Bài tập và lý thuyết chương 2 đại số lớp 11 TÍNH GIÁ TRỊ CM GPT đặng việt đông file word

– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11

PHẦN I – ĐỀ BÀI
k
k
DẠNG 4: TÍNH GIÁ TRỊ, CHỨNG MINH, GIẢI PT, BPT, HPT CÓ CHỨA Pn , An , Cn

Phương pháp: Dựa vào công thức tổ hợp, chỉnh hợp hoán vị để chuyển phương trình, bất phương
trình, hệ phương trình tổ hợp về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số.
Câu 1: Cho C

n 3
n

A. 256
Câu 2: Tính B 
A.

An6  An5
 1140 . Tính A 
An4
B. 342
1
2

A2

9
10

Câu 3: Tính M 



1
2

A3

 ... 

1
2

An

B.

C. 231
2

, biết

10
9

Cn1

2

Cn

1

Cn

n

 ...  n

Cn

n 1

Cn

C.

 45

1
9

D. 9

An41  3 An3
2
2
2

2
, biết Cn 1  2Cn  2  2Cn 3  Cn  4  149 .
 n  1 !

9
10
1
B.
C.
10
9
9
nk
Câu 4: Cho biết Cn  28 . Giá trị của n và k lần lượt là:
A. 8 và 4 .
B. 8 và 3 .
C. 8 và 2 .
D. Không thể tìm được.
2
Câu 5: Nếu Ax  110 thì:
A. x  10 .
B. x  11 .
C. x  11 hay x  10 .
4
4
Câu 6: Nếu 2 An  3 An 1 thì n bằng:
A. n  11 .
B. n  12 .
C. n  13 .
Câu 7: Kết quả nào sau đây sai:

0
n
1
A. Cn 1  1 .
B. Cn  1 .
C. Cn  n  1 .
A.

D. 129

D.

3
4

D. x  0 .
D. n  14 .
n 1
D. Cn  n .

Câu 8: Nghiệm của phương trình An3  20n là
A. n  6 .
B. n  5 .
C. n  8 .
D. không tồn tại.
6
7
8
9
8

Câu 9: Giá trị của n �� thỏa mãn đẳng thức Cn  3Cn  3Cn  Cn  2Cn  2 là
A. n  18 .
B. n  16 .
C. n  15 .
D. n  14 .
2
2
Câu 10: Giá trị của n thỏa mãn 3 An  A2 n  42  0 là
A. 9 .
B. 8 .
C. 6 .
D. 10 .
Câu 11: Cho đa giác đều n đỉnh, n �� và n �3 . Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 135 đường chéo
A. n  15 .
B. n  27 .
C. n  8 .
D. n  18 .
3
2
Câu 12: Biết n là số nguyên dương thỏa mãn 3Cn 1  3 An  52( n  1) . Giá trị của n bằng:
A. n  13 .
B. n  16 .
C. n  15 .
D. n  14 .
0
x 1
x2
Câu 13: Tìm x ��, biết C x  C x  Cx  79
A. x  13 .
B. x  17 .

C. x  16 .
D. x  12 .
n 3
3
Câu 14: Giá trị của n �� thỏa mãn Cn 8  5 An  6 là
A. n  15 .
B. n  17 .
C. n  6 .
D. n  14 .
2
2
n
Câu 15: Giải phương trình với ẩn số nguyên dương thỏa mãn An  3Cn  15  5n
A. n  5 hoặc n  6 .
B. n  5 hoặc n  6 hoặc n  12 .
C. n  6 .
D. n  5 .

Trang 1


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11
n 1
n
Câu 16: Tìm n ��, biết Cn  4  Cn 3  7(n  3) .
A. n  15 .
B. n  18 .
C. n  16 .
D. n  12 .

5
2 14
Câu 17: Giá trị của n �� bằng bao nhiêu, biết n  n  n .
C5 C6 C7
A. n  2 hoặc n  4 .
B. n  5 .
C. n  4 .
D. n  3 .
n2
n 1
n
Câu 18: Giải phương trình sau với ẩn n ��: C5  C5  C5  25
A. n  3 .
B. n  5 .
C. n  3 hoặc n  4 .
D. n  4 .
3
n 2
Câu 19: Tìm n ��, biết An  Cn  14n .
A. n  5 .
B. n  6 .
C. n  7 hoặc n  8 .
D. n  9 .
7n
1
2
3
Câu 20: Giá trị của n �� thỏa mãn Cn  Cn  Cn 
là
2

A. n  3 .
B. n  6 .
C. n  4 .
D. n  8 .
2
Câu 21: Tìm số tự nhiên n thỏa An  210 .
A. 15 .
B. 12 .
C. 21 .
D. 18 .
2
n 1
n
Câu 22: Biết rằng An  Cn 1  4n  6 . Giá trị của là
A. n  12 .
B. n  10 .
C. n  13 .
D. n  11 .
Câu 23: Giải phương trình sau: Px  120
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
1 n 1
2 n 2
3 n 3
n
Câu 25: Tìm n biết: Cn 3  2Cn 3  3Cn 3  ..  nCn  256
A. n  4
B. n  5

C. n  6
D. n  7
0
1
2
n
n
Câu 26: Tìm n biết: Cn  2Cn  4Cn  ...  2 Cn  243
A. n  4
B. n  5
C. n  6
D. n  7
1
2
2 3
n 2 n 1
Câu 27: Tìm n biết: C2 n 1  2.2C2 n1  3.2 C2 n 1  ...  (2n  1)2 C2 n1  2005
A. n  1100
B. n  1102
C. n  1002
D. n  1200
2
1
Câu 28: Tìm số nguyên dương n sao cho: An  An  8
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
6
5

Câu 29: Tìm số nguyên dương n sao cho: An  10 An
A. 12
B. 13
C. 14
D. 15
10
9
8
Câu 30: Nghiệm của phương trình Ax  Ax  9 Ax là:
A. x  10 .
B. x  9 .
91
C. x  11 .
D. x  9 và x 
.
9
4
4
Câu 31: Nếu 2 An  3 An 1 thì n bằng:
A. n  11 .
B. n  12 .
C. n  13 .
D. n  14 .
4
n
Câu 32: Tìm số nguyên dương sao cho: Pn 1. An  4  15 Pn  2
A. 3,4,5

B. 5,6,7

C. 6,8,2

n 1
n
Câu 33: Giải bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên) Cn  2  Cn  2 

A. n �2

B. n �3

C. n �5

D. 7,9,8

5 2
An
2

D. n �4

Câu 34: Giải bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên)  n ! Cnn .C2nn .C3nn �720
A. n  1, 2,3
B. n  0,1, 2
C. n  0, 2,3
D. n  2,3, 4
3

Trang 2

– Website chuyên đề thi tài liệu file word
Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11
2
C
3
Câu 35: Giải bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên) n 21 � n
Cn 10
A. 2 �n  4
B. 0 �n �2
C. 1 �n �5
D. 2 �n �5
3
n 1
Câu 36: Giải bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên) An 1  Cn 1  14  n  1
A. 2 �n  4

B. 0 �n �2

C. 1 �n �5
An4 4
143

Câu 37: Giải bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên)
 n  2  ! 4 Pn
A. 2 �n  4
B. 0 �n �2
C. 1 �n �5
A4
24
Câu 38: Giải bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên) 3 n n  4 �

An 1  Cn
23
A. 2 �n  4
B. 0 �n �2
C. 1 �n �5
2
2
Câu 39: Giải phương trình sau: 3C x 1  xP2  4 Ax
A. x  3
B. x  4
C. x  5
5
2 14
Câu 40: Nghiệm của phương trình x  x  x
C5 C6 C7
A. x  3
B. x  4
C. x  5
2
2
Câu 41: Giải phương trình sau: Px Ax  72  6( Ax  2 Px )
x3
x3
�
�
A. �
B. �
C.
x4
x2

�
�
2

x 2

Câu 42: Giải phương trình sau: C x C x
A. 3
B. 4

x2
�
�
x4
�

 2C x2C x3  C x3C xx 3  100
C. 5

1
2
3
2
Câu 43: Giải phương trình sau: C x  6.Cx  6.Cx  9 x  14 x
A. 3
B. 4
C. 5

Câu 44: Giải phương trình sau: Cx 1  Cx 1 
4

3

D. 2 �n �5

D. 2 �n �5

D. 2 �n �5
D. x  6

D. x  6

x 1
�
D. �
x4
�

D. 6

D. 7

5 2
Ax  2  0
4

A. 11
B. 4
C. 5
3

x 4
4
Câu 45: Giải phương trình sau: 24  Ax 1  C x   23 Ax
A. 3
B. 4
C. 5

D. 6
D. 6

2

Câu 46: Giải phương trình sau: C23xx14  C2xx 42 x 3
x3
x3
x2
�
�
�
A. �
B. �
C. �
x4
x2
x4
�
�
�
2
2

2
2
Câu 47: Giải phương trình sau: C x  2C x 1  3Cx  2  4Cx 3  130
A. 7
B. 4
C. 5
x
x
�
2 Ay  5C y  90
�
Câu 48: Giải hệ phương trình sau: � x
5 Ay  2C yx  80
�
A. x  1; y  5
B. x  2; y  1
C. x  2; y  5

Trang 3

x 1
�
D. �
x2
�
D. 6

D. x  1; y  3

– Website chuyên đề thi tài liệu file word
Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11
y 1
y
�
C x 1  C x 1
�
Câu 49: Giải hệ phương trình sau: � y 1
3C x 1  5Cxy11
�
A. x  6; y  3
B. x  2; y  1
C. x  2; y  5
D. x  1; y  3
1 2
6 3
2
Câu 50: Giải bất phương trình sau: A2 x  Ax � Cx  10
2
x
A. 3 �x �4
B. 3 �x
C. x �4
D. x  4, x  3
Px 5
�60 Axk32
Câu 51: Giải bất phương trình sau:
( x  k )!
A. ( x; k )  (0;0), (1;1),(3;3)
B. ( x; k )  (0;0), (1;0), (2; 2)

C. ( x; k )  (1;0),(1;1),(2; 2),(3;3)
D. ( x; k )  (0;0), (1;0), (1;1), (2; 2),(3;3)
Câu 52: Cho một tập hợp A gồm n phần tử ( n �4 ). Biết số tập con gồm 4 phần tử của A gấp 20 lần
số tập con gồm hai phần tử của A. Tìm n
A. 20
B. 37
C. 18
D. 21
Câu 53: Tìm k � 1, 2,3,..., n sao cho số tập con gồm k phần tử của tập A là lớn nhất.
A. 12
B. 9
C. 21
D. 19
k
n
Câu 54: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho C2 n   2n  , trong đó k là một ước nguyên tố của
C2nn .
A. n=1
B. n=2
C. n=3
D. n=4
Câu 55: Cho S là tập các số nguyên trong đoạn  1; 2002 và T là tập hợp các tập con khác rỗng của S.
Với mỗi X �T , kí hiệu m( X ) là trung bình cộng các phần tử của X. Tính m 
A. m 

Trang 4

3003
2003
4003

2003
B. m 
C. m 
D. m 
2
21
2
2

�m( X )

X �T

T

.


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11

PHẦN II – HƯỚNG DẪN GIẢI
k
k
DẠNG 4: TÍNH GIÁ TRỊ, CHỨNG MINH, GIẢI PT, BPT, HPT CÓ CHỨA Pn , An , Cn

Phương pháp: Dựa vào công thức tổ hợp, chỉnh hợp hoán vị để chuyển phương trình, bất phương
trình, hệ phương trình tổ hợp về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số.
n 3

Câu 1: Cho Cn  1140 . Tính A 

A. 256

An6  An5
An4

B. 342

C. 231

D. 129

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
�n ��
ĐK: �
�n �6

n!
 1140 � n  20
3!( n  3)!
n(n  1)...(n  5)  n(n  1)...(n  4)
 n  4  ( n  4)( n  5)  256
Khi đó: A 
n( n  1)...( n  3)
n 3
Ta có: Cn  1140 �

1

Câu 2: Tính B 

2

A2



1

 ... 

2

A3

9
10
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
A.

1
2

An

B.

2

, biết

Cn1

2

Ta có: C  n ; 2
1
n

Nên
B

1
2
A2

2


Cn

1
Cn

1
2
A3

1!.(n  1)!
n

 ...  n

 ... 

1
2
An

Cn

n 1
Cn

 1

 ...  n

 45 �

Cn

n 1

Cn

C.

n

2!.(n  2)!
 2.
 n  1 ;.;
n!

2

Cn1

1

Cn

n

10
9

n!
2
Cn
1
Cn

Cn

n

Cn

n 1

Cn



 45

1
9

1
n!

D. 9

1

1!.( n  1)!

n( n  1)
 45 � n  10
2

1 9
 .
n 10

An41  3 An3
2
2
2
2
Câu 3: Tính M 
, biết Cn 1  2Cn  2  2Cn 3  Cn  4  149 .
 n  1 !

9
10
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
�n ��
Điều kiện: �
�n �3
A.

Trang 5

B.

10
9

C.

1
9

D.

3
4


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
2
2
2
2
Ta có: Cn 1  2Cn  2  2Cn 3  Cn  4  149
�

Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11

 n  1 !  2  n  2  !  2  n  3 !   n  4  !  149 � n  5
2! n  1 !
2! n !
2! n  1 ! 2! n  2  !

A64  3 A53 3
 .
6!
4
nk
C

28 . Giá trị của n và k lần lượt là:

Câu 4: Cho biết n
A. 8 và 4 .
B. 8 và 3 .
C. 8 và 2 .
D. Không thể tìm được.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Thử đáp án, dễ dàng tìm được n  8 và k  2 .
2
Câu 5: Nếu Ax  110 thì:
A. x  10 .
B. x  11 .
C. x  11 hay x  10 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Điều kiện: x  �, x 2
x  11
�
x!
2
 110 � x( x  1)  110 � �
Ta có: Ax  110 �
.
x  10
 x  2 !
�
So sánh điều kiện ta nhận x  11 .
4
4
Câu 6: Nếu 2 An  3 An 1 thì n bằng:

A. n  11 .
B. n  12 .
C. n  13 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Điều kiện: n �4; n ��
 n  1 ! � 2n  3 � n  12
n!
4
4
 3.
Ta có: 2 An  3 An 1 � 2.
.
 n  4 !  n  5 ! n  4
Câu 7: Kết quả nào sau đây sai:
0
n
1
A. Cn 1  1 .
B. Cn  1 .
C. Cn  n  1 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
1
Vì Cn  n nên câu C sai
Do đó: M 

D. x  0 .

D. n  14 .

n 1
D. Cn  n .

Câu 8: Nghiệm của phương trình An3  20n là
A. n  6 .
B. n  5 .
C. n  8 .
D. không tồn tại.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
n!
20n,  n �, n 3 � n  n  1  n  2   20n �  n  1  n  2   20 � n 2  3n  18  0
PT �γ
 n  3 !
�
n  6  nhan 
��
� n  6.
n  3  loai 
�
6
7
8
9
8
Câu 9: Giá trị của n �� thỏa mãn đẳng thức Cn  3Cn  3Cn  Cn  2Cn  2 là
A. n  18 .
B. n  16 .
C. n  15 .

D. n  14 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
PP sử dụng máy tính để chọn đáp số đúng (PP trắc nghiệm):
6
7
8
9
8
+ Nhập PT vào máy tính: Cn  3Cn  3Cn  Cn  2Cn  2  0
Trang 6


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11

+ Tính (CALC) lần lượt với X  18 (không thoả); với X  16 (không thoả); với X  15 (thoả), với
X  14 (không thoả)

2
2
Câu 10: Giá trị của n thỏa mãn 3 An  A2 n  42  0 là
A. 9 .
B. 8 .
C. 6 .
D. 10 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
* PP tự luận:

 2n  !
n!
3. γ
42 0 ,  n �, n 2  � 3n  n  1  2n.  2n  1  42  0
+ PT �
 n  2  !  2n  2  !
�
n  6  nhan 
� n  6.
� n 2  n  42  0 � �


n


7
loai
�

* PP trắc nghiệm:
2
2
+ Nhập vào máy tính PT 3 An  A2 n  42  0 .

+ Tính (CALC) lần lượt với X  9 (không thoả); với X  8 (không thoả), với X  6 (thoả), với
X  10 (không thoả).

Câu 11: Cho đa giác đều n đỉnh, n �� và n �3 . Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 135 đường chéo
A. n  15 .
B. n  27 .

C. n  8 .
D. n  18 .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
2
+ Tìm công thức tính số đường chéo: Số đoạn thẳng tạo bởi n đỉnh là Cn , trong đó có n cạnh, suy ra
2
số đường chéo là Cn  n .
2
+ Đa giác đã cho có 135 đường chéo nên Cn  n  135 .
n!
 n  135 ,  n  �, n 2  �  n  1 n  2n  270 � n 2  3n  270  0
+ Giải PT :
 n  2  !2!
�
n  18  nhan 
��
� n  18 .
n  15  loai 
�
3
2
Câu 12: Biết n là số nguyên dương thỏa mãn 3Cn 1  3 An  52( n  1) . Giá trị của n bằng:

A. n  13 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
* PP tự luận:

Trang 7

B. n  16 .

C. n  15 .

D. n  14 .


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11
 n  1 !
 n  1 n  n  1
n!
�
3. γ
3.
52  n 1 ,  n �, n 2  �
 3  n  1 n  52  n  1
PT
 n  2  !3!
 n  2 !
2
�
n  13  nhan 
� n  13 .
� n  n  1  6n  104 � n 2  5n  104  0 � �


n



8
loai
�
* PP trắc nghiệm:
3
2
+ Nhập vào máy tính 3Cn 1  3 An  52(n  1)  0 .

+ Tính (CALC) lần lượt với X  13 (thoả); với X  16 (không thoả), với X  15 (không thoả), với
X  14 (không thoả).
0
x 1
x 2
Câu 13: Tìm x ��, biết C x  Cx  Cx  79
A. x  13 .
B. x  17 .
C. x  16 .
D. x  12 .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
* PP tự luận:
 x  1 x
x!
x!
1 γ
79  x �, x 1 � 1  x 
 79 � x 2  x  156  0
PT �
 x  1 !  x  2  !2!

2


�
x  12 nhan
��
� x  12 .
x  13  loai 
�
* PP trắc nghiệm:
0
x 1
x2
+ Nhập vào máy tính C x  C x  C x  79  0 .

+ Tính (CALC) lần lượt với X  13 (không thoả); với X  17 (không thoả), với X  16 (không thoả),
với X  12 (thoả).
n 3
3
Câu 14: Giá trị của n �� thỏa mãn Cn 8  5 An  6 là
A. n  15 .
B. n  17 .
C. n  6 .
D. n  14 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
* PP tự luận:
 n  8 !
 n  6 !
 n  4   n  5  n  6   n  7   n  8 

 5.
,  n �� �
 5.  n  4   n  5   n  6 
PT �
 n  3 !
5! n  3 !
5!
�
n  17  nhan 
 n  7   n  8
� n  17 .
�
 5 � n 2  15n  544  0 � �


n


32
loai
5!
�
* PP trắc nghiệm:
n 3
3
+ Nhập vào máy tính Cn 8  5 An 6  0 .

+ Tính (CALC) lần lượt với X  15 (không thoả); với X  17 (thoả), với X  6 (không thoả), với
X  14 (không thoả).

Trang 8


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11
2
2
Câu 15: Giải phương trình với ẩn số nguyên dương n thỏa mãn An  3Cn  15  5n
A. n  5 hoặc n  6 .
B. n  5 hoặc n  6 hoặc n  12 .
C. n  6 .
D. n  5 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
* PP tự luận:
n!
n!
3  n  1 n
3.
15 5n ,  n �, n 2  �  n  1 n 
 15  5n
PT �γ
 n  2 !
 n  2  !2!
2
�
n  6  nhan  .
� n 2  11n  30  0 � �
n  5  nhan 
�

* PP trắc nghiệm:
2
2
+ Nhập vào máy tính An  3Cn  15  5n  0 .

+ Tính (CALC) lần lượt với X  5, X  6 (thoả); với X  5, X  6, X  12 (không thoả), với X  6
(thoả), với X  5 (thoả).
+ KL: Giải phương trình được tất cả các nghiệm là n  6 hay n  5 .
n 1
n
Câu 16: Tìm n ��, biết Cn  4  Cn 3  7( n  3) .
A. n  15 .
B. n  18 .
C. n  16 .
D. n  12 .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
* PP tự luận:
 n  4  !  n  3 !
 n  2   n  3  n  4   n  1  n  2   n  3 

 7  n  3 , n ���

 7  n  3
PT �
3! n  1 !
3!n !
6
6
�  n  2   n  4    n  1  n  2   42 � 3n  6  42 � n  12 .

* PP trắc nghiệm:
n 1
n
+ Nhập vào máy tính Cn  4  Cn 3  7(n  3)  0 .

+ Tính (CALC) lần lượt với X  15 (không thoả); với X  18 (không thoả), với X  16 (không thoả),
với X  12 (thoả).
+ KL: Vậy n  12 .
5
2 14
Câu 17: Giá trị của n �� bằng bao nhiêu, biết n  n  n .
C5 C6 C7
A. n  2 hoặc n  4 .
B. n  5 .
C. n  4 .
D. n  3 .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
* PP tự luận:

Trang 9


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11
5
2
14
�Σ�
, n �, 0 n 5

5!
6!
7!
PT
 5  n  !n !  6  n  ! n !  7  n  !n !
5.  5  n  !n ! 2.  6  n  ! n ! 14.  7  n  ! n!
�


� 5.6.7  2.7.  6  n   14  6  n   7  n 
5!
6!
7!
�
n  11 loai 
� n  3.
� 210  84  14n  14n 2  182n  588 � 14n 2  196n  462  0 � �


n  3 nhan
�
* PP trắc nghiệm:
+ Nhập vào máy tính

5
2 14
 n  n  0.
n
C5 C6 C7

+ Tính (CALC) lần lượt với X  2, X  4 (không thoả); với X  5 (không thoả), với X  4 (không
thoả), với X  3 (thoả).
+ KL: Vậy n  3 .
n2
n 1
n
Câu 18: Giải phương trình sau với ẩn n ��: C5  C5  C5  25
A. n  3 .
B. n  5 .
C. n  3 hoặc n  4 .
D. n  4 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
* PP tự luận:
5!
5!
5!
25 , n �, 2 n 5 , do đó tạp xác định chỉ có 4
PT �Σ�
 7  n  ! n  2  !  6  n  ! n  1 !  5  n  ! n!
số: n � 2; 3; 4; 5 . Vậy ta thế từng số vào PT xem có thoả không?
5!
5!
5!


 25 (không thoả)
+ n  2 , PT
 7  2  ! 2  2  !  6  2  ! 2  1 !  5  2  !2!
5!

5!
5!


 25 (thoả)
+ n  3 , PT:
 7  3 ! 3  2  !  6  3 ! 3  1 !  5  3 !3!
5!
5!
5!


 25 (thoả)
+ n  4 , PT:
 7  4  ! 4  2  !  6  4  ! 4  1 !  5  4  !4!
5!
5!
5!


 25 (không thoả)
+ n  5 , PT:
 7  5 ! 5  2  !  6  5  ! 5  1 !  5  5  !5!
n3
�
+ KL: Vậy �
.
n4
�

..
* PP trắc nghiệm:
n2
n 1
n
+ Nhập vào máy tính C5  C5  C5  25  0 .

Trang 10


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11
+ Tính (CALC) lần lượt với X  3 (thoả); với X  5 (không thoả), với X  3, X  4 (thoả), với
X  4 (thoả)
n3
�
+ KL: Vậy �
.
n4
�
3
n2
Câu 19: Tìm n ��, biết An  Cn  14n .
A. n  5 .
B. n  6 .
C. n  7 hoặc n  8 .
D. n  9 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
* PP tự luận:

n!
n!
1
3
n2

 14n �  n  2   n  1 n   n  1 n  14n
PT: An  Cn  14n �
 n  3 ! 2! n  2  !
2
�
n  5  nhan 
�
2
� n  5.
� 2n  5n  25  0 � �
5
n    loai 
�
2
* PP trắc nghiệm:
3
n2
+ Nhập vào máy tính An  Cn  14n  0 .

+ Tính (CALC) lần lượt với X  5 (thoả); với X  6 (không thoả), với X  7, X  8 (không thoả),
với X  9 (không thoả)
+ KL: Vậy n  5 .
1
2

3
Câu 20: Giá trị của n �� thỏa mãn Cn  Cn  Cn 

A. n  3 .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
* PP tự luận:

B. n  6 .

7n
là
2
C. n  4 .

D. n  8 .

n!
n!
n!
7n
7n
�γ
, n �, n 3
 n  1 !1!  n  2  !2!  n  3  !3! 2
2
1
1
7n
� n   n  1 n   n  2   n  1 n 

� n 2  16 � n  4 .
2
6
2
* PP trắc nghiệm:
7n
1
2
3
0.
+ Nhập vào máy tính Cn  Cn  Cn 
2
1
2
3
PT Cn  Cn  Cn 

+ Tính (CALC) lần lượt với X  3 (không thoả); với X  6 (không thoả), với X  4 (thoả), với
X  8 (không thoả).
+ KL: Vậy n  4 .
2
Câu 21: Tìm số tự nhiên n thỏa An  210 .
A. 15 .
B. 12 .
C. 21 .
D. 18 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

Trang 11

– Website chuyên đề thi tài liệu file word
Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11
* PP tự luận:
n!
2
210, n �, n 2 �  n  1 n  210 � n 2  n  210  0
PT An  210 �γ
 n  2 !
�
n  15  nhan 
��
� n  15 .
n  14  loai 
�
* PP trắc nghiệm:
2
+ Nhập vào máy tính An  210  0 .

+ Tính (CALC) lần lượt với X  15 (thoả); với X  12 (không thoả), với X  21 (không thoả), với
X  18 (không thoả).
+ KL: Vậy n  15 .
2
n 1
Câu 22: Biết rằng An  Cn 1  4n  6 . Giá trị của n là
A. n  12 .
B. n  10 .
C. n  13 .
D. n  11 .

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
* PP tự luận:
 n  1 !
n!
1
2
n 1
4n 6, n �, n 2 �  n  1 n  n  n  1  4n  6
PT: An  Cn 1  4n  6 �γ
 n  2  ! 2! n  1 !
2
�
n  12  nhan 
� n  12 .
� n 2  11n  12  0 � �


n


1
loai
�
* PP trắc nghiệm:
2
n 1
+ Nhập vào máy tính An  Cn 1  4n  6  0 .

+ Tính (CALC) lần lượt với X  12 (thoả); với X  10 (không thoả), với X  13 (không thoả), với

X  11 (không thoả).
+ KL: Vậy n  12 .
Câu 23: Giải phương trình sau: Px  120
A. 5
B. 6
Hướng dẫn giải:
�x ��
Điều kiện: �
�x �1
Ta có: P5  120

C. 7

�Với x  5 � Px  P5  120 � phương trình vô nghiệm
�Với x  5 � Px  P5  120 � phương trình vô nghiệm
Vậy x  5 là nghiệm duy nhất.
2
2
Câu 24: Giải phương trình sau: Px Ax  72  6( Ax  2 Px )
x2
x3
x3
�
�
�
A. �
B. �
C. �
x4
x2

x4
�
�
�

Trang 12

D. 8

x 1
�
D. �
x2
�


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
�x ��
Điều kiện: �
�x �2

Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11

2
Phương trình � Ax  Px  6   12( Px  6)  0

Px  6
�
x!  6
x3

�
�
� ( Px  6)( Ax2  12)  0 � � 2
��
��
.
x ( x  1)  12
x4
Ax  12
�
�
�
1 n 1
2 n 2
3 n 3
n
Câu 25: Tìm n biết: Cn 3  2Cn 3  3Cn 3  ..  nCn  256
A. n  4
B. n  5
C. n  6
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
n!
k nk
3n  k  nCnk11 3n k
Ta có: kCn .3  k
k !(n  k )!
n

D. n  7

n 1

n

k nk
k 1 n  k
k
n 1 k
 n.4n 1
Suy ra: �kCn 3  n�Cn1 3  n �Cn1 3
k 1
1 n 1
n

k 1
n 2

k 0

n
n 1
3
Suy ra C 3  2C 3  3C 3  ..  nCn  256 � n.4  4.4
Từ đó ta tìm được n  4 .
0
1
2
n
n

Câu 26: Tìm n biết: Cn  2Cn  4Cn  ...  2 Cn  243
A. n  4
B. n  5
C. n  6
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
0
1
2
n n
n
n
Ta có Cn  2Cn  4Cn  ...  2 Cn  (1  2)  3 nên ta có n  5
1
2
2 3
n 2 n 1
Câu 27: Tìm n biết: C2 n 1  2.2C2 n 1  3.2 C2n 1  ...  (2n  1)2 C2 n 1  2005
2
n

3 n 3
n

A. n  1100
Hướng dẫn giải:
Chọn C.

B. n  1102

C. n  1002

D. n  7

D. n  1200

2 n 1

k 1
k 1 k
Đặt S  �(1) .k .2 C2 n 1
k 1
k 1

k 1 k
k 1
k 1 k 1
Ta có: (1) .k .2 C2 n 1  (1) .(2n  1).2 C2 n
0
1
2 2
2n 2n
Nên S  (2n  1)(C2 n  2C2 n  2 C2 n  ...  2 C2 n )  2n  1
Vậy 2n  1  2005 � n  1002 .
2
1
Câu 28: Tìm số nguyên dương n sao cho: An  An  8
A. 4
B. 5
C. 6

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
�n ��
Điều kiện: �
�n �2
n!
n!
2
1

 8 � n(n  1)  n  8
Ta có An  An  8 �
(n  2)! (n  1)!
� n 2  2n  8  0 � n  4 .
6
5
Câu 29: Tìm số nguyên dương n sao cho: An  10 An
A. 12
B. 13
C. 14

Chọn D.

Trang 13

D. 7

D. 15

– Website chuyên đề thi tài liệu file word
�n ��
Điều kiện: �
�n �6
n!
n!
10
6
5
 10
�1
Ta có: An  10 An �
(n  6)!
( n  5)!
n5
� n  15 .
10
9
8
Câu 30: Nghiệm của phương trình Ax  Ax  9 Ax là:
A. x  10 .
B. x  9 .

Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11

D. x  9 và x 

C. x  11 .

91

.
9

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Điều kiện: x �10; x ��
x!
x!
x!
9
8
A10

 9.
x  Ax  9 Ax �
 x  10  !  x  9  !  x  8  !

� 91
x
1
1
2
�

 9 � 9 x  172 x  821  0 � � 9
�
 x  10  ( x  9) x  9
x9
�
So sánh với điều kiện ta được nghiệm của phương trình x  9 .

4
4
Câu 31: Nếu 2 An  3 An 1 thì n bằng:
A. n  11 .
B. n  12 .
C. n  13 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Điều kiện: n �4; n ��
 n  1 ! � 2n  3 � n  12
n!
4
4
 3.
Ta có: 2 An  3 An 1 � 2.
.
 n  4 !  n  5 ! n  4

D. n  14 .

4
Câu 32: Tìm số nguyên dương n sao cho: Pn 1. An  4  15 Pn  2

A. 3,4,5
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
�n ��
Điều kiện: �
�n �1

B. 5,6,7

4
Ta có: Pn 1. An  4  15Pn 2 � (n  1)!

�

C. 6,8,2

D. 7,9,8

(n  4)!
 15( n  2)!
n!

(n  4)(n  3)
 15 � n 2  8n  12  0 � 2  n  6 � n  3, 4,5 .
n

n 1
n
Câu 33: Giải bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên) Cn  2  Cn  2 

A. n �2

B. n �3

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Với n �2, n �� ta có:

Cnn21  Cnn 2 

Trang 14

C. n �5

 n  3 !  5 n !
5 2
5
An � Cnn 3  An2 �
2
2
n !3!
2  n  2 !

5 2
An
2

D. n �4


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
� n  n 2  9n  26   6  0 luôn đúng với mọi n �2 .

Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11

Vậy nghiệm của bất phương trình n �2, n ��.
Câu 34: Giải bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên)  n ! Cnn .C2nn .C3nn �720
A. n  1, 2,3

B. n  0,1, 2
C. n  0, 2,3
D. n  2,3, 4
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Điều kiện n  �, n 0 .
Với điều kiện đó bất phương trình tương đương
3  2n  !  3n  !
�720
 n !
 3n  ! 720
n ! n !  2n  ! n !
3

Ta thấy  3n  ! tăng theo n và mặt khác 6!  720 � 3n  !
Suy ra bất phương trình có nghiệm n  0,1, 2 .

Cn21 3
� n
Cn2 10
C. 1 �n �5

Câu 35: Giải bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên)
A. 2 �n  4
B. 0 �n �2
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
�n ��
Điều kiện: �
�n �2

(n  1)n 10 n(n  1)
>

n
2 n 5
Bpt �>�
2
3
2

D. 2 �n �5

3
n 1
Câu 36: Giải bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên) An 1  Cn 1  14  n  1
A. 2 �n  4
B. 0 �n �2
C. 1 �n �5
D. 2 �n �5

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
2 �n  4
An4 4
143

Câu 37: Giải bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên)
 n  2  ! 4 Pn
A. 2 �n  4
B. 0 �n �2

C. 1 �n �5

D. 2 �n �5

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Đáp số : 0 �n �2
An4
24
�
3
n4
An 1  Cn
23
C. 1 �n �5

Câu 38: Giải bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên)
A. 2 �n  4

B. 0 �n �2

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Đáp số: 1 �n �5
2
2
Câu 39: Giải phương trình sau: 3C x 1  xP2  4 Ax

Trang 15

D. 2 �n �5


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
A. x  3
B. x  4
C. x  5

Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11

D. x  6

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
�x ��
Điều kiện: �
�x �2

( x  1)!
x!
 2x  4
2!( x  1)!
( x  2)!
� 3( x  1) x  4 x  8 x( x  1) � 3 x  3  4  8 x  8 � x  3
5
2 14
Câu 40: Nghiệm của phương trình x  x  x
C5 C6 C7
A. x  3
B. x  4

C. x  5
Phương trình � 3

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
�x ��
Điều kiện �
�x �5
Ta có phương trình �

D. x  6

5.x !(5  x)! 2.x !(6  x)! 14.x !(7  x)!


5!
6!
7!

1
1
� 5  (6  x )  (6  x)(7  x) � x 2  14 x  33  0 � x  3 .
3
3
2
2
Câu 41: Giải phương trình sau: Px Ax  72  6( Ax  2 Px )
x3
x3
x2

�
�
�
A. �
B. �
C. �
x4
x2
x4
�
�
�

x 1
�
D. �
x4
�

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
�x ��
Điều kiện: �
�x �2

2
Phương trình � Ax  Px  6   12( Px  6)  0

Px  6
�

x!  6
x3
�
�
��
.
� ( Px  6)( Ax2  12)  0 � � 2
��
x

4
x
(
x

1)

12
A

12
�
�
�x
2 x 2
2 3
3 x 3
Câu 42: Giải phương trình sau: Cx C x  2Cx Cx  Cx C x  100
A. 3
B. 4

C. 5
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
�x ��
Điều kiện: �
.
�x �3
x2
2
x 3
3
Ta có: C x  Cx và C x  Cx nên phương trình đã cho tương đương với:

 C   2C C   C   100
�  C  C   100 � C  C
2 2
x

2
x

2
x

Trang 16

3
x

3 2

x

3 2
x

2
x

3
x

 10

D. 6


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
x ( x  1) x( x  1)( x  2)
�

 10
2
6
� x3  x  60  0 � ( x  4)( x 2  4 x  15)  0 � x  4 .

Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11

1
2
3

2
Câu 43: Giải phương trình sau: C x  6.Cx  6.Cx  9 x  14 x
A. 3
B. 4
C. 5

D. 7

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
�x �3
Điều kiện: �
�x ��
Phương trình � x  3 x( x  1)  x( x  1)( x  2)  9 x 2  14 x
Giải phương trình ta tìm được: x  7
Câu 44: Giải phương trình sau: Cx 1  Cx 1 
4

A. 11
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
�x �5
Điều kiện: �
�x ��

3

5 2
Ax  2  0
4

B. 4

C. 5

D. 6

3
x 4
4
Câu 45: Giải phương trình sau: 24  Ax 1  C x   23 Ax
A. 3
B. 4
C. 5

D. 6

Phương trình � x 2  9 x  22  0 � x  11

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
�x ��
Điều kiện: �
�x �4
Phương trình � x 2  6 x  5  0 � x  5
2
Câu 46: Giải phương trình sau: C23xx14  C2xx 42 x 3
x3
�
A. �

x4
�
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
�x ��
Điều kiện: �
1 �x �5
�

x3
�
B. �
x2
�

x2
�
C. �
x4
�

x 1
�
D. �
x2
�

Phương trình � (3 x  1)!(5  x)!  ( x 2  2 x  3)!(1  x 2  4 x)! � x  1, x  2 .
2
2

2
2
Câu 47: Giải phương trình sau: C x  2C x 1  3Cx  2  4Cx 3  130
A. 7
B. 4
C. 5
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Đáp số : x  7 .

Trang 17

D. 6


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11
x
x
�
2 Ay  5C y  90
�
Câu 48: Giải hệ phương trình sau: � x
5 Ay  2C yx  80
�
A. x  1; y  5
B. x  2; y  1
C. x  2; y  5
D. x  1; y  3
Hướng dẫn giải:

Chọn C.
Điều kiện x, y  �; x y
x
�
�
2 Ayx  5C yx  90
�
�Ay  20
��x
Ta có: � x
5 Ay  2C yx  80
C y  10
�
�
20
x
x
2� x2
Từ Ay  x !C y suy ra x ! 
10
y  4 (loai)
�
2
2
Từ Ay  20 � y  y  1  20 � y  y  20  0 � �
y 5
�
Vậy x  2; y  5 .
�
C xy11  C xy1

�
Câu 49: Giải hệ phương trình sau: � y 1
3C x 1  5Cxy11
�
A. x  6; y  3
B. x  2; y  1
C. x  2; y  5
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Điều kiện x, y  �; x y
( x  1)!
� ( x  1)!

y 1
y
�
�
Cx 1  Cx 1
�
�( y  1)!( x  y )! y !( x  y  1)!
��
Ta có: � y 1
y 1
( x  1)!
( x  1)!
3C x 1  5C x 1
�
�
3
5

�
( y  1)!( x  y  2)!
� ( y  1)!( x  y )!

D. x  1; y  3

1
�1
�y  1  x  y  1
�x  2 y
�
��
��
5
3( y  1)( y  2)  5 y ( y  1)
�
� 3

�
�y ( y  1) ( x  y  1)( x  y  2)
�x  2 y
�x  6
��
��
là nghiệm của hệ
3y  6  5y
�
�y  3

1 2

6
A2 x  Ax2 � Cx3  10
2
x
B. 3 �x
C. x �4

Câu 50: Giải bất phương trình sau:
A. 3 �x �4

D. x  4, x  3

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Đáp số: 3 �x �4
Câu 51: Giải bất phương trình sau:
A. ( x; k )  (0;0), (1;1),(3;3)
C. ( x; k )  (1;0),(1;1),(2; 2),(3;3)
Hướng dẫn giải:

Trang 18

Px 5
�60 Axk32
( x  k )!
B. ( x; k )  (0;0), (1;0), (2; 2)
D. ( x; k )  (0;0), (1;0), (1;1), (2; 2),(3;3)


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11
Chọn D.
k , x ��
�
Điều kiện: �
k �x
�
Bpt � ( x  4)( x  5)( x  1  k ) �60
�x �4 � bất phương trình vô nghiệm
�0 �x �4 ta có các cặp nghiệm: ( x; k )  (0;0),(1;0), (1;1), (2; 2), (3;3) .
Câu 52: Cho một tập hợp A gồm n phần tử ( n �4 ). Biết số tập con gồm 4 phần tử của A gấp 20 lần
số tập con gồm hai phần tử của A. Tìm n
A. 20
B. 37
C. 18
D. 21
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
4
Số tập con gồm 4 phần tử của tập A: Cn
2
Số tập con gồm 2 phần tử của tập A: Cn
n!
n!
4
2
 20
Theo bài ra ta có: Cn  20Cn �
4!(n  4)!
2!( n  2)!

1
10
� 
� n 2  5n  234  0 � n  18
4! (n  2)(n  3)
Vậy tập A có 18 phần tử.
Câu 53: Tìm k � 1, 2,3,..., n sao cho số tập con gồm k phần tử của tập A là lớn nhất.
A. 12
B. 9
C. 21
D. 19

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
k
Giả sử C18 là số tập con con lớn nhất của A. Khi đó
�
C
�
�k
C18
�
k
18

18!
� 18!
1
�1
� 19

�
�
k�
�
�k 19  k
�
�C
�k !(18  k )! (k  1)!(19  k )!
�
� 2
��
��
��
�k 9
18!
18!
1
1
17
�C18k 1
�
�
�
�
�
k�
� 2
�
�
18  k k  1

�k !(18  k )! (k  1)!(17  k )!
k 1
18

Vậy số tập con gồm 9 phần tử của A là số tập con lớn nhất.
k
Câu 54: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho C2nn   2n  , trong đó k là một ước nguyên tố của
C2nn .
A. n=1
B. n=2
C. n=3
D. n=4
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
n
n
Giả sử p là một ước nguyên tố của C2 n và m là số mũ của p trong phân tích tiêu chuẩn C2 n . Ta
chứng minh: p m �2n
�2n �
m
Giả sử p  2n � � m � 0
�p �
��
� ��2n � �n �
�
��2n � � n �
�
2n � �n �
 �� 2 � 2 � 2 �
 ...  �� m 1 � 2 � m 1 �

Và m  �� � 2 � �
�
�
�
��p � �p �
� ��p � �p �
�
��p � �p �
�
Mặt khác: 2[x]  2  2 x �[2 x] � [2 x ]  2[ x] �1

Trang 19


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
 ...
 1  m  1 vô lí
43
Do đó: m �11412

Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11

m 1 sô

k 1
�
k 1
�
k
n

�� .
Từ đó suy ra C2 n   2n  � � n
n 1
C2 n  2 n
�
�

Câu 55: Cho S là tập các số nguyên trong đoạn  1; 2002 và T là tập hợp các tập con khác rỗng của S.
Với mỗi X �T , kí hiệu m( X ) là trung bình cộng các phần tử của X. Tính m 

3003
2
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
A. m 

B. m 

2003
21

C. m 

4003
2

�m( X )

X �T

T

D. m 

Với mỗi k � 1, 2,..., 2002 ta đặt mk  �m( X ) ở đây lấy tổng theo X �T mà X  k .
k 1
Xét phần tử a bất kì ta có a thuộc vào C2001 tập con X �T mà X  k
k 1
k 1
Do đó: kmk   1  2  ...  2002  C2001  2001.2001.C2001

k 1
2003  22002  1
C2001
Suy ra �m( X )  �mk  1001.2003.�

k
2
X �T
k 1
k 1
2003
2002
Mặt khác T  2  1 , do đó: m 
.
2
2002

Trang 20

2002

.

2003
2