Bài tập và lý thuyết chương 5 đại số lớp 11 TIẾP TUYẾN đặng việt đông file word

– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Đạo hàm – ĐS> 11

TIẾP TUYẾN
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
1. Tiếp tuyến tại điểm M  x0 ; y0  thuộc đồ thị hàm số:

Cho hàm số  C  : y  f  x  và điểm M  x0 ; y0  � C  . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M.
- Tính đạo hàm f '  x  . Tìm hệ số góc của tiếp tuyến là f '  x0 

- phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: y  f '  x   x  x0   y0
2. Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước
- Gọi    là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k.

- Giả sử M  x0 ; y0  là tiếp điểm. Khi đó x0 thỏa mãn: f '  x0   k (*) .
- Giải (*) tìm x0 . Suy ra y0  f  x0  .

- Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y  k  x  x0   y0
3. Tiếp tuyến đi qua điểm
Cho hàm số  C  : y  f  x  và điểm A  a; b  . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua
A.

- Gọi    là đường thẳng qua A và có hệ số góc k. Khi đó    : y  k  x  a   b (*)

�
�f  x   k  x  a   b  1
- Để    là tiếp tuyến của (C) � �
có nghiệm.
 2
�f '  x   k

- Thay (2) vào (1) ta có phương trình ẩn x. Tìm x thay vào (2) tìm k thay vào (*) ta có phương
trình tiếp tuyến cần tìm.
Chú ý:
1. Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm M  x0 ; y0  thuộc (C) là: k  f '  x0 
2. Cho đường thẳng  d  : y  k d x  b
+)    / /  d  � k  kd
+)  , d    � tan  

+)      d  � k .k d  1 � k  

k  kd
1  k .kd

1
kd

+)  , Ox    � k   �tan 

3
2
3. Cho hàm số bậc 3: y  ax  bx  cx  d ,  a �0 
+) Khi a  0 : Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
+) Khi a  0 : Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc lớn nhất.

B – BÀI TẬP
DẠNG 1: TIẾP TUYẾN TẠI ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ:

Câu 1. Cho hàm số y  f ( x ) , có đồ thị  C  và điểm M 0  x0 ; f ( x0 )  �(C ) . Phương trình tiếp tuyến của

 C

tại M 0 là:

( x)  x  x0   y0 .
A. y  f �

( x0 )  x  x0  .
B. y  f �
Trang 1


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Đạo hàm – ĐS> 11

( x0 )  x  x0  .
( x0 ) x .
C. y  y0  f �
D. y  y0  f �
Hướng dẫn giải:
Chọn C
2
Câu 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y   x  1  x – 2  tại điểm có hoành độ x  2 là
A. y  –8 x  4 .
B. y  9 x  18 .
C. y  –4 x  4 .
D. y  9 x  18 .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Gọi M  x0 ; y0  là tọa độ tiếp điểm.

Ta có x0  2 � y0  0 .

 2  9 .
 x – 2   x3  3x  2 � y� 3x 2  3 � y�
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y  9  x  2   0 � y  9 x  18 .
2
Câu 3. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số y  x  3 – x  tại điểm có hoành độ
y   x  1

2

A. y  –3x  8 .
B. y  –3x  6 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Gọi M  x0 ; y0  là tọa độ tiếp điểm.
Ta có x0  2 � y0  2 .

C. y  3 x – 8 .

x  2 là
D. y  3x – 6 .

y  x  3  x   x3  6 x 2  9 x � y�
 3x 2  12 x  9 � y �
 2   3 .
2

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y  3  x  2   2 � y  3x  8 .

2
Câu 4. Cho đường cong  C  : y  x . Phương trình tiếp tuyến của  C  tại điểm M  –1;1 là
A. y  –2 x  1 .
B. y  2 x  1 .
C. y  –2 x –1 .
D. y  2 x –1 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
y  x 2 � y�
 2x .
y�
 1  2 .

Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y  2  x  1  1 � y  2 x  1 .

x2  x
. Phương trình tiếp tuyến tại A  1; –2  là
x2
A. y  –4  x –1 – 2 .
B. y  –5  x –1  2 .
C. y  –5  x –1 – 2 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
x2  x
x2  4 x  2
y
� y�

 1  5 .
, y�

2
x2
 x  2
Câu 5. Cho hàm số y 

D. y  –3  x –1 – 2 .

Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y  5  x  1  2 � y  5 x  3 .
1 3
2
Câu 6. Cho hàm số y  x – 3x  7 x  2 . Phương trình tiếp tuyến tại A  0; 2  là:
3
Trang 2


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
A. y  7 x  2 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
 x2  6 x  7
Ta có : y�

B. y  7 x  2 .

C. y  7 x  2 .

Đạo hàm – ĐS> 11
D. y  7 x  2 .

 0  7

Hệ số góc tiếp tuyến y �

Phương trình tiếp tuyến tại A  0; 2  :

y  7  x  0  2  7x  2 .

Câu 7. Gọi  P  là đồ thị của hàm số y  2 x 2  x  3 . Phương trình tiếp tuyến với  P  tại điểm mà  P 
cắt trục tung là:
A. y   x  3 .
B. y   x  3 .
C. y  4 x  1 .
D. y  11x  3 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có :  P  cắt trục tung tại điểm M  0;3 .
y�
 4x 1
 0   1
Hệ số góc tiếp tuyến : y�
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị  P  tại M  0;3 là y  1 x  0   3   x  3 .
3x  1
Câu 8. Đồ thị  C  của hàm số y 
cắt trục tung tại điểm A . Tiếp tuyến của  C  tại điểm A có
x 1
phương trình là:
A. y  4 x  1 .
B. y  4 x  1 .
C. y  5 x  1 .
D. y  5 x  1 .
Hướng dẫn giải:

Chọn A.
Ta có : điểm A  0; 1
4
y�

 0   4
2 � hệ số góc tiếp tuyến y �
 x  1
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C  tại điểm A  0; 1 là :

y  4  x  0   1  4 x  1 .

Câu 9. Cho hàm số y 
hoành là:
A. y  2 x  4 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.

2x  4
có đồ thị là (H) . Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (H) với trục
x3

B. y  3 x  1 .

C. y  2 x  4 .

D. y  2 x .

2
� y '(2)  2

( x  3) 2
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y  2( x  2) hay y  2 x  4 .
3
2
Câu 10. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f  x   x  2 x  3 x tại điểm có hoành độ x0  1 là:
A. y  10 x  4.
B. y  10 x  5.
C. y  2 x  4.
D. y  2 x  5.
Giao điểm của (H) với trục hoành là A(2; 0) . Ta có: y ' 

Trang 3


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Đạo hàm – ĐS> 11

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Tập xác định: D  �.
 3x 2  4 x  3.
Đạo hàm: y �
y�
 1  10; y  1  6

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là  d  : y  10  x  1  6  10 x  4.
x 1
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị  H  tại các giao điểm
Câu 11. Gọi  H  là đồ thị hàm số y 

x
của  H  với hai trục toạ độ là:
y  x 1
�
.
A. y  x  1.
B. �
C. y   x  1.
D. y  x  1.
y  x 1
�
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Tập xác định: D  �\  0 .
1
.
x2
 H  cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là x  1 và không cắt trục tung.


Đạo hàm: y �

y�
 1  1

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là d : y  x  1.
Câu 12. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( H ) : y 
1
A. y  ( x  1).
B. y  3x.

3
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Tập xác định: D  �\  2 .

Đạo hàm: y �

3

 x  2

2

x 1
tại giao điểm của ( H ) và trục hoành:
x2

C. y  x  3.

D. y  3( x  1).

.

1
( H ) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ xo  1 � y�
 1  ; y  1  0
3
1
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là d : y   x  1 .
3

2
Câu 13. Gọi  P  là đồ thị hàm số y  x  x  3 . Phương trình tiếp tuyến với  P  tại giao điểm của  P  và
trục tung là
A. y   x  3.
B. y   x  3.
C. y  x  3 .
D. y  3 x  1 .
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A.
Tập xác định: D  �.
Giao điểm của  P  và trục tung là M  0;3 .

Trang 4


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Đạo hàm – ĐS> 11

 2 x  1 � hệ số góc của tiếp tuyến tại x  0 là 1 .
Đạo hàm: y �
Phương trình tiếp tuyến tại M  0;3 là y   x  3 .
4
Câu 14. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 
tại điểm có hoành độ x0  1 có phương trình là:
x 1
A. y   x  2 .
B. y  x  2 .
C. y  x  1 .
D. y   x  3 .

Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D.
Tập xác định: D  �\  1 .


Đạo hàm: y�

4

.

 x  1
M  1; 2 
2

Tiếp tuyến tại
có hệ số góc là k  1 .
Phương trình của tiếp tuyến là y   x  3
Câu 15. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 4  2 x 2  1 tại điểm có tung độ tiếp điểm bằng 2
là:
A. y  8 x  6, y  8 x  6.
B. y  8 x  6, y  8 x  6.
C. y  8 x  8, y  8 x  8.
D. y  40 x  57.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A.
Tập xác định: D  �.
 4x3  4x .
Đạo hàm: y�
x 1

�
4
2
Tung độ tiếp điểm bằng 2 nên 2  x  2 x  1 � �
.
x  1
�
Tại M  1; 2  . Phương trình tiếp tuyến là y  8 x  6 .

Tại N  1; 2  . Phương trình tiếp tuyến là y  8 x  6 .
x2
Câu 16. Cho đồ thị ( H ) : y 
và điểm A �( H ) có tung độ y  4 . Hãy lập phương trình tiếp tuyến
x 1
của ( H ) tại điểm A .
A. y  x  2 .
B. y  3x  11 .
C. y  3x  11 .
D. y  3 x  10 .
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D.
Tập xác định: D  �\  1 .

Đạo hàm: y�

3

 x  1

2

.

Tung độ của tiếp tuyến là y  4 nên 4 
Tại M  2; 4  .
Phương trình tiếp tuyến là y  3x  10 .

x2
� x2.
x 1

Trang 5


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
Câu 17. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 
phương trình là:
A. y  x  1 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
2 x2  2x  1
y
'

Ta có:
.
2
 2 x  1

Đạo hàm – ĐS> 11

x 2  3x  1
tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung có
2x 1
C. y  x .

B. y  x  1 .

D. y   x .

Giao điểm M của đồ thị với trục tung : x0  0 � y0  1
Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là : k  y '  0   1 .

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là : y  k  x  x0   y0 � y  x  1 .
Câu 18. Cho đường cong (C ) : y 

x2  x  1
và điểm A �(C ) có hoành độ x  3 . Lập phương trình tiếp
x 1

tuyến của (C ) tại điểm A .
3
5
3
5
A. y  x  .
B. y  3x  5 .
C. y  x  .
4
4

4
4
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
x2  2 x
7
y
'

Ta có:
2 . Tại điểm A �(C ) có hoành độ: x0  3 � y0 
2
 x  1
Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là : k  y '  3 

D. y 

1
5
x .
4
4

3
.
4

3
5
x .

4
4
1
�1 �
Câu 19. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 
tại điểm A � ;1�có phương trình là:
2x
�2 �
A. 2 x  2 y  3 .
B. 2 x  2 y  1 .
C. 2 x  2 y  3 .
D. 2 x  2 y  1 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
1
�1 �
Ta có: y '  
. Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là : k  y ' � � 1 .
2x 2x
�2 �
Phương trình tiếp tuyến tại điểm A là : y  k  x  x0   y0 � 2 x  2 y  3 .

Phương trình tiếp tuyến tại điểm A là : y  k  x  x0   y0 � y 

3
2
Câu 20. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số f  x   x  2 x  2 tại điểm có hoành độ x0  2 có phương trình
là:
A. y  4 x  8 .
B. y  20 x  22 .

C. y  20 x  22 .
D. y  20 x  16 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
2
Ta có: f '  x   3 x  4 x . Tại điểm A có hoành độ x0  2 � y0  f  x0   18

Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là : k  f '  2   20 .

Trang 6


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Đạo hàm – ĐS> 11

Phương trình tiếp tuyến tại điểm A là : y  k  x  x0   y0 � y  20 x  22 .
Câu 21. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) : y  3 x  4 x 3 tại điểm có hoành độ x0  0 là:
A. y  3x .
B. y  0 .
C. y  3 x  2 .
D. y  12 x .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: y '  3  12 x 2 . Tại điểm A �(C ) có hoành độ: x0  0 � y0  0
Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là : k  y '  0   3 .

Phương trình tiếp tuyến tại điểm A là : y  k  x  x0   y0 � y  3x .
1 3
2

Câu 22. Cho hàm số y  x  x  2 có đồ thị hàm số  C  . Phương trình tiếp tuyến của  C  tại điểm có
3
hoành độ là nghiệm của phương trình y "  0 là
7
3
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

A. y   x 

B. y   x 

7
3

C. y  x 

7
3

D. y 

7
x
3

�
 2x  2
 x 2  2 x và y �
Ta có y �

�
( x0 )  0 � 2 x  2  0 � x0  1
Theo giả thiết x0 là nghiệm của phương trình y�
4�
7
�
1;  �là: y   x 
Phương trình tiếp tuyến tại điểm A �
3�
3
�
2x 1
Câu 23. Gọi M là giao điểm của đồ thị hàm số y 
với trục tung. Phương trình tiếp tuyến với đồ
x2
thị hàm số trên tại điểm M là:
3
1
x
2
2
Hướng dẫn giải:
Chọn B.

A. y 

3
1
B. y   x 

4
2

C. y 

3
1
x
4
2

3
1
D. y   x 
2
2

� 1�
0; �
Vì M là giao điểm của đồ thị với trục Oy � M �
� 2�

y�


3
3
�
2 � k  y (0)  
( x  2)

4

3
1
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M là: y   x 
4
2
3
2
Câu 24. Cho hàm số y  x  3x  3x  1 có đồ thị  C  . Phương trình tiếp tuyến của  C  tại giao điểm

của  C  với trục tung là:
A. y  3x  1

B. y  8 x  1

C. y  8 x  1
Trang 7

D. y  3 x  1


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Đạo hàm – ĐS> 11

Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A.
(0)  3.
Giao điểm của  C  với trục tung là A(0;1) � y�

x4 x2
Câu 25. Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y    1 tại điểm có hoành độ x0  1 là:
4 2
A. – 2
B. 0
C. 1
D. 2
Hướng dẫn giải:
(1)  2.
Ta có f �
Chọn đáp án A.
1 3
x  2 x 2  3x  1 . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là nghiệm
3
�
 0 có phương trình:
của phương trình y �
11
1
1
11
A. y  x  .
B. y   x  .
C. y  x  .
D. y   x  .
3
3
3
3
Hướng dẫn giải:

Chọn D.
y�
 x2  4x  3
�
y�
 2x  4  0 � x  2 .
� 5�
2; �
Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm � M �
� 3�
5
11
(2)  x  2   � y   x  .
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y  y �
3
3
3
Câu 27. Phương trình tiếp tuyến của  C  : y  x tại điểm M 0 (1;  1) là:
A. y  3x  2 .
B. y  3 x  2 .
C. y  3 x  3 .
D. y  3x  3 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
 3x 2 � y�
(1)  3
+ y�
+ PTTT của (C ) tại điểm M 0 (1;  1) là y  3( x  1)  1 � y  3 x  2 .

Câu 26. Cho hàm số y 

Câu 28. Phương trình tiếp tuyến của  C  : y  x 3 tại điểm có hoành độ bằng 1 là:
A. y  3x  2 .
B. y  3 x  2 .
C. y  3x .
D. y  3x  3 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
 3x 2 � y�
(1)  3 .
+ y�
+ x0  1 � y0  y (1)  1 .
+PTTT của đồ thị (C ) tại điểm có hoành độ bằng 1 là: y  3( x  1)  1 � y  3 x  2 .
x 2 11
Câu 29. Cho hàm số y  f ( x)   , có đồ thị  C  . Phương trình tiếp tuyến của  C  tại M có hoành
8 2
x


2
độ 0
là:
Trang 8


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Đạo hàm – ĐS> 11

1

1
1
1
A. y  ( x  2)  7 .
B. y   ( x  2)  7 .
C. y   ( x  2)  6 .
D. y   ( x  2)  6 .
2
2
2
2
Hướng dẫn giải:
Đáp án C
 x0   x  x0 
Phương trình tiếp tuyến của  C  tại điểm M  x0 ; y0  có phương trình là: y  y0  f �
x
1
f�
( x)  � f �
( 2)   ; y0  6
4
2
1
Vậy phương trình tiếp tuyến có dạng y    x  2   6
2
x2  x 1
Câu 30. Phương trình tiếp tuyến của đường cong f ( x) 
tại điểm có hoành độ x0  1 là:
x 1
3

5
3
5
4
5
4
5
A. y  x  .
B. y  x  .
C. y  x  .
D. y  x  .
4
4
4
4
3
4
3
4
Hướng dẫn giải:
Chọn B
 x0   x  x0 
Phương trình tiếp tuyến của  C  tại điểm M  x0 ; y0  có phương trình là: y  y0  f �

� x2  2 x
3
1
�x 2  x  1 �
, f�
 1  ; y  1 

f�
( x)  �
�
2
4
2
� x  1 �  x  1
3
5
x .
4
4
2
Câu 31. Cho hàm số y  f ( x)  x  5 x  4 , có đồ thị  C  . Tại các giao điểm của  C  với trục Ox , tiếp

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại x0  1 có dạng y 
tuyến của  C  có phương trình:
A. y  3x  3 và y  3 x  12 .
C. y  3 x  3 và y  3x  12 .
Hướng dẫn giải:.
Đáp án A.
Xét phương trình hoành độ giao điểm.
x  1
�
x2  5x  4  0 � �
x  4
�

B. y  3 x  3 và y  3x  12 .
D. y  2 x  3 và y  2 x  12 .

f�
 x   2x  5

 1  3 PTTT có dạng : y  3x  3
TH1: x0  1; y0  0;f �

 4   3 PTTT có dạng : y  3x  12
TH2: x0  4; y0  0;f �

�
�
Câu 32. Phương trình tiếp tuyến của đường cong y  f  x   tan �  3 x �tại điểm có hoành độ x0 
6
�4
�
là:



A. y   x   6 .
B. y   x   6 .
C. y  6 x    1 .
D. y   x   6 .
6
6
6
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Trang 9

– Website chuyên đề thi tài liệu file word
f�
 x 

Đạo hàm – ĐS> 11

3
�
�;
cos 2 �  3 x �
�4
�


; y0  1 ; f �
 x0   6
6
Phương trình tiếp tuyến: y  6 x    1 .
x0 

�3
�
Câu 33. Cho hàm số y  2x 3  3x 2  1 có đồ thị  C  , tiếp tuyến với  C  nhận điểm M 0 � ; y0 �làm tiếp
�2
�
điểm có phương trình là:
9
9

27
9
23
9 x 31
 .
A. y  x .
B. y  x 
.
C. y  x  .
D. y 
2
2
4
2
4
2 4
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C.
Tập xác định: D  �.
3
Ta có x0  � y0  1 .
2
 6x2  6x .
Đạo hàm của hàm số y�
9
�3
�
Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại M 0 � ; y0 �là k  .
2
�2

�
9
23
Phương trình của tiếp tuyến là y  x 
2
4
3
2
Câu 34. Cho hàm số y  x  3 x  6 x  1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hoành độ
tiếp điểm bằng 1
A. y  3x  6
B. y  3 x  7
C. y  3 x  4
D. y  3x  5
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Gọi M  x0 ; y0  là tiếp điểm

Ta có: y '  3x 2  6 x  6 .
Ta có: x0  1 � y0  1, y '(1)  3
Phương trình tiếp tuyến là: y  y '( x0 )( x  x0 )  y0  3( x  1)  1  3 x  4
Câu 35. Cho hàm số y  x3  3 x 2  6 x  1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tung độ
tiếp điểm bằng 9
y  x  81
y  x  81
�y  18 x  81
�
�y  18 x  1
�
�y  9 x

�
�
�
y  9x
y  9 x
A. �
B. �
C. �y  9 x
D. �
�
�
�
�
y  9x  2
y  9x  2
�y  18 x  27
�
�y  9 x  7
�
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Gọi M  x0 ; y0  là tiếp điểm

Trang 10


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Đạo hàm – ĐS> 11

Ta có: y '  3x 2  6 x  6 .
3
2
Ta có: y0  9 � x0  3 x0  6 x0  8  0 � x0  1, x0  2, x0  4 .
� x0  4 � y '( x0 )  18 . Phương trình tiếp tuyến là: y  18( x  4)  9  18 x  81
� x0  1 � y '( x0 )  9 . Phương trình tiếp tuyến là: y  9( x  1)  9  9 x
� x0  2 � y '( x0 )  18 . Phương trình tiếp tuyến là: y  18( x  2)  9  18 x  27 .
Câu 36. Cho hàm số y  x 3  3 x  1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hoành độ tiếp
điểm bằng 0
A. y  3x  12
B. y  3x  11
C. y  3x  1
D. y  3 x  2
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: y '  3x 2  3 . Gọi M  x0 ; y0  là tiếp điểm
Ta có: x0  0 � y0  1, y '( x0 )  3
Phương trình tiếp tuyến: y  3 x  1 .
Câu 37. Cho hàm số y  x 3  3 x  1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tung độ tiếp điểm
bằng 3
A. y  9 x  1 hay y  3
B. y  9 x  4 hay y  3
C. y  9 x  3 hay y  3
D. y  9 x  13 hay y  3
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: y '  3x 2  3 . Gọi M  x0 ; y0  là tiếp điểm
3
Ta có: y0  3 � x0  3x0  2  0 � x0  2, x0  1
� x0  1 � y '( x0 )  0 . Phương trình tiếp tuyến: y  3

� x0  2 � y '( x0 )  9 . Phương trình tiếp tuyến:
y  9( x  2)  3  9 x  13 .

Câu 38. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y  2 x 4  4 x 2  1 biết tung độ tiếp điểm bằng 1
y 1
y 1
y 1
y 1
�
�
�
�
�
�
�
�
y  8 2x  5
y  8 2 x  15
y  8 2x 1
y  8 2 x  10
A. �
B. �
C. �
D. �
�
�
�
�
y  8 2 x  5
y  8 2 x  15

y  8 2 x  1
y  8 2 x  10
�
�
�
�
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có: y '  8 x 3  8 x
Gọi M  x0 ; y0  là tiếp điểm.

Ta có: y0  1 � 2 x04  4 x02  0 � x0  0, x0  � 2
� x0  0 � y '( x0 )  0 . Phương trình tiếp tuyến là: y  1
� x0  2 � y '( x0 )  8 2 . Phương trình tiếp tuyến





y  8 2 x  2  1  8 2 x  15

Trang 11


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Đạo hàm – ĐS> 11

� x0   2 � y '( x0 )  8 2 . Phương trình tiếp tuyến





y  8 2 x  2  1  8 2 x  15 .
Câu 39. Cho hàm số y  x 4  x 2  1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tung độ tiếp
điểm bằng 1
A. y  2
B. y  1
C. y  3
D. y  4
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có: y '  4 x 3  2 x . Gọi M  x0 ; y0  là tiếp điểm
4
2
Ta có y0  1 � x0  x0  0 � x0  0 , y '( x0 )  0
Phương trình tiếp tuyến: y  1
2x  2
Câu 40. Cho hàm số y 
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tung độ tiếp điểm bằng 2
x 1
.
y  x  7
y  x  7
y   x  27
y   x  27
�
�
�

�
A. �
B. �
C. �
D. �
y  x 1
y   x  21
y   x  21
y   x 1
�
�
�
�
2x  2
4
: y 
( x  x0 )  0
.
2
( x0  1)
x0  1
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
4
Hàm số xác định với mọi x �1 . Ta có: y ' 
( x  1) 2
Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C):
Vì tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1 nên ta có
4


 1 � x0  3, x0  1
( x0  1) 2
�x0  2 � y0  4 �  : y   x  7
�x0  1 � y0  0 �  : y   x  1
ax  b
Câu 41. Cho hàm số y 
, có đồ thị là  C  . Tìm a, b biết tiếp tuyến của đồ thị  C  tại giao điểm
x2
1
của  C  và trục Ox có phương trình là y   x  2
2
A. a   1, b  1
B. a   1, b  2
C. a   1, b  3
D. a   1, b  4
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
1
1
Giao điểm của tiếp tuyến d : y   x  2 với trục Ox là A  4; 0  , hệ số góc của d : k   và A  4;0  ,
2
2
4a  b
�(C ) �
 0 � 4a  b  0 .
2

Trang 12

– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Đạo hàm – ĐS> 11

2 a  b
2 a  b
� y  4 
2
( x  2)
4
1
1
2a  b
1
  � 2a  b  2
Theo bài toán thì: k   � y '(4)   �
2
2
4
2
4a  b  0
�
Giải hệ �
ta được a   1, b  4
2a  b  2
�
Ta có: y ' 

Câu 42. Cho hàm số y  x 3  3 x  1 có đồ thị là  C  . Giả sử  d  là tiếp tuyến của  C  tại điểm có hoành
độ x  2 , đồng thời  d  cắt đồ thị  C  tại N, tìm tọa độ N .

A. N  1; 1
B. N  2;3
C. N  4; 51
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Tiếp tuyến  d  tại điểm M của đồ thị  C  có hoành độ x0  2 � y0  3

D. N  3;19 

2
Ta có y '( x)  3 x  3 � y '( x0 )  y '(2)  9

Phương trình tiếp tuyến  d  tại điểm M của đồ thị  C  là
y  y '( x0 )( x  x0 )  y0 � y  9( x  2)  3 � y  9 x  15

3
3
2
Xét phương trình x  3x  1  9 x  15 � x  12 x  16  0 �  x  2   x  2 x  8   0
� x  4 hoặc x  2 ( không thỏa )
Vậy N  4; 51 là điểm cần tìm

Câu 43. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x3  6 x 2  11x  1 tại điểm có tung độ bằng 5.
A. y  2 x  1 ; y   x  2 ; y  2 x  1
B. y  2 x  3 ; y   x  7 ; y  2 x  2
C. y  2 x  1 ; y   x  2 ; y  2 x  2
D. y  2 x  3 ; y   x  7 ; y  2 x  1
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

Ta có: y  5 � x3  6 x 2  11x  6  0 � x  1; x  2; x  3
Phương trình các tiếp tuyến: y  2 x  3 ; y   x  7 ; y  2 x  1
2x  m 1
Câu 44. Cho hàm số y 
(Cm). Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm có hoành độ x0  2 tạo
x 1
25
với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng
.
2
23
23
23
23
�
�
�
�
m  2; m  
m  2; m 
m  2; m  
m  2; m  
�
�
�
�
9
9
9
9

A. �
B. �
C. �
D. �
28
28
28
28
�
�
�
�
m  7; m  
m  7; m  
m  7; m 
m  7; m 
�
�
�
�
9
9
9
9
�
�
�
�
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

Trang 13


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Đạo hàm – ĐS> 11

m  3
( x  1) 2
Ta có x0  2 � y0  m  5, y '( x0 )   m  3 . Phương trình tiếp tuyến  của (Cm) tại điểm có hoành độ
x0  2 là:
y  (m  3)( x  2)  m  5  ( m  3) x  3m  11 .
�3m  11 �
� �Ox  A � A �
;0 �, với m  3 �0
�m  3
�
� �Oy  B � B  0;3m  11
Ta có: y ' 

1
1 (3m  11) 2
Suy ra diện tích tam giác OAB là: S  OA.OB 
2
2 m3
1 (3m  11) 2 25

Theo giả thiết bài toán ta suy ra:
2 m3

2
�
9m 2  66m  121  25m  75
� (3m  11)  25 m  3 � � 2
9m  66m  121  25m  75
�
23
�
m  2; m  
2
�
�
9m  41m  46  0
9
�� 2
��
.
28
9m  91m  196  0
�
�
m  7; m  
�
9
�
2

Câu 45. Giả sử tiếp tuyến của ba đồ thị y  f ( x), y  g ( x), y 

f ( x)

tại điểm của hoành độ x  0 bằng
g ( x)

nhau. Khẳng định nào sau đây là đúng nhất.
1
1
1
A. f (0) 
B. f (0) �
C. f (0) 
4
4
4
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
f '(0).g (0)  g '(0) f (0)
Theo giả thiết ta có: f '(0)  g '(0) 
g 2 (0)
�f '(0)  g '(0)
2
1 �
1� 1
�
2
� � g (0)  f (0) � f (0)  g (0)  g (0)   �g (0)  ��
1
4 �
2� 4
�
g 2 (0)

�

1
D. f (0) �
4

Câu 46. Tìm trên (C) : y  2 x3  3 x 2  1 những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục tung tại
điểm có tung độ bằng 8.
A. M (1; 4)
B. M (2; 27)
C. M (1;0)
D. M (2;5)
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
3
2
 3x 2  6 x .
Giả sử M ( x0 ; y0 ) �(C )  y0  2 x0  3 x0  1 . Ta có: y�
Phương trình tiếp tuyến  tại M: y  (6 x02  6 x0 )( x  x0 )  2 x03  3 x02  1 .
 đi qua P (0;8)  8  4 x03  3 x02  1  x0  1 . Vậy M (1; 4) .
Trang 14


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Đạo hàm – ĐS> 11

x
tại điểm M  1;  1 là:
x2

C. y  2 x  1 .
D. y  2 x  1 .

Câu 47. Phương trình tiếp tuyến của đường cong f ( x) 
A. y  2 x  1 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C
2
f�
 x 
2
 x  2

B. y  2 x  1 .

 x0   2
Ta có x0  1; y0  1; f �
Phương trình tiếp tuyến y  2 x  1 .
Câu 48. Tiếp tuyến của parabol y  4  x 2 tại điểm (1;3) tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông. Diện
tích của tam giác vuông đó là:
25
5
5
25
A.
.
B. .
C. .
D.
.

2
4
2
4
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
 2 x � y �
(1)  2 .
+ y�
+PTTT tại điểm có tọa độ (1;3) là: y  2( x  1)  3 � y  2 x  5 (d ) .
�5 �
+ Ta có (d ) giao Ox tại A � ; 0 �, giao Oy tại B (0;5) khi đó (d ) tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông
�2 �
OAB vuông tại O .
1
1 5
25
Diện tích tam giác vuông OAB là: S  OA.OB  . .5 
.
2
2 2
4
1
Câu 49. Trên đồ thị của hàm số y 
có điểm M sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ
x 1
tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. Tọa độ M là:
� 1�
� 3 4�
�3

�
.
.
.
A.  2;1 .
B. �4; �
C. � ;  �
D. � ; 4 �
� 3�
� 4 7�
�4
�
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
1
Ta có: y '  
2 . Lấy điểm M  x0 ; y0  � C  .
 x  1
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: y  

1

 x0  1

2

.  x  x0  

Giao với trục hoành:    �Ox=A  2 x0  1; 0  .

� 2x 1 �
0
0;
�
Giao với trục tung:    �Oy=B �
�  x  1 2 �
� 0
�
2

SOAB

�2 x  1 �
�3
�
1
3
.
 OA.OB � 4  � 0 �� x0  . Vậy M � ; 4 �
2
4
�4
�
�x0  1 �

Trang 15

1
x0  1

  .


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Đạo hàm – ĐS> 11

Câu 50. Cho hàm số y  f ( x)   x 2  5 , có đồ thị  C  . Phương trình tiếp tuyến của  C  tại M có tung
độ y0  1 với hoành độ x0  0 là





A. y  2 6 x  6  1 .

B. y  2 6  x  6   1 .

C. y  2 6  x  6   1 .

D. y  2 6 x  6  1 .





Hướng dẫn giải:
Chọn A
f�
 x   2 x

Do x0  0 nên x0   6 ; f �
 x0   2 6 .





Phương trình tiếp tuyến: y  2 6 x  6  1 .
Câu 51. Cho hàm số y  x 4  8 x 2  m  1 (Cm ) . Giả sử rằng tiếp tuyến của đồ thị (Cm) tại điểm có hoành
độ x0  1 luôn cắt đồ thị (Cm) tại ba điểm phân biệt. Tìm tọa độ các giao điểm.



C. A(1; m  6), B  1 � 2; m  18 � 2 
A. A(1; m  6), B 1 � 3; m  18 � 3



D. A(1; m  6), B  1 � 6; m  18 m 6 
B. A(1; m  6), B 1 � 7; m  18 m 7

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: y '  4 x 3  16 x
Vì x0  1 � y0  m  6, y '( x0 )  12 . Phương trình tiếp tuyến d của (Cm) tại điểm có hoành độ x0  1 là:
y  12( x  1)  m  6  12 x  m  6 .
Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) với d
x 4  8 x 2  m  1  12 x  m  6 � x 4  8 x 2  12 x  5  0
� ( x  1) 2 ( x 2  2 x  5)  0 � x  1, x  1 � 6
Vậy d và (Cm) luôn cắt nhau tại ba điểm phân biệt

A(1; m  6), B 1 � 6; m  18 m 6



Câu 52. Cho hàm số y 
qua A(4;3)



2x  m 1
(Cm). Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm có hoành độ x0  0 đi
x 1

16
6
1
16
B. m  
C. m  
D. m  
5
5
5
15
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
m  3
Ta có: y ' 
( x  1) 2
Vì x0  0 � y0  m  1, y '( x0 )   m  3 . Phương trình tiếp tuyến d của (Cm) tại điểm có hoành độ x0  0

là:
y  (m  3) x  m  1

A. m  

Trang 16


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Đạo hàm – ĐS> 11

16
.
5
Câu 53. Cho hàm số y  x 4  2 x 2  3 . Tìm phương trình tiếp tuyến của hàm số có khoảng cách đến điểm
5
M  0; 3 bằng
.
65
A. y  2 x  1
B. y  3x  2
C. y  7 x  6
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải:
4
2
Gọi A � C  � A  a; a  2 a  3

Tiếp tuyến đi qua A khi và chỉ khi: 3  (  m  3)4  m  1 � m  

3
3
Ta có: y '  4 x  4 x � y '  a   4a  4a

3
4
2
Phương trình tiếp tuyến  t  :  4a  4a  x  y  3a  2a  3  0

d  M ; t  

5

hay
65

3a 4  2a 2

 4a

3

 4a   1
2



5
65 hay

5  a  1  a  1  117 a 6  193a 4  85a 2  5   0

Giải tìm a, sau đó thế vào phương trình (t) suy ra các phương trình tiếp tuyến cần tìm.
x4 x2
Câu 54. Cho hàm số y    2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) biết khoảng
4 2
9
cách từ điểm A(0;3) đến (d) bằng
.
4 5
1
3
3
3
A. y  2 x  , y  2 x 
B. y  2 x  , y  2 x 
4
4
4
14
3
3
3
3
C. y  2 x  , y  2 x 
D. y  2 x  , y  2 x 
4
4
14

4
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng : y  y '( x0 )( x  x0   y ( x0 )
(trong đó x0 là hoành độ tiếp điểm của (d) với (C)).
Phương trình (d): y  ( x03  x0 )( x  x0 ) 

x04 x02
3
1
  2  ( x03  x0 ) x  x04  x02  2
4 2
4
2

3 4 1 2
x0  x0  2  0.
4
2
3
1
 x04  x02  1
9
9
4
2
d ( A;(d )) 
�

3

2
4 5
4 5
( x0  x0 )  1
� ( x03  x0 ) x  y 

� 3 x04  2 x02  4 5  9 x02 ( x02  1) 2  1 � 5(3 x04  2 x02  4)2  81[ x02 ( x02  1) 2  1]
2
Đặt t  x0 , t �0 . Phương trình (1) trở thành: 5(3t 2  2t  4) 2  81[t (t  1)2  1]

� 5(9t 4  4t 2  16  12t 3  24t 2  16t )  81t 3  162t 2  81t  81

Trang 17


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Đạo hàm – ĐS> 11

� 45t 4  21t 3  22t 2  t  1  0 � (t  1)(45t 3  24t 2  2t  1)  0
� t  1 ( do t �0 nên 45t 3  24t 2  2t  1  0)
2
Với t  1 ,ta có x0  1 � x0  �1 .
3
3
Suy ra phương trình tiếp tuyến (d): y  2 x  , y  2 x 
4
4
4
2

Câu 55. Cho hàm số y  ax  bx  c (a �0) , có đồ thị là  C  . Tìm a, b, c biết  C  có ba điểm cực trị,
điểm cực tiểu của  C  có tọa độ là  0;3 và tiếp tuyến d của  C  tại giao điểm của  C  với trục Ox có
phương trình là y  8 3x  24 .
A. a  1, b  2, c  3
C. a  1, b  21, c  13
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

B. a  1, b  21, c  3
D. a  12, b  22, c  3

 C  có ba điểm cực trị, điểm cực tiểu của  C 
Giao điểm của tiếp tuyến d và trục Ox là B



a  0, b  0
�
có tọa độ là  0;3 � �
c3
�



3;0 và hệ số góc của d là 8 3

9a  3b  c  0
�
�
9a  3b  c  0

�
�B �(C )
�
��
��
��
.
3
y ' 3  8 3
6
a

b


4
4
a
3

2
b
3


8
3
�
�
�

�

 

 

c3
�
�
9a  3b  c  0 ta được a  1, b  2, c  3 � y   x 4  2 x 2  3
Giải hệ �
�
6a  b  4
�
2x  2
Câu 56. Cho hàm số: y 
có đồ thị  C  . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến
x 1
tạo với 2 trục tọa độ lập thành một tam giác cân.
A. y   x  1, y   x  6 .
B. y   x  2 y   x  7 .
C. y   x  1, y   x  5 .
D. y   x  1, y   x  7 .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
4
Hàm số đã cho xác định với x �1 . Ta có: y ' 
2
 x  1
Gọi M  x0 ; y0  là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của  C  :

2x  2
4
4
2 x0  2
y
x  x0   0
y '  x0  
2 
với
2 và y0 
x0  1
x0  1
 x0  1
 x0  1

Tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ lập thành một tam giác cân nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng �1 . Mặt
khác: y '  x0   0 , nên có: y '  x0   1
4
 1 � x0  1 hoặc x0  3 .
2
Tức
 x0  1
Trang 18


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Đạo hàm – ĐS> 11

 Với x0  1 � y0  0 �  : y   x  1

 Với x0  3 � y0  4 �  : y   x  7
Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y   x  1, y   x  7 .
2x  2
Câu 57. Cho hàm số: y 
có đồ thị  C  . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến
x 1
tại điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến trục Oy bằng 2 .
4
1
4
2
A. y   x  , y  4 x  14 .
B. y   x  , y  4 x  1 .
9
9
9
9
4
1
4
2
C. y   x  , y  4 x  1 .
D. y   x  , y  4 x  14 .
9
9
9
9
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
4

Hàm số đã cho xác định với x �1 . Ta có: y ' 
2
 x  1
Gọi M  x0 ; y0  là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của  C  :
2x  2
4
4
2 x0  2
y
x  x0   0
y '  x0  
2 
với
2 và y0 
x0  1
x0  1
 x0  1
 x0  1

� 2�
2; �, M  2;6  .
Khoảng cách từ M  x0 ; y0  đến trục Oy bằng 2 suy ra x0  �2 , hay M �
� 3�
4
2
� 2�
Phương trình tiếp tuyến tại M �2; �là: y   x 
9
9
� 3�

Phương trình tiếp tuyến tại M  2; 6  là: y  4 x  14
4
2
Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: y   x  , y  4 x  14 .
9
9
2
x  2mx  2m 2  1
Câu 58. Tìm m để đồ thị hàm số y 
cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và các tiếp
x 1
tuyến với  Cm  tại hai điểm này vuông góc với nhau.
2
2
A. m 
B. m  1
C. m  , m  1
D. m  0
3
3
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Hàm số đã cho xác định trên �\  1 .

Xét phương trình hoành độ giao điểm của  Cm  và trục hoành:
x 2  2mx  2m2  1
 0 � x 2  2mx  2m 2  1  0,  x �1  1
x 1

Trang 19

– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Đạo hàm – ĐS> 11

Để  Cm  cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A, B thì phương trình  1 phải có hai nghiệm phân biệt
�
 1 m  1  m  0
1  m  1
 '  m 2  2m 2  1  0
�
�
�
 2 .
khác 1 . Tức là ta phải có: �
hay �
tức �
2
m �0
2m  m  1 �0
1  2m  2m  1 �0
�
�
�
2
Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của  1 . Theo định lý Vi – ét, ta có: x1  x2  2m, x1.x2  2m  1

Giả sử I  x0 ;0  là giao điểm của  Cm  và trục hoành. Tiếp tuyến của  Cm  tại điểm I có hệ số góc

 2 x0  2m   x0  1   x02  2mx0  2m2  1
y '  x0  
2
 x0  1



2 x0  2m
x0  1

Như vậy, tiếp tuyến tại A, B lần lượt có hệ số góc là y '  x1  

2 x1  2m
2 x2  2m
, y '  x2  
.
x1  1
x2  1

�2 x  2m �
�2 x2  2m �
Tiếp tuyến tại A, B vuông góc nhau khi và chỉ khi y '  x1  y '  x2   1 hay � 1
�
�
� 1
� x1  1 �
� x2  1 �
2
� 5 x1.x2   4m  1  x1  x2   4m 2  1  0 tức 3m 2  m  2  0 � m  1 hoặc m  . Đối chiếu điều
3

2
kiện chỉ có m  thỏa mãn.
3

Trang 20


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Đạo hàm – ĐS> 11

DẠNG 2: TIẾP TUYẾN CÓ HỆ SỐ GÓC K CHO TRƯỚC
Câu 1. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 
hoành bằng :
A. 9 .

B.

1
.
9

2  3x
tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục
x 1

C. 9.

1
D.  .

9

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Tập xác định: D  �\  1 .

Đạo hàm: y �

1

 x  1

2

.

�2 �
.
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại A � ; 0 �
�3 �
�2 �
Hệ số góc của tiếp tuyến là y �
� � 9.
�3 �
x3
Câu 2. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y   3x 2  2 có hệ số góc k  9, có phương trình là :
3
y

16



9(
x

3).
y


9(
x

3).
A.
B.
C. y  16  9( x  3).
D. y  16  9( x  3).
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Tập xác định: D  �.
 x 2  6 x.
Đạo hàm: y�
k  9 � y�
 xo   9 � xo2  6 xo  9 �  xo  3  0 � xo  3 � yo  16
2

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là  d  : y  9  x  3   16 � y  16  9  x  3  .
x 1
Câu 3. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 
tại giao điểm với trục tung bằng :

x 1
A. 2.
B. 2.
C. 1.
D. 1.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Tập xác định: D  �\  1 .
2

.
2
Đạo hàm: y �
 x  1
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có xo  0 � yo� 2 .
Câu 4. Cho hàm số y  x 3  3x 2 có đồ thị  C  . Có bao nhiêu tiếp tuyến của  C  song song đường thẳng
y  9 x  10?
A. 1.
B. 3.
C. 2.
D. 4.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Trang 21


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Đạo hàm – ĐS> 11

Tập xác định: D  �.
 3x 2  6 x.
Đạo hàm: y�

xo  3
�
k  9 � 3xo2  6 xo  9  0 � xo2  2 xo  3  0 � �
.
xo  1
�
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 5. Gọi  C  là đồ thị của hàm số y  x 4  x . Tiếp tuyến của  C  vuông góc với đường thẳng
d : x  5 y  0 có phương trình là:
A. y  5 x  3 .
B. y  3x  5 .
C. y  2 x  3 .
D. y  x  4 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
 4 x3  1
Ta có : y �
1
 x0   4 x03  1  5
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y   x nên tiếp tuyến có hệ số góc y �
5
� x0  1  y0  2 
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M  1; 2  có dạng

y  5  x  1  2  5 x  3 .

x 2  3x  2
là đồ thị hàm số y 
. Tìm tọa độ các điểm trên  C  mà tiếp tuyến tại đó với
x 1
 C  vuông góc với đường thẳng có phương trình y  x  4 .

Câu 6. Gọi  C 

B.  2; 12  .

A. (1  3;5  3 3), (1  3;5  3 3).
C.  0; 0  .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Tập xác định: D  �\  1 .
Đạo hàm:

 2 x  3  x  1   x 2  3x  2 
y�

2
 x  1

D.  2; 0  .



x2  2x  5

 x  1

2

.

 xo   1
Giả sử xo là hoành độ điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán � y�
�

xo2  2 xo  5

 xo  1

2

 1 � xo2  2 xo  5    xo  1

2

� 2 xo2  4 xo  4  0 � xo2  2 xo  2  0

� xo  1 � 3 � y  5 �3 3.

Câu 7. Biết tiếp tuyến  d  của hàm số y  x 3  2 x  2 vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ
nhất. Phương trình  d  là:
A. y   x 

1 18  5 3
1 18  5 3


, y  x 

.
9
9
3
3
Trang 22


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Đạo hàm – ĐS> 11

B. y  x, y  x  4.
1 18  5 3
1 18  5 3

, y  x 

.
C. y   x 
9
9
3
3
D. y  x  2, y  x  4.
Hướng dẫn giải:
Tập xác định: D  �.
Chọn C.

y�
 3 x 2  2.
Đường phân giác góc phần tư thứ nhất có phương trình  : x  y.
�  d  có hệ số góc là 1.
1
y�
 xo   1 � 3xo2  2  1 � xo  � .
3
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là
1 18  5 3
1 18  5 3
, y  x 

.
 d  : y  x  
9
9
3
3
Câu 8. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị y  tan x tại điểm có hoành độ x 
B. k 

A. k  1 .

1
.
2

C. k 

2
.
2


.
4
D. 2 .

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
y  tan x � y�


1 .
cos 2 x

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị y  tan x tại điểm có hoành độ x 


� �
là k  y�
� � 2 .
4
�4 �

1
x
Câu 9. Hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong y  f  x    sin tại điểm có hoành độ x0   là:
2

3
1
1
3
3
A. 
.
B.
.
C.  .
D.
.
12
12
12
12
Hướng dẫn giải:
Chọn C
1
x
1

1
f�
 x    cos � f �
     cos  
6
3
6
3

12

Câu 10. Cho hàm số y  x 3 – 6 x 2  7 x  5  C  . Tìm trên  C  những điểm có hệ số góc tiếp tuyến tại điểm
đó bằng 2 ?
A.  –1; –9  ;  3; –1 .
B.  1; 7  ;  3; –1 .
C.  1; 7  ;  –3; –97  .
D.  1;7  ;  –1; –9  .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
 3x 2  12 x  7 .
Gọi M  x0 ; y0  là tọa độ tiếp điểm. Ta có y �
Trang 23


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
Hệ

số

góc

của

tiếp

tuyến

bằng

2

Đạo hàm – ĐS> 11

� y�
 x0   2

� 3x02  12 x0  7  2

x0  1 � y0  7
�
� 3x02  12 x0  9  0 � �
.
x0  3 � y0  1
�
x 2  3x  3
Câu 11. Cho hàm số y 
, tiếp tuyến của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng.
x2
d : 3 y – x  6  0 là
A. y  –3x – 3; y  –3x –11 .
B. y  –3x – 3; y  –3 x  11 .
y

–3
x

3;
y


–3
x
–11
C.
.
D. y  –3x – 3; y  3x –11 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
1
1
d : 3 y – x  6  0 � y  x  2 � kd  .
3
3
x2  4x  3
�
Gọi M  x0 ; y0  là tọa độ tiếp điểm. Ta có y 
.
2
 x  2
Tiếp tuyến vuông góc với d � ktt .kd  1 � ktt  

1
 3 � y �
 x0   3
kd

3
�
x0  
�

2.
�
 3 � 4 x02  16 x0  15  0 � �
2
5
 x0  2 
�
x 
�0
2
3
3
� 3� 3
Với x0   � y0  � pttt: y  3 �x  � � y  3x  3 .
2
2
� 2� 2
5
7
� 5� 7
Với x0   � y0   � pttt: y  3 �x  � � y  3x  11 .
2
2
� 2� 2
x02  4 x0  3

4
Câu 12. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số y   2m –1 x – m 

vuông góc với đường thẳng d : 2 x – y – 3  0 .

3
1
A. .
B. .
4
4
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
d : 2 x – y – 3  0 � y  2 x  3 � kd  2 .
5
y   2m –1 x 4 – m  � y �
 4  2m  1 x3 .
4

C.

7
.
16

4
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y   2m –1 x – m 

ktt  y�
 1  4  2m  1  1  4  2m  1 .
3

Ta có ktt .kd  1 � 8  2m  1  1 � m 

9

16

Trang 24

5
tại điểm có hoành độ x  –1
4

D.

9
.
16

5
tại điểm có hoành độ x  –1 là
4


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
Câu 13. Cho hàm số y 

Đạo hàm – ĐS> 11

ax  b
có đồ thị cắt trục tung tại A  0; –1 , tiếp tuyến tại A có hệ số góc k  3 .
x 1

Các giá trị của a , b là
A. a  1 , b  1 .

B. a  2 , b  1 .
C. a  1 , b  2 .
D. a  2 , b  2 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
ax  b
b
A  0; –1 � C  : y 
�
 1 � b  1 .
x 1
1
a  b

 0   a  b  3
Ta có y �
2 . Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm A là k  y �
 x  1

� a  3b  2.
Câu 14. Điểm M trên đồ thị hàm số y  x 3 – 3 x 2 –1 mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc k bé nhất trong tất
cả các tiếp tuyến của đồ thị thì M , k là
A. M  1; –3 , k  –3 .
B. M  1;3 , k  –3 .
C. M  1; –3 , k  3 .
D. M  1; –3 , k  –3 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
 3x 2  6 x .
Gọi M  x0 ; y0  . Ta có y�

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại M là k  y �
 x0   3x02  6 x0  3  x0  1  3 �3
2

Vậy k bé nhất bằng 3 khi x0  1 , y0  3 .
Câu 15. Cho hàm số y  x3  3 x 2  6 x  1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến
1
vuông góc với đường thẳng y   x  1
18
A. : y  18 x  8 và y  18 x  27 .
B. : y  18 x  8 và y  18 x  2 .
C. : y  18 x  81 và y  18 x  2 .
D. : y  18 x  81 và y  18 x  27 .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Gọi M  x0 ; y0  là tiếp điểm
Ta có: y '  3x 2  6 x  6 .
1
x  1 nên
18
2
Ta có: y '( x0 )  15 � x0  2 x0  8  0 � x0  4, x0  2
Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến: y  18 x  81 và y  18 x  27 .

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y  

Câu 16. Cho hàm số y  x 3  3 x  1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp
tuyến bằng 9
A. y  9 x  1 hay y  9 x  17
B. y  9 x  1 hay y  9 x  1

y

9
x

13
y

9
x

1
C.
hay
D. y  9 x  13 hay y  9 x  17
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: y '  3x 2  3 . Gọi M  x0 ; y0  là tiếp điểm
Trang 25