Câu hỏi trắc nghiệm môn toán 12 bài toán thực tế tọa độ TRONG KHÔNG GIAN file word có lời giải chi tiết

BÀI TOÁN VẬN DỤNG
VỀ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN Oxyz

 Dạng 132. Bài toán vận dụng viết phương
trình mặt phẳng

Câu 01. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương
ABCD.A ’B’C ’D ’ , biết

A ( 0;0;0) , B ( 1;0;0) , D ( 0;1;0)  và A ’ ( 0;0;1) .

Phương trình

nào dưới đây là phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng CD ’ và tạo
với mặt phẳng ( B B’D ’D ) một góc lớn nhất?
A. x − y + z = 0 .

B. x − y + z − 2 = 0 .

C. x + 2y + z − 3 = 0 .

D. x + 3y + z − 4 = 0 .
Lời giải tham khảo
Ta có:

B ( 1;0;0) , B’ ( 1;0;1) , C ( 1;1;0) , D’ ( 0;1;1) . 

Do đó ( BB’D ’D ) có phương trình: x + y − 1 = 0

( P)

tạo với ( BB’D ’D ) một góc lớn nhất

⇔ ( P ) vuông góc với ( BB’D ’D ) .

Vậy ( P ) chứa CD ’ và vuông góc với ( BB’D ’D )
nên phương trình ( P ) là: x − y + z = 0.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

1


Câu 02. Trong không gian với hệ tọa độ
∆:

Oxyz, cho đường thẳng

x− 1 y z− 2
và điểm M ( 2;5;3) . Phương trình nào dưới đây là phương
= =
2
1
2

trình mặt phẳng ( P ) chứa ∆ sao cho khoảng cách từ M đến mp ( P ) lớn nhất?
A. x − 4y − z + 1 = 0.

B. x + 4y + z − 3 = 0 .

C. x − 4y + z − 3 = 0.

D. x + 4y − z + 1 = 0.
Lời giải tham khảo

Ta có khoảng cách từ M đến mặt phẳng bất kỳ chứa ∆ không vượt quá khoảng
cách từ M đến đường thẳng ∆ và khoảng cách đó sẽ đạt giá trị lớn nhất khi mặt
uuuur
phẳng này chứa ∆ và nhận MH làm vectơ pháp tuyến trong đó H là hình chiếu
của M lên ∆.
uuuur
Ta có H ( 3;1;4) và MH ( 1; −4;1) .

Câu

03.

Trong

không

gian

với

hệ

tọa

độ

Oxyz,

cho

hai

điểm

A ( 1;2; −1) , B ( 0;4;0) và mặt phẳng

( P ) :2x − y − 2z + 2017 = 0. Phương trình nào
dưới đây là phương trình mặt phẳng ( Q ) đi qua hai điểm A , B và tạo với mặt
phẳng ( P ) một góc nhỏ nhất?
A. ( Q ) : x + y − z + 4 = 0.

B. ( Q ) : x + y − z − 4 = 0 .

C. ( Q ) : 2x + y − 3z − 4 = 0 .

D. ( Q ) : 2x − y − z − 4 = 0.
Lời giải tham khảo

0
0
Nhận xét: 0 ≤ ( (P),(Q)) ≤ 90 , nên góc ( (P ),(Q)) nhỏ nhất khi cos( (P ),(Q)) lớn nhất.

( Q ) : ax + b(y − 4) + cz = 0; A ∈ (Q) ⇒ a = 2b+ c
Ta có cos ( (P),(Q)) =

2a − b − 2c

3 a2 + b2 + c2

=

b
a2 + b2 + c2

0
Nếu b = 0 ⇒ cos ( (P ),(Q)) = 0 ⇒ ( (P ),(Q)) = 90

2

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Nếu

b ≠ 0 ⇒ cos ( (P ),(Q)) =

1
2

 c
 c
2 ÷ + 4 ÷ + 5
 b
 b

=

1
2

c 
2 + 1÷ + 3
b 

≤

1
3.

Dấu bằng xảy ra khi b = −c; a =  − c , nên phương trình mp ( Q ) là: x + y − z − 4 = 0 .
Oxyz, cho đường thẳng

Câu 04. Trong không gian với hệ tọa độ
∆:

x− 1 y z+ 1
và mặt phẳng
= =
2
1
−1

( P ) : 2x − y + 2z − 1 = 0 .

Phương trình nào dưới

đây là phương trình mặt phẳng ( Q ) chứa ∆ và tạo với ( P ) một góc nhỏ nhất?

A. 2x − y + 2z − 1 = 0 .

B. 10x − 7y + 13z + 3 = 0 .

C. 2x + y − z = 0 .

D. − x + 6y + 4z + 5 = 0 .
Lời giải tham khảo

Gọi A là giao điểm của d và ( P ) , m là giao tuyến của ( P ) và ( Q ) . Lấy điểm I trên d
.
·
Gọi H là hình chiếu của I trên ( P ) , dựng HE vuông góc với m, suy ra φ = IEH
là góc
giữa ( P ) và ( Q )
•

tan ϕ =

IH
IH
≥
. Dấu " = " xảy ra khi E ≡ A .
HE HA

uur
uu
r uur
Khi đó đường thẳng m vuông góc với d , chọn um = dd ; nP 
uur

uu
r uur
nQ = ud ; um  .


Câu

05.

( S) :(x − 1)

2

Trong

không

gian

với

hệ

tọa

+ (y − 2)2 + (z − 3)2 = 9 và đường thẳng

độ
∆:

Oxyz,

cho

mặt

cầu

x− 6 y− 2 z− 2
. Phương
=
=
−3
2
2

trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua M ( 4;3;4) , song song
với đường thẳng ∆ và tiếp xúc với mặt cầu ( S) ?
A. 2x + y + 2z − 19 = 0 .

B. x − 2y + 2z − 1 = 0 .

C. 2x + 2y + z − 18 = 0 .

D. 2x + y − 2z − 10 = 0.
Lời giải tham khảo
3

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

r
n
Gọi = ( a; b; c) là vecto pháp tuyến của ( P )
Ta có −3a + 2b + 2c = 0
Điều kiện tiếp xúc ta có 3a + b + c = 3 a2 + b2 + c2
Từ đó suy ra 2b = c , b = 2c
Suy ra hai mặt phẳng ở A và C .
C loại vì chứa ∆ .

4

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


 Dạng 133. Bài toán vận dụng tổng hợp về tọa
độ không gian Oxyz

Câu 06. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A ( 1;2;0) , 
B ( 2;1;1) , C ( 3;1;0) và D ( 5; −1;2) . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng đi qua hai điểm
A và B và cách đều C và D .
A. 1.
phẳng.

B. 2.

C. 4.

D. Vô số mặt

Lời giải tham khảo
Kiểm tra ta được AB song song với CD nên có vô số mặt phẳng mặt phẳng đi
qua hai điểm A và B và cách đều C và D .
Câu

07.

Trong

không

gian

với

hệ

tọa

độ

Oxyz,

Cho

các

điểm

A ( 1;0;0) , B ( 0;1;0) , C ( 0;0;1) , D ( 0;0;0) . Hỏi có bao nhiêu điểm cách đều 4 mặt

phẳng ( ABC ) , ( BCD ) , ( CDA ) , ( DAB) ?
A. 8 .

B. 5 .

C. 1.

D. 4.

Lời giải tham khảo
Gọi I ( x; y; z) cách đều 4 mặt ta có x + y + z =

x+ y+ z− 1
3

, phương trình có 8 nghiệm.

Câu 08. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A ( 1;–2;0) ,
B ( 0;–1;1) , C ( 2;1;–1) và D ( 3;1;4) . Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng chia tứ
diện ABCD thành 2 phần có thể tích bằng nhau ?
A. 4 mặt phẳng.

B. 6 mặt phẳng.

C. 8 mặt phẳng.

D. Có vô số mặt phẳng.
Lời giải tham khảo

Trên các cạnh AB, AC , AD lấy lần lượt M , N , P sao cho

MN AN AP 1
.
.
= thì
AB AC CB 2

mp( MNP ) chia khối tứ diện ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau có vô số
mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu.
5

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Câu

09.

Trong

không

gian

với

A ( 1;–2;0) , B ( 0;–1;1) , C ( 2;1;–1) và

hệ

tọa

độ

Oxyz,

cho

bốn

điểm

D ( 3;1;4) . Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt

phẳng cách đều bốn điểm đó ?
A. 1 mặt phẳng.

B. 4 mặt phẳng.

C. 7 mặt phẳng.

D. Có vô số mặt phẳng.
Lời giải tham khảo

uuur
uuur
uuur
Ta có: AB = ( −1;1;1) ; AC = ( 1;3; −1) ; AD = ( 2;3;4) .
uuur uuur uuur
Khi đó:  AB; AC  .AD = −24 ≠ 0 do vậy A , B,C , D không đồng phẳng

Do đó có 7 mặt phẳng cách đều 4 điểm đã cho bao gồm.
+) Mặt phẳng qua trung điểm của AD và song song với mặt phẳng ( ABC )
+) Mặt phẳng qua trung điểm của AB và song song với mặt phẳng ( ACD )
+) Mặt phẳng đi qua trung điểm của AC và song song với mặt phẳng ( ABD )
+) Mặt phẳng đi qua trung điểm của AB và song song với mặt phẳng ( BCD )
+) Mặt phẳng qua trung điểm của AB và CD đồng thời song song với BC và AD
+) Mặt phẳng qua trung điểm của AD và BC đồng thời song song với AB và CD
+) Mặt phẳng qua trung điểm của AC và BD đồng thời song song với BC và AD
Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M ( 1;2;3) và mặt
phẳng

( P)

qua M cắt Ox , Oy , Oz tại A ( a;0;0) , B ( 0; b;0) , B ( 0;0; c)

(với

a, b, c > 0). Với giá trị nào của a, b, c thì thể tích khối tứ diện OABC (O là gốc tọa
độ) nhỏ nhất?
A. a = 9, b = 6, c = 3.

B. a = 6, b = 3, c = 9.

C. a = 3, b = 6, c = 9.

D. a = 6, b = 9, c = 3.
Lời giải tham khảo

Phương trình mặt phẳng là ( P ) :

x y z
+ + = 1.
a b c
6

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Vì đó mặt ( P ) đi qua M ( 1;2;3) nên ta có:
Nên thể tích khối tứ diện OABC là : V =

Ta có: 1 =

1 2 3
+ + = 1 ( 1)
a b c

1
abc
..
6

( 2)

1 2 3
6
abc
..
+ + ≥ 33
⇔

≥ 27 . Vậy thể tích lớn nhất là: V = 27 .
a b c
abc
..
6

x y z
Vậy a = 3; b = 6; c = 9 . Phương trình là: ( P ) : + + = 1 ⇔ 6x + 3y + 2z − 18 = 0.
3 6 9
Câu

11.

Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz,

cho mặt phẳng

x− 1 y+ 3 z− 5
và điểm M ( 2 ;3 ;1) .
=
=
1
2
−1
Gọi A là điểm thuộc đường thẳng d, B là hình chiểu của A trên mặt phẳng

( P ) : 3x − 3y + 4z + 16 = 0 ,
( P ) . Tìm tọa độ điểm

A. A ( 3 ;1;3) .

đường thẳng d :

A biết tam giác MAB cân tại M .
B. A ( 1 ; −3 ;5) .

C. A ( 2 ; −1 ;4) .

D. A ( 0; −5;6) .

Lời giải tham khảo
Gọi H là trung điểm AB và A ’ là điểm đối xứng của A qua M .
 MH / / A ' B
⇒ A ' B ⊥ AB ⇒ A ' ∈ ( P ) .
Khi đó: 
 MH ⊥ AB
Vì M là trung điểm AA ’ nên A ′ ( −t + 3; −2t + 9; t − 3) . Mà A ’∈ ( P ) ⇒ t = 2 ⇒ A ( 3;1;3) .
Câu

12.

( S) : ( x − 1)

2

Trong

không

gian

với

hệ

tọa

+ ( y + 1) + ( z − 1) = 1 và mặt phẳng
2

2

độ

Oxyz,

cho

( P) : x + y + z + 5 = 0.

mặt

cầu

Điểm M

thuộc mặt phẳng ( P ) sao cho qua M kẻ tiếp tiếp tuyến đến mặt cầu ( S) tiếp
xúc với mặt cầu ( S) tại N thỏa mãn MN nhỏ nhất. Mệnh đề nào dưới đây là
đúng?

A. M ( −1; −3; −1) .
B. M ( 1;3;1) .
C. Không tồn tại điểm M .
D. Điểm M thuộc một đường tròn có tâm ( −1; −2; −3) , bán kính bằng 1
7

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


thuộc ( P ) .
Lời giải tham khảo
Tâm của ( S) là I ( 1; −1;1) và bán kính của ( S) là R = 1.
Ta có: MN 2 = IM 2 – R2 ≥ IH 2 – R2
Trong đó H là hình chiếu của I trên ( P )
Vậy: MN nhỏ nhất ⇔ M là hình chiếu của I trên ( P ) . Vậy M ( −1; −3; −1)
Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ
d:

Oxyz, cho đường thẳng

x− 4 y− 5 z
mặt phẳng ( α ) chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách
=
=
1
2
3

từ O đến ( α ) đạt giá trị lớn nhất. Tìm tọa độ giao điểm M của ( α ) và trục
Ox .

A. M ( 3;0;0) .

B. M ( 6;0;0) .

C. M  9 ;0;0÷.
2


D. M ( 9;0;0) .

Lời giải tham khảo
Gọi ( α ) là mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán: ( α )
Tọa độ hình chiếu của O trên đường thẳng là M . Ta có tọa độ M là: M ( 3;3; −3)

(

)

Gọi H là hình chiếu của M trên mặt phẳng cần lập ta có: d O , ( α ) = OH ≤ OM .
Vậy khoảng các lớn nhất băng OM ⇒ ( α ) : x + y − z − 9 = 0
Vậy tọa độ giao điểm của ( α ) với Ox là N ( 9;0;0) .
Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S) và mặt phẳng

( P)

không có điểm chung. Có bao nhiêu điểm thuộc mặt phẳng ( P ) sao cho

qua điểm đó kể tiếp tiếp tuyến đến mặt cầu ( S) thỏa mãn khoảng cách từ
điểm đó đến tiếp điểm đạt giá trị nhỏ nhất?
A. 1 điểm.

B. 2 điểm.

C. không có điểm nào.

D. có vô số điểm.
8

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Lời giải tham khảo
Gọi điêm M thuộc mặt phẳng ( P ) . kẻ tiếp tuyến MA ( A là tiếp điểm).
MA 2 = MI 2 + R2 (với I là tâm cố định, R không đổi) MA nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất,
khi M là hình chiếu của I trên ( P ) ( chú ý mặt cầu ( S) và mặt phẳng ( P ) không có
điểm chung)
Câu

15.

Trong không gian với hệ tọa độ

( P ) : x − 2y + 2z − 5 = 0

Oxyz,

cho mặt phẳng

và hai điểm A ( −3;0;1) , B ( 1; −1;3) . Phương trình nào dưới

đây là phương trình đi qua A và song song với ( P ) , đồng thời khoảng cách từ
B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất?
A.

x+ 1 y z− 2
.
=
=
31 12
−4

B.

x−1 y+ 4 z
=
= .
3
12
11

C.

x y+ 3 z−1
.
=
=
21
11
−4

D.

x+ 3 y z− 1
.
=
=
26
11 −2

Lời giải tham khảo
Đường thẳng d cần viết nằm trong mặt phẳng ( Q ) qua A và song song với ( P ) .
Pt ( Q ) là: x − 2y + 2z + 1 = 0. Để khoảng cách từ B đến d là nhỏ nhất thì d phải đi
qua A và điểm H là hình chiếu vuông góc của B trên ( Q ) .
 1 11 7 
Ta có H  − ; ; ÷ . Phương trình d là phương trình đường thẳng qua AH .
 9 9 9
Câu

16.

Trong

không

gian

với

hệ

tọa

độ

Oxyz,

cho

hai

điểm

A ( 1;2;2) ; B ( 5;4;4) và mặt phẳng ( P ) : 2x + y − z + 6 = 0. Gọi M là điểm thay đổi
thuộc ( P ) , tính giá trị nhỏ nhất của MA 2 + MB2 .
A. 60.

B. 50.

C.

200
.
3

D.

2968
.
25

Lời giải tham khảo
Ta có MA 2 + MB2 = 2MI 2 +

AB2
AB2
≥ 2d2 ( I ;(P )) +
= 60 với I là trung điểm của AB.
2
2

9

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A ( 1;2;1) ,
B ( 2;1;1) ,

C ( 1;1;2) .

hợp tất cả các điểm M trên mặt phẳng
uuuur uuuu
r uuuu
r uuuu
r uuuu
r uuuur
( α ) : 3x + 6y − 6z − 1 = 0 sao cho MA.MB + .MB.MC + .MC.MA = 0 là hình nào trong
Tập

các hình sau?

A. một đường tròn.
B. một mặt cầu. C. một điểm.
D. một mặt phẳng.
Lời giải tham khảo
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ta có
uuuu
r uuuu
r uuuu
r uuuu
r uuuu
r uuuu
r
uuur uuu
r uuu
r uuur uuur uuur
1
MA.MB + .MB.MC + .MC.MA = 0 ⇔ 3MG2 + GA.GB + .GBGC
.
+ .GC.GA = 0 ⇔ MG =
3
Vì d( G,(α )) =
Câu

18.

1
nên M là hình chiếu của G trên ( α ) : 3x + 6y − 6z − 1 = 0 .
3

Trong

không

gian

với

A ( 1;2; −2) , B ( 3;4;4) và mặt phẳng

hệ

( P) :

tọa

Oxyz,

độ

cho

hai

điểm

2x + y – z + 6 = 0. Tìm tọa độ điểm M

nằm trên ( P ) sao cho MA 2 + MB2 nhỏ nhất.
A. M ( −2;1;1) .

B. M ( −3;1;1) .

C. M ( −2;1;3) .

D. M ( 3; −1;1) .

Lời giải tham khảo

(

)

2
2
2
2
Áp dung công thức 2 MA + MB = 4MI + AB   với I là trung điểm của đoạn AB.

Vậy để MA 2 + MB2 đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất. Hay M là hình chiếu
vuông góc của I trên ( P ) .
I ( 2;3;1) , ta tìm được M ( −2;1;3) .
Câu

19.

Trong

không

gian

với

A ( 1;2; −1) , B ( 0;4;0) và mặt phẳng

hệ

tọa

Oxyz,

độ

( P ) :2x − y − 2z + 2015 = 0 .

cho

hai

điểm

Gọi α là góc nhỏ

nhất giữa mặt phẳng ( Q ) đi qua hai điểm A , B và tạo với mặt phẳng

( P) .

Tính giá trị của cosα .
A. cosα =

1
.
9

B. cosα =

1
.
6

C. cosα =

2
.
3

D. cosα =

1
3

.

Lời giải tham khảo
10

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Mặt phẳng ( Q ) đi qua điểm B nên có phương trình dạng

(a +b +c

ax + b( y − 4) + cz = 0 ( Q )

2

2

2

)

>0

Mà điểm A cũng thuộc ( Q ) nên a.1+ b( 2 − 4) + c( −1) = 0 ⇔ a = 2b + c ( 1) .
uur
Một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P ) : nP = ( 2; −1; −2)
uur
Một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng ( Q ) : nQ = ( a; b; c)
Gọi α là góc tạo bởi hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) . Khi đó ta có
uur uur
nP .nQ
2a − b − 2c
cosα = uur uur =
nP . nQ 3. a2 + b2 + c2

( 2)

Thế a = 2b + c ( 1) vào ( 2) ta được

cosα =

3b
3. 5b2 + 4bc + 2c2

=

b
5b2 + 4bc + 2c2

+) Nếu b = 0 ⇒ cosα =0 ⇒ α =900 .

+) Nếu

b ≠ 0 ⇒ cosα =

1
2

 c
 c
2 ÷ + 4 ÷ + 5
 b
 b

=

1
2

 c
 c
2 ÷ + 4 ÷ + 5
 b
 b

=

1
2

c 
2 + 1÷ + 3
b 

≤

1
3

11

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


ĐÁP ÁN TOÁN THỰC TẾ: TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN
01A

02C

03B

04B

05A

06D

07A

08D

09C

11A

12A

13D

14A

15D

16A

17C

18C

19D

10C

12

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất