3 30 bài tập NHỊ THỨC NIU tơn file word có lời giải chi tiết

 BÀI 03
NHỊ THỨC NIU TƠN
1. Nhị thức Niu-tơn
n

( a+ b) = Cn0an +Cn1an- 1b+... +Cnn- 1abn- 1 +Cnnbn
n

= �Cnkan- kbk.
k=0

2. Hệ quả
Với a = b = 1, ta có 2n = Cn0 +Cn1 +... +Cnn- 1 +Cnn.
k

n

Với a = 1; b = - 1, ta có 0n = Cn0 - Cn1 +L +( - 1) Cnk +L +( - 1) Cnn.

3. Chú ý
n

Trong biểu thức ở vế phải của khai triển ( a + b)
�Số các hạng tử là n+1;
�Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0 ; số mũ của b tăng dần từ
0 đến n , nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n
(quy ước a0 = b0 = 1);
�Các hệ số của mỗi cặp hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối đều bằng
nhau.

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

10

Câu 1. Tìm hệ số của x12 trong khai triển ( 2x - x2 ) .
8
.
A. C10

2 8
2.
B. C10

2
.
C. C10

Câu 2. Khai triển đa thức P ( x) = ( 5x - 1)
P ( x) = a2007 x

2007

Mệnh đề nào sau đây là đúng?
7
.57.
A. a2000 =- C2007
2000 2000
.5 .
C. a2000 = - C2007

2007

2 8
2.
D. - C10

ta được
2006

+ a2006 x

+... + a1x + a0.

7
.57.
B. a2000 = C2007
7
.57.
D. a2000 = C2007

5
4
3
2
Câu 3. Đa thức P ( x) = 32x - 80x + 80x - 40x +10x - 1 là khai triển của nhị
thức nào dưới đây?
5

A. ( 1- 2x) .

5

B. ( 1+ 2x) .

5

5

C. ( 2x- 1) .

D. ( x- 1) .
13

� 1�
Câu 4. Tìm số hạng chứa x trong khai triển �
x- �
�
�
�.
�
� x�
7

4 7
x.
A. - C13

3
.
B. - C13

3 7

x.
C. - C13

3 7
x.
D. C13
9

� 1�
�
Câu 5. Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển �
x+ �
.
�
�
�
� 2x�
A. -

1 3 3
C9 x .
8

B.

1 3 3
C9 x .
8

C. - C93x3.

D. C93x3.
40

� 1�
Câu 6. Tìm số hạng chứa x31 trong khai triển �
x+ �
�
�
�.
�
� x2 �
37 31
x .
A. - C40

37 31
x .
B. C40

2 31
x .
C. C40

4 31
x .
D. C40


6

�2 2�
�.
Câu 7. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển �
x + �
�
�
�
�
x�
A. 24C62.

B. 22C62.

C. - 24C64.

D. - 22C64.

8
� 2 1�
�
�
Câu 8. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển �
xy
.
�
�
�
xy�
�

�

A. 70y4.

B. 60y4.

C. 50y4.

D. 40y4.

5
�
1�
3
�
�
x
y
�
Câu 9. Tìm số hạng chứa
trong khai triển �
xy + �.
�
�
y�
�

A. 3x3 y.

B. 5x3 y.

C. 10x3 y.

D. 4x3 y.
3n+1

�
�
1
Câu 10. Tìm hệ số của x trong khai triển �
+ x3 �
�
�
�
�
�
�
x

với x �0 , biết n là số

6

2
2
nguyên dương thỏa mãn 3Cn+1 + nP2 = 4An .

A. 210x6.

B. 120x6.

C. 120.

D. 210.

(

)

Câu 11. Tìm hệ số của x9 trong khai triển 1dương thỏa mãn
9
A. - C18

( 3)

9

.

3x

2n

, biết n là số nguyên

2
14
1
+
= .

Cn2 3Cn3 n
9
B. - C18

( 3)

9

x9.

9
C. C18

( 3)

9

x9.

9
D. C18

�
Câu 12. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển �
2x �
�
�

( 3)

9

.

2n
3�
�
với x �0 , biết
�
�
3
�
x�

n là số nguyên dương thỏa mãn Cn3 + 2n = An2+1 .
12 4 12
.2 .3 .
A. - C16

0
.216.
B. C16

12 4 12
.2 .3 .
C. C16

16 0
.2 .
D. C16

n

� 2 2�
Câu 13. Tìm hệ số của x7 trong khai triển �
3x - �
�
�
� với x �0 , biết hệ số của
�
�
x�
số hạng thứ ba trong khai triển bằng 1080.
A. 1080.
B. - 810.
C. 810.
D. 1080.
Câu 14. Tìm số tự nhiên n , biết hệ số của số hạng thứ 3 theo số mũ giảm
n
� 1�
�
dần của x trong khai triển �
x
�
�
� bằng 4.
�
� 3�
A. 8.
B. 17.
C. 9.

D. 4.
21

Câu 15. Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển ( x3 + xy) .
10 40 10
x y .
A. C21

10 43 10
x y .
B. C21

11 41 11
x y .
C. C21

10 43 10
11 41 11
x y ; C21
x y .
D. C21
17

Câu 16. Tính tổng S tất cả các hệ số trong khai triển ( 3x- 4) .
A. S = 1.

B. S = - 1.

C. S = 0.

Câu 17. Khai triển đa thức P ( x) = ( 2x - 1)
P ( x) = a1000 x

1000

Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. a1000 + a999 +... + a1 = 2n .
C. a1000 + a999 +... + a1 = 1 .

1000
999

+ a999 x

D. S = 8192.

ta được
+... + a1x + a0.

B. a1000 + a999 +... + a1 = 2n - 1 .
D. a1000 + a999 +... + a1 = 0 .
5

10

Câu 18. Tìm hệ số của x5 trong khai triển P ( x) = x( 1- 2x) + x2 ( 1+ 3x) .


A. 80.

B. 3240.

C. 3320.

D. 259200.
2
�
�
1 2
3n
�
�
trong khai triển f ( x) = � x + x +1�
( x + 2) với n
�
�
�
�
4

Câu 19. Tìm hệ số chứa x10

là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức An3 +Cnn- 2 = 14n .
10
.
A. 25C19

10 10
x .
B. 25C19

10
.
C. 29C19

10 10
x .
D. 29C19

Câu 20. Tìm hệ số của x4 trong khai triển P ( x) = ( 1- x - 3x3 )
n- 2
n

nhiên thỏa mãn hệ thức C
A. 210.
B. 840.
Câu 21. Tìm hệ số của x

10

A. 5.

n

với n là số tự

2
n+1

+ 6n + 5 = A

.
C. 480.

D. 270.
3 5

trong khai triển ( 1+ x + x + x

B. 50.

2

C. 101.

)

.
D. 105.
2

8

Câu 22. Tìm hệ số của x trong khai triển P ( x) = ( 1+ x) + 2( 1+ x) +... + 8( 1+ x) .
5

A. 630.
B. 635.
C. 636.
Câu 23. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. C20n +C21n +... +C2nn = C2nn+1 +C2nn+2 +... +C22nn.

D. 637.

B. C20n +C21n +... +C2nn- 1 = C2nn+1 +C2nn+2 + ... +C22nn.
C. C20n +C21n +... +C2nn- 2 = C2nn+1 +C2nn+2 +... +C22nn.
D. C20n +C21n +... +C2nn+1 = C2nn+1 +C2nn+2 +... +C22nn.
Câu 24. Tính tổng
A. S = 2n - 1.
Câu 25. Tính tổng
A. S = 22n.

S = Cn0 +Cn1 +Cn2 + ... +Cnn .
B. S = 2n.
C. S = 2n- 1.
S = C20n +C21n +C22n +... +C22nn .

D. S = 2n +1.

B. S = 22n - 1.
C. S = 2n.
D. S = 22n +1.
1
2
n
20
Câu 26. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn C2n+1 +C2n+1 +... +C2n+1 = 2 - 1 .
A. n = 8.
B. n = 9.
C. n = 10.

D. n = 11.
1
3
2n+1
Câu 27. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn C2n+1 +C2n+1 +... +C2n+1 = 1024 .
A. n = 5.
B. n = 9.
C. n = 10.
D. n = 4.
0
1
2 3
n n
S
=
C
+
3
C
+
3
C
+
...
+
3
C
Câu 28. Tính tổng
n
n

n
n .
A. S = 3n.
B. S = 2n.
C. S = 3.2n.
D. S = 4n.
12
Câu 29. Khai triển đa thức P ( x) = ( 1+ 2x) = a0 + a1x +... + a12x12 . Tìm hệ số ak

( 0 �k �12) lớn nhất trong khai triển trên.
8 8
2.
A. C12

9 9
2.
B. C12

10 10
2 .
C. C12

8 8
2.
D. 1+C12

10

�
�

1 2 �
Câu 30. Khai triển đa thức P ( x) = �
+ x�
= a0 + a1x +... + a9x9 + a10 x10 . Tìm hệ
�
�
�
�
3 3 �
số ak ( 0 �k �10) lớn nhất trong khai triển trên.
A. 1+

27 7
C10.
310

B.

27 7
C10.
310

C.

26 6
C10.
310

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

D.

28 8
C10.
310


10

Câu 1. Tìm hệ số của x12 trong khai triển ( 2x - x2 ) .
8
2 8
2
.
2.
.
A. C10
B. C10
C. C10
Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có

( 2x -

10

10

k
x2 ) = �C10
.( 2x)

10- k

k=0

10

k

k
.( - x2 ) = �C10
.( 2)

10- k

k=0

2 8
2.
D. - C10
10

k
.x10- k+2k = �C10
.( 2)

10- k

.x10+k.

k=0

2 8
Hệ số của x12 ứng với 10+ k = 12 � k = 2 ��
� hệ số cần tìm C10 2 . Chọn B.

Câu 2. Khai triển đa thức P ( x) = ( 5x - 1)
P ( x) = a2007 x

2007

2007

ta được
2006

+ a2006 x

Mệnh đề nào sau đây là đúng?
7
.57.
A. a2000 =- C2007

+... + a1x + a0.

7
.57.
B. a2000 = C2007

2000 2000

7
.5 .
.57.
C. a2000 = - C2007
D. a2000 = C2007
Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có

( 5x - 1)

2007

2017

k
= �C2017
.( 5x)
k=0

2017- k

2017

k
.( - 1) = �C2017
.( 5)
k

2017- k

k

.( - 1) .x2017- k .

k=0

Hệ số của x2000 ứng với 2017- k = 2000 � k = 7
7
��
� hệ số cần tìm - C2017.( 5)

2000

2000 2000
= - C2007
.5 . Chọn C.

5
4
3
2
Câu 3. Đa thức P ( x) = 32x - 80x + 80x - 40x +10x - 1 là khai triển của nhị
thức nào dưới đây?
5

A. ( 1- 2x) .

5

B. ( 1+ 2x) .

5

5

C. ( 2x- 1) .

D. ( x- 1) .

Lời giải. Nhận thấy P ( x) có dấu đan xen nên loại đáp án B.
Hệ số của x5 bằng 32 nên loại đáp án D và còn lại hai đáp án A và C thì chỉ có
C phù hợp (vì khai triển số hạng đầu tiên của đáp án C là 32x5. ) Chọn C.
13

� 1�
Câu 4. Tìm số hạng chứa x7 trong khai triển �
x- �
�
�
�.
�
� x�
4 7
3
3 7
3 7
x.
.
x.
x.
A. - C13

B. - C13
C. - C13
D. C13
Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
13
k
13
13
� 1�
1�
k
k
13- k �
k
�
�
�
x- �
=
C
.
x
.
=
C13
.( - 1) .x13- 2k .
�
�
�
�

�
�
13
�
�
�
�
� x� k=0
� x� k=0
3 7
Hệ số của x7 ứng với 13- 2k = 7 � k = 3 ��
� số hạng cần tìm - C13x . Chọn C.
9

� 1�
�
Câu 5. Tìm số hạng chứa x trong khai triển �
x + �.
�
�
� 2x�
�
3

1 3 3
1
C9 x .
B. C93x3.
C. - C93x3.
D. C93x3.

8
8
Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
9
k
k
9
9
� 1�
1�
1� 9- 2k
k
9- k �
k ��
�
�
�
�
�
x
+
=
C
.
x
.
=
C
.
.x .

�
�
�
�
�
�
� � 9
� � 9 ��
� 2x�
�
�
�
�
2x�
2�
k=0
k=0
A. -

Hệ số của x3 ứng với 9- 2k = 3 � k = 3 ��
� số hạng cần tìm

1 3 3
C9 x . Chọn B.
8

40

� 1�
Câu 6. Tìm số hạng chứa x31 trong khai triển �

x+ �
�
�
�.
�
� x2 �
37 31
37 31
2 31
x .
x .
x .
A. - C40
B. C40
C. C40
Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có

4 31
x .
D. C40


40

k

40
40
� 1�
�

�1 �
k
�= C k .x40- 3k .
�
x+ 2 �
= �C40
.x40- k.�
�
�
�
�
40
2
�
�
� x � k=0
�
�
�
x � k=0
37 31
Hệ số của x31 ứng với 40- 3k = 31 � k = 3 ��
� số hạng cần tìm C40 x . Chọn B.
6

�2 2�
Câu 7. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển �
x + �
�
�

�.
�
�
x�
A. 24C62.
B. 22C62.
C. - 24C64.
D. - 22C64.
Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
6
k
6
�2 2�
� 6 k 2 6- k �
2�
k
�
�
�
x + �
=
C
.
x
.
=
C6k .( 2) .x12- 3k.
�
(
)

�
�
�
�
6
�
�
�
�
�
�
x� k=0
x � k=0
Số hạng không chứa x ứng với 12- 3k = 0 � k = 4
4 4
4 2
��
� số hạng cần tìm C6 .2 = 2 C6 . Chọn A.
8

� 2 1�
�
�
Câu 8. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển �
xy .
�
�
�
�
xy�

�
A. 70y4.
B. 60y4.
C. 50y4.
D. 40y4.
Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
8
k
8
8
� 2 1�
�
� �
k
k
2 8- k � 1 �
�
�
�
xy =
C
.
xy
.
=
C8k .( - 1) .x8- 2k . y16- 3k .
�
(
)
�

�8
�
�
� xy�
�
� �
xy�
�
� k=0
�
k=0
Số hạng không chứa x ứng với 8- 2k = 0 � k = 4
4 4
4
��
� số hạng cần tìm C8 y = 70y . Chọn A.
5
�
1�
3
�
�
x
y
�.
Câu 9. Tìm số hạng chứa
trong khai triển �
xy + �
�
�

y�
�

A. 3x3 y.
B. 5x3 y.
C. 10x3 y.
D. 4x3 y.
Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
5
k
5
5
�
1�
1�
5- k �
k
�
�
�
�
�
xy + �
=
C
.
xy
.
=
C5k.x5- k . y5- 2k .

(
)
�
�
�
�
5
�
�
�
�
�
�y�
y�
�
�
k=0

k=0

�
5- k = 3
� k = 2 ��
� số hạng cần tìm C52 x3 y = 10x3 y.
Hệ số của x3 y ứng với �
�
�
5- 2k = 1
�
Chọn C.

3n+1
�
�
1
3�
Câu 10. Tìm hệ số của x6 trong khai triển �
+
x
� với x �0 , biết n là số
�
�
�
�
�
x
2
2
nguyên dương thỏa mãn 3Cn+1 + nP2 = 4An .

A. 210x6.
B. 120x6.
C. 120.
2
2
� n = 3.
Lời giải. Từ phương trình 3Cn+1 + nP2 = 4An ��
3n+1

10

D. 210.

10- k

10
10
�
�
�
k
1
1
1�
3�
k �
k
Với n = 3 , ta có �
=�
+ x3 �
= �C10
.�
.( x3 ) = �C10
.x4k- 10.
�
�
�
� +x �
�
��
�

�
�
�
�
�
�
�
�
� k=0
�
x
x
x�
k=0
4
Hệ số của x6 ứng với 4k - 10 = 6 � k = 4 ��
� hệ số cần tìm C10 = 210. Chọn D.

(

)

Câu 11. Tìm hệ số của x9 trong khai triển 1dương thỏa mãn
9
A. - C18

( 3)

9

.

3x

2n

, biết n là số nguyên

2
14
1
+
= .
Cn2 3Cn3 n
9
B. - C18

( 3)

9

x9.

9
C. C18

( 3)

9

x9.

9
D. C18

( 3)

9

.


Lời giải. Từ phương trình

(

Với n = 9 , ta có 1-

)

3x

2n

2
14
1
+ 3 = ��
� n = 9.
2

Cn 3Cn n

(

= 1-

)

3x

18

18

(

k
= �C18
.k=0

)

9
18

Hệ số của x ứng với k = 9 ��
� hệ số cần tìm - C
9

18

k

(

k
3x = �C18
.k=0

( 3)

9

)

k

3 .xk .

. Chọn A.

�
Câu 12. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển �
2x �
�
�

2n
3�
�

�
� với x �0 , biết
3
�
x�

n là số nguyên dương thỏa mãn Cn3 + 2n = An2+1 .
12 4 12
.2 .3 .
A. - C16

0
.216.
B. C16

12 4 12
.2 .3 .
C. C16

16 0
.2 .
D. C16

3
2
� n = 8.
Lời giải. Từ phương trình Cn + 2n = An+1 ��
Với n = 8 , ta có
2n
16

k
16
16
�
�
163� �
3�
16- k � 3 �
k
k
k
�
�
�
�
2x - 3 �
�
=
2
x
�
=
C
.
2
x
.
�
=
C16

.216- k.( - 3) .x
(
)
�
�
�
�
�
16
�
�
�
3
3
�
�
�
�
�
�
�
� x � k=0
x� �
x � k=0

4k
3

.

4k
= 0 � k = 12
3
12 4 12
��
� số hạng cần tìm C16 .2 .3 . Chọn C.

Số hạng không chứa x ứng với 16-

n

� 2 2�
Câu 13. Tìm hệ số của x7 trong khai triển �
3x - �
�
�
� với x �0 , biết hệ số của
�
�
x�
số hạng thứ ba trong khai triển bằng 1080.
A. 1080.
B. - 810.
C. 810.
D. 1080.
Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
n
k
n
n

� 2 2�
2�
k
k
2 n- k �
�
�
�
�
3
x
=
C
.
3
x
.
= �Cnk .3n- k ( - 2) .x2n- 3k .
�
�
(
)
�
�
�
n
�
�
�
� x� k=0

�
�
x� k=0
Số hạng thứ 3 ứng với k = 2 , kết hợp với giả thiết ta có
Cn2.3n- 2.4 = 1080 � n( n- 1) .3n = 4.5.35 � n = 5.
Hệ số của x7 ứng với 2n- 3k = 7 � 10- 3k = 7 � k = 1
1 4
��
� hệ số cần tìm C5 3 ( - 2) = - 810. Chọn B.
Câu 14. Tìm số tự nhiên n , biết hệ số của số hạng thứ 3 theo số mũ giảm
n
� 1�
�
dần của x trong khai triển �
x
� bằng 4.
�
�
�
� 3�
A. 8.
B. 17.
C. 9.
D. 4.
Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
n
2
n
� 1�
�

� n- 2
�
1�
1�
1�
0 n
1�
n- 1
2�
n�
�
�
�
�
�
x
=
C
x
+
C
x
+
C
x
+
...
+
C
�

�
�
�.
�
n
n�
n�
n�
�
� 3�
� 3�
� 3�
� 3�
�
�
�
�
�
�
�
2

1� n- 2
��
� số hạng thứ 3 theo số mũ giảm dần của x là C 2 �
�
- �
�
�
n�

�x .
� 3�
2

n!
1
2 � 1�
- �
=4�
. = 4 ��
� n = 9.
�
Yêu cầu bài toán � Cn �
�
�
�
� 3�
2!( n- 2) ! 9
Do n�� nên ta chọn n = 9 thỏa mãn. Chọn C.
21

Câu 15. Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển ( x3 + xy) .
10 40 10
x y .
A. C21

10 43 10
x y .
B. C21

11 41 11
x y .
C. C21

10 43 10
11 41 11
x y ; C21
x y .
D. C21


Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có

( x3 + xy)

21

21- k

k=0

Suy ra khai triển ( x + xy)
3

21

k
= �C21
.( x3 )

21

21

k
.( xy) = �C21
.x63- 2k .yk .
k

k=0

có 22 số hạng nên có hai số hạng đứng giữa là số

hạng thứ 11 (ứng với k = 10 ) và số hạng thứ 12 (ứng với k = 11 ).
10 43 10
11 41 11
x y ; C21
x y . Chọn D.
Vậy hai số hạng đứng giữa cần tìm là C21
17

Câu 16. Tính tổng S tất cả các hệ số trong khai triển ( 3x- 4) .
A. S = 1.
B. S = - 1.
C. S = 0.
D. S = 8192.
Lời giải. Tính tổng các hệ số trong khai triển ��
� cho x = 1.
17

Khi đó S = ( 3.1- 4) = - 1. Chọn B.
Câu 17. Khai triển đa thức P ( x) = ( 2x - 1)

1000

ta được

P ( x) = a1000 x1000 + a999 x999 +... + a1x + a0.
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. a1000 + a999 +... + a1 = 2n .
C. a1000 + a999 +... + a1 = 1 .

B. a1000 + a999 +... + a1 = 2n - 1 .
D. a1000 + a999 +... + a1 = 0 .

1000
999
Lời giải. Ta có P ( x) = a1000 x + a999 x +... + a1x + a0 .

Cho x = 1 ta được P ( 1) = a1000 + a999 +... + a1 + a0.
Mặt khác P ( x) = ( 2x - 1)

1000

��
� P ( 1) = ( 2.1- 1)

1000

= 1.

� a1000 + a999 + ... + a1 = 1- a0.
Từ đó suy ra a1000 + a999 +... + a1 + a0 = 1��
1000
Mà là số hạng không chứa x trong khai triển P ( x) = ( 2x - 1)
nên
0

1000
a0 = C1000
( 2x) ( - 1)

1000

1000
= C1000
= 1.

Vậy a1000 + a999 +... + a1 = 0. Chọn D.
5

10

Câu 18. Tìm hệ số của x5 trong khai triển P ( x) = x( 1- 2x) + x2 ( 1+ 3x) .
A. 80.
B. 3240.
C. 3320.
Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
5

x( 1- 2x) = x.�C5k .( - 2x)
5

5- k

k=0

5

= �C5k.( - 2)

D. 259200.
5- k

.x6- k .

k=0

��
� số hạng chứa x5 tương ứng với 6- k = 5 � k = 1 .
10

2
2
l
Tương tự, ta có x ( 1+ 3x) = x .�C10.( 3x)
10

l =0

10- l

10

l
= �C10
.310- l.x12- l .
l =0

��
� số hạng chứa x5 tương ứng với 12- l = 5 � l = 7 .
4
7
Vậy hệ số của x5 cần tìm P ( x) là C51.( 2) +C10
.33 = 3320 . Chọn C.
2

�
�
1 2
3n
�
Câu 19. Tìm hệ số chứa x10 trong khai triển f ( x) = �
x + x +1�
( x + 2) với n
�
�
�
�
�

4
là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức An3 +Cnn- 2 = 14n .
10
.
A. 25C19

10 10
x .
B. 25C19

10
.
C. 29C19

10 10
x .
D. 29C19

� n = 5.
Lời giải. Từ phương trình An3 +Cnn- 2 = 14n ��
2

�
�
1 2
1
1
3n
4
15

19
Với n = 5 , ta có f ( x) = �
x + x +1�
( x + 2) = ( x + 2) ( x + 2) = ( x + 2) .
�
�
�
�
�
�
4
16
16
19
1
1
19
k
k 19- k
Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có f ( x) = ( x + 2) = �C19.2 .x .
16
16 k=0


Số hạng chứa x10 trong khai triển tương ứng với 19- k = 10 � k = 9 .
1 10 9
10
C19 2 = 25C19
. Chọn A.
Vậy hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển là

16
Câu 20. Tìm hệ số của x4 trong khai triển P ( x) = ( 1- x - 3x3 )
n- 2
2
nhiên thỏa mãn hệ thức Cn + 6n + 5 = An+1 .
A. 210.
B. 840.
C. 480.
n- 2
2
� n = 10.
Lời giải. Từ phương trình Cn + 6n + 5 = An+1 ��
n

n

với n là số tự

D. 270.

10

Với n = 10 , khi đó P ( x) = ( 1- x - 3x3 ) = ( 1- x - 3x3 ) .
Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
10

10
10
k
k

3 k
P ( x) = ( 1- x - 3x3 ) = �
1- ( x + 3x3 ) �
�
� = �C10 ( - 1) ( x + 3x )
k=0
10

k

10

k

k=0

l =0

k
= �C10
( - 1) xk ( 1+ 3x2 ) = �C10k �Ckl ( - 1) 3l xk+2l .
k

k=0

k

�
k + 2l = 4
�

�
�
0 �k �10 � ( k;l ) = { ( 4;0) ,( 2;1) } .
Số hạng chứa x trong khai triển tương ứng với �
�
�
�
0 �l �k
�
4 0
2 1
4
C4 +C10
C2 3 = 480 . Chọn C.
Vậy hệ số của số hạng chứa x trong khai triển là C10
4

5

Câu 21. Tìm hệ số của x10 trong khai triển ( 1+ x + x2 + x3 ) .
A. 5.
B. 50.
C. 101.
Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có

( 1+ x + x2 + x3 )

5

5

5

5

k=0

l =0

D. 105.
l

5

5

k=0

l =0

= ( 1+ x) ( 1+ x2 ) = �C5k xk .�C5l ( x2 ) = �C5k .�C5l .xk+2l .
5

Số hạng chứa x10 trong khai triển tương ứng với k + 2l = 10 � k = 10- 2l .
k + 2l = 10
�
�
�
�
0 �k �5, 0 �l �5 � ( k;l ) = { ( 0;5) ,( 2;4) ,( 4;3) } .

Kết hợp với điều kiện ta có hệ �
�
�
�
k, l ��
�
Vậy hệ số cần tìm là C50.C55 +C52.C54 +C54.C53 = 101. Chọn C.
2

8

Câu 22. Tìm hệ số của x5 trong khai triển P ( x) = ( 1+ x) + 2( 1+ x) +... + 8( 1+ x) .
A. 630.

B. 635.

C. 636.
2

D. 637.
4

Lời giải. Các biểu thức ( 1+ x) , ( 1+ x) ,L ,( 1+ x) không chứa số hạng chứa x5.
5

Hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển 5( 1+ x) là 5C55.
6

Hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển 6( 1+ x) là 6C65.
7

Hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển 7( 1+ x) là 7C75.
8

Hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển 8( 1+ x) là 8C85.
Vậy hệ số của x5 trong khai triển P ( x) là 5C55 + 6C65 + 7C75 + 8C85 = 636 . Chọn C.
Câu 23. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. C20n +C21n +... +C2nn = C2nn+1 +C2nn+2 +... +C22nn.
B. C20n +C21n +... +C2nn- 1 = C2nn+1 +C2nn+2 + ... +C22nn.
C. C20n +C21n +... +C2nn- 2 = C2nn+1 +C2nn+2 +... +C22nn.
D. C20n +C21n +... +C2nn+1 = C2nn+1 +C2nn+2 +... +C22nn.


�
C20n = C22nn
�
�
�
�
C21n = C22nn- 1
.
Lời giải. Áp dụng công thức Cnk = Cnn- k , ta có �
�
�
L
�
�
�
�
C2nn- 1 = C2nn+1

�
Cộng vế theo vế, ta được C20n +C21n +... +C2nn- 1 = C2nn+1 +C2nn+2 +... +C22nn. Chọn B.
Câu 24. Tính tổng S = Cn0 +Cn1 +Cn2 + ... +Cnn .
A. S = 2n - 1.
B. S = 2n.
C. S = 2n- 1.

D. S = 2n +1.

n

Lời giải. Khai triển nhị thức Niu-tơn của ( 1+ x) , ta có
n

( 1+ x) = Cn0 +Cn1x +Cn2x2 +L +Cnnxn .
n

Cho x = 1, ta được Cn0 +Cn1 +Cn2 +L +Cnn = ( 1+1) = 2n . Chọn B.
Câu 25. Tính tổng S = C20n +C21n +C22n +... +C22nn .
A. S = 22n.
B. S = 22n - 1.
C. S = 2n.

D. S = 22n +1.

2n

Lời giải. Khai triển nhị thức Niu-tơn của ( 1+ x) , ta có
2n

( 1+ x) = C20n +C21n x +C22nx2 +L +C22nnx2n .
Cho x = 1, ta được C20n +C21n +C22n +L + C22nn = ( 1+1)

2n

= 22n. Chọn A.

1
2
n
20
Câu 26. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn C2n+1 +C2n+1 +... +C2n+1 = 2 - 1 .
A. n = 8.
B. n = 9.
C. n = 10.
D. n = 11.
2n+1
0
1
2n+1
( 1)
Lời giải. Ta có ( 1+1)
= C2n+1 +C2n+1 +... +C2n+1 .
0
2n+1
1
2n
2
2n- 1
n

n+1
Lại có C2n+1 = C2n+1 ; C2n+1 = C2n+1 ; C2n+1 = C2n+1 ; …; C2n+1 = C2n+1 .

Từ ( 1) và ( 2) , suy ra C20n+1 +C21n+1 +... +C2nn+1 =

( 2)

2n+1

2

2
� C21n+1 +... +C2nn+1 = 22n - 1 � 220 - 1= 22n - 1 � n = 10 .

Vậy n = 10 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C.
1
3
2n+1
Câu 27. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn C2n+1 +C2n+1 +... +C2n+1 = 1024 .
A. n = 5.
B. n = 9.
C. n = 10.
D. n = 4.
Lời giải. Xét khai triển ( x +1)

2n+1

= C20n+1x2n+1 +C21n+1x2n +... +C22nn++11 .

( 1)

( 2)

2n+1
= C20n+1 +C21n+1 +... +C22nn++11 .
Cho x = 1, ta được 2
0
2n+1

Cho x = - 1, ta được 0 = - C

1
2n+1

+C

2n+1
2n+1

- ... +C

.

Cộng ( 1) và ( 2) vế theo vế, ta được
22n+1 = 2( C21n+1 +C23n+1 +... +C22nn++11 ) � 22n+1 = 2.1024 � n = 5. Chọn A.
Câu 28. Tính tổng S = Cn0 + 3Cn1 + 32Cn3 +... + 3nCnn .
A. S = 3n.
B. S = 2n.
C. S = 3.2n.

D. S = 4n.

n

Lời giải. Khai triển nhị thức Niu-tơn của ( 1+ x) , ta có
n

( 1+ x) = Cn0 +Cn1x +Cn2x2 +L +Cnnxn .
n

Cho x = 3 , ta được Cn0 + 3Cn1 + 32Cn3 +... + 3nCnn = ( 1+ 3) = 4n. Chọn D.
12
Câu 29. Khai triển đa thức P ( x) = ( 1+ 2x) = a0 + a1x +... + a12x12 . Tìm hệ số ak

( 0 �k �12) lớn nhất trong khai triển trên.
8 8
2.
A. C12

9 9
2.
B. C12

10 10
2 .
C. C12

8 8
2.
D. 1+C12

12

Lời giải. Khai triển nhị thức Niu-tơn của ( 1+ 2x) , ta có
12

12

( 1+ 2x) = �C12k ( 2x) = �C12k 2k xk .
12

k

k=0

k=0

k k
2 .
Suy ra ak = C12
k
k+1
ak �ak+1 �
2k C12
�2k+1C12
�
�
�
a
���

�
Hệ số k lớn nhất khi �
�k k
k- 1
�
ak �ak- 1 �
2 C12 �2k- 1C12
�
�

� 1
2
�
�
�
�
12- k k +1
�
�
�
2
1
�
�
�
�
�k 12- k +1

23
3

k

26
.
3

0�k�12
8 8
����
k = 8 . Vậy hệ số lớn nhất là a8 = C12
2 . Chọn A.
k��
10

�
�
1 2 �
Câu 30. Khai triển đa thức P ( x) = �
+ x�
= a0 + a1x +... + a9x9 + a10 x10 . Tìm hệ
�
�
�
�
3 3 �
số ak ( 0 �k �10) lớn nhất trong khai triển trên.
26 6
C10.
310

10
�
1 2 �
�
Lời giải. Khai triển nhị thức Niu-tơn của �
+
x
�
�
� , ta có
�
�
3 3 �
A. 1+

27 7
C10.
310

B.

27 7
C10.
310

10

C.

10- k

�
� 10 k ��
1 2 �
1�
�
+ x�
= �C10 �
�
�
�
�
�
�
�
3 3 � k=0 ��
3�
10- k

��
1�
Suy ra ak = C �
�
�
�
��
3�
k
10

k

10- k

�
� 10 k ��
2 �
1�
�
x�
= �C10 �
�
�
�
�
�
�
�
3 � k=0 ��
3�

D.

28 8
C10.
310

k

��

2� k
�
�x .
�
�
��
3�

k

��
2�
�
�.
�
�
��
3�

ak �ak+1
�
Giả sử ak là hệ số lớn nhất, khi đó �
�
�
ak �ak- 1
�
10- k
k
10- ( k+1)
k+1

� ��
��
1� ��
2�
1�
2�
� 19
�
k �
k+1 ��
�
�
�
�
C
�
C
�
�
�
�
�
k�
�
�
�
�
10
10
�

�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
��
��
��
3
3
3
3
�
�
3
�
�
��
�
�
�
10- k
k
10- ( k- 1)
k- 1

�
�
22
��
��
�
1� ��
2�
1�
2�
�
k ��
k�
�
�
�
�
�
C10
�C10k- 1 �
�
�
�
�
�
� 3
�
�
�
�

�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
��
��
3
3
3
3
� ��
Vậy hệ số lớn nhất là a7 =

27 7
C10 . Chọn B.
310

19
3

k

22 0�k�10

����
k = 7.
k��
3