Bài tập và lý thuyết chương 2 đại số lớp 11 NHỊ THỨC NEWTON đặng việt đông file word

– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11

PHẦN I – ĐỀ BÀI
NHỊ THỨC NEWTON
A- LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Công thức khai triển nhị thức Newton: Với mọi nN và với mọi cặp số a, b ta có:
n

(a  b) n  �Cnk a n  k b k
k 0

2. Tính chất:
1) Số các số hạng của khai triển bằng n + 1
2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n
k nk k
3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = Cn a b ( k =0, 1, 2, …, n)
k
nk
4) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau: Cn  Cn
0
n
k 1
k
k
5) Cn  Cn  1 , Cn  Cn  Cn 1
* Nhận xét: Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì ta
sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn:
(1+x)n = Cn0 x n  Cn1 x n 1  ...  Cnn  Cn0  Cn1  ...  Cnn  2 n
0 n

1 n 1
n
n
0
1
n
n
(x–1)n = Cn x  Cn x  ...  (1) Cn  Cn  Cn  ...  (1) Cn  0
Từ khai triển này ta có các kết quả sau
0
1
n
n
* Cn  Cn  ...  Cn  2
0
1
2
n n
* Cn  Cn  Cn  ...  (1) Cn  0

B – BÀI TẬP
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ, SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ
THỨC NEWTON
Phương pháp:
n

 ax p  bxq   �Cnk  ax p 
n

k 0

nk

n

 bxq   �Cnk ank bk xnp  pk qk
k

k 0

Số hạng chứa x ứng với giá trị k thỏa: np  pk  qk  m .
m  np
Từ đó tìm k 
pq
k n k k
Vậy hệ số của số hạng chứa x m là: Cn a .b với giá trị k đã tìm được ở trên.
m

Nếu k không nguyên hoặc k  n thì trong khai triển không chứa x m , hệ số phải tìm bằng 0.
Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa x m trong khai triển
P  x    a  bx p  cx q  được viết dưới dạng a0  a1 x  ...  a2 n x 2 n .
n

Ta làm như sau:
n

p
q
k n k
p

q
* Viết P  x    a  bx  cx   �Cn a  bx  cx  ;
n

k

k 0

* Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng  bx p  cx q  thành một đa thức theo luỹ thừa
k

của x.
* Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của x m .
Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn
Ta làm như sau:
Trang 1


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11

* Tính hệ số ak theo k và n ;
* Giải bất phương trình ak 1 �ak với ẩn số k ;
* Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên.
Câu 1: Trong khai triển  2a  b  , hệ số của số hạng thứ 3 bằng:
A. 80 .
B. 80 .
C. 10 .
D. 10 .

n6
Câu 2: Trong khai triển nhị thức  a  2  ,  n �� . Có tất cả 17 số hạng. Vậy n bằng:
A. 17 .
B. 11.
C. 10 .
D. 12 .
5

Câu 3: Trong khai triển  3 x 2  y  , hệ số của số hạng chính giữa là:
10

4
4
B. 3 .C10 .

4
4
A. 3 .C10 .

5
5
C. 3 .C10 .

Câu 4: Trong khai triển  2 x  5 y  , hệ số của số hạng chứa x 5 . y 3 là:
A. 22400 .
B. 40000 .
C. 8960 .

5
5

D. 3 .C10 .

8

D. 4000 .

6

� 2 �
3
Câu 5: Trong khai triển �x 
�, hệ số của x ,  x  0  là:
x�
�
A. 60 .
B. 80 .
C. 160 .

D. 240 .

7

� 1�
Câu 6: Trong khai triển �a 2  �, số hạng thứ 5 là:
� b�
6 4
A. 35.a .b .
B. 35.a 6 .b 4 .
C. 35.a 4 .b 5 .
6

Câu 7: Trong khai triển  2a  1 , tổng ba số hạng đầu là:

A. 2a 6  6a 5  15a 4 .
C. 64a 6  192a 5  480a 4 .



Câu 8: Trong khai triển x  y
A. 16 x y15  y 8 .



D. 35.a 4 .b .

B. 2a 6  15a 5  30a 4 .
D. 64a 6  192a 5  240a 4 .
16

, tổng hai số hạng cuối là:
C. 16 xy15  y 4 .

B. 16 x y15  y 4 .

D. 16 xy15  y 8 .

6

� 2 1 �
Câu 9: Trong khai triển �
8a  b �, hệ số của số hạng chứa a 9b3 là:

2 �
�
9 3
A. 80a .b .
B. 64a 9 .b3 .
C. 1280a 9 .b3 .

D. 60a 6 .b 4 .

9

� 8 �
Câu 10: Trong khai triển �x  2 �, số hạng không chứa x là:
� x �
A. 4308 .
B. 86016 .
C. 84 .
10
Câu 11: Trong khai triển  2 x  1 , hệ số của số hạng chứa x8 là:
A. 11520 .
B. 45 .
C. 256 .

Câu 12: Trong khai triển  a  2b  , hệ số của số hạng chứa a 4 .b 4 là:
A. 1120 .
B. 560 .
C. 140 .
7
4 3
Câu 13: Trong khai triển  3 x  y  , số hạng chứa x y là:

D. 43008 .
D. 11520 .

8

A. 2835 x 4 y 3 .

B. 2835x 4 y 3 .

C. 945x 4 y 3 .

D. 70 .
D. 945 x 4 y 3 .

Câu 14: Trong khai triển  0,2 + 0,8  , số hạng thứ tư là:
A. 0, 0064 .
B. 0, 4096 .
C. 0, 0512 .

D. 0, 2048 .

Câu 15: Hệ số của x3 y 3 trong khai triển  1  x   1  y  là:
A. 20 .
B. 800 .
C. 36 .

D. 400 .

5

6

Trang 2

6


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11

Câu 16: Số hạng chính giữa trong khai triển  3x  2 y  là:
4

B. 6  3x 

2 2 2
A. C4 x y .

2

 2y

2.

2 2 2
C. 6C4 x y .

2 2 2

D. 36C4 x y .

Câu 17: Trong khai triển  x  y  , hệ số của số hạng chứa x8 . y 3 là
11

3
B.  C11 .

3
A. C11 .

5
C. C11 .

8
D. C11 .

Câu 18: Tìm hệ số của x 7 trong khai triển biểu thức sau: f ( x)  (1  2 x)10
A. 15360
B. 15360
C. 15363
D. 15363
9
7
Câu 19: Tìm hệ số của x trong khai triển biểu thức sau: h( x )  x (2  3x )
A. 489889
B. 489887
C. 489888
D. 489888
7

8
7
Câu 20: Tìm hệ số của x trong khai triển biểu thức sau: g ( x)  (1  x)  (1  x)  (2  x)9
A. 29
B. 30
C. 31
D. 32
10
7
Câu 21: Tìm hệ số của x trong khai triển biểu thức sau: f ( x)  (3  2 x )
A. 103680
B. 1301323
C. 131393
D. 1031831
9
7
Câu 22: Tìm hệ số của x trong khai triển biểu thức sau: h( x )  x(1  2 x)
A. 4608
B. 4608
C. 4618
D. 4618
2
10
8
Câu 23: Xác định hệ số của x trong các khai triển sau: f ( x)  (3x  1)
A. 17010
B. 21303
C. 20123
D. 21313
8

�2
�
Câu 24: Xác định hệ số của x8 trong các khai triển sau: f ( x )  �  5 x 3 �
�x
�
A. 1312317
B. 76424
C. 427700
D. 700000
12
�3 x �
Câu 25: Xác định hệ số của x8 trong các khai triển sau: f ( x)  �  �
�x 2 �
297
29
27
97
A.
B.
C.
D.
512
51
52
12
2 10
8
Câu 26: Xác định hệ số của x trong các khai triển sau: f ( x)  (1  x  2 x )
A. 37845
B. 14131

C. 324234
D. 131239
8
8
Câu 27: Xác định hệ số của x trong các khai triển sau: f ( x)  8(1  8 x)  9(1  9 x)9  10(1  10 x)10
0 8
1 8
8
8
A. 8.C8 .8  C9 .9  10.C10 .10

0 8
1 8
8
8
B. C8 .8  C9 .9  C10 .10

0 8
1 8
8
8
C. C8 .8  9.C9 .9  10.C10 .10

0 8
1 8
8
8
D. 8.C8 .8  9.C9 .9  10.C10 .10

Câu 28: Tìm hệ số của x8 trong khai triển biểu thức sau: g ( x)  8(1  x)8  9(1  2 x)9  10(1  3 x)10

A. 22094
B. 139131
C. 130282
D. 21031
Câu 29: Hệ số đứng trước x 25 . y10 trong khai triển  x 3  xy 
A. 2080 .

B. 3003 .

15

là:

C. 2800 .

3200 .
D. �

18

1 

Câu 30: Số hạng không chứa x trong khai triển  x 3  3  là:
x 

10 .
9 .
8
A. C18
B. C18

C. C18 .

3
D. C18 .

Câu 31: Khai triển  1 x , hệ số đứng trước x 7 là:
12

A. 330 .

B. �33.

C. �72.

D. �792�
.

2 12
(x �0)
Câu 32: Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau: f ( x)  ( x  )
x
A. 59136
B. 213012
C. 12373
D. 139412
1
4 3 17
( x  0)
Câu 33: Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau: g ( x)  ( 3 2  x )
x

Trang 3


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
A. 24310

B. 213012

Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11

C. 12373

D. 139412
n

�1
�
Câu 34: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của � 3  x 5 � biết
�x
�
n 1
n
C n  4  Cn  3  7  n  3  .
A. 495
B. 313
C. 1303
D. 13129
8

n

1
�
�
Câu 35: Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khi khai triển biểu thức �   x  x 2  � với n là số
�x
�
nguyên dương thoả mãn
Cn3  2n  An21 .( Cnk , Ank tương ứng là số tổ hợp, số chỉnh hợp chập k của n phần tử).
A. 98
B. 98
C. 96
D. 96
40

� 1 �
Câu 36: Trong khai triển f  x   �x  2 � , hãy tìm hệ số của x 31
� x �
A. 9880
B. 1313
C. 14940

D. 1147

18

1�
�
Câu 37: Hãy tìm trong khai triển nhị thức �x 3  3 � số hạng độc lập đối với x
� x �

A. 9880
B. 1313
C. 14940
12
�x 3 �
Câu 38: Tìm hệ số của số hạng chứa x 4 trong khai triển �  �
�3 x �
55
13
621
A.
B.
C.
9
2
113

Câu 39: Tính hệ số của x 25 y10 trong khai triển  x3  xy 

D. 48620

D.

1412
3123

15

A. 300123
B. 121148

C. 3003
D. 1303
2
20
Câu 40: Cho đa thức P  x    1  x   2  1  x   ...  20  1  x  có dạng khai triển là
P  x   a0  a1 x  a2 x 2  ...  a20 x 20 .

Hãy tính hệ số a15 .
A. 400995

B. 130414

Câu 41: Tìm số hạng của khai triển



3 3 2

A. 8 và 4536

B. 1 và 4184
1 20
Câu 42: Xét khai triển f ( x )  (2 x  )
x
1. Viết số hạng thứ k  1 trong khai triển
k
20  k 20  k
A. Tk 1  C20 .2 .x
k
20  4 k 20  2 k

.x
C. Tk 1  C20 .2

2. Số hạng nào trong khai triển không chứa x
1
10
10 10
A. C20 .2
B. A20 .2



C. 511313
9

D. 412674

là một số nguyên
C. 414 và 12

D. 1313

k
20  k 20  2 k
B. Tk 1  C10 .2 .x
k
20  k 20  2 k
D. Tk 1  C20 .2 .x

10 4

C. C20 .2

10 10
D. C20 .2

Câu 43: Xác định hệ số của x 4 trong khai triển sau: f ( x)  (3 x 2  2 x  1)10 .
A. 8089
B. 8085
C. 1303
D. 11312
2n
7
Câu 44: Tìm hệ số của x trong khai triển thành đa thức của (2  3x) , biết n là số nguyên dương thỏa
1
3
5
2 n 1
mãn : C2 n 1  C2 n 1  C2 n 1  ...  C2 n 1  1024 .
A. 2099529
B. 2099520
C. 2099529
D. 2099520
Trang 4


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11

Câu 45: Tìm hệ số của x 9 trong khai triển f ( x )  (1  x )9  (1  x )10  ...  (1  x)14

A. 8089
B. 8085
C. 3003
D. 11312
5
10
2
5
Câu 46: Tìm hệ số của x trong khai triển đa thức của: x  1  2 x   x  1  3x 
A. 3320
B. 2130
C. 3210
D. 1313
8
2
8
1 x  1 x �
Câu 47: Tìm hệ số cuả x trong khai triển đa thức f ( x)  �
�
�
A. 213

B. 230

Câu 48: Đa thức P  x    1  3x  2 x



2 10

C. 238

D. 214

 a0  a1 x  ...  a20 x . Tìm a15
20

10
5
5
9
6 3
8
7
A. a15  C10 .C10 .3  C10 .C9 .3  C10 .C8 .3.
10
5
5
9
6 6
8
7 7
B. a15  C10 .C10 .2  C10 .C9 .2  C10 .C8 .2
10
5
5 5
9
6 3 6
8
7 7

C. a15  C10 .C10 .3 .2  C10 .C9 .3 .2  C10 .C8 .2
10
5
5 5
9
6 3 6
8
7
7
D. a15  C10 .C10 .3 .2  C10 .C9 .3 .2  C10 .C8 .3.2

2 n
3
n 1
n 2
Câu 49: Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau ( x  ) , biết rằng Cn  Cn  78 với
x
x0
A. 112640
B. 112640
C. 112643
D. 112643
3
n

3
Câu 50: Với n là số nguyên dương, gọi a3n 3 là hệ số của x
trong khai triển thành đa thức của
2
n

n
( x  1) ( x  2) . Tìm n để a3n3  26n
A. n=5
B. n=4
C. n=3
D. n=2
n
�1
7�
26
Câu 51: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Newton của � 4  x �, biết
�x
�
1
2
n
20
C2 n 1  C2 n1  ...  C2 n 1  2  1 .
A. 210
B. 213
C. 414
D. 213
n
n
Câu 52: Cho n ��* và (1  x)  a0  a1 x  ...  an x . Biết rằng tồn tại số nguyên k ( 1 �k �n  1 ) sao
a
a
a
cho k 1  k  k 1 . Tính n  ? .
2

9
24
A. 10
B. 11
C. 20
D. 22
1 2 10
Câu 53: Trong khai triển của (  x) thành đa thức
3 3
2
9
10
a0  a1 x  a2 x  ...  a9 x  a10 x , hãy tìm hệ số ak lớn nhất ( 0 �k �10 ).
210
210
210
210
B.
C.
D.
a

3003
a

3003
a

3003
5

4
9
315
315
315
315
n
2
n
Câu 54: Giả sử (1  2 x)  a0  a1 x  a2 x  ...  an x , biết rằng a0  a1  ...  an  729 . Tìm n và số lớn
nhất trong các số a0 , a1 ,..., an .
A. a10  3003

A. n=6, max  ak   a4  240

B. n=6, max  ak   a6  240

C. n=4, max  ak   a4  240

D. n=4, max  ak   a6  240

Câu 55: Cho khai triển (1  2 x )  a0  a1 x  ...  an x , trong đó n ��* . Tìm số lớn nhất trong các số
a
a
a0 , a1 ,..., an , biết các hệ số a0 , a1 ,..., an thỏa mãn hệ thức: a0  1  ...  nn  4096 .
2
2
A. 126720
B. 213013
C. 130272

D. 130127
n

Trang 5

n


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
n

DẠNG 2: BÀI TOÁN TỔNG

�a C b
k 0

k

k
n

k

Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11

.

Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton
(a  b)n  Cn0 a n  a n 1bCn1  a n 2b 2Cn2  ...  b nCnn .
Ta chọn những giá trị a, b thích hợp thay vào đẳng thức trên.

Một số kết quả ta thường hay sử dụng:
k
nk
* Cn  C n
0
1
n
n
* Cn  Cn  ...  Cn  2
n

*

�(1) C
k

k 0

k
n

0

n

n

k 0

k 0

2k
2 k 1
* �C2 n  �C2 n 
n

*

�C a
k 0

k
n

k

1 2n k
�C2n
2 k 0

 (1  a )n .

Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng
Mẫu chốt của cách giải trên là ta tìm ra được đẳng thức (*) và ta thường gọi (*) là đẳng thức đặc trưng.
Cách giải ở trên được trình bày theo cách xét số hạng tổng quát ở vế trái (thường có hệ số chứa k ) và
biến đổi số hạng đó có hệ số không chứa k hoặc chứa k nhưng tổng mới dễ tính hơn hoặc đã có sẵn.
0
1
2
3

n
Câu 1: Tổng T    Cn  Cn  Cn  Cn  ...  Cn bằng:
A. T  2 n .
B. T  2n – 1 .
C. T  2n  1 .
D. T  4 n .
0
1
6
Câu 2: Tính giá trị của tổng S  C6  C6  ..  C6 bằng:
A. 64 .
B. 48 .
C. 72 .
D. 100 .
5
0
1
5
Câu 3: Khai triển  x  y  rồi thay x, y bởi các giá trị thích hợp. Tính tổng S  C5  C5  ...  C5
A.  32 .
B. 64 .
C. 1 .
D. 12 .
0
1
2
n n
Câu 4: Tìm số nguyên dương n sao cho: Cn  2Cn  4Cn  ...  2 Cn  243
A. 4
B. 11

C. 12
D. 5
5
0
1
5
Câu 5: Khai triển  x  y  rồi thay x, y bởi các giá trị thích hợp. Tính tổng S  C5  C5  ...  C5

A.  32 .

C. 1 .

B. 64 .

Câu 6: Khai triển  1  x  x 2  x



3 5

 a0  a1 x  a2 x 2  ...  a15 x15

a) Hãy tính hệ số a10 .
0
4
4 3
A. a10  C5 .  C5  C5 C5

0
5

2 4
4 3
B. a10  C5 .C5  C5 C5  C5 C5

0
5
2 4
4 3
C. a10  C5 .C5  C5 C5  C5 C5

0
5
2 4
4 3
D. a10  C5 .C5  C5 C5  C5 C5

b) Tính tổng T  a0  a1  ...  a15 và S  a0  a1  a2  ...  a15
A. 131
B. 147614
C. 0
Câu 7: Khai triển  1  2 x  3x
a) Hãy tính hệ số a4
0
4
A. a4  C10 .2



2 10

 a0  a1 x  a2 x  ...  a20 x

4 4
B. a4  2 C10

20
b) Tính tổng S  a1  2a2  4a3  ...  2 a20

Trang 6

D. 12 .

2

D. 1
20

0
4
C. a4  C10C10

0
4 4
D. a4  C10 .2 C10


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11

A. S  1710

B. S  1510
C. S  17 20
1 0 1 1 1 3 1 4
( 1) n n
Cn
Câu 8: Tính tổng sau: S  Cn  Cn  Cn  Cn  ... 
2
4
6
8
2( n  1)
1
A.
B. 1
C. 2
2(n  1)
1 n 1
2 n 2
3 n 3
n
Câu 9: Tính tổng sau: S  Cn 3  2Cn 3  3Cn 3  ...  nCn
A. n.4n 1

B. 0

C. 1
1 1 1 2
1

0
Cnn
Câu 10: Tính các tổng sau: S1  Cn  Cn  Cn  ... 
2
3
n 1
n 1
n 1
2 1
2 1
2n 1  1
A.
B.
C.
1
n 1
n 1
n 1
1
2
n
Câu 11: Tính các tổng sau: S 2  Cn  2Cn  ...  nCn
A. 2n.2n 1

B. n.2n 1

C. 2n.2n 1

D. S  710

D.

1
(n  1)

D. 4n 1

D.

2n 1  1
1
n 1

D. n.2n 1

2
3
4
n
Câu 12: Tính các tổng sau: S3  2.1.Cn  3.2Cn  4.3Cn  ...  n( n  1)Cn .

A. n(n  1)2n  2

B. n(n  2)2n 2

Câu 13: Tính tổng S  Cn0 

C. n(n  1)2n 3

D. n(n  1)2n  2

32  1 1
3n 1  1 n
Cn  ... 
Cn
2
n 1

4n 1  2n 1
n 1
n 1
4  2n 1
C. S 
1
n 1

4n 1  2n 1
1
n 1
4n 1  2n 1
D. S 
1
n 1

A. S 

B. S 

22  1 1
2n 1  1 n

Cn  ... 
Cn
2
n 1
3n 1  2n 1
3n  2n 1
3n 1  2n
3n 1  2n 1
A. S 
B. S 
C. S 
D. S 
n 1
n 1
n 1
n 1
1
2
2 3
n 2 n 1
Câu 15: Tìm số nguyên dương n sao cho : C2 n 1  2.2C2 n 1  3.2 C2 n 1  ...  (2n  1)2 C2 n 1  2005
A. n  1001
B. n  1002
C. n  1114
D. n  102
0 n 1 n 1
1 n 2 n 2
n 1 0 0
Câu 16: Tính tổng 1.3 .5 Cn  2.3 .5 Cn  ...  n.3 5 Cn
Câu 14: Tính tổng S  Cn0 

A. n.8n 1
B. ( n  1).8n 1
C. (n  1).8n
2
3
4
n
Câu 17: Tính tổng S  2.1Cn  3.2Cn  4.3Cn  ...  n(n  1)Cn
A. n(n  1)2n  2

B. n(n  1)2n  2

Câu 18: Tính tổng  Cn0    Cn1    Cn2   ...   Cnn 
2

n
A. C2 n

2

2

n 1
B. C2 n

C. n(n  1)2n

D. (n  1)2n  2

n
C. 2C2 n

n 1
D. C2 n 1

2

n 0
n 1
n 1
2 n2 n 2
n
0
Câu 19: Tính tổng sau: S1  5 Cn  5 .3.Cn  3 .5 Cn  ...  3 Cn
A. 28n
B. 1  8n
C. 8n 1
0
2 2
2010
2010
Câu 20: S 2  C2011  2 C2011  ...  2 C2011

32011  1
3211  1
B.
2
2
Câu 21: Tính tổng S3  Cn1  2Cn2  ...  nCnn

A.

A. 4n.2n 1

Trang 7

B. n.2n 1

D. n.8n

C.

32011  12
2

C. 3n.2n 1

D. 8n
D.

32011  1
2

D. 2n.2n 1


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11

PHẦN II – HƯỚNG DẪN GIẢI
NHỊ THỨC NEWTON
A- LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Công thức khai triển nhị thức Newton: Với mọi nN và với mọi cặp số a, b ta có:
n

(a  b) n  �Cnk a n  k b k
k 0

2. Tính chất:
1) Số các số hạng của khai triển bằng n + 1
2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n
k nk k
3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = Cn a b ( k =0, 1, 2, …, n)
k
nk
4) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau: Cn  Cn
0
n
k 1
k
k
5) Cn  Cn  1 , Cn  Cn  Cn 1
* Nhận xét: Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì ta
sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn:
(1+x)n = Cn0 x n  Cn1 x n 1  ...  Cnn  Cn0  Cn1  ...  Cnn  2 n
0 n
1 n 1
n
n

0
1
n
n
(x–1)n = Cn x  Cn x  ...  (1) Cn  Cn  Cn  ...  (1) Cn  0
Từ khai triển này ta có các kết quả sau
0
1
n
n
* Cn  Cn  ...  Cn  2
0
1
2
n
n
* Cn  Cn  Cn  ...  (1) Cn  0

B – BÀI TẬP
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ, SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ
THỨC NEWTON
Phương pháp:

 ax

p

n

 bx q   �Cnk  ax p 

n

k 0

n k

n

 bx   �C a
q k

k 0

k
n

n k

b k x np  pk  qk

Số hạng chứa x m ứng với giá trị k thỏa: np  pk  qk  m .
m  np
Từ đó tìm k 
pq
k nk k
Vậy hệ số của số hạng chứa x m là: Cn a .b với giá trị k đã tìm được ở trên.
Nếu k không nguyên hoặc k  n thì trong khai triển không chứa x m , hệ số phải tìm bằng 0.
Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa x m trong khai triển
P  x    a  bx p  cx q  được viết dưới dạng a0  a1 x  ...  a2 n x 2 n .
n

Ta làm như sau:
n

p
q
k nk
p
q
* Viết P  x    a  bx  cx   �Cn a  bx  cx  ;
n

k

k 0

* Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng  bx p  cx q  thành một đa thức theo luỹ thừa
k

của x.
* Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của x m .
Trang 8


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11

Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn
Ta làm như sau:

* Tính hệ số ak theo k và n ;
* Giải bất phương trình ak 1 �ak với ẩn số k ;
* Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên.
Câu 1: Trong khai triển  2a  b  , hệ số của số hạng thứ 3 bằng:
A. 80 .
B. 80 .
C. 10 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
5
5
4
3
Ta có:  2a  b   C50  2a   C51  2a  b  C52  2a  b 2  ...
5

D. 10 .

Do đó hệ số của số hạng thứ 3 bằng C5 .8  80 .
2

n6
Câu 2: Trong khai triển nhị thức  a  2  ,  n �� . Có tất cả 17 số hạng. Vậy n bằng:
A. 17 .
B. 11.
C. 10 .
D. 12 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
n6

Trong khai triển  a  2  ,  n �� có tất cả n  7 số hạng.
Do đó n  7  17 � n  10 .

Câu 3: Trong khai triển  3 x 2  y  , hệ số của số hạng chính giữa là:
10

4

4
4
B. 3 .C10 .

4

A. 3 .C10 .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

5
5
C. 3 .C10 .

5
5
D. 3 .C10 .

Trong khai triển  3 x 2  y  có tất cả 11 số hạng nên số hạng chính giữa là số hạng thứ 6 .
10

Vậy hệ số của số hạng chính giữa là 3 .C10 .

5

5

Câu 4: Trong khai triển  2 x  5 y  , hệ số của số hạng chứa x5 . y 3 là:
A. 22400 .
B. 40000 .
C. 8960 .
D. 4000 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
k
k
8 k
k
k
k
8  k k 8 k
k
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1  (1) C8 .(2 x) (5 y )  ( 1) C8 .2 5 .x . y
8

Yêu cầu bài toán xảy ra khi k  3 . Khi đó hệ số của số hạng chứa x 5 . y 3 là: 22400 .
6

� 2 �
3
Câu 5: Trong khai triển �x 
�, hệ số của x ,  x  0  là:
x�

�
A. 60 .
B. 80 .
C. 160 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.

D. 240 .

1

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là T  C k .x 6k 2k .x  2 k
k 1
6
1
Yêu cầu bài toán xảy ra khi 6  k  k  3 � k  3 .
2
3 3
3
C
.2

160
Khi đó hệ số của x là: 6
.
7

� 1�
Câu 6: Trong khai triển �a 2  �, số hạng thứ 5 là:
� b�

6 4
A. 35.a .b .
B. 35.a 6 .b 4 .

Trang 9

C. 35.a 4 .b 5 .

D. 35.a 4 .b .


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
k 14  2 k  k
.b
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1  C7 .a
4 6 4
6 4
Vậy số hạng thứ 5 là T5  C7 .a .b  35.a .b

Câu 7: Trong khai triển  2a  1 , tổng ba số hạng đầu là:
6

A. 2a 6  6a 5  15a 4 .
C. 64a 6  192a 5  480a 4 .
Hướng dẫn giải:

Chọn D.
6
Ta có:  2a  1  C60 .26 a 6  C61.25 a 5  C62 .2 4 a 4  ...

B. 2a 6  15a 5  30a 4 .
D. 64a 6  192a 5  240a 4 .

Vậy tổng 3 số hạng đầu là 64a 6  192a 5  240a 4 .



Câu 8: Trong khai triển x  y
A. 16 x y15  y 8 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.



Ta có: x  y



16



16

, tổng hai số hạng cuối là:
C. 16 xy15  y 4 .

B. 16 x y15  y 4 .

 C160 x16  C161 x15 . y  ...  C1615 x

 y

15

 C1616

 y

D. 16 xy15  y 8 .

16

6

� 2 1 �
Câu 9: Trong khai triển �
8a  b �, hệ số của số hạng chứa a 9b3 là:
2 �
�
9 3
A. 80a .b .
B. 64a 9 .b3 .
C. 1280a 9 .b3 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.

k
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1   1 C6k .86 k a12  2 k .2 k b k

D. 60a 6 .b 4 .

Yêu cầu bài toán xảy ra khi k  3 .
Khi đó hệ số của số hạng chứa a 9b3 là: 1280a 9 .b3 .
9

� 8 �
Câu 10: Trong khai triển �x  2 �, số hạng không chứa x là:
� x �
A. 4308 .
B. 86016 .
C. 84 .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
k 9  k k 2 k
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1  C9 .x 8 .x
Yêu cầu bài toán xảy ra khi 9  k  2k  0 � k  3 .
3 3
Khi đó số hạng không chứa x là: C9 .8  43008 .

Câu 11: Trong khai triển  2 x  1 , hệ số của số hạng chứa x8 là:
A. 11520 .
B. 45 .
C. 256 .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
k

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1  C10k .210 k .x10  k .  1
Yêu cầu bài toán xảy ra khi 10  k  8 � k  2 .
2
8
Khi đó hệ số của số hạng chứa x8 là: C10 .2  11520 .

D. 43008 .

10

Câu 12: Trong khai triển  a  2b  , hệ số của số hạng chứa a 4 .b 4 là:
A. 1120 .
B. 560 .
C. 140 .
Hướng dẫn giải:

D. 11520 .

8

Trang 10

D. 70 .


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11

Chọn A.

k
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1  C8k .a8 k .  2  .b k
Yêu cầu bài toán xảy ra khi k  4 .
4 4
Khi đó hệ số của số hạng chứa a 4 .b 4 là: C8 .2  1120 .
Câu 13: Trong khai triển  3 x  y  , số hạng chứa x 4 y 3 là:
7

A. 2835 x 4 y 3 .
B. 2835x 4 y 3 .
C. 945x 4 y 3 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
k
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1  C7k .37  k x 7  k .  1 . y k
Yêu cầu bài toán xảy ra khi k  3 .
3 4 4 3
4
Khi đó hệ số của số hạng chứa x 4 . y 3 là: C7 .3 .x . y  2835.x . y .
Câu 14: Trong khai triển  0,2 + 0,8  , số hạng thứ tư là:
A. 0, 0064 .
B. 0, 4096 .
C. 0, 0512 .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
k
5 k
k
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1  C5 .(0, 2) .(0,8)

D. 945 x 4 y 3 .

5

D. 0, 2048 .

3
2
3
Vậy số hạng thứ tư là T4  C5 .(0, 2) .(0,8)  0, 2028

Câu 15: Hệ số của x 3 y 3 trong khai triển  1  x   1  y  là:
A. 20 .
B. 800 .
C. 36 .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
k
k
m
m
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1  C6 .x .C6 . y
Yêu cầu bài toán xảy ra khi k  m  3 .
3
3
Khi đó hệ số của số hạng chứa x3 y 3 là: C6 .C6  400 .
6

6

D. 400 .

Câu 16: Số hạng chính giữa trong khai triển  3x  2 y  là:
4

2 2 2
2 2 2
2 2 2
A. C4 x y .
B. 6  3x   2 y  .
C. 6C4 x y .
D. 36C4 x y .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
2
2
2
2
Số hạng chính giữa trong khai triển trên là số hạng thứ ba: C42  3 x   2 y   6  3 x   2 y  .
2

2

Câu 17: Trong khai triển  x  y  , hệ số của số hạng chứa x8 . y 3 là
11

3
3
5
A. C11 .

B.  C11 .
C. C11 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
k
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1  C11k .x11 k .  1 . y k
Yêu cầu bài toán xảy ra khi k  3 .
3
Khi đó hệ số của số hạng chứa x8 . y 3 là: C11 .

Câu 18: Tìm hệ số của x 7 trong khai triển biểu thức sau: f ( x)  (1  2 x)10
A. 15360
B. 15360
C. 15363
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
10

10

k 0

k 0

k 10  k
k
k
k k
Ta có f ( x)  �Cn 1 (2 x)  �C10 (2) x

Trang 11

8
D. C11 .

D. 15363


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11

Số hạng chứa x 7 ứng với giá trị k  7
7
7
Vậy hệ số của x 7 là: C10 (2)  15360 .
Câu 19: Tìm hệ số của x 7 trong khai triển biểu thức sau: h( x )  x(2  3 x)9
A. 489889
B. 489887
C. 489888
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
9

9

k 0

k 0

D. 489888

9
k 9k
k
k 9k k k
Ta có (2  3x)  �C9 2 (3x)  �C9 2 3 .x
9

� h( x)  �C9k 29 k 3k x k 1 .
k 0

Số hạng chứa x 7 ứng với giá trị k thỏa k  1  7 � k  6
6 3 6
Vậy hệ số chứa x 7 là: C9 2 3  489888 .
Câu 20: Tìm hệ số của x 7 trong khai triển biểu thức sau: g ( x)  (1  x) 7  (1  x)8  (2  x)9
A. 29
B. 30
C. 31
D. 32
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
7

7
k k
7
Hệ số của x 7 trong khai triển (1  x )  �C7 x là : C7  1
k 0
8

8
k
k k
7
7
Hệ số của x trong khai triển (1  x)  �C8 ( 1) x là : C8 ( 1)  8

7

k 0
9

9
k k
9
Hệ số của x 7 trong khai triển (1  x)  �C9 x là : C7  36 .
k 0

Vậy hệ số chứa x trong khai triển g ( x ) thành đa thức là: 29 .
Chú ý:
1
n
* Với a �0 ta có: a  n với n ��.
a
m
* Với a �0 ta có: n a m  a n với m, n  �; n 1 .
7

Câu 21: Tìm hệ số của x 7 trong khai triển biểu thức sau: f ( x)  (3  2 x)10

A. 103680
B. 1301323
C. 131393
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
10

D. 1031831

10

k 10  k
k
k 10 k
k k
Ta có f ( x)  �Cn 3 (2 x)  �C10 3 ( 2) x
k 0

k 0

Số hạng chứa x ứng với giá trị k  8
8
2
8
Vậy hệ số của x8 là: C10 .3 .(2)  103680 .
8

Câu 22: Tìm hệ số của x 7 trong khai triển biểu thức sau: h( x)  x (1  2 x)9
A. 4608
B. 4608

C. 4618
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
9

9

k 0

k 0

9
k 9k
k
k
k
k
Ta có (1  2 x)  �C9 1 (2 x)  �C9 (2) .x
9

� h( x)  �C9k (2)k x k 1 .
k 0

Số hạng chứa x8 ứng với giá trị k thỏa k  1  8 � k  7
Trang 12

D. 4618


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11

7
7
Vậy hệ số chứa x8 là: C9 (2)  4608 .
Câu 23: Xác định hệ số của x8 trong các khai triển sau: f ( x)  (3x 2  1)10
A. 17010
B. 21303
C. 20123
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

D. 21313

10

k k 2k
4
4
Ta có: f ( x )  �C10 3 x , số hạng chứa x8 ứng với k  4 nên hệ số x8 là: C10 .3  17010 .
k 0

8

�2
�
Câu 24: Xác định hệ số của x8 trong các khai triển sau: f ( x )  �  5 x 3 �
�x
�

A. 1312317
B. 76424
C. 427700
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

D. 700000

8

k 8 k
k 4 k 8
Ta có: f ( x)  �C8 2 (5) x
, số hạng chứa x8 ứng với k  4 nên hệ số của x8 là:
k 0

C .2 .(5)  700000 .
4
8

4

4

12

�3 x �
Câu 25: Xác định hệ số của x trong các khai triển sau: f ( x)  �  �
�x 2 �
297

29
27
A.
B.
C.
512
51
52
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
8

D.

97
12

12

k 12  k  k 2 k 12
Ta có: f ( x)  �C12 3 .2 .x
, số hạng chứa x8 ứng với k  10 nên hệ số của x8 là:
k 0

297
.
512
Câu 26: Xác định hệ số của x8 trong các khai triển sau: f ( x)  (1  x  2 x 2 )10
A. 37845
B. 14131

C. 324234
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
C1210 .32.210 

10

10

k 0

k 0 j 0

D. 131239

k

k
2 10  k
k
k
j 10 k 20  2 k  j
Ta có: f ( x)  �C10 (2 x ) (1  x)  ��C10Ck .2 x

0 �j �k �10
�
Số hạng chứa x8 ứng với cặp ( k , j ) thỏa: �
�j  2k  12
8
Nên hệ số của x là:

C106 C60 .2 4  C107 C72 23  C108 C84 22  C109 C96 2  C1010C108  37845
Câu 27: Xác định hệ số của x8 trong các khai triển sau: f ( x)  8(1  8 x)8  9(1  9 x)9  10(1  10 x)10
0 8
1 8
8
8
0 8
1 8
8
8
A. 8.C8 .8  C9 .9  10.C10 .10
B. C8 .8  C9 .9  C10 .10
0 8
1 8
8
8
C. C8 .8  9.C9 .9  10.C10 .10
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
8

8
k 8 k 8 k
Ta có: (1  8 x)  �C8 8 x
k 0

9

(1  9 x)9  �C9k 99 k x 9 k
k 0

Trang 13

0 8
1 8
8
8
D. 8.C8 .8  9.C9 .9  10.C10 .10


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11

10

(1  10 x)10  �C10k 1010 k x10 k
k 0

0 8
1 8
8
8
Nên hệ số chứa x8 là: 8.C8 .8  9.C9 .9  10.C10 .10
Câu 28: Tìm hệ số của x8 trong khai triển biểu thức sau: g ( x)  8(1  x)8  9(1  2 x)9  10(1  3 x)10
A. 22094
B. 139131
C. 130282
D. 21031
Hướng dẫn giải:

Chọn A.
n

k k k
k k
Ta có:  1  ax   �Cn a x nên ta suy ra hệ số của x k trong khai triển (1  ax) n là Cn a . Do đó:
n

i 0

8
Hệ số của x trong khai triển (1  x)8 là : C8
8 8
Hệ số của x8 trong khai triển (1  2 x)9 là : C9 .2

8

8
8
Hệ số của x8 trong khai triển (1  3x)10 là : C10 .3 .
8
8
8
8
8
Vậy hệ số chứa x8 trong khai triển g ( x) thành đa thức là: 8C8  9.2 .C9  10.3 .C10  22094 .

Câu 29: Hệ số đứng trước x 25 . y10 trong khai triển  x 3  xy 

15

là:

A. 2080 .
B. 3003 .
C. 2800 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
k
45  3 k
.x k . y k
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1  C15 .x
Yêu cầu bài toán xảy ra khi k  10 .





Vậy hệ số đứng trước x 25 . y10 trong khai triển x3  xy

15

3200 .
D. �

10
là: C15  3003 .

18

1 

Câu 30: Số hạng không chứa x trong khai triển  x 3  3  là:
x 

10 .
9 .
8
A. C18
B. C18
C. C18 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
k
54 3 k
. x 3 k
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1  C18 .x
Yêu cầu bài toán xảy ra khi 54  3k  3k  0 � k  9 .
9
Khi đó số hạng không chứa là: C18 .

3
D. C18 .

Câu 31: Khai triển  1 x , hệ số đứng trước x 7 là:
12

A. 330 .
B. �33.
C. �72 .

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
k
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1  C12k .  1 .x k
Yêu cầu bài toán xảy ra khi k  7 .
7
Khi đó hệ số của số hạng chứa x 7 là: C12  792 .

2 12
Câu 32: Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau: f ( x)  ( x  )
x
A. 59136
B. 213012
C. 12373
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
12

1 12
k 12  k
1 k
Ta có: f ( x)  ( x  2.x )  �C12 x .( 2 x )
k 0

Trang 14

D. �792�
.

(x �0)

D. 139412


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
12

�C
k 0

k
12

Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11

( 2) k x12 2 k

Số hạng không chứa x ứng với giá trị k thỏa mãn: 12  2k  0
� k  6 � số hạng không chứa x là: C126 .26  59136 .
Câu 33: Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau: g ( x)  ( 3
A. 24310
B. 213012
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
2
3

1
4 3
3
4


x
;
x

x
Vì 3 2
nên ta có
x
17  k

C. 12373

1
x

2

 4 x 3 )17

( x  0)

D. 139412

k

17 k 136
�  2 � � 3 � 17
f ( x )  �C �x 3 � . �x 4 � �C17k .x 12
k 0

� � � � k 0
Hệ số không chứa x ứng với giá trị k thỏa: 17 k  136  0 � k  8
8
Vậy hệ số không chứa x là: C17  24310 .
17

k
17

n

�1
�
Câu 34: Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Niutơn của � 3  x 5 � biết
�x
�
n 1
n
Cn  4  Cn  3  7  n  3 .

A. 495
B. 313
C. 1303
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
n 1
n
n
n 1
n

Ta có: Cn  4  Cn 3  7  n  3 �  Cn 3  Cn3   Cn3  7  n  3 

� Cnn31  7  n  3 �

 n  2   n  3

2!
� n  2  7.2!  14 � n  12 .
n

D. 13129

 7  n  3
12  k

5
60 11k
12
k � �
�1
� 12
Khi đó: � 3  x 5 � �C12k  x 3  . �x 2 �  �C12k x 2 .
�x
� k 0
k 0
� �
60  11k
8� k  4.
Số hạng chứa x8 ứng với k thỏa:
2

12!
4
 495 .
Do đó hệ số của số hạng chứa x8 là: C12 
4! 12  4  !
n

1
�
�
Câu 35: Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khi khai triển biểu thức �   x  x 2  � với n là số
�x
�
nguyên dương thoả mãn
Cn3  2n  An21 .( Cnk , Ank tương ứng là số tổ hợp, số chỉnh hợp chập k của n phần tử).
A. 98
B. 98
C. 96
D. 96
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
n �3
�
�
3
2
Ta có: Cn  2n  An 1 � �n  n  1  n  2 
 2n   n  1 n
�
6

�
n �3
�
� �2
� n 8.
n  9n  8  0
�

Trang 15


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11

Theo nhị thức Newton ta có:
8
8
1
1
1
1
�
�
2 � �
  x  x  � �  x  1  x  � C80 8  C81 6  1  x  
�
x
x
�x

� �x
�
1
1
2
3
4
8
C82 4  1  x   C83 2  1  x   C84  1  x   ...  C88 x 8  1  x 
x
x
Số hạng không phụ thuộc vào x chỉ có trong hai biểu thức
1
3
4
C83 2  1  x  và C84  1 x  .
x
3
2
4
0
Trong đó có hai số hạng không phụ thuộc vào x là: C8 .C3 và C8 .C4
3
2
4
0
Do đó số hạng không phụ thuộc vào x là: C8 .C3  C8 .C4  98 .
40

� 1 �

Câu 36: Trong khai triển f  x   �x  2 � , hãy tìm hệ số của x 31
� x �
A. 9880
B. 1313
C. 14940
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

D. 1147

18

1�
�
Câu 37: Hãy tìm trong khai triển nhị thức �x 3  3 � số hạng độc lập đối với x
� x �
A. 9880
B. 1313
C. 14940
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
C189  48620

D. 48620

12

�x 3 �
Câu 38: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển �  �
�3 x �

55
13
621
A.
B.
C.
9
2
113
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
1
55
(3) 4 C124 
8
3
9
4

Câu 39: Tính hệ số của x 25 y10 trong khai triển  x 3  xy 
A. 300123
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
C1510  3003

B. 121148

1412
3123

15

C. 3003

Câu 40: Cho đa thức P  x    1  x   2  1  x   ...  20  1  x 
2

D.

20

D. 1303

có dạng khai triển là

P  x   a0  a1 x  a2 x 2  ...  a20 x 20 .

Hãy tính hệ số a15 .
A. 400995
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
a15 

20

�kC

k 15

15

k

B. 130414

 400995

Câu 41: Tìm số hạng của khai triển
Trang 16

C. 511313



3 3 2



9

là một số nguyên

D. 412674


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
A. 8 và 4536
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có



33 2

B. 1 và 4184

  �C  3   2 
9

9

k 0

k

k
9

3

Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11

C. 414 và 12

D. 1313

9 k

Số hạng là số nguyên ứng với các giá trị của k thỏa:
k  2m

�
�
9  k  3n � k  0, k  6
�
�
k  0,...,9
�
Các số hạng là số nguyên: C90

 2
3

9

 8 và C96

 3  2
6

3

3

1 20
Câu 42: Xét khai triển f ( x)  (2 x  )
x
1. Viết số hạng thứ k  1 trong khai triển
k
20  k 20  k
A. Tk 1  C20 .2 .x

k
20  k 20  2 k
B. Tk 1  C10 .2 .x

k
20  4 k 20  2 k
.x
C. Tk 1  C20 .2

k
20  k 20  2 k
D. Tk 1  C20 .2 .x

2. Số hạng nào trong khai triển không chứa x
1
10
10 10
10 4
A. C20 .2
B. A20 .2
C. C20 .2
Hướng dẫn giải:
k
20  k 1
 C20k .220 k.x 20 2 k
1. Ta có: Tk 1  C20 (2 x)
k
x
2. Số hạng không chứa x ứng với k: 20  2k  0 � k  10

10 10
Số hạng không chứa x: C20 .2
Câu 43: Xác định hệ số của x 4 trong khai triển sau: f ( x )  (3x 2  2 x  1)10 .
A. 8089
B. 8085
C. 1303
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
f  x    1  2 x  3x 2 

10

10

 �C10k  2 x  3 x 2 

10 10
D. C20 .2

D. 11312

k

k 0

10

k

10

k

k 0

i 0

k 0

i 0

 �C10k �Cki (2 x)k i .(3x 2 )i  �C10k �Cki 2k i.3i x k i
với 0 �i �k �10 .
Do đó k  i  4 với các trường hợp i  0, k  4 hoặc i  1, k  3 hoặc i  k  2 .
4 4
0
2 1 3
1
2 2
2
Vậy hệ số chứa x 4 : 2 C10 .C4  2 3 C10 .C3  3 C10 .C2  8085 .
Câu 44: Tìm hệ số của x 7 trong khai triển thành đa thức của (2  3x) 2 n , biết n là số nguyên dương thỏa
1
3
5
2 n 1
mãn : C2 n 1  C2 n 1  C2 n 1  ...  C2 n 1  1024 .
A. 2099529
B. 2099520
C. 2099529

D. 2099520
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
�2 n 1 k
2 n 1
��C2 n 1  2
n
�k 0
�
C22ni 11  22 n  1024 � n  5
Ta có: �n
�
n
i0
� C 2i 1  C 2i
�
�
2 n 1
2 n 1
�
i 0
�i 0
Trang 17


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11

10

2n
k 10  k
k k
Suy ra (2  3 x)  �C10 2 .(3) x
k 0
7
3
10

7
Hệ số của x là C .2 .(3)  2099520 .
Câu 45: Tìm hệ số của x 9 trong khai triển f ( x )  (1  x )9  (1  x )10  ...  (1  x)14
A. 8089
B. 8085
C. 3003
D. 11312
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
9
9
9
9
9
9
Hệ số của x 9 : C9  C10  C11  C12  C13  C14  3003 .

7

Câu 46: Tìm hệ số của x 5 trong khai triển đa thức của: x  1  2 x   x 2  1  3x 

A. 3320
B. 2130
C. 3210
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
5
10
Đặt f ( x )  x  1  2 x   x 2  1  3 x 
5

5

10

k
k
2
i
Ta có : f ( x)  x �C5  2  .x  x �C10  3 x 
k

k 0

5

10

D. 1313

i

i 0

10

 �C5k  2  .x k 1  �C10i 3i.x i  2
k

k 0

i 0

Vậy hệ số của x trong khai triển đa thức của f ( x ) ứng với k  4 và i  3 là:
4
C54  2   C103 .33  3320 .
5

1  x2  1  x  �
Câu 47: Tìm hệ số cuả x8 trong khai triển đa thức f ( x )  �
�
�
A. 213
B. 230
C. 238
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Cách 1
8
2
3

0
1 2
2 4
3 6
�
1  x2  1  x  �
�
� C8  C8 x  1  x   C8 x  1  x   C8 x  1  x 
8

D. 214

C84 x8  1  x   C85 x10  1  x  ...  C88 x16  1  x 
Trong khai triển trên ta thấy bậc của x trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của x trong 4 số hạng cuối
3
2
4
0
lớn hơn 8. Do đó x8 chỉ có trong số hạng thứ tư, thứ năm với hệ số tương ứng là: C8 .C3 , C8 .C4 .
4

5

8

1  x2  1  x  �
Vậy hệ số cuả x8 trong khai triển đa thức �
�
� là:
a8  C83 .C32  C84 .C40  238 .

Cách 2: Ta có:
8

8

8

n

n 0

k 0

n 2n
n
k
2nk
�
1  x2  1  x  �
�
� �C8 x  1  x   �C8 �Cn  1 x
8

n 0

n

k

với 0 �k �n �8 .

Số hạng chứa x8 ứng với 2n  k  8 � k  8  2n là một số chẵn.
Thử trực tiếp ta được k  0; n  4 và k  2, n  3 .
3
2
4
0
Vậy hệ số của x8 là C8 .C3  C8 .C4  238 .

Câu 48: Đa thức P  x    1  3x  2 x 2   a0  a1 x  ...  a20 x 20 . Tìm a15
10

10
5
5
9
6 3
8
7
A. a15  C10 .C10 .3  C10 .C9 .3  C10 .C8 .3.
10
5
5
9
6 6
8
7 7
B. a15  C10 .C10 .2  C10 .C9 .2  C10 .C8 .2
10
5
5 5

9
6 3 6
8
7 7
C. a15  C10 .C10 .3 .2  C10 .C9 .3 .2  C10 .C8 .2

Trang 18


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11

10
5
5 5
9
6 3 6
8
7
7
D. a15  C10 .C10 .3 .2  C10 .C9 .3 .2  C10 .C8 .3.2
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
10

2
k
2
Ta có: P  x    1  3 x  2 x   �C10  3x  2 x 

10

k

k 0

10

k

10

k

k 0

i 0

k 0

i 0

 �C10k �Cki (3 x) k i .(2 x 2 )i  �C10k �Cki .3k i.2i x k i
với 0 �i �k �10 . Do đó k  i  15 với các trường hợp
k  10, i  5 hoặc k  9, i  6 hoặc k  8, i  7
10
5
5 5
9
6 3 6

8
7
7
Vậy a15  C10 .C10 .3 .2  C10 .C9 .3 .2  C10 .C8 .3.2 .

2 n
3
n 1
n 2
Câu 49: Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau ( x  ) , biết rằng Cn  Cn  78 với
x
x0
A. 112640
B. 112640
C. 112643
D. 112643
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
n!
n!
n 1
n2

 78
Ta có: Cn  Cn  78 �
(n  1)!1! (n  2)!2!
n(n  1)
� n
 78 � n 2  n  156  0 � n  12 .
2

12
�3 2 � 12 k
Khi đó: f ( x )  �x  �  �C12 (2) k x 364 k
� x � k 0
Số hạng không chứa x ứng với k : 36  4k  0 � k  9
9 9
Số hạng không chứa x là: (2) C12  112640
Câu 50: Với n là số nguyên dương, gọi a3n 3 là hệ số của x 3n 3 trong khai triển thành đa thức của
( x 2  1) n ( x  2) n . Tìm n để a3n3  26n
A. n=5
B. n=4
C. n=3
D. n=2
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Cách 1:Ta có :

x

2

 1  Cn0 x 2 n  Cn1 x 2 n 2  Cn2 x 2 n 4  ...  Cnn
n

 x  2

n

 Cn0 x n  2Cn1 x n 1  22 Cn2 x n 2  ...  2n Cnn

Dễ dàng kiểm tra n  1 , n  2 không thoả mãn điều kiện bài toán.
Với n �3 thì dựa vào khai triển ta chỉ có thể phân tích
x 3n 3  x 2 n .x n 3  x 2 n  2 .x n 1
Do đó hệ số của x 3n 3 trong khai triển thành đa thức của

x

2

 1

n

 x  2

n

3
0
3
1
1
là : a3n 3  2 .Cn .Cn  2.Cn .Cn .

Suy ra a3n 3  26n �

2n  2n 2  3n  4 

Vậy n  5 là giá trị cần tìm.
Cách 2:

Ta có:  x 2  1

Trang 19

n

3

n

 26n � n  

n

1 �� 2 �
n
1  2 ��
1 �
 x  2   x3 n �
�
� x �� x �

7 hoặc n  5
2


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
i

Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11

k

�n i 2i n k k  k �
�1 � n
�2 �
 x �C � 2 ��Cnk � �x 3n �
Cn x �Cn 2 x �
�
�x �k 0 �x �
i 0
i 0
k 0
�
�
x
Trong khai triển trên, luỹ thừa của là 3n  3 khi
2i  k  3 � 2i  k  3 .
Ta chỉ có hai trường hợp thoả mãn điều kiện này là i  0, k  3 hoặc
i  1, k  1 (vì i, k nguyên).
3n

n

i
n

Hệ số của x 3n 3 trong khai triển thành đa thức của  x 2  1

n

 x  2

n

0
3 3
1
1
Là : a3n 3  Cn .Cn .2  Cn .Cn .2 .

Do đó a3n 3  26n �

2n  2n 2  3n  4 

Vậy n  5 là giá trị cần tìm.

3

7
 26n � n   hoặc n  5
2
n

�1
�
Câu 51: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Newton của � 4  x 7 �, biết
�x
�
1

2
n
20
C2 n 1  C2 n1  ...  C2 n1  2  1 .
A. 210
B. 213
C. 414
D. 213
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
k
2 n 1 k
Do C2 n 1  C2 n 1 k  0,1, 2,..., 2n  1
26

� C20n 1  C21n 1  ...  C2nn 1  C2nn11  C2nn21  ...  C22nn11
1
2
2 n 1
2 n 1
Mặt khác: C2 n 1  C2 n 1  ...  C2 n 1  2

� 2(C20n 1  C21n1  C22n1  ...  C2nn1 )  2 2 n 1
� C21n 1  C22n 1  ...  C2nn 1  22 n  C20n 1  22 n  1

� 22 n  1  2 20  1 � n  10 .
10

10

10
10
k 11k  40
�1
�
Khi đó: � 4  x 7 �   x 4  x 7   �C10k ( x 4 )10  k .x 7 k  �C10 x
k 0
�x
�
k 0
26
Hệ số chứa x ứng với giá trị k : 11k  40  26 � k  6 .
6
Vậy hệ số chứa x 26 là: C10  210 .
n
n
Câu 52: Cho n ��* và (1  x)  a0  a1 x  ...  an x . Biết rằng tồn tại số nguyên k ( 1 �k �n  1 ) sao
a
a
a
cho k 1  k  k 1 . Tính n  ? .
2
9
24
A. 10
B. 11
C. 20
D. 22
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

n!
1
n!
�1
�2 ( k  1)!(n  k  1)!  9 ( n  k )! k !
�
k
Ta có: ak  Cn , suy ra hệ �
n!
1
n!
�1

�
�9 (n  k )!k ! 24 (n  k  1)!(k  1)!

9k  2(n  k  1)
�
�2n  11k  2
��
��
� n  10, k  2 .
24(k  1)  9(n  k ) �
9n  33k  24
�
1 2 10
Câu 53: Trong khai triển của (  x) thành đa thức
3 3
2
9

10
a0  a1 x  a2 x  ...  a9 x  a10 x , hãy tìm hệ số ak lớn nhất ( 0 �k �10 ).
Trang 20


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11

210
210
210
210
A. a10  3003 15
B. a5  3003 15
C. a4  3003 15
D. a9  3003 15
3
3
3
3
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
15
15 k
k
2k
�1 2 � 15
�1 � �2 � 15
Ta có: �  x �  �C15k � � � x � �C15k 15 x k

3
�3 3 � k 0
�3 � �3 � k  0
1 k k
Hệ số của x k trong khai triển ak  15 C15 2
3
k 1 k 1
k k
k 1
k
Ta có: ak 1  ak � C15 2  C15 2 � C15  2C15
32
 �
k
k 10. Từ đó: a0  a1  ...  a10
3
Đảo dấu bất đẳng thức trên, ta được:
32
ak 1  ak � k 
� a10  a11  ...  a15
3
210
210
Vậy hệ số lớn nhất phải tìm là: a10  15 C1510  3003 15 .
3
3
n
2
n
Câu 54: Giả sử (1  2 x)  a0  a1 x  a2 x  ...  an x , biết rằng a0  a1  ...  an  729 . Tìm n và số lớn

nhất trong các số a0 , a1 ,..., an .
A. n=6, max  ak   a4  240

C. n=4, max  ak   a4  240
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
n
n
Ta có: a0  a1  ...  an  (1  2.1)  3  729 � n  6

B. n=6, max  ak   a6  240

D. n=4, max  ak   a6  240

ak  C6k 2k suy ra max  ak   a4  240 .

n
n
Câu 55: Cho khai triển (1  2 x )  a0  a1 x  ...  an x , trong đó n ��* . Tìm số lớn nhất trong các số
a
a
a0 , a1 ,..., an , biết các hệ số a0 , a1 ,..., an thỏa mãn hệ thức: a0  1  ...  nn  4096 .
2
2
A. 126720
B. 213013
C. 130272
D. 130127

Hướng dẫn giải:

Chọn A.
n
n
Đặt f ( x )  (1  2 x)  a0  a1 x  ...  an x
a
a1
�1 �
 ...  nn  f � � 2n � 2n  4096 � n  12
2
2
�2 �
k
k
k 1 k 1
Với mọi k � 0,1, 2,...,11 ta có: ak  2 C12 , ak 1  2 C12
� a0 

ak
2k C k
k 1
23
 1 � k 1 12k 1  1 �
1� k 
ak 1
2 C12
2(12  k )
3
Z
k 7 . Do đó a0  a1  ...  a8
Mà k �

ak
 1 � k  7 � a8  a9  ...  a12
Tương tự:
ak 1
�

8 8
Số lớn nhất trong các số a0 , a1 ,..., a12 là a8  2 C12  126720 .

Trang 21


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
n

DẠNG 2: BÀI TOÁN TỔNG

�a C b
k 0

k

k
n

k

Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11

.

Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton
(a  b)n  Cn0 a n  a n 1bCn1  a n 2b 2Cn2  ...  b nCnn .
Ta chọn những giá trị a, b thích hợp thay vào đẳng thức trên.
Một số kết quả ta thường hay sử dụng:
k
nk
* Cn  C n
0
1
n
n
* Cn  Cn  ...  Cn  2
n

*

�(1) C
k

k 0

k
n

0

n

n

k 0

k 0

2k
2 k 1
* �C2 n  �C2 n 
n

*

�C a
k 0

k
n

k

1 2n k
�C2n
2 k 0

 (1  a )n .

Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng
Mẫu chốt của cách giải trên là ta tìm ra được đẳng thức (*) và ta thường gọi (*) là đẳng thức đặc trưng.
Cách giải ở trên được trình bày theo cách xét số hạng tổng quát ở vế trái (thường có hệ số chứa k ) và
biến đổi số hạng đó có hệ số không chứa k hoặc chứa k nhưng tổng mới dễ tính hơn hoặc đã có sẵn.

0
1
2
3
n
Câu 1: Tổng T    Cn  Cn  Cn  Cn  ...  Cn bằng:
A. T  2 n .
B. T  2n – 1 .
C. T  2n  1 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Tính chất của khai triển nhị thức Niu – Tơn.
0
1
6
Câu 2: Tính giá trị của tổng S  C6  C6  ..  C6 bằng:
A. 64 .
B. 48 .
C. 72 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
S = C06 +C16 +...+C66  26  64

D. T  4 n .

D. 100 .

5
0
1

5
Câu 3: Khai triển  x  y  rồi thay x, y bởi các giá trị thích hợp. Tính tổng S  C5  C5  ...  C5
A.  32 .
B. 64 .
C. 1 .
D. 12 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
0
1
5
5
Với x  1, y  1 ta có S= C5 +C5 +...+C5  (1  1)  32 .

0
1
2
n n
Câu 4: Tìm số nguyên dương n sao cho: Cn  2Cn  4Cn  ...  2 Cn  243
A. 4
B. 11
C. 12
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
n
0
1
2 2
n n
Xét khai triển: (1  x)  Cn  xCn  x Cn  ...  x Cn

D. 5

0
1
2
n n
n
Cho x  2 ta có: Cn  2Cn  4Cn  ...  2 Cn  3
Do vậy ta suy ra 3n  243  35 � n  5 .
5
0
1
5
Câu 5: Khai triển  x  y  rồi thay x, y bởi các giá trị thích hợp. Tính tổng S  C5  C5  ...  C5

A.  32 .
Hướng dẫn giải:
Trang 22

B. 64 .

C. 1 .

D. 12 .


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11

Chọn A.
0
1
5
5
Với x  1, y  1 ta có S= C5 +C5 +...+C5  (1  1)  32 .

Câu 6: Khai triển  1  x  x 2  x3   a0  a1 x  a2 x 2  ...  a15 x15
5

a) Hãy tính hệ số a10 .
0
4
4 3
A. a10  C5 .  C5  C5 C5

0
5
2 4
4 3
B. a10  C5 .C5  C5 C5  C5 C5

0
5
2 4
4 3
C. a10  C5 .C5  C5 C5  C5 C5

0

5
2 4
4 3
D. a10  C5 .C5  C5 C5  C5 C5

b) Tính tổng T  a0  a1  ...  a15 và S  a0  a1  a2  ...  a15
A. 131
B. 147614
C. 0
Hướng dẫn giải:
Đặt f ( x )  (1  x  x 2  x 3 )5  (1  x)5 (1  x 2 )5

D. 1

0
5
2 4
4 3
a) Do đó hệ số x10 bằng: a10  C5 .C5  C5 C5  C5 C5
b) T  f (1)  45 ; S  f (1)  0

Câu 7: Khai triển  1  2 x  3 x 2   a0  a1 x  a2 x 2  ...  a20 x 20
10

a) Hãy tính hệ số a4
0
4
A. a4  C10 .2

4

4
B. a4  2 C10

20
b) Tính tổng S  a1  2a2  4a3  ...  2 a20
A. S  1710
B. S  1510
Hướng dẫn giải:

0
4
C. a4  C10C10

0
4 4
D. a4  C10 .2 C10

C. S  17 20

D. S  710

10

2 10
k k 2k
10  k
Đặt f ( x )  (1  2 x  3 x )  �C10 3 x (1  2 x)
k 0

10

10  k

k 0

i 0

 �C10k 3k x 2 k �C10i  k 210 k i x10  k i
10 10  k

 ��C10k C10i  k 3k 210 k i x10 k i
k 0 i 0

0
4 4
a) Ta có: a4  C10 .2 C10 

b) Ta có S  f (2)  1710

1 0 1 1 1 3 1 4
( 1) n n
Cn
Câu 8: Tính tổng sau: S  Cn  Cn  Cn  Cn  ... 
2
4
6
8
2( n  1)
1
A.

B. 1
C. 2
2(n  1)
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
1�0 1 1 1 2
(1) n n �
Cn  Cn  Cn  ... 
Cn �
Ta có: S  �
2�
2
3
n 1
�

D.

1
(n  1)

n
1
(1) k k (1) k k 1
(1)k Cnk11
Cn 
Cn 1 nên: S 
�
2(n  1) k 0
k 1

n 1
n 1
1 �
1
�

(1) k Cnk1  Cn01 �
.
�
�
2(n  1) �k 0
� 2( n  1)

Vì

1 n 1
2 n 2
3 n 3
n
Câu 9: Tính tổng sau: S  Cn 3  2Cn 3  3Cn 3  ...  nCn
A. n.4n 1
B. 0
C. 1

Trang 23

D. 4n 1


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
k

n

�1 �
Ta có: S  3 �kC � �
�3 �
k 1
n

k
n

k

k

�1 � �1 �
Vì kCnk � � n � �Cnk11 k �1 nên
�3 � �3 �
k

k

n 1

1 n 1
�1 �
�1 �
n 1
n 1
S  3 .n�� �Cnk11  3n 1.n�� �Cnk1  3 .n(1  )  n.4 .
3
3�
3�
k 1 �
k 0 �
1 1 1 2
1
0
Cnn
Câu 10: Tính các tổng sau: S1  Cn  Cn  Cn  ... 
2
3
n 1
2n 1  1
2n 1  1
2n 1  1
A.
B.
C.
1
n 1
n 1
n 1
Hướng dẫn giải:

Chọn B.
Ta có:
1
1
n!
1
( n  1)!
Cnk 

k 1
k  1 k !(n  k )! n  1 ( k  1)![(n  1)  ( k  1))!
1

Cnk11 (*)
n 1
n 1
1 n k 1
1 �n 1 k
1
0 � 2
� S1 
C

C

C

.
�
�

n 1
n 1
n 1 �
�
n  1 k 0
n  1 �k 0
� n 1
n

n

1
2
n
Câu 11: Tính các tổng sau: S 2  Cn  2Cn  ...  nCn
A. 2n.2n 1
B. n.2n 1

C. 2n.2n 1

D.

2n 1  1
1
n 1

D. n.2n 1

Hướng dẫn giải:
Chọn D.

n!
n!

k !(n  k )! (k  1)![(n  1)  ( k  1)]!
(n  1)!
n
 nCnk11 , k �1
(k  1)![(n  1)  (k  1)]!

k
Ta có: kCn  k .

n

n 1

k 1

k 0

� S 2  �nCnk11  n�Cnk1  n.2n1 .
2
3
4
n
Câu 12: Tính các tổng sau: S3  2.1.Cn  3.2Cn  4.3Cn  ...  n(n  1)Cn .

A. n(n  1)2 n  2
Hướng dẫn giải:

Chọn A.
k
Ta có k (k  1)Cn 

B. n(n  2)2n  2

C. n(n  1)2n 3

n!
 n( n  1)Cnk22
(k  2)!( n  k )!

n

� S3  n(n  1) �Cnk22  n(n  1)2n  2 .
k 2

Câu 13: Tính tổng S  Cn0 

4n 1  2n 1
A. S 
n 1
Trang 24

32  1 1
3n 1  1 n
Cn  ... 
Cn
2
n 1

4n 1  2 n1
B. S 
1
n 1

D. n(n  1)2n  2


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

4n 1  2n 1
C. S 
1
n 1
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có S  S1  S 2 , trong đó

Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11

4n 1  2n 1
D. S 
1
n 1

32 1 33 2
3n 1 n
Cn  Cn  ... 
Cn
2

3
n 1
1
1
1
S 2  Cn1  Cn2  ... 
Cnn
2
3
n 1
n 1
2 1
Ta có S 2 
1
n 1
Tính S1  ?
S1  Cn0 

3k 1 k
n!
3k 1
(n  1)!
3k 1 k 1
k 1
Cn  3

Ta có:

C
k 1

(k  1)!(n  k )! n  1 ( k  1)![( n  1)  ( k  1)]! n  1 n 1
� S1 

1 n k 1 k 1
1 �n 1 k k
4n 1  1
0�
0
3 Cn  2  2Cn0 
3
C

C

2
C

2.
�
�
n

1
n
n
�
n  1 k 0
n 1�
n


1
�k 0
�

Vậy S 

4n 1  2 n 1
1 .
n 1

Câu 14: Tính tổng S  Cn0 

3n 1  2n 1
A. S 
n 1
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: S  S1  S 2

22  1 1
2n 1  1 n
Cn  ... 
Cn
2
n 1
3n  2n 1
B. S 
n 1

3n 1  2n

C. S 
n 1

3n 1  2n 1
D. S 
n 1

n
Cnk
2k 1
2n 1  1
; S2  �

1
Trong đó S1  �C
k 1
n 1
k 0
k 0 k  1
n

k
n

2k 1 k 2 k 1 k 1
3n 1  1
Cn 
Cn 1 � S1 
1
k 1

n 1
n 1
3n 1  2n 1
Suy ra: S 
.
n 1
1
2
2 3
n 2 n 1
Câu 15: Tìm số nguyên dương n sao cho : C2 n 1  2.2C2 n 1  3.2 C2 n 1  ...  (2n  1)2 C2 n 1  2005
A. n  1001
B. n  1002
C. n  1114
D. n  102
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Mà

2 n 1

k 1
k 1 k
Đặt S  �(1) .k .2 C2 n 1
k 1
k 1

k 1 k
k 1
k 1 k 1

Ta có: (1) .k .2 C2 n 1  (1) .(2n  1).2 C2 n
0
1
2 2
2n 2n
Nên S  (2n  1)(C2 n  2C2 n  2 C2 n  ...  2 C2 n )  2n  1
Vậy 2n  1  2005 � n  1002 .
0 n 1 n 1
1 n 2 n 2
n 1 0 0
Câu 16: Tính tổng 1.3 .5 Cn  2.3 .5 Cn  ...  n.3 5 Cn

A. n.8n 1
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Trang 25

B. ( n  1).8n 1

C. (n  1).8n

D. n.8n