30 bài tập cực TRỊ TRONG HÌNH học KHÔNG GIAN file word có lời giải chi tiết

Vấn đề 5. CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Câu 111. Cho hình chóp S.ABC có SA = a , SB = a 2 , SC = a 3 . Tính thể tích
lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.
a3 6
a3 6
a3 6
C. Vmax =
D. Vmax =
.
.
.
3
6
2
Câu 112. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B 'C ' D ' có độ dài đường chéo
AC ' = 18. Gọi S là diện tích toàn phần của hình hộp đã cho. Tìm giá trị lớn
nhất Smax của S.
A. Vmax = a3 6.

B. Vmax =

A. Smax = 36 3. B. Smax = 18 3.
C. Smax = 18.
D. Smax = 36.
Câu 113. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 4 ,
cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABCD ) và SC = 6 . Tính thể tích
lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.
40
80
20
.

B. Vmax = .
C. Vmax = .
D. Vmax = 24.
3
3
3
Câu 114. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều và có
SA = SB = SC = 1. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.
A. Vmax =

1
1
2
3
A. Vmax = .
B. Vmax =
C. Vmax =
D. Vmax = .
.
.
6
12
12
12
Câu 115. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AD = 4 . Các
cạnh bên bằng nhau và bằng 6 . Tìm thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã
cho.
130
128
125

250
.
.
.
.
A. Vmax =
B. Vmax =
C. Vmax =
D. Vmax =
3
3
3
3
Câu 116. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh bằng
1; SO vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABCD ) và SC = 1 . Tính thể tích lớn nhất
Vmax của khối chóp đã cho.
2 3
2 3
2 3
4 3
C. Vmax =
D. Vmax =
. B. Vmax =
.
.
.
9
3
27
27

Câu 117. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AD = 4a .
Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a 6 . Tính thể tích lớn nhất
Vmax của khối chóp đã cho.
A. Vmax =

8a3
4 6 3
B. Vmax =
C. Vmax = 8a3.
D. Vmax = 4 6 a3.
.
a.
3
3
Câu 118. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, AB = 2 .
A. Vmax =

Cạnh bên SA = 1và vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABC ) . Tính thể tích lớn nhất
Vmax của khối chóp đã cho.
1
1
1
1
A. Vmax = .
B. Vmax = .
C. Vmax = .
D. Vmax = .
3
6
4

12
Câu 119. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C,
cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABC ) . Biết SC = 1, tính thể tích
lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.

Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới
nhất


2 3
3
3
2
B. Vmax =
C. Vmax =
D. Vmax =
.
.
.
.
27
27
12
12
Câu 120. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và
AB = 1. Các cạnh bên SA = SB = SC = 2. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối
chóp đã cho.
5
2
4

5
A. Vmax = .
B. Vmax = .
C. Vmax = .
D. Vmax = .
8
3
3
4
Câu 121. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh
bên SA = y ( y> 0) và vuông góc với mặt đáy ( ABCD ) . Trên cạnh AD lấy điểm
A. Vmax =

M

và đặt AM = x ( 0 < x < a) . Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp

S.ABCM , biết x2 + y2 = a2.
a3 3
a3 3
3a3 3
a3 3
C. Vmax =
D. Vmax =
. B. Vmax =
.
.
.
3
8

8
24
Câu 122. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
AB = 4, SC = 6 và mặt bên ( SAD) là tam giác cân tại S và nằm trong mặt
A. Vmax =

phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.
40
80
A. Vmax = .
B. Vmax = 40.
C. Vmax = 80.
D. Vmax = .
3
3

(

)

Câu 123. Cho hình chóp S.ABC có SA = x 0 < x < 3 , tất cả các cạnh còn lại
đều bằng 1. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.
1
1
1
1
B.
C.
D.
Vmax = .

Vmax = .
Vmax = .
Vmax = .
8
16
4
12
ABCD
Câu 124. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Xét khối tứ diện
có cạnh
AB = x và các cạnh còn lại đều bằng 2 3 . Tìm x để thể tích khối tứ diện
ABCD đạt giá trị lớn nhất.
A. x = 3 2.
B. x = 6.
C. x = 2 3.
D. x = 14.
Câu 125. Trên ba tia Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi, lần lượt lấy các
điểm A, B, C sao cho OA = a, OB = b, OC = c. Giả sử A cố định còn B, C thay
đổi nhưng luôn luôn thỏa OA = OB +OC. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối tứ
diện OABC.
A.

A.

Vmax =

a3
.
6

B.

Vmax =

a3
.
8

C.

Vmax =

a3
.
24

D.

Vmax =

a3
.
32

Câu 126. Cho tứ diện SABC có SA, AB, AC đôi một vuông góc với nhau, độ
dài các cạnh BC = a, SB = b, SC = c . Tính thể tích lớn nhất Vmax khối tứ diện đã
cho.
abc 2
abc 2 B.
C.

abc 2
D.
abc 2
Vmax =
.
.
Vmax =
.
Vmax =
.
8
4
12
24
Câu 127. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, cạnh bên
SA = a và vuông góc với mặt đáy ( ABCD ) . Trên SB, SD lần lượt lấy hai điểm
A.

Vmax =

SM
SN
= m> 0,
= n > 0. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối
SB
SD
chóp S.AMN biết 2m2 + 3n2 = 1.
M , N sao cho

Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới

nhất


a3
a3
a3 6
a3 3
.
B. Vmax =
C. Vmax =
D. Vmax = .
.
.
6
48
72
24
Câu 128. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B 'C ' D ' có đáy ABCD là một hình
vuông. Biết tổng diện tích tất cả các mặt của khối hộp bằng 32. Tính thể tích
lớn nhất Vmax của khối hộp đã cho.
A. Vmax =

56 3
80 3
70 3
64 3
C. Vmax =
D. Vmax =
. B. Vmax =
.

.
.
9
9
9
9
Câu 129. Cho hình lăng trụ đứng có thể tích V và có đáy là tam giác đều. Khi
diện tích toàn phần của hình lăng trụ nhỏ nhất thì độ dài cạnh đáy bằng bao
nhiêu?
A. 3 4V .
B. 3 V .
C. 3 2V .
D. 3 6V .
A. Vmax =

(

)

Câu 130. Cho hình chóp S.ABCD có SA = x 0 < x < 3 , tất cả các cạnh còn lại
bằng nhau và bằng 1. Với giá trị nào của x thì thể tích khối chóp S.ABCD lớn
nhất?
3
2
6
3
A. x =
B. x =
C. x =
D. x =

.
.
.
.
3
2
2
2
Câu 131. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hình chóp S.ABC có đáy
ABC là tam giác vuông cân tại A , SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A
đến mặt phẳng ( SBC ) bằng 3 . Gọi a là góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và

( ABC ) , tính cosa khi thể tích khối chóp S.ABC nhỏ nhất.
1
2
3
2
A. cosa = .
B. cosa =
C. cosa =
D. cosa = .
.
.
3
3
3
2
Câu 132. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B. Khoảng
� = SCB
� = 900. Xác định độ dài

cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) bằng a 2, SAB
cạnh AB để khối chóp S.ABC có thể tích nhỏ nhất.
a 10
C. AB = 2a.
D. AB = 3a 5.
. B. AB = a 3.
2
Câu 133. Cho tam giác OAB đều cạnh a . Trên đường thẳng d qua O và
vuông góc với mặt phẳng ( OAB) lấy điểm M sao cho OM = x . Gọi E , F lần
lượt là hình chiếu vuông góc của A trên MB và OB . Gọi N là giao điểm của
EF và d . Tìm x để thể tích tứ diện ABMN có giá trị nhỏ nhất.
A. AB =

a 2
a 6
a 3
C. x =
D. x =
.
.
.
2
12
2
Câu 134. Cho tam giác ABC vuông cân tại B , AC = 2 . Trên đường thẳng qua
A vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) lấy các điểm M , N khác phía so với mặt
A. x = a 2.

B. x =

phẳng ( ABC ) sao cho AM .AN = 1. Tính thể tích nhỏ nhất Vmin của khối tứ diện
MNBC .
1
1
2
1
A. Vmin = .
B. Vmin = .
C. Vmin = .
D. Vmin = .
3
6
3
12
Câu 135. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C,
SA = AB = 2. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABC ) . Gọi H , K lần
lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC . Tính thể tích lớn nhất Vmax
của khối chóp S.AHK .
A. Vmax =

2
.
6

B. Vmax =

3
.
6

C. Vmax =

3
.
3

D. Vmax =

2
.
3

Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới
nhất


Câu 136. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ����
B C D có AB = x, AD = 3, góc giữa
A ) bằng 300. Tìm x để thể tích khối
đường thẳng A �
C và mặt phẳng ( ABB��
hộp chữ nhật có thể tích lớn nhất.
3 15
3 5
3 6
3 3
A. x =
B. x =
C. x =
D. x =

.
.
.
.
5
5
2
2
Câu 137. Cho hình hộp chữ nhật có tổng diện tích các mặt bằng 36 và độ dài
đường chéo bằng 6. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối hộp chữ nhật đã cho.
A. Vmax = 16 2. B. Vmax = 12.

C. Vmax = 8 2.

D. Vmax = 6 6.
Câu 138*. Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a, b, c . Dựng một hình
lập phương có cạnh bằng tổng ba kích thước của hình hộp chữ nhật trên. Biết
rằng thể tích hình lập phương luôn gấp 32 lần thể tích hình hộp chữ nhật. Gọi
S là tỉ số giữa diện tích toàn phần hình lập phương và diện tích toàn phần
hình hộp chữ nhật. Tìm giá trị lớn nhất Smax của S.
1
16
32
48
.
B. Smax = .
C. Smax = .
D. Smax = .
10
5

5
5
Câu 139*. Cho hình chóp S.ABC có SA = 1, SB = 2, SC = 3 . Gọi G là trọng tâm
tam giác ABC . Mặt phẳng ( a ) đi qua trung điểm I của SG cắt các cạnh
A. Smax =

SA, SB, SC lần lượt tại M , N , P . Tính giá trị nhỏ nhất Tmin của biểu thức
1
1
1
T =
+
+
.
SM 2 SN 2 SP 2
2
3
18
A. Tmin = .
B. Tmin = .
C. Tmin = .
D. Tmin = 6.
7
7
7
Câu 140*. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, thể tích là
V . Gọi M là trung điểm của cạnh SA, N là điểm nằm trên cạnh SB sao cho
SN = 2NB; mặt phẳng ( a ) di động qua các điểm M , N và cắt các cạnh SC, SD
lần lượt tại hai điểm phân biệt K , Q . Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp
S.MNKQ .

V
2V
V
3V
.
A. Vmax = .
B. Vmax = .
C. Vmax =
D. Vmax =
.
3
3
2
4

Vấn đề 5. CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
� AH ^ ( SBC ) .
Câu 111. Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng ( SBC ) ��
Ta có
A
� AH �AS .
Dấu '' = '' xảy ra khi AS ^ ( SBC ) .
1
� �1 SB.SC .
� SD SBC = SB.SC.sin BSC
2
2
Dấu '' = '' xảy ra khi SB ^ SC .

B

S
H

Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu Cfile word mới
nhất


�
1
1�
1
1
SB �
SC �
AS = SA.SB.SC.
�
Khi đó V = SD SBC .AH � �
�
�
�
�
3
3�
2
6
Dấu '' = '' xảy ra khi SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau.
1
a3 6
Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp là Vmax = SA.SB.SC =

. Chọn D.
6
6
Câu 112. Gọi a, b, c là ba kích thước của hình hộp chữ nhật.
Khi đó Stp = 2( ab+ bc + ca) .
Theo giả thiết ta có a2 + b2 + c2 = AC '2 = 18.
Từ bất đẳng thức a2 + b2 + c2 �ab+ bc+ ca , suy ra Stp = 2( ab+ bc + ca) �2.18 = 36.
Dấu '' = '' xảy ra � a = b = c = 6. Chọn D.
Câu 113. Đặt cạnh BC = x > 0.
Tam giác vuông ABC, có AC 2 = 16+ x2.
SAC,
Tam
giác
vuông
2

2

S
có

2

SA = SC - AC = 20- x .
Diện tích hình chữ nhật SABCD = AB.BC = 4x.
1
4
Thể tích khối chóp VS.ABCD = SABCD .SA = x 20- x2 .
3
3

Áp dụng BĐT Côsi, ta có
2

x. 20- x2 �
Suy ra VS.ABCD

x +

(

2

20- x

)

6
A

2

B
x

2

= 10

4
C

D

.

4
40
� .10 = .
3
3

Dấu " = " xảy ra � x = 20- x2 � x = 10 . Vậy Vmax =

40
. Chọn A.
3

4
x 20- x2 trên 0;2 5 .
3
Câu 114. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC. Vì S.ABC là
hình chóp đều � SO ^ ( ABC ) .

(

Cách 2. Xét hàm số f ( x) =

)

x2 3

.
4
x 3
2
x 3
Gọi M là trung điểm BC � AM =
� OA = AM =
.
2
3
3
Đặt AB = x > 0. Diện tích tam giác đều SDABC =

x2
Tam giác vuông SOA, có SO = SA2 - OA2 = 1.
3

A

1
1 x2 3 3- x2
1
Khi đó VS.ABC = SD ABC .SO = .
.
= .x2 3- x2
3
3 4
12
3
1

Xét hàm f ( x) = .x2 3- x2 trên 0; 3 , ta được max f ( x) = f
( 0; 3)
12
A.

(

)

S

C
O

M

B

( 2) = 16.

Chọn

3
�
x2 + x2 + 6- 2x2 �
�
�
�
= 2.
�

�
�
3
�
�
2
2 �
Câu 115. Gọi O = AC �BD. Vì SA = SB = SC = SD suy ra hình chiếu của S trên
mặt đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy � SO ^ ( ABCD) .

Cách 2. Ta có x2 3- x2 =

1

x2.x2.( 6- 2x2 ) �

1

Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới
nhất


Đặt AB = x > 0.
Tam giác vuông ABC, có

S

AC = AB2 + BC 2 = x2 +16.
Tam giác vuông SOA, có

6

AC 2
128- x2
SO = SA2 - AO2 = SA2 =
.
4
2
1
1
128- x2
Khi đó VS.ABCD = SABCD .SO = .4x.
3
3
2
1
1
128
= . 2x 128- x2 � .( x2 +128- x2 ) =
.
3
3
3

(

)

x

B
O

A
4

C

D

128
. Chọn
Dấu '' = '' xảy ra x = 128- x2 � x = 8. Suy ra VS.ABCD �
3
Câu 116. Đặt OA = OC = x .
S
Tam giác vuông AOD, có

B.

OD = AD 2 - OA2 = 1- x2 .
Suy ra BD = 2 1- x2 .
Diện
tích

hình

1

thoi

SABCD = OA.BD = 2x 1- x2 .
Tam giác vuông SOC, có

A

B

SO = SC 2 - OC 2 = 1- x2 .
1
Thể tích khối chóp VS.ABCD = SABCD .SO
3
1
2
= .2x 1- x2 . 1- x2 = x( 1- x2 ) .
3
3

x

O
C

1

D

�1 �
� 2
2

f ( x) = f �
�
=
.
Xét hàm f ( x) = x( 1- x ) trên ( 0;1) , ta được max
�
�
�
( 0;1)
� 3�
� 3 3
4 3
. Chọn D.
27
Cách 2. Áp dụng BDT Côsi, ta có
Suy ra Vmax =

2x( 1- x2 )
3

=

2 2x2 ( 1- x2 )( 1- x2 )
3

2
�
3

3

�
�
2x2 +1- x2 +1- x2 �
4 3
�
�
=
.
�
�
�
�
3
�
� 27

Câu 117. Do SA = SB = SC = SD = a 6 nên hình chiếu vuông góc của S trên
mặt phẳng ( ABCD ) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy, do đó tứ giác
ABCD là hình chữ nhật. Gọi H = AC �BD , suy ra SH ^ ( ABCD ) .
Đặt AB = x > 0. Ta có
S
AC = AD 2 + AB2 = x2 +16a2 .
Tam giác vuông SHA, có
AC 2
8a2 - x2
=
.
4
2
1

1
= SABCD .SH = AB.AD.SH
3
3

SH = SA2 Khi đó VS.ABCD

D

A
B

H

C

Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới
nhất


1
8a2 - x2 a
a
8a3
= .x.4a.
= 2x 8a2 - x2 � ( x2 + 8a2 - x2 ) =
.
3
2
3

3
3
Câu 118. Đặt AC = x > 0.
S
2
2
2
Suy ra CB = AB - CA = 4- x .
Diện
tích
tam
giác

(

)

1
x 4- x2
AC.CB =
.
2
2
1
1
Khi đó VS.ABC = SDABC .SA = x 4- x2
3
6
2
2

1�
x + 4- x �
1
�
�
� �
= . Chọn A.
�
�
�
�
6�
2
� 3
SD ABC =

(

B

A

)

C
S

Câu 119. Giả sử CA = CB = x > 0.
Suy ra SA = SC 2 - AC 2 = 1- x2 .
1

1
Diện tích tam giác SDABC = CA.CB = x2.
2
2
1
1 2
Khi đó VS.ABC = SD ABC .SA = x 1- x2 .
3
6
1
Xét hàm f ( x) = x2 1- x2
6
Cách 2. Ta có x

2

Chọn A.

1

A

B
x

x

C
� 2�
� 3

�
�
f ( x) = f �
trên ( 0;1) , ta được max
�
� 3 �= 27 . Chọn D.
( 0;1)
�
� �

3
�
x2 + x2 + 2- 2x2 �
2 3
�
�
�
1- x =
x .x .( 2- 2x ) �
=
.
�
�
�
�
3
9
�
2
2 �

2

1

2

2

2

1

� I là tâm đường
Câu 120. Gọi I là trung điểm của BC. Suy ra IA = IB = IC ��
tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Theo giả thiết, ta có SA = SB = SC suy ra I là
� SI ^ ( ABC ) .
hình chiếu của S trên mặt phẳng ( ABC ) ��
Đặt AC = x > 0. Suy ra BC = AB2 + AC 2 = x2 +1.
SBI ,
Tam
giác
vuông
có
SI = SB2 - BI 2 =

S

15- x2
.
2

Diện tích tam giác vuông SDABC =

1
x
AB.AC = .
2
2

C

B
I

1
1 x 15- x2
Khi đó VS.ABC = SD ABC .SI = . .
3
3 2
2
2
2
1
1 x +15- x
5
=
x 15- x2 � .
= . Chọn A.
12
12

2
8

(

A

)

Câu 121. Từ x2 + y2 = a2 � y = a2 - x2 .
Diện
tích
mặt
�
�
�
�
BC + AM �
a+ x�
SABCM = �
.AB = �
a.
�
�
�
�
�
�
�
� 2

�
�
�
2 �
1
Thể tích khối chóp VS.ABCM = SABCM .SA
3
1�
a+ x �
a
2
2
2
2
= .�
.a�
�
�
� a - x = 6( a+ x) a - x .
�2
�
3�

S
đáy

x

y
A

a
a

M
D

B

C

Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới
nhất


��
a� 3 3a2
Xét hàm f ( x) = ( a+ x) a2 - x2 trên ( 0;a) , ta được max f ( x) = f �
.
�=
�
�
( 0;a)
��
2�
4
a3 3
. Chọn B.
8
Câu 122. Gọi H là trung điểm của AD � SH ^ AD.

Mà ( SAD) ^ ( ABCD) � SH ^ ( ABCD) .
Suy ra Vmax =

S

Giả sử AD = x > 0 .
x2
+16.
4
SHC,
vuông

Suy ra HC = HD 2 +CD 2 =
Tam

giác

có

x
SH = SC - HC = 20.
4
1
1
Khi đó VS.ABCD = SABCD .SH = AB.AD.SH
3
3
2

A

2

2

B

H
C

D

1
x2 1
1
80
= .4.x 20= 2x 80- x2 � ( x2 + 80- x2 ) = . Chọn D.
3
4
3
3
3
Câu 123. Ta có tam giác ABC và SBC là những tam giác đều cạnh bằng 1.
( 1)
Gọi N là trung điểm BC . Trong tam giác SAN , kẻ SH ^ AN .
Ta có
3
● SN là đường cao của tam giác đều SBC ��
� SN =
.

2
BC ^ AN
�
��
� BC ^ ( SAN ) ��
� BC ^ SH .
( 2)
● �
�
�
BC ^ SN
�

(

)

Từ ( 1) và ( 2) , suy ra SH ^ ( ABC ) .
ABC
Diện tích tam giác đều
SD ABC

S
là

x

3
=
.

4

1
Khi đó VS.ABC = SDABC .SH
3
1
1 3 3 1
� SDABC .SN = . .
= .
3
3 4 2
8
Dấu '' = '' xảy ra � H �N . Chọn B.
Câu 124. Hình vẽ.
Cách làm tương tự như bài trên.
BCD
Tam
giác
đều
cạnh
bằng
2 3 � BN = 3.
VABCD lớn nhất H � N . Khi đó ANB vuông.
Trong tam giác vuông cân ANB , có
AB = BN 2 = 3. 2.
Chọn A.

C

A

H

N

B
A
x
C

B
H

N

D
Câu 125. Từ giả thiết ta có a = b+ c.
2

1
1
1 �
b+ c�
a3
�
Do OA, OB, OC vuông góc từng đôi nên VOABC = abc = a.( bc) � a.�
=
�
�
� 24 .
�2 �

6
6
6 �

Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới
nhất


a
Dấu '' = '' xảy ra � b = c = . Chọn C.
2
�x2 + y2 = a2
�
�
2
2
�2
AB
=
x
,
AC
=
y
,
AS
=
z
.
Câu 126. Đặt

Ta có �x + z = b . S
�
�
2
2
2
�
�y + z = c
c
( 2xy) ( 2yz) ( 2zx)
xyz
z
2
Khi đó V =
��
�V =
b
6
288
y
2
2
2
2
2
2
A
( x + y )( y + z )( z + x ) a2b2c2
abc 2
�

=
��
�V �
.
288
288
24
x
a
� a = b = c. Chọn D.
Dấu '' = '' xảy ra khi x = y = z ��
B
Câu 127. Thể tích khối chóp S.ABD là
S
3
a
VS.ABD = .
6
M
VS.AMN
SM SN
N
=
.
= mn
Ta có
VS.ABD
SB SD
��
�VS.AMN = mnV

. S.ABD

mna3
=
.
6

2.m. 3.n

C

B

A

2m2 + 3n2

1

C
D
.
6
2 6
2 6
� 2m= 3n
3
1
1
� m= ; n =

. Suy ra VS.AMN �a 6 . Chọn B.
Dấu '' = '' xảy ra � �
� 2
2
�
2
6
2m + 3n = 1
72
�
Câu 128. Đặt a là độ dài cạnh của hình vuông đáy, b là chiều cao của khối
hộp với a, b> 0.
Theo
giả
thiết
ta
có
�
�
1
16
2a2 + 4ab = 32 � 2a( a+ 2b) = 32 � a( a+ 2b) = 16 � b = �
.
�
� - a�
�
�a
�
2�
16

� - a > 0 � a < 4.
Do b> 0 ��
a
� 1 3
16 �
2 1�
- a�
= - a + 8a .
Khi đó thể tích của khối hộp V = a . �
�
�
�
� 2
2�a
�4 �
64 3
1
�
�
=
.
Xét hàm f ( a) = - a3 + 8a trên ( 0;4) , ta được max f ( a) = f �
�
�
�
0;4
�
(
)
� 3� 9

2
Chọn D.
Câu 129. Gọi h> 0 là chiều cao lăng trụ; a> 0 là độ dài cạnh đáy.
Mặt khác mn =

�

Theo giả thiết ta có V = Sday .h =

=

a2 3
4V
.
.h ��
�h= 2
4
a 3

Diện tích toàn phần của lăng trụ: Stp = S2 day + Sxung quanh =
Áp dụng BĐT Côsi, ta có Stoan phan =
=

a2 3
4V
.
+ 3a. 2
2
a 3

a2 3 4 3V
+
2
a

a2 3 2 3V 2 3V
a2 2 2 3V 2 3V
+
+
�33
.
.
= 33 6 2V 2
2
a
a
2
a
a

Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới
nhất


a2 3 2 3V
2 3V
=
=
� a = 3 4V . Chọn A.
2

a
a
( 1)
Câu 130. Gọi O là tâm của hình thoi ABCD � OA = OC .
Dấu '' = '' xảy ra khi �

( 2)

Theo bài ra, ta có D SBD = D CBD � OS = OC.
Từ ( 1) và ( 2) , ta có OS = OA = OC =

1
AC � D SAC vuông tại S � AC = x2 +1 .
2

2
2
Suy ra OA = x +1 và OB = AB2 - OA2 = 3- x .
2
2

S

A

B
H

O
D

C
Diện tích hình thoi S
ABCD = 2.OA.OB =

( x2 +1)( 3-

x2 )

.
2
Ta có SB = SC = SD = 1, suy ra hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt
đáy là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD ��
� H �AC.
SA.SC
x
=
.
Trong tam giác vuông SAC , ta có SH =
2
2
2
SA + SC
x +1
Khi đó VS.ABCD = 1
3

( x2 +1)( 3-

x2 )

2

.

x
x2 +1

=

1
1�
x2 + 3- x2 �
1
�
�
x 3- x2 � .�
= .
�
�
�
6
6�
2
�
� 4

1
6
Suy ra VS.ABCD � . Dấu '' = '' xảy ra � x = 3- x2 � x =

. Chọn C.
4
2
Câu 131. Gọi M là trung điểm của BC , kẻ AH ^ SM ( H �SM ) . ( 1)
Tam giác ABC cân suy ra BC ^ AM . Mà SA ^ ( ABC ) � SA ^ BC .
Suy ra BC ^ ( SAM ) � AH ^ BC.

( 2)

A,( SBC ) �
= AH = 3.
Từ ( 1) và ( 2) , suy ra AH ^ ( SBC ) nên d �
�
�
S
3
.
Tam giác vuông AMH , có AM =
sin a
3
.
Tam giác vuông SAM , có SA = AM .tan a =
cosa
H
Tam giác vuông cân ABC, BC = 2AM .
A
1
9
9
2

.
Diện tích tam giác SDABC = BC.AM = AM = 2 =
2
sin a 1- cos2 a
1
9
.
Khi đó V = 3SD ABC .SA =
2
B
1
cos
a ) .cosa
(

C
M

2
2
. Suy ra V �27 3 .
Xét hàm f ( x) = ( 1- cos x) .cos x , ta được f ( x) �
3 3
2

Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới
nhất


3

. Chọn B.
3
1
Cách 2. Đặt AB = AC = x; SA = y . Khi đó VS.ABC = x2 y.
6
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi cosa =

Vì AB, AC, AS đôi một vuông góc nên
Suy ra x2 y �81 3 ��
�VSABC =

1
1
1
1
1
1
= 2
= 2 + 2 + 2 �33 4 2 .
�
�
9 d �
x
y
x y
A,( SBC ) � x

1 2
27 3
x y�

.
6
2

3
.
3
Câu 132. Gọi D là điểm sao cho ABCD là hình vuông.
�AB ^ AD
��
� AB ^ ( SAD) ��
� AB ^ SD .
Ta có �
��
�
SAB = 900 � AB ^ SA
�
Tương tự, ta cũng có BC ^ SD . Từ đó suy ra SD ^ ( ABDC ) .
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi x = y = 3 3 ��
� cosa =

SC ( H SC )
Kẻ DH ^ξ��^

DH

( SBC ) .

S

A,( SBC ) �
=d�
D,( SBC ) �
= DH .
Khi đó d �
�
�
�
�
Đặt AB = x > 0.
Trong tam giác vuông SDC, có
1
1
1
1
1
1
=
+
�
=
+ 2.
2
2
DH 2 SD 2 DC 2
SD
x
a 2

(

Suy ra SD =

ax 2
x2 - 2a2

H

)

.

C

D
A

B

1
1 ax3 2
a 2
x3
=
.
.
Thể tích khối chóp VS.ABC = VS.ABCD = . 2
2
6 x - 2a2
6

x2 - 2a2
Xét hàm f ( x) =

x3
2

2

x - 2a

(

(

)

)

f ( x) = f a 3 = 3 3a2.
trên a 2;+� , ta được ( amin
2;+�)

Chọn B.
a
Câu 133. Do tam giác OAB đều cạnh a � F là trung điểm OB � OF = .
2
AF
^
OB
�

M
� AF ^ ( MOB) � AF ^ MB.
Ta có �
�
�
�AF ^ MO
Mặt khác, MB ^ AE .
Suy ra MB ^ ( AEF ) � MB ^ EF .
Suy ra D OBM ∽ D ONF nên
OB ON
OB.OF
a2
.
=
� ON =
=
OM
OF
OM
2x
Ta có VABMN =VABOM +VABON
1
a2 3 �
a2 � a3 6
�
�
= SD OAB ( OM +ON ) =
x+ �
�
�

.
�
�
3
12 � 2x�
� 12
Đẳng thức xảy ra khi x =

O

A

E
F
B

N

a2
a 2
. Chọn B.
� x=
2x
2

Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới
nhất


Câu 134. Đặt AM = x, AN = y suy ra AM .AN = x.y = 1.

AC
M
= 2.
Tam giác vuông ABC, có AB = BC =
2
AB2
Diện tích tam giác vuông SDABC =
= 1.
2
1
Ta có VMNBC =VM .ABC +VN .ABC = SDABC .( AM + AN )
A
3
1
1
2
Cosi
= ( x + y) ���
� � .2 xy = .
3
3
3
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1. Chọn
N
D.
Câu 135. Đặt AC = x ( 0 < x < 2) .
S
ABC,
Tam
giác

vuông
có
BC = AB2 - AC 2 = 4- x2 .
Tam giác SAB cân tại A , có đường cao AH suy ra
SH 1
= .
H là trung điểm của SB nên
SB
2
Tam giác vuông SAC, có
SK
SA2
4
SA2 = SK .SC �
=
=
.
2
SC SC
4 + x2
VS.AHK
SH SK
1
4
2
=
.
= . 2
= 2
Ta có

VS.ABC
SB SC 2 x + 4 x + 4
��
� VS.AHK =

C

B

K
H

A

C

B

�
2
2 �
1
2 x 4- x2
�
�
.
V
=
.
S

.
SA
=
�
�
S. ABC
D ABC
� 3. x2 + 4 .
�
�
x2 + 4
x2 + 4 �
3

2 x 4- x2
Xét hàm f ( x) = . 2
trên ( 0;2) , ta được max f ( x) =
( 0;2)
3 x +4

�2 �
2
�
f�
�
=
. Chọn A.
�
�
�

�
� 3� 6

A ).
Câu 136. Vì ABCD.A ����
B C D là hình hộp chữ nhật suy ra BC ^ ( ABB��
A ).
Khi đó A �
C trên mặt phẳng ( ABB��
B là hình chiếu của A �
�
��
�
Suy ra 300 = A
C, ABB ��
A =�
A�
C, A �
B = CA
B.

(

) (

)

= h ( h > 0) .
Đặt BB �
D'

C'
B'

A'

h
C

D
3
A

x

B

2
Tam giác vuông A ��
B B, có A �
B = A ��
B 2 + BB�
= x2 + h2 .
3
� B = BC � tan300 =
� x2 + h2 = 27.
Tam giác vuông A �
BC, có tanCA �
2
A�

B
x + h2

.SABCD = 3xh.
Thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A ����
B C D là V = BB�

Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới
nhất


�
x2 + h2 �
27 81
81
�
�
= 3. = � Vmax = .
�
Áp dụng BĐT Côsi, ta có 3xh �3�
�
�
�
2
2
2
� 2 �
�x = h > 0
27
3 6

� x2 =
� x=
. Chọn B.
Dấu " = " xảy ra � �
�2
2
�
2
2
�x + h = 27
Câu 137. Giả sử a, b, c là các kích thước của hình hộp chữ nhật.
Độ dài đường chéo của hình chữ nhật là

a2 + b2 + c2

Tổng diện tích các mặt là 2( ab+ bc+ ca) .
�
2( ab+ bc + ca) = 36 �
ab+ bc+ ca = 18
�
��
.
Theo giả thiết ta có � 2
�2
2
2
�
�
a + b2 + c2 = 36
�

�
� a +b +c = 6
Ta cần tìm giá trị lớn nhất của V = abc.
2

 Ta có ( a + b+ c) = a2 + b2 + c2 + 2( ab+ bc + ca) = 72 � a + b+ c = 6 2.

(

)

2

(

)

4�
18 a 6 2 a �
0 a 4 2.
�
�
�
�
18- a( b+ c) �
= a�
18- a 6 2 - a �
= a3 - 6 2a2 +18a
Khi đó V = abc = a �
�

�
�
�
�
�
, ta được
Xét hàm số f ( a) = a3 - 6 2a2 +18a với a � 0;4 2�
�
2

 Ta có ( b+��-�--c)
4bc� 6 2 a

(

)

(

( )

max f ( x) = f 2 =

( 0;4

2�
�
�

( 4 2) = 8

2.

Chọn C.
3

�
�
a + b+ c�
Nhận xét. Nếu sử dụng V = abc ��
�= 16 2 thì sai vì dấu '' = '' không xảy
�
�
� 3 �
�
ra.
Câu hỏi tương tự. Cho hình hộp chữ nhật có tổng độ dài tất cả ác cạnh bằng
32 và độ dài đường chéo bằng 2 6. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối hộp
chữ nhật đã cho. ĐS: Vmax = 16.
Câu 138*. Theo giả thiết ta có cạnh của hình lập phương bằng a + b+ c .
● Hình hộp chữ nhật có: V = abc và Stp = 2( ab+ ac+ bc) .
3

2

● Hình lập phương có: V ' = ( a+ b+ c) và S 'tp = 6( a + b+ c) .
2

Suy ra S =

( a + b+ c)
S1
= 3.
.
S2
ab+ bc + ca
3

Ta có ( a + b+ c) = 32abc �

( a+ b+ c)
a3

3

3

= 32

�
bc �
b c �
b c�
�
��
+ +1�
. �
�
�
�

�
�= 32�
�.
�
�
�
a2
a a �
a a�

�b
�
3
=x
�
( x + y +1)
�a
3
��
�( x + y +1) = 32xy � xy =
.
Đặt �
�
�
c
32
�
=
y
�

�
�a
2
2
( x + y +1)
( x + y +1)
t2
t=x+ y+1>1
S = 3.
= 3.
����
�
� S = 96. 3
.
3
Khi đó
x + y + xy
t + 32t - 32
( x + y +1)
x + y+
32
3

Ta có ( x + y +1) = 32xy �8( x + y)

2

2

��

� t3 �8( t - 1) ��
� t3 - 8t2 +16t - 8 �0��
� 2 �t �3+ 5 .

Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới
nhất


Xét hàm f ( t) =

1
t2
2;3+ 5�
trên đoạn �
, ta được �max�f ( t) = f ( 4) = .
�
3
�
2;3+ 5�
10
�
t + 32t - 32
�
�

Chọn D.

uur 1 uur uur uur
� SG = SA + SB + SC
Câu 139*. Do G là trọng tâm D ABC ��

3
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
r
u
u
r
r SC uur �
�
�
SG
1 SA
SB
SC �
1�SA uuur SB uuu
��
�
.SI = �
SM +

SN +
SP �
� SI = �
SM +
SN +
SP �
.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
SI
3�
SM
SN
SP
6�
SM
SN
SP
�
1�SA SB SC �
SA SB SC
+ �
= 1�

+
+
= 6.
Do I , M , N , P đồng phẳng nên �
� +
�
�
6�
SM SN SP �
SM SN SP
Áp dụng BĐT bunhiacopxki, ta có
2
�1
�SA SB SC �
1
1 �
2
2
2
�
�
�
�
+
+
SA
+
SB
+
SC

�
+
+
�
�
(
) �
�
�
�
�
�
�
�
SM SN SP �
SM 2 SN 2 SP 2 �

(

)

36
18
=
Suy ra T � 2
. Chọn C.
2
2
7
SA + SB + SC

Cách trắc nghiệm. Do đúng với mọi hình chóp nên ta sẽ chọn trường hợp
đặc biệt SA, SB, SC đôi một vuông góc và tọa độ hóa như sau: S �O ( 0;0;0) ,
�
�
1 2 �
1 1 1�
A ( 1;0;0) , B ( 0;2;0) và C ( 0;0;3) . Suy ra G �
; ;1�
��
�I �
; ; �
�
�
.
�
�
�
�
�
�
�
�
3 3 �
6 3 2�
Khi đó mặt phẳng ( a ) cắt SA, SB, SC lần lượt tại M ( a;0;0) , N ( 0;b;0) , P ( 0;0; c)
x y z
1
1
1
+ + = 1 và T = 2 + 2 + 2 .

a b c
a
b
c
�
�
1
1
1
1
1
1
1
1
1
; ; �
�++=
.
.
1.
( a)
( a) : .
�
Vì I �
�
�
�
�
6 3 2�
6 a 3 b 2 c

��
�( a ) :

2

�
�1
1 1 1 1 1 1�
1
1
1�
1 1�
18
���
�
���
�
Ta có 12 = �
. + . + . �
+ 2 + 2�
.�
+ 2 + 2�
�
�
�
2
2
�
�
� �T � 7 .

�
�
�
�
6 a 3 b 2 c� �
6
3
2 ��
a
b
c �
SK
Câu 140*. Gọi a =
( 0 �a �1) .
SC
Vì mặt phẳng ( a ) di động đi qua các điểm M , N và cắt các cạnh SC, SD lần
lượt tại hai điểm phân biệt K , Q nên ta có đẳng thức

SA SC
SB SD
+
=
+
SM SK
SN SQ

1 3 SD
SQ
2a
��

� 2+ = +
��
�
=
.
a 2 SQ
SD 2 + a
S

N

M
Q

P

D

A
B
Ta có

VS.MNKQ
VS.ABCD

C

1�
SM SN SK SM SK SQ �
1�

4a
2 �
2a
1
�
�
= �
.
+
.
.
= �
= .
�
�
� .
� �
�
�
�
2�SA SB SC SA SC SD � 2�3 a + 2�
3 a+ 2

Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới
nhất


Xét hàm f ( a) =

2a

1
1
. trên đoạn [ 0;1] , ta được max f ( a) = f ( 1) = . Chọn B.
0;1
[
]
3 a+ 2
3

Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới
nhất