Bài tập và lý thuyết chương 5 đại số lớp 11 VI PHÂN đh cấp CAO đặng việt đông file word

Đạo hàm – ĐS> 11

– Website chuyên đề thi tài liệu file word

VI PHÂN CỦA HÀM SỐ
A – LÝ THUYẾT TĨM TẮT
• Tích f '( x0 ).∆x được gọi là vi phân của hàm số y = f ( x) tại điểm x0 (ứng với số gia ∆x ) được kí hiệu
là df ( x0 ) = f '( x0 ) ∆x .
• Nếu hàm số f có đạo hàm f ' thì tích f '( x)∆x được gọi là vi phân hàm số y = f ( x) , kí hiệu là:
df ( x) = f '( x) ∆x .
Đặc biệt: dx = x ' ∆x = ∆x nên ta viết df ( x ) = f '( x)dx .

B – BÀI TẬP
Câu 1. Cho hàm số y = f ( x ) = ( x − 1) . Biểu thức nào sau đây chỉ vi phân của hàm số f ( x ) ?
2

A. dy = 2 ( x − 1) dx .
C. dy = 2 ( x − 1) .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có dy = f ′ ( x ) dx = 2 ( x − 1) dx .

B. dy = ( x − 1) dx .
2

D. dy = 2 ( x − 1) dx .

Câu 2. Tìm vi phân của các hàm số y = x 3 + 2 x 2
A. dy = (3 x 2 − 4 x)dx
C. dy = (3 x 2 + 2 x)dx
Hướng dẫn giải:

Chọn D.
dy = (3 x 2 + 4 x)dx

B. dy = (3 x 2 + x)dx
D. dy = (3 x 2 + 4 x)dx

Câu 3. Tìm vi phân của các hàm số y = 3x + 2
3
dx
A. dy =
B. dy =
3x + 2
2
1
dx
C. dy =
D. dy =
3x + 2
2
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
3
dy =
dx
2 3x + 2
Câu 4. Cho hàm số y = x3 − 9 x 2 + 12 x − 5 . Vi phân của hàm số là:
2
A. dy = ( 3 x − 18 x + 12 ) dx .

C. dy = − ( 3x − 18 x + 12 ) dx .

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
2

1
dx
3x + 2
3
dx
3x + 2

2
B. dy = ( −3 x − 18 x + 12 ) dx .

2
D. dy = ( −3x + 18 x − 12 ) dx .

Trang 1


Đạo hàm – ĐS> 11

– Website chuyên đề thi tài liệu file word
Ta có dy = ( x3 − 9 x 2 + 12 x − 5 ) ′ dx = ( 3 x 2 − 18 x + 12 ) dx .
Câu 5. Tìm vi phân của các hàm số y = (3x + 1)10
A. dy = 10(3 x + 1) 9 dx

B. dy = 30(3x + 1)10 dx

C. dy = 9(3 x + 1)10 dx

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
dy = 30(3x + 1)9 dx .

D. dy = 30(3 x + 1)9 dx

Câu 6. Tìm vi phân của các hàm số y = sin 2 x + sin 3 x
2
A. dy = ( cos 2 x + 3sin x cos x ) dx

2
C. dy = ( 2 cos 2 x + sin x cos x ) dx
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
dy = ( 2 cos 2 x + 3sin 2 x cos x ) dx

Câu 7. Tìm vi phân của các hàm số y = tan 2 x
A. dy = (1 + tan 2 2 x)dx
C. dy = 2(1 − tan 2 2 x)dx
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
dy = 2(1 + tan 2 2 x) dx

2
B. dy = ( 2 cos 2 x + 3sin x cos x ) dx

2
D. dy = ( cos 2 x + sin x cos x ) dx

B. dy = (1 − tan 2 2 x)dx

D. dy = 2(1 + tan 2 2 x)dx

Câu 8. Tìm vi phân của các hàm số y = 3 x + 1
1
dx
A. dy = 3
( x + 1) 2
2
dx
C. dy = 3
( x + 1) 2
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
1
dy =
dx
3 3 ( x + 1)2

B. dy =
D. dy =

3
3

( x + 1) 2
1

dx

3 3 ( x + 1)2

dx

Câu 9. Xét hàm số y = f ( x ) = 1 + cos 2 2 x . Chọn câu đúng:
A. df ( x ) =

− sin 4 x

dx .

2 1 + cos 2 2 x
cos 2 x
dx .
C. df ( x) =
1 + cos 2 2 x
Hướng dẫn giải:
Chọn B.

B. df ( x ) =
D. df ( x) =

Trang 2

− sin 4 x
1 + cos 2 2 x
− sin 2 x

dx .

2 1 + cos 2 2 x

dx .


Đạo hàm – ĐS> 11

– Website chuyên đề thi tài liệu file word
Ta có : dy = f ′ ( x ) dx =

( 1 + cos

2

2x) ′

dx =

−4 cos 2 x.sin 2 x
2 1 + cos 2 x
2

dx =

2 1 + cos 2 x
Câu 10. Cho hàm số y = x 3 − 5 x + 6 . Vi phân của hàm số là:
2

2
A. dy = ( 3 x − 5 ) dx .

1
A. dy = dx .
4
Hướng dẫn giải:
Chọn C.

1 + cos 2 2 x

dx .

2
B. dy = − ( 3 x − 5 ) dx .

2
C. dy = ( 3 x + 5 ) dx .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có dy = ( x 3 − 5 x + 6 ) ′ dx = ( 3 x 2 − 5 ) dx .

Câu 11. Cho hàm số y =

− sin 4 x

2
D. dy = ( 3x − 5 ) dx .

1
. Vi phân của hàm số là:
3x3
1

1
B. dy = 4 dx .
C. dy = − 4 dx .
x
x

D. dy = x 4dx .

1 3x 2
1
 1 ′
Ta có dy =  3 ÷ dx = . 3 2 = − 4 dx .
3 (x )
x
 3x 
Câu 12. Cho hàm số y =
A. dy =
C. dy =

dx

( x − 1)

3dx

2

.

B. dy =

2

.

D. dy = −

−3dx

( x − 1)

x+2
. Vi phân của hàm số là:
x −1

( x − 1)

2

.

dx

( x − 1)

2

.

Hướng dẫn giải:

Chọn C.
3
 x + 2 ′
dx .
Ta có dy = 
÷ dx = −
2
 x −1 
( x − 1)

Câu 13. Cho hàm số y =

x2 + x + 1
. Vi phân của hàm số là:
x −1

x2 − 2x − 2
dx .
( x − 1) 2
2x +1
dx .
C. dy = −
( x − 1) 2
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
A. dy = −

B. dy =

2x +1

dx .
( x − 1) 2

D. dy =

x2 − 2x − 2
dx .
( x − 1) 2

Trang 3


Đạo hàm – ĐS> 11

– Website chuyên đề thi tài liệu file word
2
2
 x 2 + x + 1 ′ = ( 2 x + 1) ( x − 1) − ( x + x + 1) dx = x − 2 x − 2 dx
Ta có dy = 
.
2
2
÷ dx
( x − 1)
( x − 1)
 x −1 
Câu 14. Cho hàm số y = sin x − 3cos x . Vi phân của hàm số là:

A. dy = ( − cos x + 3sin x ) dx .

C. dy = ( cos x + 3sin x ) dx .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có dy = ( sin x − 3cos x ) ′ dx = ( cos x + 3sin x ) dx .

B. dy = ( − cos x − 3sin x ) dx .

D. dy = − ( cos x + 3sin x ) dx .

Câu 15. Cho hàm số y = sin 2 x . Vi phân của hàm số là:
A. dy = – sin 2 x dx .
B. dy = sin 2 x dx .
C. dy = sin x dx .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có dy = d sin 2 x = sin 2 x ′ dx = cos x.2sin xdx = sin 2 xdx .

(

) (

)

Câu 16. Vi phân của hàm số y =
A. dy =

D. dy = 2cosx dx .

tan x
là:

x

2 x
dx .
4 x x cos 2 x

B. dy =

sin(2 x )
dx .
4 x x cos 2 x

2 x − sin(2 x )
2 x − sin(2 x )
d
x
d
y
=
−
dx .
.
D.
4 x x cos 2 x
4 x x cos 2 x
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
1
1
1

. 2
. x − tan x .
′


2 x dx
Ta có dy = tan x dx = 2 x cos x

÷
÷
x
x 

C. dy =

1
1
sin x 1  1
x − sin x cos x
=  .
−
.
dx
=
.dx
÷
2
2
÷x
2

cos
x
cos
x
2
x
2
x
x
.cos
x



2 x − sin 2 x
.dx
4 x x .cos 2 x
Câu 17. Hàm số y = x sin x + cos x có vi phân là:
A. dy = ( x cos x – sin x ) dx .
=

B. dy = ( x cos x ) dx .

C. dy = ( cos x – sin x ) dx ..
D. dy = ( x sin x ) dx .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có dy = ( x sin x + cos x ) ′ dx = ( sin x + x cos x − sin x ) dx = ( x cos x ) dx .

Trang 4

Đạo hàm – ĐS> 11

– Website chuyên đề thi tài liệu file word
Câu 18. Hàm số y =
A. dy =

x
. Có vi phân là:
x +1
2

1 − x2
dx
( x 2 + 1) 2

1 − x2
dx
C. dy = 2
( x + 1)
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
x ′
x2 + 1 − 2 x2
1 − x2
Ta có dy =  2 ÷ dx =
=
dx .
( x 2 + 1)2

( x 2 + 1) 2
 x +1

B. dy =

2x
dx
( x + 1)

D. dy =

1
dx
( x + 1) 2

2

2

Câu 19. Cho hàm số y = f ( x ) = ( x − 1) . Biểu thức nào sau đây là vi phân của hàm số đã cho?
2

A. dy = 2 ( x − 1) dx .

B. dy = 2 ( x − 1) .

C. dy = ( x − 1) dx .
D. dy = ( x − 1) dx .
Hướng dẫn giải:
Chọn A

2
y = f ( x ) = ( x − 1) ⇒ y′ = 2 ( x − 1) ⇒ dy = 2 ( x − 1) dx
2

2
Câu 20. Vi phân của hàm số f ( x ) = 3x − x tại điểm x = 2 , ứng với ∆x = 0,1 là:
A. −0, 07 .
B. 10 .
C. 1,1 .
D. −0, 4 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Ta có: f ′ ( x ) = 6 x − 1 ⇒ f ′ ( 2 ) = 11

df ( 2 ) = f ′ ( 2 ) ∆x = 11.0,1 = 1,1

Câu 21. Vi phân của y = cot ( 2017 x ) là:
A. dy = −2017 sin ( 2017 x ) dx.

2017
dx.
cos ( 2017 x )
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
C. dy = −

2

y = cot ( 2017 x ) ⇒ y′ = −

B. dy =

2017
dx.
sin ( 2017 x )

D. dy = −

2

2017
dx.
sin ( 2017 x )
2

2017
2017
⇒ dy = − 2
dx
sin ( 2017 x )
sin ( 2017 x )
2

x2 + x + 1
Câu 22. Cho hàm số y =
. Vi phân của hàm số là:
x −1
2x + 1
x2 − 2 x − 2
dx

dx
A. dy = −
B. dy =
2
( x − 1) 2
( x − 1)

Trang 5


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Đạo hàm – ĐS> 11

2x +1
x2 − 2x − 2
d
x
d
y
=
dx
D.
( x − 1) 2
( x − 1) 2
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
 x 2 + x + 1 ′
x2 − 2x − 2
dy = 

d
x
=
dx
÷
( x − 1) 2
 x −1 
x+3
Câu 23. Cho hàm số y =
. Vi phân của hàm số tại x = −3 là:
1− 2x
1
1
A. dy = dx.
B. dy = 7dx.
C. dy = − dx.
7
7
Hướng dẫn giải:
Chọn A
7
1
⇒ y′ ( −3) =
2
Ta có y ′ =
7
( 1− 2x )
C. dy = −

1

Do đó dy = dx
7
Câu 24. Vi phân của y = tan 5 x là :
5x
5
dx.
A. dy =
B. dy = − 2 dx.
2
cos 5 x
sin 5 x
5
5
dx.
dx.
C. dy =
D. dy = −
2
cos 5 x
cos 2 5 x
Hướng dẫn giải:
Chọn C
5
y = tan 5 x ⇒ y ′ =
cos 2 5 x
5
dx
Do đó dy =
cos 2 5 x
( x − 1) 2

Câu 25. Hàm số y = f ( x ) =
. Biểu thức 0, 01. f '(0, 01) là số nào?
x
A. 9.
B. -9.
C. 90.

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
( x − 1) 2
1
1
y = f ( x) =
⇒ y′ =
− 2 ⇒ y ′ ( 0, 01) = −9000
x
x x x
Do đó 0, 01. f '(0, 01) = −90
Câu 26. Cho hàm số y = sin(sin x) .Vi phân của hàm số là:
A. dy = cos(sin x).sin xdx .
B. dy = sin(cos x)dx .
C. dy = cos(sin x).cos xdx .
D. dy = cos(sin x)dx .
Hướng dẫn giải:
Trang 6

D. dy = −7dx.

D. -90.

Đạo hàm – ĐS> 11

– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Chọn C.
Ta có: y ' = (sin x) '.cos(sin x) = cos x.cos(sin x) nên dy = cos x.cos(sin x)dx
 x 2 − x khi x ≥ 0
Câu 27. Cho hàm số f ( x) = 
. Kết quả nào dưới đây đúng?
khi x < 0
2 x

( )

x2 − x
= lim+ ( x − 1) = −1 .
x→0
x →0
x
= lim− 2 x = 0 .

B. f ′ ( 0+ ) = lim+

A. df (0) = −dx .

(

)

( )

+
x2 − x = 0 .
C. f ′ 0 = xlim
+
→0

−
D. f ′ 0

x→0

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có: f ′ ( 0+ ) = lim+
x→0

x2 − x
= lim+ ( x − 1) = −1 ;
x→0
x

2x
= 2 và hàm số không có vi phân tại x = 0
x →0 x
Câu 28. Cho hàm số y = cos 2 2 x . Vi phân của hàm số là:
A. dy = 4 cos 2 x sin 2 xdx .
B. dy = 2 cos 2 x sin 2 xdx .
C. dy = −2 cos 2 x sin 2 xdx .

D. dy = −2sin 4 xdx .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
2
Ta có : dy = d ( cos 2 x ) = 2 cos 2 x.(cos 2 x) 'dx = −4 cos 2 x.sin 2 xdx = −2sin 4 xdx
f ′ ( 0− ) = lim−

 x 2 + x khi x ≥ 0
f
(
x
)
=
Câu 29. Cho hàm số
. Khẳng định nào dưới đây là sai?

khi x < 0
x
+
−
A. f ′ ( 0 ) = 1 .
B. f ′ ( 0 ) = 1 .

C. df (0) = dx .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

D. Hàm số khơng có vi phân tại x = 0 .

x

x2 + x
−
= lim+ ( x + 1) = 1 và f ′ ( 0 ) = lim− = 1 và df (0) = dx
x
→
0
x →0
x →0
x
x
2
Câu 30. Cho hàm số y = f ( x) = 1 + cos 2 x . Chọn kết quả đúng:
− sin 4 x
− sin 4 x
dx .
dx .
A. df ( x ) =
B. df ( x) =
2
2 1 + cos 2 x
1 + cos 2 2 x
cos 2 x
− sin 2 x
dx .
dx .
C. df ( x) =
D. df ( x ) =
2
1 + cos 2 x
1 + cos 2 2 x

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
(1 + cos 2 2 x) '
−2.2 cos 2 x.sin 2 x
− sin 4 x
2
dx =
dx =
dx
Ta có : dy = df ( x) = d 1 + cos 2 x =
2
2
2 1 + cos 2 x
2 1 + cos 2 x
1 + cos 2 2 x
Câu 31. Cho hàm số y = tan x . Vi phân của hàm số là:

Ta có: f ′ ( 0+ ) = lim+

(

)

Trang 7


Đạo hàm – ĐS> 11

– Website chuyên đề thi tài liệu file word
A. dy =

C. dy =

1
2

2 x cos x
1

2 x cos x
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

dx .

B. dy =

dx .

D. dy =

1
x cos 2 x
1

dx .

2 x cos 2 x

dx .


1 
1
dx
Ta có : dy = d tan x = 
÷.( x ) 'dx =
2
2 x .cos 2 x
 cos x 
2x + 3
Câu 32. Vi phân của hàm số y =
là :
2x −1
8
4
dx .
dx .
A. dy = −
B. dy =
2
2
( 2 x − 1)
( 2 x − 1)
4
7
dx .
dx .
C. dy = −
D. dy = −
2

2
( 2 x − 1)
( 2 x − 1)
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
−8
 2x + 3 
dx
Ta có : dy = d 
÷=
2
 2 x − 1  (2 x − 1)

(

)

1 − x2
. Vi phân của hàm số là:
1 + x2
−4
−4
dx .
dx .
dx .
B. dy =
C. dy =
2 2
1 + x2
(1+ x )

Câu 33. Cho hàm số y =
A. dy =

−4 x

(1+ x )

2 2

D. dy =

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
 1 − x2 
−4 x
=
dx
Ta có : dy = d 
2 ÷
2 2
 1 + x  (1 + x )
Câu 34. Cho hàm số f ( x) = cos 2 x . Khi đó
sin 2 x
sin 2 x
dx .
dx .
A. d  f ( x )  =
B. d  f ( x )  =
2 cos 2 x

cos 2 x
− sin 2 x
− sin 2 x
dx .
dx .
C. d  f ( x )  =
D. d  f ( x )  =
2 cos 2 x
cos 2 x
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
(cos 2 x) '
− sin 2 x
dx =
dx
Ta có : df ( x) = d cos 2 x =
2 cos 2 x
cos 2 x

(

)

Trang 8

−dx

(1+ x )

2 2

.


Đạo hàm – ĐS> 11

– Website chuyên đề thi tài liệu file word

ĐẠO HÀM CẤP CAO CỦA HÀM SỐ
A – LÝ THUYẾT TĨM TẮT
• Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số f có đạo hàm f ' . Nếu f ' cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được
gọi là đạo hàm cấp hai của f và được kí hiệu là: f '' , tức là: f '' = ( f ') ' .
• Đạo hàm cấp n : Cho hàm số f có đạo hàm cấp n − 1 (với n ∈ ¥ , n ≥ 2 ) là f ( n −1) . Nếu f ( n −1) cũng có
đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f và được kí hiệu là f ( n ) , tức là:

f ( n ) = ( f ( n −1) ) ' .
Để tính đạo hàm cấp n:
• Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, ..., từ đó dự đốn cơng thức đạo hàm cấp n.
• Dùng phương pháp quy nạp tốn học để chứng minh cơng thức đúng.

B – BÀI TẬP
Câu 1. Hàm số y =
A. y′′ = 0 .

x
có đạo hàm cấp hai là:
x−2
1
B. y ′′ =
2 .

( x − 2)

C. y ′′ = −

4

( x − 2)

2

.

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
 −2 ′
x ′
−2

2 ( x − 2)
4
Ta có y ′ = 
=
÷ = 2.
÷=
2 ; y ′′ = 
2
4
3
 ( x − 2) ÷
 x − 2  ( x − 2)

( x − 2) ( x − 2)



(

)

Câu 2. Hàm số y = x 2 + 1
2
A. y′′′ = 12 ( x + 1) .

3

có đạo hàm cấp ba là:

2
C. y′′′ = 24 ( 5 x + 3) .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có y = x 6 + 3x 4 + 3x 2 + 1 ; y ′ = 6 x 5 + 12 x 3 + 6 x

2
B. y ′′′ = 24 ( x + 1) .

2
D. y′′′ = –12 ( x + 1) .

3
2

y ′′ = 30 x 4 + 36 x 2 + 6 ; y′′′ = 120 x + 72 x = 24 ( 5 x + 3) .

Câu 3. Hàm số y = 2 x + 5 có đạo hàm cấp hai bằng:
1
1
A. y′′ =
.
B. y ′′ =
.
(2 x + 5) 2 x + 5
2x + 5
1
1
C. y ′′ = −
.
D. y ′′ = −
.
(2 x + 5) 2 x + 5
2x + 5
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Trang 9

D. y ′′ =

4

( x − 2)

3

.


Đạo hàm – ĐS> 11

– Website chuyên đề thi tài liệu file word

y ′′ = −

(

(

)

′
2x + 5 =

2
1
=
2 2x + 5
2x + 5
2
′
2x + 5
1
.
= − 2 2x + 5 = −

2x + 5
2x + 5
( 2 x + 5) 2 x + 5

Ta có y ′ =

)

Câu 4. Hàm số y =

x2 + x + 1
có đạo hàm cấp 5 bằng:
x +1

120
120
(5)
B. y =
.
6 .
( x + 1)
( x + 1)6
1
1
(5)
(5)
C. y =
D. y = −
.
6 .

( x + 1)
( x + 1)6
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
1 ⇒ y′ = 1 − 1
Ta có y = x +
2 .
( x + 1)
x +1
2
−6
24
120
(5)
⇒ y′′ =
⇒ y ( 3) =
⇒ y ( 4) =
=−
3
4
5 ⇒ y
.
( x + 1)6
( x + 1)
( x + 1)
( x + 1)
(5)
A. y = −

x2 + x + 1

có đạo hàm cấp 5 bằng :
x +1

Câu 5. Hàm số y =
( 5)
A. y = −
( 5)
C. y =

120

( x + 1)
1

( x + 1)

5

6

( 5)
B. y =

.

120

( x + 1)

( 5)

D. y = −

.

5

.

1

( x + 1)

5

.

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
x2 + x + 1
1
Ta có: y =
.
= x+
x +1
x +1
1
2
6
24
120

4
5
⇒ y′ = 1 −
y′′ =
y ′′′ = −
y( ) =
y( ) = −
2 ;
3 ;
4 ;
5 ;
6 .
( x + 1)
( x + 1)
( x + 1)
( x + 1)
( x + 1)
Câu 6. Hàm số y = x x 2 + 1 có đạo hàm cấp 2 bằng :
A. y ′′ = −
C. y′′ =

2 x3 + 3x

(1+ x )
2

1 + x2

2 x 3 + 3x

( 1+ x )
2

1+ x2

.

.

B. y′′ =

2x2 + 1

D. y ′′ = −

Hướng dẫn giải:
Chọn C.

Trang 10

1 + x2

.

2 x2 + 1
1 + x2

.

Đạo hàm – ĐS> 11

– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Ta có: y ′ = x + 1 + x

x

2

x +1
2

=

2 x2 + 1
x +1
2

; y ′′ =

4 x x 2 + 1 − ( 2 x 2 + 1)
x2 + 1

x
x +1 =
2

2 x3 + 3x

( 1+ x )
2

1 + x2

Câu 7. Hàm số y = ( 2 x + 5 ) có đạo hàm cấp 3 bằng :
5

A. y ′′′ = 80 ( 2 x + 5 ) .

B. y′′′ = 480 ( 2 x + 5 ) .

3

2

C. y′′′ = −480 ( 2 x + 5 ) .
D. y′′′ = −80 ( 2 x + 5 ) .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
4
4
3
2
Ta có: y ′ = 5 ( 2 x + 5 ) ×2 = 10 ( 2 x + 5 ) ; y ′′ = 80 ( 2 x + 5 ) ; y ′′ = 480 ( 2 x + 5 ) .
Câu 8. Hàm số y = tan x có đạo hàm cấp 2 bằng :
2sin x
1
1
A. y ′′ = −

.
B. y′′ =
.
C. y ′′ = −
.
3
2
cos x
cos x
cos 2 x
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
1
2cosx ( −sinx ) 2sinx
′′
Ta có: y′ =
=
2 . y =−
cos x
cos 4 x
cos3 x
Câu 9. Cho hàm số y = sinx . Chọn câu sai.
π

A. y′ = sin  x + ÷.
B. y ′′ = sin ( x + π ) .
2

3π 


( 4)
C. y ′′′ = sin  x +
D. y = sin ( 2π − x ) .
÷.
2 

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
π

π

Ta có: y ′ = cosx = sin  + x ÷ ; y ′′ = cos  + x ÷ = sin ( π + x ) .
2

2

 3π

 3π

y′′′ = cos ( π + x ) = sin 
+ x ÷; y ( 4) = cos 
+ x ÷ = sin ( 2π + x ) .
 2

 2

2
−2 x + 3 x

Câu 10. Hàm số y =
có đạo hàm cấp 2 bằng :
1− x
1
2
−2
A. y ′′ = 2 +
2 .
B. y′′ =
3 .
C. y′′ =
3 .
( 1− x)
( 1− x)
( 1− x)
2

3

D. y′′ =

2sin x
.
cos3 x

D. y′′ =

2

( 1− x)

4

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
2
1 ⇒ y′ = 2 + 1
2 ; y ′′ =
.
(1 − x)3
( 1− x)
1− x
π

 π
( 4)
Câu 11. Hàm số y = f ( x ) = cos  2 x − ÷ . Phương trình f ( x ) = −8 có nghiệm x ∈ 0;  là:
3

 2

Ta có: y = 2 x − 1 +

Trang 11

.


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
A. x =

π
.
2

C. x = 0 và x =

Đạo hàm – ĐS> 11

π
.
6
π
D. x = 0 và x = .
2
B. x = 0 và x =

π
.
3

Hướng dẫn giải:
Chọn A.

π
π
π  ( 4)
π





Ta có: y ′ = −2sin  2 x − ÷. y ′′ = −4cos  2 x − ÷. y′′′ = 8sin  2 x − ÷ . y = 16cos  2 x − ÷
3
3
3
3




π
π
1


( 4)
Khi đó : f ( x ) = −8 ⇔ 16cos  2 x − ÷ = −8 ⇔ cos  2 x − ÷ = −
3
3
2


π 2π
π


 π
 2 x − 3 = 3 + k 2π
 x = 2 + kπ

x∈ 0; 
π
 2
⇔
⇔

→x = .
π
π
2
π
2
2x − = −
 x = − + kπ
+ k 2π


6
3
3
Câu 12. Cho hàm số y = sin2x . Chọn khẳng định đúng
2
A. 4 y − y′ = 0 .
B. 4 y + y′′ = 0 .
C. y = y′ tan 2 x .
D. y 2 = ( y′ ) = 4 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có: y′ = 2cos2x ; y′′ = −4sin2x . ⇒ 4 y + y′′ = 0 .
1

Câu 13. Cho hàm số y = f ( x ) = − . Xét hai mệnh đề :
x
2
6
( I ) : y′′ = f ′′ ( x ) = 3 .
( II ) : y′′′ = f ′′′ ( x ) = − 4 .
x
x
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ ( I ) đúng.
B. Chỉ ( II ) đúng.
C. Cả hai đều đúng.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
1
2
6
Ta có: y′ = 2 ; y′′ = − 3 ; y ′′′ = 4 .
x
x
x
2sin x
Câu 14. Nếu f ′′ ( x ) =
thì f ( x ) bằng
cos3 x
1
1
A.
.
B. −

.
C. cot x .
cos x
cos x
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
1 ′ −2cosx ×( −sinx ) = 2sinx
Vì: ( tan x ) ′′ = 
.
=
2 ÷
cos3 x
cos 4 x
 cos x 
− x2 + x + 2
Câu 15. Cho hàm số y = f ( x ) =
. Xét hai mệnh đề :
x −1

Trang 12

D. Cả hai đều sai.

D. tan x .


Đạo hàm – ĐS> 11

– Website chuyên đề thi tài liệu file word

( I ) : y′ = f ′ ( x )

= −1 −

Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ ( I ) đúng.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

2
< 0, ∀x ≠ 1 .
( x − 1) 2

( II ) : y′′ =

B. Chỉ ( II ) đúng.

f ′′ ( x ) =

4
> 0, ∀x ≠ 1 .
( x − 1) 2

C. Cả hai đều đúng.

D. Cả hai đều sai.

4
2 ⇒ y′ = −1 − 2
− x2 + x + 2

y′′ =
= −x +
Ta có: y = f ( x ) =
2 ;
3 .
( x − 1)
( x − 1)
x −1
x −1
3
Câu 16. Cho hàm số f ( x ) = ( x + 1) . Giá trị f ′′ ( 0 ) bằng
A. 3 .
B. 6 .
C. 12 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
2
Vì: f ′ ( x ) = 3 ( x + 1) ; f ′′ ( x ) = 6 ( x + 1) ⇒ f ′′ ( 0 ) = 6 .
π 
3
2
Câu 17. Cho hàm số f ( x ) = sin x + x . Giá trị f ′′  ÷ bằng
2
A. 0 .
B. −1 .
C. −2 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.

D. 24 .

D. 5 .

π 
2
2
3
Vì: f ′ ( x ) = 3sin xcosx + 2 x ; f ′′ ( x ) = 6sinxcos x − 3sin x + 2 ⇒ f ′′  ÷ = −1 .
2
3
Câu 18. Cho hàm số f ( x ) = 5 ( x + 1) + 4 ( x + 1) . Tập nghiệm của phương trình f ′′ ( x ) = 0 là

A. [ −1; 2] .
B. ( −∞; 0] .
C. { −1} .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
2
Vì: f ′ ( x ) = 15 ( x + 1) + 4 ; f ′′ ( x ) = 30 ( x + 1) ⇒ f ′′ ( x ) = 0 ⇔ x = −1 .
1
Câu 19. Cho hàm số y =
. Khi đó :
x −3
3
1
3
A. y′′′ ( 1) = .
B. y′′′ ( 1) = .
C. y′′′ ( 1) = − .
8

8
8
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
1
2
6
3
y′′ =
y′′′ = −
Vì: y ′ = −
2 ;
3 ;
4 ⇒ y ′′′ ( 1) = −
.
( x − 3)
( x − 3)
( x − 3)
8

D. ∅ .

1
D. y′′′ ( 1) = − .
4

5
Câu 20. Cho hàm số y = ( ax + b ) với a , b là tham số. Khi đó :

( 10)

A. y ( 1) = 0 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

( 10 )
B. y ( 1) = 10a + b .

( 10)
C. y ( 1) = 5a .

Trang 13

( 10 )
D. y ( 1) = 10a .


Đạo hàm – ĐS> 11

– Website chuyên đề thi tài liệu file word

( 4)
4
Vì: y ′ = 5a ( ax + b ) ; y ′′ = 20a 2 ( ax + b ) ; y′′′ = 60a 3 ( ax + b ) ; y = 120a ( ax + b ) ; y ( 5) = 120a 5 ;
4

y( ) = 0 ⇒ y(
6

10 )

(
= 0 . Do đó y

3

10 )

2

( 1) = 0

( 4)  π 
Câu 21. Cho hàm số y = sin 2 2x . Tính y  ÷ bằng:
6
A. 64 .
B. −64 .
C. 64 3 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Vì: y ′ = 2sin2x ( 2cos2x ) = 2sin4x ; y′′ = 8cos4x ; y ′′′ = −32sin4x ;

D. −64 3 .

( 4)  π 
y ( 4) = −128cos4x ⇒ y  ÷ = 64 3 .
6

Câu 22. Cho hàm số y = sin2x . Tính y ''
A. y '' = − sin 2 x
C. y '' = sin 2 x

B. y '' = −4sin x
D. y '' = −4sin 2 x

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có y ' = 2 cos 2 x ⇒ y '' = −4sin 2 x

π
(4) π
Câu 23. Cho hàm số y = sin2x . Tính y '''( ) , y ( )
3
4
A. 4 và 16
B. 5 và 17
C. 6 và 18
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có y ''' = −8cos 2 x, y (4) = 16sin 2 x
π
2π
π
π
= 4; y (4) ( ) = 16sin = 16 .
Suy ra y '''( ) = −8cos
3
3
4
2
Câu 24. Cho hàm số y = sin2x . Tính y ( n )

π
π
(n)
n
(n )
n
A. y = 2 sin(2 x + n )
B. y = 2 sin(2 x + )
3
2
π
π
(n)
n
(n)
n
C. y = 2 sin( x + )
D. y = 2 sin(2 x + n )
2
2
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
π
π
π
2
3
Ta có y ' = 2sin(2 x + ), y '' = 2 sin(2 x + 2 ) , y ''' = 2 sin(2 x + 3 )
2

2
2
π
(n)
n
Bằng quy nạp ta chứng minh y = 2 sin(2 x + n )
2

Trang 14

D. 7 và 19


Đạo hàm – ĐS> 11

– Website chuyên đề thi tài liệu file word

π
1
Với n = 1 ⇒ y ' = 2 sin(2 x + ) đúng
2
π
(k )
k
Giả sử y = 2 sin(2 x + k ) ,
2
π
π

) = 2 k +1 sin  2 x + (k + 1) ÷

2
2

Theo ngun lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.
( k +1)
= ( y ( k ) ) ' = 2k +1 cos(2 x + k
suy ra y

Câu 25. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y =
(n)
A. y =

2x +1
x+2

(1)n −1.3.n !
( x + 2) n +1

( −1) n −1.3.n !
( x − 2) n +1
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
(n)
C. y =

(n)
B. y =

(−1)n −1.n !
( x + 2) n +1

( n)
D. y =

( −1) n −1.3.n !
( x + 2) n +1

'

3 ( x + 2) 2 
3
−3.2
Ta có y ' =
, y '' = −
=
2
4
( x + 2)
( x + 2)
( x + 2)3
3.2.3
( −1) n −1.3.n !
(n)
y ''' =
y
=
.
Ta
chứng
minh

( x + 2) 4
( x + 2) n +1
• Với n = 1 ⇒ y ' =
• Giả sử y ( k ) =

(−1)0 .3
3
=
đúng
2
( x + 2)
( x + 2) 2

(−1) k −1.3.k !
( x + 2) k +1

(−1) k −1.3.k !. ( x + 2) k +1  '

(−1) k .3.(k + 1)!
( x + 2)2 k + 2
( x + 2) k + 2
Theo ngun lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.
1
,a ≠ 0
Câu 26. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y =
ax + b
(2) n .a n .n !
(−1) n .a n .n !
(n)
(n)

y
=
A. y =
B.
(ax + b) n +1
( x + 1) n +1
⇒y

( k +1)

=( y

(k )

)'=−

=

(−1) n .n !
(ax + b) n +1
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
−a
a 2 .2
−a 3 .2.3
,
y
''
=
,

y
'''
=
Ta có y ' =
(ax + b) 2
(ax + b)3
(ax + b) 4
(n)
C. y =

(n)
D. y =

Trang 15

(−1) n .a n .n !
(ax + b)n +1


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
(n)
Ta chứng minh: y =

• Với n = 1 ⇒ y ' =
• Giả sử y ( k ) =

Đạo hàm – ĐS> 11

(−1) n .a n .n !
(ax + b)n +1

(−1)1.a1.1!
a
=−
đúng
2
(ax + b)
(ax + b) 2

( −1) k .a k .k !
(ax + b)k +1

(−1) k .a k .k !.  (ax + b) k +1  '

(−1) k +1.a k +1.(k + 1)!
(ax + b) 2 k + 2
( x + 2)k + 2
Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.
2x +1
Câu 27. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = 2
x − 5x + 6
n
n
(2) .7.n ! (1) .5.n !
( −1) n +1.7.n ! (−1) n +1.5.n !
(n)
(n)
−
y
=

−
A. y =
B.
( x − 2) n+1 ( x − 3) n +1
( x − 2) n +1
( x − 3) n +1
(−1) n .7.n ! (−1) n .5.n !
(−1) n .7.n ! ( −1) n .5.n !
(n)
(n)
−
y
=
−
C. y =
D.
( x − 2) n
( x − 3) n
( x − 2) n +1 ( x − 3) n +1
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: 2 x + 1 = 7( x − 2) − 5( x − 3) ; x 2 − 5 x + 6 = ( x − 2)( x − 3)
7
5
−
Suy ra y =
.
x −3 x −2
(n)
( n)

(−1) n .1n.n ! ( −1) n .n !  1 
( −1) n .n!
 1 
Mà 
=
=
,
=
÷

÷
( x − 2) n +1 ( x − 2) n +1  x − 2 
( x − 3) n +1
 x−2
(−1) n .7.n ! ( −1) n .5.n !
( n)
−
Nên y =
.
( x − 2) n +1 ( x − 3) n +1
Câu 28. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = cos 2 x
π
π
n


( n)
(n)
n
A. y = ( −1) cos  2 x + n ÷

B. y = 2 cos  2 x + ÷
2
2


π
π


(n)
n +1
(n)
n
C. y = 2 cos  2 x + n ÷
D. y = 2 cos  2 x + n ÷
2
2


Hướng dẫn giải:
Chọn D.
π
π


2
Ta có y ' = 2 cos  2 x + ÷, y '' = 2 cos  2 x + 2 ÷,
2
2



π

y ''' = 23 cos  2 x + 3 ÷.
2

π

(n)
n
Bằng quy nạp ta chứng minh được y = 2 cos  2 x + n ÷ .
2

⇒y

( k +1)

=( y

(k )

) '= −

=

Trang 16


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Đạo hàm – ĐS> 11

Câu 29. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = 2 x + 1
A. y

(n)

=

(n)
C. y =

(−1) n +1.3.5...(3n − 1)

B. y

(2 x + 1) 2 n −1
(−1) n +1.3.5...(2n − 1)

(n)

=

(n)
D. y =

(2 x + 1) 2 n +1

(−1) n −1.3.5...(2n − 1)
(2 x + 1) 2 n −1

(−1) n +1.3.5...(2n − 1)
(2 x + 1)2 n −1

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
1
1
3
, y '' = −
, y ''' =
Ta có y ' =
3
2x +1
(2 x + 1)
(2 x + 1)5
(n)
Bằng quy nạp ta chứng minh được: y =

(−1) n +1.3.5...(2n − 1)

Câu 30. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y =
(n)
A. y =

(2 x + 1) 2 n −1
2x +1
x − 3x + 2
2

5.(−1) n .n ! 3.( −1) n .n !

+
( x − 2) n +1 ( x − 1) n +1

5.(−1)n .n ! 3.(−1) n .n !
:
( x − 2)n +1 ( x − 1) n+1
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
5
3
−
Ta có: y =
x − 2 x −1
(n)
C. y =

Bằng quy nạp ta chứng minh được: y

(n)

A. y

(−1) n .3.n ! ( −1) n .2.n !
=
+
( x + 3) n +1 ( x + 2) n +1

5.(−1) n .n ! 3.(−1) n .n !
−
( x + 2) n +1 ( x − 1) n +1

(n)
D. y =

5.(−1) n .n ! 3.(−1) n .n !
−
( x − 2) n +1 ( x − 1) n +1

5.(−1) n .n ! 3.( −1) n .n !
=
−
.
( x − 2) n +1 ( x − 1) n+1

Câu 31. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y =
(n)

(n)
B. y =

x
x + 5x + 6
2

B. y

(n)

(−1) n .3.n ! (−1) n .2.n !
=

−
( x + 3) n
( x + 2) n

(−1) n .3.n ! ( −1) n .2.n !
(−1) n .3.n ! (−1) n .2.n !
(n)
−
y
=
−
D.
( x + 3) n −1 ( x + 2) n −1
( x + 3) n +1 ( x + 2) n +1
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: x = 3( x + 2) − 2( x + 3) ; x 2 + 5 x + 6 = ( x + 2)( x + 3)
3
2
−
Suy ra y =
.
x+3 x+2
(n)
(n)
( −1) n .1n.n ! ( −1) n .n !  1 
( −1) n .n !
 1 
Mà 
=

=
,
=
÷

÷
( x + 2) n +1 ( x + 2) n +1  x + 3 
( x +) n +1
 x+2
(n)
C. y =

Trang 17


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
(n)
Nên ta có: y =

Đạo hàm – ĐS> 11

(−1) n .3.n ! (−1) n .2.n !
−
.
( x + 3) n +1 ( x + 2) n +1

Câu 32. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = cos 2 x
π
π



(n)
n +1
(n)
n −1
A. y = 2 cos  2 x + n ÷
B. y = 2 cos  2 x + n ÷
2
2


π
π


(n)
n
(n)
n
C. y = 2 cos  2 x + ÷
D. y = 2 cos  2 x + n ÷
2
2


Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có :
π
π

π



y ' = 2 cos  2 x + ÷, y '' = 2 2 cos  2 x + 2 ÷, y ''' = 23 cos  2 x + 3 ÷.
2
2
2



π

(n)
n
Bằng quy nạp ta chứng minh được y = 2 cos  2 x + n ÷ .
2


Trang 18


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Đạo hàm – ĐS> 11

Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
Ý nghĩa vật lí :
• Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình : s = s ( t ) tại thời điểm t0 là

v ( t0 ) = s ' ( t 0 ) .

• Cường độ tức thời của điện lượng Q = Q ( t ) tại thời điểm t0 là : I ( t0 ) = Q ' ( t0 ) .

Câu 1. Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = t 3 − 3t 2 + 5t + 2 , trong đó t tính bằng giây
và s tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi t = 3 là:
A. 24m / s 2 .
B. 17 m / s 2 .
C. 14m / s 2 .
D. 12m / s 2 .
Hướng dẫn giải:
Đáp án D
Ta có gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t bằng đạo hàm cấp hai của phương trình chuyển
động tại thời điểm t .
s′ = t 3 − 3t 2 + 5t + 2 ′ = 3t 2 − 6t + 5

(

)

s′′ = 6t − 6 ⇒ s′′ ( 3 ) = 12

Câu 2. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = t 3 − 3t 2 − 9t + 2 ( t tính bằng giây; s tính
bằng mét). Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. Vận tốc của chuyển động bằng 0 khi t = 0 hoặc t = 2 .
B. Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2 là v = 18 m / s .
C. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 3 là a = 12 m / s 2 .
D. Gia tốc của chuyển động bằng 0 khi t = 0 .
Hướng dẫn giải:
Đáp án C.

Ta có gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t bằng đạo hàm cấp hai của phương trình chuyển
động tại thời điểm t .
s′ = t 3 − 3t 2 + 5t + 2 ′ = 3t 2 − 6t + 5

(

)

s′′ = 6t − 6 ⇒ s′′ ( 3 ) = 12

Câu 3. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = t 3 − 3t 2 ( t tính bằng giây; s tính bằng mét).
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Gia tốc của chuyển động khi t = 4s là a = 18m / s 2 .
B. Gia tốc của chuyển động khi t = 4s là a = 9m / s 2 .
C. Vận tốc của chuyển động khi t = 3s là v = 12m / s .
D. Vận tốc của chuyển động khi t = 3s là v = 24m / s .
Hướng dẫn giải:
Đáp án A
s′ = 3t 2 − 6t ⇒ s ′′ = 6t − 6
Trang 19


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

s′′ ( 4 ) = 18

Trang 20

Đạo hàm – ĐS> 11