vấn đề 1 giải bpt

Chng IV BT-BPT
Ch 03: Bt Phng Trỡnh H Bt Phng Trỡnh mt n
Vn 01 Gii bt phng trỡnh

( 1)

Gii bt phng trỡnh dng ax + b< 0 .


Nu a= 0 thỡ bt phng trỡnh cú dng 0x + b< 0 .
Vi b< 0 thỡ tp nghim ca bt phng trỡnh l S = Ă .
Vi b 0 thỡ tp nghim ca bt phng trỡnh l S = ặ.
ổ
b
bử
Nu a> 0 thỡ ( 1) x ữ.
- Ơ ;- ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố
a
aứ
ổb
ử
b
Nu a< 0 thỡ ( 1) x >suy ra tp nghim ca bt phng trỡnh l S = ỗ
ữ
- ;+Ơ ữ
ỗ

ữ.
ỗ
ố
ứ
a
a
Cỏc bt phng trỡnh dng ax + b> 0, ax + bÊ 0, ax + b 0 c gii hon toỏn tng t.

NHN BIT THễNG HIU
Cõu 1.

Trong cỏc bpt sau, bpt no cú th coi khụng phi l bpt mt n?
A. 2 x y + 1 > 0 .

Cõu 2.

B. 2 x 1 < 0 .

Nghim ca bt phng trỡnh sau:
ổ

C. x 2 + x 2 > 0 .

4ử

ổ

B. S = ỗỗỗ- Ơ ;- ỳ
.
5ỳ

ố
ỷ

ộ 4

ữ
D. S = ỗỗỗ- ;+Ơ ữ
ữ.
ữ
ố 5
ứ

ử

ổ4

A. S = ( - Ơ ;- 5) .
Cõu 4.

Cõu 5.

B. S = ( - 5;+Ơ ) .

Nghim ca bt phng trỡnh sau: ( 1A. S = ( - Ơ ;1-

2

C. S = ( +Ơ ;1-

2ự

ỳ
ỷ.

C. S = ộ
ở- 5;+Ơ ) .

)

1B. S = ộ
ờ
ở

D. S = ( 12

Nghim ca bt phng trỡnh sau: ( x + 3) ( xử

ộ1

ử

2

3 +2
ổ

1 ử

ổ

1 ự

ỳ
D. S = ỗỗỗỗ- Ơ ;
ố
2 3ỳ
ỷ

Nghim ca bt phng trỡnh sau:
ử

)

).
2;+Ơ ) .

2;+Ơ

ữ
ữ
B. S = ỗỗỗỗ- Ơ ;
ữ.
ố
ứ
2 3ữ

ữ
;+Ơ ữ
C. S = ờ
.
ữ

ờ2 3
ữ
ứ
ở

ổ 11

D. S = ( - Ơ ;- 5ự
ỷ.

2 x < 3- 2 2

).

ổ1

ử

3x + 5
x+ 2
- 1Ê
+x
2
3

ữ
;+Ơ ữ
A. S = ỗỗỗỗ
ữ
ữ.

ố2 3
ứ

Cõu 6.

4ự

ữ
A. S = ỗỗỗ- Ơ ;- ữ
ữ.
ữ
5ứ
ố

Nghim ca bt phng trỡnh sau:

x 1
0.
2x + 3

x+ 2
- x + 1> x + 3
3

ữ
- ;+Ơ ữ
C. S = ờ
.
ữ
ữ

ờ
ứ
ở 5

Cõu 3.

D.

ộ 11

x +1 x + 2 x + 3
x
+
+
1+
2
3
4
2
ử

ữ
ữ
S = ờ;+Ơ ữ
A. S = ỗỗỗ- ;+Ơ ữ
ữ
ữ
ữ. B.
ữ
ờ

7
ố 7
ứ
ứ
ở

ổ

11ử

ữ
C. S = ỗỗỗ- Ơ ;- ữ
ữ
ữ
7ứ
ố

ổ

11ự

D. S = ỗỗỗ- Ơ ;- ỳ
7ỳ
ố
ỷ


Cõu 7.

Nghim ca bt phng trỡnh sau: 2( x- 1) - x > 3( x- 1) - 2x- 5

A. S = ặ.

Cõu 8.

ổ
ố

Cõu 10.

5ử
ữ
ữ
ữ
ữ.
2ứ

C. S = Ă .

D. S = ( 0;1ự
ỷ.

Bt phng trỡnh

Bt phng trỡnh

2ỷ

2

B. x <

257
295

C. x >

5
2

D. x < 5

3x + 5
x+2
1
+ x cú nghim l:
2
3
C. x 4,11

B. Ă

D. x 5

B. x R

C. x > 2,5

D. x > 2, 6

x 2006 > 2006 x l gỡ ?

B. [ 2006 ; + )
D. { 2006}

B. x < 2

C. x >

5
2

D. x >

20
23

Tp nghim ca bt phng trỡnh x + x 2 2 + x 2 l:
B. (; 2)

Bt phng trỡnh 3 ( x 1) + 2 x

29
19

B. x >

C. { 2}

D. [2; + )

x +1

+ 4 cú nghim:
4

29
19

C. x <

29
19

D. x Ă

Tp nghim ca bt phng trỡnh x ( 2 x ) x ( 7 x ) 6 ( x 1) :
A. x 6

Cõu 18.

ố

2x
Bt phng trỡnh 5 x 1 > + 3 cú nghim l:
5

A. x
Cõu 17.

ự

5 x 13 x

9 2x
+ <

cú nghim l:
5 21 15 25 35

Tp nghim ca bt phng trỡnh

A.
Cõu 16.

ổ

5
D. S = ỗỗỗ- Ơ ;- ỳ
ỳ

Gii bt phng trỡnh : 5 ( x + 1) x ( 7 x ) > 2 x ta c:

A. x R
Cõu 15.

ử
ữ
ữ
ữ
ữ
ứ

2

B. S = ( - 1;1) .

A.
C. (; 2006)
Cõu 14.

ổ5
;+Ơ
ố 2

C. S = ỗỗỗ-

A. S = ặ.

A. Vụ nghim
Cõu 13.

ử

2

A. vụ nghim
Cõu 12.

ộ 5

ữ
- ;+Ơ ữ
B. S = ờ

ữ
ữ
ờ
ứ
ở 2

Nghim ca bt phng trỡnh sau: ( x- 1) +( x- 3) + 15< x2 +( x- 4)

A. x > 0
Cõu 11.

D. S = ộ
ở0;+Ơ )

Nghim ca bt phng trỡnh sau: 5( x- 1) - x( 7- x) < x2
A. S = ỗỗỗ- Ơ ;-

Cõu 9.

C. S = ( 0;+Ơ )

B. S = Ă

B. x > 6

C. x 6

D. x < 6

2

Nghim ca bt phng trỡnh ( 2 x 1) ( x + 3) 3x + 1 ( x 1) ( x + 3 ) + x 5 :


A. x ≤ −
Câu 19.

2
3

B. x ≥ −

2
3

C. x ∈ ¡

(

D. vô nghiệm

)

Nghiệm của bất phương trình 1 − 2 x < 3 − 2 2 là:
A. x <

3− 2 2
1− 2

B. x >

3− 2 2
1− 2

C. x ∈ ¡

D. vô nghiệm

VẬN DỤNG THẤP
Câu 1.

Giải bất phương trình

A. x < −2 hoặc x ≥
C. −2 < x ≤
Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.

1
2

2x −1
≥ 0 được
x+2
B. x < −2 hoặc x >

1
2

D. −2 < x <

1
2

1
2

Bất phương trình 2 x − 1 > x có nghiệm là:
1

A. x ∈  −∞; ÷∪ ( 1; +∞ )
3


1 
B. x ∈  ;1÷
3 

C. m ∈ ¡

D. Vô nghiệm

Nghiệm của bất phương trình 2 x − 3 ≤ 1 là:
A. 1 ≤ x ≤ 3
B. −1 ≤ x ≤ 1

C. 1 ≤ x ≤ 2

D. −1 ≤ x ≤ 2

3
có tập nghiệm:
2
 1

 3

B.  − ; +∞ ÷
C.  − ; +∞ ÷
 2

 2


Bất phương trình x + 2 − x − 1 < x −
A. ( −2; +∞ )
HD: Lập bảng xét dấu
x

−∞

−2

x+2

−

x −1

+

TH1: x < −2

bpt ⇔ −( x + 2) + ( x − 1) < x −
TH2: −2 ≤ x ≤ 1

bpt ⇔ ( x + 2) + ( x − 1) < x −

0

+∞

1

+
−

+
0

3
−3
⇒ S1 = ∅
⇔x>
2
2

3

−5
⇒ S2 = ∅
⇔x<
2
2

9

D.  ; +∞ ÷
2


−


TH3: x > 1

bpt ⇔ ( x + 2) − ( x − 1) < x −

3
9
9

⇔ x > ⇒ S3 =  ; +∞ ÷
2
2
2


Chọn đáp án D.

Câu 5.

Với giá trị nào của m thì hai bất phương trình sau đây tương đương ?
( a –1) x – a + 3 > 0 (1)

( a + 1) x

Câu 6.

Câu 7.

Câu 8.

– a + 2 > 0 (2)
A. a = 1
B. a = 5
C. a = – 1
D. –1 < a < 1
x+4
2
4x
−
<
Bất phương trình 2
có nghiệm nguyên lớn nhất là:
x − 9 x + 3 3x − x 2
A. x = 2
B. x = 1
C. x = –2
D. x = –1

2x
– 23 < 2 x – 16 là:
Các nghiệm tự nhiên bé hơn 4 của bất phương trình:
5
35
A. { −4; −3; −2; −1;0;1; 2;3 }
B. − < x < 4
C. { 0;1; 2;3}
D. { 0}
8
2x
8
35
– 23 < 2 x –16 ⇔ −7 < x ⇔ x > − .
HD:
5
5
8
1
2x
Các nghiệm tự nhiên bé hơn 6 của bất phương trình: 5 x – > 12 −
là:
3
3
A. { 2;3; 4;5 }
B. { 3; 4;5 }
C. { 0;1; 2;3; 4;5; }
D. { 3; 4;5;6 }

17

37
37
x>
⇔x>
3
3
17
Do các nghiệm là số tự nhiên bé hơn 6 nên ta chọn câu B.
Bất phương trình x + 1 + x − 4 > 7 có nghiệm nguyên dương nhỏ nhất là:
A. x = 4
B. x = 5
C. x = 6
D. x = 7
HD: Thử trực tiếp từng phương án bằng cách thay giá trị x vào bất phương trình.
x −1
Nghiệm của bất phương trình
< 1 là:
x+2
1
1
1
A. x < −2 hay x > −
B. −2 < x < −
C. x < − hay x > 2 D. Vô nghiệm
2
2
2
HD:
TH1: x > 1
x −1

−3
bpt ⇔
<1⇔
< 0 ⇔ x > −2 ⇒ S1 = ( 1; +∞ )
x+2
x+2
TH2: x ≤ 1
 x < −2
 x < −2
−( x − 1)
−2 x − 1

bpt ⇔
<1⇔
<0⇔
⇒ S 2 =  −1
 x > −1
 < x ≤1
x+2
x+2

2
2
 x < −2
Vậy S = S1 U S 2 = 
. Chọn đáp án A.
 x > −1

2
x+2 −x

Nghiệm của bất phương trình
≤ 2 là:
x
HD: Bpt ⇔

Câu 9.

Câu 10.

Câu 11.


A. 0 < x ≤ 1
B. x ≥ 1 hay x < −2
C. x < 0 hay x ≥ 1
HD:
TH1: x > −2
x ≥1
x+ 2− x
2x − 2
bpt ⇔
≤2⇔
≥0⇔
⇒ S1 = ( −2; 0 ) U [ 1; +∞ )
x
x
x < 0
TH2: x ≤ −2
−1


x≤
−( x + 2) − x
4x + 2

bpt ⇔
≤2⇔
≥0⇔
2 ⇒ S2 = ( −∞; −2]

x
x
x > 0

D. 0 ≤ x ≤ 1

Vậy S = S1 U S2 = ( −∞; 0 ) U [ 1; +∞ ) . Chọn đáp án C.
Câu 12.

2x −1
> 2 có tập nghiệm là:
x −1
3

3 
B.  −∞; ÷∪ ( 1; +∞ ) C.  ;1÷
4

4 

Bất phương trình

A. ( 1; +∞ )

3

D.  ; +∞ ÷
4


{ 1}

HD:

Câu 13.

Câu 14.

Câu 15.

 2x −1
x >1
 x −1 > 2
. Chọn đáp án D.
bpt ⇔ 
⇔ 3

2
x
−
1
<

x
<
1

< −2
4
 x − 1
2
8
> . Các nghiệm nguyên của bất phương trình là:
Cho bất phương trình
x − 13 9
A. x = 7 và x = 8
B. x = 9 và x = 10
C. x = 11 và x = 12 D. x = 13 và x = 14
HD: Thử trực tiếp từng phương án bằng cách thay giá trị x vào bất phương trình.
1
4 − 3x
=
Điều kiện của phương trình x + 2 −
là:
x +1
x+2
4
A. x > −2 và x ≠ −1 .
B. x > −2 và x < .
3
4
C. x > −2, x ≠ −1 và x ≤ .
D. x ≠ −2 và x ≠ −1 .

3
x + 2 > 0

HD: Đk 4 − 3 x ≥ 0 . Chọn đáp án C.
x +1 ≠ 0


Điều kiện xác định của phương trình x +
A. x > −2 và x ≠ 0
C. x > −2 và x <

3
2

2 x + 4 > 0

3 − 2x ≥ 0
HD: Đk 
.  Chọn đáp án
x ≠ 0


1
3 − 2x
=
là:
x
2x + 4
B. x > −2, x ≠ 0 và x ≤
D. −2 < x ≤

3
2

3
2


Câu 16.

Tập nghiệm của bất phương trình

A. ( −∞; −1)

2
< 1 là:
1− x

B.

C. ( −1;1)

D.
Hướng dẫn giải:

2
2
1+ x
<1⇔
−1 < 0 ⇔

< 0.
1− x
1− x
1− x

( 1; +∞ )
( −∞; −1) ∪ ( 1; +∞ )

KL: T = ( −∞; −1) ∪ ( 1; +∞ )

VẬN DỤNG CAO

Tìm m để bpt sau có tập nghiệm là ( −∞; +∞ ) : ( x + 1)( x + 3) + m > 5 x 2 + 4 x + 29

Câu 1.

A. m < 26 .

C. m ≥ −

B. m ≥ 26 .

129
.
4

D. m ≤ −

129
.

4

Hướng dẫn giải:
( x + 1)( x + 3) + m > 5 x 2 + 4 x + 29 ⇔ m > − x 2 − 4 x − 3 + 5 x 2 + 4 x + 29 ⇔ m > −t 2 + 5t + 26
Với t = x 2 + 4 x + 29, t =

( x + 2)

2

+ 25 ≥ 5

f (t ) với
BPT ( x + 1)( x + 3) + m > 5 x 2 + 4 x + 29 có nghiệm là (−∞; +∞) ⇔ m ≥ max
[5; +∞ )
f (t ) = −t 2 + 5t + 26
2
f (t ) = 26
Do f (t ) = −t + 5t + 26 = t ( 5 − t ) + 26 ≤ 26 với t ≥ 5 nên max
[5; +∞ )

Câu 2.

Câu 3.

2x + 9
< 1 có bao nhiêu nghiệm nguyên dương
x−3
A. Vô số
B. 2

C. 4
D. 3
Hướng dẫn giải:
2x + 9
2x + 9
2x + 9 − x + 3
x + 12
<1⇔
−1 < 0 ⇔
<0⇔
<0
x −3
x−3
x−3
x−3
KL: T = ( −12;3)
Bất phương trình

Suy ra bất phương trình có hai nghiệm nguyên dương.
3( 4 x2 − 9)
Tập nghiệm của bất phương trình
≤ 2 x + 3.
3x 2 − 3
3
3
A. x > .
B. 1 < x ≤ .
2
2
3



C. x > −1.
D. x ∈  − ; −1÷∪ ( 1; 2] .
 2

Hướng dẫn giải


3( 4x2 − 9)

 x < −1 ∪ x > 1

≤ 2x + 3 ⇔ 
2


2
3x − 3
( 2 x + 3) 3 ( 2 x − 3 ) − 3 x − 3  ≤ 0

3

x = − 2

 x < − 3
3


2

x=−



2

 3 ( 2 x − 3) − 3 x 2 − 3 ≥ 0
 x ∈∅

3
3 ⇔ 3
⇔  3
⇔ − ≤ x < −1 ∪ 1 < x ≤ 2 .
3
− < x < −1 ∪ 1 < x ≤
2
 − < x < −1 ∪ 1 < x ≤
 2
2
2
2



2
3
 3 ( 2 x − 3) − 3 x − 3 ≤ 0
 
2

 x > 3
 
2
 2
 11x − 36 x + 28 ≤ 0
Chọn D.
Câu 4.

Bất phương trình

x+4
2
4x
−
<
có nghiệm nguyên lớn nhất là:
2
x − 9 x + 3 3x − x2

A. x = 2
B. x = 1
HD: Thế lần lượt từng kết quả vào đề bài.

Câu 5.

Ngiệm của bpt

2( x 2 − 16)
x−3

+ x−3 >

7−x
x−3

C. x = –2

D. x = –1

là

A. x > 10 + 34
B. x > 10 − 34
C. x ≥ 10 − 34
D. x ≥ 10 + 34
HD:
ĐK, quy đồng MS, được: 2( x 2 − 16) + x − 3 > 7 − x , đây là bài cơ bản
Câu 6.

Ngiệm của bpt : 3 2 − x + x − 1 > 1 là
A. [1; 2], [10;+∞)

B. [ 1; 2]

C. [ 10; +∞ )

HD:
ĐK: x ≥ 1
Đặt 3 2 − x = t , t ≤ 1 , ⇒ x − 1 = 1 − t 3
t ≤ 1

3
Bpt: t + 1 − t > 1 ⇔  2
t (t + t − 2) < 0
Câu 7.

Ngiệm của bpt : x 2 − 2 x + 3 − x 2 − 6 x + 11 > 3 − x − x − 1 là

D. [ 1; +∞ )


A. ( 2; 3]
HD
Xét hàm số: f(t)=
ĐK: 1 ≤ x ≤ 3

B. [ 2;3]

C. [ −2;3]

D. ( 2;3)

t+2+ t

( x − 1) 2 + 2 + x − 1 > (3 − x) 2 + 2 + 3 − x
u = x − 1 ≥ 0
Đặt 
v = 3 − x ≥ 0
Câu 8.

(

Ngiệm của bpt : x 2 + 41x − 4x x + 18 ≤ 3 + 4 x

)

2x 2 + 44x + 18 là

x = 1
A. 
B. ( 1;9 )
C. [ 1;9 )
x = 9
HD
Giải: Đk: x ≥ 0
bpt ⇔ 2x 2 + 44x + 18 − x 2 − 3x − 4x x ≤ (3 + 4 x ) 2x 2 + 44x + 18

D. [ 1;9]

Đặt : t = 2x 2 + 44x + 18 ⇒ t > 0
Ta có bpt: t 2 − x 2 − x(3 + 4 x ) − (3 + 4 x )t ≤ 0 ⇔ (t + x)(t − x − 3 − 4 x ) ≤ 0 ⇔ t − x − 3 − 4 x ≤ 0
(vì t+x>0 với mọi x ≥ 0)
Ta có bpt ⇔ 2x 2 + 44x + 18 ≤ x + 3 − 4 x ⇔ 2(x + 3) 2 + 32x ≤ (x + 3) + 4 x

Câu 9.

x = 1
⇔ 2(x + 3) 2 + 32x ≤ ((x + 3) + 4 x ) 2 ⇔ (x + 3 − 4 x ) 2 ≤ 0 ⇔ x + 3 − 4 x = 0 ⇔ 
x = 9
Ngiệm của bpt : 3 12 − x + 3 14 + x ≥ 2 là
A. ( −15;13)

B. ( 13;15 )

C. [ 13;15 )

D. [ −15;13]

HD:
Đặt t = 3 12 − x ⇔ x = 12 − t 3 , ta có bpt:

Câu 10.

t + 3 26 − t 3 ≥ 2 ⇔ 3 26 − t 3 ≥ 2 − t ⇔ 26 − t 3 ≥ 8 − 12t + 6t 2 − t 3
⇔ t 2 − 2t − 3 ≤ 0 ⇔ −1 ≤ t ≤ 3 ⇒ −1 ≤ 3 12 − x ≤ 3 ⇔ −1 ≤ 12 − x ≤ 27 ⇔ −15 ≤ x ≤ 13
Ngiệm của bpt : x 2 + x + 12 x + 1 ≤ 36 là
A. ( −1;3)

B. ( 1;3)

C. [ 1;3]

D. [ −1;3]

HD. ĐK: x ≥ −1 . Đặt t = x + 1 ⇒ x = t 2 − 1; t ≥ 0 . Ta có BPT: ( t 2 − 1) + ( t 2 − 1) + 12t ≤ 36
2

⇔ t 4 − t 2 + 12t − 36 ≤ 0 ⇔ ( t − 2 ) t 3 + 2t 2 + 3t + 36  ≤ 0 ⇔ t − 2 ≤ 0 ⇔ t ≤ 2 ⇒ −1 ≤ x ≤ 3