4 NB TH BIỂU DIỄN CUNG LG

NHẬN BIẾT- THÔNG HIỂU : BIỂU DIỄN CUNG TRÊN ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC
Câu 1: Trên đường tròn định hướng
�

A. Mỗi cung lượng giác AB xác định một góc lượng giác có tia đầu OA , tia cuối OB .
�

B. Mỗi cung lượng giác AB xác định hai góc lượng giác có tia đầu OA , tia cuối OB .
�

C. Mỗi cung lượng giác AB xác định bốn góc lượng giác có tia đầu OA , tia cuối OB .
�

D. Mỗi cung lượng giác AB xác định vô số góc lượng giác có tia đầu OA , tia cuối OB .
Hướng dẫn giải
�

Trên đường tròn định hướng cho một cung lượng giác AB . Một điểm M chuyển động trên
�

Câu 2:

đường tròn từ A tới B tạo nên cung lượng giác AB nói trên. Khi đó tia OM quay xung quanh
gốc O từ vị trí OA tới vị trí OB . Ta nói tia OM tạo ra một góc lượng giác có tia đầu là OA , tia
cuối là OB . Do đó có vô số góc lượng giác có tia đầu OA , tia cuối OB .
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Mỗi cung hình học AB đều là cung lượng giác.
�

B. Mỗi cung hình học AB xác định duy nhất cung lượng giác AB .
�

�

C. Mỗi cung hình học AB xác định hai cung lượng giác AB và BA .
�

D. Mỗi cung hình học AB xác định vô số cung lượng giác AB .
Hướng dẫn giải
Lý thuyết:“Với hai điểm A , B đã cho trên đường tròn định hướng ta có vô số cung lượng giác có
�

điểm đầu A , điểm cuối B . Mỗi cung như vậy đều được kí hiệu là AB ”.
Câu 3:

Trên đường tròn lượng giác,
A. cung lượng giác có điểm đầu A và điểm cuối B chỉ có một số đo.
B. cung lượng giác có điểm đầu A và điểm cuối B chỉ có hai số đo sao cho tổng của chúng bằng
2
C. cung lượng giác có điểm đầu A và điểm cuối B chỉ có hai số đo hơn kém nhau 2 .
D. có vô số cung lượng giác có điểm đầu A và điểm cuối B , số đo của chúng sai khác nhau 2 .

Câu 4:

Trên đường tròn lượng giác,
A. góc lượng giác có tia đầu OA , tia cuối OB chỉ có một số đo.
B. góc lượng giác có tia đầu OA , tia cuối OB chỉ có hai số đo sao cho tổng của chúng bằng 2 .
C. góc lượng giác có tia đầu OA , tia cuối OB chỉ có hai số đo hơn hoặc kém nhau 2 .
D. góc lượng giác có tia đầu OA , tia cuối OB có vô số số đo sai khác nhau 2 .

Câu 5:

0
Trên đường tròn lượng giác với điểm gốc A , cung lượng giác có số đo 55 có điểm đầu A xác
định
A. chỉ có một điểm cuối M .
B. đúng hai điểm cuối M .
C. đúng 4 điểm cuối M .
D. vô số điểm cuối M .


Hướng dẫn giải
Vì cung lượng giác có số đo xác định, điểm đầu A xác định nên chỉ có một điểm cuối M .
�

Câu 6:

Trên đường tròn lượng giác với điểm gốc là A , cung AN , có điểm đầu là A , điểm cuối là N
A. chỉ có một số đo.
B. có đúng hai số đo.
C. có đúng 4 số đo.
D. có vô số số đo.
Hướng dẫn giải
�

Trên đường tròn lượng giác với điểm gốc là A , cung AN , có điểm đầu là A , điểm cuối là N có
vô số số đo, các số đo này sai khác nhau 2 .
�

Câu 7:

0  

Trên đường tròn lượng giác, cho điểm M xác định bởi sđ AM   với
điểm đối xứng với M qua trục tung. Khi đó, N là điểm biểu diễn của các
cung lượng giác cho bởi công thức nào dưới đây ?
    k 2  k ��
    k 2  k ��
A.
.
B.
.


   k 2  k ��
2
C.
.


.
2 Gọi N là


   k 2  k ��
2
D.
.

Hướng dẫn giải.
�

�
�
AON  AOA�
 NOA�
  
Phân tích phương án nhiễu.
PA nhiễu (B): nhớ không rõ bài dạy của giáo viên, chỉ nhớ kết quả có liên quan đến  và chọn
   ( A đi theo chiều    đến N sẽ nhanh nên chọn    ).
PA nhiễu (C):không lấy điểm A làm điểm gốc để biểu diễn cung lượng giác, thấy
�   
BON
�
�
�
�
BON  NOA�
 90�mà NOA�
 AOM nên tính ra
2
.

   k 2
�
�
PA nhiễu (D): quan sát hình vẽ thấy góc MON gần với góc AOM  90�nên chọn 2
.
Câu 8:

Gọi M là điểm biểu diễn của cung lượng giác   300�. Hãy cho biết điểm M đó thuộc góc
phần tư thứ mấy của hệ trục toạ độ ?

 IV  .
 III 
 II  .
 I .
A. Góc
B. Góc
C. Góc
D. Góc
Hướng dẫn giải.
.
Phân tích phương án nhiễu.
PA nhiễu (B):có thể có học sinh không biết gì cả, chỉ phán đoán cung

  300�thì nằm ở góc phần tư thứ  III  .
PA nhiễu (C): Xét thấy 300� 90�nên cho rằng   300�là góc
không nhọn, suy diễn đó là góc tù.
   là chiều cùng chiều kim đồng hồ nên biểu diễn sai.
PA nhiễu (D): nhớ nhầm chiều


Câu 9:

Trên đường tròn lượng giác có điểm gốc là A . Điểm M thuộc đường tròn sao cho cung lượng
giác AM có số đo 45�. Gọi N là điểm đối xứng với M qua trục Ox , số đo cung lượng giác
AN bằng
A. 45�.

B. 315�.

C. 45�hoặc 315�.

, k �Z .
D. 45� k 360�

Hướng dẫn giải.
�
Vì số đo cung AM bằng 45�nên AOM  45�, N là điểm đối xứng với
AON  45�. Do đó số đo cung lượng giác AN
M qua trục Ox nên �
, k �Z .
bằng 45�nên số đo cung lượng giác AN là 45� k 360�

Câu 10: Trên đường tròn lượng giác với điểm gốc là A . Điểm M thuộc đường tròn sao cho cung lượng
giác AM có số đo 60�. Gọi N là điểm đối xứng với điểm M qua trục Oy ,
số đo cung lượng giác AN là
A. 120�.

B. 240�.

C. 120�hoặc 240�
.

, k �Z .
D. 120� k 360�

Hướng dẫn giải.
�
�
�
Ta có AON  60�, MON  60�nên AON  120�. Khi đó số đo cung AN

bằng 120�.
Câu 11: Trên đường tròn lượng giác với điểm gốc là A . Điểm M thuộc đường tròn
sao cho cung lượng giác AM có số đo 75�. Gọi N là điểm đối xứng với
điểm M qua gốc tọa độ O , số đo cung lượng giác AN bằng
A. 255�
.
B. 105�.
C. 105�hoặc 255�
.

, k �Z .
D. 105� k 360�

Hướng dẫn giải.
�
�
Ta có AOM  75�, MON  180�nên cung lượng giác AN có số đo bằng
105� k 360�
, k �Z .
Câu 12: Trên đường tròn lượng giác với điểm gốc là A , điểm M thuộc đường tròn sao cho cung lượng

�

�

giác AM có số đo 135�. Gọi N là điểm đối xứng của M qua trục Oy , số đo cung AN là
A. 45�.
B. 315�.
C. 45�hoặc 315�.

, k �Z .
D. 45� k 360�


Hướng dẫn giải.
Vẽ sơ bộ hình biểu diễn và xác định vị trí của N ,.
, k �Z .
từ đó chọn đáp án D. 45� k 360�

 

5

25
19



6 ,
3,
3 ,
6 . Các cung

Câu 13: Cho bốn cung (trên một đường tròn lượng giác):
nào có điểm cuối trùng nhau?
A.  và  ;  và  . B.  và  ;  và  . C.  ,  ,  .

D.  ,  ,  .

Hướng dẫn giải

C1: Ta có:     4 � 2 cung  và  có điểm cuối trùng nhau.

    8 � hai cung  và  có điểm cuối trùng nhau.
C2: Gọi A, B, C , D là điểm cuối của các cung  ,  ,  , 
Biểu diễn các cung trên đường tròn lượng giác ta có B �C , A �D � đáp án B.


Câu 14:
có số đo bằng 5 . Hỏi trong các số sau, số nào là số đo của một
góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối?
6
11
9
31

5 .
A. 5 .
B.
C. 5 .
D. 5 .

 OA, OM 
Cho góc lượng giác

31 
  6  3.2
� Chọn D.
5
Hướng dẫn giải Ta có: 5
Câu 15: Cung  có điểm đầu là A và điểm cuối là M thì số đo của  là

3
3
 k , k �Z

 k , k �Z
A. 4
.
B. 4
.
3
3
 k 2 , k �Z

 k 2 , k �Z
C. 4
.
D. 4
.
Hướng dẫn giải
OB�
Ta có OM là phân giác góc A�

� �
� MOB
 45�� �
AOM  135�
� góc lượng giác

hoặc

 OA, OM  

 OA, OM   

3
 k 2 , k �Z
4
(theo chiều âm).

5
 k 2 , k �Z
4
(theo chiều dương).

Câu 16: Cung số đo 30 rad có điểm cuối trên ĐTLG gần với điểm cuối của cung nào sau đây?
A. 4,867 .
B. 4,9 .
C. 4,87 .
D. 4,86 .
HDG: 30 �8.  4,867


Câu 17: Trong các cung có số đo



29
22 6 41

7 ,

7 , 7 , 7 . Số cung có điểm cuối trên đường tròn lượng

giác trùng với điểm cuối của cung
A. 1 .
B. 2 .
HDG:






7 là
C. 3 .

D. 4 .

29

22

6

41

   4 ; 
   3 ;
  ;
   6
7

7
7
7
7
7
7
7

Vậy, có 2 cung



29 41
;
7
7 .

39 m
Câu 18: Có bao nhiêu giá trị của m �Z để điểm cuối của 2 cung 7 , 9 trùng nhau trên ĐTLG?
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. vô số.
HDG: Hai cung có điểm cuối trùng nhau khi
m 39
m
39
351
k �Z :


 k 2 �  2k 
� m  18k 
9
7
9
7
7 ( vô lý vì m, k �Z ).
Vậy,không có giá trị m �Z thoả mãn.
Câu 19: Cho hai điểm M , N trên ĐTLG, biết OMB�và ONB�là các tam giác đều.
y
Cung lượng giác  có điểm đầu là A và điểm cuối trùng với B hoặc M hoặc N . Tính số đo của
B 
cung lượng giác
.




   k , k �Z
    k , k �Z
2
6
3
A.A� 2
.A
B.
.
O
x


2

2
  k
, k �Z
  k
, k �Z
2
3
6
3
C.
.
D.
.
M

N

Hướng dẫn giải

B�

+ Cung  có điểm đầu là A và điểm cuối trùng với B nên




2.

2 �
2
2

2
�
AM  �
AB 
AN  �
AM 
�   k
, k �Z
3 ,
3 nên chu kì của cung  là 3
2
3
+
.
y
Câu 20: Cho L , M , N , P lần lượt là điểm chính giữa các cung AB , BC , CD , DA . Cung lượng giác 
B
M
A�

N

L

có điểm đầu trùng với A và số đo
A. L hoặc N A.

B.O M hoặc P . x
C. M hoặc N .
D. L hoặc P .
P

B�

 

3
 k , k �Z
4
. Điểm cuối của  ở đâu?


Câu 21: Cung nào sau đây có điểm cuối trùng với B hoặc B�
?


   k 2 , k �Z
    k 2 , k �Z
2
2
A.
.
B.
.
, k �Z .
, k �Z .
C. a  90� k 360�

D. a  –90� k180�
Câu 22: Cung lượng giác  có điểm đầu là A và điểm cuối trùng với một trong bốn điểm M , N , P , Q .
y của  là
Số đo
B
a  45� k180�
, k �Z .
N A.
M

A�

P

, k �Z .
B. a  135� k 360�

A
O 
 k , xk �Z
4
4
C.
.


  Qk , k �Z
2
D. B�4
.

�
Hướng dẫn giải + sđ AM  45�.




   k , k �Z
4
2
+ Để các điểm cuối tiếp theo là N , P , Q thì chu kì là 2 �
33
Câu 23: Điểm cuối của cung 4 trùng với điểm cuối của cung nào sau đây?
5
3
7
A. 12 .
B. 10 .
C. 4 .


D. 4 .

1989
3 trùng với điểm cuối của cung nào sau đây?
Câu 24: Điểm cuối của cung

4
5
A. 3 .

B. 3 .
C.  .
D. 3 .
2017
5
Câu 25: Điểm cuối của cung
trùng với điểm cuối của cung nào sau đây?
2
7
3
3
A. 5 .
B. 5 .
C. 5 .
D. 5 .
Câu 26: Lục giác ABCDEF đều nội tiếp đường tròn lượng giác có gốc là A , các đỉnh lấy theo thứ tự đó
và các điểm B, C có tung độ dương. Khi đó góc lượng giác có tia đầu OA , tia cuối OC bằng


A. 120�.
B. 240�.
C. 120�hoặc 240�.
, k �Z .
D. 120� k 360�
Hướng dẫn giải
�
Theo bài ra ta có AOC  120�nên góc lượng giác có tia đầu OA , tia
, k �Z . Chọn D.
cuối OC có số đo bằng 120� k 360�

Câu 27: Tập hợp các cung lượng giác nào dưới đây có các điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác tạo
thành 3 đỉnh của một tam giác đều ?
2
�
�
�
�
, k ���
� k
�  k , k ���
3
A. �4
.
B. �3
.

3
�
�
, k ���
� k
2
D. �5
.
Hướng dẫn giải
2
 k
k ��, n ��
n
Cách 1:(Theo kinh nghiệm) họ các cung lượng giác dạng

luôn được biểu
n
n


diễn bởi đỉnh của một
giác đều trong đó có 1 đỉnh biểu diễn cho ).
Cách 2: (Biễu diểm từng họ cung lượng giác được cho)
Phân tích phương án nhiễu
PA nhiễu (B): không nắm quy luật cũng không biết biễu diễn 1 họ cung lượng giác theo công thức


�
�
�  k , k ���
3
C. �6
.






� 60�
cho trước, quan sát đáp án thấy 3
, hiểu nhầm số đo này có liên quan đến điều kiện về tam
giác đều được nêu trong câu dẫn.
2


k
k
PA nhiễu (C): có biết quy luật về các điểm biễu diễn nhưng không nhớ rõ giữa 3 và 3 .

3
PA nhiễu (D): không biết già cả, chon tuỳ tiện dựa vào số 3 trong 2 (nghĩ rằng con số 3 đó có
liên quan đến số 3 của 3 góc bằng nhau đối với tam giác đều).

Câu 28: Cho k là một số nguyên. Trong các cung lượng giác dạng





 k ,    k 2
2
2
,

3
 k 4
B  0;1
2
. Cung nào luôn được biểu diễn bởi điểm
trên đường tròn lượng giác?
A. Chỉ có  và  .
B. Chỉ có  .

 

C. Chỉ có  và  .

D. Chỉ có  .
Hướng dẫn giải




 k  k ��
B  0;1
B�
 0; 1 .
2
được biểu diễn bởi
và

Ta có

   k 2  k ��
B  0;1
2
được biểu diễn bởi điểm
.


3
 k 4
B  0;1
2
được biểu diễn bởi điểm

.
Phân tích phương án nhiễu
PA nhiễu (B): ghi nhớ được điểm B là điểm biểu diễn cho các cung dạng  còn  thì có đến 2
điểm biểu diễn. Chính vì nhớ rõ dạng của  nên ít thận trọng với các cung của họ  và có thể
3

không nhận dạng được 2 cũng biểu diễn bởi điểm B.

PA nhiễu (C): chỉ dựa vào cung 2 biễu diễn bởi điểm B mà không quan tâm số hạng chứa k .

PA nhiễu (D): chỉ dựa vào cung 2 nên đoán chọn  hoặc  là đúng. Tuy nhiên dạng của  và
 quá giống nhau nên nghĩ rằng sẽ có 1 họ cung không đúng. Chọn  .

 