2 + m − 3
3. y =
3
2
y = x − 3(m − 1)x + 3(2m − 4)x + m
x+ m
Bài 2: Cho hàm số y =

2. y =

x2 + (m − 1)x + 1
mx − 1

4. y =

x2 + mx − 2
mx − 1

3
2
3
Bài 4: Tìm a để các hàm số f ( x) = x − x + ax + 1; g ( x) = x + x2 + 3ax + a . có
3
2

3
các điểm cực trị nằm xen kẽ nhau.
Bài 5: Cho hàm số y = x4 + 4mx3 + 3(m + 1)x2 + 1. Tìm m để:
1. Hàm số có ba cực trị.
2. Hàm số có cực tiểu mà không có cực đại.
Bài 6:

ax2 + bx + ab a,b
(
là hai tham số ,a ≠ 0 .Tìm các giá trị của
ax + b
a,b sao cho hàm số đạt cực trị tại x = 0 và x = 1.

1. Cho hàm số y =

2. Tìm các hệ số a,b,c,d của hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d  sao cho các điểm
A ( 0;2) và B( 2; −2) lần lượt là các điểm cực tiểu và cực đại của đồ thị hàm
số .
Bài toán 02: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ TẠI ĐIỂM .

65


Phương pháp .
Trong dạng toán này ta chỉ xét trường hợp hàm số có đạo hàm
tại x0.
Khi đó để giải bài toán này ,ta tiến hành theo hai bước.
Bước 1. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x0 là y'(x0 ) = 0 , từ điều
kiện này ta tìm được giá trị của tham số .
Bước 2. Kiểm lại bằng cách dùng một trong hai quy tắc tìm cực trị ,để

xét xem giá trị của tham số vừa tìm được có thỏa mãn yêu cầu của bài
toán hay không?
Chú ý:
Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng ( a;b) chứa
điểm x0 , f '( x0 ) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0 .
Nếu f ''( x0 ) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0 .

Nếu f ''( x0 ) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0 .

f '(x0 ) = 0
thì định lý
f ''(x0 ) = 0

Trong trường hợp f '(x0 ) = 0 không tồn tại hoặc 
3 không dùng được.

Các ví dụ

(

)

1 3
x − mx2 + m2 − m + 1 x + 1. Với giá trị nào của
3
m thì hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1.
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định trên ¡
Ta có: y' = x2 − 2mx + m2 − m + 1, y'' = 2x − 2m
Ví dụ 1 : Cho hàm số: y =

Điều kiện cần: y'( 1) = 0 ⇔ m2 − 3m + 2 = 0 ⇔ m = 1 hoặc m = 2
Điều kiện đủ:
Với m = 1 thì y''( 1) = 0 ⇒ hàm số không thể có cực trị.

Với m = 2 thì y''( 1) = −2 < 0 ⇒ hàm số có cực đại tại x = 1 .
Vậy, m = 2 là giá trị cần tìm.
Nhận xét:
• Nếu trình bày lời giải theo sơ đồ sau: Hàm số đạt cực đại tại
 y'(1) = 0
x = 1⇔ 
( ∗) thì lời giải chưa chính xác
 y''(1) < 0
Vì dấu hiệu nêu trong định lí 3 chỉ phát biểu khi y''(x0) ≠ 0 . Các bạn sẽ
thấy điều đó rõ hơn bằng cách giải bài toán sau:
1. Tìm m để hàm số y = x4 + 3mx2 + m2 + m đạt cực tiểu tại x = 0
2. Tìm m đề hàm số y = −x3 + 3(m − 2)x2 + (m − 4)x + 2m − 1 đạt cực đại tại
x = −1.

66


• Nếu ta khẳng định được y''(x0) ≠ 0 thì ta sử dụng ( ∗) được.
ax2 + bx + ab
Ví dụ 2 : Tìm các hệ số a,b sao cho hàm số y =
đạt cực trị tại
ax + b
điểm x = 0 và x = 4 .
Lời giải.
b

Hàm số đã cho xác định trên ∀x ≠ − ,a ≠ 0
a
Ta có đạo hàm y' =

a2x2 + 2abx + b2 − a2b

( ax + b) 2

• Điều kiện cần :
Hàm số đạt cực trị tại điểm x = 0 và x = 4 khi và chỉ khi
 b2 − a2b
=0

 y'( 0) = 0  b2
a = −2
⇔
⇔

2
2
2
16a
+
8ab
+
b
−
a
b
b= 4

 y'( 4) = 0 
=0 
2

( 4a + b)

a = −2
x2 − 4x
⇒
y'
=
• Điều kiện đủ : 
b = 4
( −x + 2) 2

x = 0
y' = 0 ⇔ 
x = 4

Từ bảng biến thiên : hàm số đạt cực trị tại điểm x = 0 và x = 4 .
Vậy a = −2,b = 4 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 3 : Cho hàm số: y = 2x2 − 3(m + 1)x2 + 6mx + m3 . Với giá trị nào của m
thì đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho AB = 2 .
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định trên ¡
Ta có: y′ = 6(x − 1)(x − m)
Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt tức là m ≠ 1 .
Với m ≠ 1, thì đồ thị của hàm số có các điểm cực trị là
A(1;m3 + 3m − 1),B(m;3m2) .
2

2
3
AB = 2 ⇔(m − 1) + (3m − m − 3m + 1) = 2 ⇔m = 0; m = 2 (thoả điều kiện).
Vậy, m = 0; m = 2 là giá trị cần tìm.

Ví dụ 4 : Cho hàm số y =

x2 − 2( m + 1) x + m2 + 4m

. Tìm giá trị của tham số
x+ 2
thực m sao cho hàm số có hai điểm cực trị A , B thỏa mãn:
OA 2 + OB2 = 120.
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định và lien tục trên khoảng ( −∞; −2) ∪ ( −2; +∞ )

67


Ta có: y'( x) =

x2 + 4x + 4 − m2

( x + 2) 2

=

g ( x)

( x + 2) 2

Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi y'( x) = 0 có hai nghiệm phân biệt và
đổi dấu qua mỗi nghiệm tức là g ( x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác −2

∆ ' = m2 > 0
⇒ m ≠ 0.
Nghĩa là phải có: 
2
g ( −2) = m ≠ 0
Khi đó hai điểm cực trị là A ( −2 − m; −2) , B( −2 + m;4m − 2)
uuur
r
2
2 uuu
2
2
OA = ( −2 − m; −2) ⇒ OA 2 = ( −2 − m) + ( −2) , OB = ( −2 + m;4m − 2) ⇒ OB2 = ( −2 + m) + ( 4m − 2)
⇒ OA 2 + OB2 = 18m2 − 16m + 16 = 120 ⇔ m = −2 hoặc m =
m ≠ 0 Vậy, m = −2 hoặc m =

26
thỏa điều kiện
9

26
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
9

1 3
x − mx2 − x + m + 1. Với giá trị nào của m thì đồ

3
thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho AB nhỏ nhất.
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định trên ¡
Ta có: y′ = x2 − 2mx − 1
Ví dụ 5 : Cho hàm số: y =

Ta có: ∆′ = m2 + 1 > 0,∀m ∈ ¡ ⇒hàm số luôn có hai điểm cực trị x1,x2 .
Giả sử các điểm cực trị của hàm số là A(x1;y1),B(x2;y2) .
1
2
2
Ta có: y = (x − m).y′ − (m2 + 1)x + m + 1 ( bạn đọc xem thêm bài toán 03,
3
3
3
dạng toán 03 )
2
2
2
2
⇒y1 = − (m2 + 1)x1 + m + 1 ; y2 = − (m2 + 1)x2 + m + 1
3
3
3
3
 4


4

Suy ra: AB2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 = (4m2 + 4) 1+ (m2 + 1)2  ≥ 4 1+ ÷
9
 9


2 13
2 13
. Dấu "=" xảy ra ⇔m = 0. Vậy, minAB =
khi m = 0.
3
3
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1:
1. Cho hàm số y = x3 − 3(m + 1)x2 + 3m(m + 2)x − m3 − 3m2 + m . Chứng minh
rằng với mọi giá trị của tham số m đồ thị hàm số có hai điểm cực trị và
khoảng cách giữa hai điểm này không đổi
⇒AB ≥

68


2. Gọi (C m ) là đồ thị hàm số y =

x2 + ( m + 1) x + m + 1

, chứng minh rằng với
x+ 1
mọi m , đồ thị (C m ) luôn có cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm
đó bằng 20 .
3. Chứng minh rằng với mọi tham số m hàm số

y = 2x3 − 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1 luôn có cực đại và cực tiểu đông thời
khoảng cách giữa các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số không
đổi.
Bài 2: Tìm m để hàm số:
1. y =

x3
+ (2m − 1)x2 + (m − 9)x + 1 đạt cực tiểu tại x = 2 .
3

2. y = mx3 + 2(m − 1)x2 − (m + 2)x + m đạt cực tiểu tại x = 1 .
3. y =

x2 + mx + 1
đạt cực tiểu tại x = 1.
x+ m

4. y =

x2 + (m − 1)x + 3 − 2m
đạt cực đại tại x = −1.
x+ m

Bài 3:
1. Cho hàm số y = x4 − 2(m2 − m + 1)x2 + m − 1.Tìm m để đồ thị của hàm số
có khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất.
2. Tìm m để đồ thị hàm số: y = x3 − 3x2 + 2 tiếp xúc với đường tròn:
(x − m)2 + (y − m − 1)2 = 5.
3. y = −x3 + 3x2 + 3(m2 − 1)x − 3m2 − 1 (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực
trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ O .

Bài 4: Tìm m để đồ thị hàm số: có 2 cực trị, đồng thời khoảng cách giữa 2
cực trị bằng 2 15 .
Bài 5: Tìm m để đồ thị hàm số: y =

x2 − ( m + 1) x − m2 + 4m − 2

có cực trị
x−1
đồng thời tích các giá trị cực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất.
mx2 − 1
Bài 6: Tìm m để đồ thị hàm số: y =
có hai điểm cực trị A ,B và
x
đoạn AB ngắn nhất.

69