TOAN CHON LOC BDHSG THCS

độc đáo về nghiệm phơng trình
1) Tìm a,b,c để phơng trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm
là x = 2 1
Giải
X = 2 1 => ( x + 1 )2 = 2
=> x2 + 2x - 1 = 0.
Đồng nhất với phơng trình đã cho => a = 1, b = 2, c = -1
2) Tìm a,b để phơng trình x2 + ax + b = 0 có nghiệm là x
=

7 5
7+ 5

.

Giải

Trục căn thức ta đợc x = 6 - 35
Biến đổi nh bài 1, ta tìm đợc a = -12 và b = 1.
3) CMR x =
1 = 0.

2 3 là nghiệm của phơng trình x4 - 10x2 +

Giải
X=

2 3 => x2 = 5 - 2 6

=>
=>

4) CMR

x=

(5 - x2)2 = (2 6 )2
x4 - 10x2 + 1 = 0. => ĐPCM.

2 + 3 2 là nghiệm của phơng trình

X6 - 6x4 -4x3 + 12x2 - 24x - 12 = 0
Giải
x=

2 + 3 2 => (x -

3

3

2) = ( 3 2)
=> x3 -3 2 x2 + 6x - 2 2 = 2
=> (x3 + 6x - 2)2 = [ 2 (3x2 + 2) ]2

=> X6 - 6x4 -4x3 + 12x2 - 24x - 12 = 0 =>
ĐPCM


(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac +

* chó ý

2bc

5) CMR x = 1 + 3 lµ nghiÖm ph¬ng tr×nh 2x2 - 2x - 1 = 0.
2

Gi¶i
BiÕn ®æi x =

4+2 3
3 +1
.
=
4
2

TiÕp tôc nh c¸c bµi trªn => §PCM
6) T×m a,b,c,d ®Ó ph¬ng tr×nh x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0
cã nghiÖm lµ
X=1+ 2 + 3
Gi¶i
X=1+

2 +

3 => ( x - 1 )2 = ( 2 +

3 )2
=> x2 -2x + 1 = 5 + 2 6
=> ( x2 - 2x - 4)2 = ( 2 6 )2

=> x4 - 4x3 - 4x2 + 16x - 8 = 0.
§ång nhÊt hÖ sè => a = b = -4, c = 16 vµ d = - 8.
7) CMR x =
tr×nh

2+ 2+ 3 -

6 − 3 2 + 3 lµ nghiÖm cña ph¬ng

X4 - 16x2 + 32 = 0.
Gi¶i
Gt => x2 = 8 - 2 2 + 3 - 2 3(2 − 3)
=>

x2 − 8
=
2

2 + 3 + 3(2 − 3)


=> (

x2 8 2
) = ( 2 + 3 + 3(2 3) )2 = .= 8
2

=> X4 - 16x2 + 32 = 0 = ĐPCM

8) Tìm a,b, c để phơng trình

nghiệm là

ax4 + bx2 + c = 0 có

x = 8 + 2 10 + 2 5 + 8 2 10 + 2 5
Giải
Tơng tự các bài trên , tính đợc a = 1, b = -24 và c = 104
9) CMR x =
= 0.
10) CMR

3 3

9
6
3
2 + 1 là nghiệm phơng trình x - 3x + 3x - 3

x=

2 + 3 + 5 là nghiệm của phơng trình

X4 - 4 5 x3 + 20x2 - 24 = 0.
11) Tìm các số hữa tỉ a,b để x =
phơng trình

2 - 1 là nghiệm của

X3 + ax2 + bx + 1 = 0.
Giải

Ta không áp dụng đợc chiến thuật "bình phơng làm mất
căn" nh các bài trớc đợc vì làm nh vậy bậc cao nhất của x
luôn chẵn trong khi phơng trình bậc lẻ!
Thay giá trị đã cho của x vào phơng trình ta có:
( 2 - 1)3 + a( 2 - 1 )2 + b( 2 - 1) + 1 = 0.
Biến đổi => ( 5 - 2a + b) 2 + 3a - b - 6 = 0.


Vì a,b là số hữa tỉ và 2 là số vô tỉ nên xảy ra đồng thời
5 - 2a + b = 0
và 3a - b - 6 = 0.
Từ đó tìm đợc a = 1, b = -3
12) Tìm các số hữa tỉ a,b để x = 2 + 5 là nghiệm của
phơng trình
X3 + ax2 + bx + 1 = 0.
( Tơng tự ta đợc a
= - 5, b = 3)

13) CMR x =

3

9+4 5 +

3

9 4 5 là nghiệm phơng trình

X3 - 3x -18 = 0
Giải

Đặt a = 3 9 + 4 5 , b = 3 9 4 5
=> a + b = x , a.b = 1 và a3 + b3 = 18
X3 = ( a + b)3 = a3 + b3 + 3ab( a + b ) = 18 + 3x
=> X3 - 3x -18 = 0

14) CMR

=> ĐPCM

3

3+ 9+

125
125
là một số nguyên.
+ 3 9+
27
27

3

3+ 9+

125
125
+ 3 9+
27
27

Giải
Đặt x =

CM tơng tự bài 13, ta có x là nghiệm của phơng trình x3
+ 5x - 6 = 0 (*)


NhÈm nghiÖm => x = 1 lµ nghiÖm cña pt (*).
=> ph¬ng tr×nh (*)  ( x - 1 )( x2 + x + 6 ) = 0
V× ®a thøc x2 + x + 6 kh«ng cã nghiÖm thùc nªn x = 1 lµ
nghiÖm duy nhÊt.
=> §PCM.
15) CMR:
a) 3 182 + 33125 + 3 182 − 33125 = 7
b)

3

2 −1 −

1
3

2 −1

= -1

Trªn nói cao cã èc sªn vµ chim ®¹i bµng.
16) CMR x = 1 + 3 lµ nghiÖm ph¬ng tr×nh 2x3 - 4x2 + x +
2

1 = 0. (1)
Gi¶i
T¬ng tù bµi 5 ta chøng minh ®îc x lµ nghiÖm pt
1 = 0 (2)

2x2 - 2x -

Thùc hiÖn phÐp chia ®a thøc (2x3 - 4x2 + x + 1) cho ®a
thøc (2x2 - 2x - 1)
®îc th¬ng lµ ( x - 1)
=> pt (1) < = > (2x2 - 2x - 1) ( x - 1) = 0
=> nghiÖm cña pt (2) còng lµ nghiÖm cña pt (1). Theo bµi
5, ta cã §PCM
17) CMR x =

2 + 3 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh

X7 - 10x5 + x4 + x3 - 10x2 + 1 = 0.
(1)
Gi¶i


Ta chứng minh đợc x = 2 + 3 là nghiệm pt x4 - 10x2 + 1 =
0
(2)
Đa thức vế trái của (1) chia hết cho đa thức vế trái của pt
(2)
=> Nghiệm của pt (2) cũng là nghiệm của pt ( 1) => ĐPCM
18) Tìm a, b, c để phơng trình x3 - ax -1 có hai nghiệm là

nghiệm của phơng trình x2 - bx + c = 0
18) Tính giá trị của biểu thức

A=

Với x là nghiệm của phơng trình

x 4 10 x 3 6 x 1
x 3 7 x 2 + 5x 3
x
1
=
x x 1 9
2

(1)

Giải
Từ pt (1) => x2 -10x -1 = 0.
Thực hiện chia đa thức ở tử và mẫu của phân thức A cho
( x2 - 10x - 1) ta biến đổi đợc nh sau:
( x 2 10 x 1)( x 2 + 1) + 4 x
4x 1
=
=
A= 2
( x 10 x 1)( x + 3) + 36 x 36 x 9

Một hi sinh to lớn dễ dàng hơn những hi sinh nhỏ nhoi và
liên tục.

19) Cho x là nghiệm của phơng trình x3 - x2 + x - 2 = 0.

Chứng minh
Giải

x6 x5 x3 + x 2 + 3
<2
x2 x + 2

Thực hiện nh bài 18 ta tính đợc VT = 2 ( ĐPCM)

1
x x+2
2

<2


Bây giờ, chúng ta cùng xét một số mở rộng về định lí Viét.
20) Cho phơng trình ax4 + bx2 + c = 0 có 4 nghiệm phân
biệt x1,x2,x3,x4.
Tính A = x1.x2.x3.x4 và B = x1+ x2 + x3 +x4
Giải
Đặt t = x2 => t > 0 vì phơng trình đã cho có bốn nghiệm
phân biệt.
Thay vào pt ta đợc at2 + bt + c = 0 (*)
Pt bậc 4 của x có 4 nghiệm phân biệt nên pt (*) có 2
nghiệm dơng t1,t2
thoả mãn

t1.t2 =

b
c
và t1 + t2 =
a
a

Không mất tổng quát, giả sử x1 = t1 , x2 =
x4 = - t 2
=> A = x1.x2.x3.x4 = t1.t2 =

21) Cho phơng trình
phân biệt x1,x2.
CMR:

t 2 , x3 = - t1 ,

b
và B = 0.
a

x2 - 4ax + 2a2 = 0 có hai nghiệm

(x1)2 + 4ax2 + 2a2 > 0.

Giải
Pt đã cho có hai nghiệm phân biệt nên = 2a2 > 0 => a
0.
Ta có x1 là nghiệm của phơng trình nên (x1)2 - 4ax1 + 2a2

=0
=> (x1)2 + 4ax2 + 2a2 = ( (x1)2 - 4ax1 + 2a2 ) + 4ax1 + 4ax2
= 4a( x1 + x2 )
= 4a. 4a = 16a2 > 0 ( vì a 0)


22) Gọi x1, x2 là nghiệm phơng trình x2 - 5mx - 4m = 0.
CMR: (x1)2 + 5mx2 - 4m > 0
23) Gọi x1, x2 là nghiệm của phơng trình x2 - x - 1 = 0
Tính giá trị của biểu thức A = (x1)5 + 5x2.
Giải
Ta thấy hệ số của hai nghiệm khác nhau, số mũ của hai
nghiệm cũng khác nhau hoàn toàn! Các bạn học sinh nên chú
ý phép biến đổi ở đây để thấy sự thú vị của bài toán.
Trong biểu thức A, số mũ của x1 là 5 nên cần phải đa về mũ
1 ( cùng mũ với x2)
X 1 là nghiệm phơng trình nên (x1)2 - x1 - 1 = 0
=> (x1)2 = x1 + 1
=> (x1)4 = (x1)2 + 2x1 + 1 = (x1 + 1) + 2x1 + 1 =
3x1 + 2
=> (x1)5 = x1.(x1)4 = x1.( 3x1 + 2) = 3(x1)2 + 2x1 =
3.( x1 + 1) + 2x1
= 5x1 + 3
=> A = 5x1 + 3 + 5x2 = 5(x1 + x2) + 3 = 5 + 3 = 8

Bạn hãy tuyệt đối tin tởng điều này: "mọi điều chỉ là tơng đối!"
24) Cho phơng trình x2 - ax + 1 = 0 có hai nghiệm x1, x2.
Tìm a để

(x1)3 + (a2 - 1)x2 + a = 0.

Giải
Tính toán nh trên ta tìm đợc các giá trị của a là 0, - 1, 1.


Các giá trị đó đều không thoả mãn điều kiện phơng trình
của x có hai nghiệm thực phân biệt.Vậy a =
25) Gọi x1, x2 là nghiệm của phơng trình x2 - x - 1 = 0
Tính giá trị của biểu thức A = (x2)11 + 89x1.
Giải
Tơng tự bài 23 ta đợc A = 144
Chú ý rằng các bạn nên bình phơng giá trị (x2)5
Làm nh vậy sẽ nhanh đợc mũ cao hơn phải không bạn?
26) Gọi x1,x2,x3,x4 là tất cả các nghiệm của phơng trình
(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 1
(1)
Tính A = x1.x2.x3.x4
Giải
Pt (*) < = > ( x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 8) - 1 = 0.
Đặt t = x2 + 8x + 7
=> t2 + t - 1 = 0
(2)
Giả thiết => phơng trình (2) có hai nghiệm t1 và t2 .
Vi-et => t1.t2 = t1+ t2 = -1
Ta có

t1 = x2 + 8x + 7 => x2 + 8x + 7 - t1 = 0
T2 = x2 + 8x + 7 => x2 + 8x + 7 - t2 = 0

Không giảm tổng quát , gọi x1, x2 là nghiệm của (3)

x1.x2 = 7 - t1

(3)
(4)
=>

x3,, x4 là nghiệm của ( 4) =>
x3.x4 = 7 - t2
=> A = x1.x2.x3.x4 = (7 - t1)( 7 - t2) = 49 -7(t1+ t2) + t1.t2 = 55
27) Giả sử pt ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả
mãn
ax1 + bx2 + c = 0.


CMR :
Giải

a2c + ac2 + b3 - 3abc = 0
b
c
x2 + = 0
a
a

Giả thiết => x1 +

( Vì a khác 0)

< = > x1 - ( x1 + x2 ).x2 + x1.x2 = 0
< = > x1 - (x2)2 = 0

Kết hợp với

b
c
và x1.x2 =
a
a
c
và x2 = 3 ( )
a

x 1 + x2 = -

Ta tính đợc x1 =

3

c
( )2
a

Thay vào hệ thức x1 + x2 = ac2 + b3 - 3abc = 0

b
rồi biến đổi ta đợc a2c +
a

28) Tìm giá trị của m để phơng trình (x +1)(x + 2)(x + 3)
(x + 4) = m có 4 nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4 thoả mãn
điều kiện x1.x2.x3.x4 = m.

Giải
Pt < = > ( x2 + 5x + 4)( x2 + 5x + 6) = m
Đặt t = x2 + 5x + 4
= > pt :
t2 + 2t - m = 0 có hai ngiệm t1 và t2 => m
> -1/2
Vi-et => t1+ t2 = -2 ,
t1.t2 = - m.
Ta có

t1 = x2 + 5x + 4 => x2 + 5x + 4 - t1 = 0
T2 = x2 + 5x + 4 => x2 + 5x + 4 - t2 = 0

Không giảm tổng quát , gọi x1, x2 là nghiệm của (3)
x1.x2 = 4 - t1

(3)
(4)
=>

x3,, x4 là nghiệm của ( 4) =>
x3.x4 = 4 - t2
=>x1.x2.x3.x4 = (4 - t1)( 4 - t2) = 16 - 4(t1+ t2) + t1.t2 = 24 - m


Kết hợp với yêu cầu của bài toán ta tìm đợc m = 12. ( thoả
mãn đk)

29) Tìm m để phơng trình x(x -1)(x - 4)(x - 5) = m có 4
nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4 thoả mãn điều kiện:

1
1
1
1
+
+
+
= 10.
x1 x 2 x3 x 4

Giải
Pt < = > ( x2 - 5x )( x2 - 5x + 4) = m
Đặt t = x2 - 5x
t2 + 4t - m = 0 có hai ngiệm t1 và t2

= > pt :
>-4

Vi-et => t1+ t2 = - 4 ,

t1.t2 = - m.

t1 = x2 - 5x => x2 - 5x + t1 = 0
T1 = x2 - 5x => x2 - 5x + t2 = 0

Ta có

Giả sử x1, x2 là nghiệm của (3)

=> m

(3)
(4)

=> x1.x2 = t1 , x1 + x2 = 5

x3,, x4 là nghiệm của ( 4) => x3.x4 = t2, x3 + x4 = 5
1

1

1

1

ta có x + x + x + x = - 10
1
2
3
4

x +x

x +x

3
4
1
2
< = > x .x +

= 10
x
.
x
1 2
3
4

5

5

<= > t + t = 10
1
2
< = > (t1+ t2)/ (t1.t2) = 2 < = > - 4/ (-m) = 2 => m =
2.
30) Gọi x1 là nghiệm âm của phơng trình x2 + x - 1 = 0.
Tính P =

( x1 ) 8 + 10 x + 13 + x1


Giải
Nh các bài trớc, ta tính đợc (x1)8 = 12 -20x1 + (x1)2 => P = 5

31) Tìm m để phơng trình
x3 - m(x + 1) + 1 = 0 có ba
nghiệm phân biệt
x1, x2 , x3 thoả mãn điều kiện (x1)3 + (x2)3 + (x3)3 = 3

Giải
Nhẩm nghiệm => x1 = - 1 là nghiệm của phơng trình đã
cho
=> pt < = > ( x + 1)(x2 - x + 1 - m) = 0
Theo đầu bài thì phơng trình
x2 - x + 1 - m = 0
hai nghiệm x2 và x3
=> m > 3/4
Ta có

có

x2 + x3 = 1, x2.x3 = 1 - m

(x1)3 + (x2)3 + (x3)3 = 3
< = > - 1 + ( x2 + x3)( x22 - x3.x2 + x32) = 3
< = > ( x2 + x3)2 - 3x2.x3 = 4
=> x2.x3 = - 1 => 1 - m = -1=> m = 2 ( thoả
mãn điều kiện)
32) Tìm m để phơng trình x4 - 2(m + 1)x2 + 2m + 1 = 0
có 4 nghiệm
phân biệt x1, x2, x3, x4 thoả mãn điều kiện (x1)4 + (x2)4 +
(x3)4 +(x4)4 = 4.
Giải
ĐK của bài toán cho ta 2( t12 + t22) = 4
Với t1, t2 là nghiệm của phơng trình t2 -2(m + 1)t + 2m +
1=0


=> m = 3 ( loại m = 0)

33) Cho phơng trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1,
x2 .
Đặt
Sn = x1n + x2n . Chứng minh rằng aSn+2 + bSn+1 +
cS = 0
Giải
Cách 1: aSn+2 + bSn+1 + cS = 0 < = > Sn+2 +

b
c
Sn+1 + S
a
a

0 ( vì a khác 0 )
< = > x1n+2 + x2n+2 - ( x1 + x2) (x1n+1 + x2n+1) +
x1.x2(x1n + x2n) = 0
<=> 0 = 0 ( Đúng) => ĐPCM
Cách 2: aSn+2 + bSn+1 + cS = a(x1n+2 + x2n+2) + b(x1n+1 +
x2n+1) + c(x1n + x2n)
= x1n( ax12 + bx1 + c) + x2n( ax22
+ bx2 + c)
= x1n . 0 + x2n . 0 = 0 ( ĐPCM)
34) Cho x = 17 12 2 , y = 17 + 12 2 . Tính

x5 + y5.

Giải
Đặt Sn = xn + yn
Ta có x.y = 1

và ( x+ y)2 = 36 = > S 1 = x + y = 6

=> x, y là nghiệm của phơng trình X2 - 6X + 1 = 0.
=> Sn+2 - 6Sn+1 + S = 0 ( Theo bài 33)
=> Sn+2 = 6Sn+1 - S
Ta có ( x+ y)2 = 36 = > S 1 = x + y = 6
=> S2 = x2 + y2 = ( x + y)2 -2xy = 34
=> S3 = 6S2 - S1 = 6.34 - 1 = 198

=


=> S5 = S2.S3 - x2.y2(x + y) = 34.198 - 6 =
6732
35) Tìm phơng trình bậc 7 có các hệ số nguyên và có
nghiệm là
X=

7

2 7 5
+
5
2

Giải nh trên ta đợc phơng trình 10x7 - 70x5 + 140x3 -70x 29 = 0

36) CMR ( 2 + 3 )n có phần nguyên là số lẻ với mọi số
nguyên dơng n.

Giải
Đặt
x=2+ 3 ,
y=2- 3
x + y = 4, x.y = 1 => x, y là nghiệm của phơng trình X2
- 4X + 1 = 0
Đặt Sn = xn + yn => Sn+2 - 4Sn+1 + S = 0 => Sn+2 =
4Sn+1 - S
(1)
S1 = x + y = 4
S2 = x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = 14 . Kết hợp (1) => Sn là
chẵn với mọi n.
0 < y < 1 => 0 < yn < 1
=> xn + yn - 1 < xn < xn + yn
=> Sn - 1 < xn < Sn
=> Phần nguyên của xn là Sn - 1. Vì Sn chẵn => ĐPCM.
Ta có

37) Tìm số nguyên lớn nhất không vợt quá ( 2 +
Tơng tự bài 36

3 )8