8 TUONG GIAO

TƯƠNG GIAO HAI ĐỒ THỊ
HÀM SỐ
A. CHUẨN KIẾN THỨC

Định lí : Cho hai đồ thị (C) : y  f(x) và (C') : y  g(x) . Số giao điểm của hai
đồ thị (C) và (C’) chính là số nghiệm của phương trình: f(x)  g(x) .
Từ định lí này sẽ dẫn tới hai bài toán giao điểm sau :
Bài toán 1: Biện luận số nghiệm của phương trình: F(x,m)  0 (m là tham
số)
Phương pháp giải:
* Ta biến đổi phương trình F  x,m  0 về dạng f  x  g  m , trong đó ta đã

biết đồ thị (C) của hàm số y  f  x hoặc có thể dễ dàng vẽ được
* Để biện luận số nghiệm của phương trình, ta chuyển về biện luận số giao
điểm của (C) và đường thẳng song song với Ox: y  g  m
Bài toán 2: Biện luận số giao điểm của hai đồ thị (C) : y  f(x) và
(C') : y  g(x)
Phương pháp giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’):
f(x)  g(x) () .

B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.
Dạng 1: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CẮT TRỤC HOÀNH.
Bài toán 01: ĐỒ THỊ CẮT TRỤC HOÀNH TẠI 1,2,3,4 ĐIỂM PHÂN BIỆT.

Các ví dụ

Ví dụ 1 :
Định m để đồ thị của hàm số y  x3  mx2  2m cắt trục Ox tại điểm duy
nhất.
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định D  �

Ta có: y� 3x2  2mx  x(3x  2m)
Khi m = 0 thì y� 3x2 �0 � hàm số đồng biến trên � � thoả yêu cầu bài
toán.
2m
Khi m �0 thì hàm số cho có 2 cực trị x1  0 , x2 
.
3
Do đó đồ thị cắt Ox tại duy nhất 1 điểm khi y(x1).y  x2   0
�
4m3 �
� 2m �
2m 
� 0
�
27 �

211


�
m �0
� 2m2 �
�
� 4m �
1
� 0 � � 3 6
3 6

 m
� 27 �

�
� 2
2
2

� 3 6 3 6�
Vậy, với khi m ��

;
�thì đồ thị của hàm số cắt Ox tại điểm duy
� 2
2 �
nhất.
Ví dụ 2 : Định m để đồ thị của hàm số y  x3  3m2x  2m tiếp xúc trục
Ox tại hai điểm phân biệt.
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định D  �
Để đồ thị của hàm số tiếp xúc trục hoành hai điểm phân biệt thì đồ thị
của hàm số
phải có 2 điểm cực trị  y �
 0 có 2 nghiệm phân biệt, tức là 3x2  3m2  0
có 2
nghiệm phân biệt  m �0
Với m �0 thì y'  0 có

2

nghiệm

x  �m và

y(m)  2m3  2m,

y(m)  2m3  2m
Đồ thị của hàm số tiếp xúc trục Ox tại hai điểm phân biệt � y( m)  0
hoặc
y(m)  0 .
Với y(m)  0 � 2m3  2m  0 � m  0 (loại)
Với y(m)  0 � 2m3  2m  0 � m  0 hoặc m  �1
Vậy, với m  �1thỏa mãn bài toán.
Ví dụ 3 : Định m để đồ thị của hàm số y  x3  mx2  m cắt trục Ox tại
ba điểm phân biệt.
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định D  �
Đồ thị của hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt khi đồ thị của hàm
số có hai cực trị đồng thời hai giá trị cực trị trái dấu.
�
x  0 � y  m
�
2
Ta có: y'  3x  2mx và y'  0 � � 2m
4 3
x
�y
m m
27
� 3
Hàm số có hai cực trị � m �0
�2m �
�4 3

�
Hai giá trị cực trị trái dấu � y(0).y � � 0 �  m .� m  m � 0
�3 �
�27
�
� m2.(4m2  27)  0 � 4m2  27  0 (m �0) � m 

212

3 3
2


Vậy, với m 

3 3
đồ thị của hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt
2

Ví dụ 4 : Định m để đồ thị của hàm số y  x4  mx2  m  1 cắt trục Ox tại
bốn điểm phân biệt.
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định D  �
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với trục Ox :
x4  mx2  m  1  0 (1)
Đặt t  x2 , t �0 , khi đó: (1)  t2  mt  m  1  0 (2)  t  1 hoặc t  m  1
Đồ thị của hàm số cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt khi (1) có 4 nghiệm
phân biệt  (2) có 2 nghiệm dương phân biệt  0  m  1 �1 � 1 m �2 .
Ví dụ 5 : Tìm m để đường thẳng y  mx  1 cắt đồ thị  C  :

y  2x3  6x2  1 tại ba điểm phân biệt A, B,C sao cho A  0;1 và B là trung
điểm của AC .
Lời giải.
Đường thẳng y  mx  1 cắt  C  tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi
phương trình 2x3  6x2  1 mx  1 có ba điểm phân biệt





� x 2x2  6x  m  0 có ba nghiệm phân biệt � 2x2  6x  m  0 có hai
nghiệm phân biệt x �0
� 9
�
'  0
�
9  2m  0 �m 
�
�� 2
��
��
2
m �0
2.0  6.0  m �0 �
�
�
m
�
0
�

Với điều kiện

 

 

thì đường thẳng y  mx  1 cắt đồ thị

phân biệt A  0;1  , B,C .

 C

ba điểm

�
x  2x1
�2
� x2  2x1  1
Vì B là trung điểm của AC nên có: �mx2  1 1
 mx1  1
�
�
2
�
x x 3
�1 2
Theo định lý Vi – et , ta có: �
m  2
x1.x2 
�

�
2
1
2




Từ
và
suy ra m  4
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1:
1. Cho hàm số y  x3  mx  2 . Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành
tại điểm duy nhất .

213


2. Cho hàm số y  2x3  3(m  1)x2  6mx  2 . Tìm m để đồ thị của hàm số
cắt trục hoành tại điểm duy nhất .
Bài 2:
1. Định m để đồ thị của hàm số y  x3  3x2  (2m  1)x  4m  2 tiếp xúc
trục Ox tại hai điểm phân biệt.
2. Cho hàm số y  x4  2m2x2  m4  2m . Chứng minh đồ thị của hàm số
luôn cắt trục Ox tại ít nhất hai điểm phân biệt, với mọi m  0.
Bài 3: Tìm m�� để:
1. Hàm số y  x3  3m2x  2m có đồ thị là  C m  tiếp xúc Ox tại đúng 2 điểm
phân biệt.
Bài 4: Gọi  C m  là đồ thị của hàm số y  x4  2(m  1)x2  m2  3m . Tìm m để

 Cm 

và trục hoành:
1. Có 4 điểm chung phân biệt.
3. Có hai điểm chung
2. Có 3 điểm chung.
4. Không có điểm chung.
Bài toán 02: ĐỒ THỊ CẮT TRỤC HOÀNH TẠI 2,3,4 ĐIỂM PHÂN BIỆT
THỎA MÃN HOÀNH ĐỘ CHO TRƯỚC.

Các ví dụ









3
2
2
2
Ví dụ 1 : Cho hàm số y  x  2 m  1 x  m  4m  1 x  2 m  1 , có đồ

thị là  C m  . Tìm m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm
phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3.
Lời giải.

Số giao điểm của đồ thị đã cho với trục hoành là số nghiệm của phương
trình :













x3  2 m  1 x2  m2  4m  1 x  2 m2  1  0 �  x  2 �
x2  2mx  m2  1 � 0
�
�

 

� x  2 hoặc f(x)  x2  2mx  m2  1  0
Để đồ thị đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ nhỏ
hơn 3 khi và chỉ khi phương trình   có 3 nghiệm phân biệt có hoành độ
nhỏ hơn 3 tức là phải có f(x)  0 có 2 nghiệm phân biệt khác 2 và có
hoành độ nhỏ hơn 3.
f(x)  0 2 nghiệm phân biệt khác 2
2
�

f(2)
�
0 �
� m 4m 3 0
��۹�
m 2 7
�
� 2
'  0
2m  1  0
�
�
�
Với m �2 � 7 thì f(x)  0 có hai nghiệm x1,x2 thỏa x1  x2  3
�
�
x x  3 x1  x2   9  0
 3  x1  3  x2   0
�
�
� �1 2
Nên có hệ : �
 3  x1   3 x2   0 �x1  x2  6
�

214


�
x x  m2  1

�
Theo định lý viét, ta có �1 2
x1  x2  2m
�
Do đó ta có
�
�
�
 m2  1 3 2m  9  0 �
3  17  m  3  17
m2  6m  8  0 �
�
��
��
�
m  3
m  3
2m  6
�
�
�
� 3  17  m  3  17 . Đối chiếu điều kiện m �2 � 7 , thu được



 



m � 3  17;3  17 \ 2 � 7



 



Vậy, với m � 3  17;3  17 \ 2 � 7 thỏa đề bài.
Ví dụ 2 : Cho hàm số y  x4  2(m  1)x2  2m  1 ,tìm m để đồ thị của hàm
số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn

3

Lời giải.
Số giao điểm của đồ thị đã cho với trục hoành là số nghiệm của phương
trình :
x4  2(m  1)x2  2m  1  0  1
Đặt t  x2 ,t �0 thì  1 trở thành: f(t)  t2  2(m  1)t  2m  1  0 .

Đồ thị của hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn

3

�
0 t  t  3
� f  t có 2 nghiệm phân biệt t1, t2 sao cho: � 1 2
0  t1  3 �t2
�
�
� m2  0

�
� m2  0
�
�
f(3)  4  4m �0
�
�
1
��
f(0)  2m  1  0 hoặc �
, nghĩa là phải có: m   hoặc
2
S  2(m  1)  0
�
�
S  2(m  1)  3
�
�
P  2m  1  0
�
m �1
1
Vậy, với m   hoặc m �1 thỏa mãn bài toán.
2
1 3
2
x  mx2  x  m 
cắt trục
3
3

hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 , x3 thỏa mãn
Ví dụ 3 : Định m để đồ thị của hàm số y 

x12  x22  x32  15
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định D  �
1 3
2
x  mx2  x  m   0
3
3
x2  1 3m x  3m  2� 0
� x3  3mx2  3x  3m  2  0 � (x  1) �
� 
�

Phương trình hoành độ giao điểm:

(1)

215


� x  1 hoặc g(x)  x2  (1 3m)x  3m  2  0 (2)
Đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt � (1) có ba
nghiệm phân biệt � (2) có hai ngiệm phân biệt khác 1, tức phải có hệ:
�
3m2  2m  3  0,m
�  (1 3m)2  4(3m  2)  0 �
�

�۹�
m 0 (a)
�
g(1)  6m �0
�
�m �0
Giả sử x3  1; x1, x2 là nghiệm của (2). Ta có: x1  x2  3m  1; x1x2  3m  2 .
Khi đó: x12  x22  x23  15 � (x1  x2)2  2x1x2  1 15
� (3m  1)2  2(3m  2)  14  0 � m2  1  0 � m  1�m  1 (b)
Từ (a) và (b) ta có gía trị cần tìm là: m  1 hoặc m  1.
Ví dụ 4. Hàm số y  x3  2(m  1)x2  (5m  2)x  2m  4 (1) , m là tham số .
Gọi (C m ) là đồ thị của hàm số (1) . Tìm m để (C m ) cắt trục hoành tại ba
điểm phân biệt A ,B,C sao cho :
1. A là trung điểm của đoạn BC
2. B,C có hoành độ nhỏ hơn 1.
3. BC có độ dài nhỏ
nhất.
Lời giải.
Phương trình hoành độ giao điểm của (C m ) và Ox.
x3  2(m  1)x2  (5m  2)x  2m  4  0 () � (x  2)(x2  2mx  m  2)  0
� x  2, g(x)  x2  2mx  m  2  0
(C m ) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt A ,B,C � Phương trình () có ba
nghiệm phân biệt � phương trình g(x)  0 có hai nghiệm phân biệt khác 2 .
2
�
�
m ��
� 1� 7
�
'g  0

�
2
�
m2  m  2  �
m  �  0 �
���۹
m
.
�
�
�
2
� 2� 4
3
g(2) �0 �
�m �
�
3
�
4  4m  m  2 �0
�
1. A là trung điểm của đoạn BC
Vì ba điểm A ,B,C thuộc trục hoành do đó A là trung điểm của BC
x  xC
2
2m
� xA  B
� 2
� m  2 ( thỏa mãn điều kiện m � ).
3

2
2
B,C
2.
có hoành độ nhỏ hơn 1.
Gọi x1,x2 là hoành độ của B,C , cũng là nghiệm phương trình g(x)  0
Theo bài toán, ta có:

x1  1 �
x  1 0 �
x  1 x2  1  0
�
� �1
� �1
�
x2  1 �
x2  1  0 �
(x1  1)(x2  1)  0
�

�
x x 2
�
2m  2
�
m1
� �1 2
��
��
� m  1

x1x2  (x1  x2)  1  0
m  2  2m  1  0 �
m  1
�
�
Vậy, m  1 là giá trị cần tìm.
Cách khác:

216


Hai nghiệm của g(x)  0 là x1  m  m2  m  2 , x2  m  m2  m  2 .
�x1  1
� x2  1 � m  m2  m  2  1 � m2  m  2  1 m
Vì x1  x2 nên �
x

1
�2
�
m2  m  2 �0
�
m ��
�
�
�
��
1 m  0
��
m  1 � m  1.

� 2
�m  1
2
m  m  2  m  2m  1 �
�
3. BC có độ dài nhỏ nhất.
2

� 1� 7
BC  x1  x2  2 m2  m  2  2 �
m  �  � 7.
� 2� 4
1
1
2
BC  7 � m   0 � m  (thỏa điều kiện m � ).
2
2
3
Chú ý. Ta cũng có thể dùng định lí Vi-et để tính BC như sau
2

BC2  x1  x2  (x1  x2)2  4x1x2  4m2  4(m  2)  4(m2  m  2) .
ÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1. Cho hàm số y  x4  2 m  1 x2  2m  1 có đồ thị là  C m  , m là tham
số. Tìm m để đồ thị

 Cm 

cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt đều có

hoành độ nhỏ hơn 3.
Bài 2. Cho hàm số y  x4  2mx2  m  3 ,xác định m để đồ thị hàm số cắt
trục Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ thoả mãn x1  x2  x3  1  2  x4 .
Bài 3: Cho hàm số y = x3  3x2  (m  2)x  m  2 ( m là tham số ) (1).Gọi

 Cm  là đồ thị của hàm số (1). Tìm m để
1.  C m  cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt .
2.  C m  cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt trong đó có hai điểm có
hoành độ dương.
Bài 3: Tìm m để đồ thị hàm số :
1. y  x3  (4m  3)x2  (m  2)x  3m có hai cực trị trái dấu.

2. y  x3  3(m  1)x2  3mx  m  1 cắt Ox tại ba điểm phân biệt trong đó có
ít nhất một điểm có hoành độ âm.
3. y  x4 –  3m  2 x2  3m tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn
2.
4. y  x4  2mx2  m2  1 (Cm) cắt Ox tại bốn điểm phân biệt có hoành độ
nhỏ hơn 2.
Bài 4: Tìm m để đồ thị hàm số :

217


1. y  x3  3mx2  (3m  1)x  6m  6 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có
hoành độ x1,x2 ,x3 thỏa x12  x22  x23  x1x2x3  20
2. y  x3  2x2  (3m  1)x  m  3 cắt đường thẳng d : y  (1 m)x  m  5 tại
ba điểm phân biệt có hoành độ x1  x2  1 x3 .
3. y  x4  (3m  2)x2  3m (Cm) cắt đường thẳng y  1 tại bốn điểm phân

biệt có hoành độ x1,x2 , x3 , x4 thỏa : x12  x22  x32  x42  x1x2x3x4  4 .
Bài 5: Tìm m để đồ thị (C m ) y  x3  (2m  3)x2  (2m2  m  9)x  2m2  3m  7
cắt trục hoành tai ba điểm phân biệt ,trong đó có hai điểm có hoành độ lớn
hơn 1 và khoảng cách giữa hai điểm này là lớn nhất.
Bài 6:
1. Tìm m�� để đồ thị  C m  : y  x3  3mx2  3x  3m  2 cắt trục Ox tại 3
điểm phân biệt có hoành độ là x1 ,x2 ,x3 thỏa mãn : x12  x22  x32 �15 .
2. Tìm m để hàm số y  x4  4mx2  4m cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt
M , N , P, Q ( xM  xN  xP  xQ ) sao cho MQ  2NP .

Bài 7: Gọi (C m ) là đồ thị của hàm số y  x4  (3m  1)x2  2m2  2m  12 , m là
tham số .
1.Tìm m để (C m ) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt trong đó có ba điểm
có hoành độ nhỏ hơn 1 và một điểm có hoành độ lớn hơn 2.
2. Tìm m để (C m ) và trục Ox chỉ có hai điểm chung B,C sao cho tam giác
ABC đều với A(0;2).
Bài toán 03: ĐỒ THỊ CẮT TRỤC HOÀNH TẠI 3,4 ĐIỂM PHÂN BIỆT CÓ
HOÀNH ĐỘ LẬP CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN.

Phương pháp giải

1. Tìm điều kiện để đồ thị (C): y  ax3  bx2  cx  d (a �0) cắt trục hoành tại 3
điểm phân biệt có hoành độ tạo thành một cấp số cộng.
(C) cắt trục hoành nên có: ax3  bx2  cx  d  0 ()
x1,x2 ,x3 lập thành một cấp số cộng  phương trình () có 3 nghiệm
x1,x2 ,x3 thỏa mãn x1  x3  2x2 (1)
Khi đó: ax3  bx2  cx  d  a(x  x1)(x  x2)(x  x3)
 a�
x3  (x1  x2  x3)x2  (x1x2  x2x3  x3x1)x  x1x2x3 �
�

�(2)
Từ (1) và (2) suy ra x2  

b
3a

b
vào () để suy ra điều kiện cần tìm.
3a
Chú ý: Đây chỉ là điều kiện cần nên phải thử lại kết quả tìm được.
Thế x2  

218


2. Tìm đièu kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành
độ tạo thành một cấp số nhân.
Giả sử () có 3 nghiệm x1,x2 ,x3 lập thành cấp số nhân  phương trình ()
có 3
nghiệm x1,x2 ,x3 thỏa mãn x1x3  x22 (3) .
Từ (3) và (2) suy ra  x32  

d
là 1 nghiệm của () .
a

d
vào () để suy ra điều kiện cần tìm.
a
Chú ý: Đây chỉ là điều kiện cần nên phải thử lại kết quả tìm được.

Thế x2  3 

3. Tìm điều kiện để đồ thị (C):

y  ax4  bx2  c (a �0) cắt trục hoành tại 4

điểm phân biệt
có hoành độ lập thành một cấp số cộng
 ax4  bx2  c  0 (1) có 4 nghiệm phân biệt  at2  bt  c  0 (t  x2) (2) có 2
nghiệm dương phân biệt t1,t2 (giả sử t1  t2 )  1

Khi đó các nghiệm của (1) là:  t2 ;  t1 ; t1 ; t2 .
Vì  t2 ;  t1 ; t1 ; t2 lập thành cấp số cộng nên



t2  t1  t1   t1

� t2  9t1  2



Giải điều kiện:  1 , 2

Các ví dụ
Ví dụ 1 :
1. Định m để đồ thị của hàm số y  x3  3x2  9x  m cắt trục hoành tại ba
điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 , x3 lập thành cấp số cộng.





3
2
2
2
2. Cho hàm số y  x   4m  5 x  3m  12m  8 x  7m  8m có đồ thị

 Cm  . Với

m là tham số thực. Tìm m để  C m  cắt trục hoành tại ba điểm
phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
Lời giải.
1. Hàm số đã cho xác định D  �
Phương trình hoành độ giao điểm: x3  3x2  9x  m  0 ()
Giả sử đồ thị của hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ
x1,x2 ,x3 (x1  x2  x3) thì x1,x2 ,x3 là nghiệm của phương trình () .
Khi đó: x3  3x2  9x  m  (x  x1)(x  x2)(x  x3)
 x3  (x1  x2  x3)x2  (x1x2  x2x3  x3x1)x  x1x2x3 � x1  x2  x3  3 (1)
Do x1,x2 ,x3 lập thành một cấp số cộng � x1  x3  2x2 (2) .
Thế (2) vào (1) ta có : x2  1.

219


Thay x2  1 vào phương trình () , tìm được m = 11.
Với m = 11 thì phương trình ()
� x3  3x2  9x  11  0 � (x  1)(x2  2x  11)  0 , phương trình này có 3 nghiệm
x1  1 2 3 , x2  1 , x3  1 2 3 thỏa mãn điều kiện x1  x3  2x2

Vậy, m = 11 thì đồ thị của hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có
hoành độ x1,x2 ,x3 lập thành cấp số cộng có công sai d  2 3
2. Hàm số đã cho xác định D  �
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên �.
Hoành độ giao điểm của trục hoành và  C m  là nghiệm của phương trình





x3   4m  5 x2  3m2  12m  8 x  7m2  8m  0 �  x  m �
x2  3m  5 x  7m  8� 0
� 
�

� x  m hoặc g  x  x2   3m  5 x  7m  8  0

Để  C m  cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình
g  x

có hai nghiệm phân biện khác m tức phải có:

�
1 17
�m  1
2
�
�
�
0

9m  2m  7  0
�
�
��
�� 2
 
�
g  m �0
7
1 17
�
2m2  2m  8 �0 �
�
�  m�
9
2
�
Với điều kiện   thì  C m  cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành
độ x1, x2 , x3 lập thành một cấp số cộng.
Để thuận tiện trong việc tính toán, giả sử các nghiệm lập thành cấp số
cộng của phương trình hoành độ là x0  d, x0 , x0  d với d là công sai. Khi
đó đẳng thức sau luôn đúng





x3   4m  5 x2  3m2  12  8 x  7m2  8m   x  x0  d   x  x0   x  x0  d 
�
4m  5  3x0

3
�
�4m  5 � 4m  5 7m2  4m  1
� 2
��
3m  12m  8  3x02  d 2 � 7m2  8m  �
.
�
3 �
3
3
�
� 2
7m  8m  x03  x0d2
�
11
� 10m3  51m2  6m  55  0 � m   hoặc m  5 hoặc m  
10
1 17
7
1 17
�m  1 hoặc  m �
2
9
2
11
Vậy m  1 hoặc m  5 hoặc m  
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
10
Kết hợp với điều kiện

220


Ví dụ 2 : Định m để đồ thị của hàm số y  x4  2(m  2)x2  2m  3 cắt
trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 , x3 ,x4 lập thành cấp
số cộng.
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định D  �
Phương trình hoành độ giao điểm:  x4  2(m  2)x2  2m  3  0 (1)
Đặt t  x2 ,t �0 thì (1) trở thành g(t)   t2  2(m  2)t  2m  3 (2)
Đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ
x1, x2 , x3 ,x4 � (1) có bốn nghiệm phân biệt x1,x2 ,x3,x4 (x1  x2  x3  x4)
� (2) có hai nghiệm dương phân biệt t1,t2 (t1  t2 ) , tức lá phải có :
�
�
 '  (m  2)2  2m  3  0 �
(m  1)2  0 �
3
�
�
�
�m  
S  2(m  2)  0
��
m  2
��
2  
�
�

�
�
m
�

1
P  2m  3  0
3
�
�
�
m 
�
2
�
t1  t2  2(m  2) (a)
Theo định lí Viet, ta có: �
.
t1t2  2m  3
(b)
�
Khi đó phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt:
x1   t2  x2   t1  x3  t1  x4  t2 .
Ta có: x1,x2 ,x3 ,x4 lập thành một cấp số cộng � x2  x1  x3  x2  x4  x3
�  t1  t2  t1  t1  t2  t1 � t2  9t1 (c)
1
9
Từ (a) và (c), ta có: t1  (m  2), t2  (m  2) .
5
5

1
9
Thế vào (b), ta được: (m  2). (m  2)  2m  3 � 9m2  14m  39  0
5
5
13
� m 
hoặc m  3 (thỏa   ).
9
13
Vậy, với m  
hoặc m  3 thỏa mãn bài toán
9
Ví dụ 3 :
1. Định m để đồ thị của hàm số y  x3  3mx2  (m  1)x  8 cắt trục hoành
tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 , x3 lập thành cấp số nhân.

2. Cho hàm số y  x3   3m  1 x2  2 3m  1 x  8. Tìm m để  C m  cắt trục
hoành tại ba điểm phân biệt lập thành một cấp số nhân.
Lời giải.
1. Hàm số đã cho xác định D  �

221


Phương trình hoành độ giao điểm:

x3   2m  5 x2  14mx  8  0 ()

Đk cần: Giả sử đồ thị của hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ

x1;x2;x3
lần lượt lập thành cấp số nhân.

Khi đó ta có: x3   2m  5 x2  14mx  8  (x  x1)(x  x2)(x  x3)
�
x1  x2  x3  2m  5
�
x1x2  x2x3  x1x3  14m
Suy ra: �
�
x1x2x3  8
�
x1;x2;x3 lần lượt lập thành cấp số nhân � x1x3  x22 � x23  8 � x2  2
x2  2

Với

là

nghiệm

của

phương

trình

() ,

nên

có:

2   2m  5 2  14m.2  8  0
3

2

hay m  1
Với m  1 thay vào () ta được: x3  7x2  14x  8  0
�  x  1  x  2  x  4  0 � x  1 hoặc x  2 hoặc x  4 thấy thỏa mãn.
Vậy, m  1 thỏa mãn đề bài.
2. Hàm số đã cho xác định D  �
Cách 1: Hoành độ giao điểm của trục hoành và  C m  là nghiệm của
phương trình
 x3   3m  1 x2  2 3m  1 x  8  0

Giả sử phương trình có ba nghiệm lập thành một cấp số nhân là x1, x2 , x3
với x1x3  x22.  1
Khi đó: x3   3m  1 x2  2 3m  1 x  8    x  x1  x  x2   x  x3   2
Phân tích vế trái trở thành x3   x1  x2  x3  x2   x1x2  x2x3  x3x1 x  x1x2x3
�
3m  1  x1  x2  x3
�
2 3m  1  x1x2  x2x3  x3x1
Phương trình  2 xảy ra � �
�
8  x1x2x3
�

Từ  1 ta có 8  x1x2x3  8  x32 � x2  2 � x1  x3  3m  1 nên x1, x3 là nghiệm
của phương trình t2   3m  1 t  4  0 và x1, x3 �2 tức là có hệ:
5
�3m  1 2  4.4  0
�
m
 3m  5  3m  3  0 � �
�
�


�
�
�
�
� 3
5  3m �0
4   3m  1 2  4 �0 �
�
m  1
�
�
Cách 2:
 x3   3m  1 x2  2 3m  1 x  8  0   2  x �
x2  3 m  1 x  4�
�
�

222

Do đó x  2 và g  x  x2  3 m  1 x  4  0 phải có hai nghiệm phân biệt
khác 2 và tích hai nghiệm luôn bằng 4.
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: Cho hàm số y  x4  2 m  1 x2  2m  1 có đồ thị là  C m  . Định m để
đồ thị  C m  cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp
số cộng.
Bài 2: Gọi  C m  là đồ thị của hàm số y  x4  (3m  2)x  2m2  5m  1 , m là
tham số . Tìm m để  C m  cắt đường thẳng (d) : y - 2 = 0 tại 4 điểm phân
biệt
1. Có hoành độ lập thành một cấp số cộng.
2. Có hoành độ lớn hơn – 4 .
Bài 3: Tìm m để đồ thị hàm số :
1. y  x3  3x2  (4m  1)x  2m2  3 cắt Ox tại ba điểm A ,B,C sao cho
AB  BC .
2. y  x4  2mx2  2m  3 cắt trục hoành tại bốn điểm A ,B,C,D sao cho
AB  BC  CD .
3. Cho hàm số y  x3  px2  pqx  q3 có đồ thị là (C) , với p,q là các số thực
cho trước thỏa mãn p  3q  0 . Chứng minh rằng (C) cắt trục hoành tại ba
điểm có hoành độ lập thành một cấp số nhân.
4. y  x4 – 10mx2  6m  3 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành
độ lập thành một cấp số cộng.

Dạng 2: TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ.
Phương pháp .
� Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị  C  : y  f  x và

 C' : y  g  x

là : f  x  g  x

 * .

� Biện luận số nghiệm của phương trình  * , số nghiệm phương trình  *

là số giao điểm của  C  và  C' .
Bài toán 01:
HAI ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CẮT NHAU TẠI 2,3,4 ĐIỂM PHÂN BIỆT.

Các ví dụ
Ví dụ 1 : Định m để đường thẳng (d): y  mx  2m  4 cắt đồ thị (C) của
hàm số y  x3  6x2  9x  6 tại ba điểm phân biệt.
Lời giải.
Phương trình hoành độ giao điểm: x3  6x2  9x  6  mx  2m  4

223


� x3  6x2  9x  2  m(x  2) � (x  2)(x2  4x  1)  m(x  2)  0
� (x  2)(x2  4x  1 m) (1) � x  2 hoặc g(x)  x2  4x  1 m  0 (2)
Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có
�
'  m  3 0
� m  3
hai nghiệm phân biệt khác 2. � �
g(2)   m  3 �0
�
Vậy, với m  3 thì (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt.
Ví dụ 2 : Định m để đường thẳng d : y  x  1 cắt đồ thị (C)

y  4x3  6mx2  1tại 3 điểm A(0; 1), B, C phân biệt sao cho B, C đối xứng
nhau qua đường phân giác thứ nhất.
Lời giải.
Phương trình hoành độ giao điểm: 4x3  6mx2  1 x  1 � x  0 hoặc
4x2  6mx  1  0 (1)
d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C  (1) có 2 nghiệm phân biệt
2
2
khác 0, tức là phải có: m   hoặc m  (2)
3
3
Khi đó giả sử B(x1;  x1  1), C(x2; x2  1) .
x1  y2 �
x1  x2  1
�
B, C đối xứng nhau qua đường thẳng y  x  �
 �
x2   x1  1
�y1  x2 �
3
2
 x1  x2  1 m  1 � m  (không thoả (2) ).
2
3
Vậy, không có giá trị m thoả .
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1. Cho hàm số y  x3 – 3x2  1 có đồ thị là  C  . Tìm m để đường thẳng

  :

y  (2m  1)x – 4m – 1 cắt đồ thị  C  tại đúng hai điểm phân biệt.

Bài 2. Cho hàm số y  x3  3mx2  3 m  1 x  2 . Tìm m để đồ thị hàm số cho
cắt đường thẳng () : y  6x  2 tại 3 điểm phân biệt A(0,2), B, C sao cho:
uuu
r uuur
AB.AC. 1221  444BC
Bài 3. Cho hàm số y  x4  2m2x2  1 . Chứng minh rằng đường thẳng

y  x  1 luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của
m.
Bài 4: Tìm m để đồ thị hàm số :
1. y  x3  3x2  9x  m cắt Ox tại ba điểm phân biệt.

224


2. y  x3  3x2  4 và  d  là đường thẳng đi qua điểm I  1;2 của  C  và có hệ
số góc là m cắt  C  tại ba điểm phân biệt I, M , N sao cho tam giác AMN
vuông cân tại A  2; 1

3. y  x3  3mx2  3m(m  2)x  m3  3m2  m cắt parabol y   – 3x2 tại ba điểm
phân biệt.
4. Tìm tham số m sao cho đồ thị  C  : y  x3  3x2 và  H m  :

 m  1 x  m  35

cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.
x1
Bài toán 02: HAI ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CẮT NHAU TẠI 2,3,4 ĐIỂM

PHÂN BIỆT THỎA HOÀNH ĐỘ CHO TRƯỚC.
y

Các ví dụ

Ví dụ 1: Giả sử đường thẳng  d  : y  x  10  3m cắt đồ thị  C  của hàm số
y  x3  3mx2  9x  1 tại 3 điểm phân biệt A , B, C có hoành độ lần lượt
x1,x2 ,x3 . Tìm m để x12  x22  x32 �11
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định trên �
Phương trình hoành độ giao điểm của  C  với đường thẳng  d  là
x3  3mx2  8x  3m  9  0 �  x  1 �
x2  1 3m x  9  3m� 0  1
� 
�

� x  1 ( giả sử x3  1 ) hoặc x2   1 3m x  9  3m  0  2 .

Để đường thẳng  d  cắt  C  tại 3 điểm phân biệt thì phương trình  1 có 3
nghiệm phân biệt � phương trình  2 có 2 nghiệm phân biệt khác 1, tức
là phải có:
� �
7 � �5
�
m ��
�;  ��� ; ��
2
�
�
�

   1 3m  4 9  3m  0 � �
3 � �3
� 3
��
�
11
1 1 3m  9  3m �0
�
�
�
m�
�
6
�
�
x1  x2  3m  1
Với điều kiện  3 , phương trình  2 có �
( theo định lý Vi –
x1x2  9  3m
�
et )
2
2
x12 �
x��
2 x3 11

1
 1
 3m�

2

2��
 9 3m

11

m2 3

m � 3; 3�
�
�

�5
�
Đối chiếu điều kiện, suy ra m �� ; 3�là giá trị cần tìm.
�3
�

225


2mx  5
có đồ thị là  C m  . Với m là tham số thực
x m
1
khác 0 và đường thẳng d có phương trình y  2x  . Tìm m để d cắt
2
 Cm  tại hai điểm phân biệt A , B có hoành độ x1, x2 thỏa mãn

Ví dụ 2: Cho hàm số y 

x12  9x1  8x2.
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên khoảng  �; m � m; �

Hoành độ giao điểm của đường thẳng d và  C m  là nghiệm của phương
trình

2mx  5
1
 2x  � 4x2  x  m  10  0  x � m
x m
2

Đặt g  x  4x2  x  m  10

Để d cắt  C m  tại hai điểm phân biệt A , B khi và chỉ khi phương trình
g  x  0 có hai nghiệm phân biệt khác m tức phải có:
�
161
m 
�
�
16m

161

0
�



0
�
�
�
16
�� 2
��
�
g

m
�
0

10
2m  5m �0 �
�
�
m ��
�
�
2
�
b 1
x1  x2   
�
�
a 4

Áp dụng Viet cho x1, x2 ta có �
c
m  10
�
x1x2   
�
a
4
�1
�
2
2
Xét điều kiện bài toán x1  9x1  8x2 � x1  9x1  8�  x1 �
�4
�
� x12  x1  2  0 � x  1 hoặc x  2.
5
� m  5
4
7
Với x1  2 � x2   � m  4
4
161
10
Kết hợp với điều kiện m  
và m ��
16
2
Vậy m  5 hoặc m  4 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với x1  1� x2 

x2  3mx  m
có đồ thị là  C m  Với m là tham số
x 2
thực và đường thẳng  d  : y  x  3. Tìm m để  C m  cắt đường thẳng d tại
Ví dụ 3: Cho hàm số y 

226


hai điểm phân biệt M , N sao cho tích các khoảng cách từ hai điểm M , N
37
.
đến đường thẳng    : 2x  y  5  0 không lớn hơn
2
Lời giải.
Hoành độ giao điểm của đường thẳng d và  C m  là nghiệm của phương
trình
x2  3mx  m
  x  3 � g  x  x2   3m  1 x  m  6  0  x �2
x 2
Để d cắt  C m  tại hai điểm phân biệt A , B khi và chỉ khi phương trình trên
�
0
�
có hai nghiệm phân biện khác 2 tức phải có: �
g  2 �0
�
2
�

�
1 � 440
2
�
3m

 0  m ��
�
9m  2m  49  0
�
�
�
�
3� 9
�
�
�
�
�
2
     2 3m  1  m  6 �0 �
�
4
�
m �
�
�
7
�
b 3m  1

x x  
�
�1 2
a
2
Áp dụng Viet cho x1, x2 ta có �
c m6
�
xx  
�1 2 a
2
Ta có: M  x1; x1  3 , N  x2; x2  3 ,    : 2x  y  5  0
d  M;   

3x1  2
5

,d  N;   

3x2  2

� d  M ;   .d  N;  

4
7

 3x1  2  3x2  2

5
27m  40

9x1x2  6 x1  x2   4
27m  40
2



5
5
10
27m  40 37
37
Mà d  M;   .d  N ;   ���
27m  40 185
2
10
2
145
23
4
�m � và m �
Kết hợp với điều kiện suy ra 
7
5
5
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP



m

5

145
m
5

23
5



3
2
2
Bài 1. Cho hàm số y  x  m  m  3 x  m  3m  2  1 , trong đó m là

tham số. Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho đồ thị hàm số  1 cắt
đường thẳng y  2 tại ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1,x2 ,x3
và đồng thời thỏa mãn đẳng thức x12  x22  x23  18
Bài 2. Tìm m để đường thẳng y  2mx cắt đồ thị y  x3   2m  1 x2 tại 3

227


điểm phân biệt A , B, C sao cho OA 2  OB2  OC 2 nhỏ nhất.
Bài 3. Tìm m để đồ thị

 Cm 

của hàm số y  x4   3m  2 x2  3m cắt

đường thẳng y  1 tại bốn điểm phân biệt có hoành độ x1,x2 ,x3 ,x4 thỏa
mãn hệ thức : x12  x22  x32  x42  x1x2x3x4  4 .
Bài toán 03: HAI ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CẮT NHAU TẠI 2,3,4 ĐIỂM
PHÂN BIỆT THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC.

Các ví dụ

Ví dụ 1. Tìm m để đường thẳng d : y  x  1 cắt đồ thị  C  hàm số
y  4x3  6mx2  1 tại 3điểm A  0;1 , B, C sao cho:
1. B, C đối xứng qua y  x

uuu
r uuur
2. OB.OC  4

Lời giải.
d cắt đồ thị  C  tại 3điểm A  0;1 , B, C khi 4x3  6mx2  1  x  1 có 3
nghiệm phân biệt tức phương trình 4x2  6mx  1  0 có 2 nghiệm phân biệt
�
 '  9m2  4  0
�
2
� m .
khác 0, nghĩa là � 2
3
4.0  6m.0  1 �0
�
Giả sử B x1; x1  1 , C  x2 ; x2  1 là giao điểm d và  C  .

x1  y2   x2  1
�
1. Để B và C đối xứng nhau qua y  x khi và chỉ khi �
hay
x2  y1   x1  1
�
3
2
x1  x2  1 � m  1 � m  .
2
3
Đối chiếu điều kiện, suy ra không có m để thỏa bài toán.
uuu
r uuur
2. OB.OC  4 � x1.x2   x1  1  x2  1  4 hay 2x1.x2   x1  x2   5  0
�1 � 3
11
� 2� � m  5  0 � m   .
3
�4 � 2
Ví dụ 2 : Cho hàm số y  mx3  6x2  9mx  3 , có đồ thị là  C m  . Tìm m để
đường thẳng  d  : y 

9
x  3 cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt
4

A  0;– 3 , B, C thỏa điều kiện B nằm giữa A và C đồng thời AC  3AB.
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định trên �

228


Số giao điểm của đồ thị đã cho với đường thẳng d là số nghiệm của
� 2
9�
9
mx  6x  9m  � 0  1
phương trình : mx3  6x2  9mx  3  x  3 � x�
4�
4
�
9
� x  0 hoặc mx2  6x  9m   0  2
4
Để đường thẳng d đồ thị đã cho cắt tại ba điểm phân biệt A  0;– 3 , B, C
khi và chỉ khi phương trình  1 có 3 nghiệm phân biệt A  0;– 3 , B, C tức là

 2 phải có

2 nghiệm phân biệt khác 0

�
�
�
�
m �0
m �0
m �0

�
�
�
�
�
�
9�
m
�
�
1 65
�1 65
��
 '  9  m�
9m  � 0 � �m2   1 0 � �
 m
4�
4
8
�
�
�
� 8
1
1
�
�
�
9
m�

m�
9m  �0
�
�
�
�
4
�
4
�
4
Gọi B x1; y1 , C  x2; y2  với y1 
nghiệm của  2

9
9
x1 – 3, y2  x2 – 3 , trong đó x1, x2 là 2
4
4

uuu
r
uuur
x2  3x1
uuur
uuu
r
�
Ta có AB   x1;y1  3 , AC   x2;y2  3 và AC = AB � �
�y2  3  3(y1  3)

� x2  3x1
�
3
�
3
�
x1 
x1 
�
�
x2  3x1
�
2m
2m
�
�
�
m1
�
6
9
9
�
�
�
x1  x2 
��
x2 
��
x2 

��
Ta có hệ: �
3
�
m
2m
2m
m 
�
�
�
�
4
9
9
�
�
�
4m2  m  3  0
x1x2  9 
x1x2  9 
�
�
�
�
4m
4m
�
�
Ví dụ 3.

2
hai điểm M ,N thỏa mãn hai điều kiện sau:
x1
i) MN song song với đường thẳng y  x
uuuu
r
uuur
ii) AM  4A N với A là giao điểm của đường thẳng MN với trục Ox.
Tìm trên  C  : y  2x  1

Lời giải.
MN song song đường thẳng y  x � Phương trình đường thẳng (d) đi qua
hai điểm M,N là y  x  m (m �0).
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):

229


2
 x  m � x2  (m  2)x  m  1 0 (1) (do x = 1 không là nghiệm
x1
của (1)). (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt M,N � (1) có hai nghiệm phân
biệt
�   (m  2)2  4m  4  0 � m2  8  0 � m ��.
2x  1

2
2
Khi đó hai nghiệm của (1) là x  m  2  m  8 , x  m  2  m  8
1

2
2
2
Giao điểm A của (d) và trục Ox có tọa độ là   m;0

Hoành độ của M,N là hai nghiệm của phương trình (1)
uuuu
r
uuur
�
x1  m  4x2  4m
Vì A,M,N thẳng hàng nên AM  4AN � �
x2  m  4x1  4m
�
m  2  m2  8
m  2  m2  8
4
 3m
2
2
�
2
�
2
m �
�
m �
41
�
�

2
3
� 5 m  8  9m  6 � �
3
��
� m  .
41
14
�
14m2  27m  41  0 �m  1 �m  
�
�
14

*x1  m  4x2  4m �

m  2  m2  8
m  2  m2  8
4
 3m
2
2
�
2
m �
�
� 5 m2  8  9m  6 � �
3
� m  1.
2

�
14m  27m  41  0
�

*x2  m  4x1  4m �

41
.
14
Chú ý . Ta có thể dùng định lí Vi-et để giải bài toán này như sau.
uuuu
r
uuur
AM  4AN � x1  m  4x2  4m � x1  4x2  3m .
Vậy m = 1 hoặc m  

�
x1  x2  m  2
�
x1x2  m  1 (I)
Kết hợp với định lí Viet ,ta có hệ �
�
x1  4x2  3m
�
�
2  2m
x2 
�
5
�

x1  4x2  3m
�
8  7m
�
�
(I) � �
5x2  3m  m  2 � �
x1 
5
�
�
x1.x2  m  1
�
(2  2m)(8  7m)  25(m  1) (a)
�
�
�
41
(a) � 14m2  27m  41  0 � m  1 �m   .
14

230


CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài tập . Giả sử đường thẳng y  x  m cắt đồ thị

 C

của hàm số

2x  1
tại 2 điểm phân biệt A ,B . I là giao điểm 2 đường tiệm cận.
x1
1. Tìm tham số m để tam giác IAB đều.
2. Gọi d' là đường thẳng đi qua I và cắt đồ thị  C  của hàm số tại 2 điểm
uuur 5 uur
phân biệt C,D . Lập phương trình đường thẳng d' để có CD  CI .
3
Bài toán 04: ĐƯỜNG THẲNG CẮT ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CẮT NHAU
TẠI 2 ĐIỂM THUỘC 1 HOẶC 2 NHÁNH CỦA ĐỒ THỊ.
y

Ví dụ

x 3
có đồ thị  H  . Chứng minh rằng : đường
x 1
thẳng d : y  2x  m luôn cắt đồ thị  H  tại hai điểm phân biệt nằm trên
Ví dụ : Cho hàm số : y 
hai nhánh của  H  .

Lời giải.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị  H  và đường thẳng d là :
x 3
 2x  m (x �1) � x  3   x  1  2x  m ( x  1 không thỏa mãn phương
x 1

trình) � g  x  2x2   m  1 x  m  3  0 (1)

Ta có    m  1  8 m  3  m2  6m  25   m  3  16  0 m ��
2

2

Với m �� phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1,x2
�
m1
x x 
�
�1 2
2
Theo định lý Viét ta có �
m

3
�
xx 
�1 2
2
m 3 m1

 1 1 0
Ta có  x1  1  x2  1  x1x2  (x1  x2)  1 
2
2
Suy ra 1 nằm giữa hai nghiệm x1,x2

Vậy d luôn cắt  H  tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía đối với tiệm

cận đứng x  1, tức là hai điểm đó nằm trên hai nhánh của đồ thị  H 
(đpcm)
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1. Gọi  dm  là đường thẳng đi qua điểm A  2;2 và có hệ số góc m .
Tìm m�� để đường thẳng  dm  cắt đồ thị
1. Tại hai điểm phân biệt?.

 C  : y  2x  1 của hàm số.
x1

231


2. Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị ?.
Bài 2. Tìm tham số thực m để  d  đi qua A  1;0 và có hệ số góc là m cắt
x 2
tại hai điểm M ,N thuộc hai nhánh của  C  ( M thuộc nhánh
x1
uuur
uuuu
r
trái , N thuộc nhánh phải )sao cho AN  2AM
Bài 3:
1
2x
1. Tìm m để đường thẳng  : y  x  m cắt đồ thị (C) : y 
tại hai điểm
x1
2
phân biệt A ,B sao cho trung điểm AB nằm trên đường thẳng 2x  y  4  0 .

 C

: y

2. Cho hàm số y  x3  3x2  6x (C) và d là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O
có hệ số góc k. Tìm k để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt O, A, B sao cho
AB  17
2x2  x  1
cắt đường thẳng d :
x1
y  x  2m tại hai điểm phân biệt thì hai điểm đó nằm về một nhánh của
(C).
Bài toán 05: HAI ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CẮT NHAU TẠI 2 ĐIỂM
PHÂN BIỆT CÓ ĐỘ DÀI CHO TRƯỚC.
3. Chứng minh rằng nếu đồ thị (C) : y 

Các ví dụ
Ví dụ 1 : Cho hàm số y  x3  3x2  6x có đồ thị là

 C

và d là đường thẳng

đi qua gốc tọa độ O có hệ số góc k . Tìm k để d cắt  C  tại ba điểm
phân biệt O, A , B sao cho  A B bằng

17 .

Lời giải.

Đường thẳng d có phương trình: y  kx

Phương trình hoành độ giao điểm của d và  C  :





x3  3x2  6x  kx � x x2  3x  6  k  0 � x  0 hoặc x2  3x  6  k  0   
Đường thẳng d cắt  C  tại ba điểm phân biệt �   có hai nghiệm phân
� 15
�
  4k  15  0 �
k
�� 4.
biệt x1,x2 khác 0 � �
6  k �0
�
�
k �6
�
Khi đó A  x1;kx1 , B x2;kx2 









2
2
2
Suy ra AB  1 k  x1  x2   1 k  4k  15



2



2
Nên AB  17 � 1 k  4k  15  17 � 4k3  15k2  4k  32  0 � k  4 .

Vậy, k  4 là giá trị cần tìm.

232


Ví dụ 2 : Tìm các giá trị m để đường thẳng d : y  x  m cắt đồ thị  C  :
uuur uuu
r
x 1
y
của hàm số tại A và B sao cho AB �OA  OB ( O là gốc tọa độ).
1 2x
Lời giải.
x1
Phương trình hoành độ giao điểm của d và  C  : x  m 

1 2x
1
� f  x  2x2  2mx  m  1  0   ,x �
2
2
�
 '  m  2m  2  0,m ��
�
1
Vì � �1 � 1
nên   có 2 nghiệm phân biệt khác
f


�
0
2
� ��
� �2 � 2
Suy ra d luôn cắt

 C

tại 2 điểm phân biệt A  x1;x1  m ,B x2;x2  m với x1 ,x2 là 2

�
x  x  m
�1 2

nghiệm của   . Theo Vi – et : �

m  1
x1x2 
�
�
2
2
 2m2  4m  4
Khi đó : AB  2 x2  x1  2�
 x1  x2  2  4x1x2 �
�
�
�
�
2
AB  2 x2  x1  2�
 2m2  4m  4
�x1  x2  2  4x1x2 �
�
�
�
uuur uuu
r
AB �OA
�OB
�۳ 2m2 4m 4
2m2
m 1

Vậy, m �1 thỏa bài toán.
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1:
2x  2
1. Cho hàm số y 
có đồ thị là  C  . Tìm m để đường thẳng
x1
 d : y  2x  m cắt  C  tại hai điểm phân biệt A ,B sao cho AB  5 .
x1
2. Cho hàm số y 
có đồ thị là  C m  . Tìm các giá trị của tham số m
x m
sao cho đường thẳng  d  : y  x  2 cắt đồ thị hàm số tại hai điểm A ,B sao
cho AB  2 2 .
x 2
có đồ thị là  C  . Tìm tất cả các giá trị tham
2x  2
số m�� để đường thẳng  d  : y  x  m cắt đồ thị  C  tại 2 điểm phân biệt
Bài 2: Cho hàm số y 

A , B sao cho OA 2  OB2 

37
.
2

233


Bài toán 06: HAI ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CẮT NHAU TẠI 2 ĐIỂM
PHÂN BIỆT CÓ ĐỘ DÀI NHỎ NHẤT.

Các ví dụ

x
có đồ thị  H  . Xác định m để đường thẳng
1 x
tại hai điểm phân biệt M , N sao cho AM 2  AN 2

Ví dụ 1 : Cho hàm số y 
d : y  mx  m  1 cắt  H 

đạt giá trị nhỏ nhất, với A(1;1) ..
Lời giải.
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và đồ thị.
�
x 1
x
�
 mx  m  1 � � 2
1 x
mx  2mx  m  1 0 (2)
�
d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt  (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1  m  0.
Gọi I là trung điểm của MN  I(1; 1) cố định.
MN 2
,do đó AM 2  AN 2 nhỏ nhất  MN nhỏ nhất
2
4
MN 2  (x2  x1)2(1 m)2  4m 
�8 . Dấu "=" xảy ra  m  1.
m

Ta có: AM 2  AN 2  2AI 2 

Vậy: min(AM 2  AN 2)  20 khi m  1.
x1
có đồ thị  H  . Xác định m để đường thẳng
x 3
tại hai điểm phân biệt M , N sao cho độ dài đoạn

Ví dụ 2 : Cho hàm số y 

 d : y  mx  2

cắt  H 

thẳng MN nhỏ nhất.
Lời giải.
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và đồ thị.
x1
 mx  2 �
mx2  3 m  1 x  7  
x 3
Để đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương
�
m 0
�
m 0.
trình (*) có hai nghiệm phân biệt �۹�
2
  9 m  1  28m  0

�
�
Gọi M  x1;y1  và N  x2;y2  là tọa độ giao điểm của đường thẳng và đồ thị.
�y1  mx1  2
Khi đó �
và x1, x2 là nghiệm của phương trình   nên
�y2  mx2  2
x1  x2 
MN 

234

3 m  1
m

, x1.x2 

7
.
m

 x2  x1 2   y2  y1 2   x2  x1 2  m2  x2  x1 2




 1 m   x
2

2  x1

2 

x
 1 m  �
�
�
2

2  x1

 2  4x1x2 �
�
�

2
�
�
9 m  1
7
� 2
1 � �
1�
1 m2 �
 4. � 9�
m 
m  � 18
� 10�
2
� m2

�
m
�
m � � m�
�
�
1
1
2
2
Đặt t  m 
(điều kiện t �2 ), suy ra m  2  t  2 . Khi đó
m
m







MN  9t2  10t .
Dùng đạo hàm tìm GTNN của hàm số f  t  9t2  10t trên các khoảng

 �; 2�
�và

�
2; � .
�

Ta tìm được minf  t  f  2  4 khi t  2 .

1
 2 � m  1.
m
Vậy, MN nhỏ nhât bằng 4, khi m  1.
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1:
x 3
1. Cho hàm số : y 
có đồ thị  H  . Giả sử đường thẳng d : y  2x  m
x 1
luôn cắt đồ thị  H  tại hai điểm phân biệt M ,N . Tìm m để độ dài MN
ngắn nhất.
2x  1
2. Chứng minh rằng đường thẳng d : y  x  m luôn cắt (C): y 
tại
x 2
hai điểm phân biệt A,B. Tìm m để đoạn AB ngắn nhất.
3x  2
3. Tìm m để đường thẳng y  2x  m cắt đồ thị y 
tại 2 điểm phân
2x  1
biệt M , N thuộc 2 nhánh khác nhau sao cho MN ngắn nhất.
Với t  2 � m 

2x2  3x  3
, (d) là đường thẳng
x1
y  4x  m , m là tham số . Tìm tham số m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân

biệt A, B sao cho :
1. Độ dài AB nhỏ nhất.
2. Tam giác IAB có diện tích bằng 7 với I(1;0) và m > 0.
Bài toán 07: HAI ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CẮT NHAU TẠI 2,3,4 ĐIỂM
PHÂN BIỆT THỎA MÃN TÍNH CHẤT HÌNH HỌC.
Bài 2: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y 

Các ví dụ
Ví dụ 1 :

235