13 SDMTCT trong các bài toán hình học giải tích trong không gian (đã tải)

§13. Sử dụng máy tính cầm tay trong các bài toán hình học giải tích trong không gian

r
r
r
Bài tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vecto a   2; 5;3 , b   0; 2; 1 , c   1;7; 2 
r r
r r
. Tìm tọa độ của vecto u  a  4b  2c
r
A. u   0; 27;3

r
B. u   0; 27;3

r
C. u   0; 27; 3

r
D. u   0; 27; 3

Cách giải bằng máy tính:
Ta thực hiện như sau:
r
(nhập vecto a )
r
(nhập vecto b )
r
(nhập vecto c )

(xóa màn hình)

r
(tìm tọa độ vecto u )

Màn hình hiện

r
Vậy, u   0; 27;3 . Do đó đáp án đúng là đáp án B

r
r
Bài tập 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vecto a   2; 5;3 và b   0; 2; 1 . Tính
rr
a.b
A. -13
B. 13
Cách giải bằng máy tính:

C. 11

D. 0

Ta thực hiện như sau:
r
(nhập vecto a )
r
(nhập vecto b )

(xóa màn hình)
rr
Tính a.b

Màn hình hiện

Trang 1 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


r
Vậy a.b  13 . Do đó, ta chọn đáp án A

r
r
Bài tập 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vecto a   2; 5;3 và b   0; 2; 1 . Tính
rr
�
�
a.b
� �
rr
rr
�  1; 2; 4 
�
�
a.b
a.b
A. �
B.
� �
� �  1; 2; 4 
Cách giải bằng máy tính:

rr

�
a.b
C. �
� �  1; 2; 4 

rr
�
a.b
D. �
� �  1; 2; 4 

Ta thực hiện như sau:
r
(nhập vecto a )
r
(nhập vecto b )

(xóa màn hình)
rr
�
a.b
Tính �
� �
Màn hình hiện

rr
�
a.b
Vậy �
� �  1; 2; 4  . Do đó ta chọn đáp án C

r
r
Bài tập 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vecto a   2; 5;3 và b   0; 2; 1 . Tính
r
r
góc giữa hai vecto a và b .
rr
0
A. a.b  45

 

rr
0
B. a.b  90

rr
0
C. a.b  135

 

 

rr
0
D. a.b  0

 

Công thức: Công thức tính góc giữa hai vecto:

rr
r r
a.b
cos a, b  r r
a.b

 

Cách giải bằng máy tính:

Ta thực hiện như sau:
r
(nhập vecto a )

r
(nhập vecto b )

(xóa màn hình)
rr
Tính a.b
Màn hình hiện
Trang 2 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Tiếp tục nhấn:

Màn hình hiện

(lưu giá trị vừa tìm)
(chuyển đổi sang góc). Màn hình xuất hiện

rr
0
Vậy, a.b  135 . Do đó, đáp án đúng là đáp án C.

 

r
r
r
Bài tập 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vecto a   2; 5;3 , b   0; 2; 1 , c   1;7; 2  .
rr
a.u  5
�
�r r
r
u.b  11
Tìm tọa độ vecto u thỏa mãn �
rr
�
u.c  20
�

r
A. u   2; 3; 2 

r

B. u   2; 3; 2 

r
C. u   2; 3; 2 

r
D. u   2;3; 2 

Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
r
Đặt u   x; y; z  . Khi đó, ta có:
rr
a.u  5
�
2.x   1 .y  3.z  5
�
�x  2
�
�r r
�
u.b  11 � �
1.x   3  .y  2.z  11 � �
y 3
�
r
r
�
�
�
u.c  20

z  2
3.x  2.y   4  .z  20
�
�
�

r
Vậy, u   2;3; 2  . Do đó, đáp án đứng là đáp án D
Trang 3 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Lưu ý: Để tìm x, y, z trong hệ trên. Đối với máy CASIO 570VN PLUS, ta nhấn liên tục các phím sau:

Nhấn dấu bằng màn hình xuất hiện:

Nhấn tiếp dấu bằng màn hình xuất hiện

Tiếp tục nhấn dấu bằng màn hình xuất hiện

Vậy nghiệm của hệ là  2;3; 2 
Còn đối với máy VINACAL 570ES PLUS, ta nhấn liên tiếp các phím sau:

Sau đó nhấn dấu bằng xem nghiệm:

r
r
r
Bài tập 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vecto a   1;1;0  , b   1;1;0  , c   1;1;1 .
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
r r

2
rr
C. cos b, c 
D. a.c  1
6
Ta giải và tìm đáp án của bài toán này bằng tất cả các thao tác trên máy tính. Nhập tpaj độ các vecto vào
máy.
r r r r
A. a  b  c  0

r r
B. a, b cùng phương

 

r
(nhập vecto a )

Trang 4 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


r
(nhập vecto b )
r
(nhập vecto c )

(xóa màn hình)
Kiểm tra đáp án A. Ta nhấn liên tục các phím:

Màn hình hiện:

r
r r r
Tức là a  b  c   1;3;1 �0 . Do đó, đáp án A sai.
(xóa màn hình)
Kiểm tra đáp án B. Ta nhấn liên tục các phím:

Màn hình hiện

r
r r
�  0; 0; 2  �0 . Do đó, đáp án B sai.
a,
b
Tức là �
� �

(xóa màn hình)
Kiểm tra đáp án B. Ta nhấn liên tục các phím:

Màn hình hiện

Trang 5 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


r r
2
Tức là cos b, c  0.8164965809 
. Do đó, đáp án C đúng.
6

 

Vậy đáp án D còn lại là đáp án sai. Hoặc ta cũng có thể kiểm tra đáp án D như sau:
Ta nhấn liến tục các phím:

Màn hình hiện

Do đó, đáp án D là đáp án sai.
Bài tập 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A  1; 2; 3  , B  0;3;7  , C  12;5;0  . Tính
diện tích  ABC .
A. SABC 

6847
2

B. SABC 

8647
2

C. SABC 

8467
2

D. SABC 

8764
2

Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
uuur
uuur
Ta có: AB   1;1;10  , AC   11;3;3 
SABC 

1 uuur uuur
6847
�
AB, AC �

�
�
2
2

Ta thao tác trên máy tính như sau:
uuur
(nhập vecto AB )
uuur
(nhập vecto AC )
(xóa màn hình)
Màn hình hiện

Trang 6 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Nhấn dấu bằng, màn hình hiện

Nhấn phím ,

màn hình hiện

Nhấn dấu bằng, màn hình hiện

Nhấn phím

Nhấn phím

, màn hình hiện

, màn hình hiện

Trang 7 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Vậy SABC 

1 uuur uuur
6847
�
�
. Do đó, ta chọn đáp án A.
AB,
AC
�
2�
2

Bài tập 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A  1; 2; 3 , B  0;3;7  , C  12;5;0  . Tính
độ dài đường cao AH của  ABC
A. AH 

13649
197

B. AH 

13694
179

C. AH 

13694
197

D. AH 

16349
197

r
Công thức: Cho điểm M, đường thẳng d đi qua M 0 và có vecto chỉ phương a . Khi đó, khoảng cách
từ điểm M đến đường thẳng d xác định bởi:

uuuuur r
�
�
M

� 0 M, a �
d  M, d  
r
a
Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
Ta có:

uuur uuu
r
�
�
BA,
BC
�
�
AH  d  A, BC  
uuur
BC

uuur
uuu
r
BA   1; 1; 10  , BC   12; 2; 7 

Do đó, để tính AH ta thao tác trên máy tính như sau:
uuur
(nhập vecto BA )
uuu
r
(nhập vecto BC )

(xóa màn hình)

Màn hình xuất hiện

Màn hình hiện

Trang 8 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Vậy, AH 

13694
197

Do đó, ta chọn đáp án C
Bài

tập

9:

Trong

không

gian

với

hệ

tọa

độ

Oxyz,

cho

bốn

A  1;1;0  , B  0; 2;0  , C  0;0;3  , D  1; 2;3  . Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng  ABC  .
12
17
7
B. d  D,  ABC    12 C. d  D,  ABC   
D. d  D,  ABC   
7
2
12
Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
A. d  D,  ABC   

Ta có: VABCD 

1
6

uuur uuur uuur 1
�

�
AB,
.AD  d  D,  ABC   .SABC
� AC �
3

uuur uuur uuur
�
�
AB,
.AD
� AC �

Suy ra: d  D,  ABC   
2SABC

uuur uuur uuur
�
�
AB,
.AD
� AC �
uuur uuur
�
AB, AC �
�
�

uuur
uuur

uuur
Ta có: AB   1; 2;0  , AC   1;0;3 , AD   0; 2;3 

Ta thao tác trên máy tính như sau:
uuur
(nhập vecto AB )
uuur
(nhập vecto AC )
uuur
(nhập vecto AD )

(xóa màn hình)

Màn hình hiện

Trang 9 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

điểm


Vậy, d  D,  ABC    12 Do đó, a chọn đáp án A.
7
Bài tập 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm không đồng phẳng
A  1;1;0  , B  0; 2;0  , C  0;0;3  , D  1;2;3 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và OB.
A. d  OB,  AC   

1
2

B. d  OB,  AC   

1
2

C. d  OB,  AC    2 D. d  OB,  AC    2

Công thức: Cho hai đường thẳng d1 và d 2 chéo nhau. Đường thẳng d1 đi qua M1 và có vecto chỉ
r
r
phương u1 ; đường thẳng d 2 đi qua M 2 và có vecto chỉ phương u 2 . Khi đó, khoảng cách giữa hai
đường thẳng d1 và d 2 được xác định bởi công thức:
d  d1 , d 2 

uu
r uur uuuuuur
�
�
u
.M1M 2
�1 , u 2 �

uu
r uur
�
�
u
�1 , u 2 �

Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
uuur

uuur
uuur
Ta có: AC   1;1;1 , OB   0;0;1 , OA   1;0; 0 
uuur uuur uuur
�
�
AC,
.OA
1
� OB�
d  AC, OB  

uuur uuur
2
�
AC, OB �
�
�

Ta thao tác trên máy tính như sau:
uuur
(nhập vecto AC )
uuur
(nhập vecto OB )
uuur
(nhập vecto OA )

(xóa màn hình)

Màn hình hiện

Màn hình hiện
Trang 10 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Màn hình hiện

Vậy d  OB,  AC   

1
1

. Như thế ta chọn đáp án A
2
2

Bài tập 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :

x 1 y  3 z  4


và
2
1
2

�x  2  4t
�
d 2 : �y  1  2t . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 , d 2 .
�z  1  4t

�

A. d  d1 , d 2  

386
3

B. d  d1 , d 2  

386
3

C. d  d1 , d 2  

97
2

D. d  d1 , d 2  

386
3 3

Công thức: Cho hai đường thẳng d1 và d 2 song song với nhau. Đường thẳng d1 đi qua M1 và có
r
r
vecto chỉ phương u1 ; đường thẳng d 2 đi qua M 2 và có vecto chỉ phương u 2 . Khi đó, khoảng cách
giữa hai đường thẳng d1 và d 2 được xác định bởi công thức:
d  d1.d 2   d  M1 , d 2 

uuuuuur r

�
�
M
� 1M 2 , u 2 �

r
u2

Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
r
Đường thẳng d1 đi qua M1  1; 3; 4  và có vecto chỉ phương là: u1   2;1; 2 
r
Đường thẳng d 2 đi qua M 2  2;1; 1 và có vecto chỉ phương là: u 2   4; 2; 4  .

r
r
Ta có: u 2  2u1 và M1  1; 3; 4  �d 2 . Suy ra d1 / /d 2
uuuuuur
Ta có M1M 2   3; 4; 5 

Trang 11 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


d  d1.d 2   d  M1, d 2 

uuuuuur r
�
�
M
� 1M 2 , u 2 � 386



r
u2
3

Ta thao tác trên máy tính như sau:
uuuuuur
(nhập vecto M1M 2 )
uur
(nhập vecto u 2 )
(xóa màn hình)

Màn hình hiện

Màn hình hiện

Màn hình hiện

Vậy d  d1 , d 2   386 như thế ta chọn đáp án A
3
Bài tập 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :

x y 1 z 1


và
2
1
2

�x  1
�
d 2 : �y  t . Tính góc giữa hai đường thẳng.
�
z  3 t
�





0
A. d�
1 , d 2  45





0
B. d�
1 , d 2  90





0
C. d�

1 , d 2  135





0
D. d�
1, d 2  0

Trang 12 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


r
Công thức: Cho hai đường thẳng d1 và d 2 . Đường thẳng d1 có vecto chỉ phương u1 ; đường thẳng
r
d 2 vecto chỉ phương u 2 . Khi đó, góc giữa hai đường thẳng d1 và d 2 được xác định bởi công thức:
r r
u1 , u 2
r r
�
cos d1 ,d 2  cos  u1 , u 2   r r
u1 u 2





Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
uu

r
uur
Ta có: u1   2;1; 2  , u 2   0;1; 1
r r
u1, u 2
r r
�
cos d1 , d 2  cos  u1 , u 2   r r  0,7071067812
u1 u 2





uu
r
(nhập vecto u1 )
uur
(nhập vecto u 2 )
(xóa màn hình)

Màn hình hiện

Màn hình hiện





0

Vậy, d�
1 , d 2  45 . Như thế ta chọn đáp án A.

Bài tập 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm không đồng phẳng
A  1;0;0  , B  0;1;0  , C  0;0;1 , D  2; 1;3  . Tính cosin góc tạo bởi hai mặt phẳng  ABC  và  ABD 
A.

6

B.

6
3

C. 

6
3

D.

6
2

Trang 13 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Công thức: Cho mặt phẳng  α  và  β  lần lượt có phương trình

A1x  B1y  C1z  D1  0, A 2 x  B2 y  C2 z  D 2  0

r
r
Các vecto pháp tuyến của chúng lần lượt là n  α    A1; B1;C1  , n  β    A 2 ; B2 ;C 2 

Khi đó, góc giữa hai mặt  α  và  β  được xác định bởi công thức:



cosα�
, β 



r r
n α , n β

cos n ,αn  β   r
r
n α n β



r

r



Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
uuur

uuur
uuur
Ta có: AB   1;1;0  , AC   1;0;1 , AD   1; 1;3 
uuur uuur
uuur uuur
r
r
�  1;1;1 , n  ABD   �
�
n  ABC   �
AB,
AC
AB,
�
�
� AD �  3;3; 0 

r
r
n  ABC , n  ABD 
r
r
6
cos �
ABC  ,  ABD   cos n  ABC  , n  ABD   r

r
3
n  ABC n  ABD 









Ta thao tác trên máy tính như sau:
uuur
(nhập vecto AB )
uuur
(nhập vecto AC )
uuur
(nhập vecto AD )

(xóa màn hình)

Màn hình hiện

uuur uuur
r
�
AB,
Tức là: n  ABC   �
� AC �  1;1;1

(xóa màn hình)

Trang 14 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

Màn hình hiện

uuur uuur
r
�
AB,
Tức là: n  ABD   �
� AD �  3;3;0 

Nhấn ON. Sau đó, ta tiếp tục nhấn
r
(nhập tọa độ vecto n  ABC  )
uur
(nhập vecto u 2 )

(xóa màn hình)

Màn hình hiện

Màn hình hiện



�
Tức là: cos  ABC  ,  ABD 



r
r
n  ABC , n  ABD 
r
r
2
6
 cos n  ABC , n  ABD   r


. Do đó, ta chọn đáp
r
3
3
n  ABC n  ABD 





án B
�x  1
�
Bài tập 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : �y  2  t và mặt phẳng
�
z  3 t
�

 α  : x  y  3  0 . Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng  α  .



�
A. d,α

  60

0



�
B. d,α

  90

0



�
C. d,α

  30

0



�

D. d,α

  120

Trang 15 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

0


r
Công thức: Cho mp  α  : Ax  By  Cz  D  0 có vecto pháp tuyến n   A; B;C  và đường thẳng
�x  x 0  at
r
�
d : �y  y 0  bt có vecto chỉ phương u   a; b;c  . Khi đó, góc tạo bởi đường thẳng d và mặt phẳng
�z  z  ct
� 0

 α

được xác định bởi:



�
sin d,α



rr

n.u
Aa  Bb  Cc
 r r 
n.u
A 2  B2  C 2 . a 2  b 2  c 2

Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
r
Vecto chỉ phương của d là u d   0;1;1
r
Vecto pháp tuyến của  α  là n  α    1;1;0 



�
sin d,α



r r
n  α  .u d
�
 r
r 0,5 � d, α
n α . u d



  30

0

Ta thao tác trên máy tính như sau:
r
(nhập vecto u d   0;1;1 )
r
(nhập vecto n  α    1;1; 0  )
(xóa màn hình)

Màn hình hiện

Màn hình hiện



�
Vậy, d,α

  30

0

. Như thế ta chọn đáp án C.

Trang 16 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Bài tập 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  :

 P  : x  2y  3z  2  0 . Tìm tọa độ giao điểm M của đường thẳng

A. M  5; 1; 3

B. M  2;0; 1

x  2 y z 1
 
và mặt phẳng
3
1
2

 và mặt phẳng  P  .

C. M  1;1;1

D. M  1; 0;1

Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
Tạo độ giao điểm của đường thẳng  và mặt phẳng  P  là nghiệm của hệ:
�x  2 y
� 3  1
�x  3y  2
�x  1
�
�y z  1
�
�
��
2y  z  1
� �y  1

� 
1
2
�
�x  2y  3z  2
�
z 1
�
�
�x  2y  3z  2  0
�
�
Do đó, ta chọn đáp án C
Lưu ý: Để tìm nghiệm của hệ trên ta nhấn liên tiếp các phím sau:

Màn hình lần lượt xuất hiện các kết quả như sau:

Bài tập 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A  1;0;0  , B  0; 2;0  , C  0;0; 3  .
Lập phương trình mặt phẳng  ABC  .
A. x  2y  3x  0
C. 3x  2y  5z  1  0

B. 6x  3y  2z  6  0
D. x  2y  3x  0

Trang 17 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
uuur

uuur
Ta có: AB   1; 2; 0  , AC   1;0; 3 
uuur uuur
r
�
AB,
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng  ABC  là: n  ABC   �
� AC �  6; 3; 2 

Phương trình mặt phẳng  ABC  là: 6  x  1  3y  2z  0 � 6x  3y  2z  6  0
uuur uuur
r
�
AB,
Lưu ý: Để tính được n  ABC   �
� AC �  6; 3; 2  , ta nhấn liên tiếp các phím sau:

Màn hình xuất hiện

Bài tập 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A  1;0;0  , B  0; 2;0  , C  0;0; 3  .
Viết phương trình mặt phẳng  α  đi qua hai điểm A và B, đồng thời vuông góc với mặt phẳng  β 
A.  x  13y  5z  8  0
C.  x  13y  5z  5  0

B. x  13y  5z  5  0
D.  x  13y  5z  5  0

Cách giải có hỗ trợ của máy tính:

uuur

r
Ta có: AB   1; 2;5  . Vecto pháp tuyến của mặt phẳng  β  là: n  β    2; 1;3
Vì mặt phẳng  α  đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng  β  nên vecto pháp tuyến của
uuur r
r
AB, n  β  �  1;13;5 
mặt phẳng  α  là: n  α   �
�
�
Phương trình mặt phẳng  α  là: 1.  x  3  13  y  1  5  z  1  0 �  x  13y  5z  5  0
Như thế ta chọn đáp án C.

uuur r
r
AB, n  β  �  1;13;5  ta nhấn liên tiếp các phím sau:
Lưu ý: Để tính được n  α   �
�
�

Màn hình xuất hiện

Trang 18 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Bài tập 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M  1; 2;5  và hai mặt phẳng

 β  : x  2y  3z  1  0,  γ  : 2x  3y  z  1  0 . Viết phương trình mặt phẳng  α 
vuông góc với hai mặt phẳng  β  ,  γ 
A. x  y  z  3  0
C. x  y  z  2  0

đi qua điểm M và

B. x  y  z  2  0
D. x  y  z  5  0

Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
r
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng  β  là: n  β    1; 2; 3
r
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng  γ  là: n  γ    2; 3;1

Vì mặt phẳng  α  vuông góc với hai mặt phẳng  β  và  γ  nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng  α 
là:

r
r r
n α  �
n , n � 7; 7; 7 
� β   γ  � 
Phương trình mặt phẳng  α  là: 7  x  1  7  y  2   7  z  5   0 � x  y  z  2  0
Như thế ta chọn đáp án C.

r
r r
n , n � 7; 7; 7  , ta nhấn liên tiếp các phím sau:
Lưu ý: Để tính được n  α   �
� β   γ  � 

Màn hình xuất hiện

Bài tập 19: Cho tứ diện ABCD với A  1;0;0  , B  1;0;0  , C  0;0;1 , D  1;1;1 . Mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện có bán kính là:
Trang 19 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


3
B. 2
2
Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
A.

C.

D.

3

3
4

Phương trình mặt cầu  S có dạng:



x 2  y2  z 2  2Ax  2By  2Cz  D  0 A 2  B2  C2  D  0



Vì mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D nên ta có hệ:

� 2
�A  3
1
2
2
�
�
1  0  0  2A.1  2B.0  2C, 0  D  0
2A  D  1
�
�B  2
�2 2 2
�
0  1  0  2A.0  2B.1  2C.0  D  0
2B  D  1
� 3
�
�
��
��
�2
2
2
2C  D  1
2
0  0  1  2A.0  2B.0  2C.1  D  0
�
�
�
C

�2 2 1
�
2A  2B  2C  D  3 � 3
�
1  1  1  2A.1  2B.1  2C.1  D  0
�
� 1
�D 
� 3
Lưu ý: Để giải hệ trên, đối với máy tính VINACAL 570ES PLUS II, ta nhấn liên tiếp các phím sau:

2
2
2
1
Sau đó, ta nhấn dấu bằng thu được nghiệm X  , Y  , Z  , T  .
3
3
3
3
2
2
2
1
Tức là A  , B  , C  , D 
3
3
3
3
Còn đối với máy tính CASIO 570VN PLUS, ta khử một biến đưa về hệ ba phương trình ba ẩn rồi sử

dụng chức năng giải hệ của máy tính tìm nghiệm.
Bài tập 20: Cho mặt phẳng  P  : 2x  y  2z  6  0 và điểm M  2; 3;5  . Tìm tọa độ hình chiếu H của
M trên  P  .

�4 16 23 �
; �
A. H � ;
�9 9 9 �

�4 16 23 �
B. H � ; ; �
�9 9 9 �

�4 16 23 �
; �
C. H � ;
�9 9 9 �

�4 16 23 �
;
D. H � ;
�
9 �
�9 9

Công thức: Cho  P  : Ax  By  Cz  D  0, M  x 0 , y 0 , z 0  . Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên
�x H  x 0  Ak
 P  . Khi đó, tọa điểm H được xác định bởi công thức: �
�y H  y0  Bk
�z  z  Ck

�H
0

Trang 20 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Trong đó, k 

  Ax 0  By 0  Cz 0  D 
A 2  B2  C 2
Chứng minh

Gọi d là đường thẳng qua M và vuông góc với mặt phẳng  P  . Khi đó, d nhận vecto pháp tuyến của
�x  x 0  At
 P  làm vecto chỉ phương. Do đó, phương trình tham số của d là: �
�y  y 0  Bt
�
z  z 0  Ct
�

Vì H là hình chiếu vuông góc của M lên

 P  nên

H  d � P  . Khi đó H �d , suy ra

H  x 0  Ak; y 0  Bk; z 0  Ck  . Hơn nữa H � P  nên ta có:
A  x 0  Ak   B  y0  Bk   C  z0  Ck   D  0
� Ax 0  By 0  Cz 0  D  A 2 k  B2k  C 2k  0 � k 

  Ax 0  By0  Cz 0  D 
A 2  B2  C 2

�x H  x 0  Ak
�
Vậy tọa độ điểm H được xác định bởi công thức: �y H  y 0  Bk
�z  z  Ck
�H
0

Trong đó, k 

  Ax 0  By 0  Cz 0  D 
A 2  B2  C 2

Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
4
�
�x H  2  2.k  9
�
  2.2   3  2.5  6 
11
16
�

y


3


k

Ta có: k 
.
Khi
đó:
�
H
2
9
9
22   1  2 2
�
23
�
z H  5  2.k 
�
9
�

�4 16 23 �
; �. Như thế ta chọn đáp án A
Vậy, tọa độ điểm . H � ;
�9 9 9 �
Lưu ý: Các thao tác trên máy tính đối với bài toán này như sau. Để tính k, ta nhập vào máy biểu thức
  2X  Y  2M  6 
22   1  22
2

Trang 21 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

Sau đó nhấn CALC nhập X  2; Y  3; M  5 . Rồi nhấn dấu bằng, màn hình hiện

Tức là k  

11
9

Nhấn

(lưu vào biến A). Màn hình hiện

Nhấn AC, xóa màn hình.
Tính x H , ta nhấn

. Màn hình hiện

Nhấn AC, xóa màn hình.
Tính y H , ta nhấn

. Màn hình hiện

Nhấn AC, xóa màn hình.
Tính z H , ta nhấn . Màn hình hiện

Trang 22 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Bài tập 21: Cho mặt phẳng  P  : 2x  y  2z  6  0 và điểm M  2; 3;5  . Tìm tọa độ điểm M’ đối

xứng với M qua  P  .

�26 5 1 �
A. M ' � ; ; �
�9 9 9 �

�26 5 1 �
�26 5 1 �
B. M ' � ; ; � C. M ' � ; ; �
�9 9 9 �
�9 9 9 �

�26 5 1 �
D. M ' � ; ; �
�9 9 9 �

Công thức: Cho  P  : Ax  By  Cz  D  0, M  x 0 , y 0 , z 0  . Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua. Khi

đó, tọa độ điểm M’ được xác định bởi công thức:

k

�x M '  x 0  2Ak
�
�y M '  y0  2Bk
�
z M '  z 0  2Ck
�

. Trong đó,

  Ax 0  By 0  Cz 0  D 
A 2  B2  C 2
Chứng minh

�x H  x 0  Ak
�
Gọi H là hình chiếu của M lên  P  , tọa độ điểm H được xác định bởi công thức: �y H  y0  Bk
�z  z  Ck
�H
0

Trong đó, k 

  Ax 0  By 0  Cz 0  D 
A 2  B2  C 2

Vì M’ là điểm đối xứng với M qua  P  nên H là trung điểm của MM’. Theo tính chất trung điểm ta
có:
�x M  x M '
 xH
� 2
�x M '  x 0  2Ak
�x M '  2x H  x M
�
�y M  y M '
�
�
 y H � �y M '  2y H  y M � �y M '  y 0  2Bk
�

� 2
�z  2z  z
�
z M '  z 0  2Ck
H
M
�M '
�
�z M  z M '
 zH
� 2
�
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Cách giải có hỗ trợ của máy tính:

Trang 23 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


26
�
�x M '  2  2.2.k  9
�
  2.2   3  2.5  6 
11
5
�

Ta có: k 
. Khi đó: �y M '  3  2.k 
2

2
2
9
9
2   1  2
�
1
�
�z M '  5  2.2.k  9
�

�26 5 1 �
Vây, tọa độ điểm M � ; ; �. Như thế ta chọn đáp án D.
�9 9 9 �
Lưu ý: Các thao tác trên máy tính đối với bài toán này như sau. Để tính k, ta nhập vào máy biểu thức
  2X  Y  2M  6 
22   1  22
2

Sau đó, nhấn CALC nhập X  2; Y  3; M  5 . Rồi nhấn dấu bằng, màn hình hiện

Tức là k  

11
9

Nhấn

( lưu vào biến A). Màn hình hiện

Nhấn AC, xóa màn hình.
Tính x M ' , ta nhấn

. Màn hình hiện

Nhấn AC, xóa màn hình.
Trang 24 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Tính y M ' , ta nhấn

. Màn hình hiện

Nhấn AC, xóa màn hình.
Tính z M ' , ta nhấn . Màn hình hiện

Bài tập 22: Cho hai mặt phẳng  P  : x  2y  3z  4  0 và  Q  : 3x  2y  5z  4  0 . Viết phương
trình tham số của đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng  P  và  Q  .

�x  2  2t
�
A. �y  1  7t
�
z  4t
�

�x  2  2t
�
C. �y  1  7t
�

z  4t
�

�x  2  2t
�
B. �y  1  7t
�z  4t
�
Cách giải có hỗ trợ của máy tính:

�x  2  2t
�
D. �y  1  7t
�
z  4t
�

Gọi d   P  � Q  . Lấy A  2; 1;0  �d
r
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng  P  là: n  P    1; 2;3 
r
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng  Q  là: n  Q    3; 2; 5 
Vì d là giao tuyến của hai mặt phẳng
r r
�
n , n � 4;14;8 
� P   Q  � 

 P

và  Q  nên vecto chỉ phương của đường thẳng d là:

r
Chọn u  d    2;7; 4 
�x  2  2t
�
Phương trình đường thẳng của d là: �y  1  7t
�z  4t
�
Như thế, ta chọn đáp án A.
r r
n  P  , n  Q  �  4;14;8  , ta nhấn liên tục các phím sau:
Lưu ý: để tính được �
�
�
Trang 25 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải