LƯỢNG GIÁC hàm số LƯỢNG GIÁC (lý thuyết + bài tập vận dụng) file word

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 1

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
I. Các công thức lượng giác
1. Các hằng đẳng thức:
* sin2   cos2   1
với mọi 
* tan .cot   1

k
với mọi  �
2

1
với mọi  �k2
cos2 
1
* 1 cot2  
với mọi  �k
sin2 
2. Hệ thức các cung đặc biệt
A.Hai cung đối nhau:  và 
* 1 tan2  

cos()  cos 

sin( )   sin 

tan()   tan 

cot( )   cot 

B. Hai cung phụ nhau:  và
cos(


2

  )  sin 



2


sin(   )  cos 
2


tan(   )  cot 
2


cot(   )  tan 
2

C. Hai cung bù nhau:  và   
sin(   )  sin 
cos(   )   cos 
tan(   )   tan 

cot(   )   cot 

d) Hai cung hơn kém nhau  :  và   
sin(  )   sin 
cos(   )   cos
tan(  )  tan 

cot(  )  cot 

3. Các công thức lượng giác
A. Công thức cộng
cos(a�b)  cos a.cos bmsin a.sin b
tan(a�b) 

sin(a�b)  sin a.cos b �cos a.sin b

tan a�tan b
1mtan a.tan b

b) Công thức nhân
sin2a  2sin acos a
cos2a  cos2 a sin2 a  1 2sin2 a  2cos2 a 1
sin 3a  3sin a 4sin3 a
C. Công thức hạ bậc
sin2 a 

1 cos2a
2

cos3a  4cos3 a 3cos a

cos2 a 

1 cos2a
2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 2

1 cos2a
1 cos2a
D. Công thức biến đổi tích thành tổng
tan2 a 

cos a.cos b 
sin a.sin b 
sin a.cos b 

1
2
1
2

[cos(a  b)  cos(a  b)]

[cos(a b)  cos(a b)]

1
2

[sin(a b)  sin(a b)] .

e. Công thức biến đổi tổng thành tích
cos a  cos b  2cos
sin a sin b  2sin
tan a tan b 
tan a tan b 

a b
2

a b
2

.cos

.cos

a b
2

a b
2

cos a cos b  2sin
sin a- sin b  2cos

a b
2

a b

2

.sin

.sin

a b
2

a b
2

sin(a  b)
cos acos b
sin(a b)
cos acos b

.

II. Tính tuần hoàn của hàm số
Định nghĩa: Hàm số y  f (x) xác định trên tập D được gọi là hàm số tuần hoàn
nếu có số T �0 sao cho với mọi x �D ta có
x �T �D và f (x  T )  f (x) .
Nếu có số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được
gọi là hàm số tuần hoàn với chu kì T .
III. Các hàm số lượng giác
1. Hàm số y  sin x
�Tập xác định: D  R
�Tập giác trị: [  1;1] , tức là 1�sin x �1 x �R



�Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (  k2;  k2) , nghịch biến trên mỗi
2
2

3
khoảng (  k2;  k2) .
2
2
�Hàm số y  sin x là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm
đối xứng.
�Hàm số y  sin x là hàm số tuần hoàn với chu kì T  2 .
�Đồ thị hàm số y  sin x .


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 3

2. Hàm số y  cos x
�Tập xác định: D  R
�Tập giác trị: [  1;1] , tức là 1�cos x �1 x�R
�Hàm số y  cos x nghịch biến trên mỗi khoảng (k2;   k2) , đồng biến trên
mỗi khoảng (  k2; k2) .
�Hàm số y  cos x là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối
xứng.
�Hàm số y  cos x là hàm số tuần hoàn với chu kì T  2 .
�Đồ thị hàm số y  cos x .
Đồ thị hàm số y  cos x bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y  sin x
r

theo véc tơ v  ( ;0) .

2

3. Hàm số y  tan x
�
�
�Tập xác định : D  �\ �  k, k���
�2
�Tập giá trị: �
�Là hàm số lẻ
�Là hàm số tuần hoàn với chu kì T  
�

�
�Hàm đồng biến trên mỗi khoảng �  k;  k �
2
�2
�
�Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x 
�Đồ thị


 k , k�� làm một đường tiệm cận.
2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 4

4. Hàm số y  cot x
�Tập xác định : D  �\  k , k��
�Tập giá trị: �

�Là hàm số lẻ
�Là hàm số tuần hoàn với chu kì T  

�Hàm nghịch biến trên mỗi khoảng  k;   k 
�Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x  k, k�� làm một đường tiệm cận.
�Đồ thị

B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
Vấn đề 1. Tập xác định và tập giá trị của hàm số
Phương pháp .
�Hàm số y 

f (x) có nghĩa ۳ f (x) 0 và f (x) tồn tại

�Hàm số y 

1
có nghĩa ۹ f (x) 0 và f (x) tồn tại.
f (x)

� sin u(x) �
�
0 u(x) k , k �
� cosu(x) �۹
0 �
u(x)


k , k �.
2

� 1�sin x, cos x �1.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm tập xác định của hàm số sau:


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 5


1. y  tan(x  )
6

2. y  cot2(

2
 3x)
3

Lời giải.


) 0�x۹
1. Điều kiện: cos(x ��
6
6


k
2

x

2
k
3

�2
�
TXĐ: D  �\ �  k, k���.
�3
2. Điều kiện: sin(

2
2
��
3x) 0
�۹ 3x k
3
3

x

2

k
9
3

�2


�
TXĐ: D  �\ �  k , k���.
3
�9
Ví dụ 2. Tìm tập xác định của hàm số sau:
1. y 

tan 2x

 cot(3x  )
sin x  1
6

2. y 

Lời giải.
�

�
sin
 x 1
x �  k2
�
�
�
2
��
1. Điều kiện: �

 k

sin(3x  ) �0 �
�
x � 
6
�
18 3
�
�
 n
�
  k2,  
; k,n���
Vậy TXĐ: D  �\ �
18 3
�2
�
�
2. Ta có: sin 4x  cos3x  sin4x  sin �  3x�
�2
�
�x  � �7x  �
 2cos�  �
sin �  �
�2 4 � �2 4 �
�
�
cos5x �0
�
�
� �x  �

cos� �۹
Điều kiện: �
�0
� �2 4 �
� �7x  �
sin �  ��0
�
� �2 4 �

� 

�x �10  k 5
�
� 
k2
�x
� 2
 k2
�
�x � 14  7
�

� k 
 2m �
,  n2,  
Vậy TXĐ: D  �\ � 
�.
14
7
�10 5 2

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1 Tìm tập xác định của hàm số y 
� 2
�
A. D  �\ �k , k���
� 3

1 sin2x
cos3x  1
�
�
B. D  �\ �k , k���
�6

tan5x
sin4x  cos3x


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 6

�
�
C. D  �\ �k , k���
�3

�
�
D. D  �\ �k , k���
�2
Lời giải:

x k

2
,k �
3

Bài 2. Tìm tập xác định của hàm số y 

1 cos3x
1 sin4x

1 0 cos3x 1
Điều kiện: cos3x �۹۹�
� 2
�
TXĐ: D  �\ �k , k���.
� 3

�

�
  k , k���
A. D  �\ �
2
�8

� 3

�


 k , k���
B. D  �\ �
2
� 8

�

�
  k , k���
C. D  �\ �
2
�4

�

�
  k , k���
D. D  �\ �
2
�6
Lời giải:
Do 1 cos3x �0 x �� nên hàm số có nghĩa � 1 sin 4x �0
۹۹sin4
�x

1

x




k , k �.
8
2

�

�
  k , k���.
TXĐ: D  �\ �
2
�8

Bài 3. Tìm tập xác định của hàm số y  tan(2x  )
4
�3 k
�
, k���
A. D  �\ � 
�8 2

�3 k
�
, k���
B. D  �\ � 
�7 2

�3 k
�
, k���

C. D  �\ � 
�5 2

�3 k
�
, k���
D. D  �\ � 
�4 2
Lời giải:

 
k
Điều kiện: 2x �۹�
4 2

x

3

k ,k �
8
2

�3 k
�
, k���
Vậy TXĐ: D  �\ � 
�8 2
Bài 4. Tìm tập xác định của hàm số sau y 
�  n2

�
; k, n���
A. D  �\ �k, 
3
� 6
�  n2
�
; k, n���
C. D  �\ �k, 
5
� 6

1 cot2 x
1 sin 3x

�   n2
�
; k, n���
B. D  �\ �k , 
3
�3 6
�  n2
�
; k, n���
D. D  �\ �k, 
� 5 3
Lời giải:


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 7

�x k
�x k
�
�� 
Điều kiện: �
2
sin3x �1 �x �  k
�
3
� 6
�  n2
�
k, 
; k,n���
Vật TXĐ: D  �\ �
3
� 6
1
sin2x  cos3x

Bài 5. Tìm tập xác định của hàm số sau y 
�
2
�
A. D  �\ �  k , k2; k���
5
�3

�

4
�
B. D  �\ �  k , k2; k���
7
�5

�
2
�
C. D  �\ �  k , k2; k���
5
�5

�
4
�
D. D  �\ �  k , k2; k���
5
�7
Lời giải:

cos3x 0
: Điều kiện: sin2x �۹

cos

5x
x
.sin
0

2
2

� 5x
�5x 
� 
2
cos �0 � �  k
�
� 2
�2 2
�x �  k
��
��
�� 5
5 .
x
x
�
�
�
sin �0
�k
�x �k2
� 2
�2
�
2
�
TXĐ: D  �\ �  k , k2; k���.

5
�5
tan2x

Bài 6. Tìm tập xác định của hàm số sau y 

3sin2x  cos2x

�
 

�
A. D  �\ �  k ,  k ; k���
2 12
2
�4

�
 

�
B. D  �\ �  k ,  k ; k���
2 5
2
�3

�
 

�

C. D  �\ �  k ,  k ; k���
2 3
2
�4

�
 

�
D. D  �\ �  k ,  k ; k���
2 12
2
�3
Lời giải:

� 

�

x�  k
�
2x �  k
�
� 4
2
��
2
Điều kiện: �

� 3sin2x  cos2x �0 �

2sin(2x  ) �0
�
�
6
� 

� 

x�  k
x�  k
�
�
�
2 �� 4
2
�� 4
.
�



�
�
2x  �k
x�  k
� 12
�
6
2
�

 

�
TXĐ: D  �\ �  k ,  k ; k���.
2 12
2
�4
Bài 7. Tìm tập xác định của hàm số sau y 

cot x
2sin x  1


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 8

� 
5
�
A. D  �\ �k,  k2,  k2; k��� B. D  �\
6
� 6

� 
5
�
�k ,  k2,  k2; k���
6
�2 4

� 

5
�
C. D  �\ �k,  k2,  k2; k��� D. D  �\
6
� 4
Lời giải:

� 
5
�
k,  k2,  k2; k���
�
4
� 3

�x k
�x k
�
�
��
Điều kiện: �

1
sin x  sin �0
sin x  �0 �
�
6
�
2
�

�x k
�
�۹�

x 
x 
2cos(  )sin(  ) �0
�
�
2 12
2 12

�
�x �k
�
� 
k2 .
�x
6
�
� 5
x �  k2
�
� 6

� 
5
�
TXĐ: D  �\ �k,  k2,  k2; k���.
6

� 6


Bài 8. Tìm tập xác định của hàm số sau y  tan(x  ).cot(x  )
4
3
�3

�
A. D  �\ �  k,  k; k���
3
�4
�

�
C. D  �\ �  k,  k; k���
3
�4

�3

�
B. D  �\ �  k,  k; k���
5
�4
�3

�
D. D  �\ �  k ,  k; k���
6

�5
Lời giải:

�  
� 3
x  �  k
x �  k
�
�
� 4 2
� 4
��
Điều kiện: �
.

�x   �k
�
x �  k
� 3
� 3
�3

�
TXĐ: D  �\ �  k,  k; k���.
3
�4

Bài 9. Tìm tập xác định của hàm số sau y  tan(2x  )
3
�


�
A. D  �\ �  k , k���
2
�3

�

�
B. D  �\ �  k , k���
2
�4

�

�
C. D  �\ �  k , k���
2
�12

�

�
D. D  �\ �  k , k���
2
�8
Lời giải:

 
Điều kiện: 2x �۹ k

3 2

x



k
12
2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 9

�

�
TXĐ: D  �\ �  k , k���.
2
�12
Bài 10. Tìm tập xác định của hàm số sau y  tan3x.cot5x
�
 n
�
A. D  �\ �  k , ; k,n���
3 5
�6

�
 n
�

B. D  �\ �  k , ; k, n���
3 5
�5

�
 n
�
C. D  �\ �  k , ; k,n���
4 5
�6

�
 n
�
D. D  �\ �  k , ; k, n���
3 5
�4
Lời giải:

� 

x�  k
�
cos3x 0 �
�
3
�� 6
Điều kiện: �
sin5x �0
�

�x �n
� 5
�
 n
�
TXĐ: D  �\ �  k , ; k,n���
3 5
�6

Vấn đề 2. Tính chất của hàm số và đồ thị hàm số
Phương pháp .
Cho hàm số y  f (x) tuần hoàn với chu kì T
* Để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số, ta chỉ cần khảo sát và vẽ
đồ thị hàm số trên một đoạn có độ dài bằng T sau đó ta tịnh tiến theo các véc
r
r
tơ k.v (với v  (T ;0), k��) ta được toàn bộ đồ thị của hàm số.
* Số nghiệm của phương trình f (x)  k , (với k là hằng số) chính bằng số giao
điểm của hai đồ thị y  f (x) và y  k .
* Nghiệm của bất phương trình f (x) �0 là miền x mà đồ thị hàm số y  f (x)
nằm trên trục Ox .
Chú ý:
�Hàm số f (x)  asin ux  bcos vx  c ( với u, v��) là hàm số tuần hoàn với chu kì
2
T
( (u, v) là ước chung lớn nhất).
(u, v)
�Hàm số f (x)  a.tan ux  b.cot vx  c (với u, v��) là hàm tuần hoàn với chu kì

T

.
(u, v)
Các ví dụ
Ví dụ 1.
Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của các hàm số : f (x)  cos
Lời giải:

3x
x
.cos
2
2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 10

Ta có f (x) 

1
 cos x  cos2x � hàm số tuần hoàn với chu kì cơ sở T0  2 .
2

Ví dụ 2. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở (nếu có) của các hàm số sau.
1. f (x)  cos x  cos





3.x

2. f (x)  sin x2

Lời giải:
1. Giả sử hàm số đã cho tuần hoàn � có số thực dương T thỏa
f (x  T )  f (x) � cos(x  T )  cos 3(x  T )  cos x  cos 3x
�
cosT  1
�
Cho x  0 � cosT  cos 3T  2 � �
cos 3T  1
�
�
T  2n
m
�
m
��
� 3
vô lí, do m,n���
là số hữu tỉ.
n
n
� 3T  2m
Vậy hàm số đã cho không tuần hoàn.
2. Giả sử hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn
� T  0: f (x  T )  f (x) � sin(x  T )2  sin x2 x ��
Cho x  0 � sin T 2  0 � T 2  k � T  k
� f (x  k )  f (x) x ��.
Cho x  2k ta có: f ( 2k )  sin

f (x  k )  sin



k2  k



2





k2



2

 sin(k2)  0 .



 sin 3k  2k 2  �sin(2k 2)

� f (x  k ) �0.
Vậy hàm số đã cho không phải là hàm số tuần hoàn.
Ví dụ 3. Cho a, b,c,d là các số thực khác 0. Chứng minh rằng hàm số
c

f (x)  asin cx  bcosdx là hàm số tuần hoàn khi và chỉ khi
là số hữu tỉ.
d
Lời giải:
* Giả sử f (x) là hàm số tuần hoàn � T  0: f (x  T )  f (x) x
�
asin cT  bcosdT  b
�
cosdT  1
��
Cho x  0, x  T � �
asin cT  bcos dT  b �
sin cT  0
�
�
dT  2n
c m
��
� 
��.
cT

m

d
2
n
�
* Giả sử

c
c k
2k 2l
��� k,l ��:  . Đặt T 

d
d l
c
d

Ta có: f (x  T )  f (x) x ��� f (x) là hàm số tuần hoàn với chu kì T 

2k 2l

.
c
d


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 11

Ví dụ 4. Cho hàm số y  f (x) và y  g(x) là hai hàm số tuần hoàn với chu kỳ lần
T1
lượt là T1 ,T2 . Chứng minh rằng nếu
là số hữu tỉ thì các hàm số
T2
f (x) �g(x); f (x).g(x) là những hàm số tuần hoàn.
Lời giải:
Vì

T1
là số hữu tỉ nên tồn tại hai số nguyên m,n; n �0 sao cho
T2

T1 m
 � nT1  mT2  T
T2 n
Khi đó f (x  T )  f (x  nT1)  f (x) và g(x  T )  g(x  mT2 )  g(x)
Suy ra f (x  T ) �g(x  T )  f (x) �g(x) và f (x  T ).g(x  T )  f (x).g(x) ,

f (x  T ) f (x)

. Từ
g(x  T ) g(x)

đó ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét:
1. Hàm số f (x)  asin ux  bcos vx  c ( với u, v��) là hàm số tuần hoàn với chu kì
2
T
( (u, v) là ước chung lớn nhất).
(u, v)
2. Hàm số f (x)  a.tan ux  b.cot vx  c (với u, v��) là hàm tuần hoàn với chu kì

T
.
(u, v)
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của các hàm số sau f (x)  sin x
A. T0  2

B. T0  

C. T0 


2

D. T0 


4

Lời giải:
Ta có f (x  2)  sin(x  2)  sin x  f (x) x ��
Giả sử có số thực dương T  2 thỏa f (x  T )  f (x)
� sin(x  T )  sin x x ��
Cho x 

(1).


�
�
� VT (1)  sin �  T � cosT  1
2
�2
�

VP(1)  sin


 1 � (1) không xảy ra với mọi x��.
2

Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì cơ sở T0  2 .
Bài 2. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của các hàm số sau f (x)  tan2x,
A. T0 


2

B. T0  2

C. T0  
Lời giải:

D. T0 


4


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 12


� �
Ta có f (x  )  tan2�x  � tan(2x  )  tan2x  f (x)
2
� 2�


thỏa mãn f (x  T )  f (x)
2
� tan(2x  2T )  tan2x x �� (2)

Giả sử có số thực dương T 

Cho x  0 � VT (2)  tan2T �0 , còn VP(2)  0 � (2) không xảy ra với mọi x��.

.
2
Bài 3. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số sau y  sin2x  sin x
Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì cơ sở T0 

B. T0 

A. T  2


2

C. T0  

D. T0 


4

Bài 4.. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số sau y  tan x.tan3x


2
Bài 5. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số sau y  sin3x  2cos2x
A. T  

B. T  2

A. T  2

B. T0 


4

D. T0 

C. T0  

D. T0 

C. T0 


2


4

Bài 6. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số sau y  sin2x  sin x
A. T  2

B. T0 


2

C. T0  

D. T0 


4

Bài 7. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số sau y  tan x.tan3x

2
Bài 8. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số sau y  sin3x  2cos2x
A. T  

B. T  2

A. T  2

B. T0 


4

D. T0 

C. T0  

D. T0 

C. T0 


2


4

Bài 9. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số sau y  sin x

2

D. T0 
4
ĐÁP ÁN
B. T0 

A. Hàm số không tuần hoàn
C. T0  

1A

2A

3A

4A

5A

6A

7A

8A

9A

Vấn đề 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
Các ví dụ
Ví dụ 1 Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau y  2sin x
Lời giải:


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 13

Hàm số y  2sin x
�TXĐ: D  �
�Hàm số y  2sin x là hàm số lẻ
�Hàm số y  2sin x là hàm tuần hoàn với chu kì T  2 .
�

�
�Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng �k2;  k2 �. Nghịch biến trên mỗi
2
�
�

�
�
khoảng �  k2;   k2 �.
�2
�
�
�
�Đồ thị hàm số đi quan các điểm (k;0), �  k2;2�.
�2
�

Ví dụ 2 Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau y  tan2x
Lời giải:
Hàm số y  tan2x
�

�
�TXĐ: D  �\ �  k , k���
2
�4
�Hàm số y  tan2x là hàm số lẻ
�Hàm số y  tan2x là hàm tuần hoàn với chu kì T 
� 
�
�Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng �k;  k �.
� 4
�
�Các đường tiệm cận: x 




k .
4
2

�Đồ thị hàm số đi quan các điểm (

k
;0) .
2


.
2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 14

Ví dụ 2 Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau y  1 2cos2 x
Lời giải:
Hàm số y  1 2cos2 x
Ta có: y  2 cos2x
�TXĐ: D  �
�Hàm số y  2  cos2x là hàm số chẵn
�Hàm số y  2  cos2x là hàm tuần hoàn với chu kì T   .
�
�
�Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng �  k;   k �, nghịch biến trên mỗi
�2
�

� 
�
khoảng �k;  k �.
� 2
�
�Đồ thị hàm số đi quan các điểm (

k
;1),    k;3 .
2

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số y  sin2x
Đồ thị hàm số: y  sin2x


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 15

Bài 2: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số y  2 cos x
Đồ thị hàm số: y  2 cos x

Vấn đề 4. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau.
1. y  4sin x cos x  1

2. y  4  3sin2 2x
Lời giải:

1 Ta có y  2sin2x  1.

Do 1�sin2x �1� 2 �2sin2x �2 � 1�2sin 2x  1�3
� 1�y �3.


* y  1 � sin2x  1 � 2x    k2 � x    k .
2
4

* y  3 � sin2x  1 � x   k .
4
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3, giá trị nhỏ nhất bằng 1.
2
2. Ta có: 0 �sin
 �
x �1

1 4 3sin2 x 4

* y  1 � sin2 x  1 � cos x  0 � x 


 k .
2

* y  4 � sin2 x  0 � x  k .
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 4, giá trị nhỏ nhất bằng 1.
Ví dụ 2. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau.
1. y  6cos2 x  cos2 2x

2. y  (4sin x  3cos x)2  4(4sin x  3cos x)  1

Lời giải:


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 16

1. Ta có: y  6cos2 x  (2cos2 x  1)2  4cos4 x  2cos2 x  1
2
2
0;1�
Đặt t  cos x � t ��
�
�. Khi đó y  4t  2t  1  f (t)

t

0
1

f (t)

7
1

Vậy min y  1 đạt được khi cos x  0 � x 


 k
2

max y  1 đạt được khi cos2 x  1 � x  k

2. Đặt t  4sin x  3cos x � 5 �t �5 x ��
Khi đó: y  t2  4t  1  (t  2)2  3
5;5
��
���
7 t ��
2 3
Vì t ��
Do đó 3 �y �46

0 (t 2)2

49

Vậy min y  3; max y  46 .
Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số sau chỉ nhận giá trị
dương : y  (3sin x  4cos x)2  6sin x  8cos x  2m 1
Lời giải:
Đặt t  3sin x  4cos x � 5 �t �5
Ta có: y  t2  2t  2m 1 (t  1)2  2m 2
5�t �
5�
0�
(t 1)2
Do 

36

y 2m 2

min y 2m 2

Hàm số chỉ nhận giá trị dương � y  0 x ��� min y  0
� 2m 2  0 � m 1.
Vậy m 1 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 4. Tìm m để hàm số y  2sin2 x  4sin xcos x  (3 2m)cos2 x  2 xác định với
mọi x
Lời giải:
Hàm số xác định với mọi x
� 2sin2 x  4sin xcos x  (3  2m)cos2 x  2 �0 x �� (1)
� cos x  0 � (1) đúng
� cos x �0 khi đó ta có: (1) � 2tan2 x  4tan x  (3 2m)  2(1 tan2 x) �0
� 4tan2 x  4tan x �1 2m x ��
�(2tan
�x
���
1)2 
2
 2m

x �

2 2m 0

m

1

Ví dụ 5. Cho các góc nhọn x, y thỏa mãn sin2 x  sin2 y  sin(x  y) () . Chứng
minh rằng: x  y 


2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 17

Lời giải:
� �
0; �
Ta có hàm số y  sin x, y  cos x đồng biến trên khoảng �
� 2�


� �
0; �.
Và x, y,  x,  y ��
2
2
� 2�
�
�
�
� 
sin x  sin �  y � cos y
�
x


y

�
 �
�
�2 �
�Giả sử x  y  � � 2
��
2 � 
�
�
y x �
sin y  sin �  x� cos x
�
� 2
�2 �
�
Suy ra: sin2 x  sin2 y  sin x.sin x  sin y.sin y
 sin x cos y  sin y cos x  sin(x  y)
Mâu thuẫn với ()
�
�
�
� 
sin x  sin �  y� cos y
�
x


y
 �
�

�
�2 �
�Giả sử x  y  � � 2
��
2 � 
�
�
y x �
sin y  sin �  x� cos x
�
� 2
�2 �
�
Suy ra: sin2 x  sin2 y  sin x.sin x  sin y.sin y
 sin x cos y  sin y cos x  sin(x  y)
Mâu thuẫn với ()

� () đúng.
2

Vậy () � x  y  .
2
�Nếu x  y 

Ví dụ 6. Tìm gtln và gtnn của các hàm sau :
1. y  3sin x  4cos x  5

2. y 
Lời giải:

1. Xét phương trình : y  3sin x  4cos x  5
� 3sin x  4cos x  5  y  0 � phương trình có nghiệm
2
�3�
�
42 (5 y�
)2

2
y�
10y 0

0 y 10

Vậy min y  0 ; max y  10 .
2. Do sin x  cos x  2  0 x ��� hàm số xác định với x ��
Xét phương trình : y 

sin x  2cos x  1
sin x  cos x  2

� (1 y)sin x  (2  y)cos x  1 2y  0
Phương trình có nghiệm � (1 y)2  (2  y)2 �(1 2y)2
� y2  y  2 �0 � 2 �y �1

sin x  2cos x  1
sin x  cos x  2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 18

Vậy min y  2; max y  1.
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  2sin x  3
A. max y  5 , min y  1

B. max y  5 , min y  2 5

C. max y  5 , min y  2

D. max y  5 , min y  3
Lời giải:

Ta có 1��
2sin
�x  3 5

1 y

5.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng max y  5 , đạt được khi
sin x  1� x 


 k2 .
2


 k2 .

2
Bài 2. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau
Giá trị nhỏ nhất bằng min y  1, đạt được khi x  
y  1 2cos2 x  1
A. max y  1, min y  1 3

B. max y  3 , min y  1 3

C. max y  2 , min y  1 3

D. max y  0 , min y  1 3
Lời giải:

Ta có 1� 2cos2 x  1 � 3 � 1 3 �y �0
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng max y  0 , đạt được khi x 


 k
2

Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng min y  1 3 , đạt được khi x  k .
Bài 3. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau
�
�
y  1 3sin �
2x  �
4�
�
A. min y  2, max y  4

B. min y  2 , max y  4

C. min y  2, max y  3

D. min y  1, max y  4
Lời giải:

�
�
2x  ��1� 2 �y �4
Ta có: 1�sin �
4�
�
�
�

� y  2 � sin �
2x  � 1 � x    k � min y  2
4�
8
�
�
�
3
� y  4 � sin �
2x  � 1 � x 
 k � max y  4
4�
8
�

Bài 4. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  3 2cos2 3x
A. min y  1, max y  2

B. min y  1, max y  3


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 19

C. min y  2 , max y  3

D. min y  1, max y  3
Lời giải:

cos
 �
3x 1
Ta có: 0 ��
2

1 y 3

k
� min y  1
3
 k
� max y  3
� y  3 � cos2 3x  0 � x  
6 3
� y  1 � cos2 3x  1 � x 

Bài 5. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  1 2  sin2x
A. min y  2 , max y  1 3

B. min y  2 , max y  2  3

C. min y  1, max y  1 3

D. min y  1, max y  2
Lời giải:

Ta có: 1
��
sin2
�x 1

2 y 1

3


� y  2 � sin2x  1 � x    k � min y  2
4

� y  1 3 � sin2x  1 � x   k � min y  2
4
4
1 2sin2 x
4
B. min y  ,
3

Bài 6. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 
A. min y 
max y  3
C. min y 
max y  4

4
, max y  4
3
4
, max y  2
3

D. min y 

1
,
2

Lời giải:
4
y 4
3
4

4
� y  � sin2 x  1 � x   k � min y 
3
2

3

sin
 2�
x 1
Ta có: 0 ��

� y  4 � sin2 x  0 � x  k � max y  4
Bài 7. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau
y  2sin2 x  cos2 2x
3
4
C. max y  4 , min y  2
3
min y 
4
A. max y  4 , min y 

B. max y  3, min y  2
D. max y  3,

Lời giải:
Đặt t  sin2 x, 0 �t �1� cos2x  1 2t


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 20

1
3
� y  2t  (1 2t)2  4t2  2t  1  (2t  )2  .

2
4
1
1 3
12 9
3
1 ����
2t
0 (2t
)
� y 3.
Do 0 �t �
2
2 2
2
4
4

Vậy max y  3 đạt được khi x   k .
2
3
1
min y  đạt được khi sin2 x  .
4
4
Bài 8. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau
y  3sin x  4cos x  1
A. max y  6 , min y  2

B. max y  4 , min y  4

C. max y  6 , min y  4

D. max y  6 , min y  1
Lời giải:

Áp dụng BĐT (ac  bd)2 �(c2  d2 )(a2  b2 ) .
Đẳng thức xảy ra khi

a b
 .
c d

Ta có: (3sin x  4cos x)2 �(32  42 )(sin2 x  cos2 x)  25
� 5 �3sin x  4cos x �5 � 4 �y �6 .
Vậy max y  6 , đạt được khi tan x 

3
.
4

3
min y  4, đạt được khi tan x   .
4
Chú ý: Với cách làm tương tự ta có được kết quả tổng quát sau
max(asin x  bcos x)  a2  b2 , min(asin x  bcos x)   a2  b2
Tức là:  a2  b2 �asin x  bcos x � a2  b2 .
Bài 9. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau
y  3sin x  4cos x  1
A. min y  6; max y  4

B. min y  6; max y  5

C. min y  3; max y  4

D. min y  6; max y  6
Lời giải:

�
4
sin  
�
� �
�
5
0; �thỏa �
Ta có : y  5sin(x   )  1 trong đó  ��
3
� 2�
�
cos 
�
5
Suy ra min y  6; max y  4 .
Bài 10. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau
y  2sin2 x  3sin2x  4cos2 x
A. min y  3 2  1; max y  3 2  1

B. min y  3 2  1; max y  3 2  1

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 21

C. min y  3 2; max y  3 2  1

D. min y  3 2  2; max y  3 2  1

Lời giải:
Ta có: y  1 cos2x  3sin2x  2(1 cos2x)
�
�
 3sin2x  3cos2x  1  3 2sin �
2x  � 1
4�
�
Suy ra min y  3 2  1; max y  3 2  1.
Bài 11. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau
y  sin2 x  3sin2x  3cos2 x
A. max y  2  10; min y  2  10

B. max y  2 5; min y  2 5

C. max y  2  2; min y  2  2

D. max y  2  7; min y  2  7
Lời giải:

Ta có: y 

1 cos2x

3(1 cos2x)
 3sin 2x 
 3sin2x  cos2x  2.
2
2

Mà  10 �3sin2x  cos2x � 10 � 2  10 �y �2  10
Từ đó ta có được: max y  2  10; min y  2  10 .
Bài 12. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  2sin3x  1
A. min y  2,max y  3

B. min y  1,max y  2

C. min y  1,max y  3
min y  3,max y  3

D.
Lời giải:

:C
Bài 13. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  3 4cos2 2x
A. min y  1,max y  4

B. min y  1,max y  7

C. min y  1,max y  3
min y  2,max y  7

D.
Lời giải:

Đáp án C
Bài 14. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau
y  1 2 4  cos3x
A. min y  1 2 3,max y  1 2 5

B. min y  2 3,max y  2 5

C. min y  1 2 3,max y  1 2 5

D. min y  1 2 3,max y  1 2 5
Lời giải:

Đáp án A.
Bài 15. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau
y  4sin6x  3cos6x
A. min y  5,max y  5

B. min y  4,max y  4

C. min y  3,max y  5

D. min y  6,max y  6


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 22

Lời giải:
Đáp án A.
Bài 16. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau

3
y
1 2  sin2 x
A. min y 
C. min y 

3
1 3
2
1 3

,max y 
,max y 

3

B. min y 

1 2
3

D. min y 

1 2

3
1 3
3
1 3

,max y 
,max y 

4
1 2
3
1 2

Lời giải:
Đáp án D
Bài 17. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau
3sin2x  cos2x
y
sin2x  4cos2 x  1
A. min y 
C. min y 

6  3 5
6  3 5
,max y 
4
4

B. min y 

4  3 5
4  3 5
,max y 
4
4

7  3 5
7  3 5
5 3 5
5 3 5
D. min y 
,max y 
,max y 
4
4
4
4
Lời giải:

Đáp án D
Bài 18. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau

y  2cos(3x  )  3
3
A. min y  2 , max y  5
B. min y  1, max y  4
C. min y  1, max y  5

D. min y  1, max y  3
Lời giải:

4
2
k
9

3

2
max y  5 đạt được khi x   k
9
3
Bài 19. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau
Ta có: min y  1 đạt được khi x 

y  3 2sin2 2x  4
A. min y  6 , max y  4 3

B. min y  5 , max y  4  2 3

C. min y  5 , max y  4  3 3

D. min y  5 , max y  4  3
Lời giải:

Ta có: min y  5 đạt được khi x 



k
4
2

max y  4  3 đạt được khi x  k



2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 23

Bài 20. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau
y  sin x  2  sin2 x
A. min y  0 , max y  3

B. min y  0 , max y  4

C. min y  0 , max y  6
max y  2

D. min y  0 ,
Lời giải:

Ta có y �0 x và y2  2 2sin x 2  sin2 x
2
2
2
Mà 2 sin x 2 sin x �sin x  2  sin x  2

y2 �
4
Suy ra 0 ��

0 y 2



min y  0 đạt được khi x    k2
2

max y  2 đạt được khi x   k2
2
Bài 21. Tìm tập giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  tan2 x  4tan x  1
A. min y  2

B. min y  3

C. min y  4

D. min y  1

Lời giải:
Ta có: t  (tan x  2)2  3
min y  3 đạt được khi tan x  2
Không tông tại max .
Bài 22. Tìm tập giá trị nhỏ nhất của hàm số sau
y  tan2 x  cot2 x  3(tan x  cot x)  1
A. min y  5

B. min y  3

C. min y  2

D. min y  4

Lời giải:
Ta có:   tan x  cot x  3 tan x  cot x  3

2




t tan x cot x
Đặt

2
sin2x

t

2

Suy ra y  t2  3t  3  f (t)
Bảng biến thiên

t

�
�

2

2

f (t)
5


Vậy min y  5 đạt được khi x    k .
4
maxy
Không tồn tại
.

7


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 24

Bài 23. Tìm m để hàm số y  5sin4x  6cos4x  2m 1 xác định với mọi x .
A. m�1

B. m�

61  1
2

C. m

61  1
2

D. m�

61  1
2

Lời giải:
Hàm số xác định với mọi x � 5sin4x  6cos4x �1 2m x
Do min(5sin4x  6cos4x)   61 �  61 �1 2m ۳ m

61  1
.
2

Bài 24. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  2 3sin3x
A. min y  2; max y  5

B. min y  1; max y  4

C. min y  1; max y  5

D. min y  5; max y  5

Lời giải:
Ta có: 1�sin3x �1� 1�y �5. Suy ra: min y  1; max y  5
Bài 25. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  1 4sin2 2x
A. min y  2; max y  1

B. min y  3; max y  5

C. min y  5; max y  1

D. min y  3; max y  1
Lời giải:

. Ta có: 0 �sin2 2x �1� 3 �y �1. Suy ra: min y  3; max y  1

Bài 26. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau
y  1 3 2sin x
A. min y  2; max y  1 5

B. min y  2; max y  5

C. min y  2; max y  1 5

D. min y  2; max y  4
Lời giải:

Ta có: 1��
3 �
2sin
 x 5

2 y 1

5 . Suy ra: min y  2; max y  1 5

Bài 27. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau
y  3 2 2  sin2 4x
A. min y  3 2 2; max y  3 2 3

B. min y  2  2 2; max y  3 2 3

C. min y  3 2 2; max y  3 2 3

D. min y  3 2 2; max y  3 3 3
Lời giải:

Ta có: 2 �2  sin2 4x �3 � 3 2 2 �y �3 2 3
Suy ra: min y  3 2 2; max y  3 2 3
Bài 28. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau
y  4sin3x  3cos3x  1
A. min y  3; max y  6

B. min y  4; max y  6

C. min y  4; max y  4

D. min y  2; max y  6

Lời giải:
Ta có: 5 �4sin3x  3cos3x �5 � 4 �y �6 . Suy ra: min y  4; max y  6


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 25

Bài 29. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau
y  3cos x  sin x  4
A. min y  2; max y  4

B. min y  2; max y  6

C. min y  4; max y  6
min y  2; max y  8

D.
Lời giải:

� �
Ta có: y  2sin �x  � 4 . Suy ra: min y  2; max y  6
� 3�
Bài 30. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau
sin2x  2cos2x  3
y
2sin2x  cos2x  4
2
2
A. min y   ; max y  2
B. min y  ; max y  3
11
11
2
2
C. min y  ; max y  4
D. min y  ; max y  2
11
11
Lời giải:
Ta có: 2sin2x  cos2x  4 �4  5  0 x��
sin 2x  2cos2x  3
� (2y  1)sin2x  (y  2)cos2x  3 4y
2sin2x  cos2x  4
2
2
2
2
�

(2y�1)
�
(y 2)2�
y 2
(3 4y)� 11y 24y 4 0
11
2
Suy ra: min y  ; max y  2 .
11
Bài 31. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau
2sin2 3x  4sin3x cos3x  1
y
sin6x  4cos6x  10
y

A. min y 
C. min y 

11 9 7
11 9 7
; max y 
83
83

B. min y 

22 9 7
22  9 7
; max y 
11

11

33 9 7
33 9 7
22 9 7
22  9 7
D. min y 
; max y 
; max y 
83
83
83
83
Lời giải:

Ta có: sin6x  4cos6x  10 �10  17  0 x ��
y

2sin6x  cos6x  2
� (y  2)sin6x  (4y  1)cos6x  2 10y
sin6x  4cos6x  10

� (y  2)2  (4y  1)2 �(2  10y)2 � 83y2  44y  1�0
�
ۣ

22  9 7
83

y

Suy ra: min y 

22 9 7
83
22 9 7
22  9 7
.
; max y 
83
83