Tuyển tập công thức và thủ thuật tính nhanh – môn Toán
CÔNG THỨC VÀ THỦ THUẬT TÍNH NHANH
BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC
Bài toán cơ bản: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (*) cho trước. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của z .
Phương pháp chung
+ Bước 1: Tìm tập hợp H các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện (*).
+ Bước 2: Tìm số phức z tương ứng với điểm biểu diễn M � H sao cho khoảng cách OM lớn
nhất, nhỏ nhất
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Biết các số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa
độ là hình vuông tô đậm như hình vẽ bên. Môđun lớn nhất của số phức z là
A. z max 1
B. z max
C. z max 2 D. z max
1
2
2
2
Lời giải
zmax bằng nửa độ dài đường chéo của hình vuông cạnh bằng 2 � Chọn đáp án C.
Ví dụ 2: Biết các số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ
là hình vuông tô đậm như hình vẽ bên. Môđun nhỏ nhất của số phức z là
A. z min 0
B. z min 1
C. z min 2 D. z min
2
2
Lời giải
zmin 0 , điểm biểu diễn là điểm O � Chọn đáp án A.
Ví dụ 3 : Biết các số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt phẳng
tọa độ là hình vuông tô đậm như hình vẽ bên. Môđun nhỏ nhất của số
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
1
phức z là
A. z max 1
B. z max 2
C. z max 3
D. z max 3
Lời giải
Tam giác OAB có góc OAB là góc tù nên
OZ
OB
z
OB 3
Vậy z max 3 � Chọn đáp án C.
Ví dụ 4 : Biết các số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt
phẳng tọa độ là hình vuông tô đậm như hình vẽ bên. Môđun nhỏ nhất
của số phức z là
A. z min 1
C. z min
2
3
B. z min
1
2
D. z min 3
Lời giải
Tam giác OAB có góc OBA là góc tù nên
OA OB
z
OB 1
Vậy z min 1 � Chọn đáp án A.
Ví dụ 5 : Biết các số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt phẳng
tọa độ là đường elip như hình vẽ bên. Môđun nhỏ nhất của số phức z
là
A. z min 1 B. z min 2
C. z min
1
2
D. z min
3
2
Lời giải
Elip có độ dài trục nhỏ bằng 2b 2 � z min 1 � Chọn đáp án A.
Ví dụ 6 : Biết các số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
2
phẳng tọa độ là hình elip tô đậm như hình vẽ bên. Môđun lớn nhất của số phức z là
A. z max 1 B. z max 2
C. z max
1
2
D. z max
3
2
Lời giải
Elip có độ dài trục lớn bằng 2a 4 � z max 2 � Chọn đáp án B.
Ví dụ 7 : Tập hợp các điểm biểu diễn hình học của số phức z là đường
thẳng như hình vẽ. Khi đó, z có giá trị nhỏ nhất bằng
A. 2. B. 1.
1
C. 2 .
D.
.
2
Lời giải
Phường trình d : x y 1 0
�M �d
Gọi M là điểm biểu diễn hình học của số phức z � �
�z OM
Vì M �d : x y 1 0 � M t ;1 t .
Suy ra z t 1 t
2
Vậy z min
2
2
1� 1
1
�2
� 1� 1
2t 2t 1 2 �
t t �
2�
t � �
4� 2
2
�
� 2� 2
2
1
� Chọn đáp án D.
2
MỘT SỐ BÀI TOÁN QUAN TRỌNG THƯỜNG GẶP
Bài toán 1: Cho số phức z thỏa mãn z a bi c , c 0 , tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của z
Lời giải
z a bi c, c 0 � Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z
là
đường tròn có tâm I a; b và bán kính R c.
�
max z OM 2 OI R a 2 b 2 c
�
Khi đó : ���� �
min z OM 1 OI R a 2 b 2 c
�
�
z OM
Tìm tọa độ điểm M 1 , M 2 (tức là, tìm số phức z có môđun nhỏ nhất, lớn nhất).
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
3
+ Phương trình đường tròn C quỹ tích của điểm M biểu diễn số phức z là:
C : x a
2
y b c2
2
+ Phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm O, I là d : Ax By C 0 .
Khi đó, M 1 , M 2 là giao điểm của C và d .
�
�
x a y b c2 �
Giải hệ phương trình: �
hai nghiệm � tọa độ hai điểm.
�Ax By C 0
2
2
So sánh khoảng cách từ hai điểm vừa tìm được tới O , khoảng cách nào nhỏ hơn thì điểm đó ứng với
điểm M 1 và điểm còn lại là điểm M 2 .
Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z1.z z2 r , r 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của z .
�
�max z
�
Giải �
�min z
�
�
z2
r
z1
z1
z2
r
z1
z1
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Nếu các số phức z thỏa mãn z 2 4i 5 thì z có giá trị lớn nhất bằng
A. 3 5
B. 5
C.
5 D. 13
Lời giải
Tập hợp các điểm M z là đường tròn có tâm I 2; 4 và bán kính
R 5 .
Vậy max z OM OI R 22 42 5 3 5.
� Chọn đáp án A.
Câu hỏi bổ sung 1: z có giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
Trả lời: min z ON OI R 22 42 5 5.
Câu hỏi bổ sung 2: Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất, lớn nhất.
Trả lời: Phương trình đường thẳng OI là y 2 x .
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
4
Tọa độ hai điểm M , N là nghiệm của hệ phương trình:
�
�
�y 2 x
�y 2 x
�
�
�
2
2
2
2
x 2 y 4
x 2 2x 4
�
�
�
�x 1
� N 1; 2
�
�
y
2
�y 2 x
�
� �2
��
�
5
�x 3
�x 4 x 3 0
�
� M 3;6
�
�
�y 6
+ Số phức z có môđun lớn nhất là z 3 6i ứng với điểm M 3; 6 .
+ Số phức z có môđun nhỏ nhất là z 1 2i ứng với điểm N 1; 2 .
Ví dụ 2[Trích đề thi thử chuyên KHTN - Lần 1]:
Nếu các số phức z thỏa mãn 1 i z 1 7i 2 thì z có giá trị lớn nhất bằng
A. 4. B. 3. C. 7 D. 6.
Lời giải
� 1 7i �
Ta có: 1 i z 1 7i 2 � 1 i �z
� 2
� 1 i �
� 1 i z 3 4i 2 z 3 4i 2 � z 3 4i 1
Tập hợp các điểm M z là đường tròn có tâm I 3; 4 và bán kính R 1
Vậy max z OI R 32 42 1 6 � Chọn đáp án D.
2 3i
z 1 1 thì z có giá trị nhỏ nhất bằng
3 2i
D. 3.
Lời giải
Ví dụ 3: Nếu các số phức z thỏa mãn
A. 1.
Ta có:
B. 2.
C.
2
2 3i
1
z 1 1 � iz 1 1 � i z
1 � z i 1 � z i 1.
3 2i
i
Tập hợp các điểm M z là đường tròn có tâm I 0; 1 và bán kính R 1.
Vậy max z OI R 02 1 1 2 � Chọn đáp án B.
2
Bài toán 2: Trong các số phức z thỏa mãn z z1 r1 , r1 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của
P z z2 .
Lời giải
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
5
Gọi I z1 , A z2 , M z .
max P AM 1 r1 r2
�
Khi đó: IA z1 z2 r2 � �
min P AM 2 r1 r2
�
Muốn tìm các số phức sao cho Pmax , Pmin thì ta đi tìm hai giao điểm
M 1 , M 2 của đường tròn I , r1 với đường thẳng AI .
Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z1.z z2 r1 , r1 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của
P z z3 .
Giải: max P
z2
r
z
r
z3 1 và min P 2 z3 1
z1
z1
z1
z1
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z 3 2i 2 . Giá trị nhỏ nhất của z 1 i lần lượt là
A. 7. B. 3. C. 2. D. 5.
Lời giải
�
�
�
Ta có: z 3 2i z 3 2i � 2 r1 và z 1 i z 1 i
123
�1 2 3 �
z2
� z1 �
� z1 z2 3 2i 1 i 5 r2 � min z 1 i 5 2 3 � Chọn đáp án B.
Ví dụ 2: Trong số phức z thỏa mãn z 5i �3 , số phức có z nhỏ nhất thì có phần ảo bằng bao nhiêu?
A. 4. B. 0. C. 3. D. 2.
Lời giải
Tập hợp các điểm M z là đường tròn có tâm I 0;5 và bán kính
R 3.
Vì z OM nên số phức z có môđun nhỏ nhất là z 2i ứng với
điểm M 1 0; 2 .
� Chọn đáp án C.
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
6
Ví dụ 3 [ Trích đề thi HK 2 – THPT Phan Đình Phùng – HN]: Trong tất cả các số phức z thỏa mãn
z 2 2i 1 ,gọi z a bi, a, b �� là số phức có z 4i đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức
P a b 2 .
A. P 2
1
2
B. P 2
1
2
C. P
1
2
2
D. P
1
2
2
Lời giải
4i � A 0; 4 .
Ta có: z 2 2i z 2 2i 1 � I 2; 2 và z 4i z {
14 2 43
z2
z1
Tập hợp các điểm M z là đường tròn có tâm I 2; 2 và bán kính r1 1 .
Phương trình đường thẳng IA là: x y 4 0
Tọa độ hai điểm M , N là nghiệm của hệ phương trình:
�y x 4
�x y 4 0
�y x 4
�
�
�
��
��
�
1
2
2
2
2
2
x 2 y 2 5 � x 2 x 4 2 1 � x 2
�
�
2
1
1
�
�
x 2
x 2
�y x 4
�
�
1 � � 1
1 �
� 1
�
�
2
�
2
��
��
� M1 �
2
; 2
; M2 �
2
; 2
.
1 ��
�
�
2
2� �
2
2�
�
�x 2 � 2
�y 2 1 �y 2 1
�
�
2 �
2
�
�
�uuuur �
�AM 1 �2
�
�
Khi đó �
uuuu
r �
�u
AM 2 �2
�
�
�
1
1 �
;2
�
2
2�
� AM 1 AM 2 � M 2 là điểm biểu diễn số phức cần tìm.
1
1 �
;2
�
2
2�
1
�
a 2
�
1 �
1 � z a bi �
1
2
� z 2
�
2
i ���� �
� P a b 2 2 � Chọn đáp án A.
�
1
2
2 �
2�
�
b 2
�
2
�
Bài toán 3: Trong số phức z thỏa mãn z z1 z z2 k , k 0 .Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của
P z .
Lời giải
Gọi M z , M 1 z1 , M 2 z2 .
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
7
Khi đó : z z1 z z2 k � MM 1 MM 2 k � M elip E nhận M 1 , M 2 làm tiêu điểm và có độ dài
trục lớn bằng k 2a.
Vì ở chương trình Toán lớp 10, chỉ được học elip có hai tiêu điểm là F1 c; 0 , F1 c; 0 nên thường đề bài
sẽ cho dưới dạng: z c z c k , 0 c, k ��
� M �elip E nhận F1 c;0 , F1 c;0 làm tiêu điểm và có độ dài trục lớn bằng k 2a .
k
�
z max a
�
2
�
� �
2
2
�z b k 4c
�
� min
2
Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z1.z z 2 z1.z z2 k , . Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của P z
.
k 2 4 z2
k
Giải: max z
và min z
2 z1
2 z1
2
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ: Trong tất cả các số phức z thỏa mãn z 4 z 4 10 , gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất z . Khi đó, giá trị biểu thức P M m 2 bằng
A. P 6
B. P 13 C. P 5
D. P 4
Lời giải
10
�
M z max
5
�
2
�
� P M m 2 5 32 4
Áp dụng công thức trên, ta có: �
2
2
10 4.4
�
m z min
3
�
�
2
� Chọn đáp án D.
Bài toán 4: Cho hai số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1 z2 m ni và z1 z2 p 0. Tìm giá trị lớn nhất của
P z1 z 2 .
Lời giải
ac m
�z1 a bi
�
� z1 z2 a c b d i m ni � �
Giả sử: �
cd n
�
�z2 c di
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
8
Ta có: z1 z2 a c b d i � z1 z 2 a c b d p.
2
2
2
2
2
2
2
Khi đó: P z1 z2 a 2 b 2 c 2 d 2 � 12 12 �
a2 b2 c2 d 2 �
�
� 2 a b c d .
Mà a b c d
2
2
2
2
a c
2
b d a c b d
m2 n2 p 2
2
2
2
Suy ra: 2 a 2
b 2 �c
d 2 m2
2
n2
p2
2
2
m2 n 2
P
p2
max P
m2 n2
p2
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ [Trích đề thi thử chuyên KHTN - Lần 4]: Với hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 z2 8 6i và
z1 z 2 2 . Tìm giá trị lớn nhất của P z1 z 2 .
B. 5 3 5
A. 4 6
D. 34 3 2
C. 2 26
Lời giải
Áp dụng công thức trên ta được : P z1 z2 � 82 62 2 2 2 26 � Chọn đáp án C.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN
Câu 1. Cho số phức z thỏa mãn z 2 2i 1 . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z lần lượt là
A. 2 2 1; 2 2 1
B.
C. 2;1 D.
2 1; 2 1
3 1; 3 1
Câu 2.Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 4 5 . Giá trị nhỏ nhất của z lần lượt là
A.
5 B. 3 5
C. 5 5
D. 5 3
Câu 3. Trong các số phức z thỏa mãn z 3 4i z thì số phức z có môđun nhỏ nhất là
A. z
11
i
2
B. z
3
5
2i C. z 5 i
2
2
1
D. z 3 i
6
Câu 4. Trong các số phức z thỏa mãn z 2 4i z 2i thì số phức z có môđun nhỏ nhất là
A. z 2 2i B. z 2 2i C. z 2 2i D. z 2 2i
Câu 5. Trong các số phức z thỏa mãn z 3 4i z , biết rằng số phức z a bi, a, b �� có môđun
nhỏ nhất . Khi đó, giá trị của P a 2 b là
A. P
1
4
B. P
1
2
C. P
1
4
D. P
1
2
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
9
Câu 6. Trong các số phức z thỏa mãn z 1 5i z 3 i , biết rằng số phức z a bi , a, b �� có
a
môđun nhỏ nhất . Khi đó, tỉ số
bằng
b
A. 3.
B.
1
2
. C.
3
3
D. P 2
Câu 7. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 i 1 . Giá trị lớn nhất của z 1 là
A.
2 1
B.
2 1
C.
D. 1
2
Câu 8. Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 2 . Tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z i bằng
A. 5.
B. 2.
C. 1
D. 3
Câu 9. Cho số phức z thỏa mãn 2 i z 1 1 . Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z 1 bằng
A. 3
B. 2 2
C.
2
5
D. 2 3
Câu 10. Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 10 . Giá trị lớn nhất của z 1 4i bằng
A> 10
B. 10 3
C. 3 10
D. 4 10
Câu 11. Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 4 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của z 2 i . Giá trị của T M 2 m 2 là
A. T 50
B. T 64
C. T 68
D. T 16
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
10