BÀI GIẢNG NGUYÊN hàm và PHƯƠNG PHÁP tìm NGUYÊN hàm file word

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (533.56 KB, 68 trang )

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
�ⓣ ⓗ ⓑ ⓣ ⓝ �
Khái niệm nguyên hàm và tính chất
1.

Khái niệm nguyên hàm

—

Cho hàm số f (x) xác định trên K . Hàm số F (x) được gọi là nguyên hàm
(x) = f (x), " x �K .
của hàm số f (x) trên K nếu: F �

—

Nếu F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên K thì họ nguyên hàm của
hàm số f (x) trên K là:

�f (x) �dx = F (x) +C , const = C ��.
2. Tính chất: Nếu f (x), g(x) là 2 hàm số liên tục trên K và k � 0 thì ta luôn
có:
��
kf (x)dx = k�f (x)dx.

� �f �
(x)dx = f (x) + C .

�
��
f (x) �g(x)�
dx = �f (x)dx ��
g(x)dx
�
�
Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý)
xa +1
+C
a +1

a
�x �dx =



�x �dx = ln x +C



�x



�sin x �dx = -



�cosx �dx = sin x +C



�sin x �dx = -



�cos x �dx = tan x + C

�cos (ax + b)dx = a tan(ax + b) +C



�e

�e



x
�a �dx =

1

1
2

�
dx = -

1

2

1
+C
x
cosx + C

cot x + C

1

2

x

�
dx = ex + C
ax
+C
lna

n
�(ax + b) �dx =

1 (ax + b)n+1
�
+C
a

n +1



1

1

�ax + b �dx = a �ln ax + b +C
1

�(ax + b)

2

�
dx = -

1
1
�
+C
a ax + b
1
cos(ax + b) +C
a

) =�sin(ax + bdx

1

�cos(ax + b) �dx = a �sin(ax + b) +C
1

�sin (ax + b)dx = 2

1

1
cot(ax + b) + C
a

1

2

1 ax+b
�
e
+C
a
dx
1
x- a
�x2 - a2 = 2a �ln x + a +C
ax+b

�
dx =

♦ Nhận xét. Khi thay x bằng (ax + b) thì lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm
1
�
a

Một số lưu ý
– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

1|

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

1. Cần nắm vững bảng nguyên hàm.
2. Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm hàm số không bao
giơ bằng tích (thương) của các nguyên hàm của những hàm thành
phần.
3. Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số, ta phải biến đổi hàm số này
thành một tổng hoặc hiệu của những hàm số tìm được nguyên hàm
(dựa vào bảng nguyên hàm).

Dạng toán 1. TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG BẢNG NGUYÊN HÀM
�ⓣ ⓗ ⓑ ⓣ ⓝ �

A – PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
PP
1. Tích của đa thức hoặc lũy thừa ��
� khai triển.

PP
2. Tích các hàm mũ ��
� khai triển theo công thức mũ.

PP
3. Chứa căn ��
� chuyển về lũy thừa.
PP
4. Tích lượng giác bậc một của sin và cosin ��
� khai triển theo công
thức tích thành tổng.

� sinax.cosbx =

1�
sin(a + b)x + sin(a - b)x�
�
2�

� sinax.sinbx = 1 �
cos(a - b)x - cos(a + b)x�
�
�
2
� cosax.cosbx =

1�
cos(a + b)x + cos(a - b)x�
�
2�

PP
5. Bậc chẵn của sin và cosin ��
� Hạ bậc.

B - BÀI TẬP VẬN DỤNG
BT 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau (giả sử điều kiện được xác định):
Phương pháp: Dựa vào bảng nguyên hàm của các hàm số và vận
dụng các tính chất nguyên hàm.
a
a) f (a) = 3a2 + �
2

ĐS: F (a) = a3 +

a2
+C .
4

……………………………………………………………………………………………………………………….
3

b) f (b) = 2b - 5b + 7.

b4 5b2
ĐS: F (b) = + 7b + C .
2
2

……………………………………………………………………………………………………………………….

c) f (c) = 6c5 - 12c3 + c2 - 8.

2 | THBTN

ĐS: F (x) = c6 - 3c4 +

c3
- 8c + C .
3

TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

……………………………………………………………………………………………………………………….

d) f (x) = (x2 - 3x) �
(x + 1) �

ĐS: F (x) =

x4 2x3 3x2
+C .
4
3
2

……………………………………………………………………………………………………………………….

e) f (x) = (3 - x)3.

(3 - x)4
+C .
4

ĐS: F (x) = -

……………………………………………………………………………………………………………………….

f) f (x) =

1
1
- x2 - �
2
3
x

ĐS: F (x) = -

1 x3 x
+C .
x
3 3

……………………………………………………………………………………………………………………….

g) f (x) = 102x.

ĐS: F (x) =

102x
+C .
2ln10

……………………………………………………………………………………………………………………….

h) f (x) = x3 - 4x +

3
�
x

ĐS: F (x) =

x4
+ 2x2 + 3.ln x + C .
4

……………………………………………………………………………………………………………………….

i)

f (t) =

2t 4 + 2

�
t2

ĐS: F (t) =

2 3 2
�
t - +C .
3
t

……………………………………………………………………………………………………………………….

j)

f (x) =

x- 1
�
x2

ĐS: F (x) = ln x +

1
+C .
x

……………………………………………………………………………………………………………………….

k) f (x) = 2sin2

x
�
2

ĐS: F (x) = x + sin x +C .

……………………………………………………………………………………………………………………….

l)

f (x) = cos2 x.

1
1
ĐS: F (x) = x + sin2x + C .
2
4

……………………………………………………………………………………………………………………….

m) f (x) = tan2 x.

ĐS: F (x) = tan x - x + C .

……………………………………………………………………………………………………………………….

n) f (x) =

1

�
sin x.cos2 x
2

ĐS: F (x) = -

– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

2
+C .
sin2 2x
3|

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

……………………………………………………………………………………………………………………….

o) f (x) = 2sin3x cos2x.

ĐS: F (x) = -

1
cos5x - cosx + C .
5

……………………………………………………………………………………………………………………….

p) f (x) = ex .(ex - 1).

1
ĐS: F (x) = e2x - ex + C .
2

……………………………………………………………………………………………………………………….

�
e- x �
�
x �
�
2
+
�
�
q) f (x) = e �
2 �
�
�
�
� cos x �

ĐS: F (x) = 2ex + tan x + C .

……………………………………………………………………………………………………………………….

( x + 3 x) �
dx.

r) I = �

ĐS: I =

3 23
�
x +C .
2

……………………………………………………………………………………………………………………….

�
1 �
�
2
�
�
�
2
x
+
�
dx �
s) I = �
�
�
3 2�
�
�
x �

2
ĐS: I = x3 + 33 x + C . I = 2 x 3

2
x

+C .

……………………………………………………………………………………………………………………….

1
3
5
+
+
�
dx �
t) I = �
3
5
2 x
x
x

ĐS: F (x) = x +

9 3 2 25 5 4
x +
x +C .

2
4

……………………………………………………………………………………………………………………….

4sin2 x �
dx.
u) I = �

ĐS: I = 2x - sin2x + C .

……………………………………………………………………………………………………………………….

1 + cos4x
v) I = �
�
dx.
2

ĐS: I =

x sin4x
+
+C .
2
8

……………………………………………………………………………………………………………………….

(3cosx - 3x- 1) �

dx �
w) I = �

ĐS: I = 3sin x -

3x- 1
+C .
ln3

……………………………………………………………………………………………………………………….

(tan x - 2cot x)2.dx.
x) I = �

ĐS: I = tan x - 4cot x - 9x + C .

……………………………………………………………………………………………………………………….

4 | THBTN

TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

3
y) I = � u.(u - 4).du.

ĐS: I =

33 7
u - 33 u4 + C .
7

……………………………………………………………………………………………………………………….

BT 2. Chứng minh F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trong các trường hợp sau:
Phương pháp: Để F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x), ta cần
(x) = f (x).
chứng minh: F �
a)

F (x) = 5x3 + 4x2 - 7x + 120 và f (x) = 15x2 + 8x - 7.
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................

b)

F (x) = ln(x + x2 + 3)

và f (x) =

1
x2 + 3

.

.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................

c)

F (x) = (4x - 5) �
ex và f (x) = (4x - 1) �
ex .
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................

d)

F (x) = tan4 x + 3x - 5 và f (x) = 4tan5 x + 4tan3 x + 3.
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................

�
- 2x
x2 + 4�
�
�
�
.
F (x) = ln�
và f (x) = 2

�
2
�
�
�
(x + 4) �
(x2 + 3)
x + 3�
�

e)

.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................

f)

F (x) = ln

x2 - x 2 + 1
x2 + x 2 + 1

và f (x) =

2 2(x2 - 1)
.
x4 + 1

.............................................................................................................................................

4

.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................

b) f (x) = 3 - 5cosx, F (p) = 2.

ĐS: F (x) = 3x - 5sin x + 2 - 3p.

.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................

c) f (x) =

3 - 5x2
, F (e) = 1.
x

ĐS: F (x) = 3ln x -

5x2 5e2
+
- 2.
2
2

.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

d) f (x) =

x2 + 1
3
, F (1) = �
x
2

ĐS: F (x) =

x2
+ ln x + 1.
2

.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................

e) f (x) = x x +

1
x

, F (1) = - 2.

ĐS: F (x) =

2 5

22
x +2 x �
5
5

.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................

�
p�
�
�
sin2x.cosxdx
. , biết F �
= 0.
��
f) I = �
�
�
�
�3�

ĐS: F (x) = -

1
1
7
cosx - cosx + �
6

2
12

.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................

3x4 - 2x3 + 5
g) I = �
�
dx, biết F (1) = 2.
x2

ĐS: F (x) = x3 - x2 -

5
+ 7.
x

.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................

x3 + 3x2 + 3x - 7
�
dx, biết F (0) = 8.
h) I = �
(x + 1)2

ĐS: F (x) =

x2
8
+x +
�
2
x +1

.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................

6 | THBTN

TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12

i) I = �
sin2

�
p�
p
x
�
�
= �
�

�
dx, biết F �
�
�
� 4
2�
�
2

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

ĐS: F (x) =

x sin x 1
+
- �
2
2
2

.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................

� 1�
�
�
x�
x+ �
�

dx, biết F (1) = 7 �
�
j) I = �
�
�
�
� x�
2

ĐS: F (x) -

1
x2
+ 3x + + 3ln x + 1.
x
2

.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................

�
� p
p�
2cos2 x - 1
�
F�
= �
�
k) I = �

biết
�
dx
,
�
�
4�
�
� 2
cos2 x

ĐS: F (x) = 2x - tan x + 1.

.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................

BT 4. Tìm điều kiện của tham số m hoặc a, b, c để F (x) là một nguyên hàm của
hàm số f (x) :
Phương pháp:
Để F (x) là một nguyên hàm của hàm số
f (x) � F �
(x) = f (x). Từ đó, ta sử dụng đồng nhất thức để tìm ra tham
số cần tìm.
�
F (x) = mx3 + (3m + 2)x2 - 4x + 3
�
�
a) �
ĐS: m = 1.

2
�
f
(
x
)
=
3
x
+
10
x
4
�
�
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................

�
F (x) = ln x2 - mx + 5
�
�
�
b) �
�
2x + 3
�
f (x) = 2

�
�
x + 3x + 5
�

ĐS: m = - 3.

.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................

�
F (x) = (ax2 + bx + c) �
ex
�
�
c) �
�
f (x) = (x - 3) �
ex
�
�

ĐS: a = 0, b = 1, c = - 4.

.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................

– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

7|

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

�
F (x) = (ax2 + bx + c) �
e- 2x
�
�
d) �
2
- 2x
�
f
(
x
)
=
(2
x
8
x
+
7)

�
e
�
�

ĐS: a = 1, b = - 3, c = 2.

.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................

�
F (x) = (ax2 + bx + c) �
e- x
�
�
e) �
�
f (x) = (x2 - 3x + 2) �
e- x
�
�

ĐS: a = - 1, b = 1, c = - 1.

.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................

�
b
c
�
F (x) = (a + 1)sin x + sin2x + sin3x
�
�
f) �
2
3
�
�
f
(
x
)
=
cos
x
�
�

ĐS: a = b = c = 0.

.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................

�
F (x) = (ax2 + bx + c) � 2x - 3
�
�
�
g) �
�
20x2 - 30x + 7
�
f
(
x
)
=
�
�
2x - 3
�

ĐS: a = 4, b = - 2, c = 1.

.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................

�f (x) = x 3 - x, (x �3)
�
�
h) �

�
2
�
F
(
x
)
=
(
ax
+
bx
+
c
)
�
3
x
�
�

2
2
12
ĐS: a = ; b = - ; c = �
5
5
5

.............................................................................................................................................

x4 x2
+ + 2x + C .
4
2

C. F ( x) =

2
D. F ( x) = 3x + 3x + C .

3
2
Câu 2. Hàm số F ( x) = 5x + 4x - 7x + 120 + C là họ nguyên hàm của hàm số nào

sau đây?
2
A. f ( x) = 15x + 8x - 7 .

2
B. f ( x) = 5x + 4x + 7 .

5x2 4x3 7x2
.
+
4
3
2

C. f ( x) =

2
D. f ( x) = 5x + 4x - 7 .

Câu 3. Họ nguyên hàm của hàm số: y = x2 - 3x +
A. F ( x) =

x3 3 2
- x + ln x + C .
3 2

C. F ( x) =

x3 3 2
+ x + ln x + C .
3 2

1
là
x

x3 3 2
- x + ln x + C .
3 2
1
D. F ( x) = 2x - 3 - 2 + C .
x
B. F ( x) =

Câu 4. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = ( x + 1) ( x + 2)

A. F ( x) =

x3 3 2
+ x + 2x + C .
3 2

C. F ( x) = 2x + 3 + C .
Câu 5. Nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) =
A. F ( x) = - ln 5 - 2x + 2ln x C. F ( x) = ln 5 - 2x + 2ln x -

3
+C .
x

3
+C .
x

B. F ( x) =

x3 2 2
+ x + 2x + C .
3 3

D. F ( x) =

x3 2 2
- x + 2x + C .
3 3

2
2 3
+ + 2 là hàm số nào?
5 - 2x x x
B. F ( x) = - ln 5 - 2x + 2ln x +

3
+C .
x

D. F ( x) = - ln 5 - 2x - 2ln x +

3
+C .
x

Câu 6. Một nguyên hàm của hàm số f (x) = x3 - 3x2 + 5 là
A. 3x2 - 6x

B. 3x2 - 6x + C

C.

x4
- x3 + 5x + C D. x4 - x3 + 5x + C
4

Câu 7. Một nguyên hàm của hàm số g(x) = - 5x4 + 4x2 - 6 là:
4
A. - x5 + x3 - 6x + C

3

B. - 20x3 + 8x + C

C.

- 20x3 + 8x

4
D. - x5 + x3 + C
3
4

Câu 8. Một nguyên hàm của hàm số f (x) = ( x - 3) là
A.

( x - 3)
4

4

B. 4( x - 3)

3

C.

( x - 3)

5

5

D.

( x - 3)

3

3

Câu 9. Một nguyên hàm của hàm số f (x) = x3 - 3x2 + 5 là

– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

9|

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12

A. 3x2 - 6x

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

B. 3x2 - 6x + C

C.

x4
- x3 + 5x + C D. x4 - x3 + 5x + C

4

Một nguyên hàm của hàm số g(x) = - 5x4 + 4x2 - 6 là:

Câu 10.

4
A. - x5 + x3 - 6x + C
3

B. - 20x3 + 8x + C

C.

- 20x3 + 8x

4
D. - x5 + x3 + C
3
4

Một nguyên hàm của hàm số f (x) = ( x - 3) là:

Câu 11.
A.

Câu 12.

( x - 3)

B. 4( x - 3)

4

Tính

A.

4

3

C.

( x - 3)

5

D.

5

( x - 3)

3

3

� 2 1
�

�
�
�
3
x
+
2
dx
�
�
��
�
x
�
�

x3
+ ln x - 2x + C
3

B. x3 -

1
- 2x + C C.
x2

x3 + ln x + C

3
D. x + ln x - 2x + C

Cho f (x) = - x3 + 3x2 - 2x . Một nguyên hàm F (x) của f (x) thỏa F ( 1) = 0

Câu 13.
là:

A. -

x4
1
x4
1
+ x3 - x2 + B. + x3 - x2 4
4
4
4

x4
+ x3 - x2 - 1
4

Câu 14.

D. -

C.

x4
+ x3 - x2 + 1
4

Gọi F (x) là tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x2 - 2x + 1

thì F (x) là:
A. F (x) = 3x3 - 2x2 + x + C

B. F (x) = x3 - x2 + 1+ C

C. F (x) = x(x2 - x + 1) +C

1
1
D. F (x) = x3 - x2 + x + C
3
2

Câu 15.

�x ( x

2

Kết quả của

x
A. F (x) = (

2

)

+1

3

+C
3
�
x2 �
x3
�
�
�
+
x
+C
C. F (x) = �
�
�
�
�3
2�
�

)

+ 1 dx bằng:
x
B. F (x) = (

)

2

D. F (x) =

+1
6

3

+C

3
x2 2
x + 1 +C
6

(

1
Một nguyên hàm F ( x) của hàm số f (x) = là:
x
1
1
A. F (x) = - 2
B. F (x) = 2
C. F (x) = ln x
x
x

)

Câu 16.

10 | THBTN

D. F (x) = -

1
x

TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12

Câu 17.

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

2
Tìm họ nguyên hàm F ( x) của hàm số f (x) = 3sin x + , ta được kết quả
x

là:
A. F (x) = 3cosx + 2ln x + C

B. F (x) = - 3cosx + 2ln x + C

C. F (x) = 3cosx - 2ln x + C

D. F (x) = - 3cosx - 2ln x + C

Câu 18.

2
x
Tìm họ nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 3x � 3 , ta được kết quả

là:
A. F (x) = x3 C. F (x) =
Câu 19.

Tính

3x
+C
ln3

B. F (x) = x3 +

x3
3x
+C
3 ln3

�( 1- x)

9

D. F (x) =

3x
+C
ln3

x3
3x
+
+C
3 ln3

dx , ta được kết quả là:

A. F (x) =

10
1
1- x) + C
(
10

B. F (x) = -

10
1
1- x) + C
(
10

C. F (x) =

10
1
1 + x) +C
(
10

D. F (x) = -

10
1
1 + x) + C
(
10

Câu 20.

Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = x ( x + 2) , ta được kết quả là:
2

A. F (x) =

x4 4 3
+ x + 2x2 + C
4 3

B. F (x) =

C. F (x) =

x3
+ 2x2 + C
3

D. Kết quả khác.

Câu 21.

Họ nguyên hàm của f (x) = x2 - 2x + 1 là:

1
A. F (x) = x3 - 2 + x + C
3
1
C. F (x) = x3 - x2 + x + C
3

Câu 22.
A.
Câu 23.

1
(2x + 1)4 + C
2

1
D. F (x) = x3 - 2x2 + x + C
3

B. (2x + 1)4 + C

C. 2(2x + 1)4 + C

D. Kết quả khác

Nguyên hàm của hàm số f (x) = (1- 2x)5 là:
1
(1- 2x)6 + C B. (1- 2x)6 + C
12

C. 5(1- 2x)6 + C

Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x +

A. x2 Câu 25.

B. F (x) = 2x - 2 +C

Nguyên hàm của hàm số f (x) = (2x + 1)3 là:

A. Câu 24.

x4
+ 2x2 + C
4

3
+C

x

B. x2 +

3
+C
x2

D. 5(1- 2x)4 + C

3
là :
x2

C. x2 + 3ln x2 + C

D. Kết quả khác

Tìm hàm số f ( x) biết rằng f �
( x) = 2x + 1 và f ( 1) = 5

– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

11 |

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12

A. x2 + x + 3
Câu 26.

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

B. x2 + x - 3

C. x2 + x

D. Kết quả khác

Tìm hàm số y = f (x) biết f �
(x) = (x2 - x)(x + 1) và f (0) = 3

A. y = f (x) =

x4 x2
+3
4
2

B. y = f (x) =

C. y = f (x) =

x4 x2
+ +3
4
2

D. y = f (x) = 3x2 - 1

Câu 27.

x4 x2
- 3
4
2

Cho f (x) = 3x2 + 2x - 3 có một nguyên hàm triệt tiêu khi x = 1. Nguyên

hàm đó là kết quả nào sau đây?
A. F (x) = x3 + x2 - 3x

B. F (x) = x3 + x2 - 3x + 1

C. F (x) = x3 + x2 - 3x + 2

D. F (x) = x3 + x2 - 3x - 1

Câu 28.
A.
Câu 29.

Tìm hàm số f ( x) biết rằng f '(x) = ax +

b
, ff'(1) = 0, (1) = 4, f (- 1) = 2
x2

x2 1 5
+ +

2 x 2

x2 1 5
+ 2 x 2

B.

x2 1 5
+
2 x 2

C.

Một nguyên hàm của hàm số f ( x) = x2 +

3
- 2 x
x

A. F ( x) =

x3
4 3
+ 3ln x x
3
3

C. F ( x) =

B. F ( x) =

x3 3 4 3
+
x
3 x 3

D. F ( x) =

Câu 30.

Một nguyên hàm của hàm số f ( x) = ( x - 3)

A. F (x) = (
Câu 31.

x - 3)
4

4

B. F (x) = 4( x - 3)

3

4

D. Kết quả khác
là

x3

3 3
+ 3ln x x
3
4
x3
4 3
+ 3ln x +
x
3
3

là:

C. F (x) = (

x - 3)

5

5

D. F (x) = (

x - 3)

3

3

3

2
Nguyên hàm F ( x) của f ( x) - x + 3x - 2x thỏa mãn F ( 1) = 0 là:

A. F ( x) = -

x4
1
+ x3 - x2 +
4
4

B. F ( x) = -

x4
1
+ x3 - x2 4
4

C. F ( x) = -

x4
+ x3 - x2 - 1
4

D. F ( x) = -

x4
+ x3 - x2 + 1
4

NHÓM 2: HÀM SỐ VÔ TỶ ( CHỨA CĂN)
Câu 32.

Nguyên hàm của hàm số f (x) =

1
2x - 1

là

A.

�f ( x) dx =

2x - 1 + C .

B.

�f ( x) dx = 2

C.

�f ( x) dx =

2x - 1
+C .
2

D.

�f ( x) dx = - 2

12 | THBTN

2x - 1 + C .
2x - 1 + C .

TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12

Câu 33.
A.
C.
Câu 34.

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =

�f ( x) dx = - 2 3 - x +C .
�f ( x) dx = 2 3 - x +C .
1

�f ( x) dx = 3( 2x + 1)

C.

�f ( x) dx = -

C.

�f ( x) dx = 9( 5 -

2x + 1 + C .

2

3x) 5 - 3x + C .

3x) 5 - 3x .

2

B.

�f ( x) dx = 3( 2x + 1)

D.

�f ( x) dx = 2

1

2x + 1 + C .

2x + 1 + C .

B.

2
�f ( x) dx = - 3( 5-

D.

�f ( x) dx = -

3x) 5 - 3x .

2
5 - 3x + C .
3

Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 3 x - 2 .

A.

3
�f ( x) dx = 4( x - 2)

C.

�f ( x) dx =

3

x - 2 +C .

2

( x - 2) x - 2 .
3

B.

3
�f ( x) dx = - 4( x - 2)

D.

�f ( x) dx =

3

x - 2 +C .

2
1
x - 2) 3 + C .
(
3

Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 3 1- 3x .

A.

1
�f ( x) dx = - 4( 1-

C.

�f ( x) dx =

Câu 38.

�f ( x) dx = - 3- x +C .
D. �f ( x) dx = - 3 3 - x +C .

Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 5 - 3x .
2
�f ( x) dx = - 9( 5 -

Câu 37.

.

B.

1
2x + 1 + C .
3

A.

Câu 36.

3- x

Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + 1 .

A.

Câu 35.

1

3x) 3 1- 3x + C .

1
1- 3x) 3 1- 3x + C .
(
4

Hàm số F ( x) = ( x + 1)

2

B.

3
�f ( x) dx = - 4( 1-

D.

�f ( x) dx = - ( 1- 3x)

3x) 3 1- 3x + C .
-

2

3

+C .

x + 1 + 2016 là một nguyên hàm của hàm số nào

sau đây?
A. f ( x) =

5
( x + 1) x + 1
2

B. f ( x) =

C. f ( x) =

2
( x + 1) x + 1
5

D. f ( x) = ( x + 1) x + 1 +C

Câu 39.

Biết một nguyên hàm của hàm số

thỏa mãn F ( - 1) =
A. F ( x) = x -

f ( x) =

5
( x + 1) x + 1 + C
2

1
1- 3x

+ 1 là hàm số F ( x)

2
. Khi đó F ( x) là hàm số nào sau đây?
3

2
1- 3x + 3
3

B. F ( x) = x -

2
1- 3x - 3
3

– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

13 |

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12

2
1- 3x + 1
3

C. F ( x) = x Câu 40.

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

D. F ( x) = 4 -

2
1- 3x
3
a

Biết F (x) = 6 1- x là một nguyên hàm của hàm số f (x) =

1- x

. Khi đó

giá trị của a bằng
A. - 3.
Câu 41.
A.
Câu 42.
A.

Tính

B. 3 .

C. 6.

�1
�
1�
�
�
dx
�
�
��
�
� x 2�
�

x x
+C
2
2

B. 2 x -

Cho hàm số f ( x) = 1 +

�f ( x) dx = -

x
+C
2

C.

1
2 x

-

1
x +C
2

2

D.

x

-

x
+C
2

1
. Khi đó :
x

1
+C
x2

B.

�f ( x) dx = x + ln x +C
2

1� 1�
�
D. �f ( x) dx = �
1+ �
�
�
�
�
2� x �

1
C. �f ( x) dx = x - 2 + C
x
Câu 43.

1
.
6

D.

Gọi F (x) là tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) =

1
thì
1- 2x

F (x) là:
A. F (x) =

- 1
ln 1- 2x + C
2

1
B. F (x) = ln 1- 2x + C
2
x
+C
D. F (x) =
x - x2

C. F (x) = ln 1- 2x +C
Câu 44.

Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = 3x + 4 biết F (0) = 2 . Kết

quả là:
A. F (x) =

2
9

( 3x + 4)

3

C. F (x) =

2
3

( 3x + 4)

3

Câu 45.

Tìm nguyên hàm

+

2
9

B. F (x) =

2
9

( 3x + 4)

3

+

10
3

D. F (x) =

2
3

( 3x + 4)

3

�
3

�x
��
�
�

2

2
9

-

10
3

4�
�
+ �
dx
�
�
x�

A.

53 5
x + 4ln x + C
3

B. -

C.

33 5
x - 4ln x + C
5

D.

14 | THBTN

-

33 5
x + 4ln x + C
5

33 5
x + 4ln x + C
5

TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12

Câu 46.

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f (x) = x2 + k với

k � 0?
A. f (x) =

x 2
k
x + k + ln x + x2 + k
2

2

B. f (x) =

C. f (x) =

k
ln x + x2 + k
2

D. f (x) =

Câu 47.

1 2
x
x + k + ln x + x2 + k
2
2

1
2

x +k

Trong các hàm số sau:

(I) f (x) = x2 + 1
(III) f (x) =

(II) f (x) = x2 + 1 + 5

1

(IV) f (x) =

x2 + 1

1
x2 + 1

-2

2
Hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số F (x) = ln x + x + 1

A. Chỉ (I)

B. Chỉ (III)

C. Chỉ (II)

D. Chỉ (III) và (IV)
2

Câu 48.

�
1�
3

�
�
Một nguyên hàm của hàm số f (x) = �
là hàm số nào sau đây:
x
+
�
�
�
�
�
�
x�
3

1�
1�
3
�
�
B. F (x) = �
x
+
�
�
�
�
3�
�
x�

3
12
A. F (x) = x 3 x2 + 6 x5 + ln x
5
5

(

)

Nguyên hàm

�( x

C. F (x) = x 3 x + x
Câu 49.

3
12
D. F (x) = x 3 x2 + ln x + 5 x6
5
5

2

)

x + e2017x dx =

A.

5 2
e2017x
x x+
+C
2
2017

B.

2 3
e2017x
x x+
+C
5
2017

C.

3 2
e2017x
x x+
+C
5
2017

D.

2 2

e2017x
x x+
+C
5
2017

NHÓM 3: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Câu 50.

�
�
p�
�
3
x
+
�
Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = cos�
.
�
�
6�
�
�
1 �
p�
�+C .
sin�
3x + �
�

�
3 �
6�
�
�

A.

�f (x)dx =

C.

�f (x)dx = -

Câu 51.
A.

1 �
p�
�
sin�
3x + �
+C .
�
�
�
3 �
6�
�

B.

�
�
p�
�
�
f
(
x
).
dx
=
sin
3
x
+
+C .
�
�
�
�
6�
�
�

D.

�f (x)dx =

Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 1 + tan2
x

�f (x)dx = 2tan 2 +C .

B.

1 �
p�
�+C .
sin�
3x + �
�
�
6 �
6�
�
�

x
.
2
x

�f (x)dx = tan 2 +C .

– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

15 |

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12

C.

Câu 52.

1

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

x

�f (x)dx = 2 tan 2 +C .
Tìm nguyên hàm của hàm số

D.
f (x) =

x

�f (x)dx = - 2tan 2 +C .

1
�
p �.
�
sin2 �
x+ �
�

�
�
�
� 3�

A.

� p�
�
�
f
(
x
)
dx
=
cot
x+ �
+C .
�
�
�
�
�
� 3�

B.

�f (x)dx = -

C.

� p�
�
�
f
(
x
)
dx
=
cot
x+ �
+C .
�
�
�
�
�
� 3�

D.

�f (x)dx =

Câu 53.

Tính

�( sin x -

B. 2cot x + C

2
là:
cos2x
C. 2sinx + C

D. 2cosx + C

1
là:
sin2x
C. 3x + cot x + C

D. 3x - cot x + C

Một nguyên hàm của hàm số f (x) = 3 -

A. 3x - tan x + C
Câu 56.

B. - cosx + sin x + C
D. cosx + sin x + C

Một nguyên hàm của hàm số f (x) =

A. 2tanx + C
Câu 55.

1 �
p�
�
cot �
x+ �
+C .
�
�
�
3 �
� 3�

cosx)dx

A. - cosx - sin x + C
C. cosx - sin x +C
Câu 54.

1 �
p�
�
cot �
x+ �
�
�+ C .
3 �
� 3�
�

B. 3x + tan x + C

�
p�
�
�
= 0 là:
�
Cho f (x) = sin x - cosx . Một nguyên hàm F (x) của f (x) thỏa F �
�
�
�
4�
�

A. - cosx - sin x + 2

B. - cosx - sin x + 2
2

C. cosx - sin x + 2

D. cosx - sin x + 2
2

Câu 57.
Cho hàm số f (x) = 2x + sin x + 2cosx . Một nguyên hàm F (x) của f (x) thỏa
F (0) = 1 là:
A. x2 - cosx + 2sin x
C. 2 + cosx + 2sin x
Câu 58.

A.
Câu 59.

Một nguyên hàm của hàm số f (x) = tan2 x là:
tan3 x
3

16 | THBTN

B.

tan3 x
1
. 2
3
cos x

C. tanx - x

D.

2sin x
cos3 x

Một nguyên hàm của hàm số f (x) = cos4 x - sin4 x là:

A. cos2x
Câu 60.

B. x2 + cosx + 2sin x + 2

D. x2 + cosx + 2sin x - 2

B.

1
sin2x
2

C. 2sin2x

D. cos2 x

Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số f (x) = sin4 x + cos4 x ?
TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12

1
A. x + sin4x
4

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

B.

1
x + sin4x
4

C.

3
1
x + sin4x
4
16

D.

3
1
x - cos4x
4
4

2
Một nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin2x + 3x là:

Câu 61.

1
B. F ( x) = cos2x + 6x
2
1
D. F ( x) = - cos2x - x3
2

A. F ( x) = cos2x + 6x
C. F ( x) = -

1
cos2x + x3
2

Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2sin2x ?

Câu 62.

2
A. F ( x) = sin x

B. F ( x) = 2cos2x

1
C. F ( x) = cos2x
2

D. F ( x) = - cos2x

Hàm số f (x) = sin x có một nguyên hàm là:
A. F (x) = cosx + C
B. F (x) = sin x + C
C. F (x) = - cosx + 1
D. F (x) = - sin x + C

Câu 63.

Câu 64.

(

)

2
Biết F (x) = �1 + tan x dx khi đó F (x) là:

1
+C
cos2 x
C. F (x) =- tan x + C

B. F (x) = tan x + C

A. F (x) =

D. F (x) = cot x + C

Câu 65.
Gọi F (x) là tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàmsố f (x) = sin2x thì F (x)
là:
A. F (x) = cos2x + C
B. F (x) = sin2x + C
C. F (x) = - cos2x +C
D. F (x) = - sin2x + C
Gọi F1(x) là nguyên của hàm số f1(x) = sin2 x thỏa mãn F1(0) = 0 và F2(x) là

Câu 66.

nguyên của hàm số f2(x) = sin2 x thỏa mãn F2(0) = 0. Khi đó phương trình

F1(x) = F2(x) có nghiệm là:
A. x =
Câu 67.
A.
Câu 68.

p
p
+ kp, k �Z B. x = k, k �Z
2
2

Câu 69.

D. x = k2p, k �Z

Nguyên hàm của hàm số: y = cos2 x.sin x là:
1 3
cos x + C
3

B. - cos3 x + C

C.

1 3
sin x + C
3

D. Đáp án khác.

Một nguyên hàm của hàm số: y = cos5x.cosx là:

A. F ( x) = cos6x
C.

C. x = kp, k �Z

�
1�
1
1
�
�
� sin6x + sin 4x�
�
�
2�
6
4
�
�

B. F ( x) = sin6x
D. -

1�
sin6x sin4x �
�

�
�
+
�
�
�
�
2� 6
4 �

Một nguyên hàm của hàm số: y = sin5x.cos3x là:

– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

17 |

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12

A. -

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

1�
cos6x cos2x �
�
�
�
+
�

�
�
�
2� 8
2 �

B.

C. cos8x + cos2x
Câu 70.

�
1�
cos6x cos2x �
�
�
+
�
�
2�
2 �
� 8
�

D. Đáp án khác.

Tìm họ nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = cosx , ta được kết quả là:

A. F ( x) = sin x + C

�
�
B. F ( x) = - sin x + C �

C. F ( x) = cosx + C

D. F ( x) = - cosx + C

Câu 71.

Kết quả nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = cosx biết

nguyên hàm này triệt tiêu khi x =

p
?
2

�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
A. F ( x) = sin x�

�
�
�
�
�
�
�
�
�
B. F ( x) = - sin x�

�
C. F ( x) = sin x + 1�

D. F ( x) = sin x - 1

1

�cos ( 3x - 1) dx , ta được kết quả là:
A. F ( x) = tan ( 3x �1) +C
B. F ( x) = cot ( 3x �1) + C

Câu 72.

Tính

2

C. F ( x) =

Câu 73.

1
tan( 3x �1) + C
3

D. F ( x) =

1
cot ( 3x �1) + C
3

�
p�
2
�
= 1. Kết quả
��
Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x) = tan x biết F �
�
�
�
4�
�

là:
A. F (x) = tan x - x +

p
4

B. F (x) = tan x - x -

p
4

C. F (x) = x - tan x +

p
4

D. F (x) = x - tan x -

p
4

Câu 74.

Tính

A. Câu 75.

C.
Câu 76.

�(cos6x -

cos4x)dx là:

1

1
sin6x + sin4x + C
6
4

B. 6sin6x - 5sin4x +C

1
1
sin6x - sin4x + C
6
4

D. - 6sin6x + sin4x + C

Trong các hàm số sau:

(I) f (x) = tan2 x + 2

18 | THBTN

1)dx , kết quả là:

1
1
cos(3x - 1) + C B. cos(3x - 1) + C C. - cos(3x - 1) + C D. Kết quả khác
3
3

Tìm

A. -

�sin(3x -

(II) f (x) =

2
cos2 x

(III) f (x) = tan2 x + 1

TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

Hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số g(x) = tanx
A. (I), (II), (III)
Câu 77.

B. Chỉ (II), (III)

1
cos5x - cosx + C
5
C. 5cos5x + cosx + C

1
cos5x + cosx + C
5
D. Kết quả khác

B.

Lựa chọn phương án đúng:

A.

�cot xdx = ln sin x +C

C.

�x dx = x +C

Câu 79.

D. Chỉ (II)

2sin3x cos2x
Nguyên hàm của hàm số f ( x) =�

A. -

Câu 78.

C. Chỉ (III)

1

1

2

Tìm nguyên hàm

B.

�sin xdx = cosx +C

D.

�cosxdx = -

sin x + C

�(1+ sin x) dx
2

A.

2
1
x + 2cosx - sin2x + C
3
4

B.

2
1
x - 2cosx + sin2x + C
3
4

C.

2
1
x - 2cos2x - sin2x + C
3
4

D.

2
1
x - 2cosx - sin2x + C
3
4

Câu 80.

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai ?

1
1
(I )�

sin x sin3xdx = (sin2x - sin4x) + C
4
2
1
2
3
(II )�
tan xdx = tan x +C
3
x +1
1
(III )� 2
dx = ln(x2 + 2x + 3) +C
2
x + 2x + 3
A. Chỉ (I) và (II)
B. Chỉ (III)
C. Chỉ (II) và (III)
Câu 81.
A.
Câu 82.

Tìm

�(sin x + 1)

3

(cosx + 1)4
+C

4

D. Chỉ (II)

cosxdx là:

B.

sin4 x
+C
4

C.

(sin x + 1)4
+C
4

D. 4(sin x + 1)3 + C

Xét các mệnh đề
2

� x
�
x�
�
(I) F (x) = x + cosx là một nguyên hàm của f (x) = �
sin
cos

�
�
�
2�
� 2
�
(II) F (x) =

3
3
x4
+ 6 x là một nguyên hàm của f (x) = x +
4
x

(III) F (x) = tan x là một nguyên hàm của f (x) = - ln cosx
Mệnh đề nào sai ?
A. (I) và (II)
Câu 83.

Tìm �
sin

B. Chỉ (III)

C. Chỉ (II)

D. Chỉ (I) và (III)

3x

dx .
2

– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

19 |

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

A. F (x) = -

2
3x
cos + C
3
2

B. F (x) =

2
3x
cos + C
3
2

C. F (x) = -

3
3x
cos +C
2
2

D. F (x) =

3
3x
cos + C
2
2

Câu 84.

Nguyên hàm của hàm số y = sin3 x.cosx

là:

A. F (x) =

1 4
sin x + C
4

B. F (x) = -

1 4
sin x + C

4

C. F (x) =

1 4
cos x + C
4

D. F (x) = -

1 4
cos x + C
4

Câu 85.

2
Nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = tan x thỏa mãn F ( 0) = 3 là:

A. f ( x) = tan x - x + 3

B. f ( x) = tan x - x - 3

C. f ( x) = tan x + x + 3

D. f ( x) = tan x + x - 3

Câu 86.

� p�

13
�
x+ �
�
Nếu f �
và f ( 0) =
thì:
( x) = cos2 �
�
�
�
� 4�
4

�
1� 1
�
�
x
+
cos2
x
+3
�
A. f ( x) = �
�
�
2�
� 2
�

C. f ( x) = sin x +
Câu 87.

7
2

B. f ( x) = x -

1
cos2x + 4
2

1
D. f ( x) = cos2x + 3
2

Nguyên hàm của hàm số y = f ( x) = sin x + cosx - 1 là:

A. F ( x) = sin x - cosx + C

B. F ( x) = sin x - cosx - x + C

C. F ( x) = cosx + sin x - x + C

D. F ( x) = sin x + cosx - x + C

Câu 88.

Kết quả nào sai trong các kết quả sau ?

A.

�sin x.cosxdx = -

C.

- cos3 x
�cos x.sin xdx = 3 +C

cosx.sin x +C

2

B.
D.

�sin x.cosxdx =

- 1
cos2x +C
2

sin3 x
�sin x.cosxdx = 3 +C
2

Câu 89.

Kết quả nào sai trong các kết quả sau ?
�

1�
1
1
A.
�
�
�
cos3
x
.cos
xdx
=
sin4
x
+
sin2
x
+C
�
�
�
�
�
2�
4
2
�
B.

�sin3x.cosxdx =

�
- 1�
1
1
�
�
+C
� cos4x + cos2x�
�
�
2�
4
2
�
�

C.

�sin3x.cosxdx =

- 1
cos3x.sin x + C
3

D.

�sin x.cosxdx =

20 | THBTN

- cos2x
+C
4
TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12

Câu 90.

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

Nguyên hàm của hàm số: y =

cos2x
dx là:
x.cos2 x

�sin

2

�
A. F ( x) =-�cosx �sin x +C �

cosx + sin x +C �
�
B. F ( x) =�

cot x �tan x + C �
�
C. F ( x) =�

�
D. F ( x) =-�cot x �tan x + C �

Câu 91.

Tìm nguyên hàm

.
�2sin3x cos2xdx

?

A. F ( x) = -

1
cos5x - cosx + C
5

B. F ( x) = -

C. F ( x) = -

1
1
cos5x - cosx + C
2

3

D. F ( x) =

Câu 92.

Tìm nguyên hàm:

A.

1
1
cos5x - cosx + C
3
2

1
cos5x - cosx + C
5

�sin 2xdx
2

1
1
1
x + sin4x +C B. sin3 2x + C
2
8
3

C.

1
1
x - sin4x + C
2
8

D.

1
1
x - sin4x + C
2
4

Câu 93.

1
=
dx
2
x.cos x
B. 2 cot2x + C
C. 4 cot2x + C

Tìm nguyên hàm

�sin

2

A. 2tan2x + C
Câu 94.
A.
C.

D. 2 cot2x + C

Kết quả nào sai trong các kết quả sau ?
x

1

�cos 2xdx = 2 + 8 sin4x +C
2

1

�cos4xdx = 4 sin4x +C

x 1
- sin4x +C
2 8

B.

�sin

D.

�sin 2xdx = -

2

2

2xdx =

cos2 2x + C

Câu 95.
Kết quả nào sai trong các kết quả sau ?
A.
B.
2
2
�cot xdx = - cot x - x +C
�tan xdx = tan x - x +C
C.

Câu 96.

tan3 x
�tan xdx = 3 +C

D.

2

1�
sin2x �
2
�
�
�
sin
xdx
=
x
+C
�
�
�
�
2�
2
�
�

�
p�
�= 0 .
��
Tìm hàm số f ( x) biết f '( x) = sin x - cosx và f �
�
�
4�
�

�

A. f ( x) = - cosx - sin x + 2 `

B. f ( x) = cosx - sin x + 2

C. f ( x) = cosx - sin x + 2
2

D. f ( x) = cosx - sin x -

Câu 97.

Tìm nguyên hàm

�( 1+ sinx)

A. 2x - 2cosx - sin2x + C
3
4

2

2
2

dx
B. 2x + 2cosx - sin2x + C
3
4

– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

21 |

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

sin2x
C. 2x
- 2cosx +
+C
3
4

sin2x
D. 2x
- 2cos2x +C
3
4

NHÓM 4: HÀM SỐ MŨ, LOGARIT
Câu 98.
A.
C.
Câu 99.

Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = ex - e- x .

�f ( x) dx = e
�f ( x) dx = e

x

+ e- x +C .

x

- e- x +C .

�f ( x) dx = - e
D. �f ( x) dx = - e
B.

x

- e- x + C .

x

��
9�
1
�
B. �f ( x) dx = �
.
+C .
�

�
�
2� ln2 - ln9
��

x

��
2�
1
�
D. �f ( x) dx = �
.
+C .
�
�
�
9� ln2 + ln9
��

��
2�
1
�
C. �f ( x) dx = �
.
+C .
�
�
�

3� ln2 - ln9
��

x

x

Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = ex (3 + e- x ) là

A. F (x) = 3ex + x +C .
C. F (x) = 3ex Câu 101.

+ e- x +C .

Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x.3- 2x .

��
2�
1
�
A. �f ( x) dx = �
.
+C .
�
�
�
9� ln2 - ln9
��

Câu 100.

x

B. F (x) = 3ex + ex lnex + C .

1
+C .
ex

D. F (x) = 3ex - x + C .

x
Hàm số F ( x) = 7e - tan x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

�
�
e- x �
x�
�
f
x
=
e
7
�
A. ( )
.
�
2
�

�
� cos x �
�

B. f ( x) = 7ex +

x
2
C. f ( x) = 7e + tan x - 1.

�x
1 �
�
�
e
�
D. f ( x) = 7�
.
2 �
�
�
� cos x �

Câu 102.

Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = e4x- 2 .
1

2x- 1

1

4x- 2

A.

�f ( x) dx = 2e

C.

�f ( x) dx = 2e

Câu 103.

Tính

�( e

-x

A.
Câu 105.
22 | THBTN

Tính

�3x- 1

e
�

��
�
�

+C .

B.

�f ( x) dx = e

+C .

D.

�f ( x) dx = 2

2x- 1

1

+C .

e2x- 1 + C .

)

+ 4 dx

A. e- x + 4x +C
Câu 104.

1
.
cos2 x

B.
-

1 3x- 1 1
e
+C
3
x

1
+ 4x + C
e- x

C. - e- x + C

D. - e- x + 4x + C

�
1�
�
dx
2�
x �
�
B. 3e3x- 1 +

1
+C
x

C. 3e3x- 1 -

1
+C
x

D.

1 3x- 1 1
e
+ +C
3
x

x
2
Một nguyên hàm của hàm số f ( x) = 9 + 3x là

TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

x
3
A. F ( x) = 9 + x

C. F ( x) =
Câu 106.

x
3
B. F ( x) = 9 ln9 + x

9x
+ x3
9

D. F ( x) =

9x
+ x3
ln9

� e- x �
�
x�
�
F
x
f
x
=

e
1
�
Một nguyên hàm ( ) của hàm số ( )
thỏa F ( 1) = e là
�
2
�
�
� x �
�

A. F ( x) = ex -

1
- 1
x

B. F ( x) = ex -

1
+1
x

C. F ( x) = ex +

1
- 1
x

D. F ( x) = ex +

1
+1
x

Câu 107.

Hàm số f (x) = e1- x có tất cả các nguyên hàm là:

A. F (x) = e1- x + C
C. F (x) =
Câu 108.

B. F (x) = - e1- x

1 2- x
e +C
2- x

D. F (x) = - e1- x +C

Gọi F (x) là tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x+1 thì

F (x) là:
A. F (x) = 3x+1 +C

B. F (x) = 3ln3.3x + C

C. F (x) = 3ln3.3x+1 + C

D. F (x) =

Câu 109.

3x+1
+C
ln3

Gọi F (x) là tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = ex - 2 thì

F (x) là:
A. F (x) = ex - 2 +C

B. F (x) = ex - 2x + C

C. F (x) = ex+1 - 2x + C

D. F (x) =

Câu 110.
A.
Câu 111.

1 x+1
e - 2x + C
x +1

Nguyên hàm của hàm số f (x) = e2x - ex là:
1 2x

e - ex + C
2

B. 2e2x - ex + C

C. ex (ex - x) + C

Nguyên hàm của hàm số f (x) = 2ex +

1
là:
cos2 x

�
�
e- x �
x�
�
e
2
x
A. 2e + tan x +C �
B. �
C. ex + tan x + C
�
�
�
�
�
�

�
cos2 x �
�
�
x

Câu 112.

Tính

�(3cosx -

A. 3sin x -

Câu 113.

3x
+C
ln3

D. Kết quả khác

D. Kết quả khác

3x )dx , kết quả là:
B. - 3sin x +

3x
+C
ln3

D. - 3sin x -

3x
+C
ln3

C. 3sin x +

3x
+C
ln3

x
Hàm số F ( x) = e + tan x +C là nguyên hàm của hàm số f (x) nào?

– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

23 |

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12

A. f (x) = ex -

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

1
1
1

B. f (x) = ex + 2 C. f (x) = ex +
2
sin x
sin x
cos2 x

D. Kết quả

khác
Câu 114.

Nếu

�f (x)dx = e

x

A. ex + cos2x
Câu 115.

+ sin2x +C thì f (x) bằng

B. ex - cos2x

x
x
Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2 - 4 .

( )
x

2

x
2
A. F (x) = 2 +C
ln2 ln2
2x �
4x �
�
�
�
F
(
x
)
=
1
+C
�
C.
�
�
�
�
ln2� ln2�

Câu 116.

Tìm

�3x- 1 1 �
�
�
�
e
dx
�
�
��
x2 �
�
�

1
1
A. F (x) = e3x- 1 +C
3
x
1
C. F (x) = 3e3x- 1 +C
x

Câu 117.

C. F (x) = 3ex -

(

)

.
B. F (x) = 3e3x- 1 +

1
+C
x

1
1
D. F (x) = e3x- 1 + + C
3
x

B. F (x) = - 3ex -

1
+C
2x4

1
+C
2x4

D. F (x) = - 3ex +

1
+C
2x4

e2x+3
- x2 + x + C
2

B. F ( x) =

e2x+3
- 2x + C
2

2x+3
- x2 + x +C
D. F ( x) = 2e

23x
42x+1
+
+C
2.ln8 4.ln16

B. F ( x) =

23x
42x+1
+
+C
ln2 ln4

23x
42x+1

+
+C
ln8 ln16

D. F ( x) =

3.23x 2.42x+1
+
+C
ln2
ln4

C. F ( x) =

24 | THBTN

2x
1- 2x +C .
2ln2

)

3x
2x+1
Nguyên hàm của hàm số y = f ( x) = 2 + 4
là

A F ( x) =

A.

D. F (x) =

(

2x+3
- 2x + 1 là:
Nguyên hàm của hàm số y = f ( x) = e

C. F ( x) =

Câu 120.

2x
1- 2x- 1 + C
ln2

1
+C
2x4

2x+3
- x2 + x +C
A. F ( x) = e

Câu 119.

B. F (x) =

�

2 �
�
�.
ex �
3
�
Tìm �
5 x�
�
�
x
e
�
�

A. F (x) = 3ex +

Câu 118.

1
D. ex + cos2x
2

C. ex + 2cos2x

Kết quả nào sai trong các kết quả sau ?

(

)

x
x
x
x
�e + 2 dx = e + 2 +C

B.

2x
�e + 2 dx = e + ln2 +C

(

x

x

)

x

TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12

C.
Câu 121.

(

)

x
x
�e e + 1

2

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

(e
dx =

x

Tìm nguyên hàm

)

+1
3

3

D.

+C

�( 2 + e )
3x

2

1

�e

x

xdx =

- 1
+C
ex

dx

A. 3x +

4e3x e6x
+
+C
3
6

B. 4x +

4e3x e6x

+
+C
3
6

C. 4x +

4e3x 5e6x
+
+C
3
6

D. 4x +

4e3x e6x
+C
3
6

Dạng toán 2. TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ
�ⓣ ⓗ ⓑ ⓣ ⓝ �

A – PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
P (x)
�
dx, với P (x) và Q(x) là
Bài toán tổng quát: Tính nguyên hàm I = �
Q(x)
các đa thức không căn.

Phương pháp giải:
PP
— Nếu bậc của tử số P (x) � bậc của mẫu số Q(x) ��
� Chia đa thức.
PP
— Nếu bậc của tử số P (x) < bậc của mẫu số Q(x) ��
� Xem xét mẫu số và
khi đó:

+

Nếu mẫu số phân tích được thành tích số, ta sẽ sử dụng đồng nhất
thức để đưa về dạng tổng của các phân số.
Một số trường hợp đồng nhất thức thường gặp:

+

�

� a
1
1
b �
�
�
�
=
�
�
�

�
�
(ax + m) �
(bx + n) an - bm �
ax
+
m
bx
+
n
�
�

�

�
A +B = m
mx + n
A
B
(A + B ) �
x - (Ab + Ba)
=
+
=
��
�
�
�
Ab + Ba = - n

(x - a) �
(x - b) x - a x - b
(x - a) �
(x - b)
�

�

1
A
Bx +C
=
+
, với D = b2 - 4ac < 0.
(x - m) �
(ax2 + bx + c) x - m ax2 + bx + c

�

1
A
B
C
D
=
+
+
+
�
2

2
x - a (x - a)
x - b (x - b)2
(x - a) �
(x - b)
2

Nếu mẫu số không phân tích được thành tích số (biến đổi và đưa về
dạng lượng giác).
B - BÀI TẬP VẬN DỤNG

BT 5. Tính các nguyên hàm sau:
2x + 1
a) I = �
�
dx �
x- 1

ĐS: I = 2x + 3ln x - 1 + C .

.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................

– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

25 |

BÀI GIẢNG NGUYÊN hàm và PHƯƠNG PHÁP tìm NGUYÊN hàm file word

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về