2 baitoan so (35bai) OK

DẠNG 2. BÀI TOÁN BỐC SỐ
A – CƠ BẢN
Bài 1. Cho tập hợp A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5} . Gọi S là tập hợp các số có 3 chữ số
khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập A . Chọn ngẫu nhiên một số
từ S , tính xác suất để số được chọn có chữ số cuối gấp đơi chữ số đầu.
Lời giải
ìï a, b, c Ỵ A
ïï
Gọi số cần tìm của tập S có dạng abc . Trong đó ïí a ¹ 0
.
ïï
ïïỵ a ¹ b;b ¹ c;c ¹ a
Khi đó
● Số cách chọn chữ số a có 5 cách chọn vì a¹ 0 .
● Số cách chọn chữ số b có 5 cách chọn vì b ¹ a .
● Số cách chọn chữ số c có 4 cách chọn vì c ¹ a và c ¹ b .
Do đó tập S có 5.5.4 = 100 phần tử.
Khơng gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S .
1
Suy ra số phần tử của khơng gian mẫu là W= C100 = 100 .
Gọi X là biến cố '' Số được chọn có chữ số cuối gấp đơi chữ số đầu '' . Khi
đó ta có các bộ số là 1b2 hoặc 2b4 thỏa mãn biến cố X và cứ mỗi bộ thì b có
4 cách chọn nên có tất cả 8 số thỏa u cầu.
Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = 8 .
Vậy xác suất cần tính P ( X ) =

WX
W

=

8
2
= .
100 25

Bài 2. Cho tập hợp A = { 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} . Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 4
chữ số đơi một khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập A . Chọn ngẫu
nhiên một số từ S , tính xác suất để số được chọn mà trong mỗi số ln ln
có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ.
Lời giải
4
Số phần tử của tập S là A7 = 840.
Khơng gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S .
1
Suy ra số phần tử của khơng gian mẫu là W= C840 = 840.
Gọi X là biến cố '' Số được chọn ln ln có mặt hai chữ số chẵn và hai
chữ số lẻ '' .
● Số cách chọn hai chữ số chẵn từ bốn chữ số 2; 4; 6; 8 là C42 = 6
cách.
● Số cách chọn hai chữ số lẻ từ ba chữ số 3; 5; 7 là C32 = 3 cách.
● Từ bốn chữ số được chọn ta lập số có bốn chữ số khác nhau, số
cách lập tương ứng với một hốn vị của 4 phần tử nên có 4! cách.
2
2
Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = C4 .C3 .4! = 432.
Vậy xác suất cần tính P ( X ) =

WX
W

=

432 18
= .
840 35

Bài 3. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số đơi một khác nhau được
lập thành từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 6. Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác
xuất để số được chọn chia hết cho 3 .
Lời giải
3
Số phần tử của S là A5 = 60 .
Khơng gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S .


1
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C60 = 60.
Gọi A là biến cố '' Số được chọn chia hết cho 3 '' . Từ 5 chữ số đã cho ta có
4 bộ gồm ba chữ số có tổng chia hết cho 3 là ( 1; 2; 3) , ( 1; 2; 6) , ( 2; 3; 4) và

( 2; 4; 6) . Mỗi bộ ba chữ số này ta lập được 3! = 6 số thuộc tập hợp S .
Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = 6.4 = 24 .
Vậy xác suất cần tính P ( A) =

WA
W

=

24 2

= .
60 5

Bài 4. Cho tập hợp A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} . Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có
6 chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập A . Chọn
ngẫu nhiên một số từ S , tính xác xuất để số được chọn là một số lẻ và chữ số
đứng ở vị trí thứ ba luôn chia hết cho 6 .
Lời giải
Gọi số cần tìm của tập S có dạng a1a2a3a4a5a6 . Khi đó
● Số cách chọn chữ số a1 có 7 cách chọn vì a1 ¹ 0 .
● Số cách chọn thứ tự cho a2 ; a3; a4 ; a5; a6 trong tập A \ { a1} có A75
cách.
Do đó tập S có 7.A75 = 17640 phần tử.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S .
1
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C17640 = 17640.
Gọi X là biến cố '' Số được chọn là một số lẻ và chữ số đứng ở vị trí thứ ba
luôn chia hết cho 6 '' . Suy ra a6 Î {1; 3; 5; 7} và a3 Î { 0; 6} . Ta có các trường hợp
thuận lợi cho biến cố X như sau:
● Trường hợp 1. Với a3 = 0 : chữ số a6 có 4 cách chọn, a1 có 6 cách
chọn, ba chữ số còn lại có A53 cách chọn. Do đó trong tường hợp này
có 4.6. A53 số .
● Trường hợp 2. Với a3 = 6 : chữ số a6
có 4 cách chọn, a1 có 5
3
cách chọn, ba chữ số còn lại có A5 cách chọn. Do đó trong tường
hợp này có 4.5. A53 số .
3
3
Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = 4.6.A5  + 4.5.A5 = 2640.

Vậy xác suất cần tính P ( X ) =

WX
W

=

2640
22
=
.
17640 147

Bài 5. Cho tập hợp A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} . Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 3
chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập A . Chọn ngẫu
nhiên một số từ S , tính xác suất để số được chọn là số có tổng các chữ số là
một số lẻ.
Lời giải
Gọi số cần tìm của tập S có dạng a1a2a3 . Khi đó
● Số cách chọn chữ số a1 có 6 cách chọn vì a1 ¹ 0 .
● Số cách chọn thứ tự cho a2 ; a3 trong tập A \ { a1} có A62 cách.
Do đó tập S có 6.A62 = 180 phần tử.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S .
1
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C180 = 180.
Gọi X là biến cố '' Số được chọn có tổng các chữ số là một số lẻ '' . Ta có
các trường hợp thuận lợi cho biến cố X như sau:
● Trường hợp 1. Gồm một chữ số lẻ và hai chữ số chẵn.

Chọn một chữ số lẻ trong 3 chữ số lẻ nên có C31 cách, chọn hai
chữ số chẵn trong 4 chữ số chẵn có C42 . Do đó có tất cả C31.C42.3!
số thỏa mãn biến cố X bao gồm chữ số 0 đứng đầu.
Bây giờ ta tính riêng số các chữ số thỏa mãn biến cố X nhưng
có số 0 đứng đầu, suy ra số đó có dạng 0a2a3 . Chọn một chữ số
lẻ trong 3 chữ số lẻ nên có C31 cách, chọn thêm một chữ số
chẵn trong 3 chữ số chẵn còn lại có C31 cách. Do đó có C31.C31.2!
số.
Suy ra trong trường hợp này có C31.C42.3!- C31.C31.2! = 90 số.
● Trường hợp 2. Gồm ba chữ số lẻ.
Chọn ba chữ số lẻ trong 3 chữ số lẻ nên có C33 cách.
Suy ra trong trường hợp này có C33.3! = 6 số.
Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = 90+ 6 = 96.
Vậy xác suất cần tính P ( X ) =

WX
W

=

8
.
15

Bài 6. Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5} . Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên
có ít nhất 3 chữ số, các chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ
số thuộc tập A . Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác xuất để số được chọn
có tổng các chữ số bằng 10.
Lời giải

Ta tính số phần tử thuộc tập S như sau:
● Số các số thuộc S có 3 chữ số là A53 .
● Số các số thuộc S có 4 chữ số là A54 .
● Số các số thuộc S có 5 chữ số là A55 .
Suy ra số phần tử của tập S là A53 + A54 + A55 = 300 .
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S .
1
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C300 = 300 .
Gọi X là biến cố '' Số được chọn có tổng các chữ số bằng 10 '' . Các tập con
của A có tổng số phần tử bằng 10 là A1 = {1; 2; 3; 4} , A2 = { 2; 3; 5} ,
A3 = {1; 4; 5} .
● Từ A1 lập được các số thuộc S là 4!.
● Từ A2 lập được các số thuộc S là 3! .
● Từ A3 lập được các số thuộc S là 3! .
Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = 4!+ 3!+ 3! = 36.
Vậy xác suất cần tính P ( X ) =

WX
W

=

36
3
= .
300 25

Bài 7. Cho tập hợp A = { 0; 1; 2; 3; 4} . Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm 3
chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số thuộc tập A . Chọn
ngẫu nhiên 3 số bất kì trong tập S , tính xác suất để trong 3 số được lấy ra có

đúng 1 số có chữ số 3 .
Lời giải
Gọi số cần tìm của tập S có dạng abc . Khi đó
● Số cách chọn chữ số a có 4 cách chọn vì a¹ 0 .
● Số cách chọn thứ tự cho b; c trong tập A \ { a} có A42 cách.
Do đó tập S có 4.A42 = 48 phần tử.


Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 3 số từ tập S .
3
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C48 = 17296.
Gọi X là biến cố '' 3 số được lấy ra có đúng 1 số có chữ số 3 '' . Để tìm số
phần tử của biến cố X ta làm như sau:
● Lập luận tương tự như trên ta được trong S có 3.A32 = 18 số không
có chữ số 3 . Suy ra có 48- 18 = 30 số có chữ số 3 .
1
= 30 cách.
● Số cách lấy 1 số luôn có chữ số 3 là C30
2
= 153 cách.
● Số cách lấy 2 số không có chữ số 3 là C18
Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = 30.153 = 4590.

Vậy xác suất cần tính P ( X ) =

WX
W

=

4590 2295
=
.
17296 8648

Bài 8. Cho tập hợp A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5} . Gọi S là tập hợp các số lẻ có 4 chữ số
đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số thuộc tập A . Chọn ngẫu
nhiên một số từ tập S , tính xác suất để lấy được một số nhỏ hơn 2015.
Lời giải
Gọi số cần tìm của tập S có dạng abcd . Khi đó
● Số cách chọn chữ số d Î {1; 3; 5} có 3 cách chọn.
● Số cách chọn chữ số a Î A \ { 0; d} có 4 cách chọn.
● Số cách chọn thứ tự b, c trong tập A \ { a; d} có A42 cách.
Do đó tập S có 3.4.A42 = 144 phần tử.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S .
1
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C144 = 144.
Gọi X là biến cố '' Số được chọn nhỏ hơn 2015 '' . Có hai trường hợp thuận
lợi cho biến cố X là chữ số a= 2 hoặc a= 1.
● Nếu a= 2 thì chỉ có 1 số duy nhất là số 2013.
● Nếu a= 1 thì số đó có dạng 1bcd
Chọn d Î { 3; 5} có 2 cách chọn.
Chọn thứ tự b, c trong tập A \ {1; d} có A42 cách.
Suy ra số các số thuộc dạng 1bcd có 2.A42 = 24 số.
Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = 1+ 24 = 25 .
Vậy xác suất cần tính P ( X ) =

WX
W

=

25
.
144

Bài 9. Một hộp đựng 10 chiếc thẻ được đánh số từ 0 đến 9 . Lấy ngẫu nhiên
ra 3 chiếc thẻ, tính xác suất để 3 chữ số trên 3 chiếc thẻ được lấy ra có thể
ghép thành một số chia hết cho 5 .
Lời giải
Không gian mẫu là số cách lấy ngẫu nhiên 3 chiếc thẻ từ 10 chiếc thẻ.
3
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C10 .
Gọi A là biến cố '' 3 chữ số trên 3 chiếc thẻ được lấy ra có thể ghép thành
một số chia hết cho 5 '' . Để cho biến cố A xảy ra thì trong 3 thẻ lấy được phải
có thẻ mang chữ số 0 hoặc chữ số 5 . Ta đi tìm số phần tử của biến cố A , tức
3 thẻ lấy ra không có thẻ mang chữ số 0 và cũng không có thẻ mang chữ số
5 là C83 cách.
3
3
Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C10 - C8 .


Vậy xác suất cần tính P ( A) =

WA
W

=

3
C10
- C83
8
= .
3
C10
15

Bài 10. Có 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Chọn ngẫu nhiên ra 8 tấm
thẻ, tính xác suất để có 3 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong
đó chỉ có đúng 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10.
Lời giải
Không gian mẫu là cách chọn 8 tấm thể trong 20 tấm thẻ.
8
Suy ra số phần tử của không mẫu là W= C20 .
Gọi A là biến cố '' 3 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong
đó chỉ có đúng 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10 '' . Để tìm số phần tử của A
ta làm như sau:
3
● Đầu tiên chọn 3 tấm thẻ trong 10 tấm thẻ mang số lẻ, có C10
cách.
● Tiếp theo chọn 4 tấm thẻ trong 8 tấm thẻ mang số chẵn (không
chia hết cho 10), có C84 cách.
● Sau cùng ta chọn 1 trong 2 tấm thẻ mang số chia hết cho 10, có
C21 cách.
3
4
1
Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C10.C8 .C2 .

Vậy xác suất cần tính P ( A) =

WA
W

=

3
C10
.C84.C21
560
=
.
8
C20
4199

B – NAÂNG CAO
Bài 11. Cho tập hợp A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} . Gọi S là tập hợp các số chẵn có 5
chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập A . Chọn ngẫu nhiên
một số từ S , tính xác suất để số được chọn có tổng chữ số hàng trăm và chữ
số hàng nghìn bằng 5.
Lời giải
Gọi số cần tìm của tập S có dạng abcde .
● Trường hợp 1. Nếu e= 0 thì có 1 cách chọn.
Số cách chọn chữ số a có 6 cách chọn.
Chọn thứ tự cho b, c, d trong tập A \ { a; 0} có A53 cách chọn.
Do đó trường hợp này có 6.A53 số.
● Trường hợp 2. Nếu eÎ { 2; 4; 6} thì có 3 cách chọn.

Số cách chọn chữ số a có 5 cách chọn vì a¹ 0 và a ¹ e .
Chọn thứ tự cho b, c, d trong tập A \ { a; e} có A53 cách chọn.
Do đó trường hợp này có 3.5.A53 số.
Suy ra tập S có 6.A53 + 3.5.A53 = 1260 phần tử.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S .
1
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C1260 = 1260 .
Gọi X là biến cố '' Số được chọn có tổng chữ số hàng trăm và chữ số hàng
nghìn bằng 5 '' . Để b+ c = 5 , suy ra { b;c} = { 0; 5} , {1; 4} , { 2; 3} .
● Trường hợp 1. Nếu { b;c} = { 0; 5}
+) Có 2 cách chọn b; c .
+) e chẵn nên có 3 cách chọn chữ số eÎ { 2; 4; 6} .
+) Có A42 cách chọn a; d .
Suy ra có 2.3.A42 = 72 số thỏa mãn.
● Trường hợp 2. Nếu { b;c} = {1; 4}


+) Có 2 cách chọn b; c .
+) Với e= 0 thì có A42 cách chọn a; d . Với eÎ { 2; 6} thì có 2
cách chọn chữ số e, có 3 cách chọn chữ số a và 3 cách chọn
chữ số d .
2
Suy ra có 2( A4 + 2.3.3) = 60 số thỏa mãn.
● Trường hợp 3. Nếu { b;c} = { 2; 3} thì tương tự như trường hợp 2 có
60 số thỏa mãn.
Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = 72+ 60+ 60 = 192 .
Vậy xác suất cần tính P ( X ) =

WX
W

=

192
16
=
.
1260 105

Bài 12. Cho tập hợp A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} . Gọi S là tập hợp các số có 3 chữ
số khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập A . Chọn ngẫu nhiên hai số
từ S , tính xác suất để mỗi số được chọn có tổng các chữ số bằng 7 .
Lời giải
Gọi số cần tìm của tập S có dạng abc . Khi đó
● Số cách chọn chữ số a có 6 cách chọn vì a¹ 0 .
● Số cách chọn chữ số b có 6 cách chọn vì b ¹ a .
● Số cách chọn chữ số c có 5 cách chọn vì c ¹ a và c ¹ b .
Do đó tập S có 6.6.5 = 180 phần tử.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 2 số từ tập S .
2
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C180.
Gọi X là biến cố '' Hai số được chọn mà mỗi số có tổng các chữ số bằng 7
'' . Ta có các bộ 3 chữ số có tổng các chữ số bằng 7 gồm:
{ 0;1;6} , { 0;2;5} , { 0;3;4} , {1;2;4} .
● Mỗi bộ trong các bộ { 0;1;6} , { 0;2;5} ,{ 0;3;4} có số cách lập là
3!- 1.2! = 4 số.
● Bộ {1;2;4} có số cách lập là 3! = 6 số.
Do đó có tất cả 3.4 + 6 = 18 số có tổng ba chữ số bằng 7 .
2
Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = C18 .

Vậy xác suất cần tính P ( X ) =

WX
W

=

153
17
=
.
16110 1790

Bài 13. Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} . Gọi S là tập hợp các số có 6
chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập A . Chọn ngẫu nhiên
một số từ S , tính xác suất để số được chọn thỏa mãn tổng các chữ số hàng
chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8 .
Lời giải
Số phần tử của tập S là A96 = 60480 .
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S .
1
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C60480 = 60480.
Gọi X là biến cố '' Số được chọn thỏa mãn tổng các chữ số hàng chục,
hàng trăm, hàng ngàn bằng 8 '' . Gọi số được chọn có dạng a1a2a3a4a5a6 .
éa3, a4, a5 Î {1; 2; 5}
Theo giả thiết a3 + a4 + a5 = 8 Þ ê
êa , a , a Î 1; 3; 4 .
}
ê
ë3 4 5 {

● Trường hợp 1. Với a3, a4 , a5 Î {1; 2; 5} , ta có 6 cách chọn a1 ; 5 cách
chọn a2 ; 3! cách chọn a3, a4 , a5 và 4 cách chọn a6 . Do đó có
6.5.3!.4 = 720 số.


● Trường hợp 2. Với a3, a4 , a5 Î {1; 3; 4} . Tương tự có 720 số.
Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = 720 + 720 = 1440.
Vậy xác suất cần tính P ( X ) =

WX
W

=

1440
1
= .
60480 42

Bài 14. Cho tập hợp A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} . Gọi S là tập hợp các số có 4 chữ
số khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập A . Chọn ngẫu nhiên một
số từ S , tính xác suất để số được chọn là số chẵn đồng thời số hàng đơn vị
bằng tổng các số hàng chục, hàng trăm và hàng nghìn.
Lời giải
Gọi số cần tìm của tập S có dạng abcd . Khi đó
● Số cách chọn chữ số a có 6 cách chọn vì a1 ¹ 0 .
● Số cách chọn thứ tự cho b; c; d trong tập A \ { a} có A63 cách.
Do đó tập S có 6.A63 = 720 phần tử.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S .
1

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C720 = 720.
Gọi X là biến cố '' Số được chọn là số chẵn đồng thời số hàng đơn vị bằng
tổng các số hàng chục, hàng trăm và hàng nghìn '' .
ìï d Î { 0;2;4;6} ìï d Î { 4;6}
Þ ïí
Số được chọn thỏa mãn biến cố X nếu ïí
.
ïï d = a + b+ c
ïï d = a + b+ c
î
î
● Số có dạng abc4 , suy ra a + b+ c = 4 nên tập { a;b;c} là { 0;1;3} .
Do đó trường hợp này có 3!- 1.2! = 4 số.
● Số có dạng abc6 , suy ra a + b+ c = 6 nên tập { a;b;c} là { 0;1;5} ,

{ 0;2;4} , {1;2;3} .
Do đó trường hợp này có 2( 3!- 1.2!) + 3! = 14 số.
Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = 4 +14 = 18.
Vậy xác suất cần tính P ( X ) =

WX
W

=

18
1
= .
720 40

Bài 15. Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} . Gọi S là tập hợp các số có 2 chữ số
khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập A . Chọn ngẫu nhiên 2 số từ
S , tính xác suất để 2 số được chọn có các chữ số khác nhau và có tổng bằng
18.
Lời giải
2
Số phần tử của tập S là A6 = 30.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 2 số từ tập S .
2
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C30 .
Gọi X là biến cố '' 2 số được chọn có các chữ số khác nhau và có tổng
bằng 18 '' . Từ tập đã cho A chỉ có một bộ số duy nhất { 3; 4; 5; 6} thỏa mãn
3+ 4 + 5+ 6 = 18 .
● Có A42 = 12 số có 2 chữ số khác nhau được lập thành từ tập
{ 3; 4; 5; 6} .
● Giả sử ta chia 12 số đó thành 2 nhóm như sau:
+) Nhóm I gồm các số có chứa chữ số 3 , có 6 số.
+) Nhóm II gồm các số không chứa chữ số 3 , có 6 số.
Khi đó ứng với mỗi số ab ở nhóm I, có 2 số cd ở nhóm II thỏa mãn
a + b+ c + d = 18 .


Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = 6.2 = 12 .
WX

Vậy xác suất cần tính P ( X ) =

W

=

12
4
=
.
2
C30
145

Bài 16. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đôi một.
Tính xác suất để số được chọn thỏa mãn chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng
liền trước.
Lời giải
Gọi số cần tìm có dạng a1a2a3a4a5 . Khi đó
● Số cách chọn chữ số a1 có 9 cách chọn vì a1 ¹ 0 .
● Chọn 4 chữ số từ tập { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} \ { a1} để xếp vào 4 vị
trí a2a3a4a5 có A94 cách.
Do đó có 9.A94 = 27216 số.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số trong 27216 số.
1
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C27216 = 27216 .
Gọi A là biến cố '' Số có năm chữ số được chọn thoả mãn chữ số đứng sau
lớn hơn chữ số đứng trước '' . Vì chữ số 0 không thể đứng trước bất kỳ số nào
nên xét tập hợp X = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} . Mỗi bộ gồm 5 chữ số khác nhau
lấy ra từ X có một cách sắp xếp theo thứ tự tăng dần.
5
Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C9 = 126.
Vậy xác suất cần tính P ( A) =

WA

W

=

126
1
=
.
27216 216

Bài 17. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đôi một.
Tính xác suất để số được chọn thỏa mãn chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng
liền trước hoặc chữ số đứng sau nhỏ hơn chữ số đứng liền trước.
Lời giải
Gọi số cần tìm có dạng a1a2a3a4a5 . Khi đó
● Số cách chọn chữ số a1 có 9 cách chọn vì a1 ¹ 0 .
● Chọn 4 chữ số từ tập { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} \ { a1} để xếp vào 4 vị
trí a2a3a4a5 có A94 cách.
Do đó có 9.A94 = 27216 số.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số trong 27216 số.
1
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C27216 = 27216 .
Gọi A là biến cố '' Số được chọn có chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng
liền trước hoặc chữ số đứng sau nhỏ hơn chữ số đứng liền trước '' . Ta xét hai
trường hợp:
● Trường hợp 1. Số được chọn có chữ số đứng sau lớn hơn chữ số
đứng liền trước nên các số được chọn thuộc tập
X = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} . Mỗi bộ gồm 5 chữ số khác nhau lấy ra
từ X có một cách sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Do đó trường hợp
này có C95 = 126 số.

● Trường hợp 2. Số được chọn có chữ số đứng sau nhỏ hơn chữ số
đứng liền trước nên các số được chọn thuộc tập
X = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} . Mỗi bộ gồm 5 chữ số khác nhau lấy
ra từ X có một cách sắp xếp theo thứ tự giảm dần. Do đó trường
5
= 252 số.
hợp này có C10
Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = 126+ 252 = 378.


Vậy xác suất cần tính P ( A) =

WA
W

=

378
1
= .
27216 72

Bài 18. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau đôi một và
thỏa mãn chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước. Tính xác suất để số
được chọn là số chẵn.
Lời giải
Gọi số cần tìm có dạng abc .
a, b, c
● Theo
giả

thiết
nên
thuộc
tập
a < b< c
X = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} .
● Mỗi bộ gồm 3 chữ số khác nhau lấy ra từ X có một cách xếp thỏa
a < b< c .
Do đó có C93 = 84 số.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số trong 84 số.
1
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C84 = 84 .
Gọi A là biến cố '' Số được chọn là số chẵn '' . Ta có các trường hợp sau:
● Nếu c= 4 thì ta chọn 2 chữ số trong 3 chữ số {1; 2; 3} để xếp vào
hai vị trí a, b nên có C32 cách.
● Nếu c= 6 thì ta chọn 2 chữ số trong 5 chữ số {1; 2; 3; 4; 5} để xếp
vào hai vị trí a, b nên có C52 cách.
● Nếu c= 8 thì ta chọn 2 chữ số trong 7 chữ số {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} để
xếp vào hai vị trí a, b nên có C72 cách.
2
2
2
Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C3 +C5 +C7 = 34.

Vậy xác suất cần tính P ( A) =

WA
W

=

34 17
= .
84 42

Bài 19. Cho tập hợp A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} . Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có
5 chữ số được lập thành từ các chữ số của tập A . Chọn ngẫu nhiên một số từ
S , tính xác suất để số được chọn có tất cả các chữ số đều phân biệt và chữ số
lớn nhất nằm ở hàng đơn vị, chữ số nhỏ nhất nằm ở hàng trăm.
Lời giải
Số phần tử của tập S là 6.74 .
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S .
4
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= 6.7 .
Gọi X là biến cố '' Số được chọn có tất cả các chữ số đều phân biệt và chữ
số lớn nhất nằm ở hàng đơn vị, chữ số nhỏ nhất nằm ở hàng trăm '' . Mỗi bộ
gồm 5 chữ số khác nhau lấy ra từ A
● Luôn chọn được số lớn nhất cho hàng đơn vị, số nhỏ nhất cho hàng
trăm nên có C75 cách.
● Ba vị trí còn lại có 3! cách.
5
Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = C7 .3!.
Vậy xác suất cần tính P ( X ) =

WX
W

=

C75.3!

3
=
.
4
6.7
343

Bài 20. Cho tập hợp A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} . Gọi S là tập hợp các số có
3 chữ số được lập thành từ các chữ số của tập A . Chọn ngẫu nhiên một số từ


S , tính xác suất để số được chọn có chữ số đứng sau lớn hơn hoặc bằng chữ
số đứng liền trước.
Lời giải
Gọi số cần tìm của tập S có dạng abc .
Khi đó
● Số cách chọn chữ số a có 9 cách vì a¹ 0 .
● Số cách chọn chữ số b có 10 cách.
● Số cách chọn chữ số c có 10 cách.
Do đó tập S có 9.10.10 = 900 phần tử.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S .
1
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C900 = 900 .
Gọi X là biến cố '' Số được chọn có chữ số đứng sau lớn hơn hoặc bằng
chữ số đứng liền trước '' . Có nghĩa là a £ b £ c , ta mô tả các kết quả thuận lợi
cho biến cố X như sau.
● Trường hợp 1. a < b < c tức a, b, c đôi một khác nhau và có sự sắp
xếp.
Vì a¹ 0 và a < b < c nên b¹ 0 và c¹ 0 . Cứ mỗi bộ gồm 3 chữ số
khác nhau lấy ra từ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} luôn có một cách sắp xếp

thỏa mãn a < b < c .
3
Suy ra trường hợp này có C9 số thỏa mãn.
● Trường hợp 2. a = b = c . Vì a¹ 0 và a = b = c nên b¹ 0 và c¹ 0 .
Suy ra trường hợp này có C91 số thỏa mãn.
● Trường hợp 3. a = b < c . Vì a¹ 0 và a = b < c nên b¹ 0 và c¹ 0 .
Cứ mỗi bộ gồm 2 chữ số khác nhau lấy ra từ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
luôn có một cách sắp xếp thỏa mãn a = b < c .
Suy ra trường hợp này có C92 số thỏa mãn.
● Trường hợp 4. a < b = c . Vì a¹ 0 và a < b = c nên b¹ 0 và c¹ 0 .
Cứ mỗi bộ gồm 2 chữ số khác nhau lấy ra từ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
luôn có một cách sắp xếp thỏa mãn a < b = c .
Suy ra trường hợp này có C92 số thỏa mãn.
3
1
2
2
Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = C9 +C9 +C9 +C9 = 165 .

Vậy xác suất cần tính P ( X ) =

WX
W

=

165 11
= .
900 60

Bài 21. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác
nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để số được chọn luôn có
mặt 2 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn.
Lời giải
Đặt A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} .
Gọi số cần tìm của tập S có dạng abcde với a, b, c, d, eÎ A và a ¹ 0 .
● Số cách chọn chữ số a có 9 cách chọn.
● Số cách chọn thứ tự cho b, c, d, e từ tập A \ { a} có A94 cách.
Do đó tập S có 9.A94 phần tử.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S .
4
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= 9.A9 .
Gọi X là biến cố '' Số được chọn luôn có mặt 2 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn
'' . Ta mô tả không gian của biến cố X như sau:
● Trước hết ta đếm các số dạng abcde có 2 chữ số lẻ 3 và chữ số
chẵn phân biệt tính cả trường hợp a= 0 . Khi đó ta chọn ra 2 chữ số


lẻ 3 và chữ số chẵn phân biệt từ tập A rồi hoán vị các chữ số đó,
có C52.C53.5! số.
● Tiếp theo ta xét các số có dạng 0bcde trong đó b, c, d, e gồm 2 chữ
số lẻ và 2 chữ số chẵn (khác 0 ) phân biệt. Khi đó ta chọn ra 2 chữ
số lẻ 2 và chữ số chẵn (khác 0 ) phân biệt từ tập A rồi hoán vị các
chữ số đó, có C52.C42.4! số.
Suy ra số phần tử của biến cố X là C53.C52.5!- C42.C52.4! = 10560.
Vậy xác suất cần tính P ( X ) =

WX
W

=

10560 220
=
.
9.A94
567

Bài 22. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau.
Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để số được chọn có số chữ số
chẵn bằng số chữ số lẻ.
Lời giải
Đặt A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} .
Gọi số cần tìm của tập S có dạng a1a2a3a4a5a6 với a1, a2, a3, a4, a5, a6 Î A và
a1 ¹ 0 .
● Số cách chọn chữ số a1 có 9 cách chọn.
● Số cách chọn thứ tự cho a2, a3, a4, a5, a6 từ tập A \ { a1} có A95 cách.
Do đó tập S có 9.A95 phần tử.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S .
5
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= 9.A9 .
Gọi X là biến cố '' Số được chọn luôn có số chữ số chẵn bằng số chữ số lẻ,
tức là có 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ '' . Ta đi tìm số kết quả thuận lợi cho
biến cố X như sau:
● Trong 10 số từ 0 đến 9 có 5 số chẵn, 5 số lẻ.
● Số các số có 3 số chẵn, 3 số lẻ (kể cả số 0 đứng đầu) là C53.C53.6! .
● Số các số có 3 số chẵn, 3 số lẻ (số 0 đứng đầu) là 1.C42.C53.5! .
3
3
2

3
Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = C5 .C5 .6!- C4 .C5 .5! .

Vậy xác suất cần tính P ( X ) =

WX
W

=

C53.C53.6!- C42.C53.5! 10
=
.
9.A95
21

Bài 23. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau mà
mỗi chữ số đều lớn hơn 4 . Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để số
được chọn có 3 chữ số lẻ đứng kề nhau.
Lời giải
Vì số tự nhiên cần tìm có các chữ số đều lớn hơn 4 nên số tự nhiên cần tìm
được thành lập từ tập A = { 5; 6; 7; 8; 9} .
Suy ra số phần tử của tập S là A55 = 120 .
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S .
1
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C120 = 120.
Gọi X là biến cố '' Số được chọn có 3 chữ số lẻ đứng kề nhau '' . Vì 3 chữ
số lẻ đứng kề nhau nên gom chúng thành chữ số M .
● Bước 1. Xếp M và hai chữ số chẵn còn lại có 3! cách xếp.
● Bước 2. Ứng với mỗi cách ở Bước 1, có 3! cách xếp các phần tử

trong M .
Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = 3!.3! = 36 .
Vậy xác suất cần tính P ( X ) =

WX
W

=

36
3
= .
120 10


Bài 24. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau.
Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để số được chọn là số chẵn và
luôn có mặt các chữ số 8 và 9 .
Lời giải
A
=
0;
1
;
2;
3;
4;
5;
6;
7;

8;
9
{
}
Đặt
.
Gọi số cần tìm của tập S có dạng abcd với a, b, c, d Î A và a ¹ 0 .
● Số cách chọn chữ số a có 9 cách chọn.
● Số cách chọn thứ tự cho b, c, d từ tập A \ { a} có A93 cách.
Do đó tập S có 9.A93 phần tử.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S .
3
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= 9.A9 .
Gọi X là biến cố '' Số được chọn là số chẵn và luôn có mặt các chữ số 8
và 9 '' . Vì số được chọn là số chẵn nên d Î { 0; 2; 4; 6; 8} .
● Trường hợp 1. d = 0 .
Chọn 2 vị trí trong 3 vị trí còn lại để xếp hai chữ số 8 và 9 , có A32
cách.
Chọn 1 chữ số trong 7 chữ số còn lại để xếp vào vị trí còn lại, có C71
cách.
Do đó trường hợp này có 1.A32.C71 = 42 số.
● Trường hợp 2. d = 8 .
+) Có 3 vị trí để xếp chữ số 9 . Chọn 2 chữ số trong 8 chữ số
còn lại để xếp vào 2 vị trí còn lại, có A82 cách. Do đó có
3.A82 = 168 số (kể cả số 0 đứng đầu).
+) Xét riêng trường hợp chữ số 0 ở vị trí đầu tiên. Khi đó chữ số
9 có 2 cách xếp, chọn 1 chữ số trong 7 chữ số còn lại để
xếp vào vị trí còn lại có C71 cách. Suy ra có 2.C71 = 14 số.
Tóm lại trong trường hợp này có 168- 14 = 154 số.
● Trường hợp 3. d Î { 2; 4; 6} nên d có 3 cách chọn.

+) Chọn 2 vị trí trong 3 vị trí còn lại để xếp hai chữ số 8 và 9 ,
có A32 cách. Chọn 1 chữ số trong 7 chữ số còn lại để xếp
vào vị trí còn lại, có C71 cách. Do đó có 3.A32.C71 = 126 số (kể cả
số 0 đứng đầu).
+) Xét riêng trường hợp chữ số 0 ở vị trí đầu tiên. Khi đó có 2!
cách xếp hai chữ số 8 và 9 cho 2 vị trí còn lại. Suy ra có
3.2! = 6 số.
Tóm lại trong trường hợp này có 126- 6 = 120 số.
Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = 42+154 +120 = 316.
Vậy xác suất cần tính P ( X ) =

WX
W

=

316
79
=
.
3
9.A9 1134

Bài 25. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm 7 chữ số đôi một khác nhau.
Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để số được chọn có chữ số 2
đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3 .
Lời giải
Số phần tử của tập S là 9.A96 .
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S .
6

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= 9.A9 .


Gọi X là biến cố '' Số được chọn có chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1
và 3 '' . Do đó số cần tìm phải chứa bộ M =123 hoặc N = 321.
● Trường hợp 1. Số cần tìm chứa bộ M =123 .
+) Chọn thêm tùy ý 4 số từ tập { 0; 4; 5; 6; 7; 8; 9} có C74 cách.
Cho 4 số vừa chọn và bộ M hoán vị nên có 5! cách. Suy ra
có C74.5! = 4200 số (kể cả số 0 đứng đầu).
+) Xét riêng trường hợp số 0 đứng đầu, chọn thêm tùy ý 3 số
từ tập { 4; 5; 6; 7; 8; 9} có C63 cách. Cho 3 số vừa chọn và bộ
M hoán vị nên có 4! cách. Suy ra có C63.4! = 480 số có chữ
số 0 đứng đầu.
Do đó trường hợp này có 4200- 480 = 3720 số.
● Trường hợp 2. Số cần tìm chứa bộ N = 321. Tương tự có 3720 số.
Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = 3720+ 3720 = 7440.
Vậy xác suất cần tính P ( X ) =

WX
W

=

7440
31
=
.
9.A96 2266

Bài 26. Cho tập hợp A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} . Gọi S là tập hợp các số có 5 chữ

số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập A . Chọn ngẫu
nhiên một số từ S , tính xác suất để số được chọn là số chẵn đồng thời có
đúng 2 chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ đó đứng cạnh nhau.
Lời giải
4
Số phần tử của tập S là 6.A6 .
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S .
4
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= 6.A6 .
Gọi X là biến cố '' Số được chọn là số chẵn đồng thời có đúng 2 chữ số lẻ
và 2 chữ số lẻ đó đứng cạnh nhau '' . Vì 2 chữ số lẻ đứng kề nhau nên ta gom
2
2 số lẻ thành số M , có C3 = 3 bộ M . Khi đó biến cố X trở thành '' Số được
chọn là số chẵn có các chữ số được lập thành từ tập { 0; 2; 4; 6; M } và bắt
buộc phải có chữ số M '' . Gọi số cần chọn thỏa mãn biến cố X có dạng abcd
với d Î { 0; 2; 4; 6} .
`

● Trường hợp 1. d = 0 , suy ra d có 1 cách chọn.
+) Có 3 vị trí để xếp chữ số M , ứng với mỗi cách xếp M có 2!
cách xếp hai phần tử trong M .
+) Chọn thứ tự 2 chữ số từ tập { 2; 4; 6} để xếp vào 2 vị trí
trống còn lại, có A32 cách.
Do đó trường hợp này có 1.3.2!.A32 = 36 số.
● Trường hợp 2. d Î { 2; 4; 6} , suy ra d có 3 cách chọn.
+) Nếu xếp M vào vị trí đầu tiên nên có 1 cách, ứng với cách
xếp này có 2! cách xếp hai phần tử trong M . Chọn 2 chữ số
từ tập 3 chữ số còn lại để xếp vào 2 vị trí trống còn lại, có
A32 cách. Suy ra có tất cả 3.1.2!.A32 = 36 số.
+) Nếu xếp M vào vị trí thứ 2 hoặc thứ 3 thì có 2 cách, ứng

với cách xếp này có 2! cách xếp hai phần tử trong M . Chọn
2 chữ số từ tập 3 chữ số còn lại để xếp vào 2 vị trí trống
còn lại, có A32 cách. Do đó 3.2.2!.A32 = 72 số (kể cả số 0 đứng
đầu). Xét riêng trường hợp chữ số 0 đứng đầu thì có
3.2.2!.A21 = 24 số. Suy ra có 72- 24 = 48 số.
Do đó trường hợp này có 36+ 48 = 84 số.


Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = 3.( 36+ 84) = 360.
Vậy xác suất cần tính P ( X ) =

WX
W

=

360 1
= .
6.A64 6

Bài 27. Cho tập hợp A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} . Gọi S là tập hợp các số có 6
chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập A . Chọn ngẫu nhiên
một số từ S , tính xác suất để số được chọn là số chẵn đồng thời phải có mặt
ba chữ số 0; 1; 2 và chúng đứng cạnh nhau.
Lời giải
Số phần tử của tập S là 7.A75 .
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S .
5
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= 7.A7 .
Gọi X là biến cố '' Số được chọn là số chẵn đồng thời phải có mặt ba chữ

số 0; 1; 2 và chúng đứng cạnh nhau '' . Gọi số cần tìm thỏa biến cố X có dạng
a1a2a3a4a5a6 .
● Trường hợp 1. a6 = 0 , suy ra a6 có 1 cách chọn.
+) Xếp các chữ số 1; 2 vào vị trí a4 và a5 có 2 cách.
+) Chọn thứ tự a1, a2, a3 từ tập { 3; 4; 5; 6; 7} có A53 cách.
Do đó trường hợp này có 1.2.A53 = 120 số.
● Trường hợp 2. a6 = 2 . Tương tự như trường hợp 1 nên có 120 số.
● Trường hợp 3. a6 Î { 4; 6} , suy ra a6 có 2 cách chọn.
+) Xếp các chữ số 0; 1; 2 đứng cạnh nhau có 3.3!- 2! = 16 cách.
+) Chọn thứ tự hai chữ số từ tập { 3; 4; 5; 6; 7} \ { a6 } để xếp vào
hai vị trí còn lại có A42 cách.
Do đó trường hợp này có 2.16.A42 = 384 số.
Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = 120+120+ 384 = 624.
Vậy xác suất cần tính P ( X ) =

WX
W

=

624
26
=
.
7.A75 735

Bài 28. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 7 chữ số đôi một khác
nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để số được chọn thỏa mãn
phải có ba chữ số 3 ;4; 5 đứng liền với nhau và hai chữ số 7; 9 đứng liền với
nhau.

Lời giải
6
Số phần tử của tập S là 9.A9 .
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S .
6
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= 9.A9 .
Gọi X là biến cố '' Số được chọn thỏa mãn phải có ba chữ số 3 ;4; 5 đứng
liền với nhau và hai chữ số 7; 9 đứng liền với nhau '' . Gọi M là nhóm gồm ba
chữ số 3 ;4; 5 và N là nhóm gồm hai chữ số 7; 9 . Ta xét các trường hợp:
● Chọn thêm hai chữ số từ { 0; 1; 2; 6; 8} có C52 cách. Hai chữ số vừa
chọn cùng với M và N có 4! cách xếp thứ tự. Ứng với mỗi cách ấy
trong M có 3! cách xếp vị trí cho 3 ;4; 5, trong N có 2! cách xếp
vị trí cho 7; 9 . Do đó có tất cả C52.4!.3!.2! số (kể cả số 0 đứng đầu).
● Xét riêng trường hợp số 0 đứng đầu. Ta chọn thêm một chữ số từ
{1; 2; 6; 8} có C41 cách. Chữ số vừa chọn cùng với M và N có 3!
cách xếp thứ tự. Ứng với mỗi cách ấy trong M có 3! cách xếp vị trí


cho 3 ;4; 5, trong N có 2! cách xếp vị trí cho 7; 9 . Do đó có
C41.3!.3!.2! số có số 0 đứng đầu.
2
1
Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = C5 .4!.3!.2!- C4.3!.3!.2! = 2592 .

Vậy xác suất cần tính P ( X ) =

WX
W

=

2592
1
=
.
6
9.A9
210

Bài 29. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số. Chọn ngẫu nhiên đồng
thời hai số từ tập hợp S . Tính xác suất để hai số được chọn có chữ số hàng
đơn vị giống nhau.
Lời giải
Số phần tử của tập S là 9.10 = 90.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 2 số từ tập S .
2
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C90 = 4005 .
Gọi X là biến cố '' Số được chọn có chữ số hàng đơn vị giống nhau '' . Ta mô
tả không gian của biến cố X nhưu sau:
● Có 10 cách chọn chữ số hàng đơn vị (chọn từ các chữ số
{ 0; 1; 2; 3;...; 9} ).
● Có C92 cách chọn hai chữ số hàng chục (chọn từ các chữ số

{1; 2; 3;...; 9} ).
2
Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = 10.C9 = 360 .

Vậy xác suất cần tính P ( X ) =

WX

W

=

360
8
= .
4005 89

Bài 30. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm 9 chữ số khác nhau. Chọn ngẫu
nhiên một số từ S , tính xác suất để chọn được một số gồm 4 chữ số lẻ và chữ
số 0 luôn đứng giữa hai chữ số lẻ (hai số hai bên chữ số 0 là số lẻ).
Lời giải
Số phần tử của tập S là 9.A98 .
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S .
8
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= 9.A9 .
Gọi X là biến cố '' Số được chọn gồm 4 chữ số lẻ và chữ số 0 luôn đứng
giữa hai chữ số lẻ '' . Do số 0 luôn đứng giữa 2 số lẻ nên số 0 không đứng ở vị
trí đầu tiên và vị trí cuối cùng. Ta có các khả năng
● Chọn 1 trong 7 vị trí để xếp số 0 , có C71 cách.
● Chọn 2 trong 5 số lẻ và xếp vào 2 vị trí cạnh số 0 vừa xếp, có A52
cách.
● Chọn 2 số lẻ trong 3 số lẻ còn lại và chọn 4 số chẵn từ { 2; 4; 6; 8}
sau đó xếp 6 số này vào 6 vị trí trống còn lại có C32.C44.6! cách.
1
2
2
4
Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = C7.A5 .C3 .C4 .6! .

Vậy xác suất cần tính P ( X ) =

WX
W

=

C71.A52.C32.C44.6! 5
= .
9.A98
54

Bài 31. Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5} . Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 5
chữ số trong đó chữ số 3 có mặt đúng ba lần, các chữ số còn lại có mặt không
quá một lần. Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để số được chọn chia
hết cho 3 .
Lời giải
Gọi số cần tìm của tập S có dạng abcde .
● Sắp chữ số 3 vào ba vị trí, có C53 = 10 cách.


● Còn lại hai vị trí, chọn 2 chữ số trong 4 chữ số {1; 2; 4; 5} xếp vào
hai vị trí đó, có A42 = 12 cách.
Do đó tập S có 10.12 = 120 phần tử.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S .
1
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C120 = 120 .
Gọi X là biến cố '' Số được chọn chia hết cho 3 '' . Có hai trường hợp xảy
ra:

● Trường hợp 1. Hai chữ số còn lại là 1 và 5 , có C53.2! = 20 số.
● Trường hợp 2. Hai chữ số còn lại là 2 và 4 , có C53.2! = 20 số.
Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = 20+ 20 = 40 .
Vậy xác suất cần tính P ( X ) =

WX
W

=

40 1
= .
120 3

Bài 32. Cho tập hợp A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} . Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có
5 chữ số đôi một khác nhau và luôn có mặt chữ số 5 được lập từ các chữ số
thuộc tập A . Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để số được chọn
chia hết cho 5 .
Lời giải
Gọi số cần tìm của tập S có dạng abcde .
● Ta có 5 cách chọn vị trí cho chữ số 5 , bốn chữ số còn lại có A64
cách chọn nên có 5A64 số luôn có mặt chữ số 5 (kể cả chữ số 0 ở vị
trí đầu tiên).
● Xét các số có chữ số 0 ở vị trí đầu tiên, khi đó có 4 cách chọn vị trí
cho chữ số 5 , ba chữ số còn lại có A53 cách chọn nên có 4A53 số.
Do đó tập S có 5A64 - 4A53 = 1560 phần tử.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S .
1
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C1560 = 1560 .
Gọi X là biến cố '' Số được chọn chia hết cho 5 '' . Ta có các trường hợp:

● Trường hợp 1. e= 0 . Khi đó có 4 cách chọn vị trí cho chữ số 5 , ba
chữ số còn lại có A53 cách nên có 4.A53 số.
● Trường hợp 2. e= 5 . Khi đó a có 5 cách chọn; b , c , d có A53 cách
chọn nên có 5.A53 số.
3
3
Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = 4.A5 + 5.A5 = 540 .

Vậy xác suất cần tính P ( X ) =

WX
W

=

540
9
= .
1560 26

Bài 33. Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau.
Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để số được chọn chia hết cho 25.
Lời giải
Đặt A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} .
Gọi số cần tìm của tập S có dạng abcd .
● Số cách chọn chữ số a có 9 cách chọn vì a ¹ 0 .
● Số cách chọn thứ tự cho b, c, d trong tập A \ { a} có A93 cách.
Do đó tập S có 9.A93 = 4536 phần tử.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S .
1

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C4536 = 4536 .


Gọi X là biến cố '' Số được chọn chia hết cho 25 '' . Do a, b, c, d đôi một
khác nhau và abcdM25 nên cdM25 , suy ra cd Î { 25; 50; 75} .
● Nếu cd = 50 thì a có 8 cách chọn, b có 7 cách chọn. Do đó có
8.7 = 56 số.
● Nếu cd Î { 25; 75} thì có 2 cách, a có 7 cách chọn, b có 7 cách
chọn. Do đó có 2.7.7 = 98 số.
Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = 56 + 98 = 154 .
Vậy xác suất cần tính P ( X ) =

WX
W

=

154
11
=
.
5436 324

Bài 34. Cho tập hợp A = { 0; 2; 3; 5; 6; 8} . Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 6
chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập A . Chọn ngẫu
nhiên một số từ S , tính xác suất để số được chọn có hai chữ số 0 và 5 không
đứng cạnh nhau.
Lời giải
Gọi số cần tìm của tập S có dạng a1a2a3a4a5a6 .
● Số cách chọn chữ số a1 có 5 cách chọn vì a1 ¹ 0 .

● Số cách chọn thứ tự cho a2 ; a3; a4 ; a5; a6 trong tập A \ { a1} có A55
cách.
Do đó tập S có 5.A55 phần tử.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S .
5
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= 5.A5 .
Gọi X là biến cố '' Số được chọn có hai chữ số 0 và 5 không đứng cạnh
nhau '' . Để tìm số phần tử của biến cố X ta đi tìm số phần tử của biến cố X ,
tức là số được chọn có hai chữ số 0 và 5 đứng cạnh nhau:
● Trong a1a2a3a4a5a6 có 5 vị trí để chữ số 0 và 5 đứng cạnh nhau trong
đó vị trí đầu bên trái chỉ có một khả năng là 50a3a4a5a6 , các vị trí còn
lại có thể hoán vị 0 và 5 cho nhau. Do đó có tất cả 9 cách.
● Sau khi chọn được vị trí để hai chữ số 0 và 5 đứng cạnh nhau, ta
chọn một số hoán vị của các chữ số còn lại, tức là có 4! cách.
Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = 9.4! .
5
Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = W- WX = 5.A5 - 9.4! .

Vậy xác suất cần tính P ( X ) =

WX
W

=

5.A55 - 9.4! 16
= .
5.A55
25

Bài 35. Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5} . Viết ngẫu nhiên lên bảng hai số tự
nhiên, mỗi số gồm 3 chữ số đôi một khác nhau thuộc tập A . Tính xác suất để
trong hai số đó có đúng một số có chữ số 5 .
Lời giải
Số các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau thuộc tập A là A53 = 60 .
Trong đó số các số không có mặt chữ số 5 là A43 = 24 , suy ra số các số luôn có
mặt chữ số 5 là 60- 24 = 36 .
Không gian mẫu là viết ngẫu nhiên lên bảng 2 số tự nhiên, mỗi số gồm 3
chữ số đôi một khác nhau thuộc tập A .
1
1
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C60.C60 .
Gọi X là biến cố '' Hai số được viết lên bảng có đúng một số có chữ số 5 '' .
Ta có hai trường hợp xảy ra biến cố X như sau:


● Trường hợp 1. Lần thứ nhất viết số có chữ số 5 , lần thứ hai viết số
1
1
.C24
không có chữ số 5 nên có C36
cách.
● Trường hợp 2. Lần thứ nhất viết số không có chữ số 5 , lần thứ hai
1
1
.C36
viết số có chữ số 5 nên có C24
cách.
1
1

1
1
Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = C36.C24 +C24.C36 .

Vậy xác suất cần tính P ( X ) =

WX
W

=

1
1
1
1
C36
.C24
+C24
.C36
12
= .
1
1
C60
.C60
25