Chuong5 đạo hàm

CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM.
BÀI 1: ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM.
Câu 1.

[1D5-1] Cho hàm số
f ( x0 )
A.
.
f ( x0 + h) − f ( x0 )
h
B.
.

f ( x)

f ( x)
liên tục tại x0 . Đạo hàm của
tại x0 là

f ( x0 + h) − f ( x0 )
h
C.
(nếu tồn tại giới hạn).
f ( x0 + h) − f ( x0 − h)
lim
h →0
h
D.
(nếu tồn tại giới hạn).
Lời giải
Chọn C.

f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )
f ( x0 + h) − f ( x0 )
f ′ ( x0 ) = lim
f ′ ( x0 ) = lim
∆x →0
h →0
∆x
h
Định nghĩa
hay
(nếu tồn tại
giới hạn).
lim
h →0

Câu 2.

[1D5-2] Cho hàm số
f ′ ( x0 ) = x0
A.
.
f ′ ( x0 ) = 2 x0
C.
.

f ( x)

f ( x ) = x2
là hàm số trên ¡ định bởi
và x0 ∈ ¡ . Chọn câu đúng.

f ′ ( x0 ) = x02
B.
.
f ′ ( x0 )
D.
không tồn tại.
Lời giải

Chọn C.
Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0 .

∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = ( x0 + ∆x ) − x02 = ∆x ( 2 x0 + ∆x )
2

Ta có
∆y
lim
= lim ( 2 x0 + ∆x ) = 2 x0
∆x → 0 ∆x
∆x → 0
.
Vậy
Câu 3.

f ′ ( x0 ) = 2 x0

.

[1D5-2] Cho hàm số

x0 = 2
1
A. 2 .

.

f ( x)

( 0; +∞ )
xác định trên

bởi

f ( x) =

1
x . Đạo hàm của f ( x ) tại

là
B.

−

1
2.

1
C. 2 .
Lời giải

Chọn B.
Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0 .
∆x
1
1
=−
=
−
∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) x0 + ∆x x0
x0 ( x0 + ∆x )
Ta có
.

D.

−

1
2.



∆y
1
= lim  −
∆x → 0 ∆x
∆x → 0
 x0 ( x0 + ∆x )
lim

Vậy
Câu 4.

f ′ ( x0 ) = −

1
⇒ f′
x02


1
÷
÷= − x2
0

.

( 2 ) = − 12 .

[1D5-2] Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
x = 2 là
A. y = –8 x + 4 .

B. y = 9 x + 18 .

y = ( x + 1)

2

( x – 2)

tại điểm có hoành độ

C. y = –4 x + 4 .
Lời giải

D. y = 9 x − 18 .

Chọn D.
M ( x0 ; y0 )
Gọi
là tọa độ tiếp điểm.
Ta có x0 = 2 ⇒ y0 = 0 .
y = ( x + 1)

2

( x – 2 ) = x 3 − 3x + 2 ⇒ y′ = 3 x 2 − 3 ⇒ y ′ ( 2 ) = 9 .

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là
Câu 5.

y = 9 ( x − 2 ) + 0 ⇔ y = 9 x − 18
.

[1D5-2] Phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số
x = 2 là
A. y = –3x + 8 .

B. y = –3 x + 6 .

y = x ( 3 – x)

2

C. y = 3x – 8 .
Lời giải

tại điểm có hoành độ
D. y = 3 x – 6 .

Chọn A.
M ( x0 ; y0 )
Gọi
là tọa độ tiếp điểm.
Ta có x0 = 2 ⇒ y0 = 2 .
y = x ( 3 − x ) = x3 − 6 x 2 + 9 x ⇒ y′ = 3 x 2 − 12 x + 9 ⇒ y ′ ( 2 ) = −3
.
2

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là
Câu 6.

y = −3 ( x − 2 ) + 2 ⇔ y = −3x + 8
.

3
2
[1D5-3] Điểm M trên đồ thị hàm số y = x – 3 x –1 mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc k bé
nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị thì M , k là

A.

M ( 1; –3) k = –3
,
.

B.

M ( 1;3) k = –3
M ( 1; –3) k = 3
,
. C.
,
.
Lời giải

D.

M ( −1; –3) k = –3
,
.

Chọn A.
2
M ( x0 ; y0 )
Gọi
. Ta có y′ = 3 x − 6 x .
k = y′ ( x0 ) = 3x02 − 6 x0 = 3 ( x0 − 1) − 3 ≥ −3
M

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại
là
Vậy k bé nhất bằng −3 khi x0 = 1 , y0 = −3 .
2

Câu 7.

ax + b
x − 1 có đồ thị cắt trục tung tại A ( 0; –1) , tiếp tuyến tại A có hệ số
[1D5-3] Cho hàm số
góc k = −3 . Các giá trị của a , b là
y=


A. a = 1 , b = 1 .

B. a = 2 , b = 1 .

C. a = 1 , b = 2 .
Lời giải

D. a = 2 , b = 2 .

Chọn B.
ax + b
b
A ( 0; –1) ∈ ( C ) : y = x − 1 ⇒ −1 = −1 ⇔ b = 1
.
y′ =

−a − b

( x − 1)

2

Ta có
⇔ a = 3−b = 2.

Câu 8.

k = y ′ ( 0 ) = − a − b = −3
. Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm A là

x 2 − 2mx + m
y=
x+m
[1D5-4] Cho hàm số
. Giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại hai điểm và
tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm đó vuông góc là
A. 3 .
B. 4 .
C. 5 .
D. 7 .
Lời giải
Chọn C.
x 2 − 2mx + m
( C) :y =
x+m
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số

và trục hoành:
 x 2 − 2mx + m = 0 ( *)
x 2 − 2mx + m
=0⇔
x+m
 x ≠ −m

Đồ thị hàm số

y=

.

x − 2mx + m
( *) có
x+m
cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt ⇔ phương trình
2

m < 0 ∨ m > 1
2
∆′ = m − m > 0

⇔ 2
⇔
1
3m + m ≠ 0
m ≠ − 3
hai nghiệm phân biệt khác −m
.

Gọi

M ( x0 ; y0 )

là giao điểm của đồ thị

góc của tiếp tuyến với

( C)

( C)

2
với trục hoành thì y0 = x0 − 2mx0 + m = 0 và hệ số

tại M là:

( 2 x0 − 2m ) ( x0 − 1) − ( x02 − 2mx0 + m )
2
k = y′ ( x0 ) =
( x0 + m )

Vậy hệ số góc của hai tiếp tuyến với
k2 =

( C)

=

2 x0 − 2m
x0 + m

.

tại hai giao điểm với trục hoành là

2 x2 − 2m
x2 + m .

 2 x − 2m  2 x2 − 2m 
⇔ 1
÷
÷ = −1
x1 + m  x2 + m 
⇔
k
.
k
=
−
1

1
2
Hai tiếp tuyến này vuông góc
⇔ 4  x1 x2 − m ( x1 + x2 ) + m 2  = −  x1 x2 + m ( x1 + x2 ) + m 2  ( **)
.
 x1 x2 = m
m = 0

**) ⇔ m 2 − 5m = 0 ⇔ 
(

x + x = 2m
 m = 5 . Nhận m = 5 .
Ta lại có  1 2
, do đó

k1 =

2 x1 − 2m
x1 + m ,


Câu 9.

y=

x 2 − 3x + 1
x−2
và xét các phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k = 2 của

[1D5-3] Cho hàm số
đồ thị hàm số là
A. y = 2 x –1; y = 2 x – 3 .B. y = 2 x – 5; y = 2 x – 3 .

C. y = 2 x –1; y = 2 x – 5 .D. y = 2 x –1; y = 2 x + 5 .
Lời giải
Chọn A.
x2 − 4 x + 5

y′ =
2
M ( x0 ; y0 )
x − 2)
(
Gọi
là tọa độ tiếp điểm. Ta có
.
2
x − 4 x0 + 5
x = 1
⇔ 0
= 2 ⇔ x02 − 4 x0 + 3 = 0 ⇔  0
2
⇒ y′ ( x0 ) = 2
( x0 − 2 )
 x0 = 3 .
Hệ số góc của tiếp tuyến k = 2
y = 2 ( x − 1) + 1 ⇔ y = 2 x − 1
Với x0 = 1 ⇒ y0 = 1 ⇒ pttt:
.
y = 2 ( x − 3) + 1 ⇔ y = 2 x − 5
Với x0 = 3 ⇒ y0 = 1 ⇒ pttt:
.
Vậy hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 2 x –1 , y = 2 x – 5 .

Câu 10.

[1D5-3] Cho hàm số
d : 3 y – x + 6 = 0 là

y=

x 2 + 3x + 3
x + 2 , tiếp tuyến của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng.

A. y = –3x – 3; y = –3 x –11 .
C. y = –3x + 3; y = –3 x –11 .

B. y = –3x – 3; y = –3 x + 11 .
D. y = –3 x – 3; y = 3 x –11 .
Lời giải

Chọn A.
d : 3y – x + 6 = 0 ⇔ y =

Gọi

M ( x0 ; y0 )

1
1
x − 2 ⇒ kd =
3
3.

y′ =
là tọa độ tiếp điểm. Ta có

Tiếp tuyến vuông góc với d ⇒ ktt .kd = −1

x2 + 4x + 3

( x + 2)

⇔ ktt = −

2

.

1
= −3 ⇒ y′ ( x0 ) = −3
kd

3

x
=
−
0

2
⇔ 4 x02 + 16 x0 + 15 = 0 ⇔ 
x02 + 4 x0 + 3
⇔
= −3
x = − 5
2
( x0 + 2 )

 0
2.
3 3

3
3
y = −3  x + ÷+ ⇔ y = −3x − 3
x0 = − ⇒ y0 =
2 2

2
2 ⇒ pttt:
Với
.
5 7

5
7
y = −3  x + ÷− ⇔ y = −3x − 11
x0 = − ⇒ y0 = −
2 2

2
2 ⇒ pttt:
Với
.


Câu 11.

y = ( 2m –1) x 4 – m +

[1D5-3] Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số
x = –1 vuông góc với đường thẳng d : 2 x – y – 3 = 0 .
3
A. 4 .

1
B. 4 .

7
C. 16 .
Lời giải

5
4 tại điểm có hoành độ
9
D. 16 .

Chọn D.
d : 2 x – y – 3 = 0 ⇔ y = 2 x − 3 ⇒ kd = 2 .
5
y = ( 2m –1) x 4 – m + ⇒ y′ = 4 ( 2m − 1) x3
4
.
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số

y = ( 2m –1) x 4 – m +

5

4 tại điểm có hoành độ x = –1

ktt = y′ ( −1) = 4 ( 2m − 1) ( −1) = −4 ( 2m − 1)
3

là

.
9
ktt .k d = −1 ⇔ −8 ( 2m − 1) = −1 ⇔ m =
16
Ta có
x+2
x − 2 , tiếp tuyến của đồ thị hàm số kẻ từ điểm ( –6;5 ) là
Câu 12. [1D5-3] Cho hàm số
1
7
1
7
y =− x+
y = x+
4
2.
4
2.
A. y = – x –1 ;
B. y = – x –1 ;
y=

C. y = – x + 1 ;

1
7
y =− x+
4
2.

Chọn B.
x+2
−4
y=
⇒ y′ =
2
x−2
( x − 2)

D. y = – x + 1 ;
Lời giải

1
7
y =− x−
4
2.

.

x+2
x − 2 tại điểm M ( x0 ;y0 ) ∈ ( C ) với x0 ≠ 2 là:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị

x +2
−4
⇔ y=
x − x0 ) + 0
2 (
x0 − 2
y = y′ ( x0 ) ( x − x0 ) + y0
( x0 − 2 )
.
x +2
−4
5=
−6 − x0 ) + 0
2 (
x0 − 2
( –6;5) nên ta có
( x0 − 2 )
Vì tiếp tuyến đi qua điểm

( C) : y =

 x0 = 0
⇔ 4 x02 − 24 x0 = 0 ⇔ 
 x0 = 6
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là: y = – x –1 và
Câu 13.

( 2;3)
[1D5-3] Tiếp tuyến kẻ từ điểm
A. y = −28 x + 59 ; y = x + 1 .

y=–

1
7
x+
4
2.

3x + 4
x − 1 là
tới đồ thị hàm số
B. y = –24 x + 51 ; y = x + 1 .
y=


C. y = −28 x + 59 .

D. y = −28 x + 59 ; y = −24 x + 51 .
Lời giải

Chọn C.
3x + 4
−7
y=
⇒ y′ =
2
x −1
( x − 1)

.

3x + 4
x − 1 tại điểm M ( x0 ;y0 ) ∈ ( C ) với x0 ≠ 2 là:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị
3x + 4
−7
⇔ y=
x − x0 ) + 0
2 (
x0 − 1
y = y′ ( x0 ) ( x − x0 ) + y0
( x0 − 1)
.
3x + 4
−7
3
3=
2 − x0 ) + 0
2 (
x0 − 1 ⇔ x0 =
2;3)
x0 − 1)
(
(
2.
Vì tiếp tuyến đi qua điểm
nên ta có
Vậy có một tiếp tuyến thỏa đề bài là: y = –28 x + 59 .

( C) : y =

Câu 14.

3
2
( C ) . Tìm trên ( C ) những điểm có hệ số góc tiếp
[1D5-2] Cho hàm số y = x – 6 x + 7 x + 5
tuyến tại điểm đó bằng −2 ?
( –1; –9 ) ; ( 3; –1) .
( 1;7 ) ; ( 3; –1) .
( 1;7 ) ; ( –3; –97 ) . D. ( 1;7 ) ; ( –1; –9 ) .
A.
B.
C.
Lời giải
Chọn B.
2
M ( x0 ; y0 )
Gọi
là tọa độ tiếp điểm. Ta có y′ = 3 x − 12 x + 7 .
⇒ y′ ( x0 ) = −2
⇔ 3 x02 − 12 x0 + 7 = −2
Hệ số góc của tiếp tuyến bằng −2

 x0 = 1 ⇒ y0 = 7
⇔ 3 x02 − 12 x0 + 9 = 0 ⇔ 
 x0 = 3 ⇒ y0 = −1 .
Câu 15.

[1D5-2] Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị y = tan x tại điểm có hoành độ
A. k = 1 .

B.

k=

1
2.

C.
Lời giải

k=

2
2 .

x=

π
4.

D. 2 .

Chọn D.
y = tan x

⇒ y′ =

1
cos 2 x .

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị y = tan x tại điểm có hoành độ
Câu 16.

x=

π 
π
k = y′  ÷ = 2
4
4 là
.

( C ) : y = x 2 . Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M ( –1;1) là
[1D5-2] Cho đường cong
A. y = –2 x + 1 .
B. y = 2 x + 1 .
C. y = –2 x –1 .
D. y = 2 x –1 .
Lời giải
Chọn C.
y = x 2 ⇒ y′ = 2 x .


y′ ( −1) = −2

.

Phương trình tiếp tuyến cần tìm:

Câu 17.

y = −2 ( x + 1) + 1 ⇔ y = −2 x − 1
.

x2 + x
x − 2 . Phương trình tiếp tuyến tại A ( 1; –2 ) là
y = –5 ( x –1) + 2
y = –5 ( x –1) – 2
y = –3 ( x –1) – 2
B.
. C.
. D.
.
Lời giải

y=

[1D5-2] Cho hàm số
y = –4 ( x –1) – 2
A.
.
Chọn C.
y=

x2 + x
x2 − 4 x − 2
⇒ y′ =

2
x−2
( x − 2)

y′ ( 1) = −5

.

.

Phương trình tiếp tuyến cần tìm:
Câu 18.

[1D5-1] Cho hàm số
A. y = 7 x + 2 .

y=

y = −5 ( x − 1) − 2 ⇔ y = −5 x + 3
.

1 3
x – 3x 2 + 7 x + 2
A ( 0; 2 )
3
. Phương trình tiếp tuyến tại
là:
B. y = 7 x − 2 .
C. y = −7 x + 2 .
D. y = −7 x − 2 .

Lời giải
Chọn A.
2
Ta có : y′ = x − 6 x + 7
Hệ số góc tiếp tuyến

y′ ( 0 ) = 7

Phương trình tiếp tuyến tại

y = 7 ( x − 0) + 2 = 7 x + 2
Câu 19.

[1D5-2] Gọi

( P)

A ( 0; 2 )

:

.

2
( P ) tại
là đồ thị của hàm số y = 2 x − x + 3 . Phương trình tiếp tuyến với

( P ) cắt trục tung là:
điểm mà

A. y = − x + 3 .
B. y = − x − 3 .

C. y = 4 x − 1 .
Lời giải

Chọn A.
( P ) cắt trục tung tại điểm M ( 0;3) .
Ta có :
y′ = 4 x − 1

Hệ số góc tiếp tuyến :

y ′ ( 0 ) = −1

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị

( P)

tại

M ( 0;3 )

là

D. y = 11x + 3 .


y = −1( x − 0 ) + 3 = − x + 3

Câu 20.

.
y=

( C)

3x + 1
x − 1 cắt trục tung tại điểm A . Tiếp tuyến của ( C ) tại

[1D5-2] Đồ thị
của hàm số
điểm A có phương trình là:
A. y = −4 x − 1 .
B. y = 4 x − 1 .

C. y = 5 x − 1 .

D. y = −5 x − 1 .

Lời giải
Chọn A.
Ta có : điểm
y′ =

−4

( x − 1)

2

A ( 0; −1)

⇒ hệ số góc tiếp tuyến y′ ( 0 ) = −4

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị

y = −4 ( x − 0 ) − 1 = − 4 x − 1
Câu 21.

( C)

tại điểm

A ( 0; −1)

là :

.

( C ) là đồ thị của hàm số y = x 4 + x . Tiếp tuyến của ( C ) vuông góc với đường
[1D5-2] Gọi
thẳng d : x + 5 y = 0 có phương trình là:
A. y = 5 x − 3 .

B. y = 3x − 5 .

C. y = 2 x − 3 .

D. y = x + 4 .

Lời giải
Chọn A.
3
Ta có : y′ = 4 x + 1
1
y=− x
5 nên tiếp tuyến có hệ số góc
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

y′ ( x0 ) = 4 x03 + 1 = 5 ⇒ x0 = 1 ( y0 = 2 )
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại

y = 5 ( x − 1) + 2 = 5 x − 3

M ( 1; 2 )

có dạng

.

BÀI 2. QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

Câu 22.

[1D5-2] Cho hàm số
y′ ( 1) = −4
A.
.

x2 + x
x − 2 đạo hàm của hàm số tại x = 1 là:
y′ ( 1) = −5
y′ ( 1) = −3
B.
.
C.
.

y=

D.

y′ ( 1) = −2

.


Lời giải
Chọn B.

Ta có :

( 2 x + 1) ( x − 2 ) − ( x 2 + x )
y′ =
2
( x − 2)

⇒ y ′ ( 1) = −5

x2 − 4 x − 2

( x − 2)

2

.
x

y=

Câu 23.

=

[1D5-2] Cho hàm số
1
y′ ( 0 ) =
2.
A.

4 − x2

B.

.

y′ ( 0 ) =

y′ ( 0 )

bằng:

1
3.

C.

y′ ( 0 ) = 1

.

D.

y′ ( 0 ) = 2

.

Lời giải
Chọn A.
4 − x2 − x
y′ =

(

Ta có :
⇒ y′ ( 0 ) =

Câu 24.

4 − x2

−x
4 − x2 =
2

)

(

4
4 − x2

)

3

1
2.

[1D5-2] Cho hàm số
A. 0 .

f ( x)

f ( x ) = x2
f ′ ( 0)
xác định trên ¡ bởi
. Giá trị
bằng

B. 2 .
C. 1 .
D. Không tồn tại.
Lời giải

Chọn D.
Ta có :

Câu 25.

x

f ′( x) =

x2

⇒ f ′( x)

không xác định tại x = 0

⇒ f ′ ( 0)

không có đạo hàm tại x = 0 .

[1D5-1] Đạo hàm cấp một của hàm số
A.

y′ = 5 ( 1 − x

)

3 4

.

B.

y = ( 1 − x3 )

y′ = −15 x 2 ( 1 − x

)

5

3 5

. C.

Lời giải
Chọn B.
y′ = 5 ( 1 − x 3 ) ( 1 − x 3 ) ′ = −15 x 2 ( 1 − x 3 )
4

Ta có :

4

.

là:

y ′ = −3 ( 1 − x 3 )

4

.

D.

y′ = −5 x 2 ( 1 − x3 )

4

.


Câu 26.

f ( x ) = ( x 2 + 1)

[1D5-1] Đạo hàm của hàm số
A. −32 .
B. 30 .

4

tại điểm x = −1 là:
C. −64 .

D. 12 .

Lời giải
Chọn C.
Ta có :

y′ = 4 ( x 2 + 1)

⇒ y ′ ( −1) = −64

Câu 27.

3

(x

2

+ 1) ′ = 8 x ( x 2 + 1)

3

.
y=

[1D5-1] Hàm số
A. y′ = 2 .

2x + 1
x − 1 có đạo hàm là:

1
y′ = −
2
x − 1)
(
B.
.

y′ = −

C.

3

( x − 1)

y′ =

2

.

D.

1

( x − 1)

2

.

Lời giải
Chọn C.
y′ =

2 ( x − 1) − ( 2 x + 1)

( x − 1)

Ta có :

Câu 28.

( x − 2)
y=

A.

− x + 2x
2

( 1− x)

.

( x − 1)

2

.

có đạo hàm là:
y′ =

2

−3

2

1− x

[1D5-2] Hàm số
y′ =

=

2

B.

x2 − 2x

( 1− x)

2

.

C.

y′ = −2 ( x − 2 )

y′ =
.

D.

Lời giải
Chọn A.
y′ =

2 ( x − 2) ( 1 − x ) − ( x − 2)

( 1− x)

Ta có :

2

2

( −1)

=

− x2 + 2x

( 1− x)

2

.

2

Câu 29.

1− x 
y = 
÷
1+ x ÷

 . Đạo hàm của hàm số f ( x ) là:
[1D5-3] Cho hàm số

f ′( x) =
A.
f ′( x) =
C.

(

−2 1 − x

(1+ x )

)

f ′( x) =

3

(
)
x (1+ x )

.

B.

2 1− x

2

.

D.
Lời giải

f ′( x) =

(
)
x (1+ x )

−2 1 − x

(

2 1− x
1+ x

)
.

3

.

x2 + 2x

( 1− x)

2

.


Chọn B.
 1 − x   1 − x ′ = 2  1 − x ÷ −2
 1+ x ÷
y′ = 2 
÷
÷

 1+ x
1 + x ÷
1 + x ÷




Ta có :

(

Câu 30.

)

2

( x )′ = −

2 1− x
3
x 1+ x

(

)

.

3
2
[1D5-1] Cho hàm số y = x − 3 x − 9 x − 5 . Phương trình y′ = 0 có nghiệm là:
{ −1; 2} .
{ −1;3} .

{ 0; 4} .
{ 1; 2} .
A.
B.
C.
D.

Lời giải
Chọn B.
2
Ta có : y′ = 3x − 6 x − 9
y′ = 0 ⇔ 3 x 2 − 6 x − 9 = 0 ⇔ x = −1; x = 3 .
Câu 31.

[1D5-1] Cho hàm số
A. 2 .

f ( x)

f ( x ) = 2 x2 + 1
f ′ ( −1)
xác định trên ¡ bởi
. Giá trị
bằng:
B. 6 .
C. −4 .
D. 3 .
Lời giải

Chọn C.

f ' ( x ) = 4 x ⇒ f ′ ( −1) = −4
Ta có :
.
Câu 32.

[1D5-3] Cho hàm số
1
A. 12 .

f ( x)

f ′ ( −8 )
f ( x) = 3 x
xác định trên ¡ bởi
. Giá trị
bằng:
1
1
1
−
−
B. 12 .
C. 6 .
D. 6 .
Lời giải

Chọn A.
y = 3 x ⇒ y 3 = x ⇒ 3 y 2 . y ′ = 1 ⇒ y′ =
Ta có :
⇒ y ′ ( −8 ) =

Câu 33.

1
1
=
2
3y
3 3x

( )

1
12 .

[1D5-1] Cho hàm số
1
A. 2 .

f ( x)

xác định trên
1
−
B. 2 .

¡ \ { 1}

bởi

f ( x) =

C. −2 .
Lời giải

Chọn B.

2

2x
x − 1 . Giá trị của f ′ ( −1) bằng:

D. Không tồn tại.


f ′( x) =
Ta có :

2 ( x − 1) − 2 x

( x − 1)

2

=

−2

( x − 1)

2

⇒ f ′ ( −1) = −

1
2.

 x2 + 1 −1

( x ≠ 0)
f ( x) = 
x
0
f ( x)
( x = 0 ) . Giá trị f ′ ( 0 ) bằng:

Câu 34. [1D5-2] Cho hàm số
xác định bởi
1
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. Không tồn tại.

Lời giải
Chọn C.
Ta có :
Câu 35.

f ′ ( 0 ) = lim

x →0

1
1
f ( x ) − f ( 0)
x 2 + 1 − 1 = lim
=
= lim
2
2
x
→
0
x →0
x +1 +1 2 .
x−0
x

[1D5-1] Cho hàm số
Chọn câu đúng:
f '( x) = a
A.
.

f ( x)

f ( x ) = ax + b
xác định trên ¡ bởi
, với a, b là hai số thực đã cho.

B.

f ' ( x ) = −a

.

f '( x ) = b

C.

.

D.

f ' ( x ) = −b

.

Lời giải
Chọn A.
•
.

Sử dụng các công thức đạo hàm:

( x ) ′ = n.x
n

•
Câu 36.

Ta có

n −1

( c)′ = 0

( k .u ) ′ = k .u′ với k = const
với c = const ; x′ = 1 ;

( u + v ) ′ = u ′ + v′ ;
với n là số nguyên dương ;

f ′ ( x ) = ( ax + b ) ′ = ax′ + b′ = a

[1D5-2] Cho hàm số
bằng:
A. −4 x − 3 .

f ( x)

.

f ( x ) = −2 x 2 + 3x
f ′( x)
xác định trên ¡ bởi
. Hàm số có đạo hàm

B. −4 x + 3 .

C. 4 x + 3 .

D. 4 x − 3 .

Lời giải
Chọn B.

( k .u ) ′ = k .u ′ ; ( x
• Sử dụng các công thức đạo hàm: x′ = 1 ;
•

f ′ ( x ) = ( −2 x 2 + 3 x ) ′ = −2 ( x 2 ) ′ + 3 x ' = −4 x + 3

.

n

) ′ = n.x ; ( u + v ) ′ = u′ + v′ .
n −1


Câu 37.

[1D5-2] Cho hàm số
A.

f ′( x) =

f ( x)

1
x
2
.

f ( x) = x x
xác định trên D = [ 0;+∞ ) cho bởi
có đạo hàm là:

B.

f ′( x) =

3
x
2
.

f ′( x) =

C.

1 x
2 x .

D.

f ′( x) = x +

x

2 .

Lời giải
Chọn B.

•

( u.v ) ' = u '.v + u.v ' ;

• Ta có

Câu 38.

(

( x ) ' = 2 1x

; x' =1.

)

f ' ( x ) = x x ' = x '. x + x.

( x) '=

x+

x
2 x

= x+

1
3
x=
x
2
2
.

3
f ′ ( 1) =
f ( x ) = k 3 x + x (k ∈ ¡ )
2 thì ta chọn:
[1D5-3] Cho hàm số
. Để

A. k = 1 .

B. k = −3 .

C. k = 3 .

D.

k=

9
2.

Lời giải
Chọn C.

Ta có:

(

3
f ( x) = k 3 x + x ⇒ f ′( x) = k x + x

y = 3 x ⇒ y 3 = x ⇒ 3 y 2 y′ = 1 ⇒ y′ =
Đặt

f ′( x) = k

( x) +( x)
3

′

′

=

k

3

( x)
3

2

+

)′ = k ( x )′ + ( x )′
3

1
1
=
2
3y
3 3x

( )

2

.

1
2 x

.Vậy để

3
k 1 3
+ = ⇒k =3
2 thì 3 2 2

.

f ′ ( 1) =

2

1 

f ( x) =  x −
÷
x  xác định trên D = ( 0;+∞ ) . Có đạo hàm của f ( x ) là:

Câu 39. [1D5-2] Hàm số
1
1
f '( x) = x + − 2
f '( x) = x − 2
x
x .
A.
.
B.

C.

f '( x) = x −

1
x.

D.

f '( x) = 1−

1
x2 .

Lời giải
Chọn D.
'

u'
1
=− 2
n
n −1

÷
u
'
=
n
.
u
.
u
'
( )
u .
Sử dụng công thức đạo hàm hợp:

và  u 


'

2
'

1  
1
1
1  1
1 





=  x −
. x −
= 2.  x −
+
÷  = 2.  x −
÷
÷
÷
÷
x  
f ' ( x ) 
x 

x
x  2 x 2 x x 


Ta có:

= 2.

1 
1   1   1  1 
1
 x−
÷1 + ÷ =  1 − ÷ 1 + ÷ = 1 − 2
2 x
x   x   x  x 
x .
3

1 

f ( x) =  x −
÷
x  xác định trên D = ( 0;+∞ ) . Đạo hàm của hàm f ( x ) là:

Câu 40. [1D5-2] Hàm số
3
1
1
1 
3

1
1
1 
f '( x) =  x −
−
+ 2
f '( x) =  x +
+
+ 2
÷
÷
2
2
x x x x x.
x x x x x .
A.
B.
3
1
1
1 
f '( x) =  − x +
+
− 2
÷
2
x x x x x .
C.

D.

f '( x) = x x − 3 x +

3
1
−
x x x.

Lời giải
Chọn A.
'

•

u'
1
=− 2
n
n −1

÷
u
'
=
n
.
u
.
u
'

( )
u .
Sử dụng công thức đạo hàm hợp:
và  u 
2

1   1
1 

1 
1  1
= 3 x −
.
+
÷
÷ = 3.
 x − 2 + ÷. 1 + ÷
f '( x)
x   2 x 2x x 
x  x
2 x

• Ta có:
=

Câu 41.

3 
1 1 
 x −1 − + 2 ÷ =

x x 
2 x

[1D5-2] Cho hàm số
A. 4 .

3
1
1
1 
x−
−
+ 2

÷
2
x x x x x .

f ( x ) = − x 4 + 4 x3 − 3x 2 + 2 x + 1

f ' ( −1)
xác định trên ¡ . Giá trị
bằng:
C. 15 .
D. 24 .

B. 14 .
Lời giải

Chọn D.

• Ta có:

Câu 42.

f ' ( x ) = −4 x 3 + 12 x 2 − 6 x + 2
f ' ( −1) = 24
. Nên
.

[1D5-2] Cho hàm số
2
f '( x ) =
2
x + 1)
(
A.
.

2x −1
x + 1 xác định ¡ \ { 1} . Đạo hàm của hàm số f ( x ) là:
3
1
−1
f '( x) =
f '( x) =
f '( x) =
2
2
2
x + 1)

x + 1)
x + 1)
(
(
(
B.
.
C.
. D.
.

f ( x) =

Lời giải
Chọn B.


'

• Sử dụng công thức đạo hàm:

 ax + b  a.d − b.c

÷=
2
 cx + d  ( cx + d )

.

'

3
 2 x − 1  = 2.1 + 1.1 =
f '( x) = 
÷ ( x + 1) 2 ( x + 1) 2
 x +1 
• Ta có :
.

Câu 43.

[1D5-2] Cho hàm số
1
f '( x) = − x 3 x.
3
A.

1
x xác định ¡ \ { 0} . Đạo hàm của hàm số f ( x ) là:
1
1
1
f '( x) = −
.
f '( x) = − 3 .
f '( x ) = x 3 x.
3 2
3
x
x
3

x
x
3
B.
C.
D.

f ( x ) = −1 +

3

Lời giải
Chọn C.

( x ) ' = n.x
n



Mở rộng cho công thức

n −1

( xα ) ' = α .xα −1 với α ∈ ¡ \ { 0} .
, n nguyên dương:
'

'

'

1
1
4
1   1   −3 

1
− −1
−
f ' ( x ) =  −1 + 3 ÷ =  3 ÷ =  x ÷ = − 1 x 3 = − 1 . x 3 = −
x  x 

3x 3 x .

3
3
 Ta có:

Câu 44.

[1D5-3] Với
A. 1 .

f ( x) =

x2 − 2 x + 5
x − 1 . Thì f ' ( −1) bằng:
B. −3 .
C. −5 .

D. 0 .

Lời giải
Chọn D.
x2 − 2x + 5
4 ⇒ f '( x) = 1− 4 2
f ( x) =
= x −1+
( x − 1) ⇒ f ' ( −1) = 0 .
x −1
x −1
Ta có:
y = f ( x) =

Câu 45.

[1D5-3] Cho hàm số
1
y ' ( 0) =
2.
A.

x

4 − x 2 . Tính y ' ( 0 ) bằng:
1
y ' ( 0) =
y ' ( 0) = 1
3.
B.
C.

.

D.

y ' ( 0) = 2

Lời giải
Chọn A.
'

(


x  x '. 4 − x − x. 4 − x
y ' = f '( x) = 
÷=
2
4
−
x


4 − x2
Ta có:
2

2

)

'

4 − x2 +
=

4 − x2

x2
4 − x2

.


⇒ y ' ( 0) =

Câu 46.

4 1
=
4
2.

[1D5-3] Cho hàm số
y ' ( 1) = −4
A.
.

x2 + x
x − 2 , đạo hàm của hàm số tại x = 1 là:
y ' ( 1) = −3

y ' ( 1) = −2
B.
.
C.
.

y=

D.

y ' ( 1) = −5

.

Lời giải
Chọn D.

Ta có:

y=

6
x2 + x
6 ⇒ y ' = 1−
2
= x + 3+
( x − 2 ) ⇒ y ' ( 1) = 1 − 6 = −5 .
x−2
x−2

BÀI 3: ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Câu 47.

[1D5-1] Hàm số y = sin x có đạo hàm là:
A. y ' = cos x .

B. y ' = − cos x .

C. y ' = − sin x .

D.

y' =

1
cos x .

y' =

1
sin x .

Lời giải
Chọn A.
Theo công thức đạo hàm lượng giác sgk Đại số 11:
Câu 48.

( sin x ) ' = cos x .

[1D5-1] Hàm số y = cos x có đạo hàm là:

A. y ' = sin x .

B. y ' = − sin x .

C. y ' = − cos x .

D.

Lời giải
Chọn B.
Theo công thức đạo hàm lượng giác sgk Đại số 11:
Câu 49.

[1D5-1] Hàm số y = tan x có đạo hàm là:
1
y'=
cos 2 x .
A. y ' = cot x .
B.

C.

( cos x ) ' = − sin x .
y'=

1
sin 2 x .

Lời giải
Chọn B.

Theo công thức đạo hàm lượng giác sgk Đại số 11:
Câu 50.

[1D5-1] Hàm số y = cot x có đạo hàm là:

( tan x ) ' =

1
cos 2 x .

2
D. y ' = 1 − tan x .


A. y ' = − tan x .

B.

y'= −

1
cos 2 x .

C.

y' = −

1
sin 2 x .

2
D. y ' = 1 + cot x .

Lời giải
Chọn B.

Theo công thức đạo hàm lượng giác sgk Đại số 11:

Câu 51.

[1D5-1] Hàm số
A. y ' = 1 + tan x .

y=

( cot x ) ' = −

1
sin 2 x .

1
2
( 1 + tan x )
2
có đạo hàm là:

B.

y ' = ( 1 + tan x )

2

.

C.

y ' = ( 1 + tan x ) ( 1 + tan 2 x )

2
D. y ' = 1 + tan x .

.

Lời giải
Chọn C.

Câu 52.

•

( u ) ' = n.u
Sử dụng công thức đạo hàm hợp:

•

1
1
'
2

y ' = .2 ( 1 + tan x ) . ( 1 + tan x ) = ( 1 + tan x )
2
cos 2 x = ( 1 + tan x ) ( 1 + tan x ) .
Ta có:

n

n −1

.u '

và đạo hàm của hàm số lượng giác.

2
[1D5-3] Hàm số y = sin x.cos x có đạo hàm là:

A.

y ' = sinx ( 3cos 2 x − 1)

C.

y ' = sinx ( cos 2 x + 1)

.

.

B.

y ' = sinx ( 3cos 2 x + 1)

D.

y ' = sinx ( cos 2 x − 1)

Lời giải
Chọn A.
•

y ' = ( sin 2 x ) '.cos x + sin 2 x. ( cos x ) ' = 2 cos 2 x sin x − sin 3 x

= sin x ( 2 cos 2 x − sin 2 x ) = sin x ( 3cos 2 x − 1)

Câu 53.

[1D5-2] Hàm số
A.

C.

y=

.

sinx
x có đạo hàm là:

y'=

x cos x + sin x
x2
.

y'=

x sin x + cos x
x2
.

B.

D.
Lời giải

y' =

x cos x − sin x
x2
.

y' =

x sin x − cos x
x2
.

.

.

Chọn B.

•
Câu 54.

y' =

( sin x ) '.x − sinx .x' = x.cos x − sin x
x2

x2

.

2
[1D5-2] Hàm số y = x .cos x có đạo hàm là:
2
A. y ' = 2 x.cos x − x sin x .

2
B. y ' = 2 x.cos x + x sin x .

2
C. y ' = 2 x.sin x − x cos x .

2
D. y ' = 2 x.sin x + x cos x .

Lời giải
Chọn A.
y ' = ( x 2 ) '.cos x + x 2 . ( cos x ) ' = 2 x.cos x − x 2 .sin x

•
Câu 55.

.

[1D5-2] Hàm số y = tan x − cot x có đạo hàm là:
A.

y' =

1
cos 2 2 x .

B.

y' =

4
sin 2 2 x .

C.

y' =

4
cos 2 2 x .

D.

Lời giải
Chọn B.

•
Câu 56.

y' =

1
1
sin 2 x + cos 2 x
4
+
=
=
2
2
2
2
cos x sin x sin x.cos x sin 2 2 x .

[1D5-3] Hàm số y = 2 sin x − 2 cos x có đạo hàm là:

A.

C.

y' =

1
1
−
sin x
cos x .

y' =

cos x
sin x
−
sin x
cos x .

B.

D.

y'=

1
1
+
sin x
cos x .

y'=

cos x
sin x
+
sin x
cos x .

Lời giải
Chọn D.

•

y' = 2
=

Câu 57.

(

) (

sin x '− 2

)

cos x ' = 2.cos x.

1
1
+ 2sin x
2 sin x

2 cos x .

cos x
sin x
+
sin x
cos x

[1D5-3] Hàm số

y = f ( x) =

2
cos ( π x )

có

f ' ( 3)

bằng:

y'=

1
sin 2 2 x .


8π
B. 3 .

A. 2π .

4 3
C. 3 .

D. 0 .

Lời giải
Chọn D.
f '( x) =

•

f ' ( 3) = 2π .

•
Câu 58.

sin ( π x )
2
−1
= 2. ( cos ( π x ) ) '.
= 2.π
2
cos ( π x )
cos ( π x )
cos2 ( π x )

[1D5-3] Hàm số

sin 3π
=0
cos 2 3π
.

y = tan 2

x
2 có đạo hàm là:

x
2
y' =
x
cos 3
2.
A.

x
2
y'=
x
cos3
2.
B.

sin

y'=
C.

sin

x
2

2 cos3

.

2sin

 x
y ' = tan 3  ÷
 2.
D.

x
2.
Lời giải

Chọn A.

•
Câu 59.

x
x
sin
sin

x
x
1
1
x
1


2 =
2
y ' =  tan ÷'.2 tan =
2 tan =
.
x
x
x
x
2
2 2 cos 2
2 cos 2 cos

cos3
2
2
2
2.

[1D5-3] Hàm số y = cot 2 x có đạo hàm là:

A.

y'=

1 + cot 2 2 x
cot 2 x .

B.

1 + tan 2 2 x
y' =
cot 2 x .
C.

D.

y'=

− ( 1 + cot 2 2 x )

y'=

cot 2 x

.

− ( 1 + tan 2 2 x )
cot 2 x

.

Lời giải
Chọn B.

•

− ( 1 + cot 2 2 x )
1
1
1
y ' = ( cot 2 x ) '
= −2. 2 .
=
sin 2 x 2 cot 2 x
2 cot 2 x
cot 2 x
.


Câu 60.

π 
y ' ÷
[1D5-3] Cho hàm số y = cos 3 x.sin 2 x . Tính  3  bằng:
π 
y '  ÷ = −1
A.  3 
.

π 
y ' ÷= 1

B.  3  .

1
π 
y ' ÷= −
2.
C.  3 

π  1
y ' ÷=
D.  3  2 .

Lời giải
Chọn B.

Câu 61.

•

y ' = ( cos 3 x ) 'sin 2 x + cos 3 x ( sin 2 x ) ' = −3sin 3 x.sin 2 x + 2 cos 3 x.cos 2 x

•

π
π
π
π
π 
y '  ÷ = −3sin 3 .sin 2 + 2 cos 3 .cos 2 = 1
3

3
3
3
3
.

[1D5-3] Cho hàm số

y=

π 
cos 2 x
y ' ÷
1 − sin x . Tính  6  bằng:

π 
y '  ÷ = −1
B.  6 
.

π 
y ' ÷= 1
A.  6  .

.

π 
y ' ÷= 3
C.  6 
.

π 
y ' ÷= − 3
D.  6 
.

Lời giải
Chọn D.
y' =
•

( cos 2 x ) '. ( 1 − sin x ) − cos 2 x ( 1 − sin x ) ' = −2sin 2 x ( 1 − sin x ) + cos 2 x.cosx
2
2
( 1 − sin x )
( 1 − sin x )
.

π 
y ' ÷=
6

−2.

•
Câu 62.

[1D5-3] Xét hàm số

3 1 1 3

3
3
−
+
 1 − ÷+ .
2  2 2 2
4 = 4  − 3 + 3  = −2 3 + 3 = − 3
= 2

÷
2
1
2
4 ÷
 1


1 − ÷
4
2


.

f ( x ) = 3 cos 2 x

. Chọn đáp án sai:
−2sin 2 x

π 

f  ÷ = −1
A.  2 
.

B.

π 
f ' ÷= 1
C.  2  .

2
D. 3. y . y '+ 2sin 2 x = 0 .

Lời giải
Chọn C.

•

π
π 
f  ÷ = 3 cos 2. = −1
2
2
.

f '( x) =

3. 3 cos 2 2 x .

y = 3 cos 2 x ⇒ y 3 = cos 2 x ⇒ y '3 y 2 = −2sin 2 x ⇒ y ' =
•

(

3

cos 2 x

)

2

.

π 
f ' ÷= 0
2
.

•

3.

(

3

)

2

cos 2 x .

•

Câu 63.

3

−2sin 2 x

3

(

−2sin 2 x
3

cos 2 x

)

2

+ 2sin 2 x = −2sin 2 x + 2sin 2 x = 0
.

π2 
f ' ÷

y = f ( x ) = sin x + cos x
16
[1D5-3] Cho hàm số
. Giá trị   bằng:
A. 0 .

B.

2 2
D. π .

2
C. π .

2.
Lời giải

Chọn A.
f '( x) =

•

1
2 x

π2 
f ' ÷=
 16 
•

Câu 64.

cos x −

1
2 x

sin x =

1
2 x

( cos

x − sin x

2
2 

π
π




 cos  ÷ − sin  ÷ ÷ = 1
2
2
4
4 ÷

π  
 2.
2  ÷ 
2
4

1

)

.

 2
2
−

÷= 0
2 ÷
 2

.

π 
f ' ÷
y = f ( x ) = tan x + cot x
[1D5-3] Cho hàm số
. Giá trị  4  bằng:
2
B. 2 .

2.

A.

C. 0 .

1
D. 2 .

Lời giải
Chọn C.

•

y = tan x + cot x ⇒ y 2 = tan x + cot x ⇒ y '.2 y =
⇒ y' =

•

1
1
− 2
2
cos x sin x .

1
1 
 1
− 2 ÷


2
2 tan x + cot x  cos x sin x  .




÷
1
1
1
1
π 

÷=
f ' ÷=
−
( 2 − 2) = 0
π
π  cos 2  π  sin 2  π  ÷ 2 2
4
2 tan + cot 
 ÷
 ÷÷
4
 4 
4
4


Câu 65.

[1D5-3] Cho hàm số

y = f ( x) =

1
π 
f ' ÷
sin x . Giá trị  2  bằng:

1
B. 2 .

A. 1 .

C. 0 .

D. Không tồn tại.

Lời giải
Chọn C.

•

y=

1
1
− cos x
⇒ y2 =

⇒ y '2y =
sin x
sin 2 x .
sin x

⇒ y'=

•

Câu 66.

1  − cos x 
.
÷=
2 y  sin 2 x 

1  − cos x  − sin x cos x
=
. 2
2  sin 2 x ÷
2
sin x

sin x
.

π 
π
− sin  ÷ cos  ÷
π 

2
 2  = −1 . 0 = 0
f ' ÷=
.
2
π  2 1
2
sin 2  ÷
2
.

 5π

π 
y = f ( x ) = 2sin 
+ x÷
f ' ÷
 6
 . Tính giá trị  6  bằng:
[1D5-3] Xét hàm số

B. 0 .

A. −1 .

C. 2 .

D. −2 .

Lời giải

Chọn D.

Câu 67.

•

 5π

f ' ( x ) = 2 cos 
+ x÷
 6
.

•

π 
f '  ÷ = −2
6
.

2π

y = f ( x ) = tan  x −
3

[1D5-3] Cho hàm số

A. 4 .

B.


÷
 . Giá trị f ' ( 0 ) bằng:

C. − 3 .

3.
Lời giải

Chọn A.
y'=

•

1
2π 

cos 2  x −
÷
3 .


D. 3 .


f ' ( 0) = 4

•
Câu 68.

.

[1D5-3] Cho hàm số

y = f ( x ) = 2sin x

A. y ' = 2 cos x .

B.

. Đạo hàm của hàm số y là:

1
cos x
x
.

y' =

C.

y ' = 2 x .cos

1
y' =
x . D.

1
x .cos x .

Lời giải
Chọn B.

•

Câu 69.

y ' = 2.

( x ) '.cos

[1D5-3] Cho hàm số
π 
y′  ÷ = 1
A.  6  .

x=

1
.cos x
x
.

π 
cos x
y′  ÷
1 − sin x . Tính  6  bằng:
π 
π 

y′  ÷ = −1
y′  ÷ = 2
B.  6 
.
C.  6 
.

y=

π 
y ′  ÷ = −2
D.  6 
.

Lời giải
Chọn D.
y′ =

Ta có

− sin x ( 1 − sin x ) + cos 2 x

( 1 − sin x )

2

=

1
1 − sin x

.

1
π 
y′  ÷ =
=2
 6  1 − sin π
6
.
BÀI 4: VI PHÂN
Câu 70.

[1D5-1] Cho hàm số
A.

dy = 2 ( x − 1) dx

y = f ( x ) = ( x − 1)

2

. Biểu thức nào sau đây chỉ vi phân của hàm số

dy = ( x − 1) dx
2

.

B.

.

C.

dy = 2 ( x − 1)

.

D.

dy = 2 ( x − 1) dx

Lời giải
Chọn A.
Ta có
Câu 71.

dy = f ′ ( x ) dx = 2 ( x − 1) dx

.

y = f ( x ) = 1 + cos 2 2 x
[1D5-3] Xét hàm số
. Chọn câu đúng:
− sin 4 x
− sin 4 x
df ( x ) =
dx
df ( x ) =

dx
2
2 1 + cos 2 x .
1 + cos 2 2 x .
A.
B.
df ( x ) =

C.

cos 2 x
1 + cos 2 2 x

df ( x ) =

dx

.

D.

− sin 2 x
2 1 + cos 2 2 x

f ( x)

dx

.

.

?


Lời giải
Chọn B.

Ta có :
Câu 72.

dy = f ′ ( x ) dx

( 1 + cos
=

2

2x ) ′

2 1 + cos 2 2 x

dx =

−4 cos 2 x.sin 2 x
2 1 + cos 2 2 x

dx =

− sin 4 x

1 + cos 2 2 x

3
[1D5-1] Cho hàm số y = x − 5 x + 6 . Vi phân của hàm số là:

A.

dy = ( 3x 2 − 5 ) dx

.

B.

dy = − ( 3 x 2 − 5 ) dx

. C.

dy = ( 3 x 2 + 5 ) d x

.

D.

dx

.

dy = ( 3 x 2 − 5 ) d x

.

Lời giải
Chọn A.
Ta có

Câu 73.

dy = ( x 3 − 5 x + 6 ) ′ d x = ( 3 x 2 − 5 ) d x

[1D5-2] Cho hàm số
1
dy = dx
4 .
A.

.

1
3 x3 . Vi phân của hàm số là:
1
1
dy = 4 dx
dy = − 4 dx
x
x
B.
.
C.
.

y=

4
D. dy = x dx .

Lời giải
Chọn C.

Ta có
Câu 74.

1 3x 2
1
 1 ′
dy =  3 ÷ dx = .
= − 4 dx
2
3
3 (x )
x
 3x 

[1D5-1] Cho hàm số
dx
dy =
2
( x − 1) .
A.

y=

.

x+2
x − 1 . Vi phân của hàm số là:

dy =

B.

3dx

( x − 1)

dy =

2

.

C.

−3dx

( x − 1)

dy = −

2

.

D.

dx

( x − 1)

2

.

Lời giải
Chọn C.

Ta có

Câu 75.

3
 x + 2 ′
dy = 
dx
÷ dx = −
2
 x −1 
( x − 1)

[1D5-1] Cho hàm số

y=

.

x2 + x + 1
x − 1 . Vi phân của hàm số là:

x2 − 2 x − 2
2x +1
dy = −
dx
dy =
dx
2
( x − 1)
( x − 1) 2 .
A.
. B.
Chọn D.

x2 − 2 x − 2
2x +1
dy =
dx
dy = −
dx
( x − 1) 2
( x − 1) 2 . D.
C.
.

Lời giải


( 2 x + 1) ( x − 1) − ( x 2 + x + 1)
x2 − 2 x − 2
 x 2 + x + 1 ′
=
d
x
=
dx
dy = 
d
x
2
2
÷
x − 1)
x − 1)
x −1 
(
(

Ta có
.
Câu 76.

3
2
[1D5-1] Cho hàm số y = x − 9 x + 12 x − 5 . Vi phân của hàm số là:

A.

dy = ( 3 x 2 − 18 x + 12 ) dx

C.

dy = − ( 3 x 2 − 18 x + 12 ) dx

.
.

B.

dy = ( −3 x 2 − 18 x + 12 ) dx

.

D.

dy = ( −3 x 2 + 18 x − 12 ) dx

.

Lời giải
Chọn A.
Ta có
Câu 77.

dy = ( x3 − 9 x 2 + 12 x − 5 ) ′ dx = ( 3 x 2 − 18 x + 12 ) dx

.

[1D5-2] Cho hàm số y = sin x − 3cos x . Vi phân của hàm số là:
dy = ( − cos x + 3sin x ) dx
dy = ( − cos x − 3sin x ) dx
A.
.
B.
.
C.

dy = ( cos x + 3sin x ) dx

.

dy = − ( cos x + 3sin x ) dx

D.

.

Lời giải
Chọn C.
Ta có
Câu 78.

dy = ( sin x − 3cos x ) ′ dx = ( cos x + 3sin x ) dx

.

2
[1D5-2] Cho hàm số y = sin x . Vi phân của hàm số là:
A. dy = – sin 2 x dx .
B. dy = sin 2 x dx .
C. dy = sin x dx .

D. dy = 2cosx dx .

Lời giải
Chọn B.
Ta có

Câu 79.

dy = d ( sin 2 x ) = ( sin 2 x ) ′ dx = cos x.2sin xdx = sin 2 xdx

[1D5-3] Vi phân của hàm số
A.

C.

dy =

2 x
dx
4 x x cos 2 x .

dy =

2 x − sin(2 x )
dx
4 x x cos 2 x
.

y=

tan x
x là:
B.

dy =

D.
Lời giải

Chọn D.

.

sin(2 x )
dx
4 x x cos 2 x .

dy = −

2 x − sin(2 x )
dx
4 x x cos 2 x
.