37 bài tập luyện tập về cực trị hàm số file word có lời giải chi tiết

37 bài tập - Luyện tập về Cực trị hàm số - File word có lời giải chi tiết
x3
1
Câu 1. Hai cực trị của đồ thị hàm số y = − + 3x 2 − 4 x − đối xứng nhau qua điểm
3
3
 17 
A. I  −3; ÷
3


 17 
B. I  3; ÷
 6

17 

C. I  3; − ÷
3


 17 
D. I  3; ÷
 3

Câu 2. Hàm số đạt cực đại tại x = 1 , đạt cực tiểu tại x = 2 là
x3 3x 2
+ 2x
A. y = −
3
2

C. y =

x3 3x 2
− 2x
B. y = − +
3
2

x3 x 2
− − 2x
3 2

D. y = −

x3 x 2
+ + 2x
3 2

Câu 3. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua gốc tọa độ?
x3 3x 2
A. y = −
3
2

x3
B. y = − − 2 x
3

x3 x 2
C. y = − − 2 x

3 2

x3
D. y = −
3

Câu 4. Cho hàm số y = x 3 − 9 x 2 + 12 x + 2 . Hàm số có 2 điểm cực trị tại x1 và x2 , ( x1 > 0; x2 > 0 ) . Giá trị
của biểu thức

x1 + x2 là:

A. 2 5

B.

5

C. 10

D. 4 5

Câu 5. Cho hàm số y = x 3 − 6 x 2 + 2 . Gọi M ( x1 ; y1 ) , N ( x2 ; y2 ) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số đã
cho. Tính giá trị biểu thức P = x1 x2 + y1 y2 ?
A. −120

B. −60

C. 0

D. 8

3
2
Câu 6. Cho hàm số y = x − 3x + 1 ( 1) . Gọi A, B lần lượt là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). Biết

điểm C ( 4;3) , tam giác ABC là
A. tam giác vuông cân

B. tam giác vuông

C. tam giác đều

D. tam giác cân

Câu 7. Gọi d là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x3 + 3x 2 − 9 x + 1 , điểm
M ( m − 1;2 ) thuộc đường thẳng d, giá trị của m gần với giá trị nào sau đây nhất?
A. −2

B. −1

C. 2

D. 1

4 3 x2
Câu 8. Hàm số y = x + − 5 x + 6
3
2
A. nhận điểm x = −1 là điểm cực đại
C. nhận điểm x =

5
làm điểm cực đại
4

B. nhận điểm x = 1 là điểm cực tiểu
D. nhận điểm x = −

5
là điểm cực tiểu
4


4
2
Câu 9. Cho hàm số y = x − 2 x − 2 ( 1) . Gọi A, B, C lần lượt là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).

Tính diện tích tam giác ABC (đơn vị diện tích).
A. S ∆ABC = 1

B. S ∆ABC = 2

C. S ∆ABC = 4

D. S ∆ABC = 3

Câu 10. Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 2 có đồ thị ( C ) . Gọi I là tâm đường tròn ( T ) đi qua ba điểm cực trị
của đồ thị hàm số và điểm M ( 1;0 ) . Độ dài đoạn thẳng IM bằng
A. IM = 2

B. IM = 2

C. IM = 3

D. IM = 2 2

Câu 11. Cho đồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c đạt cực đại tại A ( 0; −3) và cực tiểu B ( −1; −5 ) . Tính giá trị
của biểu thức P = a + 2b + 3c .
A. P = −5

B. P = −9

C. P = −15

D. P = 3

Câu 12. Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 + m có đồ thị là ( C ) . Gọi A là điểm cực đại của đồ thị hàm số ( C ) ,
2
điểm B ( m − 1; m − m ) với m ≥ −1 . Gọi m1 , m2 là hai giá trị sao cho độ dài AB ngắn nhất, tổng m1 + m2

bằng
A.

1
2

B. 2

C. 1

D. 1 −

1
2

4
2
Câu 13. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = mx + ( m − 1) x + 3m + 1 chỉ có đúng một cực

trị.
A. 0 ≤ m ≤ 1

B. m ≥ 1

C. m ≤ 0

m ≥ 1
D. 
m ≤ 0

Câu 14. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên tập K và xác định tại x0 ∈ K . f ' ( x ) đổi dấu từ dương
sang âm khi x đi qua giá trị x = x0 . Phát biểu nào sau đây đúng?
A. ( x0 ; f ( x0 ) ) gọi là điểm cực đại của đồ thị
B. ( x0 ; f ( x0 ) ) gọi là điểm cực tiểu của đồ thị
C. ( x0 ; f ( x0 ) ) gọi là cực đại của đồ thị
D. ( x0 ; f ( x0 ) ) gọi là cực tiểu của đồ thị
Câu 15. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên tập K và xác định tại x0 ∈ K . f ' ( x ) đổi dấu từ âm sang
dương khi x đi qua giá trị x = x0 . Phát biểu nào sau đây đúng?
A. ( x0 ; f ( x0 ) ) gọi là điểm cực đại của đồ thị
B. ( x0 ; f ( x0 ) ) gọi là điểm cực tiểu của đồ thị

C. ( x0 ; f ( x0 ) ) gọi là cực đại của đồ thị


D. ( x0 ; f ( x0 ) ) gọi là cực tiểu của đồ thị
3
2
Câu 16. Giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x − 6 x + 3 ( m + 2 ) x − m − 6 có hai điểm cực trị với

hoành độ cùng dấu?
A. −2 ≤ m < 2

B. −2 < m ≤ 2

C. −2 < m < 2

D. −1 < m < 3

Câu 17. Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp hai. Chọn phát biểu đúng?
A. Nếu f ' ( x0 ) = 0 và f '' ( x0 ) < 0 thì hàm số y = f ( x ) đạt cực đại tại x0
B. Nếu f ' ( x0 ) = 0 và f '' ( x0 ) < 0 thì hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu tại x0
C. Nếu f ' ( x0 ) = 0 và f '' ( x0 ) > 0 thì hàm số y = f ( x ) đạt cực đại tại x0
D. Nếu f '' ( x0 ) = 0 thì hàm số y = f ( x ) đạt cực đại tại x0
3
2
Câu 18. Hàm số y = x − ( m − 1) x − x + 2 có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa mãn điều kiện 3 ( x1 + x2 ) = 2

khi:
A. m = −2

B. m = −1

C. m = 1

D. m = 2

1
Câu 19. Hàm số y = − x 3 + x 2 + ( m − 2 ) x + 2 có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1 x2 + 10 = 0
3
khi:
A. m = −12

B. m = −8

C. m = 8

D. m = 12

1
Câu 20. Đồ thị hàm số y = x3 − mx 2 + ( 2m − 1) x − 3 có hai điểm cực trị với hoành độ x1 , x2 thỏa mãn
3
x1 x2 = 6 khi:
A. m =

7
2

B. m =

1
2

C. m =

5
2

D. m = 1

1
1
Câu 21. Với giá trị nào của m thì hàm số y = x3 − ( 2m + 1) x 2 + ( m 2 + 2 ) x + 1 có hai điểm cực trị với
3
2
hoành độ x1 , x2 thỏa mãn 3 x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0 ?
A. m =

1
4

B. m = 2

C. m = 4

D. m = 8

Câu 22. Cho hàm số y = x 3 − 6 x 2 + mx + n . Giá trị của m 2 + n 2 biết đồ thị hàm số đạt cực trị tại điểm
A ( 2;8 ) là:
A. 720

B. 25

C. 169

D. Không tồn tại m, n

Câu 23. Tìm điểm cực đại M của đồ thị hàm số y = x 4 − 2 x 2 − 5 .
A. M ( ±1; −6 )

B. M ( 0; −5 )

C. M ( ±1;8 )

Câu 24. Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 − 3 . Xét các khẳng định sau:

D. M ( 0; −4 )


1. Hàm số đã cho đạt cực trị tại x = 1
2. Hàm số đã cho có ba điểm cực trị
3. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 0
Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định đúng?
A. 2

B. 0

C. 1

D. 3

4

2
Câu 25. Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho hàm số y = x − ( m − 1) x − 3 đạt cực trị tại x1 ; x2 ; x3

thỏa mãn điều kiện x12 + x22 + x32 = 4 .
A. m = 4

B. m = 3

C. m = 2

D. m = 5

3
2
Câu 26. Cho hàm bậc ba f ( x ) = ax + bx + cx + d có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây, giá trị của

biểu thức 2a + 3b + c + d bằng:
x

−∞

0

f '( x )
f ( x)

−

+∞

1

0

+

0

+∞

−

1
−∞

0
A. 1

B. −5

D. −1

C. 5

3
2
Câu 27. Cho hàm số bậc ba y = x + ax + bx + c ( 1) đạt cực trị bằng 0 tại x = −2 và đồ thị hàm số (1) đi

qua điểm M ( 1;0 ) , giá trị của biểu thức 3a + 2b − c bằng
A. 2

B. 1

C. −1

D. 13

Câu 28. Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 − 9 x + 3 . Gọi A ( x1; y1 ) và B ( x2 ; y2 ) lần lượt là tọa độ các điểm cực đại
và cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho. Giá trị của biểu thức A =
−23
5

A. A =

B. A =

−5
23

x1 − y2
là:
x2 − y1

C. A = 5

D. A = −5

Câu 29. Đồ thị hàm số nào sau đây có cực đại cực tiểu và xCD > xCT
1
A. y = x3 − x 2 + x + 2

3

B. y = − x 3 + 6 x 2 − 12 x + 1

C. y = x 3 − 3x 2 − 4 x + 1

D. y =

−1 3
x + 2x2 + x
3

Câu 30. Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 3nx . Giá trị của T = m + n để đồ thị hàm số đạt cực trị tại điểm
A ( 2;2 ) là:
A. T =

5
2

B. T =

7
2

C. T = 5

D. T =

3
2

3
2
Câu 31. Giá trị của tham số m để hàm số y = ( m − 2 ) x − mx + ( m − 3) x + 1 có 2 điểm cực trị trái dấu là:

A. m < 3

B. m < 2

C. m < 0

D. m > 2

Câu 32. Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + m − 1 . Giá trị của m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm khác phía
trục hoành là:
A. m < 1

B. m > 1

C. 1 < m < 5

D. m > 5

Câu 33. Đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau nhận điểm A ( −1;0 ) là điểm cực đại.
A. y = x 4 − 2 x 2 − 1

B. y = − x 4 + 2 x 2 − 1

C. y = x 4 − 2 x 2

D. y = − x 4 + 2 x 2

Câu 34. Đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau có 2 điểm cực đại và một điểm cực tiểu:
A. y = − x 4 − 3x 2 + 1

B. y = x 4 − 4 x 2 − 2

C. y = − ( x 2 − 2 )

2

D. y = − ( x 2 + 1)

2

2
4
2
Câu 35. Giá trị của tham số m để hàm số y = ( m − 3) x + mx + m − 1 có 3 điểm cực trị là:

m < − 3
A. 
0 < m < 3

m > 3
B. 
 − 3 < m < 0

m > 1

C. 
− 3 < m < 0

D. m < 0

2
4
2
Câu 36. Giá trị của tham số m để hàm số y = ( m − 4m ) x + ( m − 2 ) x + 2 có 2 điểm cực đại và một điểm

cực tiểu là:
A. 0 < m < 4

m < 0
B. 
m > 2

C. 2 < m < 4

D. m > 1

4
2
Câu 37. Giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x − 2 ( m + 1) x + 2 đạt cực trị tại các điểm A, B, C
sao cho BC = 2OA (trong đó A là điểm cực trị thuộc trục tung) là:

A. m = −3

 m = −3
B. 

m = 1

m = 0
C. 
m = 1

D. m = 1


HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Chọn đáp án D

17 + 10 5
 x1 = 3 + 5 ⇒ y1 =
x +x
y + y2 17
3
y ' = − x2 + 6x − 4 = 0 ⇔ 

→ xI = 1 2 = 3; y I = 1
=
2
2
3

17 − 10 5
x
=
3
−

5
⇒
y
=
 2
2
3

Câu 2. Chọn đáp án A
Do xC Ð < xCT nên hàm số bậc ba có hệ số của x 3 là số dương ⇒ Loại B, D.
d
(
dx

Dùng phím

)

để kiểm tra đạo hàm tại x = 1, x = 2 có đều bằng 0? Thấy A thỏa mãn.
x=

Câu 3. Chọn đáp án B
Loại ngay đáp án D vì hàm số không có cực trị. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình y ' = 0 .
→−
Do hai cực trị đối xứng nhau qua O nên x1 + x2 = 0 

b
= 0 ⇔ b = 0 . Hàm số bậc ba khuyết b.
a

Câu 4. Chọn đáp án C
Viet
y ' = 3 x 2 − 18 x + 12 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 → x1 + x2 = 6, x1 x2 = 4

(

x1 + x2

)

2

= x1 + x2 = 2 x1 x2 = 6 + 4 = 10 
→ x1 + x2 = 10 .

Câu 5. Chọn đáp án B
 x = 0 ⇒ y1 = 2
y ' = 3 x 2 − 12 x = 0 ⇔  1

→ x1 x2 + y1 y2 = −60 .
 x2 = 4 ⇒ y2 = −30
Câu 6. Chọn đáp án A

uuu
r
 AB = 2 5
 uuur
 x1 = 0 ⇒ y1 = 1 ⇒ A ( 0;1)
 AB = AC


2
y ' = 3x − 6 x = 0 ⇔ 

→  AC = 2 5 
→ 2
2
2
 x2 = 2 ⇒ y2 = −3 ⇒ B ( 2; −3)
 BC = AB + AC
 uuur
 BC = 2 10


Vậy tam giác ABC vuông cân tại A.
Câu 7. Chọn đáp án D
Đường thẳng qua 2 điểm cực trị: y = −

2 2
bc
b − 3ac ) x + d −

→ ∆ : y = −8 x + 4
(
9a
9a

→ −8 ( m − 1) + 4 = 2 ⇔ m =
Mà M ( m − 1;2 ) ∈ ∆ 
Câu 8. Chọn đáp án B

5
= 1, 25 
→ Chọn D.
4


Câu 9. Chọn đáp án C
a >0
 x = 1 →
CT
2

y ' = 4x + x − 5 = 0 ⇔
.
a >0
 x = − 5 →
CD

4

Câu 10. Chọn đáp án A
 x = 1 ⇒ y = −3 ⇒ C ( 1; −3)

y ' = 4 x3 − 4 x = 0 ⇔  x = 0 ⇒ y = −2 ⇒ A ( 0; −2 ) . Do đó phương trình ( BC ) : y + 3 = 0 .
 x = −1 ⇒ y = −3 ⇒ B −1; −3
(
)

S ABC =

1
1
1
BC.d ( A; BC ) = xc − xB . −2 + 3 = .2 = 1 .
2
2
2

Câu 11. Chọn đáp án C
 x = 1 ⇒ y = 1 ⇒ C ( 1;1)

y ' = 4 x3 − 4 x = 0 ⇔  x = 0 ⇒ y = 2 ⇒ A ( 0;2 ) . Do ∆ABC cân nên tâm I thuộc trục Oy.
 x = −1 ⇒ y = 1 ⇒ B −1;1
( )

uu
r
 IA = ( 0;2 − m )
2
2
ycbt
CASIO
I ( 0; m ) 
→  uur

→ IA2 = IB 2 ⇔ ( 2 − m ) = 1 + ( 1 − m ) 
→ m = 1 ⇒ I ( 0;1) .
IB
=
−

1;1
−
m
(
)

Vậy IM = xM2 + ( yM − yI ) = 2 .
2

Câu 12. Chọn đáp án B
4
2
3
Đặt y = f ( x ) = ax + bx + c ⇒ f ' ( x ) = 4ax + 2bx . Theo đề ta có:

 f ' ( −1) = −4a − 2b = 0
a = 2


⇔ b = −4 ⇒ P = a + 2b + 3c = −15 .
 f ( 0 ) = c = −3

c = −3

 f ( −1) = a + b + c = −5
Câu 13. Chọn đáp án D
y = x 4 − 2 x 2 + m ⇒ y ' = 4 x ( x 2 − 1) ⇒ A ( 0; m ) . Khi đó:
AB 2 = ( m − 1) + ( m 2 − 2m ) = m 4 − 4m3 + 5m 2 − 2m + 1 = f ( m )
2

2

m = 1

Ta có: f ' ( m ) = 2 ( m − 1) ( 2m − 4m + 1) → f ' ( m ) = 0 ⇔ 
2± 2
m=

2
2

2± 2  3
Dựa vào bảng biến thiên hàm số f ( m ) ⇒ f ( m ) ≥ f 
÷ = ⇒ m1 + m2 = 2 .
 2  4


Câu 14. Chọn đáp án A
Dễ thấy m = 0 thì thỏa yêu cầu đề.
x = 0
3
2
Với m ≠ 0 ⇒ y ' = 4mx + 2 ( m − 1) x = 2 x ( 2mx + m − 1) → y ' = 0 ⇔ 
2
 2mx + m − 1 = 0
Lúc này sẽ có 2 trường hợp:
TH1: Hàm số đạt cực trị tại x = 0 ⇒ PT 2mx 2 + m − 1 = 0 vô nghiệm ⇔

m > 1
1− m

<0⇔
2m
m < 0

TH2: Hàm số không đạt cực trị tại x = 0 ⇒ 2mx 2 + m − 1 = 0 có nghiệm x = 0 ⇔ m = 1 (thỏa).
Câu 15. Chọn đáp án B
f ' ( x ) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua giá trị x = x0 thì dựa vào chiều biến thiên, suy ra hàm số
f ( x ) đạt cực tiểu tại x0 .
Câu 16. Chọn đáp án C
2
2
Xét phương trình y ' = 3 x − 12 x + 3 ( m + 2 ) = 0 ⇔ x − 4 x + m + 2 = 0 ( 1)

Để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị thì: ∆ ' = 4 − ( m + 2 ) = 2 − m > 0 ⇔ m < 2
Khi đó, pt (1) có 2 nghiệm phân biệt là x1 , x2 thỏa mãn: x1 x2 > 0 ⇔ m + 2 > 0 ⇔ m > −2
Vậy −2 < m < 2 .
Câu 17. Chọn đáp án A
Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp hai.
Nếu f ' ( x0 ) = 0 và f '' ( x0 ) < 0 thì hàm số y = f ( x ) đạt cực đại tại x0 .
Nếu f ' ( x0 ) = 0 và f '' ( x0 ) > 0 thì hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu tại x0 .
Câu 18. Chọn đáp án D
2
Xét phương trình y ' = 0 ⇔ 3 x − 2 ( m − 1) x − 1 = 0

Để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị thì ∆ ' = ( m − 1) + 3 > 0
2

Khi đó: 3 ( x1 + x2 ) = 2 ⇔ 2 ( m − 1) = 2 ⇔ m = 2 .
Câu 19. Chọn đáp án D
Xét phương trình y ' = 0 ⇔ − x 2 + 2 x + m − 2 = 0

Để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị thì ∆ ' = 1 + ( m − 2 ) > 0 ⇔ m > 1
Khi đó: x1 x2 + 10 = 0 ⇔ 2 − m + 10 = 0 ⇔ m = 12 .
Câu 20. Chọn đáp án A
Xét phương trình y ' = 0 ⇔ x 2 − 2mx + 2m − 1 = 0


Để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị thì ∆ ' = m 2 − ( 2m − 1) = ( m − 1) > 0 ⇔ m ≠ 1
2

Khi đó: x1 x2 = 6 ⇔ 2m − 1 = 6 ⇔ m =

7
.
2

Câu 21. Chọn đáp án B
2
2
Xét phương trình y ' = 0 ⇔ x − ( 2m + 1) x + m + 2 = 0

Để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị thì ∆ = ( 2m + 1) − 4 ( m 2 + 2 ) > 0 ⇔ 4m − 7 > 0 ⇔ m >
2

7
4

m = 2
Khi đó: 3 x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0 ⇔ 3 ( m + 2 ) − 5 ( 2m + 1) + 7 = 0 ⇔ 3m − 10m + 8 = 0 ⇔ 
m = 4
3


2

Loại nghiệm m =

2

4
. Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.
3

Câu 22. Chọn đáp án D
Ta có: y ' = 3 x 2 − 12 x + m . Cho y ' ( 2 ) = 0 ⇔ m = 12 .
Với m = 12 ⇒ y ' = 3 ( x − 2 ) nên hàm số không thể đạt cực trị tại x = 2 .
2

Câu 23. Chọn đáp án B
x = 0
3
2
Đạo hàm y ' = 4 x − 4 x = 4 x ( x − 1) = 0 ⇔ 
 x = ±1
2
Ta có y '' = 12 x − 4 ⇒ y '' ( 0 ) = −4 < 0 ⇒ y đạt cực đại tại x = 0 ⇒ yC Ð = y ( 0 ) = −5 ⇒ M ( 0; −5 ) .

Lại có y '' ( ±1) = 8 > 0 ⇒ y đạt cực tiểu tại x = ±1 .
Câu 24. Chọn đáp án C
x = 0
3
2

Ta có y ' = 4 x − 4 x = 4 x ( x − 1) = 0 ⇔ 
 x = ±1
Hàm số đã cho đạt cực trị tại x = 1 ⇒ khẳng định 1 đúng.
Đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị ⇒ khẳng định 2 sai.
Lưu ý, hàm số không có điểm cực trị, đồ thị hàm số mới có điểm cực trị.
 y ' ( 0 ) = 0
⇒ y đạt cực đại tại x = 0 ⇒ khẳng định 3 sai.
Ta có 
2
y
''
=
12
x
−
4
⇒
y
''
0
=
−
4
<
0
( )

Câu 25. Chọn đáp án D
x = 0
Ta có y ' = 4 x − 2 ( m − 1) x = 2 x ( 2 x − m + 1) = 0 ⇔  2 m − 1

x =
2

3

2


Hàm số đã cho đạt cực trị tại x1 ; x2 x3 ⇔ y ' = 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔ m > 1 (*)
x = 0

Với m > 1 có y ' = 0 ⇔ 
m −1
x=±

2
Do vai trò của x1 ; x2 ; x3 là như nhau nên ta có thể giả sử x1 = 0; x2 =

m −1
m −1
; x3 = −
.
2
2

Khi đó x12 + x22 + x32 = m − 1 = 4 ⇔ m = 5 thỏa mãn (*).
Câu 26. Chọn đáp án C
Dựa vào bảng biến thiên, ta có nhận xét sau: hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ⇒ f ( 0 ) = 0 và hàm số đạt
cực

đại

tại

x = 1 ⇒ f ( 1) = 1 .

Ta

có

f ( 0) = 0 ⇒ d = 0 .

 f ' ( 0 ) = c
f ' ( x ) = 3ax 2 + 2bx + c → 
 f ' ( 1) = 3a + 2b + c

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ⇒ f ' ( 0 ) = c = 0 và f ( 1) = a + b + c + d = 1 ⇔ a + b = 1 .
Hàm số đạt cực đại tại x = 1 ⇒ f ' ( 1) = 3a + 2b + c = 0 ⇔ 3a + 2b = 0 .
a + b = 1
a = −2
⇔
→ 2a + 3b + c + d = 5 .
Ta có hệ phương trình 
3a + 2b = 0
b = 3
Câu 27. Chọn đáp án D
3
2
2
Ta có y = f ( x ) = x + ax + cx + d ⇒ f ' ( x ) = 3x + 2ax + c .

 f ' ( −2 ) = 0
4a − b − 12 = 0
⇔
Điều kiện cần: Hàm số đạt cực trị bằng 0 tại x = −2 → 
4a − 2b + c = 8
 f ( −2 ) = 0
Đồ thị hàm số (1) đi qua điểm M ( 1;0 ) → a + b + c + 1 = 0 .
Giải hệ gồm ba phương trình ba ẩn ta được a = 3; b = 0; c = −4 .
Điều kiện đủ: Thử lại với hàm số y = x 3 + 3x 2 − 4 . Khi đó 3a + 2b − c = 13 .
Câu 28. Chọn đáp án A
 x = 3 ⇒ y = −24
2
Ta có: y ' = 3 x − 6 x − 9 = 0 ⇔ 
 x = −1 ⇒ y = 8
Do đó điểm cực đại là A ( −1;8 ) , điểm cực tiểu là B ( 3; −24 ) suy ra A =
Câu 29. Chọn đáp án D
1
2
Hàm số y = x3 − x 2 + x + 2 có y ' = x 2 − 2 x + 1 = ( x − 1) ≥ 0 ( ∀x ∈ ¡
3

)

−1 + 24 −23
=
.
3−8
5

và


Hàm số y = − x 3 + 6 x 2 − 12 x + 1 có y ' = −3 x 2 + 12 x − 12 = −3 ( x − 2 ) ≤ 0 ( ∀x ∈ ¡
2

)

Do đó hàm số ở câu A và B không có điểm cực trị
Hàm số ở câu C và D đều có 2 điểm cực trị do y ' = 0 đều có 2 nghiệm phân biệt.
Để xCD > xCT ⇒ a < 0 .
Câu 30. Chọn đáp án B
Ta có: y ' = 3 x 2 − 6mx + 3n = 0 ⇔ x 2 − 2mx + n = 0
3

 y ' ( 2 ) = 4 − 4m + n = 0
m =
⇔
Để đồ thị hàm số đạt cực trị tại điểm A ( 2;2 ) thì 
2
 y ( 2 ) = 8 − 12m + 6n = 2
n = 2
Vậy m + n =

7
.
2

Câu 31. Chọn đáp án A
2

Ta có: y ' = 3 ( m − 2 ) x − 2mx + ( m − 3)

Với m = 2 ⇒ y = −2 x 2 − x + 1 (không thỏa mãn có 2 điểm cực trị)
∆ /y ' = b 2 − ac > 0
m−3
⇔ P = ac =
<0
Với m ≠ 2 . Để hàm số có 2 điểm cực trị trái dấu thì 
3
 P = ac < 0
⇔ m < 3.

Câu 32. Chọn đáp án C
x = 0 ⇒ y = m −1
2
Ta có: y ' = 3 x − 6 x = 0 ⇔ 
x = 2 ⇒ y = m − 5
Để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm khác phía trục hoành thì
yCD . yCT < 0 ⇔ ( m − 1) ( m − 5 ) < 0 ⇔ 1 < m < 5 .
Câu 33. Chọn đáp án B
 x = 0 ⇒ y = −1
3
Xét hàm số y = − x 4 + 2 x 2 − 1 có y ' = −4 x + 4 x = 0 ⇔ 
 x = ±1 ⇒ x = 0
Hàm số có a = −1 < 0 nên đồ thị hàm số đạt cực tiểu tại điểm ( 0; −1) và cực đại tại các điểm
A ( −1;0 ) , B ( 1;0 ) .
Câu 34. Chọn đáp án C
Hàm số y = − x 4 − 3x 2 + 1 có y ' = −4 x 3 − 6 x = 0 ⇔ x = 0 có một điểm cực trị.
Hàm số y = x 4 − 4 x 2 − 2 có 2 điểm cực tiểu một điểm cực đại.

x = 0
2
3
Hàm số y = − ( x 2 − 2 ) = − x 4 + 4 x 2 − 4 có y ' = −4 x + 8 x = 0 ⇔ 
hàm số này có 2 điểm cực
x = ± 2
đại một điểm cực tiểu.
Hàm số y = − ( x 2 + 1) = − x 4 − 2 x 2 − 1 có 1 điểm cực trị.
2

Câu 35. Chọn đáp án A
Với m 2 − 3 = 0 thì hs đã cho không thể có 3 điểm cực trị
−b
−m
m
<0
Với m 2 − 3 ≠ 0 hàm số có 3 điểm cực trị ⇔ 2a = 2 m 2 − 3 > 0 ⇔
m− 3 m+ 3
(
)

(

)(

)

m < − 3
⇔

.
0 < m < 3
Câu 36. Chọn đáp án C
Với m 2 − 4m = 0 thì hàm số đã cho không thể có 3 điểm cực trị.
 −b
b > 0
 >0
⇔
Với m − 4m ≠ 0 hàm số đã cho có 2 điểm cực đại và một điểm cực tiểu ⇔  2a
a < 0
a < 0
2

m − 2 > 0
m > 2
⇔ 2
⇔
⇔ 2 < m < 4.
0
<
m
<
4
m
−
4
m
<
0



Câu 37. Chọn đáp án D
x = 0 ⇒ y = 2
3
y
'
=
4
x
−
4
m
+
1
x
=
0
⇔
(
)
 2
Ta có:
2
 x = m + 1 ⇒ y = − ( m + 1) + 2
Để hàm số có 3 điểm cực trị thì m > −1
Khi đó A ( 0;2 ) , B

(

) (

)

m + 1; −m 2 − 2m + 1 ; C − m + 1; −m 2 − 2m + 1

m = 1
Ta có: OA = 2; BC = 2 m + 1 nên BC = 2OA ⇔ m + 1 = 2 ⇔ 
.
 m = −3 ( loai )