Nâng cao kỹ năng giải toán trắc nghiệm 100 dạng bài hàm số và các bài toán liên quan – tô thị nga vấn đề 5 tiệm cận của đường cong file word

VẤN ĐỀ 5: TIỆM CẬN CỦA ĐƯỜNG CONG
I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Đường tiệm cận ngang
Định nghĩa: Đường thẳng y = y0 được gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm
cận ngang) của đồ thị hàm số y = f (x) nếu:
lim f ( x)  y0 hoặc lim f ( x)  y0
x ��
x ��
Ví dụ: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số: y 
Giải:

3x  1
x2

y  3 và lim y  3 nên đường thẳng y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị.
Vì xlim
��
x ��

2. Đường tiệm cận đứng
Định nghĩa: Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận
đứng) của đồ thị hàm số y = f (x) nếu ít nhất một trong các điểu kiện sau đây được thỏa
mãn:
lim f ( x)  �; lim f ( x)  �;

x � x0

x � x0

lim f ( x)  �; lim f ( x)  �;

x � x0

x � x0

Ví dụ: Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số: y 
Giải:

3x  1
x2

Hàm số đã cho có TXĐ là: D = R \ {-2}.
lim y  �

lim y  �

Vì x �2
và x �2
nên đường thẳng x = -2 là tiệm cận đứng của đồ thị
3. Đường tiệm cận xiên
Định nghĩa: Đường thẳng y = ax + b, a �0 được gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là
tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f (x ) nếu:
lim  f ( x)  (ax  b)   0

x ��

Hoặc

lim  f ( x)  (ax  b)   0

x ��

Ví dụ: Đồ thị hàm số y  x 

x
2x 1
2

có tiệm cận xiên là đường thẳng y = x, vì:

lim  f ( x)  x   lim

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

x

0
2x 1
x
lim  f ( x)  x   lim 2
0
x ��
x �� 2 x  1
x ��

x ��

2

DẠNG TOÁN:
TÌM TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ VÀ TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ

1. Phương pháp
y  f ( x) 

u  x
.
v  x

Tìm tiệm cận của hàm phân thức
a) Tiệm cận đứng
- Giải phương trình: v(x) = 0 � x �{xj;x2;...;xn}


u  x
 �� x  xi
x � xi v  x 

lim

- Nếu u (xi) �0 thì
là một tiệm cận đứng.
b) Tiệm cận ngang (Điều kiện: Miền xác định chứa � và bậc u(x) �bậc v(x))
lim

x ��

u  x
a�xa
v  x

- Xét

là 1 tiệm cận đứng.
c) Tiệm cận xiên (Điều kiện: Miền xác định chứa � và bậc u(x) = bậc v(x) + 1)
lim  f ( x)  (ax  b)   0 �

- x��
2. Bài tập
A. Khởi động

Tiệm cận xiên: y = ax + b.

Bài tập 1: Cho hàm số y = f(x) có
đây là khẳng định ĐÚNG?

lim f ( x)  2

x ��

và

lim f ( x)  2

x ��

Khẳng định nào sau

(A) Đồ thị đã cho không có tiệm cận ngang.
(B Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang.
(C) Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = -2 và y = 2.
(D) Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng x = -2 và x = 2.
Giải:

NHẮC LẠI ĐỊNH NGHĨA VỂ ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG:
Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng (a;+ �),(- �;b)
hoặc (- �, + �)). Đường thẳng y = y0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang)
của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trọng các điều kiện sau được thỏa mãn:
lim f ( x)  y0, lim f ( x)  y0 .

x ��

x� �

Vậy hàm số y = f(x) đã cho có hai đường tiệm cận ngang là y = -2 và y - 2.
� Chọn (C).

Bài tập 2: Cho hàm số y = f(x) có
ĐÚNG?

lim f ( x)  �, lim f ( x)  �.

x �1

x �2

Khẳng định nào sau đây là

(A) Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng.
(B) Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận đứng.
(C) Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là y = -1 và y = 2.
(D) Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là x = -1 và x = 2.
Giải:
NHẮC LẠI ĐỊNH NGHĨA VỂ TIỆM CẬN ĐỨNG:

Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đổ
thị hàm số y = f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
lim f ( x)  �; lim f ( x)  �;

x � x0

x � x0

lim f ( x)  �; lim f ( x)  �.

x � x0

x � x0


Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là x= -l và x = 2.
� Chọn (D).

Bài tập 3: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
-�

x
y’

+�

-2

-

-

+�

y

1
1

-�

Khẳng định nào sau đây là ĐÚNG?
(A) Hàm số y = f(x) xác định với mọi � R.
(B) Hàm số y = f(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 và giá trị cực tiểu bằng 1.
(C) Hàm số y = f(x) đạt giá trị lớn nhất bằng 1 và giá trị cực đại bằng 1.
(D) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = -2 và tiệm cận ngang là y = 1.
Giải:
Chọn (D)
Lưu ý: Hàm số không có cực trị và cũng không có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Bài tập 4: Cho hàm sốy = f (x) cóđồthịnhư hình vẽdưới đây:

Khẳng định nào sau đây là ĐÚNG?
(A) Hàm số y = f(x) xác định trên �.
(B) Hàm số y = f(x) đơn điệu trên �.
(C) Đồ thị của hàm số y = f(x) có tiệm cận đứng là y = 2 và tiệm cận ngang là x = -1.
(D) Đồ thị của hàm số y = f(x) có tiệm cận đứng là x = -1 và tiệm cận ngang là y = 2.
Giải:


Hàm số y = f(x) xác định trên R \{-1} � (A) sai.

Hàm số y = f(x) đồng biến trên R \{-1} � (B) sai.
Đổ thị của hàm số y = f(x) có tiệm cận đứng là x = -1 và tiệm cận ngang là y =
2
� (C) sai và (D) đúng.
� Chọn (D).

Bài tập 5:Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số hàm số
lượt là:

y

3x  2
5 x  1 lần

(A) x   1 và y  3 ;

(B) x  3 và y   1 ;

(C) x   1 và y  2 ;

(D) x  2 và y  1 ;

5

5

5

5

3

5

3

5

Giải:
3x  2

 �� Tiệm cận đứng là : x   1 .
Ta có: xlim
1 5x  1
�
5
5

3x  2 3
3
 � Tiệm cận ngang là: y  .
x �� 5 x  1
5
5
� Chọn (A).
lim

Bài tập 6: Tiệm cận đứng làtiệm cận xiên của đồthịhàm số

y

5x2  6x  2
x 1
lần lượt là:

(A)x = 1 vày = 5x – 6;

(B) x = 1 vày = 5x – 1;

(C) y = 1 vày = 5x – 6;

(D) y = 1 vày = 5x – 1.
Giải:

5x2  6 x  2
lim
 ��
x 1
Ta có: x�1
Tiệm cận đứng là: x = 1.

1
5x2  6 x  2
1
lim  f ( x )  (5 x  1)  lim
0�
 5x 1 
x �� x  1
x 1
x  1 và x ��

Ta có:

Tiệm cận xiên y = 5x – 1.
� Chọn (B).

Bài tập 7 : Sốđường tiệm cận của đồthịhàm số:
(A)0;

y

2 x
2  x là:

(B) 2;

(C) 3;
Giải:

Ta có:

lim y  lim

x �2

x �2

2 x
2 x
 �; lim y  lim
 �

x �2
x �2 2  x
2 x
.

(D) 4.


Do đóđường thẳng x = -2 làtiệm cận đứng.
2 x
 1
x ��� 2  x

lim  lim

x ���

Do đóđường thẳng y = -1 làtiệm cận ngang.
Đồthịhàm sốkhông cótiệm cận xiên.
Vậy đồthịhàm sốcóhai đường tiệm cận x = -2 vày = -1.
� Chọn (B).

Bài tập 8: Khẳng định nào là ĐÚNG trong các khẳng định dưới đây?
y

3x  1
x  7 x  12 chỉ có một tiệm cận đứng là x =3.

y

3x  1
x  7 x  12 chỉ có một tiệm cận ngang là y =3.

y

6 x 2  8x  5
4 x 2  7 x  3 chỉ có một tiệm cận đứng là x =3/2.

(A) Đồ thị hàm số
(B) Đồ thị hàm số
(C) Đồ thị hàm số

(D) Đồ thị hàm số
(3/4).

2

2

y

6 x2  8x  5
4 x 2  7 x  3 chỉ có hai tiệm cận đứng là x = -1 và x= -

Giải:
y

+ Ta có :

3x  1

 x  3  x  4 

lim f ( x)  �;lim f ( x)  ��
x �3

x �4

Tiệm cận đứng là x = 3, x = 4.

3 1
 2
3x  1
x
x 0�
lim 2
lim
x �� x  7 x  12 x ��
7 12
1  2
x x
Tiệm cận ngang là y = 0.
� Các khẳng định A vàB làsai.

y

+ Ta có:

6x2  8x  5
 x  1  4 x  3

lim f ( x)  �; lim3 f ( x)  ��

x �1

x �

4

Tiệm cận đứng là: x = -1 và x = - (3/4).
8 5
 2
6 x  8x  5
x
x 63�
lim  2
 lim
x ��
x
��
7 3
4x  7x  3
4  2 4 2
x x
2

6

Tiệm cận ngang là x = 3/2.
�

Khẳng định C làsai vàkhẳng định D làđúng.


�

Chọn D.
y

Bài tập 9: Cho (C) làđồthịhàm số

x2  2
.
3  5x  2 x2

(A) Đường thẳng x =1 làtiệm cận đứng của (C).
(B) Đường thẳng x = - (1/2) làtiệm cận đứng của (C).
(C) Đường thẳng y =1 làtiệm cận ngang của (C).
(D) Đường thẳng y =-x +1 làtiệm cận xiên của (C).
Giải:
Ta có:
lim  y  lim

x2  2
 �;
3  5x  2x2

lim  y  lim

x2  2
 �.

3  5x  2x2

x �

x �

1
2

1
2

x �

x �

1
2

1
2

Do đóx = - (1/2) làtiệm cận đứng.
x2  2
 �;
2
x �3
x �3 3  5 x  2 x
x2  2
lim y  lim

 �.
2
x �3
x �3 3  5 x  2 x
lim y  lim

Do đóx = 3 làtiệm cận đứng.
2
1 2
x2  2
x  1;
lim y  lim
 lim
2
x � �
x � � 3  5 x  2 x
x ��
5
2
3  2
x
2
1 2
x2  2
x   1.
lim y  lim
 lim
2
x � �
x � � 3  5 x  2 x

x ��
5
2
3  2
x

1
1
� lim y  lim y   � y   làtiệm cận ngang.
x � �
x ��
2
2

Đồthịhàm số không cótiệm cận xiên.
�

Chọn (B).

Bài tập 10: Gọi (C) làđồthịhàm số y 

x2  x  3
5 x 2  2 x  3

(A) Đường thẳng x = 3 là tiệm cận đứng của (C).
(B) Đường thẳng y = x + 1 là tiệm cận xiên của (C).


(C) Đường thẳng y = - (1/5) là tiệm cận ngang của (C).
(D) Đường thẳng y = - (1/3) là tiệm cận ngang của (C).

Giải:
Ta có:
x2  x  3
 �;
2
x �1
x �1 5 x  2 x  3
x2  x  3
lim y  lim
 �.
2
x �1
x �1 5 x  2 x  3
lim y  lim

Do đó x = -1 là tiệm cận đứng.
lim y  lim

x2  x  3
 �;
5 x 2  2 x  3

lim y  lim

x2  x  3
 �.
5 x 2  2 x  3

x�

x�

3
5

3
5

x�

x�

3
5

3
5

Do đóx = 3/5 làtiệm cận đứng .
1 3
1  2
x2  x  3
x x  1;
lim y  lim
 lim
2
x ��
x �� 5 x  2 x  3
x ��
2 3

5
5   2
x x
1 3
1  2
x2  x  3
x x   1.
lim y  lim
 lim
2
x ��
x �� 5 x  2 x  3
x ��
2 3
5
5   2
x x

Do đóy = - 1/5 làtiệm cận ngang.
Đồthịkhông cótiệm cận xiên
�

Chọn (C).
y

Bài tập 11: Cho đồthịhàm số(C):

1
.
x 3

Tìm mệnh đềđúng ĐÚNG trong các mệnh đềsau.

(A)(C) chỉ có một tiệm cận đứng x = 3.
(B)(C) chỉ có một tiệm cận ngang y = 0.
(C) (C) có một tiệm cận đứng x = 3 và một tiệm cận ngang y = 0.
(D) (C) không có tiệm cận.
Giải:
TXĐ: D  (3; �)
Ta có:
lim y  lim

x �3

x �3

1
 �� x  3
x3

làtiệm cận đứng của (C).


lim y  lim

x ��

�

x ��

1
 lim
x  3 x ��

1
x
3
1
x

0� y 3

làtiệm cận ngang của (C).

Chọn (C).
y

Bài tập 12: Đường thẳng nào sau đây không phải làtiệm cận của đồthị hàm số: (C):
(A) x = 1;

(B) x = 2;

(C) y = 0;

(D) y = -x + 1.

x
?
 x  3x  2

2

Giải:
TXĐ:

D  �/  1; 2 .

Ta có:
lim y  lim

x �1

x �1

lim y  lim

x �2

x �2

x
x
 lim
 �� x  1
 x  3x  2 x �1  x  1   x  2 
2

làTCĐ.

x

x
 lim
 �� x  2
 x  3 x  2 x�2  x  1   x  2 
2

1
x
x
lim y  lim
 lim
0� y0
x ��
x ��  x 2  3 x  2
x ��
3 2
1   2
x x

làTCĐ.

làTCN.

Đồthị(C) không cótiệm cận xiên
�

Chọn (D).

B. Vượt chướng ngại vật
y

Bài tập 13: Cho hàm số
phương trình của hàm sốlà:

ax  1
.
x  b Nếu đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = -2 và đi qua điểm A(1;3) thì
2x 1
;
2
x
3
2x 1
( D) y 
.
x2
( B) y 

10 x  1
( A) y 
;
x2
2 x  1
(C ) y 
;
x2

Giải:
TCĐ : x  b � b  2 � b  2.

Khi đó y 

ax  1
.
x2


Với đồthịđi qua A(1;3) nên 3 
Vậy y 
�

a 1
a 1
� 3
� a  1  9 � a  10.
1 2
3

10 x  1
.
x2

Chọn (A).

Bài tập 14: Cho hàm số y 

ax  1
. Nếu đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 2 và tiệm cận đứng x= 1/3
bx  1

thìcác giátrịcủa a vàb lần lượt là:
(A)-1/6 và-1/2;

(B) -6 và-3;

(C) -3 và-6;

(D) -1/2 và-1/6.
Giải:

�a
2
�
a  6
�
�b
�
�
�
Theo đề bài ta có: 1 1
b  3
�
�
 
�b 3

�

Chọn (B).
y

Bài tập 15: Điều kiện của m đểđồthịhàm số

3x 2
x  m cótiệm cận là:

(A) m = 0;
(C)

(B)

m ��;

m �0;

(D) Không cógiátrịcủa m.
Giải:

+ Nếu m = 0 thìy = 3x x �0 � đồthịkhông cótiệm cận.
3x 2
 ��
m �0 x� m x  m
+ Nếu
thì
Tiệm cận đứng x = - m.
lim

Vậy với m �0 thìđồthịhàm sốluôn cótiệm cận.
�

Chọn (B).
y

Bài tập 16: Tất cảgiátrịcủa m đểđồthịhàm số

3x 2  6 x  m
xm
cótiệm cận đứng là:

(A) m = 0 vàm = 5/3;

(B) m = 5/3;

(C) m = 0;

(D) m ��.
Giải:

Đồthịhàm sốcótiệm cận đứng

� g ( x)  3 x 2  6 x  m  0

cónghiệm x = m


m0
�
�
� g (m)  m  3m  5   0 �
5.

�
m
� 3
�

Chọn (A).

Bài tập 17: Đểđồthịhàm số

 x2  2 x  m
f ( x) 
xm

cótiệm cận xiên đi qua A( 2;3) thì:

(A)m = 3;

(B) m = 2;

(C)m = -2;

(D) Không cógiátrịcủa m.
Giải:

f ( x)   x  2  m 

Ta có:

Với

Thì

m �0
�
m  m 2 �0 � m  1  m  �0 � �
m �1
�
� m  m2 �
lim �
f
(
x
)


x

2

m
�

lim



� 0 �
� x���
x ���
� xm �

Ta có:
�

m  m2
.
xm

Tiệm cận xiên : y = -x + 2 + m

A  2;3 �TCX � 3  2  2  m � m  3.

Chọn (A).

C. TĂNG TỐC
Bài tập 18: Tìm tiệm cận của đồthịhàm số

y  3 x  2 x 2  1.

(A)y = -3x;

(B) y = -2x;

(C)y = -3x vày = -2x;

(D) y = - x vày = -5x.
Giải:

Xét giới hạn :

x
2lim
x ��

2

lim �
f ( x )   3 x  2 x  �
2
� lim
x ���
x ��

 1  x

2

x2  1  x

 2.lim

x ��

1
x2 1  x

Vậy đồthịhàm sốcótiệm cận xiên là



x2 1  x



 3.0  0

y  3 x  2 x .

Với x � � ta cótiệm cận xiên bên phải lày = -3x + 2x hay y = -x.
Với x � � ta cótiệm cận xiên bên trái lày = -3x -2x hay y = - 5x.
�

Chọn (D).


y  f ( x)  x  4 x 2  4 x  2.

Bài tập 19: Tìm tiệm cận của đồthịhàm số
(A)y = x;

(B) y = 3x +1;

(C)y = x và y = 3x +1;

(D) y = x + 1 vày = - 3x – 1.
Giải:

Xét giới hạn:
 lim

�4 x2  4x  2  2x  1 �
lim �
f (x)   x  2 x  1  �
� lim
x ���
x ���
�

4x2  4x  2  2 x  1

x ��

2

4 x2  4 x  2  2 x  1

 lim

x ��

1
4x2  4x  2  2x  1

2

0

4 x2  4x  2  2x  1

Vậy đồthịhàm sốcótiệm cận xiên là

y  x  2x  1 .

Với x � � ta cótiệm cận xiên bên phải lày = -x + 2x + 1 = x +1
Với x � � ta cótiệm cận xiên bên trái lày = -x - 2x – 1 = - 3x - 1
Bài tập 20: Cho đồthịhàm số(C):

y  3x  1   x 2  2 x  3.

Khẳng định nào sau đây làĐÚNG?

(A) (C) không có tiệm cận.
(B) (C) có tiệm cận xiên y = 3x - 1.
(C) (C) có tiệm cận xiên y = 3x.
(D) (C) có hai tiệm cận xiên y = 3x - 1 và y = 3x.
Giải:
Điều kiện :

 x 2  2 x  3 �0 � TXĐ : D   1,3  *

y  3 x  1  4   x  1 .
2

Ta có :

�
3.  1 1 0
4
�y
� 4 �y �10.

�
2
y
�
3.3

1

4

0

10
Với x thõa mãn (*) thì �
�

Tập giátrịcủa hàm số

� 4;10 .

Vì tập xác định và tập giá trị của hàm số đều không chứa � nên đồ thị không có nhánh chạy ra vô tận và vì
thếnókhông cótiệm cận .
�

Chọn (A).
y

Bài tập 21: Cho (C):
(A)1;

x 1
x2  9

.

Cóbao nhiêu khẳng định ĐÚNG?

(B) 2;

(C) 3;

(D) 4.


(A) (C) có hai đường tiệm cận đứng.
(B) (C) có hai đường tiệm cận ngang.

(C) Tiệm cận đứng bên trái là x = -3.
(D) Tiệm cận đứng bên phải là y = 1.
Giải:
TXĐ : x 2  9  0 � D   �; 3 � 3; � .

� x 1 �
lim �
� ��
2
x �3
� x 9 �
TCĐ bên trái x = -3.
� x 1 �

lim �
� ��
2
x �3
� x 9 �
TCĐ bên phải x = 3.

lim

x ��

x 1
x2  9

 lim

x ��

x 1
x
1

9
x2

1
x �
�
x �� x
1

�

 lim

x � �
x � �

Suy ra với x � � ta có TCN bên phải y = 1.
Với x � �ta có TCN bân trái y = -1.
Vậy (A), (B), (C) đúng và (D) sai.
�

Chọn (C).

Bài tập 22: Cho đồthịhàm số (C):

y  f ( x )  3 x 3  9 x 2  x  1.

Khẳng định nào sau đây SAI?

(A) (C) không có tiệm cận đứng.
(B) (C) không có tiệm cận ngang.
(C) (C) không có tiệm cận xiên.
(D) (C) có tiệm cận xiên là y = x + 3.
Giải:
Hàm số liên tục trên R nên (C) không có tiệm cận đứng.
lim f ( x)  � nên hàm số không có tiệm cận ngang.
x ��

Giả sử y = ax + b là tiệm cận xiên. Khi đó:

f ( x)
x3  9 x 2  x  1
9 1 1
3
a  lim
 lim
 lim 3 1   2  3  1.
3
x �� x
x ��
x
��
x
x x
x
b  lim  f ( x)  ax   lim
x ��

x ��

x

x

3

3

 9 x 2  x  1  x 3

 9 x 2  x  1  x 3 x 3  9 x 2  x  1  x 2
2

1 1
9  2
x x

 lim

2

3

9 1 1
� 9 1� 3
1   3 � 1   2  3  1
�
x x
x
� x x �



9
3
3

Vậy hàm số có tiệm cận xiên là y = x + 3.

�

Chọn (C).

Bài tập 23: Cho (Cm) y  f (x) 

2 x 2  mx  2
. Để đường tiệm cận xiên tạo với 2 trục tọa độ
x 1

một tam giác có diện tích bằng 4 thì:
(A)m = 2;

(B) m = -6;

(C)m = 2 và m = -6;

(D) m = 0 và m = -4.
Giải:

Ta có: y  f ( x)  2 x  m  2 

m
.
x 1
m

�f ( x)   2 x  m  2  �
0
Với m �0 ta có lim

� lim
x ���
x �� x  1

Nên (Cm) có tiệm cận xiên là (dm) : y = 2x + m+ 2
�m  2 �
;0�
� 2
�

Ta có :  d m  �Oy  A  0; m  2  ;  d m  �Ox  B �
1
2

Khi đó: S OAB  OA.OB 

1
1
2
y A . xB   m  2   4
2
4

m2 4
m2
�
�
2
�  m  2   16 � �
��

.
m  2  4
m  6
�
�
�

Chọn (C).

Chú ý: Tiệm cận xiên tạo với hai trục tọa độ 1 tam giác vuông tại gốc O.
Bài tập 24: Cho (C):

y  f ( x) 

2 x2  x  1
.
x 1
Khẳng định nào sau đây là đúng?

(A) Tích các khoảng cách từ M �(C ) đến 2 tiệm cận luôn luôn không đổi và bằng
2
5.

(B) Tích các khoảng cách từ M �(C ) đến 2 tiệm cận thay đổi phụ thuộc vào vị trí
của điểm M.


(C) Tích các khoảng cách từ M �(C ) đến 2 tiệm cận luôn luôn không đổi và bằng 4/5.
(D) Tích các khoảng cách từ M �(C ) đến 2 tiệm cận luôn luôn không đổi và bằng 2/5.
Giải:

Ta có:

lim 

x �1

2 x2  x  1
 ��
x 1
TCĐ là: x = -1.

f ( x)  2 x  1 

2
2
� lim �
f ( x)   2 x  1 �
 lim
0�
�
�
x
��
x
��
x 1
x 1
TCX là: y = 2x -1.

� 2a 2  a  1 �

� 2a 2  a  1 �
M�
a;
�
C
�
M
a;


�
�
�
a 1 �
a 1 �
�
�
Gọi
Khoảng cách từ
đến TCĐ là:
d1  xM  1  a  1

� 2a 2  a  1 �
d2 
M�
a;
�
a 1 �
Khoảng cách từ �
đến TCX là:

d1.d 2  a  1 .

Ta có:
�

2a 2  a  1
2a 
1
a 1
22   1

2



2
5 a 1

2
2

5 a 1
5

Chọn (A).

D. VỀ ĐÍCH
y

Bài tập 25: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số
ngang.
(A) Không cógiátrịthực nào của m thõa mãn yêu cầu của đềbài
(B) m = 0.
(C) m > 0.
(D) m < 0.
Giải:
�
+ Với m =0 thìy = 2x +3
đồthịkhông cótiệm cận ngang.
y

+ Với m < 0 thì
lim m 
x ��

1
x2

2x  3

mx  1
2



2x  3

1
x m 2

x

2x  3
mx 2  1

.

2x  3
2x  3
 2; lim
2
x ��
x ��
x
x
lim

Ta thấy:
không tồn tại khi m < 0 và
�
đồthịhàm sốkhông cótiệm cận ngang khi m < 0.
+ Với m > 0 thìta có:

có hai tiệm cận


lim y  lim

x ��

2x  3

x ��

mx 2  1

 lim

x � �

2x  3
1
x m 2
x

3
x  2 �y 2
1
m
m
m 2
x

2 

 lim

x ��

là tiệm cận

ngang bên trái.
lim y  lim

x ��

x ��

2x  3
mx  1
2

 lim

x ��

2x  3
1
x m 2
x

 lim

x � �

3
x  2 �y 2
m
m
1

m 2
x
2

là tiệm cận ngang bên

phải.
�

Chọn (C).
y  f ( x) 

Bài tập 26: Cho (C):
dưới đây?
(A)1;

 x 2 cos   2 x sin   1
.
x2
Có bao nhiêu khẳng định SAI trong các khẳng định

(B) 2;

(C) 3;

(D) 0.

(A)Với mọi giátrịcủa  thìx = -2 luôn làtiệm cận đứng.

(B) Để(C) cótiệm cận xiên thì

cos  �0
�
�
� � � 1
sin �
  ��
.
�
� � 4� 4 2

(C) Đểkhoảng cách đến gốc tọa độđến tiệm cận xiên đạt Max thì   arctan 3  k  .
Giải:
+ Xét khẳng định (A):
Ta có:
�

 x 2 cos   2 x sin   1
lim
 0 � x  2
x �2
x2

luôn làtiệm cận đứng.

Khẳng định (A) đúng.

+ Xét khẳng định (B):
Ta có:

y  f  x    x cos   2  sin   cos   

Đồthị(C) cótiệm cận xiên
�

Khẳng định (B) đúng.

+ Xét khẳng định (C):

1  4  sin   cos  
x2

cos  �0
�
cos  �0
�
�
��
� � �  � 1  *
1  4  sin   cos   �0
sin �
  ��
�
�
� � 4� 4 2


Với điều kiện (*) ta có:
�

1  4  sin   cos   �
�
lim �
f ( x)    x cos   2  sin   cos    �
 lim �
� 0
�
�
x ��
x ��
x2
�
�

Tiệm cận xiên của (C) là:

   : y   x cos   2  sin   cos  

Khoảng cách từgốc tọa độO (0;0) đến TCX:
d  O;     

2  sin   cos  

2 1.sin  


cos 2   12
1
. 2 cos 
2

cos 2   sin 2 

2

�
�

là:

2 sin   cos 
2 cos 2   sin 2 

� 1� 2
1 �
cos   sin 2  

�
� 2�

 6
cos 2   sin 2 
sin 
1

 2 � tan   2 �   arctan 2  k 
1
2 cos 
2

�

� Maxd  O;      6 �
�



   : y   x cos   2  sin   cos  

Khẳng định (C) làsai.
Chỉcókhẳng định (C) là sai.
Chọn A.

Chúý: Công thức tính khoảng cách từđiểm M( x0; y0) đến đường thẳng

   : ax  by c  0 la #: d  M ;   

ax0  by0  c
a2  b2

.

x2  2 x  2
y  f ( x) 
.
x

1
Bài tập 27: Cho (C):
Giả sử M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm của

2 đường tiệm cận lànhỏnhất. Khi đó, hoành độcủa điểm M là:
1
;
2
1
(C)1  4 ;
2
( A)1 

1
1
hoăc1  4 ;
2
2
(D)0 hoăc 2.

4

(B)1 

4

Giải:
lim

Ta có:

x �1

x2  2 x  2
 �� TCĐla #
: x  1.
x 1

f ( x)  x  3 

1
1
� lim �
f  x    x  3 �
 lim
 0 � TCXla #
: y  x  3.
�
�
x
��
x
��
x 1
x 1

Giao điểm A của 2 đường tiệm cận cótọa độlànghiệm của hệphương trình:
�x  1
�x  1
��
� A  1; 4 
�
�y  x  3 �y  4

Gọi

� a 2  2a  2 �
M�
a;
� C  �
�
a 1 �
�

Khoảng cách từM đến giao điểm của 2 tiệm cận là:
2

2

�a 2  2a  2
�
MA   a  1  �
 4 �
� a 1
�

�a 2  2a  2 �
 a  1  �
�
� a 1 �

2

2

2

2
�
 a  1  1�
2
�
�  2 a 1 2  1  2 � 2 2  2
  a  1 


2
2
 a  1
 a  1

2 2 2

Vậy MA nhỏnhất bằng
2  a  1 

1

2

�

khi:

�  a  1 
4

 a  1

2

1
1
1
2
�  a  1 
� a  1 �4 .
2
2
2

Chọn (B).
y

mx 2   m 2  m  1 x  m 2  m  2
xm

Bài tập 28: Cho (C ) :
cận xiên:
m

 m �0  .

Khoảng cách từ gốc tọa độ đến tiệm

(A)Không lớn hơn 2.

(B) Bằng 2.

(C) Không nhỏhơn 2.

(D) Lớn hơn 2.
Giải:

y  mx  1  m 

Ta có:

2
, vi #
m �0
xm

nên TCX là: y = mx + 1 – m.

Khoảng cách từgốc tọa độO (0; 0) đến TCX (mx + 1 – m = 0) là:
d

m.0  0  1  m
m 2   1

2



1 m
m2  1

1.1   1 .m �
�
�
�
2



m2  1

2
�
12  1 �
.�
12  m 2 �
�
�   ��
�
 2
2
m 1

Suy ra khoảng cách từgốc tọa độđến tiệm cận xiên không lớn hơn 2.
�

Chọn (B).


Thiên đường hoa ởcông viên Hitachi Seaside

Công viên Hitachi Seaside là một trong những điểm du lịch "vàng" của đất nước Nhật Bản. Với
diện tích 3,5ha, nơi đây có rắt nhiêu ngọn đồi, mỗi ngọn đồi là mỗi loại hoa khác nhau, thay phiên khoe
sác suốt 4 mùa trong năm. Công viên này đặc biệt nổi tiếng với hoa nemophilas “ loài hoa năm cánh màu
xanh trong suốt. Trong mùa xuân, hơn 4,5 triệu cây hoa nemophilas xanh sẽ đua nhau nở rộ trong công
viên tạo nên cảnh đẹp “ độc nhất vô nhị”.