4 SDMTCT trong các bài tập về tiếp tuyến và tiếp xúc của hai đường cong

§4: Sử dụng máy tính cầm tay trong các bài tập về tiếp tuyến và tiếp xúc của hai đường
cong
Cơ sở lý thuyết:
* Đạo hàm của hàm số y = f ( x ) tại điểm x 0 là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số
đó tại điểm M 0 ( x 0 ;f ( x 0 ) )
* Nếu hàm số y = f ( x ) có đạo hàm tại điểm x 0 thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm
M 0 ( x 0 ;f ( x 0 ) ) có phương trình là
y = f '( x0 ) ( x − x0 ) + f ( x0 )
*Hai đường cong y = f ( x ) và y = g ( x ) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương
 f ( x ) = g ( x )
trình: 
có nghiệm và nghiệm của hệ phương trình trên là hoành độ tiếp
f ' ( x ) = g ' ( x )
điểm của hai đường cong.
Bài tập 1: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

x4 x2
+ − 1 tại điểm có hoành độ
4
2

x 0 = −1 bằng:
A. -2

B. 2

C. 0

D. Đáp số khác

Cách giải nhanh trắc nghiệm bằng tay:

Ta có: y =

x4 x2
+ −1 ⇒ y ' = x3 + x
4
2

3
Hệ số góc cần tìm là: y ' ( 1) = 1 + 1 = 2 . Do đó, ta chọn đáp án B.

Cách giải bằng máy tính:
Ta nhấn liên tiếp các phím sau, kết quả là hệ số góc cần tìm:

Màn hình hiện như sau:

Trang 1 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Tức là y ' ( 1) = 2 . Do đó, ta chọn đáp án B
Bài tập 2: Cho hàm số y = − x 3 − 5x 2 + 2x . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã
cho biết tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất
A. y =

31 
5  340
 x − ÷−
3
3  27

B. y =

31 
5  340
 x + ÷−
3
3  27

C. y =

31 
5  340
 x + ÷+
3
3  27

D. y =

31 
5  340
 x − ÷+
3
3  27

Cách giải nhanh trắc nghiệm bằng tay:
Ta có: y = − x 3 − 5x 2 + 2x ⇒ y ' = −3x 2 − 10x + 2 ⇒ y" = −6x − 10
y" = 0 ⇔ −6x − 10 = 0 ⇔ x =
Bảng biến thiên:
x
0
y"

y'

−5
3
5
3
0
31
3

−
+

6
-

−∞

−∞

Từ bảng biến thiên, ta thấy y’ đạt giá trị lớn nhất bằng

31
5
tại x = −
3
3

5
−340

Với x = − ⇒ y =
3
27
Vậy tiếp tuyến cần lập là: y =

31 
5  340
 x + ÷−
3
3  27

Do đó, ta chọn đáp án B
Cách giải bằng máy tính:
Ta có: y = − x 3 − 5x 2 + 2x ⇒ y ' = −3x 2 − 10x + 2
Đối với máy tính VINACAL 570ES PLUS II: Ta nhấn liên tiếp các phím sau
. Màn hình hiện:
Trang 2 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Tiếp tục nhấn

. Màn hình xuất hiện:

Nhìn lại kết quả trên màn hình ta hiểu như sau: y’ đạt giá trị lớn nhất bằng

31
5
tại x = −
3
3

5
−340
Với x = − ⇒ y =
3
27
Vậy tiếp tuyến cần lập là: y =

31 
5  340
 x + ÷−
3
3  27

Do đó, ta chọn đáp án B
Đối với máy CASIO 570VN PLUS: Ta nhấn liên tiếp các phím sau:
(chức năng giải phương trình bậc hai)
các hệ số của y’)

Tiếp tục nhấn

(nghiệm thứ nhất)

(nghiệm thứ hai)

(nhập
. Màn hình xuất hiện:

. Màn hình xuất hiện:

Nhìn hai kết quả trên màn hình ta hiểu như sau: y’ đạt giá trị lớn nhất bằng

31
tại
3

5
5
−340
x = − . Với x = − ⇒ y =
.
3
3
27
Vậy tiếp tuyến cần lập là: y =

31 
5  340
 x + ÷−
3
3  27

Trang 3 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Do đó, ta chọn đáp án B
Bài tập 3: Đồ thị của hai hàm số y = f ( x ) = 3 −

1
2

và y = g ( x ) = 4x . Tiếp xúc với nhau tại
x

điểm M, có hoành độ là:
A. x = −1

B. x = 1

C. x = 2

D. x =

1
2

Cách giải nhanh trắc nghiệm bằng tay:
 1
 1
2
3 − = 4x 2
3 − x = 4x
1
 x
⇔
⇔x=
Xét hệ: 
2
 1 = 8x
 x3 = 1
2

 x

8
Vậy đồ thị hai hàm số trên tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x =

1
2

Do đó ta chọn đáp án D
Cách giải bằng máy tính:
Cú pháp: Nhập vào máy tính biểu thức:
d
( f ( A ) − g ( A ) ) : dx
( f ( x) − g( x) ) x = A
Tiếp theo nhấn

, máy hỏi nhập A? ta nhập A là một đáp án nào đó của bài toán rồi

nhấn dấu bằng. Máy hỏi nhập X? ta ấn dấu bằng để bỏ qua, rồi nhấn dấu

. Cứ làm như

thế cho đến khi nào ta được cả hai kết quả đều bằng 0 thì đáp án đó là đáp án đúng.
Cụ thể trong bài toán này ta làm như sau:
Bước 1: Nhập vào máy tính biểu thức:
1
d 
1

2

2
 3 − − 4A ÷:  3 − − 4x ÷ x = A
A
x

 dx 

Bước 2: Nhấn

, máy hỏi nhập A? ta nhập A = −1 rồi nhấn dấu bằng, máy hỏi nhập

X? ta ấn dấu bằng để bỏ qua, rồi nhấn dấu

Tiếp tục nhấn dấu

màn hình xuất hiện:

màn hình xuất hiện:

Trang 4 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Tiếp tục làm tương tự như trên cho các đáp án còn lại. Cho đến khi đến đáp án D, ta nhập
A=

1
rồi nhấn dấu bằng, máy hỏi nhập X?, ta ấn dấu bằng để bỏ qua, rồi nhấn dấu
2

màn hình xuất hiện:

Tiếp tục nhấn dấu

màn hình xuất hiện:

Vậy đồ thi hai hàm số trên tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x =

1
2

Do đó ta chọn đáp án D.
Bài tập 4: Hai parabol y = x 2 + Bx + 1 và y = Ax 2 − Bx + 3 . Tiếp xúc với nhau tại điểm có hoành
độ bằng 1 khi cặp số ( A, B ) là:
A. ( 2,1)

B. ( 1, −2 )

C. ( 1, 2 )

D. ( −1, 2 )

Cách giải nhanh trắc nghiệm bằng tay:
Vì hai parabol tiếp xúc nhau tại điểm x = 1 nên ta có hệ:
−12 + B.1 + 1 = A.12 − B.1 + 3  A − 2B = −3
A = 1
⇔
⇔

−2.1 + B = 2A.1 − B
B = 2


2A − 2B = −2
Do đó, ta chọn đáp án C
Cách giải bằng máy tính:
Bước 1: Nhập vào máy tính biểu thức:

( ( −x

2

)

+ Bx + 1) − ( Ax 2 − Bx + 3) :

d
dx

( ( −x

2

+ Bx + 1) − ( Ax 2 − Bx + 3 )

) x =1

Trang 5 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Bước 2: Nhấn

, máy hỏi nhập X? ta nhập x = 1 rồi nhấn dấu bằng. Máy hỏi nhập B?,

ta nhập B = 1 rồi nhấn dấu bằng. Máy hỏi nhập A?, ta nhập A = 2 rồi nhấn dấu bằng.
Màn hình xuất hiện:

Tiếp tục nhấn dấu

màn hình xuất hiện:

Tiếp tục làm tương tự như trên cho các đáp án còn lại. Cho đến khi đến đáp án C. Nhấn
, máy hỏi nhập X? ta nhập X = 1 rồi nhấn dấu bằng. Máy hỏi nhập B?, ta nhập B = 2
rồi nhấn dấu bằng. Máy hỏi nhập A?, ta nhập A = 1 rồi nhấn dấu bằng. Màn hình xuất
hiện:

Tiếp tục nhấn dấu

màn hình xuất hiện:

Vậy, hai parabol y = x 2 + Bx + 1 và y = Ax 2 − Bx + 3 tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ
bằng 1 khi A = 1, B = 2 . Do đó ta chọn đáp án C.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
4.1: Đường thẳng y = x + 1 tiếp xúc đồ thị hàm số y = Bcos x + Csin x tại điểm có hoành độ
x 0 = 0 khi cặp số ( B, C ) là:

Trang 6 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


A. ( −1,1)

B. ( 1, −1)

C. ( 1,1)

D. ( 3, −1)

3
2
4.2: Đồ thị hàm số: y = x + ( B − 2 ) x − 2 ( A + B ) x − 2AB tiếp xúc trục hoành tại điểm có hoành

độ bằng 1 khi cặp số ( A, B ) là:
1 
A.  ,1÷
2 

1

B.  −1, − ÷
2


1

C.  , −1÷
2


 1

D.  − , −1÷

 2


3
2
2
4.3: Các hàm số: y = x − ( A + 2 ) x + 2Ax − A và y = 2x 2 − 2B2 x − 2B có đồ thị tiếp xúc nhau

tại điểm có hoành độ bằng 2 khi cặp số ( A, B ) là:
A. ( −2, 2 )

B. ( 2, −2 )

C. ( −2, −2 )

 3
D.  2; ÷
 2

4.4: Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + 2 (C). Đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến của (C) và có hệ số
góc nhỏ nhất:
A. y = 0

B. y = −3x + 3

4.5: Gọi M là giao điểm của đồ thị hàm số y =

C. y = −3x

D. y = −3x − 3

2x − 1
với trục Oy. Phương tình tiếp tuyến với đồ
x−2

thị trên tại điểm M là:
3
1
A. y = − x −
2
2

3
1
B. y = − x +
4
2

C. y =

3
1
x+
2
2

D. y =

3
1

x−
2
2

4.6: Trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số y = − x 3 − 3x 2 + 2 , tiếp tuyến có hệ số
góc lớn nhất bằng:
A.

17
2

B.

17
4

C. -4

D. -3

4.7: Trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số y = x 3 − 3x 2 + 2 , tiếp tuyến có hệ số
góc nhỏ nhất bằng:
A. -3
4.8: Cho y =

B. 0

C. -4

D. 3

x2 − x +1
(C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ bằng 1.
3x 2 + 1

1
3
A. y = x −
8
8

1
3
B. y = − x −
8
8

1
3
C. y = − x +
8
8

1
3
D. y = x +
8
8

1 3

2
4.9: Cho y = − x − x + 5x + 2 (C). Phương trình tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất của (C) là:
3
Trang 7 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


A. y = 6x +

7
3

B. y = 6x −

7
3

C. y = −6x +

7
3

D. y = −6x −

7
3

5
3
4.10: Cho y = x + x − 2 (C) và y = x 2 + x − 2 (C’). Khi đó, (C) và (C’) tiếp xúc nhau tại điểm
4

có hoành độ là:
A. x = −

1
2

B. x =

1
2

C. x = 1

D. x = −1

Đáp án:
4.1. A

4.2. D

4.3. B

4.4. C

4.5. B

4.6. B

4.7. A

4.8. C

4.9. A

4.10. B

Trang 8 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải