GIỚI hạn giới hạn hàm số (lý thuyết + bài tập vận dụng) file word

CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1



0




CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1

CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN
TẬP I. GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ
GIỚI HẠN DÃY SỐ
1. Giới hạn hữu hạn của dãy số
1.1. Định nghĩa:
�Dãy số (un ) được gọi là có giới hạn bằng 0 khi n tiến ra dương vô cực nếu
với mỗi số dương nhỏ tuỳ ý cho trước, mọi số hạng của dãy số , kể từ một số
hạng nào đó trở đi, đều có giá tri tuyệt dối nhỏ hơn số dương đó. Kí hiệu:
lim un  0 .Hay là: lim un  0 khi và chỉ khi với mọi   0 nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số
x��

x�0

tự nhiên n0 sao cho: un   , n  n0 .
u  a � lim  un  a  0 , tức là: Với mọi   0 nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự
�xlim
�� n
x��

nhiên n0 sao cho un  a   , n  n0 .
Dãy số (un) có giới hạn là số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.
1.2. Một số giới hạn đặc biệt
� lim

1
 0 với k��*
nk

qn  0
�Nếu q  1 thì nlim
� �
u  lim c  c
�Nếu un  c (với c là hằng số) thì nlim
�� n
n��
u  a.
Chú ý: Ta viết lim un  a thay cho cách viết nlim
� � n
2. Một số định lí về giới hạn
Định lí 1. Nếu dãy số (un) thỏa un  vn kể từ số hạng nào đó trở đi và
lim vn  0 thì lim un  0.
Định lí 2. Cho lim un  a, lim vn  b. Ta có:
�lim(un  vn )  a b

�

lim(un  vn )  a b
� lim

� lim(un .vn )  ab
.

un a
 (b �0)
vn b

�Nếu un �0 n thì lim un  a
3. Tổng của CSN lùi vô hạn
Cho CSN (un ) có công bội q thỏa q  1. Khi đó tổng
S  u1  u2  ...  un  .... gọi là tổng vô hạn của CSN và
S  limSn  lim

u1(1 qn )
u
 1 .
1 q
1 q


1




CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1

4. Giới hạn vô cực
4.1. Định nghĩa:
�lim un  �� với mỗi số dương tuỳ ý cho trước , mọi số hạng của dãy số ,

n��

kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó .
�lim un  �� lim  un   �.
n��

n� �

4.2. Một số kết quả đặc biệt
�lim nk  � với mọi k  0
� lim qn  � với mọi q 1.
4.3.Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cựC.
Quy tắc 1: Nếu lim un  ��, lim vn  �� thì lim(un.vn ) được cho như sau;
lim un

lim vn

�
�
�
�

�
�
�
�

lim(unvn )
�
�

�
�

Quy tắc 2: Nếu lim un  ��, lim vn  l thì lim(un .vn ) được cho như sau;
lim un

Dấu của l

�
�
�
�






lim(unvn )
�
�
�
�

Quy tắc 3: Nếu lim un  l , lim vn  0 và vn  0 hoặc vn  0 kể từ một số hạng
nào dó trở đi thì lim

un
được coi như sau;
vn

Dấu của l

Dấu của vn

�
�
�
�






lim

un
vn

�
�
�
�

Vấn đề 1. Tìm giới hạn bằng định nghĩa
Phương pháp:
�Để chứng minh lim un  0 ta chứng minh với mọi số a 0 nhỏ tùy ý luôn tồn
tại một số na sao cho un  a n  na .

2




CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1

�Để chứng minh lim un  l ta chứng minh lim(un  l )  0 .
�Để chứng minh lim un  � ta chứng minh với mọi số M  0 lớn tùy ý, luôn
tồn tại số tự nhiên nM sao cho un  M n  nM .
�Để chứng minh lim un  � ta chứng minh lim(un )  �.
�Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Chứng minh rằng:
1. lim

n 2
1
n 1

2. lim

n2  1 1

2n2  1 2

1 2n

3. lim

n2  1

 2

Lời giải:
1. Với a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na 

1
 1, ta có:
a

n 2
1
1
1 

 a với n  na
n 1
n  1 na  1
Suy ra lim

n 2
n 2
 1  0 � lim
 1.
n 1
n 1
3
 1 , ta có:

a

2. Với a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na 

n2  1 1
3
3
  2
 2
 a với n  na
2
2n  1 2 n  1 na  1
Suy ra lim

n2  1 1
n2  1 1


0
�
lim
 .
2n2  1 2
2n2  1 2
9
 1, ta có:
a2

3. Với a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na 
1 2n

n 1
2

2 

Suy ra lim

1 2n  2 n2  1
n 1
2

1 2n
n 1
2



1 2n  2(n  1)

 2  0 � lim

n 1
2

1 2n
n 1
2



3
n 1
2



3
n 1
2
a

 a với n  n .
a

 2 .

Ví dụ 2. Chứng minh rằng dãy số (un ) : un  (1)n không có giới hạn.
Lời giải:
Ta có: u2n  1� lim u2n  1; u2n1  1� lim u2n1  1
Vì giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất nên ta suy ra dãy (un) không có giới
hạn.


3


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1

Ví dụ 3. Chứng minh các giới hạn sau:
1. lim

n2  1
 �
n

2. lim

2 n
n

 �

Lời giải:
1. Với mọi số thực dương M lớn tùy ý, ta có:
n2  1
M  M24
2
 M � n  Mn  1  0 � n 
n
2
�M  M 2  4 �
n2  1
�thì ta có:
Ta chọn n0  �
 M , n  n0
2
n
�

�
�
�
n2  1
 �.
n
2. Với mọi M  0 lớn tùy ý, ta có:
Do đó: lim

2

�M  M 2  8 �
�
 M � n M n  2 0� n  �
�
�
2
n
�
�

n 2

2
�
�M  M 2  8 ��
n 2
 M , n  n0
�
��thì ta có:

Ta chọn n0  �
�
�
��
2
n
�
��
�

2 n

 �.
n
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Do đó: lim

1
bằng:
n 1
B.1

Bài 1. Giá trị của lim
A. 0

Với a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na 
lim

C.2
Lời giải:

D. 3

1
1
1

 a n  na nên có
 1 ta có
n  1 na  1
a

1
 0.
n 1
1
(k��*) bằng:
nk
B.2
C.4
Lời giải:

Bài 2. Giá trị của lim
A. 0

Với a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na 

k

D. 5

1 1
1
1
ta có k  k  a n  na nên có lim k  0 .
n na
n
a



4


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1



sin2 n
n 2
B.3

Bài 3. Giá trị của lim
A. 0

bằng:
C.5
Lời giải:

D. 8

sin2 n
1
1
1


 a n  na nên có
Với a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na   2 ta có
n  2 n  2 na  2
a
sin2 n
 0.
n 2
Bài 4. Giá trị của lim(2n 1)
A. �
B. �

lim

bằng:
C.0
Lời giải:

Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn nM 

D. 1

M 1
2

Ta có: 2n  1 2nM  1 M n  nM � lim(2n  1)  �.
1 n2
Bài 5. Giá trị của lim
bằng:
n
A. �
B. �
C.0
Lời giải:

D. 1

nM2  1
M
Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn nM thỏa
nM
� nM 
Ta có:

M  M24 .
2

n2  1
n2  1
 M n  nM � lim
 �
n
n

Vậy lim

1 n2
 �.
n
2
bằng:
n 1
B. �

Bài 6. Giá trị của lim
A. �

C.0
Lời giải:

D. 1

�
2 �
Với mọi a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na  �  1� 1
�a �
2
2
 a n  na � lim
 0.
n 1
n 1
cosn  sin n
Bài 7. Giá trị của lim

bằng:
n2  1
A. �
B. �
C.0

Suy ra

D. 1


5


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1



Lời giải:
Ta có

cos n  sin n
2

n



1
cosn  sin n

2
0
mà lim 2  0 � lim
2
n
n2  1
n
n 1
n 2
B. �

Bài 8. Giá trị của lim
A. �

bằng:
C.0
Lời giải:

D. 1

�1 �
Với mọi số thực a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na  �2  1� 1
a
�
�
Ta có:

n 1
1
n 1


 a n  na � lim
 0.
n 2
n 2
n 1
3n3  n
n2
B. �

Bài 9. Giá trị của lim
A. �

bằng:
C.0
Lời giải:

D. 1

�M �
Với mọi M  0 lớn tùy ý, ta chọn nM  � � 1
�3 �
3n3  n
1
Ta có:
 3n   M n  nM
2
n
n
3n3  n

Vậy lim
 �.
n2
Bài 10. Giá trị của lim

2 n

n 1
B. �

A. �

bằng:
C.0
Lời giải:

D. 1

2

�1 �
Với mọi M  0 lớn tùy ý , ta chọn nM  �  3� 1
�a �
Ta có:

n 2
1 n

Suy ra lim

 n  1

2 n
n 1

3
n 1

 1 n  3  M n  nM

 �.
2n  1
n 2
B. �

Bài 11. Giá trị của A  lim
A. �

bằng:
C.2
Lời giải:

D. 1



6

CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1

Với số thực a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na 
Ta có:

5
 2 2
a

2n  1
5
5
2 

 a n  na
n 2
n  2 na  2

Vậy A  2.
2n  3
n2  1
B. �

Bài 12. Giá trị của B  lim
A. �

bằng:
C.0
Lời giải:

Với số thực a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na thỏa

D. 1

2na  3
a
na2  1

1 a2  4a 13
� na 
a
2n  3
 a n  na � B  0 .
Ta có: 2
n 1
2
Bài 13. Giá trị của C  lim n  1
n 1
�
A. �
B.

bằng:
C.0
Lời giải:

D. 1

1

Với số thực a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na   1
a
n2  1
n 2
1
1 
1 
 a n  na
n 1
n 1
na  1

Ta có:

Vậy C  1.
Bài 14. Giá trị của A  lim
A. �

A

n 2 n
2n

B. �

bằng:
1
2
Lời giải:
C.

D. 1

1
2

nsin n  3n2
Bài 15. Giá trị của B  lim
bằng:
n2
A. �
B. �
C. 3
Lời giải:
B  3

D. 1



7




CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1
1

Bài 16. Giá trị của C  lim

bằng:

n2  2 n  7
B. �

A. �

C.0
Lời giải:

D. 1

C0

Bài 17. Giá trị của D  lim

4n  1

B. �

A. �

bằng:

n  3n  2
2

C.0
Lời giải:

D. 4

D4
an
0
n!
B. �

Bài 18. Giá trị của lim
A. �

bằng:
C.0
Lời giải:

D. 1

Gọi m là số tự nhiên thỏa: m 1  a . Khi đó với mọi n  m 1
n m

m

an
a a a
a
a a �a �
Ta có: 0 
 . ... .
... 
.�

�
�
n! 1 2 m m 1 n m! �
�m 1�
n m

�a �
an
Mà lim �
.
Từ
đó
suy
ra:

0
lim
 0.
�
�m 1�
n
!
�
�
Bài 19. Giá trị của lim n a với a 0 bằng:
A. �
B. �
C.0
Lời giải:
Nếu a 1 thì ta có đpcm

�Giả sử a 1. Khi đó: a  �
1
�
Suy ra: 0  n a  1



n



n

a 1 �
� n



n

D. 1



a 1

a
� 0 nên lim n a  1
n

�Với 0  a  1 thì 1  1� lim n 1  1� lim n a  1.
a
a
Tóm lại ta luôn có: lim n a  1 với a 0 .
Vấn đề 2. Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn
cơ bản
Phương pháp:
Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản.


8




CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1

f (n)
ta thường chia cả tử và mẫu cho nk , trong đó k là bậc lớn
g(n)
nhất của tử và mẫu.
�Khi tìm lim

�Khi tìm lim �k f (n)  m g(n) �trong đó lim f (n)  lim g(n)  � ta thường tách và
�
�
sử dụng phương pháp nhân lượng liên hơn.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau :
1. A  lim

n 1 3 5 ...  (2n  1)
2n2  1

2. B  lim 3

1 2  ...  n  n
12  22  ...  n2  2n

Lời giải:
1. Ta có: 1 3  5 ...  2n  1  n2
Suy ra

A  lim

n2
 lim
2n2  1

1
2

1
n2



1
2.

n(n  1)
;
2
n(n  1)(2n  1)
12  22  ...  n2 
6

2. Ta có: 1 2 ...  n 

� 1�
n2 �
1 �
n�
n(n  1)
�
n
n
2
2
 lim

Suy ra : B  lim
n
(
n

1)(2
n

1)

�
1
�
�
1
�
3
3
 2n
n �
1 �
2 �
�
3
6
� n�
� n � 2n
6

1
1
2
.
1
3
2
3

Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau :
�

�
� 1�
� 1�� 1�
1 2 �
1 2 �
...�
1 2 �
1. C  lim �
�
�
�
� 2 �
� 3 �� n �
�
�

�1
1
1
1 �

 ... 
2. D  lim � 
1.2 2.3 3.4
n(n  1) �
�
�

Lời giải:
1. Ta có: 1

1 (k  1)(k  1)

nên suy ra
k2
k2

� 1�
� 1 � � 1 � 1.3 2.4 (n  1)(n  1) n  1
1 2 �
1 2 �
...�
1 2 � 2 . 2 ...

�
�
2n
n2
� 2 �
� 3 �� n � 2 3
Do vậy C  lim

n 1 1
 .
2n 2



9

CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1



2. Ta có

1
1
1
1
1
1
1
1
 


 ... 
 1
nên suy ra
k(k  1) k k  1
1.2 2.3 3.4
n(n  1)
n 1

�
1 �
1
Vậy D  lim �

� 1.
� n  1�
Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau :
1. A  lim

4n1  5n1
4n  5n

2. B  lim

4.3n 2  2.7n1
4n  7n1

Lời giải:
n

1. Chia cả tử và mẫu cho 5 ta có: A  lim
n

�4 �
4� � 5
�5 �
n

�4 �
�5 � 1
��

n

�4 �
 5 ( do lim � �  0).
�5 �

n

2. Ta có: B  lim

�4 � 2
36� �
�7 � 7
n

�4 �
�7 � 7
��



2
.
49

�
�
� 1�
� 1�� 1�
1 2 �
1 2 �
...�

1 2 �
Ví dụ 4. Tìm giới hạn sau : C  lim �
�
�
�
� 2 �
� 3 �� n �
�
�
Lời giải:
Ta có: 1

1 (k  1)(k  1)

nên suy ra
k2
k2

� 1�
� 1 � � 1 � 1.3 2.4 (n  1)(n  1) n  1
1 2 �
1 2 �
...�
1 2 � 2 . 2 ...

�
�
2n
n2
� 2 �

� 3 �� n � 2 3
n 1 1
 .
2n 2
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Do vậy C  lim

Bài 1. Giá trị của A  lim

2n2  3n  1
bằng:
3n2  n  2

B. �

A. �

2
3
Lời giải:
C.

D. 1

3 1

n n2  2
A

lim

Ta có:
.
1 2 3
3  2
n n
2



10




CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1

Bài 2. Giá trị của B  lim

n2  2n
n  3n2  1

bằng:

B. �

A. �

C.0

D.

1
1 3

Lời giải:
1
n2  n
1
n  1
n
 lim
Ta có: B  lim
1 1 3
n  3n2  1
1 3 2
n
n
2n  1  n  2
Bài 3. Giá trị của C  lim 
2

Ta có: C  lim

9

bằng:

n17  1

B. �

A. �

4

C.16
Lời giải:

D. 1

1 4 9
2
1
2
) .n (1 )9
(2  2 )4.(1 )9
2
n  lim
n
n
n
1
1
n17 (1 17 )
1 17
n
n

n8(2 

Suy ra C  16.
n2  1  3 3n3  2

Bài 4. Giá trị của D  lim

4

2n4  n  2  n

B. �

A. �

bằng:

C.

1 3 3
4

21

D. 1

Lời giải:
�
1
2�
n� 1 2  3 3 3 �
�

3
n
n �
�
� 1 3
Ta có: D  lim
.
�
� 4 21
1
2
n�4 2  3  4  1�
�
�
n n
�
�
Bài 5. Giá trị của A  lim







n2  6n  n bằng:

B. �

A. �

Ta có A  lim



n2  6n  n  lim

C.3
Lời giải:

D. 1

n2  6n  n2
n2  6n  n



11


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1



6n

 lim

n2  6n  n

Bài 6. Giá trị của B  lim

 lim



3

6
6
1  1
n



n3  9n2  n bằng:

B. �

A. �
Ta có: B  lim



3

3

C.0
Lời giải:



D. 3

n3  9n2  n

9n2

 lim
3

 n  9n 
3

2

2

 n3 n3  9n2  n2

9

 lim

3

2

3

� 9�
9
1 �  1  1
�
n
� n�

.

3.2n  3n
Bài 7. Giá trị của C  lim n1 n1 bằng:
2 3
B. �

A. �

C. 

1
3

D. 1

Lời giải:
n

�2 �
3.� � 1
�3 �

3.2n  3n
1

Ta có: C  lim n1 n1  lim
n
3
2 3
�2 �
2.� � 3
�3 �
Bài 8. Giá trị của D  lim

 lim
 lim



1
3
Lời giải:



C.

n2  2n  n  lim
2n
n2  2n  n
2

1

2
1
n

 lim



n2  2n  3 n3  2n2 bằng:

B. �

A. �

Ta có: D  lim





3



n3  2n2  n

2n2
3

(n3  2n2 )2  n3 n3  2n2  n2
2

 lim
3

2
2
(1 )2  3 1  1
n
n

Bài 9. Giá trị của A  lim



D. 1



1
3.



n2  2n  2  n bằng:


12

A. �

CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1
B. �

C.2
Lời giải:

D. 1

�
�
2 2
1  2  1� �
Ta có A  lim n�
�
�
n n
�
�
�
�
2 2
1  2  1� 2 .
Do lim n  �;lim �
�

�
n n
�
�
Bài 10. Giá trị của B  lim
A. �





2n2  1  n bằng:

B. �

C.0
Lời giải:

D. 1

�
1 �
2   1� �
Ta có: B  lim n�
�
n �
�
�
4

Bài 11. Giá trị của C  lim
A. �

3n3  1  n

bằng:
2n4  3n  1  n
B. �
C.0

D. 1

3 1 1
 8
5
n
n n 0
2
3. Chia cả tử và mẫu cho n ta có được C  lim
.
3 1 1
2 3  4 
n n n
4

Bài 12. Giá trị của D  lim

aknk  ...  a1n  a0
bpnp  ...  bn
 b0

1

(Trong đó k, p là các số nguyên

dương; akbp �0 ) .
bằng:
A. �

B. �

C.Đáp án khác
Lời giải:

D. 1

Ta xét ba trường hợp sau
ak1
a
 ...  0k ��
 if akbp  0
n
n �
� k  p. Chia cả tử và mẫu cho nk ta có: D  lim
�
.
bp
� if akbp  0
b0
�
 ...  k

n
np k
ak 

� k  p. Chia cả tử và mẫu cho nk ta có: D  lim

ak1
a
 ...  0k a
n
n  k.
b0
bk
bk  ...  k
n

ak 



13




CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1

ak
a
 ...  0p

p k
n  0.
� k  p . Chia cả tử và mẫu cho np : D  lim n
b0
bp  ...  p
n
Bài 18. Giá trị của. F  lim

(n  2)7 (2n  1)3
bằng:
(n2  2)5

B. �

A. �
7

C.8
Lời giải:

D. 1

3

� 2 �� 1 �
1 ��
2
�
n �� n �
�

� 8
Ta có: F  lim
5
� 5�
1 2 �
�
� n �
Bài 19. Giá trị của. H  lim





n2  n  1  n bằng:
1
2
Lời giải:

B. �

A. �

C.

D. 1

1
1
n
 lim


Ta có: H  lim 2
2
1 1
n  n  1 n
1  2  1
n n
1

n 1

Bài 20. Giá trị của. M  lim
A. 

1
12



3



1 n2  8n3  2n bằng:

B. �

C.0

D. 1

Lời giải:
1 n2

Ta có: M  lim 3

(1 n2  8n3)2  2n3 1 n2  8n3  4n2

Bài 21. Giá trị của. N  lim

Mà: lim
lim



3







4n2  1  3 8n3  n bằng:

4n2  1  2n  lim



4n2  1  2n  lim



8n2  n  2n  lim



C.0
Lời giải:
3

D. 1



8n3  n  2n

1
4n  1  2n
2

0

n
3

1
12





B. �

A. �
Ta có: N  lim



(8n2  n)2  2n3 8n2  n  4n2

0


14




CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1

Vậy N  0 .
Bài 22. Giá trị của. K  lim

Mà: lim



3



3



n3  n2  1  3 4n2  n  1  5n bằng:
C. 



n3  n2  1  n  3lim



n3  n2  1  n 

Do đó: K 

3

B. �

A. �

Ta có: K  lim



1
; lim
3





5
12

Lời giải:

D. 1



4n2  n  1  2n



4n2  n  1  2n 

1
4

1 3
5
 
3 4

12

Bài 23. Giá trị của. A  lim
A. �

B. �

2n  1
bằng:
1 3n
C. 

2
3

D. 1

Lời giải:
A

2
3

Bài 24. Giá trị của. B  lim
A. �

B

4n2  3n  1
bằng:

(3n  1)2

B. �

D. 1

4
9

Bài 25. Giá trị của. C  lim
A. �

C

4
9
Lời giải:
C.

B. �

n3  1
bằng:
n(2n  1)2
1
4
Lời giải:
C.

D. 1

1
4
n3  3n2  2
bằng:
n4  4n3  1
B. �
C.0
Lời giải:

Bài 26. Giá trị của. D  lim
A. �

D. 1



15


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1



D0
3
Bài 27. Giá trị của. E  lim n  2n  1 bằng:
n 2
A. �
B. �

C.0
Lời giải:
E  �

Bài 28. Giá trị của. F  lim

4

n4  2n  1  2n
3

3n3  n  n

B. �

A. �

D. 1

bằng:

C.

3
3

D. 1

31

Lời giải:
F

3
3

31

Bài 29. Giá trị của. M  lim

6n
n2  6n  n

C.3
Lời giải:



3



n3  3n2  1  n bằng:

B. �

A. �

C.0
Lời giải:

3n2  1
3

(n  3n  1)  n. n  3n  1  n
3

2

D. 1

3

Bài 30. Giá trị của. N  lim

N  lim

n2  6n  n bằng:

B. �

A. �
M  lim





3

2

3

2

Bài 31. Giá trị của. H  lim n



3

2

1



8n3  n  4n2  3 bằng:

B. �

A. �

D. 1

C. 

2
3

D. 1

Lời giải:
H  lim n



3



8n3  n  2n  lim n





4n2  3  2n  

3.2n  3n
Bài 32. Giá trị của. K  lim n1 n1 bằng:
2 3
1
A. 
B. �
C.2
3
Lời giải:

2
3

D. 1



16


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1



n

K  lim

�2 �
3� � 1
�3 �
n

�2 �
2� � 3
�3 �



1

3
2n3  sin2n  1
bằng:
n3  1
B. �
C.2
Lời giải:

Bài 33. Giá trị của. A  lim
A. �

A  lim

2

sin2n  1
n3
2
1
1 3
n
n

Bài 34. Giá trị của. B  lim

n

n!

n  2n

3



n

nn

n  2n
3



n  2n

B.

bằng:

C.0
Lời giải:

n
n  2n
3

Bài 35. Giá trị của. C  lim
A. �

n!

3

B. �

A. �

Ta có:

D. 1

D. 1

� 0� B  0

3.3n  4n
bằng:
3n1  4n1

1
2

C.0

D. 1

Lời giải:
C

1

2

Bài 36. Giá trị của. D  lim
A. �

B. �

n 1
n2( 3n2  2  3n2  1)
C.

2
3

bằng:
D. 1

Lời giải:
D

2 3
3

Bài 37. Giá trị của. E  lim( n2  n  1  2n) bằng:
A. �
B. �
C.0

D. 1

Lời giải:
E  �


17


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1



Bài 38. Giá trị của. F  lim





n  1  n bằng:

B. �

A. �

C.0
Lời giải:

D. 1

F  �
p

Bài 39. Giá trị của. H  lim( k n2  1  n2  1) bằng:
A. �
B. �
C.Đáp án khác
Lời giải:
Xét các trường hợp
TH1: k  p � H  �

D. 1

TH 2: k  p � H  �
TH 3: k  p � H  0.
Bài 40. Giá trị của K  lim n





n2  1  n bằng:
1
2
Lời giải:

B. �

A. �

C.

D. 1

1
2
Bài 41. Tính giới hạn của dãy số
1
1
1
un 

 ... 
:
2 1 2 3 2  2 3
(n  1) n  n n  1
K

B. �

A. �

Ta có:

1
(k  1) k  k k  1

Suy ra un  1

1
n 1



1
k

C.0
Lời giải:

D. 1

1



k 1

� lim un  1

3
3
3
Bài 42. Tính giới hạn của dãy số un  (n  1) 1  2  ...  n :
3n3  n  2
1
A. �
B. �
C.
D. 1
9
Lời giải:

2

�
n(n  1) �
Ta có: 1  2  ...  n  �
�
� 3 �
3

Suy ra un 

3

3

n(n  1)2
1
� lim un  .
3
9
3(3n  n  2)


18




CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1

Bài 43. Tính giới hạn của dãy số un  (1
Tn 

1
1
1
)(1 )...(1 ) trong đó
T1
T2
Tn

n(n  1)
.:
2
A. �

Ta có: 1

B. �

1
3
Lời giải:
C.

D. 1

1
2
(k  1)(k  2)

 1

Tk
k(k  1)
k(k  1)

1 n 2
1
� lim un  .
Suy ra un  .
3 n
3
23  1 33  1 n3  1
Bài 44. Tính giới hạn của dãy số un  3 . 3 .... 3
.:
2 1 3 1 n 1
2
A. �
B. �
C.
D. 1
3
Lời giải:
k3  1
(k  1)(k2  k  1)

Ta có 3
k  1 (k  1)[(k  1)2  (k  1)  1]
2 n2  n  1
2

�
u

.
� lim un 
Suy ra
n
3 (n  1)n
3
n
2k  1
Bài 45. Tính giới hạn của dãy số un  � k . :
2
k1
A. �
B. �
C.3

D. 1

Lời giải:
1
1 �1 1
1 � 2n  1
Ta có: un  un   �  2  ...  n1 � n1
2
2 �2 2
2 � 2
1
3 2n  1

� un   n1 � lim un  3 .
2
2 2
Bài 46. Tính giới hạn của dãy số un  q 2q2  ...  nqn với q  1
A. �

B. �

C.

q

 1 q

2

D.

.:
q

 1 q

2

Lời giải:
Ta có: un  qun  q q2  q3  ...  qn  nqn1
� (1 q)un  q

q

1 qn
 nqn1 . Suy ra lim un 
2 .
1 q
 1 q


19




CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1

n
n
u

Bài 47. Tính giới hạn của dãy số n � 2
k1 n  k
A. �
B. �
C.3
Lời giải:

.:
D. 1

n
n

n
1
�u
�n�2
un 1 2
n
2
n n
n 1 n 1
n 1
n
� un  1 � 2
� 0 � lim un  1.
n 1

Ta có: n

2

A  lim

Bài 48. Tính giới hạn của dãy số
.:
A. �

B. �

ak .nk  ak1nk1  ...  a1n  a0

bp.np  bp1np1  ...  bn

 b0
1

C.Đáp án khác
Lời giải:

với akbp �0

D. 1

Ta chia làm các trường hợp sau
ak1
a
 ...  0k a
n
n  k
TH 1: n  k , chia cả tử và mẫu cho nk , ta được A  lim
.
bp1
b0 bp
bp 
 ...  k
n
n
TH 2: k  p, chia cả tử và mẫu cho nk , ta được
a
a
ak  k1  ...  0k
��
 khi akbp  0

�
n
n
A  lim
�
bp
bp1
� khi akbp  0
b0 �


...

nk
nk p nk p1
ak 

ak
a
a
 pkk11  ...  0p
p k
n
n
n 0
TH 3: k  p , chia cả tử và mẫu cho np , ta được A  lim
.
bp1
b0
bp 

 ...  p
n
n
n6  n  1  4 n4  2n  1
B  lim
(2n  3)2
3

Bài 49. Tính giới hạn của dãy số
A. �

B. �

C.3

D.

.:

3
4

Lời giải:
Chia cả tử và mẫu cho n ta có được:
2

3

B  lim

1

1 1
2 1
 6  4 1 3  4
5
n n
n n  1 4   3
.
2
4
4
� 3�
2 �
�
� n�


20


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1



Bài 50. Tính giới hạn của dãy số

C  lim

B. �

A. �





4n2  n  1  2n

C.3

.:
D.

1
4

Lời giải:
1
n 1
1
n
 lim

Ta có: C  lim
2
4
1 1
4n  n  1  2n
4  2  2

n n
1

Bài 51. Tính giới hạn của dãy số
B. �

A. �

Ta có: D  lim

Mà: lim

lim



3







Lời giải:
3



n2  n  1  23 n3  n2  1  n

1
6

.:

D. 1



n3  n2  1  n

1
1
n 1
n
 lim

n2  n  1  n  lim
2
1 1
n2  n  1  n
1  2  1
n n
1







1

 lim

n2  1
3

(n3  n2  1)2  n.3 n3  n2  1  n2

1
n2



2

� 1 1� 3
1 1
1 4  6 � 1  3  1
�
n n
� n n �

Vậy D 



C. 

n2  n  1  n  2lim

n3  n2  1  n  lim

3

D  lim

1
3

1 2
1
  .
2 3
6

Bài 52 . Cho các số thực a,b thỏa a  1; b  1. Tìm giới hạn
I  lim

1 a a2  ...  an
.
1 b b2  ...  bn

A. �

B. �

1 b
1 a

Lời giải:
C.

D. 1
n 1

1 a
Ta có 1, a, a2 ,..., an là một cấp số nhân công bội a 1 a a2  ...  an 
1 a
Tương tự

1 b b2  ...  bn 

1 bn1
1 b


21




CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1

1 an1
1 b
Suy ra lim I  lim 1 na1 
1 a
1 b
1 b

( Vì a  1, b  1 � lim an1  lim bn1  0).
Bài 53. Cho dãy số (xn ) xác định bởi x1 
Đặt Sn 

1
, xn1  xn2  xn ,n �1
2

1
1
1

L 
. Tính limSn .
x1  1 x2  1
xn  1
B. �

A. �

C.2
Lời giải:

D. 1

Từ công thức truy hồi ta có: xn1  xn , n  1,2,...
Nên dãy (xn ) là dãy số tăng.
Giả sử dãy (xn ) là dãy bị chặn trên, khi đó sẽ tồn tại lim xn  x
Với x là nghiệm của phương trình : x  x2  x � x  0  x1 vô lí
Do đó dãy (xn ) không bị chặn, hay lim xn  �.

Mặt khác:
Suy ra:

1
1
1
1

 
xn1 xn(xn  1) xn xn  1

1
1
1
 
xn  1 xn xn1

Dẫn tới: Sn 

1
1
1
1

 2
� limSn  2 lim
2
x1 xn1
xn1
xn1

Bài 54. Cho dãy (xk ) được xác định như sau: xk 

1 2
k
  ... 
2! 3!
(k  1)!

n
Tìm lim un với un  n x1n  x2n  ...  x2011
.

A. �

B. �

C. 1

1
2012!

D. 1

1
2012!

Lời giải:
Ta có:

k
1
1
1
 
nên xk  1
(k  1)! k! (k  1)!
(k  1)!

Suy ra xk  xk1 

1
1

 0 � xk  xk1
(k  2)! (k  1)!

n
Mà: x2011  n x1n  x2n  ...  x2011
 n 2011x2011



22


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1

Mặt khác: lim x2011  lim n 2011x2011  x2011  1
Vậy lim un  1

1
2012!

1
.
2012!

�
u0  2011
�
u3
1 . Tìm lim n .
Bài 55. Cho dãy số (un ) được xác định bởi: �
un1  un  2
n
�
un
�
A. �
B. �
C.3
D. 1
Lời giải:
Ta thấy un  0, n
3
3
Ta có: un1  un  3

3 1

(1)
un3 un6

Suy ra: un3  un31  3 � un3  u03  3n (2)
1
3
3
Từ (1) và (2), suy ra: un1  un  3 u3  3n 
0

3
3
Do đó: un  u0  3n 
n

Lại có:

1

�k
k1

2

 1

 u  3n

3
0

2

 un3  3

1
1
 2
3n 9n

1 n 1 1 n 1
�  � (3)
3 k1 k 9 k1 k2

n
1
1
1
1
1

 ... 
 2  2 . � � n
1.2 2.3
(n  1)n
n
k1 k

Nên: u03  3n  un3  u03  3n 
Hay 3

1

n

1

�k
k1

2

 2n

2
2n

9
3

u03 un3
u3 2
2

 3 0 

.
n n

n 9n 3 n

Vậy lim

un3
 3.
n
x  1 1
. Tìm  0;� .
x
C.2010
D. 1
Lời giải:

Bài 57. Cho dãy x  0 xác định như sau: f (x) 
B. �

A. �
Ta có un1  un 
�

un2
u u
un
� n1 n 
2010
un1.un
2010un1

�1

un
1 �
 2010.� 
�
un1
�un un1 �


23


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1



Ta có

un

�u

 2010(

n 1

1
1
1

)  2010(1

)
u1 un1
un1

Mặt khác ta chứng minh được: lim un  �.
uu
Nên lim(� )  2010 .
un1
n. 1 3 5 ...  (2n  1)
2n2  1
1
B. �
C.
2
Lời giải:

Bài 60. Tìm lim un biết un 
A. �

Ta có: 1 3 5 ...  2n  1 n2 nên lim un 

D. 1

1
2

�3 x  2  2x  1
�
khi x �1
Bài 61. Tìm lim un biết f (x)  �

x 1
�3m 2
khi x  1
�
3

B. �

A. �

C.2

D.

6
2

Lời giải:
Ta có: 1 2  ...  n 
Nên lim un 

3

n(n  1)
n(n  1)(2n  1)
và 12  22  ...  n2 
2
6

6

2

� x  1 1
khi x  0
�
Bài 62. Tìm lim un biết f (x)  � x
�
2x2  3m 1 khi x �0
�
B. �

A. �

Ta có:

1
(k  1) k  k k  1



1
k



C.2
Lời giải:
1
k 1

Suy ra un  1

D. 1
1
n 1

� limun  1

� 2x  4  3
khi x �2
�
Bài 63. Tìm lim un biết f (x)  �
trong đó x �1.
x 1
khi x  2
�2
�x  2mx  3m 2
A. �

B. �

1
3
Lời giải:
C.

D. 1

24