TÍCH PHÂN 44 câu ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG – có HƯỚNG dẫn GIẢI

144 CÂU ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG
TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG – CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI
A – ĐỀ BÀI
Câu 1.

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y  f  x  liên tục, trục hoành và hai
đường thẳng x  a , x  b được tính theo công thức:
b

b

f  x  dx .
A. S  �

f  x  dx .
B. S  �

a

a

0

b

a

0

f  x  dx  �
f  x  dx .

C. S  �

0

b

a

0

f  x  dx  �
f  x  dx .
D. S  �
Hướng dẫn giải

Chọn A.
b

f  x  dx .
Trục hoành có phương trình y = 0 do đó: S  �
a

Câu 2.

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y  f1  x  , y  f 2  x  liên tục và hai
đường thẳng x  a , x  b được tính theo công thức:
b

b

f1  x   f 2  x  dx .
A. S  �

B. S 

a

f  x   f  x  dx .
�
1

2

a

b

�
C. S  �
�f1  x   f 2  x  �
�dx .

b

b

a

a

f1  x  dx  �
f 2  x  dx .
D. S  �

a

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Câu 3.

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y  x 2 , trục hoành và hai đường
thẳng x  1, x  3 là :
28
A.
 dvdt  .
9

B.

28
 dvdt  .
3

C.

1
 dvdt  .
3

D. Tất cả đều sai.

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y  x 2 và trục hoành: x 2  0 � x  0 .
Mà hàm số y  x 2 không đổi dấu trên  1;3 nên :
3

S

1

Câu 4.

3

2
x 2 dx 
�x dx  �
1

x3
3

3
1



28
.

3

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đường y  x 2  x  3 và đường thẳng y  2 x  1 là
A.

7
 dvdt  .
6

B. 

1
 dvdt  .
6

C.

Hướng dẫn giải
Chọn C.

1
 dvdt  .
6

D. 5  dvdt  .


Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y  x 2  x  3 và đường thẳng y  2 x  1 là

x 1

�
x 2  x  3  2 x  1 � x 2  3x  2  0 � �
x2
�
2

2

1

1





2
x 2  3x  2 dx   �
x 2  3x  2 dx 
Ta có: x  3x  2 �0, x � 1; 2 . Do đó: S  �

Câu 5.

1
.
6

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y  x 2  x  1 và y  x 4  x  1 là:
A.

8
 dvdt  .
15

B.

7
 dvdt  .
15

C. –

7
 dvdt  .
15

D.

4
 dvdt  .
15

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y  x 2  x  1 và y  x 4  x  1 là

x  �1
�
x 2  x  1  x 4  x  1 � x 2  x 2  1  0 � �
x0

�
Ta có: x  x  1 �0x � 1;1 . Do đó: S 
2

Câu 6.

2

1

�x  x
4

1

1

2

dx   �
 x 4  x 2  dx 
1

4
.
15

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y  2 x  x 2 và đường thẳng x  y  2 là:
A.

1
 dvdt  .
6

B.

5
 dvdt  .
2

C.

6
 dvdt  .
5

D.

1
 dvdt  .
2

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y  2 x  x 2 và x  y  2 là

x 1
�
2 x  x 2  2  x � x 2  3x  2  0 � �
x2

�
2

2





x  3x  2 dx   �
x 2  3x  2 dx 
Ta có: x  3x  2 �0, x � 1; 2 . Do đó: S  �
2

2

1

Câu 7.

1

1
.
6

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y  ln x , trục hoành và hai đường thẳng
1
x  , x  e là:
e

1
A. e   dvdt  .
e

B. 1 

1
 dvdt  .
e

C. e 

1
 dvdt  .
e

D. 2 

2
 dvdt  .
e

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y  ln x và trục hoành là
ln x  0 � x  1

�
1 �
Ta có: ln x �0, " x ��;1�

và ln x �0, " x �[1; e ] .
�
e �
�
�


e

1

e

1

e

1
e

1
e

1

1
e

1

2
S

ln
x
d
x

ln
x
d
x

ln
x
d
x


ln
x
d
x

ln
x
d
x

2


�
�
�
�
�
Do đó:
e.
Câu 8.

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y  x 3  3x , y   x và đường thẳng x  2
là:
A. 12  dvdt  .

B. 12  dvdt  .

C. 4  dvdt  .

D. 4  dvdt  .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y  x 3  3x và y   x là

x3 + 4 x = 0 � x = 0

[ 2; 0] . Do đó: S 
Ta có: x + 4 x �0, " x �3

0

0

x
�x  4 x dx   �
3

2

Câu 9.

2

3

 4 x  dx  12 .

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  x 3 , y  0, x  1, x  2 có kết quả là:
17
15
14
A.
.
B. 4 .
C.
.
D.
.
4
4

4
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y  x 3 và y  0 là x3  0 � x  0
3
3
Ta có: x �0, x � 1;0 và x �0, x � 0; 2 .
2

Do đó: S 

0

2

0

2

x dx   �
x dx  �
x dx 
�x dx  �x dx  �
3

1

3

1

3

0

3

3

1

0

17
.
4

Câu 10. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  1, y  x 4  2 x 2  1 có kết quả là
A.

6 2
.
5

B.

28
.
3

C.

16 2
.
15

D.

27
.
4

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y  x 4  2 x 2  1 và y  1 là
x0
�
x4  2x2  0 � �
x�2
�
4
2
 2; 2 �
Ta có: x  2 x �0, x ��
�
�. Do đó: S 

2

 2

Câu 11. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y   x, y  2 x  x 2 có kết quả là
9
A. 4 .
B. .
C. 5 .
2
Hướng dẫn giải
Chọn B.

2

4
2
 x 4  2 x 2  dx 
�x  2 x dx  2 �
0

D.

7
.
2

16 2
.
15


Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y  2 x  x 2 và y   x là

x0
�
2 x  x 2   x � 3x  x 2  0 � �
x3
�
3

3

0

0

2
3x  x 2 dx  �
 3x  x 2  dx 
Ta có: 3 x  x �0, x � 0;3 . Do đó: S  �

9
.
2

Câu 12. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  x  3, y  x 2  4 x  3 có kết quả là :
A.

52
.
6

B.

53
.
6

54
.
6

C.

D.

53  1
.
6

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y  x 2  4 x  3 và y  x  3 là

x0
�
x2  4 x  3  x  3 � x2  5x  0 � �
x5
�
5

5

x  5 x dx   �
 x 2  5x  dx 
Ta có: x  5 x �0, x � 0;5 . Do đó: S  �
2

2

0

0

53
.
6

Câu 13. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y   x 2  5 x  6, y  0, x  0, x  2 có kết quả là:
58
56
55
52
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
3

3
3
3
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y   x 2  5 x  6 và y  0 là

x  1
�
 x2  5 x  6  0 � �
x6
�
2

2

 x  5 x  6 dx  �
  x 2  5x  6 dx 
Ta có:  x  5 x  6 �0, x � 0; 2 . Do đó: S  �
2

2

0

0

58
.
3

Câu 14. Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi parabol ( P) : y  x 2  2 x , trục Ox và các đường thẳng

x  1, x  3 . Diện tích của hình phẳng (H) là :
A.

2
.
3

B.

4
.
3

C. 2 .

D.

8
.
3

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y  x 2  2 x và y  0 là:

x0
�

x2  2 x  0 � �
x2
�
2
2
Ta có: x  2 x �0, x � 2;3 và x  2 x �0, x � 1; 2
3

2

1

1





3





x 2  2 x dx   �
x 2  2 x dx  �
x 2  2 x dx  2 .
Do đó: S  �
2

3
Câu 15. Để tìm diện tích của hình phẳng giới hạn bởi  C  : y  x ; y  0; x  1; x  2 một học sinh thực

hiện theo các bước như sau:
2

Bước I. S 

x4
S

Bước II.
4

x dx
�
3

1

2

Bước III. S  4 
1

Cách làm trên sai từ bước nào?
A. Bước I.
C. Bước III.

1 15

4 4

B. Bước II.
D. Không có bước nào sai.
Hướng dẫn giải

Chọn A.
2

Ta có: S 

0

2

0

2

x dx   �
x dx  �
x dx
�x dx  �x dx  �
3

1

3

3

1

0

3

3

1

0

Sai từ bước I.
4
2
Câu 16. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi  C  : y  3 x  4 x  5; Ox ; x  1; x  2 là

A.

212
.
15

B.

213
.

15

C.

214
.
15

D.

43
.
3

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y  3 x 4  4 x 2  5 và y  0 là

3x 4  4 x 2  5  0 vô nghiệm.
2

� 2 � 11
Ta có: 3 x  4 x  5  3 �x 2  �  0, x � 1; 2 
� 3� 3
4

2

2

2

1

1

3 x 4  4 x 2  5 dx  �
Do đó: S  �
 3x 4  4 x2  5 dx 

214
5

2
Câu 17. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi  C  : y   x  6 x  5; y  0 ; x  0; x  1 là

A.

5
.
2

B.

7
.
3

7
3

5
2

C.  .

D.  .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y   x 2  6 x  5 và y  0 là

x 1
�
 x2  6 x  5  0 � �
x5
�
1

1

 x  6 x  5 dx   �
  x 2  6 x  5  dx 
Ta có:  x  6 x  5 �0, x � 0;1 . Do đó: S  �
2

2

0

0

Câu 18. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi  C  : y  sin x; Ox ; x  0; x   là
A. 1 .

B. 2 .

C. 3 .
Hướng dẫn giải

D. 4 .

7
.
3


Chọn B.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

y  sin x và y  0 là

x0
�
sin x  0 � �
x 
�




0

0

sin x dx  �
sin xdx  2 .
Ta có: sin x �0, x � 0;   . Do đó: S  �
Câu 19. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 2  4 ; Ox bằng ?
32
16
A.
.
B.
.
C. 12 .
3
3

D.

32
.
3

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y  x 2  4 và y  0 là

x2

�
x2  4  0 � �
x  2
�
Ta có: x  4 �0, x � 2; 2 . Do đó: S 
2

2

2

x
�x  4 dx   �
2

2

2

2

 4  dx 

32
.
3

Câu 20. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 3  4 x ; Ox ; x  3 x  4 bằng ?
A.

119
.
4

C. 36 .

B. 44 .

D.

201
.
4

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y  x 3  4 x và trục Ox  y  0  là:
x0
�
�
x  4x  0 � �
x  2
�
x2
�
3

3
3
[ 2;0] �[ 2; 4] .

Ta có: x  4 x �0,  � 3; 2 � 0; 2  và x - 4 x �0" �-

Do đó: S 

4

2

0

2

4

3

3

2

0

2

3
 x3  4 x  dx  �
 x 3  4 x  dx  �
 x 3  4 x  dx  �
 x 3  4 x  dx 
�x  4 x dx   �

Câu 21. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 2 ; y  x  2 bằng ?
15
9
9
A.
.
B.
.
C. .
2
2
2

D.

15
.
2

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y  x 2 và y  x  2 là:

x  1
�
x2  x  2 � �
.
x2
�

201
4


2

Do đó: S 

2

x
�x  x  2dx  �
2

1

1

2

 x  2  dx 

9
.
2

Câu 22. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 4  4 x 2 ; Ox bằng ?
1792
128

A. 128 .
B.
.
C.
.
15
15

D. 

128
.
15

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y  x 4  4 x 2 và trục Ox  y  0  là:
x0
�
�
x4  4x2  0 � x  2
�
.
�
x  2
�
2

Do đó: S 

4
2
�x  4 x dx 

2

� x
0

2

4

 4 x 2  dx 

� x
2

0

4

 4 x 2  dx 

128
.
15

Câu 23. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x3  4 x; Ox; x  1 bằng ?
9

9
A. 24 .
B. .
C. 1 .
D.  .
4
4
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y  x3  4 x và trục Ox  y  0  là:

x3  4 x  0 � x  0 .
0

Do đó: S 

0

x
�x  4 x dx  �
3

1

3

1

 4 x  dx 

9
4.

Câu 24. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  cos x; Ox; Oy; x   bằng ?
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. Kết quả khác.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y  cos x và trục Ox  y  0  là:
cos x  0 � x 


 k  k �Z
.
2

Xét trên  0;   nên x 


.
2




2

0

0



cos x dx  �
cos x dx  �
cos x dx 
Do đó: S  �

2


2



 cos x  dx  �
 cos x  dx
�
0


2

2

.

Câu 25. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 3  x; Ox bằng ?

A.

1
.
2

B.

1
.
4

C. 2 .

D.

1
.
4


Hướng dẫn giải
Chọn A.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y  x 3  x và trục Ox  y  0  là:
x0
�
�
x x0� �
x 1
.

�
x


1
�
3

1

Do đó: S 

0

x
�

3
�x  x dx 

3

1

1

 x  dx 

1

x
�

3

0

 x  dx 

1
.
2

Câu 26. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  e x ; y  1 và x  1 là
A. e  2 .
B. e .
C. e  1 .

D. 1 e .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y  e x và trục y  1 là:
ex  1 � x  0 .
1

Do đó: S  �
e x  1 dx 
0

1

 e  1 dx  e  2 .
�
x

0

Câu 27. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  3 x ; x  4 ; Ox là
A.

16
.
3

B. 24 .

C. 72 .

D. 16 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y  3 x và trục Ox  y  0  là:
3 x  0 � x  0.
4

3 x  1 dx 
Do đó: S  �
0

4

3
�
0



x  1 dx  16

.





Câu 28. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y   e  1 x , y  1  e x x là
A.

e
 2  dvdt  .
2

B.

e
 1 dvdt  .
2

C.

e
 1 dvdt  .
3

D.

e
 1 dvdt  .
2

Hướng dẫn giải
Chọn B.





x
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y   e  1 x và y  1  e x là:

x0
�
x 1 .
�

 e  1 x   1  e x  x � �
1

 e  1 x   1  e  x dx 
Do đó: S  �
x

0

1

  e  1 x   1  e  x  dx  2  1 .
�
x

0

e


Câu 29. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y  sin 2 x, y  cos x và hai đường thẳng
x  0, x 

A.


là
2

1
 dvdt  .
4

B.

1
 dvdt  .
6

C.

3
 dvdt  .
2

D.

1
 dvdt  .
2

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y  sin 2 x và y  cos x là:

� 
x   k
�
2
cos x  0
�
�


sin 2 x  cos x � cos x.  2sin x  1  0 � �
��
x   k 2 k � Z
1
.
� 6
�
sin x 
�
�
2
5
�
x
 k 2
� 6


��
nên nhận x  .
�
6
� 2�

0;
Xét trên �


2


6


2

0


6

1

 sin 2 x  cos x  dx  �
 sin 2 x  cos x  dx  .
�
2

sin 2 x  cos x dx 
Do đó: S  �
0

Câu 30. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  x, y  sin 2 x  x  0 �x �  có kết quả là
A.  .

B.


.
2

C. 2 .

D.


.
3

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y  sin 2 x  x và y  x là:
sin 2 x  x  x � sin 2 x  0 � x  k ; k � � .
Xét trên  0;   nên nhận x  0; x   .





1  cos 2 x
1  cos 2 x �

�
sin x  x  x dx  �
dx  �
dx  .
Do đó: S  �
�
�
2

2
2
�
0
0
0�
2

Câu 31. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y  x 2  2 x và y  x là
A.

9
 dvdt 
2

B.

7
 dvdt 
2

C. –

9
 dvdt 
2

D. 0  dvdt  .

Hướng dẫn giải

Chọn A.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y  x 2  2 x và y  x là:

x0
�
x2  2 x  x � �
x3.
�


3

x  2 x  x dx 
Do đó: S  �
2

0

3

x
�

2

0

 3x  dx 

9

2.

Câu 32. Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi đường cong (C ) : y  x3 , trục Ox và đường thẳng x 
Diện tích của hình phẳng (H) là
65
81
A.
.
B.
.
64
64

C.

81
.
4

3
.
2

D. 4 .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (C ) : y  x 3 và trục Ox là:
x3  0 � x  0 .
3

2

x3 dx 
Do đó: S  �
0

3
2

81
 x  dx  64
�
.
3

0

Câu 33. Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi đường cong (C ) : y  e x , trục Ox, trục Oy và đường
thẳng x  2 . Diện tích của hình phẳng (H) là
B. e 2  e  2 .

A. e  4 .

C.

e2
3.
2

D. e 2  1 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (C ) : y  e x và trục Ox là
e x  0  PTVN  .
2

e dx 
Do đó: S  �
x

0

2

 e  dx  e
�
x

0

2

1

.

Câu 34. Cho hình phẳng  H  được giới hạn bởi đường cong (C ) : y  ln x , trục Ox và đường thẳng

x  e . Diện tích của hình phẳng  H  là :

A. 1 .

B.

1
1 .
e

C. e .

D. 2 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số (C ) : y  ln x và trục Ox: y  0 là :

ln x  0 � x  1 .
Ta có: ln x �0, x � 1; e  .
e

Do đó: S 

1
�
u  ln x
du  dx
�
�
��
ln x dx  ln xdx . Đặt �

x
v

d
x
�
�
1
vx
�

�
1

e

�


e

e

S  x ln x 1  �
dx  1 .
1

Câu 35. Cho hình phẳng (H) được giới hạn đường cong (C ) : y  x 3  2 x 2 và trục Ox. Diện tích của hình
phẳng (H) là
4

5
11
68
A. .
B. .
C.
.
D.
.
3
3
12
3
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số (C ) : y  x 3  2 x 2 và trục Ox: y  0 là:

x0
�
x3  2 x 2  0 � �
.
x2
�

3
2
Ta có: x  2 x �0, x � 0; 2 . Do đó:

2

2

0

0

S�
x 3  2 x dx   �
 x 3  2 x  dx 

4.
3

Câu 36. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đường y  x và y  x 2 là
A.

1
.
2

B.

1
.
4

C.

1
.

5

D.

1
.
3

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y  x và y  x 2 là :

x0
�
x2  x � x  x4 � x4  x  0 � �
.
x 1
�
1

1





x  x dx  �
x 2  x dx 
Ta có: x  x �0, x � 0;1 . Do đó: S  �
2

2

0

0

1
.
3

Câu 37. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  sin x; y  cos x; x  0; x   là:
B. 3 .

A. 2 .

C. 3 2 .

D. 2 2 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y  sin x; y  cos x; x  0; x   là:

sin x  cos x � tan x  1 � x   k , k ��.
4

Vì x � 0;   nên x  .
4
 �

��
�
0; �
;sin x  cos x �0, x �� ;  �.
Ta có: sin x  cos x �0, x ��
� 4�
�4 �



4

0

0



sin x  cos x dx  �
sin x  cos x dx  �
sin x  cos x dx
Do đó: S  �

4



4



 �
 sin x  cos x  dx  �
 sin x  cos x  dx  2 2 .

4

0

Câu 38. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  x  sin x; y  x  0 �x �2  là
A. 1 .

C. 3 .

B. 2 .

D. 4 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y  x  sin x; y  x  0 �x �2  là:

x  sin x  x � sin x  0 � x  k , k ��.
Vì x � 0; 2  nên x  0; x   ; x  2 .
Ta có: sin x �0,Σx� 0;   ;sin x 0, x
Do đó: S 

  ;2  .

2



2



2

0

0



0



sin x dx 
�sin x dx  �

sin xdx  �
sin xdx  4 .
�sin x dx  �

Câu 39. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y 
A. 1 .

B. 1 – ln 2 .

x3
; y  x là
1  x2
C. 1 + ln 2 .

D. 2 – ln 2 .

Hướng dẫn giải
Chọn B.

x3
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y 
; y  x là:
1  x2
��
x0
x0
�
�
3
�
3
3
�
2x  x
x
2x  x
�
��

2
�
x�
0�� 2
� �x  � �
2.
�
1  x2
1  x2
1  x �0
x�
2
�
��
�
2
�
�x ��1
Ta có:

�
2 x3  x
 2 �2 x3  x
�
0,

Σ
x

�

;
� ;0�
2
1  x2
�2
� 1 x
2
2

0

� 2�
0, x �
0;
�.
� 2 �

2x  x
2x  x
dx  �
dx 
Do đó: S  �
2
1 x
1  x2
 2
 2
3

2

0



2x  x
3

�1  x

2

2
2

2 x3  x
dx
�
1  x2
0

2

dx 

 2
2

�
ln 1  x
�

 x2 
�
2
�

3

2
2

2x  x
3

�1  x
0

2

0

�
�
�
�

2

2

2

0

dx 

x

�

2 x 
��
1 x
�

 2
2

�
ln 1  x
�
 x2 
�
2
�

2

2

�

dx 
�
�

2
2

�

x

2 x 
�
�
1 x
�
0

2
2

�
�  1  ln 2.
�
�0

2
Câu 40. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi  C  : y  4 x  x ; Ox là

2

�
dx
�
�


A.

31
.
3

B. 

31
.
3

C.

32
.
3

D.

33
.
3

Hướng dẫn giải
Chọn C.
2
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số  C  : y  4 x  x ;  Ox  : y  0 là:

x0
�
4x  x2  0 � � .
x4
�
4

4

0

0

2
4 x  x 2 dx  �
 4 x  x 2  dx 
Ta có: 4 x  x �0, x � 0; 4 . Do đó: S  �

32
.
3

2
Câu 41. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi  C  : y  x  2 x ; y  x  2 là

A.

5
.
2

B.

7
.
2

C.

9
.
2

D.

11
.
2

Hướng dẫn giải
Chọn C.

2
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số  C  : y  x  2 x ; y  x  2 là:

x 1
�
x2  2 x  x  2 � x2  x  2  0 � �
.
x  2
�
Ta có: x  x  2 �0, x � 2;1 . Do đó: S 
2

1

1

x
�x  x  2 dx   �
2

2

2

2

 x  2  dx 

9
.
2

1
Câu 42. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi  C  : y  ; d : y  2 x  3 là
x

A.

3
 ln 2 .
4

B.

1
.
25

C. ln 2 

3
.
4

D.

1
.
24

Hướng dẫn giải
Chọn A.

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

 C : y 

1
; d : y  2 x  3 là :
x

1
1
2 x 2  3x  1
 2 x  3 �  2 x  3  0 �
0
x
x
x
1
�
�
2 x 2  3x  1  0
1
�x  1 �x 
��
��
2 � x  1 �x  .
2
�x �0
�
�x �0
1

1

2

2

1
�1
� 3
1
1 �
�
S



2
x

3
d
x



2
x

3

dx   ln 2.


�
�
�
�

2
x

3
�
0,

x
�
;1
Ta có:
. Do đó:
�
�
x
x
4
�
�
1
1
x

2 �
�
2
Câu 43. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi  C  : y  x ;  d  : x  y  2 là

A.

7
.
2

B.

9
.
2

C.

11
.
2

D.

13
.
2

Hướng dẫn giải
Chọn B.

2
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số  C  : y  x ;  d  : y   x  2 là:

x 1
�
x2   x  2 � x2  x  2  0 � �
.
x  2
�
1

1

2

2

2
Ta có: x  x  2 �0, x � 2;1 . Do đó: S 

2
 x 2  x  2 dx 
�x  x  2dx   �

9
2

Câu 44. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  3 x 2  3 với x �0 ; Ox ; Oy là
A. 4 .
B. 2.
C. 4 .
D. 44 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y  3 x 2  3 với x �0 ;  Ox  : y  0 là:
�
x  1 N 
3 x 2  3  0 � �
.
x  1  L 
�
1

1

3x  3dx  �
 3 x 2  3  d x  2 .
Ta có: 3x  3 �0, x � 0;1 . Do đó: S  �
2

3

0

0

Câu 45. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 3  3 x 2 và trục hoành là
27
3
27
A. 
.
B. .
C.
.
D. 4 .
4
4
4
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y  x 3  3x 2 và trục hoành  Ox  : y  0

x0
�
3
2
là: x  3x  0 � �
.
x3
�
3

3

0

0

3
2
x 3  3x 2 dx   �
 x3  3x 2  dx 
Ta có: x  3x �0, x � 0;3 . Do đó: S  �

27
.
4

Câu 46. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  5 x 4  5 và trục hoành là
A. 4 .

B. 8 .

C. 3108 .

D. 6216 .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y  5 x 4  5 và trục hoành  Ox  : y  0

x 1
�
4
2

2
2
là: 5 x  5  0 � ( x  1)( x  1)  0 � ( x  1)  0 � �
.
x  1
�
4
Ta có: 5 x  5 �0, x � 1;1 . Do đó: S 

1

1

1

1

4
 5x4  5 dx  8 .
�5x  5dx  �

Câu 47. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y  x 3  11x  6 và y  6 x 2 là


A. 52 .

B. 14 .

1
.

4

C.

D.

1
.
2

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y  x3  11x  6 và y  6 x 2 là:
x 1
�
�
x3  11x  6  x 2 � x 3  x 2  11x  6  0 � �
x  2.
�
x3
�
3
2
3
2
Ta có: x  x  11x  6 �0, x � 1; 2 ; x  x  11x  6 �0, x � 2;3 . Do đó:

3

2

3

1

1

2

S�
x 3  x 2  11x  6dx  �
x 3  x 2  11x  6dx  �
x3  x 2  11x  6dx
2

�
 x3  x 2  11x  6  dx 
1

3

x x
�
3

2

2

1

 11x  6  dx  .
2

Câu 48. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y  x 3 và y  4 x là:
B. 8 .

A. 4 .

C. 40 .

D.

2048
.
105

Hướng dẫn giải
Chọn B.
x2
�
�
x  2
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là: x  4 x � �
�
x0
�
3

Diện tích hình phẳng cần tìm là:
0

2

0

2

0

2





2





S  �x3  4 x dx  �x 3  4 x dx  � x 3  4 x dx  �x3  4 x dx
0

�x 4
�0
�x 4
�2
 �  2 x 2 �  �  2 x 2 �  8.
�4

�2 �4
�0
Câu 49. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  2 x ; y 
A. 5  8ln 6 .

B. 5  8ln

2
.
3

C. 26 .

8
; x  3 là:
x

D.

14
.
3

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y  2 x và đồ thị hàm số y 

2x 
Diện tích hình phẳng cần tìm là:

x2
�
8
��
x  2
x
�

8
là:
x


3

S  �2 x 
2

3
3
8
2
� 8�
dx  �
2x  �
dx  x 2  8ln x
 5  8 ln .
�
2
x

x�
3
2�





Câu 50. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  mx cos x ; Ox ; x  0; x   bằng 3 . Khi đó
giá trị của m là:
A. m  3 .
B. m  3 .
C. m  4 .
D. m  �3 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.



2

0

0


2





S  �mx cos x dx  �mx cos x dx  �mx cos x dx  m �x cos x dx  m �x cos x dx

2


2

0

ux
du  dx
�
�
��
Đặt �
.
dv  cos xdx �
v  sin x
�
�
�
Khi đó S  m �x sin x
�
�

�
 m �  cos x
�2

�


2
0


2
0


2

� �
�
sin x dx �
 m�
�
�x sin x
0
� �
� �

� �
� m �  cos x
� �2
� �




2

�
�
sin x dx �
�

�
2
�


� �
�
� �
� �
�
�  �  1�
m�
  1�
m  �  1 �m  �  1�m   m
�

� �2 � � 2 � �2 � �2 �
2 �



Theo giả thiết S  3 �  m  3 � m  �3 .
Câu 51. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  2 x  1 ; y 

B. 4  6 ln

A. 4  6 ln 6 .

2
.
3

C.

6
; x  3 là:
x

443
.
24

D.

25
.
6

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y  2 x  1 và đồ thị hàm số y 

6
là:

x

3
�
x
6
�
2x 1  �
2
�
x
x2
�

Diện tích hình phẳng cần tìm là:
3

S  �2 x  1 
2

Câu 52. Cho  C  : y 

3
3
6
6�
2
�
dx  �
2 x 1  �

dx  x 2  x  6 ln x
 4  6 ln .
�
2
x
x�
3
2�





1 3
1
� 5�
0; �sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ
x  mx 2  2 x  2m  . Giá trị m ��
3
3
� 6�

thị  C  , y  0, x  0, x  2 có diện tích bằng 4 là:
1
A. m   .
2

B. m 

1

.
2

C. m 

Hướng dẫn giải

3
.
2

3
D. m   .
2


Chọn B.
� 5�
0; �, xét hàm số
Với mọi m ��
� 6�

y

1 3
1
x  mx 2  2 x  2m 
3
3

có

y '  x 2  2mx  2 ,

�
� y�
 2 x  2m  0, x � 0; 2 . Suy ra đồ thị hàm số lõm trên đoạn  0; 2 .
1
5
� 5�
0; �.
Mặt khác, y  0    ; y  2   2m   0, m ��
3
3
� 6�
� 5�
0; �
.
Do đó, y  0, x � 0; 2 , m ��
� 6�
Diện tích hình phẳng là:
2 1
2 1
1
1�
� 3
2
S  � x 3  mx 2  2 x  2m  dx   �
dx
� x  mx  2 x  2m  �

3
3
3�
0 3
0�
�x 4 mx3
1 �2 10  4m
 � 
 x 2  2mx  x � 
.
0
12
3
3
3
�
�
10  4m
1
1
 4 � m  . Vậy, m  .
Theo giả thiết S  4 �
3
2
2
Câu 53. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y 2  ax, x 2  ay  a  0  có kết quả là
A. a 2 .

B.

1 2
a .
2

C.

1 2
a .
3

D.

1 2
a .
4

Hướng dẫn giải
Chọn C.
�y 2  ax
x0
�
�
��
Hệ phương trình tọa độ giao điểm của 2 đường cong trên là: � 2
xa
�
�x  ay, a  0
x2
Khi đó hình phẳng cần tìm được tạo bởi đồ thị các hàm số: y  , y  ax và các đường
a

thẳng x  0, x  a (a  0) .
�x 3 2 a x 3 �a a 2
x2
� 
Diện tích hình phẳng cần tìm là: S  �  ax dx  � 
.
�3a
�0
3
3
0 a
�
�
a

2
Câu 54. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  sin x  sin x  1; y  0; x  0; x 

A.

3
.
4

B.

3
1.
4

C.

Hướng dẫn giải
Chọn B.
� �
2
0; .
Ta có y  sin x  sin x  1  0, x ��
� 2�
�
Diện tích hình phẳng cần tìm là:

3
1 .
4


là:
2
3
D. .
4



2


2

1  cos 2 x
�
�
S  �sin 2 x  sin x  1 dx  ��
 sin x  1 �
dx
2
�
0
0�






2


3� � 1
3 � 3
�1
�
 cos 2 x  sin x  �
dx  � sin 2 x  cos x  x �2 
1
�
2� � 4
2 �
4

0�2
0
Câu 55. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  e x  e  x ; Ox; x  1 là:
1
1
A. 1.
B. e   1 .
C. e  .
e
e

1
D. e   2 .
e

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y  e x  e  x với trục hoành là:

e x  e x  0 � x  0 .
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
1

1

0

0







S  �e x  e  x dx  �e x  e  x dx  e x  e  x

1

 0  e  1e  2.

Câu 56. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đường cong (C ) : y  sin 2 x , trục Ox và các đường
thẳng x  0, x   bằng :
A.  .

B.


.
2

C.


.
3

D.



.
4

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Diện tích hình phẳng cần tìm là:


 1 1
1
�
� �1
� 
S  �sin 2 x dx  �
sin 2 x dx  �
dx  � x  sin 2 x �  .
�  cos 2 x �
2 2
4
� �2
�0 2
0
0
0�
2
Câu 57. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  5  x , y  x  1 , x  0, x  1 có kết quả là:

A.

29

.
6

B.

26
.
6

C.

25
.
3

D.

55
.
3

Hướng dẫn giải
Chọn A.
2
2
Ta có: y  5  x  5  x, x � 0,1 ; y  x  1  1  x , x � 0,1 .

Diện tích hình phẳng cần tìm là:
1
1

1
�x3 x 2
�1 29
S  � 5  x   1  x 2 dx  �x 2  x  4 dx  �x 2  x  4 dx  �   4 x �  .
0
0
0
�3 2
�0 6









Câu 58. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  ln x ; y  1 là:
3
A. e   2 .
e

1
B. e   2 .
e

C. e 2  2e  1 .

Hướng dẫn giải

D. 3.


Chọn B.
xe
�
ln x  1
�
�
�
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là: ln x  1 � �
1.
ln x  1 �
x
�
� e
ln x
khi x �1
�
Ta có y  ln x  �
.
 ln x khi 0  x  1
�

Diện tích hình phẳng cần tìm là:
1

e

1

e

1
e

1

1
e

1

S  � ln x  1 dx  �ln x  1 dx  �
  ln x  1 dx  � ln x  1 dx

1

1

e

e

1

1
e

1
e

1

1

1
e

 �
ln x dx  �
dx  �
ln x dx  �
dx   �
ln x dx  1 

1 e
�
ln x dx  e  1
e 1

1
�
u  ln x �
du  dx
�
��
x .
Đặt �

dv  d x �
�
vx
�
Khi đó S   x ln x

1
1
e

1

�
dx  1 
1
e

e
e
1
1
1
 x ln x  �
dx  e  1    e  2   e  2.
e
e
e
1
1

Câu 59. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y  4 
A. 2 

4
.
3

B.

2  4
.
3

C.  

2
x2 y  x
;
là:
4 2
4

4
.
3

D. 2 

4
.

3

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong là:

�
x2 2
x2
x2
4 
��
.
4 4 2
x  2 2
�

Diện tích hình phẳng cần tìm là:
2 2

S  � 4
2 2

x2
x2

dx 
4 4 2

�

x2
x2 �
12 2
1 2 2 2
2
�
�
4


d
x

16

x
dx

�
�
� x dx
4 4 2�
2 2 2
4
2
2 2 �
2 2
�
�
2 2

2 2
�
�
2
 �t � �� dx  4 cos tdt .
Tính I  � 16  x dx . Đặt x  4sin t �
2�
�2
2 2


Với x  2 2 � t   . Với x  2 2 � t  .
4
4


4


4


4

2
2
Ta có: I  � 16   4sin t  .4 cos tdt  �4 1  sin t .4 cos tdt  �16 cos tdt



4

2




4




4



4



� 1
�
�
�
 8 � 1  cos 2t  dt  8 �
t  sin 2 t �4  8 �  1 � 4  8.

� 2
� 4

�2 �

4

x3
Tính J  � x dx 
3
2 2
2 2

Vậy, S 

2

2 2



2 2

32 2
.
3

1
1 32 2
4
�
 2  .
 4  8 

2
3
3
4 2

Câu 60. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi:  C  : y  x; d : y  x  2; Ox là:
A.

10
.
3

B.

16
.
3

C.

122
.
3

D.

128
.
3

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong  C  với đường
thẳng d là:

x  x2 � x  4.

Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong  C  với trục
hoành là: x  0 � x  0 .
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d với trục
hoành là: x  2  0 � x  2 .
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
2

4

0

2





S  � x .dx  � x  x  2 dx 

�4 4 2 �
2 �2
2
x2

10 4 2 � 10
x x  � x x   2x � 
�
�3  3 �
� 3
0 �3
2
3
2
3
�
�
�

Câu 61. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi:  C  : y  ln x; d : y  1; Ox; Oy là:
A.

e2.

B.

e 2.

C.

e 1.

D. e .

Hướng dẫn giải

Chọn C.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị  C  với đường thẳng y  1 là: ln x  1 � x  e .
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị  C  với trục hoành là: ln x  0 � x  1 .
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
1
e
e
e
e
1 e
S�
dx  �ln x  1 dx  x  �
 ln x  1 dx  1  �ln x dx  �dx  1  �ln x dx  e  1
0 1
0
1
1
1
1

1
�
u  ln x �
e e
du  dx
�
��
dx  e  1  1  2  e  1  e  2  e  1 .
x . Khi đó S  1  x ln x  �
Đặt �

1 1
dv  d x �
�
vx
�
Câu 62. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi:  C  : y  ln x; d1 : y  1; d 2 : y   x  1 là:
1
A. e  .
2

3
B. e  .
2

C. e 
Hướng dẫn giải

1
.
2

D. e 

3
.
2


Chọn B.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị  C  với d1 là:

ln x  1 � x  e .

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị  C  với d 2 là:
ln x   x  1 � x  1 .

Phương trình hoành độ giao điểm của d1 với d 2 là:
x 1  1 � x  0 .
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
1

e

1

e

e

1

0

1

1

S�
 1    x  1  dx  � 1  ln x  dx  �xdx  �dx  �ln xdx
0



2

e e
x 1
1 e
x �
ln xdx  e   �
ln xdx
1 1
2 0
2 1

1
�
u  ln x �
e e
du  dx
�
1
3
�
S

e


x
ln

x
�
dx  e  .
x . Khi đó
Đặt �
�
dv  d x �
1 1
2
2
�
vx
�
x
Câu 63. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi:  C  : y  e ; d : y   x  1; x  1 là:

A. e .

B. e 

1
.
2

3
D. e  .
2

C. e  1 .
Hướng dẫn giải

Chọn D.
Phương trình hoành độ giao điểm: e x   x  1 � x  0
1

e x  x  1dx 
Diện tích hình phẳng cần tìm là: S  �
0

� e
1

0

x

 x  1 dx  e 

3
.
2

x
Câu 64. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi:  C  : y  e ; d1 : y  e; d 2 : y   1  e  x  1 là:

A.

e 1
.
2

B.

e 1
.
2

C.

e3
.
2

D.

e
.
2

Hướng dẫn giải
Chọn B.
4

Giải các phương trình hoành độ giao điểm :
+  C  và đường thẳng  d1  là: e x  e � x  1

y  ex
ye

2

x
+  C  và d 2 là e   1  e  x  1 � x  0

+ d1 và d 2 là: e   1  e  x  1 � x  1
Diện

tích

hình

phẳng

cần

x

tìm

là:

-1

O

1

y  (1  e) x  1

0

1
1  e 2 �0
e 1
�
x
x 1
S  ��
e

1

e
x

1
�
d
x

e

e
d
x

e

1
x


x

ex

e









� �
�
�
1 �
0
0
2
2
�
�1


Câu 65. Cho đường cong  C  : y  x . Gọi d là tiếp tuyến của  C  tại điểm M  4, 2  . Khi đó diện tích
của hình phẳng giới hạn bởi:  C  ; d ; Ox là:
A.

8
.
3

2
.
3

B.

C.

16
.
3

D.

22
.
3

Hướng dẫn giải
Chọn A.
4

2

y

1
x 1
4

y x

-5

-2

Phương trình tiếp tuyến của  C  tại điểm M  4; 2  là: y 

1
x 1
4

Đường thẳng d cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 4
0 �
4�
x �
x
� 8
 1�
dx  �
1 x �
dx 
Diện tích hình phẳng cần tìm là: S  �
�
�
4 4

0
� �
�4
� 3
Câu 66. Cho đường cong  C  : y  2  ln x . Gọi d là tiếp tuyến của  C  tại điểm M  1, 2  . Khi đó diện
tích của hình phẳng giới hạn bởi :  C  ; d ; Ox là:
A. e 2  3 .

B. e 2  1 .

D. e 2  5 .

C. e 2 .
Hướng dẫn giải

Chọn D.
y  2  ln x

4

2

O

5

y  x  3
-2

Phương trình tiếp tuyến d của  C  tại điểm M  1; 2  là: y   x  3

Đường thẳng d cắt trục Ox tại điểm có hoành độ x  3
Đồ thị  C  cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x  e2
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
e2

3

S  �2  ln x  x  3 dx  �2  ln x dx 
1

3

e2

3

 2  ln x  x  3  dx  �
 2  ln x  dx
�
1
3


là
4
D.  2 .

Câu 67. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  sin x, y  cosx và x  0, x 
A. 1 .

B.

2 1 .

C.

Hướng dẫn giải

2.

 e2  5


Chọn B.

4
0

Diện tích hình phẳng cần tìm là: S  �sin x  cos x dx 


4
0

� sin x  cos x  dx 

2 1

1 2
1

x và y  3 x  x 2 là
4
2
56
C.
.
D. 48.
3

Câu 68. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol y 
A. 8.

B. 3.

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Phương trình hoành độ giao điểm:

x0
�
1 2
1
x  3x  x 2 � �
x4
4
2
�

4 1
1

x 2  3x  x 2 dx 
Diện tích hình phẳng cần tìm là: S  �
0 4
2

4

�3

x
��
�4

2

0

�
 3x �
dx  8
�

Câu 69. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y  x 2  2 x  2 tiếp tuyến với parabol tại điểm
M  3;5  và trục tung là

A. 6.

B. 7.

C. 5.

D. 9.

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Phương trình tiếp tuyến d của parabol tại điểm M  3;5 là: y  4 x  7
3

( x 2  2 x  2)  (4 x  7)dx 
Diện tích hình phẳng cần tìm là: S  �
0

� x
3

0

Câu 70. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  cosx, y  0, x  0 , x 
A.

1
.
2

B. 1 .

C. 2 .

2

 6 x  9  dx  9


là
2
3
D. .
2

Hướng dẫn giải
Chọn B.

2
0

Diện tích hình phẳng cần tìm là: S  �cos x dx 


2
0

�cos xdx  1

Câu 71. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi y  ln x, y  0, x  e là
A. 1.
B. 2.
C. 4.

D. 5.

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Đồ thị hàm số y  ln x cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x  1
e
e
e e
ln x dx  �
ln xdx  x ln x  �
xd  ln x   1
Diện tích hình phẳng cần tìm là: �
1
1
1 1
Câu 72. Cho  H  như hình vẽ


Diện tích hình  H  là
A. 9  8ln 2 .

B.

9
.
2

C.

99
.
4

D. 9  8ln 2 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Dựa

vào

đồ

thị

ta

có

diện

tích

hình

phẳng

cần

tìm

là:

7�
7 x�
�1� 2
S�
 �
x  8x  7  
dx  9  8ln 2

�
4 �
x 3�
� 3�
�
�

Câu 73. Hình phẳng S1 giới hạn bởi y  f ( x), y  0, x  a, x  b (a  b) quay quanh Ox có thể tích V1 .
Hình phẳng S2 giới hạn bởi y  2 f ( x), y  0, x  a, x  b (a  b) quay quanh Ox có thể tích

V2 . Lựa chọn phương án đúng :
A. V1  4V2 .

B. V2  8V1 .

C. 2V1  V2 .

D. 4V1  V2 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.

Ta có V1   �f 2  x  dx; V2   �
 2 f  x   dx  4 �f 2  x  dx  4V1
b

b

a

a

b

2

a

Câu 74. Giả sử hình phẳng tạo bởi đường cong y  f ( x), y  g ( x), x  a, x  b  a  b  có diện tích là S1 .
Còn hình phẳng tạo bởi đường cong y  2 f ( x ), y  2 g ( x), x  a, x  b  a  b  có diện tích là S2 .
Lựa chọn phương án đúng :
A. S 2  4S1 .

B. S 2  2S1 .

C. 2S 2  S1 .

D. S 2  S1 .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
b

b

b

a

a

a

Ta có S1  �f  x   g  x  dx ; S 2  �2 f  x   2 g  x  dx  2 �f  x   g  x  dx  2 S1


Câu 75. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y  x 2  2 x, y   x 2  x là
A. 12 .

B.

9
.
8

C. 9 .

D. 6 .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai parabol là:

x0
�
x  2 x   x  x � 2 x  3x  0 � � 3
�
x
� 2
2

2

2

3

2
2 x 2  3 x dx 
Diện tích hình phẳng cần tìm là: S  �
0
d

f  x  dx  5 và
Câu 76. Nếu �
a

A. 7 .

3
2
0

� 2 x

d

2

 3x  dx 

9
8

f  x  dx  2 , với a  d  b thì �f  x  dx có giá trị là:
�
b

a

b

C. 3 .

B. 3 .

D. 5 .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có:

b

d

b

d

d

a

a

d

a

b

�f  x  dx  �f  x  dx  �f  x  dx  �f  x  dx  �f  x  dx  5  2  3

x2
Câu 77. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường y  4  x và y 
bằng:
2
28
25
22
A.
.

B.
.
C.
.
3
3
3

D.

26
.
3

Hướng dẫn giải
Chọn A.

Vì các hàm số trên chẵn trên tập xác định nên đồ thị các hàm số trên đều nhận trục tung làm
trục đối xứng nên chia hình phẳng trên bởi trục tung ta được 2 hình phẳng có diện tích bằng
nhau.
Dựa vào hình vẽ ta suy ra diện tích hình phẳng cần tìm là:
2�
x2 �
28
S  2�
4

x

dx 

�
�
0
2�
3
�

Câu 78. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 3 , y  x 5 bằng
1
A. 0 .
B. 4 .
C. .
6

D. 2 .