Bài tập và lý thuyết chương 5 đại số lớp 11 ĐỊNH NGHĨA đạo hàm đặng việt đông file word

– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Trang 1

Đạo hàm – ĐS> 11


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Đạo hàm – ĐS> 11

ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM.
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
 Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0  (a; b):
f ( x)  f ( x0 )
y
f '( x0 )  lim
lim
=
(x = x – x0, y = f(x0 + x) – f(x0))
x � x0
x �0 x
x  x0
 Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.
2. Đạo hàm bên trái, bên phải
f ( x)  f ( x0 )
f ( x )  f ( x0 )
f '( x0 )  lim
f '( x0 )  lim
.

.
x � x0
x � x0
x  x0
x  x0




Hệ quả : Hàm f ( x ) có đạo hàm tại x0 �  f ( x0 ) và f '( x0 ) đồng thời f '( x0 )  f '( x0 ) .
3. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn
�Hàm số f ( x ) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên ( a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc
( a; b )
�Hàm số f ( x ) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên [a; b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc
( a; b) đồng thời tồn tại đạo hàm trái f '(b  ) và đạo hàm phải f '(a  ) .

4. Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục
�Nếu hàm số f ( x ) có đạo hàm tại x0 thì f ( x ) liên tục tại x0 .
Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm x0 nhưng hàm đó
không có đạo hàm tại x0 .

B – BÀI TẬP
Câu 1. Giới hạn (nếu tồn tại) nào sau đây dùng để định nghĩa đạo hàm của hàm số y  f ( x ) tại x0  1 ?
f ( x)  f ( x0 )
f ( x  x)  f ( x0 )
A. lim
.
B. lim
.
x �0

x  x0
x �0
x
f ( x)  f ( x0 )
f ( x0  x)  f ( x)
C. lim
.
D. lim
.
x � x0
x  x0
x �0
x
Hướng dẫn giải:
Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm thì biểu thức ở đáp án C đúng.
Chọn C.
Câu 2. Cho hàm số f  x  liên tục tại x0 . Đạo hàm của f  x  tại x0 là
A. f  x0  .
f ( x0  h)  f ( x0 )
B.
.
h
f ( x0  h)  f ( x0 )
C. lim
(nếu tồn tại giới hạn).
h �0
h
f ( x0  h)  f ( x0  h)
D. lim
(nếu tồn tại giới hạn).

h �0
h
Hướng dẫn giải:
Chọn C.

Trang 2


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Đạo hàm – ĐS> 11

f ( x0  x )  f ( x0 )
f ( x0  h)  f ( x0 )
hay f �
 x0   lim
(nếu tồn tại giới hạn).
h �0
x
h
Câu 3. Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm tại x0 là f '( x0 ) . Khẳng định nào sau đây sai?
f ( x)  f ( x0 )
f ( x0  x)  f ( x0 )
( x0 )  lim
.
( x0 )  lim
.
A. f �
B. f �
x � x0


x
�
0
x  x0
x
f ( x  x0 )  f ( x0 )
f ( x0  h)  f ( x0 )
f�
( x0 )  lim
.
( x0 )  lim
.
C. f �
D.
x �x0
h �0
x  x0
h
Hướng dẫn giải:
Chọn D
A. Đúng (theo định nghĩa đạo hàm tại một điểm).
B. Đúng vì
x  x  x0 � x  x  x0

Định nghĩa f �
 x0   lim
x �0

y  f  x0  x   f  x0 

� f�
( x0 )  lim

x � x0

f ( x)  f ( x0 ) f  x0  x   f  x0  f  x0  x   f  x0 


x  x0
x  x0  x0
x

C. Đúng vì
Đặt h  x  x  x0 � x  h  x0 , y  f  x0  x   f  x0 
� f�
( x0 )  lim

x � x0

f ( x)  f ( x0 ) f  x0  h   f  x0  f  x0  h   f  x0 


x  x0
h  x0  x0
h

3
Câu 4. Số gia của hàm số f  x   x ứng với x0  2 và x  1 bằng bao nhiêu?
A. 19 .

B. 7 .
C. 19 .
D. 7 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
3
3
Ta có y  f  x0  x   f  x0    x0  x   23  x03   x   3x0 x  x0  x   8 .

Với x0  2 và x  1 thì y  19 .
y
Câu 5. Tỉ số
của hàm số f  x   2 x  x  1 theo x và x là
x
2
A. 4 x  2x  2.
B. 4 x  2  x   2.
D. 4 xx  2  x   2x.
2

C. 4 x  2x  2.
Hướng dẫn giải:
Chọn C
y f  x   f  x0  2 x  x  1  2 x0  x0  1


x
x  x0
x  x0


2  x  x0   x  x0   2  x  x0 
 2 x  2 x0  2  4 x  2x  2
x  x0
x2
ứng với số gia x của đối số x tại x0  1 là
2
1
1
1
2
2
2
.
.
B. �
 x   x �
C. �
 x   x �
D.  x   x.
�
�
�
�
2
2
2

Câu 6. Số gia của hàm số f  x  
1

2
 x   x.
2
Hướng dẫn giải:
Chọn A

A.

Trang 3


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Đạo hàm – ĐS> 11

Với số gia x của đối số x tại x0  1 Ta có

 1  x 
y 

1 1   x   2x 1 1
2
 
   x    x
2
2
2
2 2
2
Câu 7. Cho hàm số f  x   x  x , đạo hàm của hàm số ứng với số gia x của đối số x tại x0 là



2

2



 x   2 xx  x .
A. lim
x �0

 x  2 x  1 .
B. lim
x �0

 x  2 x  1 .
C. lim
x �0

 x   2 xx  x .
D. lim
x �0

2



2



Hướng dẫn giải:
Chọn B
Ta có :
2
y   x0  x    x0  x    x02  x0 
 x02  2 x0 x   x   x0  x  x02  x0
2

  x   2 x0 x  x
2

x  2 x0 x  x
Nên f '  x0   lim y  lim  
 lim  x  2 x0  1
x �0 x
x � 0
x �0
x
Vậy f '  x   lim  x  2 x  1
2

x �0

�x
�
Câu 8. Cho hàm số f ( x)  �x
�

0
�

khi x  0

. Xét hai mệnh đề sau:

khi x  0

 0  1 .
(I) f �

(II) Hàm số không có đạo hàm tại x 0  0 .
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ (I).
B. Chỉ (II).
C. Cả hai đều sai.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Gọi x là số gia của đối số tại 0 sao cho x  0 .
f  x  0   f (0)
x
1
 lim 2  lim
 �.
Ta có f �
 0   lim
x �0
x �0  x
x �0 x x

x
Nên hàm số không có đạo hàm tại 0.
� x3  2 x 2  x  1  1
�
khi x �1
Câu 9. f ( x)  �
tại điểm x0  1 .
x 1
�
0
khi x  1
�
1
1
1
A.
B.
C.
3
5
2
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
f ( x)  f (1)
x3  2 x 2  x  1  1
x
1
lim
 lim
 lim


2
3
2
x �1
x
�
1
x
�
1
x 1
( x  1)
x  2x  x 1  1 2
1
Vậy f '(1)  .
2
Trang 4

D. Cả hai đều đúng.

D.

1
4


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Đạo hàm – ĐS> 11

2x  3
khi x �1
�
�3
2
Câu 10. f ( x)  �x  2 x  7 x  4
tại x0  1 .
khi x  1
�
x 1
�
A. 0
B. 4
C. 5
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có lim f ( x)  lim  2 x  3  5
x �1

D. Đáp án khác

x �1

x  2x2  7 x  4
 lim(
x 2  3x  4)  0
x �1
x �1
x �1

x 1
f ( x) �lim f ( x) � hàm số không liên tục tại x  1 nên hàm số không có đạo hàm tại
Dẫn tới xlim
�1
x �1
3

lim f ( x )  lim

x0  1 .
�3  4  x
khi x �0
�
� 4
 0  là kết quả nào sau đây?
Câu 11. Cho hàm số f ( x)  �
. Khi đó f �
�1
khi x  0
�4
1
1
1
.
.
A. .
B.
C.
D. Không tồn tại.
4

16
32
Hướng dẫn giải:
Chọn B
3 4 x 1

f  x   f  0
Ta có
4
4  lim 2  4  x
lim
 lim
x �0
x �0
x �0
x0
x
4x
2 4 x 2 4 x
x
1
1
 lim
 lim
 lim
 .
x �0
x �0
x �0
16

4x 2  4  x
4x 2  4  x
4 2 4 x



















 0  là kết quả nào sau đây?
Câu 12. Cho hàm số f ( x )  x 2 . Khi đó f �
A. Không tồn tại.
B. 0.
C. 1.
D. 2.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

f  x  0   f (0)
x
Ta có f ( x )  x 2  x nên f �
.
 lim
 0   lim
x �0
x �0 x
x
x
x
x
Do lim
không tồn tại.
 1 �lim
 1 nên lim


x �0 x
x �0 x
x �0 x
�x 2
khi x �2
� 2
Câu 13. Cho hàm số f ( x)  � x
. Để hàm số này có đạo hàm tại x  2 thì giá
khi x  2
�  bx  6
� 2
trị của b là

A. b  3.
B. b  6.
C. b  1.
D. b  6.
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Trang 5


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Đạo hàm – ĐS> 11

Ta có
�f  2   4
� lim f  x   lim x 2  4
x �2

x �2

� x2
�
� lim f  x   lim �
  bx  6 � 2b  8
x �2
x �2
� 2
�

f  x  có đạo hàm tại x  2 khi và chỉ khi f  x  liên tục tại x  2

� lim f  x   lim f  x   f  2  � 2b  8  4 � b  6.
x �2

x �2

2
Câu 14. Số gia của hàm số f  x   x  4 x  1 ứng với x và x là

A. x  x  2 x  4  .
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Ta có
y  f  x  x   f  x 

C. x.  2 x  4x  .

B. 2 x  x.

D. 2 x  4x.

  x  x   4  x  x   1   x 2  4 x  1
2

 x 2  2x.x  x 2  4x  4 x  1  x 2  4 x  1  x 2  2x.x  4x
 x  x  2 x  4 
Câu 15. Xét ba mệnh đề sau:
(1) Nếu hàm số f  x  có đạo hàm tại điểm x  x0 thì f  x  liên tục tại điểm đó.

(2) Nếu hàm số f  x  liên tục tại điểm x  x0 thì f  x  có đạo hàm tại điểm đó.

(3) Nếu f  x  gián đoạn tại x  x0 thì chắc chắn f  x  không có đạo hàm tại điểm đó.
Trong ba câu trên:
A. Có hai câu đúng và một câu sai.
B. Có một câu đúng và hai câu sai.
C. Cả ba đều đúng.
D. Cả ba đều sai.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
(1) Nếu hàm số f  x  có đạo hàm tại điểm x  x0 thì f  x  liên tục tại điểm đó. Đây là mệnh đề đúng.
(2) Nếu hàm số f  x  liên tục tại điểm x  x0 thì f  x  có đạo hàm tại điểm đó.
Phản ví dụ
Lấy hàm f  x   x ta có D  � nên hàm số f  x  liên tục trên �.

� f  x   f  0
x 0
x0
lim
 lim
 lim
1
�
x �0 x  0
x �0 x  0
�x�0
x0
Nhưng ta có �
�lim f  x   f  0   lim x  0  lim  x  0  1
�
x �0  x  0
x �0  x  0

x0
�x�0
Nên hàm số không có đạo hàm tại x  0 .
Vậy mệnh đề (2) là mệnh đề sai.
(3) Nếu f  x  gián đoạn tại x  x0 thì chắc chắn f  x  không có đạo hàm tại điểm đó.

Vì (1) là mệnh đề đúng nên ta có f  x  không liên tục tại x  x0 thì f  x  có đạo hàm tại điểm đó.
Vậy (3) là mệnh đề đúng.
Câu 16. Xét hai câu sau:
Trang 6


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Đạo hàm – ĐS> 11

x
liên tục tại x  0
x 1
x
(2) Hàm số y 
có đạo hàm tại x  0
x 1
Trong hai câu trên:
A. Chỉ có (2) đúng.
B. Chỉ có (1) đúng.
C. Cả hai đều đúng.
D. Cả hai đều sai.
Hướng dẫn giải:
Chọn B

�
x
x
lim
0
�
x
� lim
 f  0  . Vậy hàm số y 
Ta có : �x �0 x  1
liên tục tại x  0
x �0 x  1
x 1
�f  0   0
�

(1) Hàm số y 

x
0
x
Ta có : f  x   f  0   x  1
(với x �0 )

x0
x
x  x  1
� f  x   f  0
x
1

 lim
 lim
1
�xlim

x �0 x  x  1
x �0 x  1
x0
��0
Do đó : �
x
1
�lim f  x   f  0   lim
 lim
 1


�x�0
x �0 x  x  1
x �0 x  1
x

0
�

Vì giới hạn hai bên khác nhau nên không tồn tại giới hạn của

f  x   f  0
khi x � 0 .
x0

x
không có đạo hàm tại x  0
x 1
2
Câu 17. Cho hàm số f  x   x  x . Xét hai câu sau:
(1). Hàm số trên có đạo hàm tại  nguyenthuongnd 86@ gmail.com  .
(2). Hàm số trên liên tục tại x  0 .
Trong hai câu trên:
A. Chỉ có (1) đúng.
B. Chỉ có (2) đúng.
C. Cả hai đều đúng.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có

Vậy hàm số y 


+) lim f  x   lim  x


 x  0 .

f  x   lim x 2  x  0 .
+) xlim
�0
x �0
x �0

+) f  0   0 .

x �0

2

� lim f  x   lim f  x   f  0  . Vậy hàm số liên tục tại x  0 .
x �0
x �0

Mặt khác:

f  x   f  0

x2  x
 lim  x  1  1 .
x �0
x �0
x �0
x0
x
2
f  x   f  0
x x
+) f �
 lim
 lim  x  1  1 .
 0   xlim
�0
x

�
0
x �0
x0
x


 f�
 0  f � 0  . Vậy hàm số không có đạo hàm tại x  0 .

+) f �
 0   lim

 lim

Trang 7

D. Cả hai đều sai.


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
�x 2  x khi x �1
Câu 18. Tìm a, b để hàm số f ( x)  �
có đạo hàm tại x  1 .
ax  b khi x  1
�
a  23
a3
a  33
�

�
�
A. �
B. �
C. �
b  1
b  11
b  31
�
�
�
Hướng dẫn giải:
Chọn D
x 2  x)  2 ; lim f ( x)  lim(ax  b)  a  b
Ta có: lim f ( x)  lim(

x �1

x �1

x �1

Đạo hàm – ĐS> 11

a3
�
D. �
b  1
�

x �1

Hàm có đạo hàm tại x  1 thì hàm liên tục tại x  1 � a  b  2 (1)
f ( x)  f (1)
x2  x  2
lim
 lim
 lim(
x  2)  3
x �1
x �1
x �1
x 1
x 1
f ( x )  f (1)
ax  b  2
ax  a
lim
 lim
 lim
 a (Do b  2  a )
x �1
x �1
x �1
x 1
x 1
x 1
�a  3
Hàm có đạo hàm tại x  1 � �
.

b  1
�
�x 2
khi x �1
�
Câu 19. Cho hàm số f ( x )  �2
. Với giá trị nào sau đây của a, b thì hàm số có đạo
�
ax  b
khi x  1
�
hàm tại x  1 ?
1
1
1
1
1
1
A. a  1; b   .
B. a  ; b  .
C. a  ; b   .
D. a  1; b  .
2
2
2
2
2
2
Hướng dẫn giải:
Chọn A

1
Hàm số liên tục tại x  1 nên Ta có a  b 
2
f  x   f  1
Hàm số có đạo hàm tại x  1 nên giới hạn 2 bên của
bằng nhau và Ta có
x 1
f  x   f  1
ax  b   a.1  b 
a  x  1
lim
 lim
 lim
 lim a  a
x �1
x �1
x �1
x �1
x 1
x 1
x 1
2
x 1

f  x   f  1
 x  1  x  1  lim  x  1  1
lim
 lim 2 2  lim
x �1
x �1

x �1
x 1
x  1 x�1 2  x  1
2
1
2
1
�2
khi x �0
�x sin
x
Câu20 . f ( x )  �
tại x  0 .
�
0
khi x  0
�

Vậy a  1; b  

A. 0

B.

1
2

C.

Hướng dẫn giải:

Chọn A
f ( x)  f (0)
1
 lim x sin  0
Ta có: lim
x �0
x
�
0
x
x
Vậy f '(0)  0 .
Trang 8

2
3

D. 7


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

�sin 2 x
khi x  0
�
Câu 21. f ( x)  � x
tại x0  0
�x  x 2
khi x �0
�

A. 1
B. 2
Hướng dẫn giải:
Chọn A
sin 2 x
�sin x
�
 lim �
.sin x � 0
Ta có lim f ( x )  lim
x �0
x �0
x �0 � x
x
�

Đạo hàm – ĐS> 11

C. 3

D. 5

lim f ( x)  lim  x  x 2   0 nên hàm số liên tục tại x  0
x �0
x �0

f ( x)  f (0)
sin 2 x
lim
 lim

 1 và
x �0
x �0
x
x2
f ( x)  f (0)
x  x2
lim
 lim
1
x �0
x �0
x
x
Vậy f '(0)  1 .
x2  x  1
Câu 22. f ( x ) 
tại x0  1 .
x
A. 2
B. 0
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Ta có hàm số liên tục tại x0  1 và

C. 3

D. đáp án khác

2

f ( x)  f (1) x  x  x  1

x 1
x( x  1)

Nên lim
x � 1

f ( x)  f ( 1)
x2  2 x  1
 lim
0
x � 1
x 1
x( x  1)

f ( x)  f (1)
x2  1
 lim
2
x � 1
x �1 x ( x  1)
x 1
f ( x )  f (1)
f ( x)  f ( 1)
�lim
Do đó lim
x �1
x �1
x 1

x 1
Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm x0  1 .
lim





Nhận xét: Hàm số y  f ( x ) có đạo hàm tại x  x0 thì phải liên tục tại điểm đó.
2
�
khi x �0
�x  1
f
(
x
)

Câu 23. Tìm a,b để hàm số
có đạo hàm trên �.
� 2
2 x  ax  b khi x  0
�

A. a  10, b  11

C. a  0, b  1

B. a  0, b  1

D. a  20, b  1

Hướng dẫn giải:
Chọn C
Ta thấy với x �0 thì f ( x ) luôn có đạo hàm. Do đó hàm số có đạo hàm trên � khi và chỉ khi hàm có
đạo hàm tại x  0 .

Trang 9


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
f ( x)  1; lim f ( x)  b � f ( x ) liên tục tại x  0 � b  1 .
Ta có: xlim
�0
x �0





Khi đó: f '(0 )  lim
x �0

f ( x )  f (0)
f ( x)  f (0)
 0; f '(0 )  lim
a
x �0
x
x

� f '(0 )  f '(0 ) � a  0 .
Vậy a  0, b  1 là những giá trị cần tìm.

Trang 10

Đạo hàm – ĐS> 11